Adjoint and inverse of matrices Questions in Hindi

(A) हम जानते हैं कि $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ होता है।
सबसे पहले,हम $AB$ का गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(1) + (3)(3) & (2)(0) + (3)(1) \\ (1)(1) + (2)(3) & (1)(0) + (2)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 3 \\ 7 & 2 \end{bmatrix}$.
अब,हम $(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{adj}(AB)$ ज्ञात करते हैं।
$|AB| = (11)(2) - (3)(7) = 22 - 21 = 1$.
$\text{adj}(AB) = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$.
अतः,$B^{-1} A^{-1} = (AB)^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = \omega \cdot \omega - 0 \cdot 0 = \omega^{2}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,विकर्ण आव्यूह $\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adjoint) $\begin{bmatrix} b & 0 \\ 0 & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix}$.
इसलिए,$A^{-1} = \frac{1}{\omega^{2}} \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\omega}{\omega^{2}} & 0 \\ 0 & \frac{\omega}{\omega^{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\omega} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\omega} \end{bmatrix}$.
चूंकि $\omega^{3} = 1$,इसलिए $\frac{1}{\omega} = \omega^{2}$ होता है।
अतः,$A^{-1} = \begin{bmatrix} \omega^{2} & 0 \\ 0 & \omega^{2} \end{bmatrix}$.
अब,विकल्पों की जांच करने पर:
$A^{2} = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^{2} & 0 \\ 0 & \omega^{2} \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = A^{2}$.

(C) दिया गया लाक्षणिक समीकरण $A^{2}-5A-6I=0$ है।
दोनों पक्षों में $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^{-1}(A^{2}-5A-6I) = A^{-1}(0)$
$A - 5I - 6A^{-1} = 0$
$6A^{-1} = A - 5I$
मैट्रिक्स के मान रखने पर:
$6A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} - 5\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$6A^{-1} = \begin{bmatrix} 4-5 & 5-0 \\ 2-0 & 1-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & 2 \\ -3 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 0\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 1(0 - 1) - (-3)(0 - (-2)) + 2(3 - 6)$
$|A| = 1(-1) + 3(2) + 2(-3) = -1 + 6 - 6 = -1$.
$A^{-1}$ की तीसरी पंक्ति और पहले स्तंभ का अवयव $\frac{C_{13}}{|A|}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $C_{13}$,$A$ की पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ के अवयव का सहखंड है।
$C_{13} = (-1)^{1+3} \left|\begin{array}{cc}-3 & 3 \\ 2 & -1\end{array}\right| = 1(3 - 6) = -3$.
अतः,$A^{-1}$ की तीसरी पंक्ति और पहले स्तंभ का अवयव $\frac{-3}{-1} = 3$ है।

(B) सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें: $|A| = (1)(1) - (2)(-5) = 1 + 10 = 11$.
इसके बाद,$A$ का सहखंडज आव्यूह ज्ञात करें: $\text{adj } A = \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
दिए गए समीकरण $A^{-1} = xA + yI$ में आव्यूहों का मान रखने पर:
$\frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 5 & 1\end{array}\right] = x \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -5 & 1\end{array}\right] + y \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
$\left[\begin{array}{cc}1/11 & -2/11 \\ 5/11 & 1/11\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}x+y & 2x \\ -5x & x+y\end{array}\right]$.
अवयवों की तुलना करने पर,$2x = -2/11$ मिलता है,जिसका अर्थ है $x = -1/11$.
साथ ही,$x+y = 1/11$. $x = -1/11$ रखने पर,$-1/11 + y = 1/11$,अतः $y = 2/11$.
इस प्रकार,$x = -1/11$ और $y = 2/11$ प्राप्त होते हैं।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A| = (2)(-7) - (-3)(5) = -14 + 15 = 1$ ज्ञात करते हैं।
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$ है।
अब,$2A = 2 \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -6 \\ 10 & -14 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
इसके बाद,$3A^{-1} = 3 \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -21 & 9 \\ -15 & 6 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अंत में,$2A - 3A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -6 \\ 10 & -14 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -21 & 9 \\ -15 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 - (-21) & -6 - 9 \\ 10 - (-15) & -14 - 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 & -15 \\ 25 & -20 \end{bmatrix}$।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ और $AX = I$ है।
चूंकि $AX = I$,इसलिए $X = A^{-1}$ होगा।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें: $|A| = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$ है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ है।
$X = \begin{bmatrix} \frac{4}{-2} & \frac{-2}{-2} \\ \frac{-3}{-2} & \frac{1}{-2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$।

(A) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $\omega^3 = 1$ है।
एक विकर्ण आव्यूह $A = \text{diag}(a, b, c)$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \text{diag}(a^{-1}, b^{-1}, c^{-1})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$A = \begin{bmatrix} \omega & 0 & 0 \\ 0 & \omega^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
इसलिए,$A^{-1} = \begin{bmatrix} \omega^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & (\omega^2)^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 1^{-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\omega} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\omega^2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ और $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ होता है।
अतः,$A^{-1} = \begin{bmatrix} \omega^2 & 0 & 0 \\ 0 & \omega & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसलिए $|A| \neq 0$।
दिया गया समीकरण: $(A+I)(A-I) = 0$।
गुणनफल का विस्तार करने पर: $A^2 - AI + IA - I^2 = 0$।
चूंकि $AI = IA = A$ और $I^2 = I$,हमें $A^2 - I = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$A^2 = I$।
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $A^{-1}A^2 = A^{-1}I$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $A = A^{-1}$ हो जाता है।
अब,$A + A^{-1}$ व्यंजक में $A^{-1} = A$ रखने पर,हमें $A + A = 2A$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (x \times 0) - (1 \times 1) = -1$ की गणना करें।
इसके बाद,विकर्ण तत्वों को बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & x \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -x \end{bmatrix}$.
दिया गया है कि $A = A^{-1}$,इसलिए आव्यूहों की तुलना करने पर:
$\begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -x \end{bmatrix}$.
संगत तत्वों की तुलना करने पर,हमें $x = 0$ और $0 = -x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x = 0$।

(D) दिया गया है कि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसलिए $|A| \neq 0$।
समीकरण $(A-2I)(A-4I) = 0$ दिया गया है।
गुणनफल का विस्तार करने पर,हमें $A^2 - 4A - 2A + 8I = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $A^2 - 6A + 8I = 0$ हो जाता है।
चूंकि $A$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है। समीकरण के दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^{-1}(A^2 - 6A + 8I) = A^{-1}(0)$
$A - 6I + 8A^{-1} = 0$
$A + 8A^{-1}$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A + 8A^{-1} = 6I$।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $(A^2 - 5A)A^{-1}$ है।
कोष्ठक के अंदर $A^{-1}$ का वितरण करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(A^2 \cdot A^{-1}) - (5A \cdot A^{-1})$
चूंकि $A^2 \cdot A^{-1} = A$ और $A \cdot A^{-1} = I$ (जहां $I$ एक तत्समक आव्यूह है),इसलिए अभिव्यक्ति का सरलीकृत रूप है:
$A - 5I$
अब,आव्यूह $A$ और तत्समक आव्यूह $I$ का मान रखने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1-5 & 2-0 & 3-0 \\ -1-0 & 1-5 & 2-0 \\ 1-0 & 2-0 & 4-5 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} -4 & 2 & 3 \\ -1 & -4 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$

(B) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = 1(3(-1) - 0(2)) - 0 + 0 = -3$ की गणना करें।
इसके बाद,सहखंडज आव्यूह (cofactor matrix) $C_{ij}$ ज्ञात करें:
$C_{11} = -3, C_{12} = 3, C_{13} = -9$.
$C_{21} = 0, C_{22} = -1, C_{23} = -2$.
$C_{31} = 0, C_{32} = 0, C_{33} = 3$.
अतः,$\text{Adj}(A) = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A) = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.

(A) हम आव्यूह व्युत्क्रम के गुण का उपयोग करते हैं: $(XY)^{-1} = Y^{-1} X^{-1}$।
दी गई अभिव्यक्ति पर इसे लागू करने पर:
$(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1}$
चूंकि $(M^{-1})^{-1} = M$,इसलिए:
$(B^{-1} A^{-1})^{-1} = A B$
अब,$AB$ का गुणनफल ज्ञात करें:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (2)(0) + (3)(1) & (2)(-1) + (3)(0) \\ (-3)(0) + (2)(1) & (-3)(-1) + (2)(0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 0 + 3 & -2 + 0 \\ 0 + 2 & 3 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

(C) दिया गया है कि $AX = I$,अतः $X = A^{-1}$।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = (1 \times 3) - (2 \times 4) = 3 - 8 = -5$।
इसके बाद,विकर्ण तत्वों को आपस में बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$।
अब,$X = A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A$ की गणना करें:
$X = \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$।

(B) गुणात्मक प्रतिलोम $A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = (\cos \theta)(\cos \theta) - (-\sin \theta)(\sin \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
इसके बाद,विकर्ण तत्वों को आपस में बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर $A$ का सहखंडज (adj) ज्ञात करें:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = (\cos \theta)(-\cos \theta) - (-\sin \theta)(-\sin \theta) = -\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = -(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = -1$.
इसके बाद,हम $A$ का सहखंडज (adjoint) $\text{adj}(A)$ ज्ञात करते हैं,जिसमें मुख्य विकर्ण के तत्वों को आपस में बदलते हैं और अन्य तत्वों के चिह्न बदलते हैं:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
$A$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ द्वारा प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = A$ है।

(A) माना $A = \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right]$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 0(2-3) - 1(1-9) + 2(1-6) = 0 - 1(-8) + 2(-5) = 8 - 10 = -2$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम आव्यूह का अस्तित्व है।
अब,हम सहखंड आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = +(2-3) = -1, C_{12} = -(1-9) = 8, C_{13} = +(1-6) = -5$.
$C_{21} = -(1-2) = 1, C_{22} = +(0-6) = -6, C_{23} = -(0-3) = 3$.
$C_{31} = +(3-4) = -1, C_{32} = -(0-2) = 2, C_{33} = +(0-1) = -1$.
अतः,$\operatorname{adj}(A) = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1\end{array}\right]^T = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1\end{array}\right]$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A) = \frac{1}{-2} \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$.

(C) दिया गया विकर्ण आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $A$ एक विकर्ण आव्यूह है,इसका व्युत्क्रम $A^{-1}$ भी एक विकर्ण आव्यूह होगा जिसके विकर्ण के अवयव $A$ के विकर्ण के अवयवों के व्युत्क्रम हैं।
अतः,$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{1} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$ होगा।
$A^{-1}$ के सभी अवयवों का योग $\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{3}$ है।
इनका योग करने के लिए,लघुत्तम समापवर्त्य $6$ लें।
योग $= \frac{3}{6} + \frac{6}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6}$.

(C) दिया गया है कि $AB = \begin{bmatrix} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{bmatrix}$ और $11B^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
हम जानते हैं कि $A = (AB)B^{-1}$ होता है।
दूसरे समीकरण से,$B^{-1} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
इन मानों को $A$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = \begin{bmatrix} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{bmatrix} \times \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
$A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} (-6)(5) + (26)(2) & (-6)(-3) + (26)(1) \\ (-1)(5) + (19)(2) & (-1)(-3) + (19)(1) \end{bmatrix}$
$A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -30 + 52 & 18 + 26 \\ -5 + 38 & 3 + 19 \end{bmatrix}$
$A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 22 & 44 \\ 33 & 22 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) सबसे पहले,आव्यूहों $A$ और $B$ का योग ज्ञात कीजिए:
$A+B = \begin{bmatrix} 4+1 & 0 & 0 \\ 0 & 3+2 & 0 \\ 0 & 0 & 2+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = 5I_3$.
अब,प्राप्त आव्यूह का व्युत्क्रम (inverse) ज्ञात कीजिए:
$(A+B)^{-1} = (5I_3)^{-1}$.
गुणधर्म $(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(A+B)^{-1} = \frac{1}{5} I_3^{-1} = \frac{1}{5} I_3$.

(D) परिभाषा के अनुसार,यदि दो आव्यूह $X$ और $Y$ एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं,तो उनका गुणनफल तत्समक आव्यूह $I$ होना चाहिए।
अतः,$XY = I$ और $YX = I$।
इस प्रकार,$XY = YX = I$।

(C) दिया गया समीकरण $AB = 4I$ है,जहाँ $I$ एक तत्समक आव्यूह है।
$A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण के दोनों पक्षों को बाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करते हैं:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}(4I)$
$(A^{-1}A)B = 4A^{-1}$
चूँकि $A^{-1}A = I$,इसलिए:
$IB = 4A^{-1}$
$B = 4A^{-1}$
दोनों पक्षों को $4$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \frac{1}{4}B$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले इसका सारणिक $|A|$ निकालते हैं।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{bmatrix}$।
$|A| = (2 \times 6) - (-4 \times -3) = 12 - 12 = 0$।
चूंकि आव्यूह $A$ का सारणिक $0$ है,इसलिए यह एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है।
एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह का व्युत्क्रम नहीं होता है।
अतः,$A^{-1}$ का अस्तित्व नहीं है।

(C) दिया गया है कि $B = A^{-1}$,इसलिए $AB = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है $10B = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$,इसलिए $B = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$।
चूँकि $AB = I$,इसलिए $A(10B) = 10I$ होगा।
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$।
हमें $\alpha$ का मान ज्ञात करना है। आव्यूह $A$ की दूसरी पंक्ति और $10B$ के तीसरे स्तंभ का गुणा करने पर:
$(2)(2) + (1)(\alpha) + (-3)(3) = 0$।
$4 + \alpha - 9 = 0$।
$\alpha - 5 = 0$।
$\alpha = 5$।

(D) हम जानते हैं कि $A \cdot A^{-1} = I$,जहाँ $I$ कोटि $3 \times 3$ का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -x & 3 & -1 \end{bmatrix}$ है।
मान लीजिए $B = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -x & 3 & -1 \end{bmatrix}$ है। अतः $A^{-1} = -\frac{1}{2} B$ है।
इस प्रकार,$A \cdot (-\frac{1}{2} B) = I$,जिसका अर्थ है कि $A \cdot B = -2I = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$ है।
गुणनफल आव्यूह के $(3, 1)$ स्थान पर अवयव प्राप्त करने के लिए $A$ की तीसरी पंक्ति और $B$ के पहले स्तंभ का गुणा करें:
$(3 \times -1) + (1 \times 8) + (1 \times -x) = -2$.
$-3 + 8 - x = -2$.
$5 - x = -2$.
$x = 5 + 2 = 7$.
आइए सारणिक $|A|$ की पुनः गणना करें:
$|A| = 0(2-3) - 1(1-9) + 2(1-6) = 0 - 1(-8) + 2(-5) = 8 - 10 = -2$.
चूंकि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ है,इसलिए आव्यूह $B$ को $\text{adj}(A)$ होना चाहिए।
$\text{adj}(A)$ के $(3, 1)$ स्थान पर अवयव आव्यूह $A$ का सहखंड $C_{13}$ है।
$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 6) = -5$.
आव्यूह $B$ के साथ तुलना करने पर,$(3, 1)$ स्थान पर अवयव $-x$ है।
अतः,$-x = -5$,जिसका अर्थ है कि $x = 5$ है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) हम जानते हैं कि $A \times A^{-1} = I$,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ कोटि का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ और $A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & \alpha \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$।
आव्यूह $A$ की दूसरी पंक्ति और $A^{-1}$ के तीसरे स्तंभ का गुणनफल तत्समक आव्यूह के $(2, 3)$ स्थान पर स्थित अवयव के बराबर यानी $0$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{1}{5} [ (2 \times 2) + (1 \times \alpha) + (2 \times -3) ] = 0$.
$4 + \alpha - 6 = 0$.
$\alpha - 2 = 0$.
$\alpha = 2$.

(C) दिया गया विकर्ण आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $A$ एक विकर्ण आव्यूह है,इसका व्युत्क्रम $A^{-1}$ इसके विकर्ण तत्वों के व्युत्क्रम द्वारा प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$।
अब,हमें $(A^{-1})^2 = A^{-1} \times A^{-1}$ ज्ञात करना है:
$(A^{-1})^2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{9} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{16} \end{bmatrix}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,$A$ और उसके प्रतिलोम $A^{-1}$ का गुणनफल तत्समक आव्यूह $I$ होता है।
$A \cdot A^{-1} = I$
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर:
$\det(A \cdot A^{-1}) = \det(I)$
गुणधर्म $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$ का उपयोग करने पर:
$\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = \det(I)$
चूंकि तत्समक आव्यूह के लिए $\det(I) = 1$ होता है,इसलिए:
$\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = 1$
अतः,$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$।

(C) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,गुणधर्म $A(\operatorname{adj} A) = |A| I$ सत्य है,जहाँ $I$ कोटि $n$ का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$।
$A$ का सारणिक $|A| = (5 \times 3) - (-2 \times 4) = 15 - (-8) = 15 + 8 = 23$ है।
चूंकि आव्यूह $A$ की कोटि $2 \times 2$ है,इसलिए $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$A(\operatorname{adj} A) = |A| I = 23 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 23 I$।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक $|A|$ ज्ञात करते हैं।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $|A| = 1(2 \times 1 - 3 \times 0) - 0 + 0 = 1(2) = 2$.
आव्यूह $A$ की कोटि $n = 3$ है।
हम आव्यूह के सहखंडज (adjoint) के गुणधर्म का उपयोग करते हैं: $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$।
मान रखने पर: $|\operatorname{adj} A| = 2^{3-1} = 2^2 = 4$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) हम जानते हैं कि $n \times n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,आव्यूह के सहखंडज (adjoint) का गुणधर्म इस प्रकार है:
$|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$
यहाँ दिया गया है कि आव्यूह $A$ की कोटि $3 \times 3$ है,इसलिए $n = 3$ है।
सूत्र में $n = 3$ रखने पर:
$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए,हम पहले इसका सारणिक $|A| = ad - bc$ निकालते हैं।
यहाँ $A = \begin{bmatrix} 8 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$ दिया गया है,इसलिए सारणिक $|A| = (8)(1) - (-2)(-4) = 8 - 8 = 0$ है।
चूंकि आव्यूह का सारणिक $0$ है,इसलिए आव्यूह $A$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है।
एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह का व्युत्क्रम अस्तित्व में नहीं होता है।
अतः,$A^{-1}$ का अस्तित्व नहीं है।

(D) $2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $|A| = ad - bc$ और $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (2)(3) - (-2)(4) = 6 - (-8) = 6 + 8 = 14$ की गणना करें।
इसके बाद,विकर्ण तत्वों को बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर सहखंडज (adj) ज्ञात करें:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$।
यह विकल्प $D$ के साथ मेल खाता है।

(B) सबसे पहले,हम आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(1 \times 1 - 2 \times 1) - 3(2 \times 1 - 2 \times 5) + 4(2 \times 1 - 1 \times 5)$
$|A| = 1(1 - 2) - 3(2 - 10) + 4(2 - 5)$
$|A| = 1(-1) - 3(-8) + 4(-3)$
$|A| = -1 + 24 - 12 = 11$
हम जानते हैं कि $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $|\text{adj } A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|\text{adj } A| = (11)^2 = 121$.

(B) $2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $|A| = ad - bc$ और $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (2)(4) - (-3)(5) = 8 + 15 = 23$ की गणना करें।
इसके बाद,$A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{23} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{23} & \frac{3}{23} \\ -\frac{5}{23} & \frac{2}{23} \end{bmatrix}$।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,$A \cdot A^{-1} = I$ होता है,जहाँ $I$ समान कोटि का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 2x & 0 \\ x & x \end{bmatrix}$ और $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} 2x & 0 \\ x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
आव्यूह गुणन करने पर:
$\begin{bmatrix} (2x)(1) + (0)(-1) & (2x)(0) + (0)(2) \\ (x)(1) + (x)(-1) & (x)(0) + (x)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x & 0 \\ 0 & 2x \end{bmatrix}$।
इसे तत्समक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ के बराबर रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x = 1$।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया विकर्ण आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ है।
एक विकर्ण आव्यूह $A = \text{diag}(a, b, c)$ के लिए,इसका व्युत्क्रम $A^{-1} = \text{diag}(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $a=2, b=3, c=4$ मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$.
अतः,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया है,$(A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $A^{2}-AB+BA-B^{2}=A^{2}-B^{2}$
दोनों पक्षों से $A^{2}-B^{2}$ घटाने पर: $-AB+BA=0$
अतः,$AB=BA$
अब,हम $(ABA^{-1})^{2}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(ABA^{-1})^{2} = (ABA^{-1})(ABA^{-1})$
चूँकि $AB=BA$,हम $AB = BA$ लिख सकते हैं,इसलिए $ABA^{-1} = BAA^{-1} = BI = B$
अतः,$(ABA^{-1})^{2} = B^{2}$

(B) हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज और सारणिक के बीच का संबंध $|\operatorname{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ होता है,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n=2$ और $|A|=2$ है।
अतः,$|\operatorname{adj}(A)| = |A|^{2-1} = |A|^1 = 2$.
दिया गया है कि $\operatorname{adj}(A) = B = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 1 & \alpha\end{array}\right]$,हम $B$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|B| = (1)(\alpha) - (3)(1) = \alpha - 3$.
चूँकि $|\operatorname{adj}(A)| = |B|$,इसलिए $\alpha - 3 = 2$.
अतः,$\alpha = 2 + 3 = 5$.

(C) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,अतः $n = 3$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी $n \times n$ आव्यूह $M$ के लिए,$|kM| = k^n |M|$ होता है।
इस गुणधर्म को $|5 \times \text{adj}(A)| = 5$ पर लागू करने पर,हमें $5^3 |\text{adj}(A)| = 5$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $|\text{adj}(A)| = \frac{5}{5^3} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$ प्राप्त होता है।
हम यह भी जानते हैं कि $|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ होता है।
$n = 3$ के लिए,$|\text{adj}(A)| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होता है।
$|\text{adj}(A)|$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $|A|^2 = \frac{1}{25}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$|A| = \pm \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} A = I$ है,जहाँ $I$ एक तत्समक आव्यूह है।
मान लीजिए $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ है। तब $BA = I$,जिसका अर्थ है कि $A = B^{-1}$ है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$ad-bc = (2)(2) - (1)(3) = 4 - 3 = 1$ है।
अतः,$B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$ है।
इसलिए,$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$ है।

(D) $3 \times 3$ आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $-\lambda^3 + \text{tr}(A)\lambda^2 - (\dots)\lambda + |A| = 0$ के रूप में होता है।
दिए गए अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^{3}-5 \lambda^{2}-3 \lambda+2=0$ की तुलना मानक रूप $\lambda^3 - \text{tr}(A)\lambda^2 + (\dots)\lambda - |A| = 0$ से करने पर।
अचर पदों की तुलना करने पर,हमें $-|A| = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $|A| = -2$ है।
हम जानते हैं कि $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ होता है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $|\text{adj}(A)| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा।
$|A|$ का मान रखने पर,हमें $|\text{adj}(A)| = (-2)^2 = 4$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 2(4 - 0) - 1(0 - 1) + 0(0 - 2) = 2(4) - 1(-1) + 0 = 8 + 1 = 9$.
हम जानते हैं कि आव्यूह के सहखंडज (adjoint) का गुणधर्म है: $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ वर्ग आव्यूह $A$ की कोटि है।
यहाँ,$n = 3$ है।
इसलिए,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|A| = 9$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\operatorname{adj} A| = 9^2 = 81$.

(B) हम जानते हैं कि $A(\operatorname{adj} A) = |A| I$ होता है।
दिया गया है कि $A(\operatorname{adj} A) = 5 I$,दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $|A| = 5$ प्राप्त होता है।
कोटि $n$ के एक वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज आव्यूह का गुणधर्म $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ होता है।
यहाँ,आव्यूह की कोटि $n = 3$ है।
अतः,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा।
$|A|$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|\operatorname{adj} A| = (5)^2 = 25$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$A \cdot \operatorname{adj}(A) = |A| I$ होता है,जहाँ $|A|$ आव्यूह $A$ का सारणिक है और $I$ समान कोटि का तत्समक आव्यूह है।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = 1(2 \times 4 - (-3) \times (-2)) - (-2)(0 \times 4 - (-3) \times 3) + 2(0 \times (-2) - 2 \times 3)$
$|A| = 1(8 - 6) + 2(0 + 9) + 2(0 - 6)$
$|A| = 1(2) + 2(9) + 2(-6)$
$|A| = 2 + 18 - 12 = 8$
चूँकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,$I = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ है।
अतः,$A \cdot \operatorname{adj}(A) = |A| I = 8 \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8\end{array}\right]$।

(A) दिया गया समीकरण: $A^2 - 5A + 7I = 0$.
चूंकि $A^2 - 5A + 7I = 0$,इसलिए $7I = 5A - A^2$.
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर (मान लीजिए $|A| \neq 0$):
$A^{-1}(A^2 - 5A + 7I) = A^{-1}(0)$.
$A^{-1}A^2 - 5A^{-1}A + 7A^{-1}I = 0$.
$A - 5I + 7A^{-1} = 0$.
$7A^{-1} = 5I - A$.
$A^{-1} = \frac{1}{7}(5I - A)$.

(D) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} 1 & \tan \frac{\alpha}{2} \\ -\tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ और $AB = I$ है।
चूंकि $AB = I$,इसलिए $B = A^{-1}$ होगा।
$A$ का सारणिक $|A| = (1)(1) - (\tan \frac{\alpha}{2})(-\tan \frac{\alpha}{2}) = 1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2} = \sec^2 \frac{\alpha}{2}$ है।
$A$ का सहखंडज (adjoint) $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{\sec^2 \frac{\alpha}{2}} \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $\frac{1}{\sec^2 \frac{\alpha}{2}} = \cos^2 \frac{\alpha}{2}$,इसलिए $B = \cos^2 \frac{\alpha}{2} \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $A^T = \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix}$ है।
इसलिए,$B = \cos^2 \frac{\alpha}{2} \cdot A^T$ होगा।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,आव्यूह की घात का व्युत्क्रम $(A^n)^{-1} = (A^{-1})^n$ द्वारा दिया जाता है।
इस गुणधर्म को दिए गए व्यंजक पर लागू करने पर:
$(A^2)^{-1} = (A^{-1})^2$.
अतः,सही विकल्प $(A^{-1})^2$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करते हैं:
$|A| = (2)(-2) - (-1)(3) = -4 + 3 = -1$.
चूँकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A$ व्युत्क्रमणीय है।
अब,$A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-3 & -2+2 \\ 6-6 & -3+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
चूँकि $A^2 = I$,हम $A^3$ ज्ञात कर सकते हैं:
$A^3 = A^2 \cdot A = I \cdot A = A$.
हमें $A^3$ का व्युत्क्रम $(A^3)^{-1}$ ज्ञात करना है।
चूँकि $A^3 = A$,इसलिए $(A^3)^{-1} = A^{-1}$ होगा।
$A^2 = I$ से,हम जानते हैं कि $A \cdot A = I$,जिसका अर्थ है कि $A^{-1} = A$.
अतः,$(A^3)^{-1} = A$.