Work Done by Spring and Potential Energy of Spring Questions in Hindi

(D) स्प्रिंग को संपीड़ित करने के लिए किया गया कार्य प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U_s = \frac{1}{2} k x^2)$ के रूप में संग्रहीत होता है।
दिया गया है कि बल $F = kx = 5 \,N$ और संपीड़न $x = 0.2 \,m$, इसलिए प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U_s = \frac{1}{2} Fx = \frac{1}{2} \times 5 \,N \times 0.2 \,m = 0.5 \,J$ है।
जब स्प्रिंग को छोड़ा जाता है, तो यह ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $(U_g = mgh)$ में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा को संतुलित करने पर: $mgh = \frac{1}{2} Fx$.
मान रखने पर: $m = 25 \,g = 0.025 \,kg$, $g = 10 \,m/s^2$, $F = 5 \,N$, और $x = 0.2 \,m$.
$0.025 \,kg \times 10 \,m/s^2 \times h = 0.5 \,J$.
$0.25 \times h = 0.5$.
$h = \frac{0.5}{0.25} = 2 \,m$.

(A) $F$ बल द्वारा खींची गई स्प्रिंग में संचित ऊर्जा $W = \frac{F^{2}}{2k}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
$K$ नियतांक वाली पहली स्प्रिंग के लिए,संचित ऊर्जा $W_{1} = \frac{F^{2}}{2K}$ है।
$2K$ नियतांक वाली दूसरी स्प्रिंग के लिए,संचित ऊर्जा $W_{2} = \frac{F^{2}}{2(2K)} = \frac{F^{2}}{4K}$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $W_{1} = \frac{F^{2}}{2K}$ और $W_{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{F^{2}}{2K} \right) = \frac{W_{1}}{2}$ है।
अतः,$W_{1} = 2W_{2}$।

(A) एक स्प्रिंग को प्रारंभिक विस्तार $x_1$ से अंतिम विस्तार $x_2$ तक खींचने के लिए आवश्यक कार्य $W$ का सूत्र है: $W = \frac{1}{2} k(x_2^2 - x_1^2)$।
दिया गया है:
स्प्रिंग नियतांक $k = 5 \times 10^3 \text{ Nm}^{-1}$।
प्रारंभिक विस्तार $x_1 = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$।
अंतिम विस्तार $x_2 = 10 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$।
मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^3 \times [(0.2)^2 - (0.1)^2]$
$W = 2500 \times [0.04 - 0.01]$
$W = 2500 \times 0.03 = 75 \text{ J}$।

(D) श्रेणीक्रम में जुड़ी स्प्रिंगों के लिए,प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{\text{eff}}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{K_{\text{eff}}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
यहाँ $K_1 = K_2 = 10 \text{ N/m}$ दिया गया है,अतः:
$\frac{1}{K_{\text{eff}}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
इस प्रकार,$K_{\text{eff}} = 5 \text{ N/m}$।
$K_{\text{eff}}$ को $\text{dyne/cm}$ में बदलने पर:
$1 \text{ N} = 10^5 \text{ dyne}$ और $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$।
$K_{\text{eff}} = 5 \times \frac{10^5 \text{ dyne}}{100 \text{ cm}} = 5 \times 10^3 \text{ dyne/cm}$।
निकाय को $x = 1 \text{ cm}$ खींचने के लिए किया गया कार्य $W$:
$W = \frac{1}{2} K_{\text{eff}} x^2 = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^3) \times (1)^2 = 2500 \text{ erg}$।

(A) माना स्प्रिंग का अधिकतम विस्तार $x$ है।
चूंकि गोला विराम अवस्था से शुरू होता है और अधिकतम विस्तार पर क्षण भर के लिए रुक जाता है,इसलिए सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य है।
गोले पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण,स्प्रिंग बल और अभिलंब बल हैं।
अभिलंब बल द्वारा किया गया कार्य शून्य है क्योंकि यह विस्थापन के लंबवत है।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = m g x \sin \theta$ है।
स्प्रिंग द्वारा किया गया कार्य $W_s = -\frac{1}{2} k x^2$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन कुल किए गए कार्य के बराबर होता है:
$0 - 0 = W_g + W_s$
$m g x \sin \theta - \frac{1}{2} k x^2 = 0$
$m g \sin \theta = \frac{1}{2} k x$
$x = \frac{2 m g \sin \theta}{k}$

(A) दिया गया है: पिंड का द्रव्यमान,$m = 0.15 \ kg$.
पिंड का वेग,$v = 15 \ ms^{-1}$.
स्प्रिंग नियतांक,$k = 1500 \ Nm^{-1}$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पिंड की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा अधिकतम संपीड़न $x$ पर स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times 0.15 \times (15)^2 = \frac{1}{2} \times 1500 \times x^2$
$0.15 \times 225 = 1500 \times x^2$
$33.75 = 1500 \times x^2$
$x^2 = \frac{33.75}{1500} = 0.0225$
$x = \sqrt{0.0225} = 0.15 \ m$.

(D) दिया गया है: स्प्रिंग नियतांक $k = 80 \ Nm^{-1}$,बिना खिंची लंबाई $l_0 = 0.3 \ m$,रिंग का द्रव्यमान $m = 0.3 \ kg$,छड़ की ऊंचाई $h = 0.4 \ m$.
प्रारंभिक स्थिति: स्प्रिंग ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 60^{\circ}$ का कोण बनाती है। स्प्रिंग की लंबाई $l_1 = h / \cos(60^{\circ}) = 0.4 / 0.5 = 0.8 \ m$ है।
स्प्रिंग में विस्तार $x_1 = l_1 - l_0 = 0.8 - 0.3 = 0.5 \ m$ है।
अंतिम स्थिति: स्प्रिंग ऊर्ध्वाधर है। स्प्रिंग की लंबाई $l_2 = h = 0.4 \ m$ है।
स्प्रिंग में विस्तार $x_2 = l_2 - l_0 = 0.4 - 0.3 = 0.1 \ m$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $U_i + K_i = U_f + K_f$.
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} k x_1^2 = \frac{1}{2} \times 80 \times (0.5)^2 = 40 \times 0.25 = 10 \ J$.
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} k x_2^2 = \frac{1}{2} \times 80 \times (0.1)^2 = 40 \times 0.01 = 0.4 \ J$.
चूंकि प्रणाली को विरामावस्था से छोड़ा गया है,$K_i = 0$. मान लीजिए अंतिम गति $v$ है।
$10 + 0 = 0.4 + \frac{1}{2} m v^2$.
$9.6 = \frac{1}{2} \times 0.3 \times v^2$.
$v^2 = (9.6 \times 2) / 0.3 = 19.2 / 0.3 = 64$.
$v = 8 \ ms^{-1}$.

(A) दिया गया है: स्प्रिंग नियतांक $k = 200 \, Nm^{-1}$।
प्रारंभिक विस्तार $x_1 = 10 \, cm = 0.1 \, m$।
अंतिम विस्तार $x_2 = 10 \, cm + 10 \, cm = 20 \, cm = 0.2 \, m$।
स्प्रिंग को $x_1$ से $x_2$ तक खींचने में किया गया कार्य $W$, स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)$
मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 200 \times ((0.2)^2 - (0.1)^2)$
$W = 100 \times (0.04 - 0.01)$
$W = 100 \times 0.03 = 3 \, J$.

(C) दिया गया है: कार का द्रव्यमान $m = 1000 \,kg$, वेग $v = 10 \,ms^{-1}$, स्प्रिंग नियतांक $k = 4000 \,Nm^{-1}$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, अधिकतम संपीड़न पर कार की गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} k(\Delta x)^2$
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times 1000 \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times 4000 \times (\Delta x)^2$
$1000 \times 100 = 4000 \times (\Delta x)^2$
$100000 = 4000 \times (\Delta x)^2$
$(\Delta x)^2 = \frac{100000}{4000} = 25$
$\Delta x = \sqrt{25} = 5 \,m$
अतः, स्प्रिंग का अधिकतम संपीड़न $5 \,m$ है।

(B) स्प्रिंग नियतांक $k = 200 \,N/m$ दिया गया है।
विस्थापन $x = 1 \,cm = 0.01 \,m$ है।
स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} kx^2$ है।
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 200 \times (0.01)^2$
$U = 100 \times 0.0001$
$U = 0.01 \,J$.
अतः, स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $0.01 \,J$ है।

(A) माना स्प्रिंग का अधिकतम संपीड़न $x$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,द्रव्यमान की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी,स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
प्लेटफ़ॉर्म की प्रारंभिक स्थिति को स्थितिज ऊर्जा के लिए संदर्भ स्तर के रूप में लेने पर:
प्रारंभिक ऊर्जा = $m g h$
अंतिम ऊर्जा = $\frac{1}{2} k x^2 - m g x$
दोनों को बराबर करने पर:
$m g h = \frac{1}{2} k x^2 - m g x$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर ($m = 1 \ kg$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$,$h = 1 \ m$,$k = 15 \ N \ m^{-1}$):
$1 \times 10 \times 1 = \frac{1}{2} \times 15 \times x^2 - 1 \times 10 \times x$
$10 = 7.5 x^2 - 10 x$
$7.5 x^2 - 10 x - 10 = 0$
$2/5$ से गुणा करने पर:
$3 x^2 - 4 x - 4 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 3 \times (-4)}}{2 \times 3}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{4 \pm 8}{6}$
चूंकि संपीड़न $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x = \frac{12}{6} = 2 \ m$.

(A) स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई $L = 25 \ cm$ है।
प्रारंभिक विस्तार $\Delta x_i = (50 \ cm - 25 \ cm) = 25 \ cm = 0.25 \ m$ है।
अंतिम विस्तार $\Delta x_f = (60 \ cm - 25 \ cm) = 35 \ cm = 0.35 \ m$ है।
स्प्रिंग को खींचने में किया गया कार्य $W$,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ के बराबर होता है।
$W = \frac{1}{2} K (\Delta x_f^2 - \Delta x_i^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 50 \times (0.35^2 - 0.25^2)$
$W = 25 \times (0.1225 - 0.0625)$
$W = 25 \times 0.06 = 1.5 \ J$.

(B) दिया गया है: ब्लॉक का द्रव्यमान $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$,प्रारंभिक वेग $u = 2 \ m \ s^{-1}$,अंतिम वेग $v = \frac{u}{2} = 1 \ m \ s^{-1}$,और संपीड़न $x = 2 \ cm = 0.02 \ m$.
चूंकि निकाय पर कोई असंरक्षी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में हानि = स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि।
$\frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x^2$
$\frac{1}{2} m (u^2 - v^2) = \frac{1}{2} k x^2$
$k = \frac{m(u^2 - v^2)}{x^2}$
मान रखने पर: $k = \frac{0.1 \times (2^2 - 1^2)}{(0.02)^2}$
$k = \frac{0.1 \times 3}{0.0004} = \frac{0.3}{0.0004} = 750 \ N \ m^{-1}$.

(C) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ब्लॉक की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा अधिकतम संपीड़न पर स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा,$KE = \frac{1}{2} Mv^2$
स्प्रिंग की अंतिम स्थितिज ऊर्जा,$PE = \frac{1}{2} KL^2$
दोनों को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2} Mv^2 = \frac{1}{2} KL^2$
$Mv^2 = KL^2$
$v^2 = \frac{K}{M} L^2$
$v = L \sqrt{\frac{K}{M}}$
ब्लॉक का संवेग $p = Mv$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ का मान रखने पर:
$p = M \left( L \sqrt{\frac{K}{M}} \right)$
$p = L \sqrt{M^2 \cdot \frac{K}{M}}$
$p = L \sqrt{MK}$

(B) माना ऊर्ध्वाधर दूरी $l$ है। किसी भी कोण $\theta$ पर स्प्रिंग की लंबाई $h = l / \cos \theta$ है। स्प्रिंग में विस्तार $x = h - l = l(1/\cos \theta - 1)$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। अधिकतम वेग $v_{max}$ तब प्राप्त होता है जब स्प्रिंग अपनी प्राकृतिक लंबाई पर होती है (अर्थात $\theta = 0$,$x = 0$)। प्रारंभिक स्थिति $(\theta = 60^{\circ})$ पर स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} k x_i^2$ है,जहाँ $x_i = l(1/\cos 60^{\circ} - 1) = l(2-1) = l$ है। अतः $U_i = \frac{1}{2} k l^2$ है।
किसी भी कोण $\theta$ पर,ऊर्जा समीकरण $\frac{1}{2} k l^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k (l/\cos \theta - 1)^2 l^2$ है। अधिकतम वेग $v_{max}$ तब होता है जब विस्तार शून्य होता है,अर्थात $\theta = 0$ पर। अतः,$\frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} k l^2$ है।
दिया गया है कि $v = \frac{1}{2} v_{max}$,इसलिए $v^2 = \frac{1}{4} v_{max}^2$ है। इसे ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2} k l^2 = \frac{1}{2} m (\frac{1}{4} v_{max}^2) + \frac{1}{2} k l^2 (1/\cos \theta - 1)^2$। चूँकि $\frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} k l^2$ है,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2} k l^2 = \frac{1}{8} k l^2 + \frac{1}{2} k l^2 (1/\cos \theta - 1)^2$।
$\frac{1}{2} k l^2$ से भाग देने पर: $1 = 1/4 + (1/\cos \theta - 1)^2 \Rightarrow (1/\cos \theta - 1)^2 = 3/4 \Rightarrow 1/\cos \theta - 1 = \sqrt{3}/2 \Rightarrow 1/\cos \theta = 1 + \sqrt{3}/2 = (2+\sqrt{3})/2$।
अतः,$\cos \theta = 2 / (2+\sqrt{3})$,इसलिए $\theta = \cos^{-1}(2 / (2+\sqrt{3}))$ है। सही विकल्प $B$ है।

(D) किसी स्प्रिंग को $x$ विस्तार तक खींचने में किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,स्प्रिंग को $x$ तक खींचा जाता है। संचित स्थितिज ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2} k x^2$ है।
फिर,इसे $y$ और खींचा जाता है,जिससे कुल विस्तार $(x + y)$ हो जाता है। संचित स्थितिज ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2} k (x + y)^2$ है।
दूसरे खिंचाव के दौरान किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है:
$W = U_2 - U_1 = \frac{1}{2} k (x + y)^2 - \frac{1}{2} k x^2$.
$(x + y)^2$ पद का विस्तार करने पर:
$W = \frac{1}{2} k (x^2 + y^2 + 2xy - x^2) = \frac{1}{2} k (y^2 + 2xy)$.
$y$ को कॉमन लेने पर:
$W = \frac{ky}{2} (2x + y)$.

(A) जब ब्लॉक स्प्रिंग से टकराता है,तो ब्लॉक की गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} kx^2$
जहाँ $x$ स्प्रिंग में अधिकतम संपीड़न है।
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \sqrt{\frac{mv^2}{k}} = \sqrt{\frac{25 \times (3)^2}{100}} = \sqrt{\frac{225}{100}} = \sqrt{2.25} = 1.5 \ m$
जब ब्लॉक अपनी मूल स्थिति में वापस आता है,तो स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा पूरी तरह से वापस ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। चूंकि सतह चिकनी है (घर्षण रहित),ऊर्जा संरक्षित रहती है। वेग का परिमाण समान रहता है,लेकिन दिशा विपरीत हो जाती है क्योंकि ब्लॉक स्प्रिंग से दूर जा रहा है।
अतः,ब्लॉक का वेग $v = -3 \ ms^{-1}$ होगा।

(A) जब $k_1$ और $k_2$ स्प्रिंग नियतांक वाली दो स्प्रिंग श्रेणीक्रम में जुड़ी होती हैं,तो तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{\text{eq}}$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{K_{\text{eq}}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = \frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2}$
अतः,$K_{\text{eq}} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$।
स्प्रिंग प्रणाली को $\Delta$ विस्थापन तक खींचने के लिए किया गया कार्य $W$,तुल्य स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा के बराबर होता है:
$W = \frac{1}{2} K_{\text{eq}} \Delta^2$
$K_{\text{eq}}$ का मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \left( \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} \right) \Delta^2$।

$(A)$ स्प्रिंग को $x$ दूरी तक खींचने में किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} K x^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $K$ स्प्रिंग नियतांक है।
पहले खिंचाव के लिए, $x_1 = 1 \text{ mm}$, किया गया कार्य $W_1 = \frac{1}{2} K (1)^2 = 10 \text{ J}$ है।
इसे $1 \text{ mm}$ और खींचने के लिए, कुल विस्तार $x_2 = 1 \text{ mm} + 1 \text{ mm} = 2 \text{ mm}$ हो जाता है।
इस विस्तार के लिए कुल कार्य $W_2 = \frac{1}{2} K (x_2)^2 = \frac{1}{2} K (2)^2 = 4 \times (\frac{1}{2} K (1)^2) = 4 \times W_1$ है।
$W_1 = 10 \text{ J}$ रखने पर, हमें $W_2 = 4 \times 10 \text{ J} = 40 \text{ J}$ प्राप्त होता है।
इसे और खींचने के लिए आवश्यक अतिरिक्त कार्य $W_{\text{extra}} = W_2 - W_1 = 40 \text{ J} - 10 \text{ J} = 30 \text{ J}$ है।

(B) $x$ दूरी तक खींची गई स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
प्रथम स्थिति में,विस्तार $x_1 = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है। अतः,$E = \frac{1}{2} k (0.1)^2 = 0.005 k$.
दूसरी स्थिति में,स्प्रिंग को $10 \ cm$ और खींचा जाता है,इसलिए कुल विस्तार $x_2 = 10 \ cm + 10 \ cm = 20 \ cm = 0.2 \ m$ है।
नई स्थितिज ऊर्जा $E'$ का मान $E' = \frac{1}{2} k (0.2)^2 = \frac{1}{2} k (4 \times 0.01) = 4 \times (\frac{1}{2} k (0.1)^2)$ होगा।
इसलिए,$E' = 4 E$.