Work Done by Spring and Potential Energy of Spring Questions in Hindi

(C) एक स्प्रिंग को प्रारंभिक विस्तार $x_1$ से अंतिम विस्तार $x_2$ तक खींचने में किया गया कार्य $W$ निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$
दिया गया है:
बल नियतांक $k = 5 \times 10^3 \ N/m$
प्रारंभिक विस्तार $x_1 = 5 \ cm = 5 \times 10^{-2} \ m$
अंतिम विस्तार $x_2 = 10 \ cm = 10 \times 10^{-2} \ m$
मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^3) \times [(10 \times 10^{-2})^2 - (5 \times 10^{-2})^2]$
$W = \frac{1}{2} \times 5000 \times [100 \times 10^{-4} - 25 \times 10^{-4}]$
$W = 2500 \times 75 \times 10^{-4}$
$W = 2500 \times 0.0075 = 18.75 \ J$ (या $N-m$).

(C) स्प्रिंग नियतांक $k$ और आरोपित बल $F$ के तहत स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{F^2}{2k}$।
चूंकि दोनों स्प्रिंगों पर समान बल $F$ लगाया गया है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा स्प्रिंग नियतांक के व्युत्क्रमानुपाती है: $U \propto \frac{1}{k}$।
अतः,स्थितिज ऊर्जा का अनुपात होगा: $\frac{U_1}{U_2} = \frac{k_2}{k_1}$।
दिए गए मान $k_1 = 1500 \, N/m$ और $k_2 = 3000 \, N/m$ रखने पर:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{3000}{1500} = \frac{2}{1}$।
इस प्रकार,अनुपात $2 : 1$ है।

(D) एक स्प्रिंग को $x$ दूरी तक खींचने पर उसमें संचित स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{2} k x^2$,जहाँ $k$ स्प्रिंग का बल नियतांक है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $U \propto x^2$ है।
दिया गया है कि $x_1 = 2 \ cm$ के विस्तार के लिए स्थितिज ऊर्जा $U_1 = U$ है।
$x_2 = 8 \ cm$ के विस्तार के लिए,मान लीजिए स्थितिज ऊर्जा $U_2$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{x_2}{x_1} \right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{U_2}{U} = \left( \frac{8 \ cm}{2 \ cm} \right)^2 = (4)^2 = 16$.
अतः,$U_2 = 16U$.

(C) स्थिति $(a)$: जब समान दूरी $x$ तक खींचा जाता है,तो किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} K x^2$ होता है। चूँकि $K_P > K_Q$ और $x$ समान है,इसलिए $W_P = \frac{1}{2} K_P x^2$ और $W_Q = \frac{1}{2} K_Q x^2$ होगा। अतः,$W_P > W_Q$।
स्थिति $(b)$: जब समान बल $F$ द्वारा खींचा जाता है,तो किया गया कार्य $W = \frac{F^2}{2K}$ होता है। चूँकि $K_P > K_Q$ और $F$ समान है,इसलिए $W_P = \frac{F^2}{2K_P}$ और $W_Q = \frac{F^2}{2K_Q}$ होगा। चूँकि $K_P > K_Q$,इसलिए $\frac{1}{K_P} < \frac{1}{K_Q}$ होगा,अर्थात $W_P < W_Q$ या $W_Q > W_P$।

(A) दिया गया है: स्प्रिंग नियतांक $K = 10\, N/cm = 1000\, N/m$.
प्रारंभिक विस्तार $x_1 = 4\, cm = 0.04\, m$.
अंतिम विस्तार $x_2 = 6\, cm = 0.06\, m$.
स्प्रिंग को खींचने में किया गया कार्य $W$,प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \frac{1}{2} K (x_2^2 - x_1^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 1000 \times ((0.06)^2 - (0.04)^2)$
$W = 500 \times (0.0036 - 0.0016)$
$W = 500 \times 0.0020$
$W = 1.0\, J$.

(D) स्प्रिंग की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है।
$x_1 = 0.3\, m$ के लिए $U_1 = 10\, J$ दिया गया है,इसलिए $10 = \frac{1}{2} k (0.3)^2$।
स्प्रिंग नियतांक $k$ का मान: $k = \frac{20}{0.09} = \frac{2000}{9}\, N/m$।
स्प्रिंग को अतिरिक्त $0.15\, m$ खींचा जाता है,इसलिए नया कुल विस्थापन $x_2 = 0.3 + 0.15 = 0.45\, m$ होगा।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2} k x_2^2 = \frac{1}{2} \times \frac{2000}{9} \times (0.45)^2$।
$U_2 = \frac{1000}{9} \times 0.2025 = 1000 \times 0.0225 = 22.5\, J$।
स्प्रिंग को और अधिक खींचने के लिए किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है: $W = U_2 - U_1 = 22.5\, J - 10\, J = 12.5\, J$।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
प्रेक्षक $A$ (जमीन के फ्रेम) के लिए,ब्लॉक की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 0$ है (क्योंकि ब्लॉक विराम अवस्था में आ जाता है)।
क्षैतिज दिशा में ब्लॉक पर कार्य करने वाला एकमात्र बल स्प्रिंग बल $(F_s)$ है।
इसलिए,$W_{spring} = K_f - K_i = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\frac{1}{2}mv_0^2$.
अतः,प्रेक्षक $A$ द्वारा देखा गया स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य $-\frac{1}{2}mv_0^2$ है।

(B) चूंकि वेज स्थिर है,हम $M$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का सिद्धांत लागू कर सकते हैं।
मान लीजिए कि स्प्रिंग में अधिकतम विस्तार $x_m$ है।
अधिकतम विस्तार पर,ब्लॉक का वेग शून्य होता है।
ब्लॉक की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी,स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
$M g (x_m \sin \theta) = \frac{1}{2} k x_m^2$
$x_m$ के लिए हल करने पर:
$x_m = \frac{2 M g \sin \theta}{k}$
दिया गया है $\theta = 37^\circ$,हम जानते हैं कि $\sin 37^\circ = \frac{3}{5}$।
$\sin 37^\circ$ का मान रखने पर:
$x_m = \frac{2 M g (3/5)}{k} = \frac{6 M g}{5 k}$

(B) बल $F$ द्वारा स्प्रिंग को खींचने में किया गया कार्य $W = \frac{F^2}{2k}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि समान बल $F$ के लिए,$W_1 > W_2$,इसलिए $\frac{F^2}{2k_1} > \frac{F^2}{2k_2}$,जिसका अर्थ है $k_1 < k_2$। अतः,कथन $2$ सत्य है।
जब स्प्रिंग को समान विस्तार $x$ तक खींचा जाता है,तो किया गया कार्य $W = \frac{1}{2}kx^2$ होता है।
चूंकि $k_1 < k_2$,समान विस्तार $x$ के लिए,$W_1 = \frac{1}{2}k_1x^2$ और $W_2 = \frac{1}{2}k_2x^2$। इसलिए,$W_1 < W_2$।
कथन $1$ दावा करता है कि समान विस्तार के लिए $W_1 > W_2$,जो कि असत्य है।
अतः,कथन $1$ असत्य है और कथन $2$ सत्य है।

(C) दबी हुई स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा द्रव्यमान केंद्र के फ्रेम में कणों की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
मान लीजिए कि अलग होने का सापेक्ष वेग $v_{rel}$ है।
निकाय का रिड्यूस्ड मास $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{16 \times 2}{16 + 2} = \frac{32}{18} = \frac{16}{9} \ kg$ है।
ऊर्जा संरक्षण का समीकरण $\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} \mu v_{rel}^2$ है।
यहाँ $k = 100 \ Nm^{-1}$ और $x = 25 \ cm = 0.25 \ m = \frac{1}{4} \ m$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} \times 100 \times (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{2} \times \frac{16}{9} \times v_{rel}^2$.
$100 \times \frac{1}{16} = \frac{16}{9} \times v_{rel}^2$.
$v_{rel}^2 = \frac{100}{16} \times \frac{9}{16} = \frac{900}{256}$.
$v_{rel} = \sqrt{\frac{900}{256}} = \frac{30}{16} = 1.875 \ ms^{-1}$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $v_{rel} \approx 1.88 \ ms^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) साम्यावस्था स्थिति में,स्प्रिंग बल गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है: $kx = mg$.
बल नियतांक $k = \frac{2mg}{a}$ दिया गया है,इसे साम्यावस्था समीकरण में रखने पर:
$\frac{2mg}{a} \cdot x = mg$
विस्थापन $x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{a}{2}$.
पृथ्वी (गुरुत्वाकर्षण बल) द्वारा ब्लॉक पर किया गया कार्य $W = F \cdot d = mgx$ द्वारा दिया जाता है।
$x$ का मान रखने पर:
$W = mg \left( \frac{a}{2} \right) = \frac{mga}{2}$.

(B) जब स्प्रिंग $x$ मात्रा तक संकुचित होती है,तो उसमें संचित स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}kx^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,प्राकृतिक लंबाई $L_0$ है और यह $L_0/2$ तक संकुचित है,इसलिए संपीड़न $x = L_0 - L_0/2 = L_0/2$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जब स्प्रिंग अपनी प्राकृतिक लंबाई पर वापस आती है,तो स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}k\left(\frac{L_0}{2}\right)^2$
$mv^2 = k\frac{L_0^2}{4}$
$v^2 = \frac{k}{m} \cdot \frac{L_0^2}{4}$
$v = \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \frac{L_0}{2}$

(D) $1$. जम्पर के $S$ दूरी पर विराम में आने के लिए,गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में कमी,प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है: $mgS = \frac{1}{2}K(S-l)^2$. इस द्विघात समीकरण $KS^2 - 2(Kl+mg)S + Kl^2 = 0$ को हल करने पर $S = \frac{(Kl+mg) + \sqrt{2mgKl + m^2g^2}}{K}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$2$. अधिकतम गति संतुलन स्थिति पर होती है जहाँ कुल बल शून्य होता है: $mg = Kx_{eq} \Rightarrow x_{eq} = \frac{mg}{K}$. कुल तय की गई दूरी $l + \frac{mg}{K}$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $mg(l + \frac{mg}{K}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}K(\frac{mg}{K})^2$. $v$ के लिए हल करने पर $v = \sqrt{2gl + \frac{mg^2}{K}}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$3$. $l$ दूरी के लिए मुक्त पतन का समय $t_1 = \sqrt{\frac{2l}{g}}$ है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
$4$. रस्सी के खिंचने के बाद की गति एक सरल आवर्त गति है जो प्राकृतिक लंबाई की स्थिति से शुरू होती है,जिसमें प्रारंभिक नीचे की ओर वेग $v_0 = \sqrt{2gl}$ है। सबसे निचले बिंदु तक पहुँचने का समय केवल $\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{K}} + \sqrt{\frac{2l}{g}}$ नहीं है। इसलिए,विकल्प $D$ गलत कथन है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1\, kg$,प्रारंभिक वेग $v_1 = 8\, m/s$,संपीड़न $x = 3\, m$ है।
प्रारंभिक संवेग $P_1 = m v_1 = 1 \times 8 = 8\, kg\cdot m/s$ है।
अंतिम संवेग $P_2 = P_1 / 2 = 4\, kg\cdot m/s$ है।
चूंकि $P_2 = m v_2$,इसलिए $v_2 = P_2 / m = 4 / 1 = 4\, m/s$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गतिज ऊर्जा में हुई हानि स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} m v_1^2 - \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} k x^2$
$m(v_1^2 - v_2^2) = k x^2$
$1 \times (8^2 - 4^2) = k \times 3^2$
$1 \times (64 - 16) = 9k$
$48 = 9k$
$k = 48 / 9 = 16 / 3\, N/m$.

(C) किसी स्प्रिंग को $F$ बल द्वारा खींचने में किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} k x^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रत्यानयन बल $F = kx$ है,इसलिए $x = \frac{F}{k}$ होता है।
कार्य के समीकरण में $x$ का मान रखने पर: $W = \frac{1}{2} k \left(\frac{F}{k}\right)^2 = \frac{F^2}{2k}$ प्राप्त होता है।
समान बल $F$ के लिए,किया गया कार्य बल नियतांक $k$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(W \propto \frac{1}{k})$।
दिया गया है कि $k_1 > k_2$,इसलिए $W_1 < W_2$ होगा।
अतः,दूसरी स्प्रिंग $(k_2)$ के मामले में अधिक कार्य किया जाता है।

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य $W_s = -\frac{1}{2}kx^2$ है।
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2}m(v_f^2 - v_i^2)$ है।
अंतिम गति $v_f = \frac{v}{4}$ और प्रारंभिक गति $v_i = v$ दी गई है,इसलिए:
$-\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\left(\left(\frac{v}{4}\right)^2 - v^2\right)$
$-\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{v^2}{16} - v^2\right)$
$-\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\left(-\frac{15v^2}{16}\right)$
$kx^2 = \frac{15mv^2}{16}$
$k = \frac{15mv^2}{16x^2}$

(C) अधिकतम संपीड़न के समय,दोनों द्रव्यमानों का वेग समान $v_0$ होगा।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v_0$
$2 \times 10 + 5 \times 3 = (2 + 5) v_0$
$20 + 15 = 7 v_0$
$35 = 7 v_0 \Rightarrow v_0 = 5\,m/s$
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा अंतिम गतिज ऊर्जा और स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_0^2 + \frac{1}{2} K x^2$
$\frac{1}{2} (2) (10)^2 + \frac{1}{2} (5) (3)^2 = \frac{1}{2} (2 + 5) (5)^2 + \frac{1}{2} (1120) x^2$
$100 + 22.5 = 87.5 + 560 x^2$
$122.5 = 87.5 + 560 x^2$
$35 = 560 x^2$
$x^2 = \frac{35}{560} = \frac{1}{16}$
$x = \sqrt{\frac{1}{16}} = 0.25\,m$.

(B) बल $F$ द्वारा खींचे गए स्प्रिंग पर किया गया कार्य $W = \frac{F^2}{2k}$ होता है। समान बल $F$ के लिए यदि $W_1 > W_2$ है,तो $\frac{F^2}{2k_1} > \frac{F^2}{2k_2}$ होगा,जिसका अर्थ है $k_1 < k_2$। अतः,कथन $-2$ सत्य है।
जब समान विस्थापन $x$ द्वारा खींचा जाता है,तो किया गया कार्य $W = \frac{1}{2}kx^2$ होता है। चूंकि $k_1 < k_2$,इसलिए $\frac{1}{2}k_1x^2 < \frac{1}{2}k_2x^2$ होगा। अतः,$S_1$ पर किया गया कार्य $S_2$ पर किए गए कार्य से कम है। इसलिए,कथन $-1$ असत्य है।

(A) मान लीजिए कि छड़ से स्प्रिंग के स्थिर सिरे तक की लंबवत दूरी $h$ है। स्थिति $B$ पर ज्यामिति से,हमारे पास $\cos 53^{\circ} = \frac{h}{l_0+x}$ है और $h = l_0$ है।
अतः,$\frac{3}{5} = \frac{l_0}{l_0+x}$।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $3(l_0+x) = 5l_0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3x = 2l_0$,या $x = \frac{2}{3}l_0$।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थिति $B$ पर स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा,स्थिति $A$ पर रिंग की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है (जहाँ स्प्रिंग की लंबाई $l_0$ है और स्थितिज ऊर्जा शून्य है)।
$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv^2$।
$v = x\sqrt{\frac{k}{m}} = \left(\frac{2}{3}l_0\right)\sqrt{\frac{k}{m}}$।

(C) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम $(COME)$ के अनुसार,निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
मान लीजिए कि गेंद की प्रारंभिक स्थिति गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के लिए संदर्भ स्तर $(PE = 0)$ है।
प्रारंभिक अवस्था: गेंद प्लेटफॉर्म से $h$ ऊँचाई पर है। स्प्रिंग अपनी प्राकृतिक लंबाई पर है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE_i)$ $0$ है,और प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $(PE_i)$ $0$ है (यदि हम इसे छोड़ने के बिंदु से मापें)।
अंतिम अवस्था: गेंद और प्लेटफॉर्म $x$ दूरी नीचे चले जाते हैं। गेंद अब छोड़ने के बिंदु के सापेक्ष $-(h + x)$ ऊर्ध्वाधर स्थिति पर है। स्प्रिंग $x$ तक दब जाती है। अंतिम गतिज ऊर्जा $(KE_f)$ $0$ है (अधिकतम संपीड़न के बिंदु पर)।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत को लागू करने पर:
$PE_i + KE_i = PE_f + KE_f$
$0 + 0 = -mg(h + x) + \frac{1}{2}kx^2$
स्प्रिंग नियतांक $k$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$mg(h + x) = \frac{1}{2}kx^2$
$k = \frac{2mg(h + x)}{x^2}$

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ है।
जब चाल आधी हो जाती है $(v' = v/2)$ तो अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}m(v/2)^2 = \frac{1}{8}mv^2$ होती है।
स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य $W = -\Delta PE = -\frac{1}{2}kx^2$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$W = K_f - K_i$ है।
$-\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{8}mv^2 - \frac{1}{2}mv^2$.
$-\frac{1}{2}kx^2 = \frac{mv^2 - 4mv^2}{8} = -\frac{3mv^2}{8}$.
$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{3mv^2}{8}$.
$k = \frac{3mv^2}{4x^2}$.

(C) $x$ दूरी तक खींची गई स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} K x^2$ है, जहाँ $K$ स्प्रिंग नियतांक है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $U \propto x^2$ है।
जब खिंचाव को $x$ से बढ़ाकर $nx$ किया जाता है, तो नई स्थितिज ऊर्जा $U'$ इस प्रकार होगी:
$U' = \frac{1}{2} K (nx)^2$
$U' = \frac{1}{2} K n^2 x^2$
$U' = n^2 (\frac{1}{2} K x^2)$
चूंकि $U = \frac{1}{2} K x^2$, इसलिए $U' = n^2 u$।

(D) स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्थापन है।
इसका अर्थ है कि $U \propto x^2$ है।
प्रारंभ में,विस्थापन $x_1 = 2 \, cm$ है,इसलिए $U = C(2)^2 = 4C$,जहाँ $C$ एक नियतांक है।
जब स्प्रिंग को अतिरिक्त $10 \, cm$ खींचा जाता है,तो नया कुल विस्थापन $x_2 = 2 \, cm + 10 \, cm = 12 \, cm$ हो जाता है।
नई संचित ऊर्जा $U' = C(12)^2 = 144C$ है।
नई ऊर्जा और प्रारंभिक ऊर्जा का अनुपात लेने पर:
$\frac{U'}{U} = \frac{144C}{4C} = 36$.
अतः,नई संचित ऊर्जा $U' = 36U$ होगी।

(C) मान लीजिए मूल स्प्रिंग की लंबाई $\ell_0$ और बल नियतांक $k$ है। स्प्रिंग नियतांक लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $k \propto 1/\ell$।
जब स्प्रिंग को $\ell_1 = \ell_0/3$ और $\ell_2 = 2\ell_0/3$ लंबाई के दो भागों में काटा जाता है,तो उनके नए स्प्रिंग नियतांक इस प्रकार होंगे:
$k_1 = k \cdot (\ell_0 / \ell_1) = k \cdot (\ell_0 / (\ell_0/3)) = 3k$
$k_2 = k \cdot (\ell_0 / \ell_2) = k \cdot (\ell_0 / (2\ell_0/3)) = 1.5k = 3k/2$
स्प्रिंग को $x$ मात्रा तक खींचने में किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों भागों को समान मात्रा $x$ तक खींचा जाता है,इसलिए किया गया कार्य स्प्रिंग नियतांक के समानुपाती होता है $(W \propto k)$।
छोटे भाग के लिए (लंबाई $\ell_0/3$),$W_1 = \frac{1}{2} (3k) x^2 = 1.5 k x^2$।
लंबे भाग के लिए (लंबाई $2\ell_0/3$),$W_2 = \frac{1}{2} (1.5k) x^2 = 0.75 k x^2$।
चूंकि $W_1 > W_2$,इसलिए छोटे भाग के लिए किया गया कार्य अधिक होगा।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन स्प्रिंग बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ है।
अंतिम गति $v_f = \frac{v}{2}$ है,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}m(\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{8}mv^2$ है।
जब स्प्रिंग को $x$ दूरी तक संकुचित किया जाता है,तो स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य $W = -\frac{1}{2}kx^2$ होता है।
प्रमेय लागू करने पर: $K_f - K_i = W$.
$\frac{1}{8}mv^2 - \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{1}{2}kx^2$.
$8$ से गुणा करने पर: $mv^2 - 4mv^2 = -4kx^2$.
$-3mv^2 = -4kx^2$.
$k$ के लिए हल करने पर: $k = \frac{3mv^2}{4x^2}$.

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,संपीड़ित स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा गेंद की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} kx^2$ द्वारा दी जाती है।
गेंद की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} mv^2$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 15\, g = 15 \times 10^{-3}\, kg$
बल नियतांक $k = 600\, N/m$
संपीड़न $x = 3\, cm = 3 \times 10^{-2}\, m$
ऊर्जाओं को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} mv^2$
$kx^2 = mv^2$
$v^2 = \frac{k}{m} x^2$
$v = x \sqrt{\frac{k}{m}}$
मान रखने पर:
$v = (3 \times 10^{-2}) \sqrt{\frac{600}{15 \times 10^{-3}}}$
$v = (3 \times 10^{-2}) \sqrt{\frac{600000}{15}}$
$v = (3 \times 10^{-2}) \sqrt{40000}$
$v = (3 \times 10^{-2}) \times 200$
$v = 6\, m/s$

(C) मान लीजिए गेंद $A$ का द्रव्यमान $m$ है। जब गेंद $A$ को विराम अवस्था से छोड़ा जाता है,तो यह नीचे की ओर गति करती है और स्प्रिंग को खींचती है। मान लीजिए कि गेंद की गति के सबसे निचले बिंदु पर स्प्रिंग $x$ दूरी तक खिंच जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गेंद $A$ की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है:
$mgx = \frac{1}{2}kx^2$
$mg = \frac{1}{2}kx$
$kx = 2mg$ ... $(1)$
$M$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक $B$ को जमीन से संपर्क छोड़ने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला स्प्रिंग बल ब्लॉक $B$ के भार के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए:
$kx \ge Mg$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ से $kx$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2mg \ge Mg$
$m \ge M/2$
अतः,$A$ का आवश्यक न्यूनतम द्रव्यमान $M/2$ है।

(B) स्प्रिंग को खींचने में किसी बाहरी कारक द्वारा किया गया कार्य स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
दिया गया है,स्प्रिंग नियतांक $k = 1\, N/m$ और विस्थापन $x = 2\, m$ है।
किया गया कार्य $W$ का सूत्र है:
$W = \int_{0}^{x} kx\, dx = \frac{1}{2} k x^2$
मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 1\, N/m \times (2\, m)^2$
$W = \frac{1}{2} \times 1 \times 4 = 2\, J$.
अतः,सरोज द्वारा किया गया कार्य $2\, J$ है।

(D) स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} K x^2$ है,जहाँ $K$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्तार या संपीड़न है।
यह समीकरण दर्शाता है कि $U \propto x^2$ है।
$U$ और $x$ के बीच का ग्राफ एक परवलय (parabola) को दर्शाता है,न कि एक सीधी रेखा को।
इसलिए,$Assertion$ गलत है क्योंकि संबंध द्विघात (quadratic) है,रैखिक नहीं।
$Reason$ सही है क्योंकि यह सही ढंग से बताता है कि स्थितिज ऊर्जा विस्तार या संपीड़न के वर्ग के समानुपाती होती है $(U \propto x^2)$।

(D) अधिकतम संपीड़न पर,कार की गतिज ऊर्जा पूरी तरह से स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
सबसे पहले,गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
$v = 18.0 \; km/h = 18.0 \times \frac{5}{18} \; m/s = 5 \; m/s$.
चलती कार की गतिज ऊर्जा $K$ है:
$K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 1000 \; kg \times (5 \; m/s)^2 = 500 \times 25 = 1.25 \times 10^4 \; J$.
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अधिकतम संपीड़न $x_m$ पर,स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $V$ कार की गतिज ऊर्जा $K$ के बराबर होती है:
$V = \frac{1}{2} k x_m^2 = K$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times (6.25 \times 10^3) \times x_m^2 = 1.25 \times 10^4$.
$x_m^2 = \frac{2 \times 1.25 \times 10^4}{6.25 \times 10^3} = \frac{2.5 \times 10^4}{6.25 \times 10^3} = 0.4 \times 10 = 4$.
$x_m = \sqrt{4} = 2 \; m$.

(N/A) एक प्रत्यास्थ स्प्रिंग पर विचार करें,जो नगण्य द्रव्यमान के साथ हुक के नियम का पालन करती है,जिसका एक सिरा दीवार से मजबूती से बंधा हुआ है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। स्प्रिंग के दूसरे सिरे पर एक ब्लॉक बंधा हुआ है,जो एक चिकनी क्षैतिज सतह पर स्थित है।
सरलता के लिए,हम ब्लॉक की गति को $X$-दिशा तक सीमित रखेंगे।
स्प्रिंग की सामान्य स्थिति में,ब्लॉक की स्थिति को $x=0$ लिया जाता है,जैसा कि चित्र $(a)$ में दिखाया गया है।
जब ब्लॉक को खींचा जाता है और स्प्रिंग की लंबाई $x$ बढ़ जाती है,तो स्प्रिंग में एक प्रत्यानयन बल $F_{S}$ उत्पन्न होता है जो स्प्रिंग को उसकी सामान्य स्थिति में वापस लाने का प्रयास करता है। प्रत्यानयन बल (स्प्रिंग बल) तब भी उत्पन्न होता है जब स्प्रिंग को दबाया जाता है। यह चित्र $(b)$ और $(c)$ में दिखाया गया है। प्रत्यानयन बल स्प्रिंग की लंबाई में परिवर्तन के सीधे आनुपातिक होता है और लंबाई में परिवर्तन की विपरीत दिशा में होता है। स्प्रिंग के लिए बल के इस नियम को हुक का नियम कहा जाता है: $F_{S} = -kx$,जहाँ $k$ स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक या बल नियतांक है।
स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{|F_{S}|}{|x|}$,इसका मात्रक $N/m$ है।
यदि $k$ बड़ा है तो स्प्रिंग कठोर कहलाती है और यदि $k$ छोटा है तो स्प्रिंग नरम कहलाती है।
मान लीजिए कि ब्लॉक को चित्र $(b)$ के अनुसार बाहर की ओर खींचा जाता है। यदि विस्तार $x_{m}$ है,तो स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य है:
$W_{S} = \int_{0}^{x_{m}} F_{S} dx = \int_{0}^{x_{m}} (-kx) dx$
$W_{S} = -k \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{x_{m}} = -\frac{1}{2} k x_{m}^{2}$
स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $V(x)$ को बाहरी बल द्वारा उसे खींचने या दबाने के लिए किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो स्प्रिंग बल द्वारा किए गए कार्य का ऋणात्मक मान है:
$V(x) = -W_{S} = \frac{1}{2} k x^{2}$

(N/A) घर्षण रहित क्षैतिज सतह पर $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़े $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक पर विचार करें। मान लीजिए $x=0$ संतुलन स्थिति है।
जब ब्लॉक को $x_m$ विस्थापन तक खींचकर छोड़ा जाता है,तो यह $-x_m$ और $+x_m$ के बीच दोलन करता है। किसी भी विस्थापन $x$ पर,कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$,गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ का योग है:
$E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$
चरम स्थिति $x = x_m$ पर,वेग $v = 0$ है,इसलिए कुल ऊर्जा पूरी तरह से स्थितिज ऊर्जा है:
$E = \frac{1}{2}kx_m^2$
चूंकि निकाय संरक्षी है,इसलिए किसी भी स्थिति $x$ पर कुल ऊर्जा स्थिर रहती है:
$\frac{1}{2}kx_m^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$
संतुलन स्थिति $x=0$ पर,स्थितिज ऊर्जा शून्य है और गतिज ऊर्जा अधिकतम है,जहाँ $v = v_m$:
$\frac{1}{2}mv_m^2 = \frac{1}{2}kx_m^2$
$v_m$ के लिए हल करने पर:
$v_m^2 = \frac{k}{m}x_m^2 \implies v_m = \sqrt{\frac{k}{m}}x_m$
यह पुष्टि करता है कि गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में और स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित होती है,लेकिन पूरी गति के दौरान कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।

(N/A) स्प्रिंग नियतांक $(k)$ स्प्रिंग की कठोरता का माप है। इसे स्प्रिंग में इकाई विस्तार या संपीड़न उत्पन्न करने के लिए आवश्यक बल के रूप में परिभाषित किया गया है। हुक के नियम के अनुसार,$F = -kx$,जहाँ $F$ प्रत्यानयन बल है,$x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है,और $k$ स्प्रिंग नियतांक है। इसका $SI$ मात्रक $N/m$ है।
जब स्प्रिंग को स्थिति $x_1$ से $x_2$ तक विस्थापित किया जाता है,तो स्प्रिंग द्वारा किया गया कार्य इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = -\frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)$।
इस व्यंजक से,हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि स्प्रिंग द्वारा किया गया कार्य निम्नलिखित पर निर्भर करता है:
$1$. स्प्रिंग नियतांक $(k)$,जो स्प्रिंग की कठोरता को दर्शाता है।
$2$. स्प्रिंग की प्रारंभिक स्थिति $(x_1)$।
$3$. स्प्रिंग की अंतिम स्थिति $(x_2)$।

(C) स्प्रिंग बल एक संरक्षी बल है।
परिभाषा के अनुसार,एक संरक्षी बल द्वारा बंद पथ या चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है।
चूंकि स्प्रिंग बल $F = -kx$ केवल संतुलन स्थिति से विस्थापन पर निर्भर करता है,इसलिए एक पूर्ण चक्र में किया गया कुल कार्य,जिसमें स्प्रिंग अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाती है,$\oint F \cdot dx = 0$ होता है।

(A) जब एक प्रत्यास्थ स्प्रिंग को खींचा या दबाया जाता है,तो स्प्रिंग के प्रत्यानयन बल (restoring force) के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बाहरी एजेंट द्वारा किया गया कार्य स्प्रिंग में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ साम्यावस्था से विस्थापन है।
चूंकि स्थितिज ऊर्जा विस्थापन के वर्ग $(x^2)$ पर निर्भर करती है,इसलिए कोई भी विस्थापन (चाहे खींचना हो या दबाना) स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि करता है।

(A) जब किसी स्प्रिंग को उसकी संतुलन स्थिति से $x$ विस्थापन द्वारा खींचा या दबाया जाता है,तो प्रत्यानयन बल $F = -kx$ के विरुद्ध कार्य किया जाता है। यह कार्य स्प्रिंग में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है। स्थितिज ऊर्जा $U$ को सूत्र $U = \frac{1}{2}kx^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है। चूँकि $U$ विस्थापन के वर्ग $x^2$ के समानुपाती है,इसलिए कोई भी गैर-शून्य विस्थापन (चाहे खींचने के लिए धनात्मक हो या दबाने के लिए ऋणात्मक) संतुलन स्थिति $(x=0)$ की तुलना में संचित स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि करता है।

(A) खिंचाव बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक होता है।
जब एक स्प्रिंग को खींचा जाता है,तो बाहरी खिंचाव बल स्प्रिंग के सिरे के विस्थापन की दिशा में ही लगाया जाता है।
चूंकि बल $F$ और विस्थापन $dx$ एक ही दिशा में हैं,इसलिए किया गया कार्य $W = \int F \cdot dx$ धनात्मक होता है।

(C) दिया गया द्रव्यमान $m = 50,000 \, kg$ और प्रारंभिक वेग $v = 36 \, km/h = 10 \, m/s$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 50,000 \times (10)^2 = 2.5 \times 10^6 \, J$ है।
चूंकि घर्षण के कारण $90 \%$ गतिज ऊर्जा नष्ट हो जाती है,इसलिए केवल $10 \%$ ऊर्जा शॉक एब्जॉर्बर की स्प्रिंग में संग्रहीत होती है।
स्प्रिंग में संग्रहीत ऊर्जा $\Delta E = \frac{1}{2} k x^2$,जहाँ $x = 1.0 \, m$ संपीड़न है।
प्रश्न के अनुसार,$\Delta E = 10 \% \text{ of } K = 0.10 \times 2.5 \times 10^6 \, J = 2.5 \times 10^5 \, J$.
ऊर्जा के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} k (1.0)^2 = 2.5 \times 10^5 \, J$.
$k$ के लिए हल करने पर: $k = 2 \times 2.5 \times 10^5 = 5.0 \times 10^5 \, N/m$।

(B) $y$ दूरी तक खींची गई स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k y^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
प्रथम स्थिति के लिए,$y_1 = 3 \, cm$,इसलिए $U_1 = \frac{1}{2} k (3)^2 = \frac{9}{2} k$.
द्वितीय स्थिति के लिए,$y_2 = 6 \, cm$,इसलिए $U_2 = \frac{1}{2} k (6)^2 = \frac{36}{2} k$.
दोनों ऊर्जाओं का अनुपात लेने पर: $\frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{1}{2} k (6)^2}{\frac{1}{2} k (3)^2} = \frac{36}{9} = 4$.
अतः,$U_2 = 4 U_1$.

(D) माना स्प्रिंग का अधिकतम विस्तार $x_{max}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ब्लॉक की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी,स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
$mg x_{max} = \frac{1}{2} k x_{max}^2$
$x_{max}$ के लिए हल करने पर ($x_{max} \neq 0$ मानते हुए):
$x_{max} = \frac{2mg}{k}$
स्प्रिंग में अधिकतम तनाव हुक के नियम द्वारा दिया जाता है:
$T_{max} = k x_{max}$
$x_{max}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T_{max} = k \left( \frac{2mg}{k} \right) = 2mg$

(C) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अधिकतम संपीड़न के बिंदु पर गेंद की गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
माना स्प्रिंग में संपीड़न $y$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय या ऊर्जा संरक्षण के अनुसार:
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} ky^2$
दिए गए मानों को रखने पर: $m = 4\, kg$,$v = 10\, ms^{-1}$,$k = 100\, Nm^{-1}$.
$\frac{1}{2} \times 4 \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times y^2$
$2 \times 100 = 50 \times y^2$
$200 = 50 \times y^2$
$y^2 = 4$
$y = 2\, m$
स्प्रिंग की प्रारंभिक लंबाई $8\, m$ है। संकुचित लंबाई $x$ इस प्रकार है:
$x = \text{प्रारंभिक लंबाई} - \text{संपीड़न}$
$x = 8 - 2 = 6\, m$.
अतः,$x$ का मान $6$ है।

(D) माना गेंद का द्रव्यमान $m = 100 \, g = 0.1 \, kg$ है। जिस ऊँचाई से इसे गिराया जाता है वह $h = 10 \, cm = 0.1 \, m$ है। स्प्रिंग में संपीड़न $x = \frac{h}{2} = 5 \, cm = 0.05 \, m$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,गेंद की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
गेंद का कुल ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h + x = h + \frac{h}{2} = \frac{3h}{2}$ है।
अतः,$mg \left( h + \frac{h}{2} \right) = \frac{1}{2} kx^2$.
मान रखने पर: $0.1 \times 10 \times \left( 0.1 + 0.05 \right) = \frac{1}{2} \times k \times (0.05)^2$.
$1 \times 0.15 = \frac{1}{2} \times k \times 0.0025$.
$0.15 = k \times 0.00125$.
$k = \frac{0.15}{0.00125} = \frac{150000}{1250} = 120 \, N \, m^{-1}$.

(B) माना प्रत्येक ब्लॉक का द्रव्यमान $m = 250\,g = 0.25\,kg$ है और स्प्रिंग नियतांक $k = 2\,N/m$ है।
अधिकतम विस्तार $x$ के क्षण पर,दोनों ब्लॉक द्रव्यमान केंद्र के फ्रेम में क्षण भर के लिए स्थिर हो जाते हैं।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा अधिकतम विस्तार पर स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$ है।
अधिकतम विस्तार $x$ पर स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2}kx^2$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x^2 = \frac{2mv^2}{k} \implies x = v \sqrt{\frac{2m}{k}}$.
दिए गए मान $m = 0.25\,kg$ और $k = 2\,N/m$ रखने पर:
$x = V \sqrt{\frac{2 \times 0.25}{2}} = V \sqrt{0.25} = 0.5V = \frac{V}{2}$.

(C) एक स्प्रिंग को $x$ दूरी तक खींचने में किया गया कार्य उसमें संचित स्थितिज ऊर्जा के बराबर होता है,जो $U = \frac{1}{2} K x^2$ द्वारा दिया जाता है।
स्प्रिंग को $a$ दूरी तक खींचने के लिए किया गया प्रारंभिक कार्य $W_1 = \frac{1}{2} K a^2$ है।
स्प्रिंग को कुल $(a+b)$ दूरी तक खींचने के लिए किया गया कुल कार्य $W_2 = \frac{1}{2} K (a+b)^2$ है।
स्प्रिंग को आगे $b$ दूरी तक खींचने में किया गया कार्य कुल कार्य और प्रारंभिक कार्य के बीच का अंतर है:
$\Delta W = W_2 - W_1$
$\Delta W = \frac{1}{2} K (a+b)^2 - \frac{1}{2} K a^2$
$\Delta W = \frac{1}{2} K (a^2 + 2ab + b^2 - a^2)$
$\Delta W = \frac{1}{2} K (2ab + b^2)$
$\Delta W = \frac{1}{2} K b(2a + b)$.

(B) प्रत्यास्थ बल एक संरक्षी बल है। स्प्रिंग को खींचने के लिए किसी बाहरी कारक द्वारा किया गया कार्य उसकी स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$x$ लंबाई तक खींची गई स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} kx^2$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,डोरी $x$ लंबाई तक खींची गई है। प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} kx^2$ है।
इसे $y$ लंबाई तक और खींचने के बाद,कुल विस्तार $(x+y)$ हो जाता है। अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} k(x+y)^2$ है।
दूसरे खिंचाव में बाहरी कारक द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है:
$W = U_f - U_i$
$W = \frac{1}{2} k(x+y)^2 - \frac{1}{2} kx^2$
$W = \frac{1}{2} k(x^2 + y^2 + 2xy) - \frac{1}{2} kx^2$
$W = \frac{1}{2} kx^2 + \frac{1}{2} ky^2 + kxy - \frac{1}{2} kx^2$
$W = \frac{1}{2} ky^2 + kxy$
$W = \frac{1}{2} ky(y + 2x)$
अतः,किया गया कार्य $\frac{1}{2} ky(2x+y)$ है।

(A) $x$ दूरी तक खींची गई स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
प्रारंभिक खिंचाव $x_1 = 2\,cm$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k (2)^2 = 2k$ है।
अंतिम खिंचाव $x_2 = 8\,cm$ के लिए,नई स्थितिज ऊर्जा $U'$ का मान $U' = \frac{1}{2} k (8)^2 = 32k$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{U'}{U} = \frac{\frac{1}{2} k (8)^2}{\frac{1}{2} k (2)^2} = \left(\frac{8}{2}\right)^2 = (4)^2 = 16$.
अतः,$U' = 16\,U$.

(C) जब ब्लॉक $B$ को दीवार $1$ की ओर $x$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो स्प्रिंग $S1$ $x$ तक दब जाती है,जबकि स्प्रिंग $S2$ अतनित रहती है क्योंकि आधार $M2$ दीवार से जुड़ा नहीं है और ब्लॉक के साथ चलता है। निकाय में संचित स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} k x^2$ है।
जब ब्लॉक को छोड़ा जाता है,तो यह संतुलन स्थिति की ओर और फिर दीवार $2$ की ओर बढ़ता है। जब यह दीवार $2$ की ओर $y$ दूरी तक बढ़ता है,तो स्प्रिंग $S2$ $y$ तक दब जाती है,जबकि स्प्रिंग $S1$ अतनित रहती है। निकाय में संचित स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} (4k) y^2$ है।
चूंकि घर्षण नहीं है और आधारों का द्रव्यमान नगण्य है,इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
प्रारंभिक और अंतिम स्थितिज ऊर्जाओं को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} (4k) y^2$।
इसे सरल करने पर,हमें $x^2 = 4y^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^2 = \frac{x^2}{4}$।
वर्गमूल लेने पर,हमें $y = \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{y}{x} = \frac{1}{2}$ है।

(A) किसी स्प्रिंग को $x$ विस्तार तक खींचने में किया गया कार्य $W$ सूत्र $W = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों स्प्रिंग के लिए विस्तार $x$ समान है,इसलिए किया गया कार्य स्प्रिंग नियतांक $k$ के सीधे समानुपाती है $(W \propto k)$।
यह दिया गया है कि $k_{A} > k_{B}$,इसलिए $W_{A} > W_{B}$ होगा।
अतः,स्प्रिंग $A$ को खींचने के लिए अधिक कार्य की आवश्यकता होगी।

(B) स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} K x^2$ है,जहाँ $K$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्तार है।
प्रथम स्थिति में,$x_1 = 1 \ cm$,इसलिए $U = \frac{1}{2} K (1)^2 = \frac{1}{2} K$ है।
दूसरी स्थिति में,$x_2 = 4 \ cm$,इसलिए नई स्थितिज ऊर्जा $U'$ का मान $U' = \frac{1}{2} K (4)^2 = 16 \times (\frac{1}{2} K)$ होगा।
$U'$ के समीकरण में $U$ का मान रखने पर,हमें $U' = 16 U$ प्राप्त होता है।