यदि $A$ और $B$ क्रम $3$ के वर्ग आव्यूह हैं,इस प्रकार कि $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$,तो $(ABA^{-1})^2$ किसके बराबर है?

चार पासों को एक साथ फेंका जाता है और इन पासों पर दिखाई देने वाली संख्याओं को $2 \times 2$ आव्यूहों में दर्ज किया जाता है। इस प्रकार बने आव्यूहों के सभी प्रविष्टियाँ अलग-अलग होने और उनके व्युत्क्रमणीय (nonsingular) होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+x-1=0$ के भिन्न मूल हैं। समुच्चय $T=\{1, \alpha, \beta\}$ पर विचार करें। एक $3 \times 3$ आव्यूह $M=(a_{ij})$ के लिए,$R_i=a_{i1}+a_{i2}+a_{i3}$ और $C_j=a_{1j}+a_{2j}+a_{3j}$ को परिभाषित करें,जहाँ $i=1,2,3$ और $j=1,2,3$ है। $List-I$ की प्रत्येक प्रविष्टि का $List-II$ की सही प्रविष्टि से मिलान करें।

$List-I$	$List-II$
$(P)$ $T$ में सभी प्रविष्टियों वाले $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ आव्यूहों की संख्या ताकि सभी $i, j$ के लिए $R_i=C_j=0$ हो	$(1)$ $1$
$(Q)$ $T$ में सभी प्रविष्टियों वाले सममित आव्यूहों $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ की संख्या ताकि सभी $j$ के लिए $C_j=0$ हो	$(2)$ $2$
$(R)$ मान लीजिए $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ एक विषम-सममित आव्यूह है ताकि $i>j$ के लिए $a_{ij} \in T$ हो। तो समुच्चय $\{\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}: x, y, z \in \mathbb{R}, M\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{12} \\ 0 \\ -a_{23} \end{bmatrix}\}$ में तत्वों की संख्या है	$(3)$ $\text{अनंत}$
$(S)$ मान लीजिए $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ एक आव्यूह है जिसकी सभी प्रविष्टियाँ $T$ में हैं ताकि सभी $i$ के लिए $R_i=0$ हो। तो $M$ के सारणिक का निरपेक्ष मान है	$(4)$ $6$
	$(5)$ $0$

मान लीजिए कि $A$ वास्तविक प्रविष्टियों वाला एक $2 \times 2$ आव्यूह है। मान लीजिए कि $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है। $\operatorname{Tr}(A)$,$A$ के विकर्ण प्रविष्टियों का योग दर्शाता है। मान लीजिए कि $A^2=I$.
कथन $I$: यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $\operatorname{det}(A) = -1$ है।
कथन $II$: यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $\operatorname{Tr}(A) \neq 0$ है।

मान लीजिए कि $M$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जिसके अवयव समुच्चय $\{0, 1, 2\}$ से हैं। ऐसे आव्यूहों की अधिकतम संख्या,जिनके लिए $M^{T}M$ के विकर्ण अवयवों का योग $7$ है,............. है।

यदि ${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & {\sin \theta } & {\cos \theta } \\ {\sin \theta } & { - x} & 1 \\ {\cos \theta } & 1 & x \end{array}} \right|$ और ${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & {\sin 2\theta } & {\cos 2\theta } \\ {\sin 2\theta } & { - x} & 1 \\ {\cos 2\theta } & 1 & x \end{array}} \right|$,$x \ne 0$ है; तो सभी $\theta \in \left( {0, \frac{\pi }{2}} \right)$ के लिए: