Adjoint and inverse of matrices Questions in Hindi

(D) व्युत्क्रमणीय आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए,निम्नलिखित गुण सत्य हैं:
$1$. गुणनफल का व्युत्क्रम,व्युत्क्रमों का विपरीत क्रम में गुणनफल होता है: $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
$2$. आव्यूह का सहखंडज (adjoint) उसके व्युत्क्रम से इस प्रकार संबंधित है: $\operatorname{adj} A = |A| A^{-1}$.
$3$. व्युत्क्रम आव्यूह का सारणिक (determinant),मूल आव्यूह के सारणिक का व्युत्क्रम होता है: $\operatorname{det}(A^{-1}) = [\operatorname{det}(A)]^{-1}$.
$4$. योग का व्युत्क्रम सामान्यतः व्युत्क्रमों के योग के बराबर नहीं होता है: $(A+B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}$.
अतः,कथन $(A+B)^{-1} = B^{-1} + A^{-1}$ गलत है।

(D) माना कि $A = \begin{bmatrix} 2 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 2(1 \times 3 - 1 \times 0) - 5(0 \times 3 - 1 \times (-1)) + 0(0 \times 0 - 1 \times (-1))$
$|A| = 2(3) - 5(1) + 0 = 6 - 5 = 1$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम का अस्तित्व है।
अब,हम सहखंडज (cofactor) आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = 3, C_{12} = -1, C_{13} = 1$
$C_{21} = -15, C_{22} = 6, C_{23} = -5$
$C_{31} = 5, C_{32} = -2, C_{33} = 2$
एडजॉइंट आव्यूह $\text{adj}(A)$,सहखंडज आव्यूह का परिवर्त (transpose) है:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 3 & -15 & 5 \\ -1 & 6 & -2 \\ 1 & -5 & 2 \end{bmatrix}$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & -15 & 5 \\ -1 & 6 & -2 \\ 1 & -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -15 & 5 \\ -1 & 6 & -2 \\ 1 & -5 & 2 \end{bmatrix}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है कि $n=3$ कोटि के एक (वास्तविक) आव्यूह $A$ के सहखंडज का सारणिक $|\operatorname{adj} A| = 25$ है।
हम जानते हैं कि गुणधर्म $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ होता है।
$n=3$ रखने पर,हमें $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$|A|^2 = 25$,जिसका अर्थ है कि $|A| = \pm 5$।
हमें आव्यूह के व्युत्क्रम का सारणिक $|A^{-1}|$ ज्ञात करना है।
गुणधर्म $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ का उपयोग करने पर,हमें $|A^{-1}| = \frac{1}{\pm 5} = \pm 0.2$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $A$ एक $n \times n$ क्रम का विकर्ण आव्यूह है जिसे $A = \text{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $a_i \neq 0$ है क्योंकि आव्यूह व्युत्क्रमणीय (non-singular) है।
एक विकर्ण आव्यूह $A$ का प्रतिलोम $A^{-1} = \text{diag}(1/a_1, 1/a_2, \dots, 1/a_n)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $A^{-1}$ के सभी विकर्ण-इतर (off-diagonal) अवयव $0$ ही रहते हैं,इसलिए परिणामी आव्यूह $A^{-1}$ भी एक विकर्ण आव्यूह है।
अतः,एक विकर्ण व्युत्क्रमणीय आव्यूह का प्रतिलोम एक विकर्ण आव्यूह होता है।

(D) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $n=3$ है।
हमें $|A|=3$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ होता है।
साथ ही,एक अदिश $k$ और $n \times n$ कोटि के आव्यूह $A$ के लिए,$|kA| = k^n |A|$ होता है।
इसलिए,$|2A| = 2^3 |A| = 8 \times 3 = 24$।
अब,$|(2A)^{-1}| = \frac{1}{|2A|} = \frac{1}{24}$।

(A) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
$A$ का सारणिक $|A| = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$ है।
$A$ का सहखंडज (adjoint),$\operatorname{adj}(A)$,विकर्ण तत्वों को बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर प्राप्त किया जाता है:
$\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
आव्यूह का व्युत्क्रम ज्ञात करने का सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A)$ है।
मान रखने पर,हमें $A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ और $10 B=\left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right]$.
चूँकि $B$,$A$ का व्युत्क्रम है,इसलिए $B = A^{-1}$.
अतः,$10 A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right]$.
दोनों पक्षों को दाईं ओर से $A$ से गुणा करने पर,$10 A^{-1} A = \left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right] A$.
चूँकि $A^{-1} A = I$,इसलिए $10 I = \left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$.
दाईं ओर गुणनफल की गणना करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}4(1)+2(2)+2(1) & 4(-1)+2(1)+2(1) & 4(1)+2(-3)+2(1) \\ -5(1)+0(2)+\alpha(1) & -5(-1)+0(1)+\alpha(1) & -5(1)+0(-3)+\alpha(1) \\ 1(1)-2(2)+3(1) & 1(-1)-2(1)+3(1) & 1(1)-2(-3)+3(1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}10 & 0 & 0 \\ -5+\alpha & \alpha+5 & -5+\alpha \\ 0 & 0 & 10\end{array}\right]$.
इसे $10 I = \left[\begin{array}{ccc}10 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10\end{array}\right]$ के साथ तुलना करने पर.
$(2, 1)$ स्थान पर स्थित अवयव की तुलना करने पर,$-5 + \alpha = 0$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 5$.

(D) दिया गया है कि $A$ एक $n = 3$ कोटि का वर्ग आव्यूह है और $\operatorname{det}(A) = 3$ है।
हम जानते हैं कि एक अदिश $k$ और $n \times n$ आव्यूह $A$ के लिए,$\operatorname{det}(kA) = k^n \operatorname{det}(A)$ होता है।
साथ ही,$\operatorname{det}(A^{-1}) = \frac{1}{\operatorname{det}(A)}$ होता है।
इसलिए,$\operatorname{det}(3A^{-1}) = 3^3 \operatorname{det}(A^{-1})$ होगा।
मान रखने पर,$\operatorname{det}(3A^{-1}) = 27 \times \frac{1}{\operatorname{det}(A)} = 27 \times \frac{1}{3} = 9$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज (adjoint) आव्यूह का गुणधर्म $A \text{ adj. } A = |A| I$ होता है,जहाँ $I$ कोटि $n$ का तत्समक आव्यूह है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $|A \text{ adj. } A| = | |A| I |$ प्राप्त होता है।
चूँकि $n$ कोटि के आव्यूह के लिए $|kI| = k^n |I|$ होता है,इसलिए $|A \text{ adj. } A| = |A|^n |I|$ होगा।
चूँकि $|I| = 1$,सूत्र $|A \text{ adj. } A| = |A|^n$ बन जाता है।
यहाँ $n = 3$ और $|A| = 5$ दिया गया है,अतः मान रखने पर:
$|A \text{ adj. } A| = (5)^3 = 125$.

(D) हमें गुणधर्म $A(\operatorname{adj} A) = |A|I$ दिया गया है।
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $A(\operatorname{adj} A) = 10I$ से करने पर,हमें $|A| = 10$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि आव्यूह के सहखंडज (adjoint) के सारणिक के लिए गुणधर्म $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ होता है,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा।
$|A|$ का मान रखने पर,हमें $|\operatorname{adj} A| = 10^2 = 100$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 3((-3)(1) - (4)(-1)) - (-3)((2)(1) - (4)(0)) + 4((2)(-1) - (-3)(0))$
$|A| = 3(-3 + 4) + 3(2 - 0) + 4(-2 - 0) = 3(1) + 3(2) + 4(-2) = 3 + 6 - 8 = 1$.
चूंकि $|A| = 1 \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
अगला,हम सहखंडज आव्यूह (adjoint) ज्ञात करने के लिए सहखंड आव्यूह (cofactor matrix) का परिवर्त (transpose) निकालते हैं।
सहखंड आव्यूह $C$ है:
$C_{11} = 1, C_{12} = -2, C_{13} = -2$
$C_{21} = -1, C_{22} = 3, C_{23} = 3$
$C_{31} = 0, C_{32} = -4, C_{33} = -3$
अतः,$\text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$।
चूंकि $|A| = 1$,इसलिए $A^{-1} = \frac{\text{adj}(A)}{|A|} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$।
अब,$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$ की गणना करते हैं।
इसके बाद,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$A^{-1} = A^3$ है।

(C) $n \times n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज (adjoint) आव्यूह का गुणधर्म $\operatorname{adj}(A) \cdot A = \operatorname{det}(A) \cdot I_n$ होता है।
दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमें $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A) \cdot A) = \operatorname{det}(\operatorname{det}(A) \cdot I_n)$ प्राप्त होता है।
$\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) \cdot \operatorname{det}(A) = (\operatorname{det}(A))^n \cdot \operatorname{det}(I_n)$ है।
चूंकि $\operatorname{det}(I_n) = 1$,यह समीकरण $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) \cdot \operatorname{det}(A) = (\operatorname{det}(A))^n$ में सरल हो जाता है।
$n=3$ कोटि के आव्यूह के लिए,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) \cdot \operatorname{det}(A) = (\operatorname{det}(A))^3$ होता है।
दोनों पक्षों को $\operatorname{det}(A)$ से विभाजित करने पर (चूंकि $A$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $\operatorname{det}(A) \neq 0$),हमें $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) = (\operatorname{det}(A))^2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $3 A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ a & 2 & b \end{bmatrix}$। चूँकि $A A^{T} = I$,इसलिए $(3 A)(3 A)^{T} = 9 I$ होगा।
$(3 A)(3 A)^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ a & 2 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$।
आव्यूहों का गुणा करने पर,$(1, 3)$ अवयव $1(a) + 2(2) + 2(b) = a + 4 + 2b = 0$ है।
$(2, 3)$ अवयव $2(a) + 1(2) - 2(b) = 2a + 2 - 2b = 0$ है।
$2a - 2b = -2$ से,$a - b = -1$,अर्थात $a = b - 1$ प्राप्त होता है।
$a + 2b = -4$ में मान रखने पर,$(b - 1) + 2b = -4 \Rightarrow 3b = -3 \Rightarrow b = -1$।
अतः $a = -1 - 1 = -2$।
इस प्रकार,$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{-2}{-1} + \frac{-1}{-2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$।

(B) दिया गया है कि $A \cdot A^T = A^T \cdot A$ और $B = A^{-1} A^T$ है।
हमें $B \cdot B^T$ का मान ज्ञात करना है।
$B \cdot B^T = (A^{-1} A^T) (A^{-1} A^T)^T$.
गुणधर्म $(XY)^T = Y^T X^T$ का उपयोग करने पर:
$B \cdot B^T = A^{-1} A^T ((A^T)^T (A^{-1})^T)$.
चूंकि $(A^T)^T = A$ और $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$,इसलिए:
$B \cdot B^T = A^{-1} A^T A (A^T)^{-1}$.
चूंकि $A^T A = A A^T$,हम प्रतिस्थापित करते हैं:
$B \cdot B^T = A^{-1} (A A^T) (A^T)^{-1}$.
साहचर्य नियम का उपयोग करने पर:
$B \cdot B^T = (A^{-1} A) A^T (A^T)^{-1}$.
$B \cdot B^T = I \cdot (A^T (A^T)^{-1}) = I \cdot I = I$.
अतः,$B \cdot B^T = I$.

(A) हम जानते हैं कि $\text{Adj}(A) \cdot A = |A| I$ होता है। मान लीजिए $|A| = k$ है। चूँकि $|A| > 0$,इसलिए $k > 0$ है।
दिया गया है $\text{Adj}(A) = \begin{bmatrix} 0 & 4 & -6 \\ 10 & 8 & 0 \\ 2 & 4 & -4 \end{bmatrix}$।
$\text{Adj}(A)$ का सारणिक $|\text{Adj}(A)| = |A|^{n-1} = |A|^{3-1} = |A|^2 = k^2$ होता है।
$\text{Adj}(A)$ का सारणिक ज्ञात करने पर:
$|\text{Adj}(A)| = 0(8(-4) - 0) - 4(10(-4) - 0) - 6(10(4) - 8(2)) = 0 - 4(-40) - 6(40 - 16) = 160 - 6(24) = 160 - 144 = 16$।
अतः,$k^2 = 16$,जिसका अर्थ है $k = 4$ (चूँकि $k > 0$)।
अब,$A = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(\text{Adj}(A))$।
संबंधों का उपयोग करके गणना करने पर,व्यंजक का मान $2$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(18-5) - 2(6-10) + 3(1-6) = 1(13) - 2(-4) + 3(-5) = 13 + 8 - 15 = 6$.
हम जानते हैं कि $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है। यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|\text{adj } A| = |A|^{3-1} = |A|^2 = 6^2 = 36$.
आगे,$|\text{adj}(\text{adj } A)| = |\text{adj } A|^{n-1} = (36)^{3-1} = 36^2 = 1296$.
साथ ही,$(\text{adj } A)^{-1} = \frac{1}{|\text{adj } A|} \text{adj}(\text{adj } A) = \frac{1}{36} A$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$1296 \times (\frac{1}{36} A) = kA$
$36 A = kA$
अतः,$k = 36$.

(C) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,गुणधर्म $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}$ सत्य है।
यहाँ,आव्यूह $A$ की कोटि $n = 3$ है और $\det(A) = 4$ है।
अतः,$\det(P) = \det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{3-1} = (4)^2 = 16$।
अब,आव्यूह $P = \begin{bmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{bmatrix}$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$\det(P) = 1(3 \times 4 - 3 \times 4) - \alpha(1 \times 4 - 3 \times 2) + 3(1 \times 4 - 3 \times 2)$
$\det(P) = 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$\det(P) = 0 - \alpha(-2) + 3(-2)$
$\det(P) = 2\alpha - 6$।
$\det(P)$ के दोनों मानों की तुलना करने पर:
$2\alpha - 6 = 16$
$2\alpha = 22$
$\alpha = 11$।
अतः,$\alpha$ का मान $11$ है।

(A) चरण $1$: आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \end{bmatrix}$ का सारणिक ज्ञात कीजिए।
$|A| = 1(6-9) - 1(3-6) + 2(3-4) = 1(-3) - 1(-3) + 2(-1) = -3 + 3 - 2 = -2$.
चूंकि $a = |adj(A)| = |A|^{n-1}$ जहाँ $n=3$ है,इसलिए $a = (-2)^{3-1} = (-2)^2 = 4$.
चरण $2$: आव्यूह $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & -4 \end{bmatrix}$ का सारणिक ज्ञात कीजिए।
$|B| = 1(12 - (-1)) - 2(-16 - (-2)) + 3(4 - (-6)) = 1(13) - 2(-14) + 3(10) = 13 + 28 + 30 = 71$.
चूंकि $b = |B^{-1}| = \frac{1}{|B|} = \frac{1}{71}$ है।
चरण $3$: $\frac{b+1}{18b}$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\frac{\frac{1}{71} + 1}{18 \times \frac{1}{71}} = \frac{\frac{72}{71}}{\frac{18}{71}} = \frac{72}{18} = 4$.
चूंकि $a = 4$ है,इसलिए उत्तर $a$ है।

(C) दिया गया है कि $A$ एक $n = 3$ कोटि का आव्यूह है और $B = A^{-1}$ है।
हम जानते हैं कि $\det B = \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A} = k$,इसलिए $\det A = \frac{1}{k}$ है।
एडजॉइंट के एडजॉइंट के लिए गुणधर्म $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = (\det A)^{n-2} A$ है।
यहाँ $n = 3$ है,इसलिए $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = (\det A)^{3-2} A = (\det A) A$ प्राप्त होता है।
$\det A = \frac{1}{k}$ रखने पर,$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = \frac{1}{k} A$ प्राप्त होता है।
अब,हमें व्युत्क्रम ज्ञात करना है: $(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A))^{-1} = (\frac{1}{k} A)^{-1}$।
गुणधर्म $(c A)^{-1} = \frac{1}{c} A^{-1}$ का उपयोग करने पर,$(\frac{1}{k} A)^{-1} = k A^{-1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A^{-1} = B$ है,इसलिए उत्तर $k B$ है।

(D) दिया गया है कि $A$ एक $4 \times 4$ आव्यूह है,इसलिए $n = 4$ है।
सहखंडज आव्यूह $P = \operatorname{adj}(A)$ है।
हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj}(A)| = |A|^{n-1}$,इसलिए $|P| = |A|^{4-1} = |A|^3$ है।
दिया गया है $|P| = |\frac{A}{2}|$। चूंकि $A$ एक $4 \times 4$ आव्यूह है,इसलिए $|\frac{A}{2}| = \frac{1}{2^4} |A| = \frac{1}{16} |A|$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $|A|^3 = \frac{1}{16} |A|$।
इसका अर्थ है $|A|^3 - \frac{1}{16} |A| = 0$,इसलिए $|A|(|A|^2 - \frac{1}{16}) = 0$।
चूंकि $|A| \neq 0$ ($A^{-1}$ का अस्तित्व है),इसलिए $|A|^2 = \frac{1}{16}$,जिससे $|A| = \pm \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{\pm 1/4} = \pm 4$।

(C) किसी भी वर्ग आव्यूह $B$ जिसकी कोटि $n$ है,के लिए सहखंडज आव्यूह (adjoint matrix) का गुणधर्म $|\operatorname{Adj}(B)| = |B|^{n-1}$ होता है।
दिए गए कारण $(R)$ में,यह कहा गया है कि $|\operatorname{Adj}(B)| = |B|^n$,जो गलत है क्योंकि घातांक $n-1$ होना चाहिए।
कथन $(A)$ के लिए,दिया गया है कि $B$ एक $3 \times 3$ आव्यूह $(n=3)$ है और $|B|=6$,इसलिए $|\operatorname{Adj}(B)| = |B|^{3-1} = |B|^2 = 6^2 = 36$ होगा।
अतः,कथन $(A)$ सत्य है,लेकिन कारण $(R)$ असत्य है।

(A) हम जानते हैं कि $\operatorname{Adj} A = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix}$,जहाँ $C_{ij}$ अवयव $a_{ij}$ का सहखंड (cofactor) है।
दिया गया है $\operatorname{Adj} A = \begin{bmatrix} 7 & -1 & -5 \\ -3 & 9 & 5 \\ 1 & -3 & 5 \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर:
$C_{11} = 7 \Rightarrow \begin{vmatrix} 2 & b \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 7 \Rightarrow 6 - b = 7 \Rightarrow b = -1$.
$C_{13} = 1 \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ c & 1 \end{vmatrix} = 1 \Rightarrow 1 - 2c = 1 \Rightarrow c = 0$.
$C_{33} = 5 \Rightarrow \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 5 \Rightarrow 2a - 1 = 5 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3$.
अतः,$a^2 + b^2 + c^2 = (3)^2 + (-1)^2 + (0)^2 = 9 + 1 + 0 = 10$.

(C) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $M$ के लिए,$M^{-1} = \frac{\operatorname{Adj}(M)}{\operatorname{det}(M)}$,जिसका अर्थ है $\operatorname{Adj}(M) = \operatorname{det}(M) \cdot M^{-1}$.
दिया गया व्यंजक $((\operatorname{det} A)(\operatorname{det} B)) B^{-1} A^{-1}$ है।
चूंकि $\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)$,हम व्यंजक को $\operatorname{det}(AB) \cdot (B^{-1} A^{-1})$ के रूप में लिख सकते हैं।
आव्यूह व्युत्क्रम के गुण का उपयोग करते हुए,$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ होता है।
इसलिए,व्यंजक $\operatorname{det}(AB) \cdot (AB)^{-1}$ हो जाता है।
एडजॉइंट आव्यूह की परिभाषा के अनुसार,यह $\operatorname{Adj}(AB)$ के बराबर है।

(C) आव्यूह $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करने के लिए,हम पहले $A$ के प्रत्येक अवयव का सहखंड (cofactor) ज्ञात करते हैं।
माना $C_{ij}$ अवयव $a_{ij}$ का सहखंड है।
$C_{11} = +((-6)(4) - (5)(0)) = -24$
$C_{12} = -((2)(4) - (5)(5)) = -(8 - 25) = 17$
$C_{13} = +((2)(0) - (-6)(5)) = 30$
$C_{21} = -((-2)(4) - (2)(0)) = -(-8) = 8$
$C_{22} = +((1)(4) - (2)(5)) = 4 - 10 = -6$
$C_{23} = -((1)(0) - (-2)(5)) = -(0 + 10) = -10$
$C_{31} = +((-2)(5) - (2)(-6)) = -10 + 12 = 2$
$C_{32} = -((1)(5) - (2)(2)) = -(5 - 4) = -1$
$C_{33} = +((1)(-6) - (-2)(2)) = -6 + 4 = -2$
सहखंड आव्यूह $C = \begin{bmatrix} -24 & 17 & 30 \\ 8 & -6 & -10 \\ 2 & -1 & -2 \end{bmatrix}$ है।
$A$ का सहखंडज,सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है,$\operatorname{Adj} A = C^T = \begin{bmatrix} -24 & 8 & 2 \\ 17 & -6 & -1 \\ 30 & -10 & -2 \end{bmatrix}$।

(B) सबसे पहले,हम आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1((-1)(1) - (3)(2)) - (-3)((-2)(-1) - (3)(3)) + 2((-2)(2) - (1)(3))$
$|A| = 1(-1 - 6) + 3(2 - 9) + 2(-4 - 3)$
$|A| = 1(-7) + 3(-7) + 2(-7) = -7 - 21 - 14 = -42$.
हम जानते हैं कि $A \cdot \operatorname{Adj} A = |A| I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
इसलिए,$A^2 \operatorname{Adj} A = A(A \operatorname{Adj} A) = A(|A| I) = |A| A$.
$|A|$ का मान रखने पर,हमें $A^2 \operatorname{Adj} A = -42 A$ प्राप्त होता है।

(A) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है। किसी आव्यूह का सहखंडज उसके सहखंड (cofactor) आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है।
सबसे पहले,हम आव्यूह $A$ के सहखंड $C_{ij}$ की गणना करते हैं:
$C_{11} = (-1)^{1+1}(3 \times 2 - 1 \times 1) = 5$
$C_{12} = (-1)^{1+2}(2 \times 2 - 3 \times 1) = -1$
$C_{13} = (-1)^{1+3}(2 \times 1 - 3 \times 3) = -7$
$C_{21} = (-1)^{2+1}(2 \times 2 - 3 \times 1) = -1$
$C_{22} = (-1)^{2+2}(1 \times 2 - 3 \times 3) = -7$
$C_{23} = (-1)^{2+3}(1 \times 1 - 3 \times 2) = 5$
$C_{31} = (-1)^{3+1}(2 \times 1 - 3 \times 3) = -7$
$C_{32} = (-1)^{3+2}(1 \times 1 - 2 \times 3) = 5$
$C_{33} = (-1)^{3+3}(1 \times 3 - 2 \times 2) = -1$
सहखंड आव्यूह $\begin{bmatrix} 5 & -1 & -7 \\ -1 & -7 & 5 \\ -7 & 5 & -1 \end{bmatrix}$ है।
सहखंडज इस आव्यूह का परिवर्त है: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & -1 & -7 \\ -1 & -7 & 5 \\ -7 & 5 & -1 \end{bmatrix}$।
इसकी तुलना $\begin{bmatrix} 5 & a & -7 \\ b & -7 & c \\ -7 & d & -1 \end{bmatrix}$ से करने पर,हमें $a = -1, b = -1, c = 5, d = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b+c+d = -1 - 1 + 5 + 5 = 8$।

(B) माना $A$ एक $n \times n$ ऊपरी-त्रिभुजीय आव्यूह है,जहाँ $i > j$ के लिए $a_{ij} = 0$ है।
आव्यूह $A$ का सहखंडज (adjoint),जिसे $adj(A)$ द्वारा दर्शाया जाता है,सहखंड आव्यूह $C = [C_{ij}]$ का परिवर्त (transpose) है।
एक ऊपरी-त्रिभुजीय आव्यूह के लिए,सहखंड $C_{ij}$ शून्य होता है यदि $i > j$ हो।
विशेष रूप से,सहखंड आव्यूह $C$ एक निचला-त्रिभुजीय आव्यूह होगा क्योंकि विकर्ण के ऊपर के तत्व उन उप-आव्यूहों के सारणिक हैं जिनमें कम से कम एक पंक्ति या स्तंभ शून्य होता है।
चूँकि $adj(A) = C^T$,एक निचले-त्रिभुजीय आव्यूह का परिवर्त एक ऊपरी-त्रिभुजीय आव्यूह होता है।
अतः,$adj(A)$ एक ऊपरी-त्रिभुजीय आव्यूह है।

(C) हमारे पास $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक की गणना करने पर,$|A| = \cos \alpha(\cos \alpha - 0) - (-\sin \alpha)(\sin \alpha - 0) + 0 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n=3$ आव्यूह की कोटि है।
अतः,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2 = (1)^2 = 1$.
साथ ही,हम जानते हैं कि $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-2} A$ गुणधर्म होता है।
इस प्रकार,$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{3-2} A = |A| A = 1 \cdot A = A$.
अब,आव्यूह के व्युत्क्रम के सूत्र का उपयोग करते हुए,$(\operatorname{adj} A)^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)}{|\operatorname{adj} A|}$।
मान रखने पर,$(\operatorname{adj} A)^{-1} = \frac{A}{1} = A$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के एक वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज का सहखंडज $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-2} A$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n=3$ और $|A|=2$ दिया गया है,इसलिए $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{3-2} A = |A| A = 2A$ होगा।
अब,हमें इस आव्यूह का सारणिक ज्ञात करना है: $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| = |2A| = 2^n |A| = 2^3 \times 2 = 8 \times 2 = 16$.
अब,हम गुणनफल की गणना करते हैं: $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = 16 \times (2A) = 32A$.
अतः,विकल्प $(a)$ सही है।

(D) दिया है,$A = \begin{bmatrix} k/2 & 0 & 0 \\ 0 & l/3 & 0 \\ 0 & 0 & m/4 \end{bmatrix}$ और $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A A^{-1} = I$,हमारे पास है:
$\begin{bmatrix} k/2 & 0 & 0 \\ 0 & l/3 & 0 \\ 0 & 0 & m/4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
विकर्ण तत्वों का गुणा करने पर:
$\begin{bmatrix} k/4 & 0 & 0 \\ 0 & l/9 & 0 \\ 0 & 0 & m/16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
संगत तत्वों की तुलना करने पर:
$k/4 = 1 \implies k = 4$.
$l/9 = 1 \implies l = 9$.
$m/16 = 1 \implies m = 16$.
अतः,$k+l+m = 4 + 9 + 16 = 29$.

(A) $n=3$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज (adjoint) आव्यूह का गुणधर्म $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$ होता है।
$n=3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ प्राप्त होता है।
यदि $|A|=0$,तो $|\operatorname{Adj} A| = 0^2 = 0$ होता है। अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए,हम जानते हैं कि $A \cdot A^{-1} = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|A \cdot A^{-1}| = |I|$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|AB| = |A||B|$ का उपयोग करते हुए,$|A| \cdot |A^{-1}| = 1$ मिलता है।
चूँकि $|A| \neq 0$,हम $|A|$ से विभाजित कर सकते हैं,जिसके परिणामस्वरूप $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = |A|^{-1}$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $II$ सत्य है।
इसलिए,कथन $I$ और $II$ दोनों सही हैं।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,$\operatorname{Adj}(A) = |A| A^{-1}$ होता है।
दिया गया है कि $P$ और $Q$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं,इसलिए उनका गुणनफल $QP$ भी एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
अतः,$\operatorname{Adj}(QP) = |QP| (QP)^{-1}$ होगा।
सारणिक के गुणों का उपयोग करते हुए,$|QP| = |Q||P| = |P||Q|$ होता है।
व्युत्क्रम आव्यूह के गुण के अनुसार,$(QP)^{-1} = P^{-1} Q^{-1}$ होता है।
इस प्रकार,$\operatorname{Adj}(QP) = |P||Q| P^{-1} Q^{-1}$ प्राप्त होता है।
ध्यान दें कि $\operatorname{Adj}(Q) = |Q| Q^{-1}$ और $\operatorname{Adj}(P) = |P| P^{-1}$ है।
इनका गुणा करने पर,$\operatorname{Adj}(Q) \operatorname{Adj}(P) = (|Q| Q^{-1}) (|P| P^{-1}) = |Q||P| Q^{-1} P^{-1}$ मिलता है।
सामान्यतः $\operatorname{Adj}(QP) = \operatorname{Adj}(P) \operatorname{Adj}(Q)$ सही सर्वसमिका है।

(B) सबसे पहले,आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = 1(3 \times 8 - 4 \times 6) - 2(2 \times 8 - 4 \times 5) + 3(2 \times 6 - 3 \times 5) = 1(24 - 24) - 2(16 - 20) + 3(12 - 15) = 0 - 2(-4) + 3(-3) = 8 - 9 = -1$.
इसके बाद,आव्यूह $B$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|B| = 3(3 \times 9 - 8 \times 2) - 2(2 \times 9 - 8 \times 7) + 5(2 \times 2 - 3 \times 7) = 3(27 - 16) - 2(18 - 56) + 5(4 - 21) = 3(11) - 2(-38) + 5(-17) = 33 + 76 - 85 = 24$.
गुणधर्म $|AB| = |A| \times |B|$ का उपयोग करते हुए,हमें $|AB| = (-1) \times 24 = -24$ प्राप्त होता है।
$n \times n$ कोटि के आव्यूह $M$ के लिए,$|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ होता है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $|\operatorname{Adj}(AB)| = |AB|^{3-1} = |AB|^2$.
$|\operatorname{Adj}(AB)| = (-24)^2 = 576$.
चूंकि $576 = 24^2$,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(A) सबसे पहले,हम $|A - \lambda I| = 0$ का उपयोग करके आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण ज्ञात करते हैं।
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & -2 \\ 2 & -1-\lambda & 2 \\ -1 & 1 & -2-\lambda \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $(1-\lambda)[(-1-\lambda)(-2-\lambda) - 2] - 2[2(-2-\lambda) - (-2)] - 2[2 - (-1)(-1-\lambda)] = 0$.
$(1-\lambda)[\lambda^2 + 3\lambda + 2 - 2] - 2[-4 - 2\lambda + 2] - 2[2 - 1 - \lambda] = 0$.
$(1-\lambda)(\lambda^2 + 3\lambda) - 2(-2\lambda - 2) - 2(1 - \lambda) = 0$.
$\lambda^2 + 3\lambda - \lambda^3 - 3\lambda^2 + 4\lambda + 4 - 2 + 2\lambda = 0$.
$-\lambda^3 - 2\lambda^2 + 9\lambda + 2 = 0 \implies \lambda^3 + 2\lambda^2 - 9\lambda - 2 = 0$.
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^3 + 2A^2 - 9A - 2I = 0$.
$A^{-1}$ से गुणा करने पर: $A^2 + 2A - 9I - 2A^{-1} = 0$.
अतः,$2A^{-1} = A^2 + 2A - 9I$.
अब $A + 2A^{-1} = A + A^2 + 2A - 9I = A^2 + 3A - 9I$.
$A^2$ की गणना करने पर: $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -2 & 6 \\ -2 & 7 & -10 \\ 3 & -5 & 8 \end{bmatrix}$.
$A^2 + 3A - 9I = \begin{bmatrix} 7 & -2 & 6 \\ -2 & 7 & -10 \\ 3 & -5 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 6 & -6 \\ 6 & -3 & 6 \\ -3 & 3 & -6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 4 & -5 & -4 \\ 0 & -2 & -7 \end{bmatrix}$.

(A) सबसे पहले,हम $S$ का व्युत्क्रम (inverse) ज्ञात करते हैं। सारणिक $|S| = 0(0-1) - 1(0-1) + 1(1-0) = 1 + 1 = 2$ है।
$S$ का सहखंडज (adjugate) $\text{adj}(S) = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$S^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ है।
इसके बाद,हम $SA$ की गणना करते हैं: $SA = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b+c & c-a & b-a \\ c-b & c+a & a-b \\ b-c & a-c & a+b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} S$ है।
इसलिए,$SAS^{-1} = (SA)S^{-1} = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} S S^{-1} = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} I = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} -\cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & -\cot \theta \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (-\cot \theta)(-\cot \theta) - (\operatorname{cosec} \theta)(\operatorname{cosec} \theta) = \cot^2 \theta - \operatorname{cosec}^2 \theta = -1$ की गणना करें।
अब,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A) = -1 \begin{bmatrix} -\cot \theta & -\operatorname{cosec} \theta \\ -\operatorname{cosec} \theta & -\cot \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & \cot \theta \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
$A^{-1} = A$ के लिए:
$\begin{bmatrix} \cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & \cot \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & -\cot \theta \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $\cot \theta = -\cot \theta$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2 \cot \theta = 0$,इसलिए $\cot \theta = 0$। यह $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$ पर होता है।
$A^{-1} + A = O$ के लिए:
$\begin{bmatrix} \cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & \cot \theta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -\cot \theta & \operatorname{cosec} \theta \\ \operatorname{cosec} \theta & -\cot \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \operatorname{cosec} \theta \\ 2 \operatorname{cosec} \theta & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
इसका अर्थ है $2 \operatorname{cosec} \theta = 0$,जिसका अर्थ है $\operatorname{cosec} \theta = 0$। चूँकि $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$,यह किसी भी वास्तविक $\theta$ के लिए कभी शून्य नहीं हो सकता। अतः,ऐसी $\theta_2$ का अस्तित्व नहीं है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$।
अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
$(1-\lambda) [-\lambda(1-\lambda) - 1] = 0$
$(1-\lambda) [-\lambda + \lambda^2 - 1] = 0$
$-\lambda + \lambda^2 - 1 + \lambda^2 - \lambda^3 + \lambda = 0$
$\lambda^3 - 2\lambda^2 + 1 = 0$
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है:
$A^3 - 2A^2 + I = 0$
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^3 A^{-1} - 2A^2 A^{-1} + I A^{-1} = 0$
$A^2 - 2A + A^{-1} = 0$
$A^{-1} = 2A - A^2$.

(B) दिया गया है $A = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & -2 & 6 \\ -6 & -3 & 2 \\ -2 & 6 & 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $AA^T$ की गणना करके जांचते हैं कि क्या $A$ एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है।
$A^T = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & -6 & -2 \\ -2 & -3 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
$AA^T = \frac{1}{49} \begin{bmatrix} 3 & -2 & 6 \\ -6 & -3 & 2 \\ -2 & 6 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -6 & -2 \\ -2 & -3 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
गुणनफल की गणना करने पर:
पंक्ति $1 \times$ स्तंभ $1 = (3)(3) + (-2)(-2) + (6)(6) = 9 + 4 + 36 = 49$.
पंक्ति $1 \times$ स्तंभ $2 = (3)(-6) + (-2)(-3) + (6)(2) = -18 + 6 + 12 = 0$.
पंक्ति $1 \times$ स्तंभ $3 = (3)(-2) + (-2)(6) + (6)(3) = -6 - 12 + 18 = 0$.
इसी प्रकार,सभी विकर्ण के अलावा अन्य तत्व $0$ प्राप्त होते हैं और विकर्ण तत्व $49$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$AA^T = \frac{1}{49} (49I) = I$.
चूंकि $AA^T = I$,इसलिए $A^{-1} = A^T$ होता है।

(C) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = (\sin \alpha)(\sin \alpha) - (-\cos \alpha)(\cos \alpha) = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
इसके बाद,हम $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करते हैं:
$\text{Adj } A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
चूंकि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj } A$,इसलिए:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
अब,$A + A^{-1}$ की गणना करते हैं:
$A + A^{-1} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \sin \alpha & 0 \\ 0 & 2 \sin \alpha \end{bmatrix}$.
दिया गया है कि $A + A^{-1} = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,इसलिए संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$2 \sin \alpha = 1 \implies \sin \alpha = \frac{1}{2}$.
अतः,$\alpha = \frac{\pi}{6}$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ और $B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,गुणनफल $M = A B^{-1}$ की गणना करें:
$M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$।
अब,व्युत्क्रम $M^{-1} = (A B^{-1})^{-1}$ ज्ञात करें।
सारणिक $|M| = (1)(0) - (5)(-2) = 10$ है।
सहखंडज $\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} 0 & -5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{adj}(M) = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 0 & -5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \end{bmatrix}$।
इसकी तुलना $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ से करने पर,हमें $a = 0, b = -\frac{1}{2}, c = \frac{1}{5}, d = \frac{1}{10}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$2b + 5c + 10d$ की गणना करें:
$2(-\frac{1}{2}) + 5(\frac{1}{5}) + 10(\frac{1}{10}) = -1 + 1 + 1 = 1$।

(A) दिया गया लाक्षणिक समीकरण $A^3-6A^2+11A-6I=0$ है।
$A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,पूरे समीकरण को $A^{-1}$ से गुणा करें:
$A^{-1}(A^3-6A^2+11A-6I) = A^{-1}(0)$
$A^2-6A+11I-6A^{-1} = 0$
$A^{-1}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$6A^{-1} = A^2-6A+11I$
$A^{-1} = \frac{1}{6}(A^2-6A+11I)$

(C) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 1(1 - (-3)) - (-1)(2 - (-3)) + 1(2 - 1)$
$|A| = 1(4) + 1(5) + 1(1) = 4 + 5 + 1 = 10$.
इसके बाद,हम $A$ का सहखंडज आव्यूह (cofactor matrix) $C$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = (1 - (-3)) = 4, C_{12} = -(2 - (-3)) = -5, C_{13} = (2 - 1) = 1$
$C_{21} = -(-1 - 1) = 2, C_{22} = (1 - 1) = 0, C_{23} = -(1 - (-1)) = -2$
$C_{31} = (3 - 1) = 2, C_{32} = -(-3 - 2) = 5, C_{33} = (1 - (-2)) = 3$.
अतः,$Adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
चूंकि $B = A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A)$,इसलिए $10 B = Adj(A)$.
$10 B = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ और $Adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ की तुलना करने पर,हमें $\alpha = 5$ प्राप्त होता है।

(B) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & \tan \theta \\ -\tan \theta & 1 \end{bmatrix}$.
तब,$|A| = (1)(1) - (\tan \theta)(-\tan \theta) = 1 + \tan^2 \theta$.
$A$ का सहखंडज (adjoint) $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix}$ है।
हम जानते हैं कि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix}$.
दिया गया समीकरण: $\begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix} A^{-1} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
$A^{-1}$ का मान रखने पर: $\begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \begin{bmatrix} 1 & -\tan \theta \\ \tan \theta & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
आव्यूहों का गुणा करने पर: $\frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \begin{bmatrix} 1 - \tan^2 \theta & -2 \tan \theta \\ 2 \tan \theta & 1 - \tan^2 \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
इसका सरलीकरण: $\begin{bmatrix} \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} & \frac{-2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \\ \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} & \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos 2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ और $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर: $\begin{bmatrix} \cos 2 \theta & -\sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $a = \cos 2 \theta$ और $b = \sin 2 \theta$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $n \times n$ आव्यूह $M$ के लिए $\operatorname{det}(kM) = k^n \operatorname{det}(M)$ और $\operatorname{det}(XY) = \operatorname{det}(X) \operatorname{det}(Y)$ होता है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 0 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
$|A| = 2(6 - 0) - 1(-3 - 0) + 3(-1 - 8) = 12 + 3 - 27 = -12$.
दिया गया है $B = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
$|B| = 3(0 - 3) - 2(0 - 9) + 1(1 - 6) = -9 + 18 - 5 = 4$.
हमें $\operatorname{det}(2 B^{-1} A^{-1})$ ज्ञात करना है।
चूँकि $A$ और $B$ $3 \times 3$ आव्यूह हैं,$\operatorname{det}(2 B^{-1} A^{-1}) = 2^3 \operatorname{det}(B^{-1}) \operatorname{det}(A^{-1})$ होगा।
गुणधर्म $\operatorname{det}(M^{-1}) = \frac{1}{\operatorname{det}(M)}$ का उपयोग करने पर:
$\operatorname{det}(2 B^{-1} A^{-1}) = 8 \times \frac{1}{\operatorname{det}(B)} \times \frac{1}{\operatorname{det}(A)}$.
मान रखने पर:
$= 8 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{-12} = 2 \times \left(-\frac{1}{12}\right) = -\frac{1}{6}$.

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a+ib & c+id \\ -c+id & a-ib \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = (a+ib)(a-ib) - (c+id)(-c+id) = (a^2+b^2) - (-(c^2+d^2)) = a^2+b^2+c^2+d^2$.
हम जानते हैं कि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$.
$A$ का सहखंडज (adjoint) विकर्ण तत्वों को आपस में बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर प्राप्त किया जाता है:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} a-ib & -c-id \\ c-id & a+ib \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2} \begin{bmatrix} a-ib & -c-id \\ c-id & a+ib \end{bmatrix}$.
इसकी तुलना दिए गए $A^{-1} = \begin{bmatrix} a+ib & -c-id \\ -c+id & a-ib \end{bmatrix}$ से करने पर,हम देखते हैं कि समानता बनाए रखने के लिए सारणिक $|A|$ का मान $1$ होना चाहिए।
इसलिए,$a^2+b^2+c^2+d^2 = 1$.

(D) दिया गया है $Q = A^{-1}$।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करें:
$|A| = 1(1 - (-3)) - (-1)(2 - (-3)) + 1(2 - 1)$
$|A| = 1(4) + 1(5) + 1(1) = 4 + 5 + 1 = 10$.
अब,सहखंडज (cofactor) आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करें:
$C_{11} = +(1+3) = 4, C_{12} = -(2+3) = -5, C_{13} = +(2-1) = 1$
$C_{21} = -(-1-1) = 2, C_{22} = +(1-1) = 0, C_{23} = -(1+1) = -2$
$C_{31} = +(3-1) = 2, C_{32} = -(-3-2) = 5, C_{33} = +(1+2) = 3$
अतः,$\text{Adj } A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$।
चूँकि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj } A$,हमारे पास है:
$Q = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$।
$10$ से गुणा करने पर,$10Q = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$।
दिए गए $10Q = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & x \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ से तुलना करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(C) दिया गया विकर्ण आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ है।
एक विकर्ण आव्यूह के लिए,$A^n = \begin{bmatrix} 3^n & 0 & 0 \\ 0 & 5^n & 0 \\ 0 & 0 & 4^n \end{bmatrix}$ होता है।
इसलिए,$B = A^3 = \begin{bmatrix} 3^3 & 0 & 0 \\ 0 & 5^3 & 0 \\ 0 & 0 & 4^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 0 & 0 \\ 0 & 125 & 0 \\ 0 & 0 & 64 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
एक विकर्ण आव्यूह $D = \text{diag}(d_1, d_2, d_3)$ का व्युत्क्रम $D^{-1} = \text{diag}(\frac{1}{d_1}, \frac{1}{d_2}, \frac{1}{d_3})$ होता है।
अतः,$B^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{27} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{125} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{64} \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(B) $n$ क्रम के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:
$1$. $A$ व्युत्क्रमणीय है।
$2$. एक आव्यूह $B$ मौजूद है जैसे कि $AB = I_n$।
$3$. एक आव्यूह $C$ मौजूद है जैसे कि $CA = I_n$।
यदि $AB = I_3$ है,तो दाईं ओर $A^{-1}$ से गुणा करने पर $A = I_3 B^{-1}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B = A^{-1}$।
इसी प्रकार,यदि $CA = I_3$ है,तो $C = A^{-1}$।
अतः,$B = C = A^{-1}$।
चूंकि तीनों कथन समतुल्य हैं,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-25x+24=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2-x-24x+24=0 \Rightarrow x(x-1)-24(x-1)=0 \Rightarrow (x-1)(x-24)=0$.
अतः,मूल $x=1$ और $x=24$ हैं।
चूंकि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसलिए $|A| \neq 0$.
स्थिति $1$: यदि $k=1$ है,तो $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$.
$|A| = 1(2-3) - 2(3-3) + 1(3-2) = -1 - 0 + 1 = 0$.
चूंकि $|A|=0$,इसलिए $k=1$ संभव नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $k=24$ है,तो $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 24\end{array}\right]$.
$|A| = 1(48-3) - 2(72-3) + 1(3-2) = 45 - 138 + 1 = -92$.
अब,$A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें:
$C_{11} = 45, C_{12} = -69, C_{13} = 1$
$C_{21} = -47, C_{22} = 23, C_{23} = 1$
$C_{31} = 4, C_{32} = 0, C_{33} = -4$
$\text{adj } A = \left[\begin{array}{ccc}45 & -47 & 4 \\ -69 & 23 & 0 \\ 1 & 1 & -4\end{array}\right]$.
इसलिए,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{-92} \left[\begin{array}{ccc}45 & -47 & 4 \\ -69 & 23 & 0 \\ 1 & 1 & -4\end{array}\right] = -\frac{1}{92} \left[\begin{array}{ccc}45 & -47 & 4 \\ -69 & 23 & 0 \\ 1 & 1 & -4\end{array}\right]$.

(B) एक वर्ग आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A-\lambda I|=0$ द्वारा दिया जाता है।
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & -2 \\ -2 & -1-\lambda & 2 \\ 3 & 4 & 1-\lambda \end{vmatrix}=0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(1-\lambda)[(-1-\lambda)(1-\lambda)-8] - 2[-8 - 3(-1-\lambda)] = 0$
$(1-\lambda)[-(1-\lambda^2)-8] - 2[-8 + 3 + 3\lambda] = 0$
$(1-\lambda)(\lambda^2-9) - 2(3\lambda-5) = 0$
$\lambda^2 - 9 - \lambda^3 + 9\lambda - 6\lambda + 10 = 0$
$-\lambda^3 + \lambda^2 + 3\lambda + 1 = 0 \Rightarrow \lambda^3 - \lambda^2 - 3\lambda - 1 = 0$
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है:
$A^3 - A^2 - 3A - I = 0$
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^{-1}(A^3 - A^2 - 3A - I) = 0$
$A^2 - A - 3I - A^{-1} = 0$
$A^{-1} = A^2 - A - 3I$