मान लीजिए omega इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B,C,D) आव्यूह $P$ को $p_{ij} = \omega^{i+j}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।हम $P$ को दो स्तंभ सदिशों के गुणनफल के रूप में लिख सकते हैं: $P = uv^T$,जहाँ

Vedclass · Accepted Answer

$56$

Vedclass · Answer

(B,C,D) आव्यूह $P$ को $p_{ij} = \omega^{i+j}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।हम $P$ को दो स्तंभ सदिशों के गुणनफल के रूप में लिख सकते हैं: $P = uv^T$,जहाँ $u = [\omega^1, \omega^2, \dots, \omega^n]^T$ और $v = [\omega^1, \omega^2, \dots, \omega^n]^T$ है।अतः $P^2 = (uv^T)(uv^T) = u(v^Tu)v^T$ होगा।चूँकि $v^Tu = \sum_{k=1}^n \omega^{k+k} = \sum_{k=1}^n \omega^{2k}$,इसलिए $P^2 = 0$ तभी होगा जब $v^Tu = 0$ हो।योग $S = \sum_{k=1}^n \omega^{2k}$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $\omega^2$ और सार्व अनुपात $\omega^2$ है।$S = \omega^2 \frac{1-(\omega^2)^n}{1-\omega^2} = \omega^2 \frac{1-\omega^{2n}}{1-\omega^2}$।$S = 0$ तभी होगा जब $1 - \omega^{2n} = 0$ हो,जिसका अर्थ है $\omega^{2n} = 1$।चूँकि $\omega^3 = 1$,यह तब होता है जब $2n$,$3$ का गुणज हो,अर्थात $n$,$3$ का गुणज हो।अतः,$P^2 
eq 0$ तब होगा जब $n$,$3$ का गुणज न हो।विकल्पों की जाँच करने पर:$(A) 57 = 3 	imes 19$ ($3$ का गुणज है)$(B) 55$ ($3$ का गुणज नहीं है)$(C) 58$ ($3$ का गुणज नहीं है)$(D) 56$ ($3$ का गुणज नहीं है)इसलिए,$n = 55, 58, 56$ के लिए $P^2 
eq 0$ होगा।

Similar Questions

यदि $P$ और $Q$ दो $3 \times 3$ आव्यूह इस प्रकार हैं कि $|PQ|=1$ और $|P|=9$,तो $\text{adj}(P \cdot \text{adj}(3Q))$ का सारणिक ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से कौन सा गलत है?

यदि $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ है,तो सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 1 & \alpha & \alpha^2 \\ \alpha^2 & 1 & \alpha \\ \alpha & \alpha^2 & 1 \end{array} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module