किसी भी 3 times 3 आव्यूह M के लिए,| M |,M का | vedclass

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Question

(C) सबसे पहले,$PEP$ की गणना करें:$PEP = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 3 & 4 \ 8

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$A, B, D$

Vedclass · Answer

(C) सबसे पहले,$PEP$ की गणना करें:$PEP = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 3 & 4 \ 8 & 13 & 18 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 8 & 13 & 18 \ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \ 8 & 18 & 13 \ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix} = F$.साथ ही,$P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$. अतः,$(A)$ $TRUE$ है।$(B)$ के लिए,ध्यान दें कि $|E| = 0$ और $|F| = 0$ है। चूंकि $|EQ| = |E||Q| = 0$ और $|PFQ^{-1}| = |P||F||Q|^{-1} = 0$,समीकरण $|EQ + PFQ^{-1}| = 0 + 0 = 0$ सत्य है। अतः,$(B)$ $TRUE$ है।$(C)$ के लिए,$|EF| = |E||F| = 0 	imes 0 = 0$ है। अतः,$|(EF)^3| = 0$ और $|EF|^2 = 0$ है। असमिका $0 > 0$ $FALSE$ है।$(D)$ के लिए,चूंकि $P^2 = I$,$P^{-1} = P$ है। तब $P^{-1}FP = PFP = P(PEP)P = P^2EP^2 = I E I = E$ है। अतः,$E + P^{-1}FP = 2E$ है। साथ ही,$P^{-1}EP + F = PEP + F = F + F = 2F$ है। $2E$ के विकर्ण अवयवों का योग (ट्रेस) $2(1+3+18) = 44$ है,जबकि $2F$ का ट्रेस $2(1+18+3) = 44$ है। अतः,$(D)$ $TRUE$ है।

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