Adjoint and inverse of matrices Questions in Hindi

(C) किसी आव्यूह का व्युत्क्रम तब मौजूद नहीं होता जब उसका सारणिक (determinant) $0$ हो।
माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & t \\ 4 & 7 - t & -6 \end{bmatrix}$ है।
$|A| = 0$ रखने पर:
$|A| = 1[5(-6) - t(7 - t)] - 3[2(-6) - 4t] + 2[2(7 - t) - 4(5)] = 0$
$|A| = 1[-30 - 7t + t^2] - 3[-12 - 4t] + 2[14 - 2t - 20] = 0$
$|A| = t^2 - 7t - 30 + 36 + 12t + 28 - 4t - 40 = 0$
$|A| = t^2 + t - 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(t + 3)(t - 2) = 0$
अतः,$t = -3$ या $t = 2$।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{x^2+5x+1}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{(x+1)(x+2)} + \frac{c}{(x+1)(x+2)(x+3)}$.
दोनों पक्षों को $(x+1)(x+2)(x+3)$ से गुणा करने पर:
$x^2+5x+1 = a(x+2)(x+3) + b(x+3) + c$.
$x = -1$ के लिए: $(-1)^2 + 5(-1) + 1 = a(1)(2) + b(2) + c \implies -3 = 2a+2b+c$.
$x = -2$ के लिए: $(-2)^2 + 5(-2) + 1 = b+c \implies -5 = b+c$.
$x = -3$ के लिए: $(-3)^2 + 5(-3) + 1 = c \implies c = -5$.
$b+c = -5$ से,$b-5 = -5 \implies b = 0$.
$2a+2b+c = -3$ से,$2a+0-5 = -3 \implies 2a = 2 \implies a = 1$.
आव्यूह $M = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ -5 & 1\end{array}\right]$ है।
व्युत्क्रम $M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \text{adj}(M)$.
$\det(M) = 1$.
$\text{adj}(M) = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
अतः,$M^{-1} = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.

(B) हम जानते हैं कि कोटि $n$ के एक वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,इसके सहखंडज (adjoint) आव्यूह का सारणिक इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = (\operatorname{det} A)^{n-1}$।
दिया गया है कि $A$ कोटि $n = 3$ का एक आव्यूह है और इसका सारणिक $\operatorname{det} A = 6$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = (6)^{3-1}$
$\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = (6)^2$
$\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = 36$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया आव्यूह समीकरण $A^2-4A-5I=0$ है।
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^2 A^{-1} - 4A A^{-1} - 5I A^{-1} = 0 A^{-1}$
$A - 4I - 5A^{-1} = 0$
$5A^{-1} = A - 4I$
$A^{-1} = \frac{1}{5}(A - 4I)$
अब,आव्यूह $A$ और $I$ का मान रखने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{5} \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right)$
$A^{-1} = \frac{1}{5} \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \right)$
$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 1-4 & 2-0 & 2-0 \\ 2-0 & 1-4 & 2-0 \\ 2-0 & 2-0 & 1-4 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$

(A) दिया गया है कि $A$ एक सममित आव्यूह है,इसलिए $A^T = A$ है।
यदि व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1}$ का अस्तित्व है,तो हम गुणधर्म $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ का उपयोग करते हैं।
इस समीकरण में $A^T = A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(A^{-1})^T = (A)^{-1} = A^{-1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A^{-1}$ का परिवर्त आव्यूह स्वयं $A^{-1}$ के बराबर है,इसलिए यदि $A^{-1}$ का अस्तित्व है,तो यह एक सममित आव्यूह है।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -5 \\ -2 & 4 & -6 \\ 7 & -11 & 13 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 1(4 \times 13 - (-6) \times (-11)) - (-3)((-2) \times 13 - (-6) \times 7) + (-5)((-2) \times (-11) - 4 \times 7)$
$|A| = 1(52 - 66) + 3(-26 + 42) - 5(22 - 28)$
$|A| = 1(-14) + 3(16) - 5(-6)$
$|A| = -14 + 48 + 30 = 64$.
हम जानते हैं कि $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|\operatorname{Adj} A| = (64)^2$.
अतः,$\sqrt{|\operatorname{Adj} A|} = \sqrt{(64)^2} = 64$.

(B) $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,एडजॉइंट का गुणधर्म $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A) = |A|^{n-2} A$ है।
इस गुणधर्म को बार-बार लागू करने पर,$\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A)) = \operatorname{Adj}(|A|^{n-2} A)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\operatorname{Adj}(kA) = k^{n-1} \operatorname{Adj}(A)$,इसलिए $\operatorname{Adj}(|A|^{n-2} A) = (|A|^{n-2})^{n-1} \operatorname{Adj}(A) = |A|^{(n-2)(n-1)} \operatorname{Adj}(A)$ होता है।
$n=2$ कोटि के आव्यूह के लिए,$|A| = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$ है।
$n=2$ के लिए $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A))$ का सूत्र $|A|^{(2-2)(2-1)} \operatorname{Adj}(A) = |A|^0 \operatorname{Adj}(A) = \operatorname{Adj}(A)$ है।
सामान्यतः,$k$ बार एडजॉइंट के लिए सूत्र $|A|^{(n-1)^k} A$ के रूप में होता है।
$n=2$ के लिए,$\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A)) = |A|^{2-2} A = A$ है।
अतः $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A)) = \operatorname{Adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $|A|A$ है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 1(1 - 2) - 2(2 - 1) + 2(4 - 1) = 1(-1) - 2(1) + 2(3) = -1 - 2 + 6 = 3$.
हम जानते हैं कि $|A^2| = |A|^2 = 3^2 = 9$.
$n \times n$ कोटि के आव्यूह $M$ के लिए,$|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ होता है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $|\operatorname{Adj}(A^2)| = |A^2|^{3-1} = |A^2|^2$.
$|A^2| = 9$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|\operatorname{Adj}(A^2)| = 9^2 = 81$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $M$ के लिए,$|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$ होता है।
इसलिए,$|(\operatorname{Adj}(AB))^{-1}| = \frac{1}{|\operatorname{Adj}(AB)|}$।
गुणधर्म $\operatorname{Adj}(AB) = (\operatorname{Adj} B)(\operatorname{Adj} A)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\operatorname{Adj}(AB)| = |\operatorname{Adj} B| \cdot |\operatorname{Adj} A| = y \cdot x = xy$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$|(\operatorname{Adj}(AB))^{-1}| = \frac{1}{xy}$।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,प्रतिलोम का सहखंडज (adjoint) गुणधर्म $\operatorname{Adj}\left(A^{-1}\right)=(\operatorname{Adj} A)^{-1}$ द्वारा दिया जाता है।
यह आव्यूहों का एक मानक गुणधर्म है जहाँ सहखंडज संक्रिया और प्रतिलोम संक्रिया क्रमविनिमेय होती हैं।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} k & 5 & 2 \\ 2 & -k & 5 \\ 5 & 2 & -k \end{bmatrix}$ और $\det A = 190$.
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\det A = k(k^2 - 10) - 5(-2k - 25) + 2(4 + 5k) = 190$
$k^3 - 10k + 10k + 125 + 8 + 10k = 190$
$k^3 + 10k - 57 = 0$
मानों का परीक्षण करने पर,$k=3$ के लिए: $27 + 30 - 57 = 0$. अतः,$k=3$.
$k=3$ प्रतिस्थापित करने पर,$A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \\ 2 & -3 & 5 \\ 5 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
सहखंडज आव्यूह $C$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$C_{11} = ((-3)(-3) - (5)(2)) = 9 - 10 = -1$
$C_{12} = -((2)(-3) - (5)(5)) = -(-6 - 25) = 31$
$C_{13} = ((2)(2) - (-3)(5)) = 4 + 15 = 19$
$C_{21} = -((5)(-3) - (2)(2)) = -(-15 - 4) = 19$
$C_{22} = ((3)(-3) - (2)(5)) = -9 - 10 = -19$
$C_{23} = -((3)(2) - (5)(5)) = -(6 - 25) = 19$
$C_{31} = ((5)(5) - (-3)(2)) = 25 + 6 = 31$
$C_{32} = -((3)(5) - (2)(2)) = -(15 - 4) = -11$
$C_{33} = ((3)(-3) - (5)(2)) = -9 - 10 = -19$
एडजॉइंट आव्यूह,सहखंडज आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है:
$\operatorname{Adj} A = C^T = \begin{bmatrix} -1 & 19 & 31 \\ 31 & -19 & -11 \\ 19 & 19 & -19 \end{bmatrix}$.

(C) हम जानते हैं कि कोटि $n$ के एक वर्ग आव्यूह $M$ के लिए,$|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ होता है।
दिया गया है कि $A$ कोटि $n=3$ का एक वर्ग आव्यूह है।
सबसे पहले,आव्यूह $M = A^2$ पर विचार करें। $M$ की कोटि $3$ है।
अतः,$|\operatorname{adj} M| = |M|^{3-1} = |M|^2 = (|A|^2)^2 = |A|^4$ होगा।
अब,हमें $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A^2)|$ ज्ञात करना है।
मान लीजिए $K = \operatorname{adj} A^2$ है। तो $|K| = |A|^4$ होगा।
गुणधर्म $|\operatorname{adj} K| = |K|^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=3$ है:
$|\operatorname{adj} K| = |K|^{3-1} = |K|^2$ होगा।
$|K| = |A|^4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A^2)| = (|A|^4)^2 = |A|^8$ प्राप्त होता है।

(C) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ है। आव्यूह का सहखंडज (adjoint) उसके सहखंड (cofactor) आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है,$\text{adj}(A) = [C_{ij}]^T$।
सहखंडों की गणना इस प्रकार की जाती है:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-4) = 5$
$C_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$
$C_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 0 = -2$
$C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 4) = 4$
$C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$
$C_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2$
$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 - (-2)) = 0$
$C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
अतः,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \end{bmatrix}$।
दिए गए आव्यूह के साथ तुलना करने पर,हमें $m = 4$ और $n = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$m+n = 4+1 = 5$।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 7 & 3 & \alpha \\ \beta & 1 & -11 \\ -5 & \gamma & 19 \end{bmatrix}$ और $A \begin{bmatrix} 5 \\ -13 \\ 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -290 \\ -119 \\ 210 \end{bmatrix}$.
आव्यूह गुणन करने पर:
$35 - 39 + 11\alpha = -290 \Rightarrow 11\alpha = -286 \Rightarrow \alpha = -26$.
$5\beta - 13 - 121 = -119 \Rightarrow 5\beta = 15 \Rightarrow \beta = 3$.
$-25 - 13\gamma + 209 = 210 \Rightarrow -13\gamma = 26 \Rightarrow \gamma = -2$.
अतः,$A = \begin{bmatrix} 7 & 3 & -26 \\ 3 & 1 & -11 \\ -5 & -2 & 19 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A| = 7(19 - 22) - 3(57 - 55) - 26(-6 + 5) = 7(-3) - 3(2) - 26(-1) = -21 - 6 + 26 = -1$.
हम जानते हैं कि $(\operatorname{adj} A)^{-1} = \frac{A}{|A|} = -A$ और $\operatorname{adj} A^{-1} = \operatorname{adj}(\frac{\operatorname{adj} A}{|A|}) = \frac{1}{|A|^{n-1}} \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = \frac{1}{(-1)^2} |A| A = -A$.
इसलिए,$(\operatorname{adj} A)^{-1} + \operatorname{adj} A^{-1} = -A + (-A) = -2A$.

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $n=3$ है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A) = |A|^{n-2} A = |A|^{3-2} A = |A| A$ होता है।
अब,व्यंजक $|A^{-1}(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A))|^{-1}$ पर विचार करें।
गुणधर्म का उपयोग करने पर: $|A^{-1}(|A| A)|^{-1} = | |A| (A^{-1} A) |^{-1} = | |A| I |^{-1}$।
चूंकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इसलिए $| |A| I | = |A|^3 |I| = |A|^3 \times 1 = |A|^3$ होगा।
अतः,व्यंजक $(|A|^3)^{-1} = \frac{1}{|A|^3}$ हो जाता है।
दिया गया है $|A| = \frac{1}{2}$,इसलिए हमें $\frac{1}{(\frac{1}{2})^3} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज (adjoint) के सहखंडज का गुणधर्म $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-2} A$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,आव्यूह $A$ एक $n = 3$ कोटि का विकर्ण आव्यूह है।
$A$ का सारणिक $|A| = 1 \times 2 \times 3 = 6$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = (6)^{3-2} A = (6)^1 A = 6A$.
अतः,सही विकल्प $6A$ है।

(A) दिया गया है कि $\operatorname{Adj}(A)=k A^T$.
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $|\operatorname{Adj}(A)|=|k A^T|$.
हम जानते हैं कि $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$|\operatorname{Adj}(A)|=|A|^{n-1}$,$|k A|=k^n|A|$,और $|A^T|=|A|$ होता है।
यहाँ,$n=3$ है,इसलिए $|\operatorname{Adj}(A)|=|A|^{3-1}=|A|^2$.
साथ ही,$|k A^T|=k^3|A^T|=k^3|A|$.
इनकी तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $|A|^2=k^3|A|$.
चूँकि $|A|=27 \neq 0$,हम $|A|$ से विभाजित कर सकते हैं जिससे $k^3=|A|=27$ प्राप्त होता है।
अतः,$k=3$.
अंत में,$k=3$ को व्यंजक में रखने पर,$k^2-3 k+5 = 3^2-3(3)+5 = 9-9+5 = 5$.

(B) दिया गया है कि $P = \operatorname{adj}(A)$ और $\det(A) = 4$ है।
हम जानते हैं कि $3 \times 3$ आव्यूह $A$ के लिए,$|\operatorname{adj}(A)| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n=3$ है।
इसलिए,$|P| = |A|^{3-1} = |A|^2 = (4)^2 = 16$ होगा।
अब,$P$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|P| = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{vmatrix}$
$|P| = 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$|P| = 0 - \alpha(-2) + 3(-2)$
$|P| = 2\alpha - 6$ प्राप्त होता है।
$|P|$ के दोनों मानों की तुलना करने पर:
$2\alpha - 6 = 16$
$2\alpha = 22$
$\alpha = 11$।

(C) दिया गया है कि $a_{ij} = 1$ यदि $i+j=7$ और अन्यथा $0$ है। यह एक प्रति-विकर्ण आव्यूह को दर्शाता है जहाँ प्रति-विकर्ण के सभी अवयव $1$ हैं।
$n$ क्रम के आव्यूह $A$ के लिए,सारणिक $|A| = (-1)^{n(n-1)/2}$ होता है। यहाँ $n=6$ है,इसलिए $|A| = (-1)^{6(5)/2} = (-1)^{15} = -1$.
हम जानते हैं कि $A(\text{adj } A) = |A| I$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $(A(\text{adj } A) A^{-1}) A^2 = (|A| I) A^{-1} A^2$.
चूँकि $|A| = -1$,यह $(-I) A^{-1} A^2 = -I (A^{-1} A) A$ हो जाता है।
चूँकि $A^{-1} A = I$,इसलिए हमें $-I (I) A = -A$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 6 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = 1(18-5) - 2(6-10) + 3(1-6) = 13 + 8 - 15 = 6$ ज्ञात करें।
हम जानते हैं कि $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A) = |A|^{n-2} A$,जहाँ $n$ आव्यूह का क्रम है।
यहाँ $n = 3$ है,इसलिए $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A) = |A|^{3-2} A = |A| A = 6A$।
अतः,$(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A))^{-1} = (6A)^{-1} = \frac{1}{6} A^{-1}$।
चूंकि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A$,हम पहले $\operatorname{Adj} A$ ज्ञात करते हैं:
$\operatorname{Adj} A = \begin{bmatrix} 13 & -9 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$।
इस प्रकार,$A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 13 & -9 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$।
अंत में,$(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A))^{-1} = \frac{1}{6} A^{-1} = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 13 & -9 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{36} \begin{bmatrix} 13 & -9 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$।

(B) दिया गया है कि $A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|A(\operatorname{adj} A)| = \begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $|AB| = |A||B|$ होता है,इसलिए $|A| |\operatorname{adj} A| = 4^3 = 64$ होगा।
हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है। यहाँ $n = 3$ है,इसलिए $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$|A| \cdot |A|^2 = 64$,जिसका अर्थ है कि $|A|^3 = 64$ है।
अतः,$|A| = \sqrt[3]{64} = 4$ होगा।
अंत में,$|\operatorname{adj} A| = |A|^2 = 4^2 = 16$ होगा।

(C) माना कि $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ है। किसी आव्यूह का सहखंडज (adjoint) उसके सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है,अर्थात $\operatorname{adj}(A) = [C_{ij}]^T$।
सहखंड $C_{ij}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-4) = 5$
$C_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$
$C_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 0 = -2$
$C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 4) = 4$
$C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$
$C_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2$
$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 - (-2)) = 0$
$C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
सहखंड आव्यूह $\begin{bmatrix} 5 & 1 & -2 \\ 4 & 1 & -2 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
इसका परिवर्त लेने पर,$\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना दिए गए आव्यूह $\begin{bmatrix} 5 & a & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & b \end{bmatrix}$ से करने पर,हमें $a = 4$ और $b = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$[a \quad b] = [4 \quad 1]$।

(B) हम जानते हैं कि $A \cdot A^{-1} = I$,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ कोटि का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & x & 1 \end{bmatrix}$ और $A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -8 & 6 & 2y \\ 5 & -3 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ और $A^{-1}$ का गुणा करने पर:
$A \cdot A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & x & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -8 & 6 & 2y \\ 5 & -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
गुणनफल आव्यूह की पंक्ति $2$,स्तंभ $3$ के अवयव पर विचार करने पर:
$\frac{1}{2} [ (1)(1) + (2)(2y) + (3)(1) ] = 0$.
$1 + 4y + 3 = 0 \implies 4y + 4 = 0 \implies y = -1$.
गुणनफल आव्यूह की पंक्ति $3$,स्तंभ $2$ के अवयव पर विचार करने पर:
$\frac{1}{2} [ (3)(-1) + (x)(6) + (1)(-3) ] = 0$.
$-3 + 6x - 3 = 0 \implies 6x - 6 = 0 \implies x = 1$.
अतः,बिंदु $(x, y) = (1, -1)$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $B$ के लिए: $y = \log_{2/5}(2^1 + 2^{-1}) = \log_{2/5}(2 + 0.5) = \log_{2/5}(2.5) = \log_{2/5}(5/2) = -1$.
चूँकि $y = -1$ विकल्प $B$ के समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए बिंदु $(1, -1)$ वक्र $y = \log_{2/5}(2^x + 2^{-x})$ पर स्थित है।

(B) दिया गया है कि $(A-2I)(A-3I) = O$.
व्यंजक का विस्तार करने पर,हमें $A^2 - 3A - 2A + 6I^2 = O$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $A^2 - 5A + 6I = O$ प्राप्त होता है।
$I$ को अलग करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$6I = 5A - A^2$ प्राप्त होता है।
$A$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$6I = A(5I - A)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर,$6A^{-1} = 5I - A$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $A^{-1} = \frac{5I - A}{6}$।
अब,इस मान को $\frac{1}{5}A + \frac{6}{5}A^{-1}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{5}A + \frac{6}{5} \left( \frac{5I - A}{6} \right) = \frac{1}{5}A + \frac{5I - A}{5} = \frac{1}{5}A + I - \frac{1}{5}A = I$.

(C) सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = -1(5 - 8) - (-3)(0 - 6) + (-2)(0 - 3) = -1(-3) + 3(-6) - 2(-3) = 3 - 18 + 6 = -9$.
इसके बाद,हम सहखंड आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = +(5 - 8) = -3$,$C_{12} = -(0 - 6) = 6$,$C_{13} = +(0 - 3) = -3$.
$C_{21} = -(-15 - (-8)) = -(-7) = 7$,$C_{22} = +(-5 - (-6)) = 1$,$C_{23} = -(-4 - (-9)) = -5$.
$C_{31} = +(-6 - (-2)) = -4$,$C_{32} = -(-2 - 0) = 2$,$C_{33} = +(-1 - 0) = -1$.
एडजॉइंट आव्यूह,सहखंड आव्यूह का परिवर्त आव्यूह होता है:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} -3 & 7 & -4 \\ 6 & 1 & 2 \\ -3 & -5 & -1 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = -\frac{1}{9} \begin{bmatrix} -3 & 7 & -4 \\ 6 & 1 & 2 \\ -3 & -5 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 & -7/9 & 4/9 \\ -6/9 & -1/9 & -2/9 \\ 3/9 & 5/9 & 1/9 \end{bmatrix}$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,हमें $a_1 = 1/3$,$c_2 = 5/9$,और $b_3 = -2/9$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a_1 + c_2 + b_3 = \frac{3}{9} + \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

(B) आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)((2-\lambda)^2 - 1) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) = -(\lambda-1)^2(\lambda-3) = -\lambda^3 + 5\lambda^2 - 7\lambda + 3 = 0$.
कैली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^3 - 5A^2 + 7A - 3I = 0$ है।
$A^{-1}$ से गुणा करने पर,$A^2 - 5A + 7I - 3A^{-1} = 0$,जिसका अर्थ है $A^{-1} = \frac{1}{3}A^2 - \frac{5}{3}A + \frac{7}{3}I$।
इसकी तुलना $A^{-1} = \alpha A^2 + \beta A + \gamma I$ से करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{3}$,$\beta = -\frac{5}{3}$,और $\gamma = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$17\alpha + 5\beta + \gamma = 17(\frac{1}{3}) + 5(-\frac{5}{3}) + \frac{7}{3} = \frac{17 - 25 + 7}{3} = \frac{-1}{3}$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
अब,सारणिक $|A^2|$ ज्ञात करें:
$|A^2| = 3(3) + 4(0) + 4(-2) = 9 - 8 = 1$.
चूंकि $|A^2| = 1$,इसलिए $(A^2)^{-1} = \frac{1}{|A^2|} \text{adj}(A^2) = \text{adj}(A^2)$.
$A^2$ के सहखंडज आव्यूह की गणना करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $(A^2)^{-1} = A^2$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 1(1 - 4) - 2(2 - 4) + 2(4 - 2) = -3 + 4 + 4 = 5$.
इसके बाद,हम $A$ का सहखंडज $(\text{Adj } A)$ ज्ञात करते हैं:
सहखंड आव्यूह इस प्रकार है:
$C_{11} = -3, C_{12} = 2, C_{13} = 2$
$C_{21} = 2, C_{22} = -3, C_{23} = 2$
$C_{31} = 2, C_{32} = 2, C_{33} = -3$
अतः,$\text{Adj } A = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
इस प्रकार,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj } A = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$A^{-1} = \frac{1}{5} \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{5}(A - 4I)$.

(C) दिया गया है,$a^2+b^2+c^2+d^2=1$ और $A=\left[\begin{array}{cc}a+ib & c+id \\ -c+id & a-ib\end{array}\right]$।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = (a+ib)(a-ib) - (c+id)(-c+id)$
$|A| = (a^2 - (ib)^2) - ((id)^2 - c^2)$
$|A| = (a^2 + b^2) - (-d^2 - c^2) = a^2+b^2+c^2+d^2 = 1$।
चूंकि $|A|=1$,व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1}$ सहखंडज आव्यूह $\text{adj}(A)$ द्वारा प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}a-ib & -(c+id) \\ -(-c+id) & a+ib\end{array}\right]$
$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}a-ib & -c-id \\ c-id & a+ib\end{array}\right]$।

(B) दिया गया है,$A(\alpha, \beta) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & e^\beta \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक ज्ञात करते हैं $|A(\alpha, \beta)| = e^\beta(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = e^\beta$.
इसके बाद,हम सहखंडज आव्यूह ज्ञात करते हैं। सहखंड इस प्रकार हैं:
$C_{11} = e^\beta \cos \alpha, C_{12} = e^\beta \sin \alpha, C_{13} = 0$
$C_{21} = -e^\beta \sin \alpha, C_{22} = e^\beta \cos \alpha, C_{23} = 0$
$C_{31} = 0, C_{32} = 0, C_{33} = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$
अतः,$\text{adj}(A(\alpha, \beta)) = \begin{bmatrix} e^\beta \cos \alpha & -e^\beta \sin \alpha & 0 \\ e^\beta \sin \alpha & e^\beta \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इसलिए,$[A(\alpha, \beta)]^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{e^\beta} \begin{bmatrix} e^\beta \cos \alpha & -e^\beta \sin \alpha & 0 \\ e^\beta \sin \alpha & e^\beta \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & e^{-\beta} \end{bmatrix}$.
चूंकि $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ और $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$,यह आव्यूह $A(-\alpha, -\beta)$ के बराबर है।

(A) दिया गया है कि $\det(I+A) \neq 0$,जिसका अर्थ है कि $(I+A)$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
हमें $A^3 = O$ दिया गया है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$ जानते हैं।
$x = A$ और $y = I$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A^3 + I^3 = (A+I)(A^2 - A + I)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A^3 = O$ और $I^3 = I$,समीकरण $O + I = (A+I)(A^2 - A + I)$ बन जाता है।
यह सरल होकर $I = (A+I)(A^2 - A + I)$ हो जाता है।
दोनों पक्षों को $(A+I)^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $(A+I)^{-1} I = (A+I)^{-1} (A+I)(A^2 - A + I)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(A+I)^{-1}(A+I) = I$,इसलिए $(A+I)^{-1} = I(A^2 - A + I) = A^2 - A + I$ है।
अतः,$(I+A)^{-1} = I - A + A^2$।

(D) माना $A = \left[\begin{array}{ccc}7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 7(1 - 0) - (-3)(-1 - 0) + (-3)(0 - (-1))$
$|A| = 7(1) + 3(-1) - 3(1) = 7 - 3 - 3 = 1$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम का अस्तित्व है।
अब,हम सहखंड आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1, C_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1, C_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1$.
$C_{21} = -\begin{vmatrix} -3 & -3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3, C_{22} = +\begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 4, C_{23} = -\begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 3$.
$C_{31} = +\begin{vmatrix} -3 & -3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 3, C_{32} = -\begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 3, C_{33} = +\begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 4$.
एडजॉइंट आव्यूह $\operatorname{adj}(A)$ सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) है:
$\operatorname{adj}(A) = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 4 \end{array}\right]^T = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right]$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A) = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right]$.

(C) हम जानते हैं कि कोटि $n$ के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज आव्यूह का गुणधर्म $A(\operatorname{adj} A) = |A|I_n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_n$ कोटि $n$ का तत्समक आव्यूह है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $|A(\operatorname{adj} A)| = | |A|I_n |$ प्राप्त होता है।
$|AB| = |A||B|$ और कोटि $n$ के आव्यूह के लिए $|kA| = k^n|A|$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $|A| \cdot |\operatorname{adj} A| = |A|^n \cdot |I_n|$ प्राप्त होता है।
चूँकि $|I_n| = 1$,इसलिए हमें $|A| \cdot |\operatorname{adj} A| = |A|^n$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,इसलिए $|A| \neq 0$ है।
दोनों पक्षों को $|A|$ से विभाजित करने पर,हमें $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1} = AB$ होता है।
सबसे पहले,$AB$ का गुणनफल ज्ञात करें:
$AB = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (-2)(0) + (2)(1) & (-2)(-1) + (2)(0) \\ (-3)(0) + (2)(1) & (-3)(-1) + (2)(0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 0 + 2 & 2 + 0 \\ 0 + 2 & 3 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$.

(D) हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ और $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| = |A|^{(n-1)^2}$,जहाँ $n$ आव्यूह $A$ का क्रम है।
दिया गया है $|\operatorname{adj} A| = |\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)|$.
इसलिए,$|A|^{n-1} = |A|^{(n-1)^2}$.
चूंकि $A$ गैर-शून्य है,$|A| \neq 0$. अतः,$n-1 = (n-1)^2$.
$(n-1) - (n-1)^2 = 0 \Rightarrow (n-1)(1 - (n-1)) = 0 \Rightarrow (n-1)(2-n) = 0$.
चूंकि $n > 1$,हमें $n = 2$ प्राप्त होता है।
आव्यूह की कोटि (rank) आव्यूह में रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों या स्तंभों की अधिकतम संख्या है। विकल्प $D$ में दिया गया आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ का सारणिक $-12$ है,जो शून्य नहीं है,इसलिए इसकी कोटि $3$ है।

(B) सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(4-3) - 2(6-3) + 2(3-2) = 1(1) - 2(3) + 2(1) = 1 - 6 + 2 = -3$.
इसके बाद,हम $A$ का सहखंडज आव्यूह $adj(A)$ ज्ञात करते हैं। सहखंडों का आव्यूह इस प्रकार है:
$C_{11} = (4-3) = 1, C_{12} = -(6-3) = -3, C_{13} = (3-2) = 1$
$C_{21} = -(4-2) = -2, C_{22} = (2-2) = 0, C_{23} = -(1-2) = 1$
$C_{31} = (6-4) = 2, C_{32} = -(3-6) = 3, C_{33} = (2-6) = -4$
अतः,$adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & -4 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$.
अब $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$.
$A^{-1}$ के सभी अवयवों का योग:
$-\frac{1}{3} (1 - 3 + 1 - 2 + 0 + 1 + 2 + 3 - 4) = -\frac{1}{3} (-1) = \frac{1}{3}$.

(B) हमें $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ दिया गया है।
गुणधर्म $(XY)^{-1} = Y^{-1}X^{-1}$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को सरल बना सकते हैं:
$(A^{-1}B)^{-1} + (AB^{-1})^{-1} = B^{-1}(A^{-1})^{-1} + (B^{-1})^{-1}A^{-1} = B^{-1}A + BA^{-1}$.
सबसे पहले,ध्यान दें कि $A^2 = I$ और $B^2 = I$,इसलिए $A^{-1} = A$ और $B^{-1} = B$.
इस प्रकार,व्यंजक $BA + BA = 2BA$ बन जाता है।
$BA = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ की गणना करने पर।
इसलिए,$2BA = 2 \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
यह विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(C) सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(1-3) - 2(2-1) + 3(6-1) = 1(-2) - 2(1) + 3(5) = -2 - 2 + 15 = 11$.
इसके बाद,हम $B$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|B| = 2(4-8) - 3(6-4) + 4(12-4) = 2(-4) - 3(2) + 4(8) = -8 - 6 + 32 = 18$.
चूंकि $|AB| = |A| \times |B|$,इसलिए $|AB| = 11 \times 18 = 198$.
एडजॉइंट मैट्रिक्स के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ जहाँ $n$ मैट्रिक्स का क्रम है। यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|\operatorname{Adj}(AB)| = |AB|^{3-1} = |AB|^2$.
अतः,$\sqrt{|\operatorname{Adj}(AB)|} = \sqrt{|AB|^2} = |AB| = 198$.

(B) सबसे पहले,हम आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(1 \times 3 - 3 \times 6) - 5(4 \times 3 - 3 \times 2) + 2(4 \times 6 - 1 \times 2)$
$|A| = 1(3 - 18) - 5(12 - 6) + 2(24 - 2)$
$|A| = 1(-15) - 5(6) + 2(22)$
$|A| = -15 - 30 + 44 = -1$
हम जानते हैं कि $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है। यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2 = (-1)^2 = 1$।
हमें $|(\operatorname{Adj} A)^{-1}|$ ज्ञात करना है।
गुणधर्म $|B^{-1}| = \frac{1}{|B|}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $|(\operatorname{Adj} A)^{-1}| = \frac{1}{|\operatorname{Adj} A|} = \frac{1}{1} = 1$।

(A) माना $P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ और $Q = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$ है। दिया गया समीकरण $P \cdot A \cdot Q = I$ है,जहाँ $I$ एक तत्समक आव्यूह है।
बाएँ पक्ष में $P^{-1}$ और दाएँ पक्ष में $Q^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $A = P^{-1} \cdot I \cdot Q^{-1} = P^{-1} \cdot Q^{-1}$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$P^{-1}$ ज्ञात करें: $\det(P) = (2)(2) - (1)(3) = 4 - 3 = 1$। अतः,$P^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$।
अगला,$Q^{-1}$ ज्ञात करें: $\det(Q) = (-3)(-3) - (2)(5) = 9 - 10 = -1$। अतः,$Q^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -3 & -2 \\ -5 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$।
अब,$A = P^{-1} \cdot Q^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(3) + (-1)(5) & (2)(2) + (-1)(3) \\ (-3)(3) + (2)(5) & (-3)(2) + (2)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6-5 & 4-3 \\ -9+10 & -6+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$।

(C) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,गुणधर्म $\text{adj } A \cdot A = |A| I$ सत्य है,और $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$ होता है।
यहाँ $|A| = 6$ और $n = 3$ दिया गया है,इसलिए $|\text{adj } A| = |A|^{3-1} = |A|^2 = 6^2 = 36$ होगा।
अब,$\text{adj } A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|\text{adj } A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 4 & 1 & 1 \\ -1 & k & 0 \end{vmatrix} = 1(0 - k) - (-2)(0 - (-1)) + 4(4k - (-1))$
$= 1(-k) + 2(1) + 4(4k + 1)$
$= -k + 2 + 16k + 4$
$= 15k + 6$.
दोनों मानों की तुलना करने पर:
$15k + 6 = 36$
$15k = 30$
$k = 2$.