मान लीजिए p, q, r तीन वास्तविक संख्याएँ हैं ज | vedclass

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Question

(B) आव्यूह गुणन $[p \, q \, r] \begin{bmatrix} 2 & p & q \ -3 & q & -p+r \ 12 & r & -q+3r \end{bmatrix} = [5 \, b \, c]$ करने पर निम्नलिखित समीकरण प

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$\frac{25}{49}$

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(B) आव्यूह गुणन $[p \, q \, r] \begin{bmatrix} 2 & p & q \ -3 & q & -p+r \ 12 & r & -q+3r \end{bmatrix} = [5 \, b \, c]$ करने पर निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:$1$) $2p - 3q + 12r = 5$$2$) $b = p^2 + q^2 + r^2$$3$) $c = pq - qp + qr - qr + 3r^2 = 3r^2$$b$ और $c$ को जोड़ने पर,$b + c = p^2 + q^2 + 4r^2$ प्राप्त होता है।हमें $2p - 3q + 12r = 5$ की शर्त के तहत $p^2 + q^2 + 4r^2$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।कोशी-श्वार्ट्ज असमिका $(\vec{u} \cdot \vec{v})^2 \le |\vec{u}|^2 |\vec{v}|^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\vec{u} = (2, -3, 6)$ और $\vec{v} = (p, q, 2r)$ है।अतः $(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 2p - 3q + 12r = 5$.$|\vec{u}|^2 = 2^2 + (-3)^2 + 6^2 = 4 + 9 + 36 = 49$.$|\vec{v}|^2 = p^2 + q^2 + (2r)^2 = p^2 + q^2 + 4r^2$.इस प्रकार,$5^2 \le 49(p^2 + q^2 + 4r^2)$.$25 \le 49(b+c) \implies b+c \ge \frac{25}{49}$.

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