$A$ और $B$ दो $3 \times 3$ कोटि के व्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि $AB = A$ और $|A + B| \neq 0$,तो:

माना $A = \begin{bmatrix} p & 13 \\ -13 & p \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 4q & 85 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ जहाँ $p, q \in N$ है। यह दिया गया है कि $|A| = |B|$ और $p, q \in [1, 1000]$ है। तब क्रमित युग्मों $(p, q)$ की कुल संख्या है:

सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} a^2 & a^2 - (b - c)^2 & bc \\ b^2 & b^2 - (c - a)^2 & ca \\ c^2 & c^2 - (a - b)^2 & ab \end{array} \right|$ किससे विभाज्य है?

यदि $A$ एक वर्ग आव्यूह है,इस प्रकार कि $A^2=A$,तो $(I+A)^3$ का मान क्या होगा?

माना $p$ एक विषम अभाज्य संख्या है और $T_p$ निम्नलिखित $2 \times 2$ आव्यूहों का समुच्चय है:
$T_p = \left\{ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & a \end{bmatrix} : a, b, c \in \{0, 1, \ldots, p-1\} \right\}$
$1.$ $T_p$ में ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जो या तो सममित हैं या विषम-सममित हैं या दोनों हैं,और $\det(A)$,$p$ से विभाज्य है:
$(A) (p-1)^2$ $(B) 2(p-1)$ $(C) (p-1)^2+1$ $(D) 2p-1$
$2.$ $T_p$ में ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका ट्रेस $p$ से विभाज्य नहीं है लेकिन $\det(A)$,$p$ से विभाज्य है:
$(A) (p-1)(p^2-p+1)$ $(B) p^3-(p-1)^2$ $(C) (p-1)^2$ $(D) (p-1)(p^2-2)$
$3.$ $T_p$ में ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका $\det(A)$,$p$ से विभाज्य नहीं है:
$(A) 2p^2$ $(B) p^3-5p$ $(C) p^3-3p$ $(D) p^3-p^2$

यदि $A = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \{-1, 1\} \right\}$ है,तो $A$ में अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूहों की संख्या है