Adjoint and inverse of matrices Questions in Hindi

(C) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $M$ के लिए,$\operatorname{adj}(M) = |M| M^{-1}$ होता है।
माना $M = Q^{-1} B P^{-1}$ है।
तब $\operatorname{adj}(M) = |Q^{-1} B P^{-1}| (Q^{-1} B P^{-1})^{-1}$ होगा।
सारणिक के गुणों $|XY| = |X||Y|$ और $|X^{-1}| = \frac{1}{|X|}$ का उपयोग करने पर,हमें $|Q^{-1} B P^{-1}| = |Q^{-1}| |B| |P^{-1}| = \frac{1}{|Q|} |B| \frac{1}{|P|}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|P| = 1$ और $|Q| = 1$ है,इसलिए $|Q^{-1} B P^{-1}| = |B|$ होगा।
अब,व्युत्क्रम की गणना करने पर: $(Q^{-1} B P^{-1})^{-1} = (P^{-1})^{-1} B^{-1} (Q^{-1})^{-1} = P B^{-1} Q$ प्राप्त होता है।
इन मानों को एड्जॉइंट के सूत्र में रखने पर:
$\operatorname{adj}(Q^{-1} B P^{-1}) = |B| P B^{-1} Q$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\operatorname{adj} B = |B| B^{-1} = A$ है,इसलिए हम $|B| B^{-1}$ के स्थान पर $A$ प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,$\operatorname{adj}(Q^{-1} B P^{-1}) = P A Q$ होगा।

(B) हम जानते हैं कि $3 \times 3$ आव्यूह $A$ के लिए,इसके सहखंडज आव्यूह का सारणिक $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $\det(P) = (\det(A))^{3-1} = (\det(A))^2$.
दिया गया है कि $\det(A) = 4$,इसलिए $\det(P) = 4^2 = 16$.
अब,आव्यूह $P = \begin{bmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{bmatrix}$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$\det(P) = 1(3 \times 4 - 3 \times 4) - \alpha(1 \times 4 - 3 \times 2) + 3(1 \times 4 - 3 \times 2)$
$\det(P) = 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$\det(P) = 0 - \alpha(-2) + 3(-2) = 2\alpha - 6$.
दोनों मानों की तुलना करने पर: $2\alpha - 6 = 16$.
$2\alpha = 22 \Rightarrow \alpha = 11$.

(C) हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $M$ के लिए,परिवर्त का सहखंडज (adjoint),सहखंडज के परिवर्त के बराबर होता है।
अर्थात,$\text{adj}(M^{\prime}) = (\text{adj } M)^{\prime}$।
इसलिए,$\text{adj}(M^{\prime}) - (\text{adj } M)^{\prime} = (\text{adj } M)^{\prime} - (\text{adj } M)^{\prime} = O$,जहाँ $O$ एक शून्य आव्यूह है।

(C) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के एक वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,इसके सहखंडज आव्यूह का सारणिक $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $n = 3$ है।
अतः,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा।
दिया गया है कि $|B| = |\operatorname{adj} A| = 64$ है।
इसलिए,$|A|^2 = 64$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|A| = \pm \sqrt{64} = \pm 8$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $X$,$5 \times 1$ कोटि का एक स्तंभ सदिश है जहाँ सभी तत्व $1$ हैं,अर्थात $X = [1, 1, 1, 1, 1]^T$।
यह दिया गया है कि $P$ की प्रत्येक पंक्ति के तत्वों का योग $1$ है,जिसे हम $PX = X$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $P$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसलिए $P^{-1}$ का अस्तित्व है।
दोनों पक्षों को $P^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $P^{-1}(PX) = P^{-1}X$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $(P^{-1}P)X = P^{-1}X$ हो जाता है,जो $IX = P^{-1}X$ है।
अतः,$P^{-1}X = X$।
यह दर्शाता है कि $P^{-1}$ की प्रत्येक पंक्ति के तत्वों का योग भी $1$ है।

(C) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $I_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
तब $A-3I_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}$.
यह जाँचने के लिए कि क्या आव्यूह व्युत्क्रमणीय है,हम इसका सारणिक ज्ञात करते हैं:
$\det(A-3I_{3}) = -2((-2)(-2) - (1)(1)) - 1((1)(-2) - (1)(1)) + 1((1)(1) - (-2)(1))$
$\det(A-3I_{3}) = -2(4-1) - 1(-2-1) + 1(1+2)$
$\det(A-3I_{3}) = -2(3) - 1(-3) + 1(3) = -6 + 3 + 3 = 0$.
चूँकि आव्यूह का सारणिक $0$ है,इसलिए आव्यूह $A-3I_{3}$ अव्युत्क्रमणीय (non-invertible) है।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -4 & -1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = (1)(-1) - (2)(-4) = -1 + 8 = 7$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adjoint) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$।
व्युत्क्रम आव्यूह का सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ है।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$।

(B) दिया गया समीकरण $AB = 3I$ है,जहाँ $A$ और $B$ समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं और $I$ तत्समक आव्यूह है।
$A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण के दोनों पक्षों को बाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}(3I)$
आव्यूह गुणन के साहचर्य नियम का उपयोग करने पर:
$(A^{-1}A)B = 3(A^{-1}I)$
चूँकि $A^{-1}A = I$ और $A^{-1}I = A^{-1}$,समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$IB = 3A^{-1}$
$B = 3A^{-1}$
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \frac{1}{3}B$

(B) दिया गया समीकरण $A^2-A+I=0$ है।
हम इसे $A^2-A = -I$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों को दाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $(A^2-A)A^{-1} = -I \cdot A^{-1}$ प्राप्त होता है।
यह $A^2 A^{-1} - A A^{-1} = -A^{-1}$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $A A^{-1} = I$,इसलिए हमारे पास $A I - I = -A^{-1}$ है।
इससे $A - I = -A^{-1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $A^{-1} = I - A$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $q_{ij} = 2^{(i+j-1)}p_{ij}$। आव्यूह $Q$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$Q = \begin{bmatrix} 2^1 p_{11} & 2^2 p_{12} & 2^3 p_{13} \\ 2^2 p_{21} & 2^3 p_{22} & 2^4 p_{23} \\ 2^3 p_{31} & 2^4 p_{32} & 2^5 p_{33} \end{bmatrix}$
प्रत्येक पंक्ति से उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने पर:
$\det(Q) = (2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3) \begin{vmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ 2 p_{21} & 2 p_{22} & 2 p_{23} \\ 2^2 p_{31} & 2^2 p_{32} & 2^2 p_{33} \end{vmatrix} = 2^6 \cdot (1 \cdot 2 \cdot 2^2) \det(P) = 2^6 \cdot 2^3 \det(P) = 2^9 \det(P)$
दिया गया है $\det(Q) = 2^{10}$,इसलिए $2^9 \det(P) = 2^{10} \implies \det(P) = 2$।
हम जानते हैं कि $\det(\text{adj}(\text{adj } P)) = \det(P)^{(n-1)^2}$,जहाँ $n=3$ है।
$\det(\text{adj}(\text{adj } P)) = \det(P)^{(3-1)^2} = \det(P)^4 = 2^4 = 16$।

(D) सबसे पहले,समाकल्य को सरल करें: $f(x) = \int \frac{x^{18}(7x^{-8} + 9x^{-10})}{(x^9(x^{-9} + x^{-7} + 2))^2} dx = \int \frac{7x^{-8} + 9x^{-10}}{(x^{-9} + x^{-7} + 2)^2} dx$.
मान लीजिए $t = x^{-9} + x^{-7} + 2$,तो $dt = (-9x^{-10} - 7x^{-8}) dx$,इसलिए $-(7x^{-8} + 9x^{-10}) dx = dt$.
अतः,$f(x) = \int -t^{-2} dt = t^{-1} + C = \frac{1}{x^{-9} + x^{-7} + 2} + C = \frac{x^9}{1 + x^2 + 2x^9} + C$.
दिया है कि $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$,इसलिए $C = 0$ प्राप्त होता है। साथ ही $f(1) = \frac{1}{1+1+2} = \frac{1}{4}$,जो सुसंगत है।
अब,$f'(x) = \frac{9x^8(1+x^2+2x^9) - x^9(2x + 18x^8)}{(1+x^2+2x^9)^2}$.
$x=1$ पर,$f'(1) = \frac{9(4) - 1(20)}{4^2} = \frac{36-20}{16} = 1$.
आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1/4 & 1 & 1 \\ \alpha^2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$.
$|A| = 1(\frac{1}{4} \times 4 - \alpha^2 \times 1) = 1 - \alpha^2$.
दिया है कि $|B| = |\text{adj}(\text{adj } A)| = |A|^{(n-1)^2} = |A|^4 = 81$,इसलिए $|A| = \pm 3$.
$1 - \alpha^2 = 3 \Rightarrow \alpha^2 = -2$ (संभव नहीं) या $1 - \alpha^2 = -3 \Rightarrow \alpha^2 = 4$.

(B) दिया गया है कि $A+A^T=O$,अतः $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है। मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix}$ है।
$A\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ से,हमें प्राप्त होता है:
$-a = 3 \Rightarrow a = -3$
$-b+c = 2$
$3a + 2b = -3 \Rightarrow 3(-3) + 2b = -3 \Rightarrow 2b = 6 \Rightarrow b = 3$.
तब $c = 2+b = 5$.
अतः,$A = \begin{bmatrix} 0 & -3 & 3 \\ 3 & 0 & 5 \\ -3 & -5 & 0 \end{bmatrix}$ है।
तब $A+I = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 3 & 1 & 5 \\ -3 & -5 & 1 \end{bmatrix}$ है।
$|A+I| = 1(1+25) + 3(3+15) + 3(-15+3) = 26 + 54 - 36 = 44$.
हमें $\det(\text{adj}(2\text{adj}(A+I)))$ ज्ञात करना है।
चूँकि $A+I$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,$\text{adj}(A+I)$ भी $3 \times 3$ है।
$\det(2\text{adj}(A+I)) = 2^3 |\text{adj}(A+I)| = 8 |A+I|^2 = 8(44)^2$.
तब $\det(\text{adj}(2\text{adj}(A+I))) = (8 \cdot 44^2)^2 = (2^3 \cdot (2^2 \cdot 11)^2)^2 = (2^3 \cdot 2^4 \cdot 11^2)^2 = (2^7 \cdot 11^2)^2 = 2^{14} \cdot 11^4$.
$(2)^\alpha \cdot (3)^\beta \cdot (11)^\gamma$ से तुलना करने पर,$\alpha=14, \beta=0, \gamma=4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha+\beta+\gamma = 14+0+4 = 18$।

(C) हम जानते हैं कि आव्यूह के सहखंडज (adjoint) का मूल गुणधर्म $(\text{adj} A) \cdot A = |A|I$ है,जहाँ $I$,$3 \times 3$ क्रम का तत्समक आव्यूह (identity matrix) है।
दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमें $|(\text{adj} A) \cdot A| = ||A|I|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|A|$ एक अदिश (scalar) है,हम $|kA| = k^n|A|$ गुणधर्म का उपयोग करते हैं,जहाँ $n$ आव्यूह का क्रम है।
यहाँ $n = 3$ है,इसलिए $|(\text{adj} A) \cdot A| = |A|^3 |I|$ होगा।
चूंकि तत्समक आव्यूह का सारणिक $|I| = 1$ होता है,इसलिए $|(\text{adj} A) \cdot A| = |A|^3 \times 1 = |A|^3$ प्राप्त होता है।

(B) एक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}$,सारणिक $|A| = (2)(-4) - (3)(1) = -8 - 3 = -11$ है।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/11 & 3/11 \\ 1/11 & -2/11 \end{bmatrix}$ है।
इसे दिए गए $A^{-1} = \begin{bmatrix} a & 3/11 \\ 1/11 & b \end{bmatrix}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 4/11$ और $b = -2/11$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a+b = 4/11 + (-2/11) = 2/11$।

(D) सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें: $\det(A) = 1(0-3) - 1(-10-1) + 2(-6-0) = -3 + 11 - 12 = -4$.
$n \times n$ आव्यूह के लिए $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M)^{n-2} M$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यहाँ $n=3$ है,इसलिए $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M) M$ होगा।
मान लीजिए $M = 2(\text{adj} A)^{-1}$ है। चूँकि $\text{adj} A = \det(A) A^{-1}$ होता है,इसलिए $M = 2(\det(A) A^{-1})^{-1} = 2 \det(A)^{-1} A = 2(-4)^{-1} A = -\frac{1}{2} A$ होगा।
तब $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M) M = \det(-\frac{1}{2} A) (-\frac{1}{2} A) = (-\frac{1}{2})^3 \det(A) (-\frac{1}{2} A) = \frac{1}{16} \det(A) A = \frac{1}{16} (-4) A = -\frac{1}{4} A$ होगा।
$A$ के सभी अवयवों का योग $1+1+2-2+0+1+1+3+5 = 12$ है।
अतः,$-\frac{1}{4} A$ के सभी अवयवों का योग $-\frac{1}{4} \times 12 = -3$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें: $|A| = (2)(-2) - (-2)(4) = -4 + 8 = 4$.
चूंकि $|A| \neq 0$,$A^{-1}$ का अस्तित्व है। $A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix}$.
दिया गया है $PA = B \implies P = BA^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5-9 & 1.5+4.5 \\ -0.5-3 & 0.5+1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10.5 & 6 \\ -3.5 & 2 \end{bmatrix}$.
दिया गया है $AQ = B \implies Q = A^{-1}B = \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5+0.5 & -4.5+1.5 \\ -3+0.5 & -9+1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ -2.5 & -7.5 \end{bmatrix}$.
अब,$P+Q = \begin{bmatrix} -10.5-1 & 6-3 \\ -3.5-2.5 & 2-7.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11.5 & 3 \\ -6 & -5.5 \end{bmatrix}$.
अतः $2(P+Q) = \begin{bmatrix} -23 & 6 \\ -12 & -11 \end{bmatrix}$.
विकर्ण तत्वों का योग $-23 + (-11) = -34$ है। इसका निरपेक्ष मान $|-34| = 34$ है।

(B) सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें: $|A| = -1(0-0) - 1(1-0) - 1(0-0) = -1$.
चूंकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,गुणधर्म $adj(adj(A)) = |A|^{n-2} A$ लागू होता है,जहाँ $n=3$ है। अतः,$adj(adj(A)) = |A|^{3-2} A = (-1)A = -A$.
आगे,हम जानते हैं कि $adj(A) = |A|A^{-1}$ होता है। इसलिए,$adj(A)(adj(adj(A))) = (|A|A^{-1})(|A|A) = |A|^2 I = (-1)^2 I = I$.
दिया गया समीकरण $A^2 - \alpha A + \beta I = M$ बन जाता है,जहाँ $M = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ है।
$A^2$ की गणना करें: $\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} - \alpha \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,$(1, 2)$ स्थान पर अवयव के लिए: $-1 - \alpha = -2 \implies \alpha = 1$.
$(1, 3)$ स्थान पर अवयव के लिए: $1 + \alpha = 2 \implies \alpha = 1$.
$(3, 3)$ स्थान पर अवयव के लिए: $1 - \alpha + \beta = -1 \implies 1 - 1 + \beta = -1 \implies \beta = -1$.
अतः,$(\alpha - \beta)^2 = (1 - (-1))^2 = 2^2 = 4$.