मान लीजिए कि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ समीकरण $z^5=1$ के भिन्न काल्पनिक मूल हैं। तो सारणिक का मान ज्ञात कीजिए: $\left| \begin{array}{ccc} e^{\alpha} & e^{2\alpha} & e^{3\alpha+1} \\ e^{\beta} & e^{2\beta} & e^{3\beta+1} \\ e^{\gamma} & e^{2\gamma} & e^{3\gamma+1} \end{array} \right|$.

List-$I$ की वस्तुओं को List-$II$ की वस्तुओं के साथ सुमेलित करें और सही विकल्प चुनें:

List-$I$	List-$II$
$(A)$ यदि $A$ कोटि $3$ का एक व्युत्क्रमणीय (non-singular) आव्यूह है और $|A|=a$,तो $|\text{adj}(A)|=$	$(I)$ शून्य आव्यूह
$(B)$ $A$ कोटि $3$ का एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है और $B$ कोटि $3$ का कोई ऐसा आव्यूह है कि $AB=O$,तो $B$ है	$(II)$ $a^2$
$(C)$ $\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ \cos(a-b)y & \cos ay & \cos(a+b)y \\ \sin(a-b)y & \sin ay & \sin(a+b)y \end{vmatrix}$ किस पर निर्भर नहीं करता है	$(III)$ $b$
$(D)$ $A$ कोटि $3$ का एक वर्ग आव्यूह है और $B=A-A^T$,तो $B$ है	$(IV)$ $a$
	$(V)$ $0$

$\det \left[ \begin{array}{ccc} \frac{a^2+b^2}{c} & c & c \\ a & \frac{b^2+c^2}{a} & a \\ b & b & \frac{c^2+a^2}{b} \end{array} \right] = $

यदि $\Delta _1 = \left| \begin{array}{ccc} b^5c^6(c^3 - b^3) & a^4c^6(a^3 - c^3) & a^4b^5(b^3 - a^3) \\ b^2c^3(b^6 - c^6) & ac^3(c^6 - a^6) & ab^2(a^6 - b^6) \\ b^2c^3(c^3 - b^3) & ac^3(a^3 - c^3) & ab^2(b^3 - a^3) \end{array} \right|$ और $\Delta _2 = \left| \begin{array}{ccc} a & b^2 & c^3 \\ a^4 & b^5 & c^6 \\ a^7 & b^8 & c^9 \end{array} \right|$ है,तो $\Delta _1 \Delta _2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A=\begin{bmatrix} \sqrt{2} & 1 \\ -1 & \sqrt{2} \end{bmatrix}$,$B=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$,$C=ABA^T$ और $X=A^T C^2 A$ है,तो $\operatorname{det}(X)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & k & 2 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}$ एक सिंगुलर आव्यूह (singular matrix) है,तो $k$ और $\frac{1}{k}$ मूलों वाला द्विघात समीकरण क्या है?