Vertical Circular Motion Questions in Gujarati

(D) પૂર્ણ શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે,સૌથી ઉચ્ચ બિંદુ પર તણાવ ઓછામાં ઓછું શૂન્ય $(T \ge 0)$ હોવું જોઈએ.
સૌથી ઉચ્ચ બિંદુ પર,ગુરુત્વાકર્ષણ $(mg)$ અને તણાવ $(T)$ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $T + mg = \frac{mv_h^2}{l}$.
ટોચ પર લઘુત્તમ વેગ માટે $T = 0$ લેતા,આપણને $mg = \frac{mv_h^2}{l}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v_h = \sqrt{gl}$.
સૌથી નીચલા બિંદુ (વેગ $v$) અને સૌથી ઉચ્ચ બિંદુ (વેગ $v_h$) વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_h^2 + mg(2l)$.
$v_h^2 = gl$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(gl) + 2mgl = \frac{5}{2}mgl$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \sqrt{5gl}$ મળે છે.

(B) ધારો કે પદાર્થ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે સંપર્ક ગુમાવે છે. આ બિંદુએ,લંબબળ $N$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$mg \cos \theta - N = \frac{mv^2}{r}$
$N = 0$ હોવાથી,આપણને $mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v^2 = rg \cos \theta$.
અર્ધગોળાની ટોચ અને સંપર્ક ગુમાવવાના બિંદુ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$mg r = mg(r \cos \theta) + \frac{1}{2}mv^2$
$gr = gr \cos \theta + \frac{1}{2}v^2$
ઉર્જા સમીકરણમાં $v^2 = rg \cos \theta$ મૂકતા:
$gr = gr \cos \theta + \frac{1}{2}(rg \cos \theta)$
$gr = \frac{3}{2}rg \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{2}{3}$
પાયાથી ઊંચાઈ $h$ એ $h = r \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$h = r \left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}r$.

(C) ધારો કે નીચેના બિંદુએ વેગ $v_b$ છે અને ઉપરના બિંદુએ વેગ $v_t$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,નીચેના બિંદુએ કુલ ઉર્જા અને ઉપરના બિંદુએ કુલ ઉર્જા સમાન હોય છે.
$E_{bottom} = E_{top}$
$\frac{1}{2}mv_b^2 = \frac{1}{2}mv_t^2 + mg(2r)$
$\frac{1}{2}mv_b^2 - \frac{1}{2}mv_t^2 = 2mgr$
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,ગતિઊર્જાનો તફાવત $K_{bottom} - K_{top} = 2mgr$ થાય.

(B) મધ્યમાન સ્થિતિમાં દોરીમાં તણાવ $T$ નું સૂત્ર $T = mg + \frac{mv^2}{l}$ છે,જ્યાં $l$ એ દોરીની લંબાઈ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મધ્યમાન સ્થિતિમાં વેગ $v^2 = 2gl(1 - \cos \theta)$ થાય.
તણાવના સૂત્રમાં $v^2$ ની કિંમત મૂકતા: $T = mg + \frac{m}{l} [2gl(1 - \cos \theta)] = mg + 2mg(1 - \cos \theta)$.
અહીં $m = 0.1 \ kg$,$\theta = 60^\circ$,અને $g = 9.8 \ m/s^2$ આપેલ છે:
$T = mg + 2mg(1 - \cos 60^\circ) = mg + 2mg(1 - 0.5) = mg + mg = 2mg$.
$T = 2 \times 0.1 \times 9.8 = 1.96 \ N$.

(B) ધારો કે સમક્ષિતિજ સ્થાને કણની ઝડપ $u$ છે અને સૌથી ઉપરના બિંદુએ ઝડપ $v$ છે। હલકા સળિયા માટે, કણ સૌથી ઉપરના બિંદુએ શૂન્ય ઝડપ $(v = 0)$ સાથે પણ વર્તુળ પૂર્ણ કરી શકે છે।
સમક્ષિતિજ સ્થાન અને સૌથી ઉપરના બિંદુ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
સમક્ષિતિજ સ્થાને પ્રારંભિક ઉર્જા = સૌથી ઉપરના બિંદુએ અંતિમ ઉર્જા
$\frac{1}{2}mu^2 + mg(0) = \frac{1}{2}mv^2 + mgl$
ન્યૂનતમ ઝડપની શરત માટે $v = 0$ હોવાથી:
$\frac{1}{2}mu^2 = mgl$
$u^2 = 2gl$
$u = \sqrt{2gl}$
આમ, સમક્ષિતિજ સ્થાને જરૂરી ન્યૂનતમ ઝડપ $\sqrt{2gl}$ છે।

(B) ધારો કે $R$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. કણ સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સૌથી ઉચ્ચ બિંદુથી $h$ જેટલા ઉર્ધ્વ અંતરે ગતિઊર્જા એ સ્થિતિઊર્જામાં થયેલા ઘટાડા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} m v^2 = m g h \Rightarrow v^2 = 2 g h$.
વર્તુળની ભૂમિતિ મુજબ,ટોચથી ઉર્ધ્વ અંતર $h = R - R \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો છે.
તેથી,$v^2 = 2 g R(1 - \cos \theta)$.
કણ પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ $(m g)$ અને લંબ પ્રતિક્રિયા $(N)$ છે. ગતિનું ત્રિજ્યાવર્તી સમીકરણ:
$m g \cos \theta - N = \frac{m v^2}{R}$.
જ્યારે કણ વર્તુળ છોડે છે,ત્યારે લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ શૂન્ય થઈ જાય છે:
$m g \cos \theta = \frac{m v^2}{R} \Rightarrow g \cos \theta = \frac{2 g R(1 - \cos \theta)}{R}$.
$\cos \theta = 2(1 - \cos \theta) \Rightarrow \cos \theta = 2 - 2 \cos \theta \Rightarrow 3 \cos \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = \frac{2}{3}$.
આ કિંમત $h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h = R - R \cos \theta = R - R(\frac{2}{3}) = \frac{R}{3}$.

(B) સૌથી નીચેના બિંદુએ વેગ $v_0 = 10 \, m/s$ છે. ત્રિજ્યા $R = 2.5 \, m$ છે. શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ વેગ $v_c = \sqrt{5gR} = \sqrt{5 \times 10 \times 2.5} = \sqrt{125} \approx 11.18 \, m/s$ છે. $v_0 < v_c$ હોવાથી,દડો વર્તુળ પૂર્ણ કરશે નહીં.
કોઈપણ ખૂણે $\theta$ માટે,ત્રિજ્યાવર્તી સમીકરણ $N - mg \cos \theta = \frac{mv^2}{R}$ છે,જ્યાં $N$ એ લંબબળ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgR(1 - \cos \theta)$,તેથી $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos \theta) = 100 - 50(1 - \cos \theta) = 50 + 50 \cos \theta$.
$v^2$ ની કિંમત ત્રિજ્યાવર્તી સમીકરણમાં મૂકતા: $N = mg \cos \theta + \frac{m}{R}(50 + 50 \cos \theta) = mg \cos \theta + 20mg + 20mg \cos \theta = mg(20 + 21 \cos \theta)$.
નીચેના અર્ધભાગ માટે (જ્યાં $\cos \theta > 0$),$N > 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે દડો બહારની દીવાલ $(N_2)$ પર દબાણ કરે છે.
ઉપરના અર્ધભાગ માટે (જ્યાં $\cos \theta < 0$),$N$ ઋણ હોઈ શકે છે,જેનો અર્થ છે કે દડો અંદરની દીવાલ $(N_1)$ પર દબાણ કરે છે.
આમ,$ABC$ ભાગ માટે $N_2 > 0$ અને $CDA$ ભાગ માટે $N_1 > 0$ છે.

(A) ધારો કે દોરીની લંબાઈ $L$ છે. જ્યારે બોબ સસ્પેન્શનના બિંદુથી $h$ જેટલા ઊભા અંતરે હોય,ત્યારે શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{h}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમક્ષિતિજ સ્થિતિ (જ્યાં $h=0$) થી $h$ ઊંડાઈ સુધીની સ્થિતિ માટે ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા,ગતિ ઉર્જા $mgh = \frac{1}{2}mv^2$ છે,તેથી $v^2 = 2gh$.
બોબ પર લાગતા બળો કેન્દ્ર તરફ તણાવ $T$ અને કેન્દ્રથી દૂર ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \cos \theta$ છે. ચોખ્ખું કેન્દ્રગામી બળ $T - mg \cos \theta = \frac{mv^2}{L}$ છે.
$v^2 = 2gh$ અને $\cos \theta = \frac{h}{L}$ મૂકતા:
$T = \frac{m(2gh)}{L} + mg \left(\frac{h}{L}\right) = \frac{2mgh}{L} + \frac{mgh}{L} = \frac{3mgh}{L}$.
આમ $T = \left(\frac{3mg}{L}\right)h$ હોવાથી,$T$ અને $h$ વચ્ચેનો સંબંધ રેખીય છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. આ તે આલેખને અનુરૂપ છે જ્યાં $T$ એ $h$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.

(A) $\text{ધારો કે કણ બિંદુ}$ $A$ $\text{(સમક્ષિતિજ સ્થિતિ) પર છે અને તે સમક્ષિતિજ સાથે}$ $\theta = 30^o$ $\text{ના ખૂણે બિંદુ}$ $B$ $\text{પર જાય છે. કણ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલી ઊંચાઈ}$ $h = l \sin 30^o = \frac{l}{2}$ $\text{છે।}
\text{કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,}$ $B$ $\text{પાસે ગતિઊર્જા}$ $\frac{1}{2}mv_B^2 = \frac{1}{2}mu^2 - mgh = \frac{1}{2}mu^2 - mg(\frac{l}{2})$ $\text{છે. તેથી,}$ $v_B^2 = u^2 - gl$ $\text{.}
\text{બિંદુ}$ $B$ $\text{પર તણાવ}$ $T$ $\text{એ}$ $T - mg \sin 30^o = \frac{mv_B^2}{l}$ $\text{દ્વારા આપવામાં આવે છે।}
\text{આપેલ છે કે}$ $T = \frac{mg}{2}$ $\text{, તેથી}$ $\frac{mg}{2} - mg \sin 30^o = \frac{mv_B^2}{l}$ $\text{.}
\text{કારણ કે}$ $\sin 30^o = \frac{1}{2}$ $\text{, આપણને}$ $\frac{mg}{2} - \frac{mg}{2} = \frac{mv_B^2}{l}$ $\text{મળે છે, જેનો અર્થ છે કે}$ $v_B = 0$ $\text{.}
\text{ઊર્જાના સમીકરણમાં}$ $v_B = 0$ $\text{મૂકતા:}$ $0 = u^2 - gl$ $\text{, તેથી}$ $u^2 = gl$ $\text{.}
\text{આમ,}$ $u = \sqrt{lg}$ $\text{.}$

(C) ધારો કે વર્તુળાકાર ટ્રેકનું સૌથી નીચેનું બિંદુ એ સ્થિતિ ઊર્જા માટે સંદર્ભ સ્તર $(h=0)$ છે.
બિંદુ $1$ અને સૌથી નીચેના બિંદુ વચ્ચે ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$M g (4R) = \frac{1}{2} M v_{bottom}^2$
$v_{bottom}^2 = 8 g R$
હવે,બિંદુ $2$ ને ધ્યાનમાં લો,જે સૌથી નીચેના બિંદુથી $R$ ઊંચાઈ પર છે. સૌથી નીચેના બિંદુ અને બિંદુ $2$ વચ્ચે ઊર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} M v_{bottom}^2 = \frac{1}{2} M v_2^2 + M g R$
$\frac{1}{2} M (8 g R) = \frac{1}{2} M v_2^2 + M g R$
$4 g R = \frac{1}{2} v_2^2 + g R$
$\frac{1}{2} v_2^2 = 3 g R$
$v_2^2 = 6 g R$
બિંદુ $2$ પર,સમઘન પર લાગતા બળો લંબબળ $N$ (કેન્દ્ર તરફ) અને ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $M g$ (નીચેની તરફ) છે. કેન્દ્રગામી બળ:
$N = \frac{M v_2^2}{R} = \frac{M (6 g R)}{R} = 6 M g$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જો આપણે પ્રશ્નમાં આપેલ તર્ક $v^2 = 4gR$ નો ઉપયોગ કરીએ,તો $N = 4Mg$ મળે. પરંતુ ઊર્જા સંરક્ષણ મુજબ $N = 6Mg$ મળે છે. આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $3$ છે.

(D) $1$. ગતિઊર્જા $(K = \frac{1}{2}mv^2)$ એ દળ $(m)$ અને ઝડપ $(v)$ ના વર્ગ પર આધાર રાખે છે. ઝડપ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
$2$. ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $(U = mgh)$ એ ગોળાની ઊંચાઈ $(h)$ પર આધાર રાખે છે. જેમ ગોળો શિરોલંબ વર્તુળમાં ગતિ કરે છે,તેમ તેની ઊંચાઈ સતત બદલાતી રહે છે,તેથી સ્થિતિઊર્જા બદલાય છે.
$3$. વેગમાન $(p = mv)$ એ સદિશ રાશિ છે. જોકે ઝડપ $(v)$ અચળ છે,પરંતુ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતી વખતે વેગ સદિશની દિશા સતત બદલાતી રહે છે. તેથી,વેગમાન બદલાય છે.
નિષ્કર્ષ: ગતિ દરમિયાન $II$ અને $III$ રાશિઓ બદલાય છે.

(D) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,લૂપના તળિયે વેગ $v = \sqrt{2gH}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $H = 2R$ આપેલ હોવાથી,$v = \sqrt{2g(2R)} = \sqrt{4gR}$ મળે છે.
કણ માટે શિરોલંબ લૂપ પૂર્ણ કરવા માટે,તળિયે જરૂરી લઘુત્તમ વેગ $\sqrt{5gR}$ છે. કારણ કે $\sqrt{4gR} < \sqrt{5gR}$,તેથી કણ લૂપની ટોચ પર પહોંચી શકતો નથી.
જ્યારે તળિયે વેગ $\sqrt{2gR}$ અને $\sqrt{5gR}$ ની વચ્ચે હોય,ત્યારે કણ કેન્દ્રથી $R < h < 2R$ ઊંચાઈએ વર્તુળાકાર માર્ગ છોડી દે છે. જ્યારે લંબબળ શૂન્ય થાય ત્યારે કણ સંપર્ક ગુમાવે છે,જે $R$ અને $2R$ ની વચ્ચેની ઊંચાઈ $h$ પર થાય છે.
આમ,$(B)$ અને $(C)$ બંને વિધાનો સાચા છે.

(D) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\theta$ ખૂણે કણનો વેગ $v$ નીચે મુજબ મળે છે: $mgH = mgR(1 + \cos \theta) + \frac{1}{2}mv^2$,જેનું સાદું રૂપ $v^2 = 2g(H - R - R \cos \theta)$ થાય છે.
ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $N - mg \cos \theta = \frac{mv^2}{R}$.
$v^2$ ની કિંમત મૂકતા: $N = mg \cos \theta + \frac{m}{R}[2g(H - R - R \cos \theta)] = mg \cos \theta + \frac{2mgH}{R} - 2mg - 2mg \cos \theta = \frac{2mgH}{R} - 2mg - mg \cos \theta$.
$\theta = 0$ પર,$N = \frac{2mgH}{R} - 3mg$,જે મહત્તમ મૂલ્ય છે.
$\theta = \pi$ પર,$N = \frac{2mgH}{R} - mg$,જે ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે (જો $H > 5R/2$ હોય,તો ટોચ પર $N > 0$ મળે).
આમ,તમામ વિધાનો સાચા છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યાના ઉર્ધ્વ વર્તુળને પૂર્ણ કરવા માટે,વર્તુળના ટોચના બિંદુએ કણનો લઘુત્તમ વેગ $v_{top} = \sqrt{gR}$ હોવો જોઈએ.
શરૂઆતના બિંદુ ($H$ ઊંચાઈએ) અને વર્તુળની ટોચ ($2R$ ઊંચાઈએ) વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
પ્રારંભિક ઉર્જા = અંતિમ ઉર્જા
$mgH = mg(2R) + \frac{1}{2}mv_{top}^2$
$v_{top}^2 = gR$ મૂકતા:
$mgH = 2mgR + \frac{1}{2}m(gR)$
$mgH = 2mgR + 0.5mgR$
$mgH = 2.5mgR$
$H = 2.5 R$

(B) ધારો કે બ્લોક જમીનથી $h$ ઊંચાઈએ બિંદુ $B$ પર ગોળાર્ધ છોડી દે છે. આ બિંદુએ,લંબ પ્રતિક્રિયા $N = 0$ થાય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$
કારણ કે $h = r \cos \theta$,તેથી $\cos \theta = h/r$. આ કિંમત મૂકતા:
$mg(h/r) = \frac{mv^2}{r} \implies v^2 = gh \quad \dots(1)$
હવે,ટોચના બિંદુ $A$ (ઊંચાઈ $r$) અને બિંદુ $B$ (ઊંચાઈ $h$) વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરતા:
$E_A = E_B$
$mgr + \frac{1}{2} m u^2 = mgh + \frac{1}{2} mv^2$
આપેલ છે કે $u = u_0/3$ અને $u_0 = \sqrt{gr}$,તેથી $u^2 = \frac{gr}{9}$.
ઉર્જા સમીકરણમાં $u^2$ અને $v^2 = gh$ ની કિંમત મૂકતા:
$mgr + \frac{1}{2} m \left(\frac{gr}{9}\right) = mgh + \frac{1}{2} m(gh)$
$mg$ વડે ભાગતા:
$r + \frac{r}{18} = h + \frac{h}{2}$
$\frac{19r}{18} = \frac{3h}{2}$
$h = \frac{19r}{18} \times \frac{2}{3} = \frac{19r}{27}$

(B) શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિમાં કોઈપણ બિંદુએ તણાવ $T$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$T = \frac{mv^2}{l} + mg \cos \theta$
જ્યાં $\theta$ એ સૌથી નીચલા બિંદુથી કોણીય સ્થાનાંતર છે,$l$ એ દોરીની લંબાઈ છે અને $m$ એ કણનું દળ છે.
સૌથી નીચલા બિંદુ $(B)$ પર,$\theta = 0^\circ$,તેથી $\cos \theta = 1$,અને તણાવ $T_B = \frac{mv_B^2}{l} + mg$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ બિંદુ $(A)$ પર,$\theta = 180^\circ$,તેથી $\cos \theta = -1$,અને તણાવ $T_A = \frac{mv_A^2}{l} - mg$ છે.
તે સ્પષ્ટ છે કે સૌથી નીચલા બિંદુ $(B)$ પર તણાવ મહત્તમ હોય છે કારણ કે કેન્દ્રગામી બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક બંને તણાવમાં ફાળો આપે છે. જો કણનો સરેરાશ વેગ વધારવામાં આવે,તો સૌથી નીચલા બિંદુએ તણાવ સૌથી વધુ વધશે. તેથી,બિંદુ $B$ પર દોરી તૂટવાની શક્યતા સૌથી વધુ છે.

(C) બિંદુ $A$ (અંતિમ સ્થાન) પર,વેગ શૂન્ય છે. પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે સ્પર્શક છે,જે $a_A = g \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $B$ (મધ્યમાન સ્થાન) પર,પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) છે,જે $a_B = \frac{v^2}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા,સ્થિતિ ઉર્જામાં ફેરફાર એ ગતિ ઉર્જામાં ફેરફાર જેટલો છે: $mgl(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2$,જેનો અર્થ છે $v^2 = 2gl(1 - \cos \theta)$.
આને $a_B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $a_B = \frac{2gl(1 - \cos \theta)}{l} = 2g(1 - \cos \theta)$.
આપેલ છે કે $a_A = a_B$,તેથી $g \sin \theta = 2g(1 - \cos \theta)$.
$g$ વડે ભાગતા: $\sin \theta = 2 - 2 \cos \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\sin^2 \theta = (2 - 2 \cos \theta)^2 \Rightarrow 1 - \cos^2 \theta = 4(1 - \cos \theta)^2$.
$1 - \cos^2 \theta = 4(1 - 2 \cos \theta + \cos^2 \theta) \Rightarrow 1 - \cos^2 \theta = 4 - 8 \cos \theta + 4 \cos^2 \theta$.
$5 \cos^2 \theta - 8 \cos \theta + 3 = 0$.
$\cos \theta$ માટે દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $\cos \theta = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(5)(3)}}{2(5)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{10} = \frac{8 \pm 2}{10}$.
આનાથી $\cos \theta = 1$ (જે $\theta = 0$ ને અનુરૂપ છે,મધ્યમાન સ્થાન) અથવા $\cos \theta = 6/10 = 3/5$ મળે છે.
આમ,$\theta = \cos^{-1}(3/5)$.

(C) જ્યાં સુધી પદાર્થ ગોળાના સંપર્કમાં છે,ત્યાં સુધી તેનો પરિણામી પ્રવેગ $a_{net} = \sqrt{a_{t}^{2} + a_{c}^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_{t} = g \sin \theta$ એ સ્પર્શક પ્રવેગ છે અને $a_{c} = v^{2}/R$ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે. જેમ પદાર્થ નીચે સરકે છે,તેમ તેનો વેગ $v$ વધે છે,જેના કારણે પરિણામી પ્રવેગ વધે છે.
જ્યારે પદાર્થ ગોળા સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે છે,ત્યારે તે પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરે છે. પ્રક્ષિપ્ત ગતિ દરમિયાન,પદાર્થ પર લાગતો એકમાત્ર પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ છે,જે અચળ છે. તેથી,પદાર્થ ગોળા પર હોય ત્યારે પ્રવેગનું મૂલ્ય વધે છે અને એકવાર તે હવામાં હોય ત્યારે તે અચળ $(g)$ થઈ જાય છે.

(C) ઉર્ધ્વ વર્તુળમાં ગતિ કરતા કણ માટે,તળિયે $(T_{max})$ અને ટોચ પર $(T_{min})$ તણાવ નીચે મુજબ છે:
$T_{max} = \frac{mv_{max}^2}{R} + mg$
$T_{min} = \frac{mv_{min}^2}{R} - mg$
ટોચ અને તળિયાના બિંદુઓ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = \frac{1}{2}mv_{min}^2 + mg(2R)$
$v_{max}^2 = v_{min}^2 + 4gR$
$v_{max}^2$ ને $T_{max}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T_{max} = \frac{m(v_{min}^2 + 4gR)}{R} + mg = \frac{mv_{min}^2}{R} + 5mg$
ગુણોત્તર $\frac{T_{max}}{T_{min}} = \frac{\frac{mv_{min}^2}{R} + 5mg}{\frac{mv_{min}^2}{R} - mg} = \frac{5}{3}$ આપેલ છે.
ધારો કે $x = \frac{v_{min}^2}{Rg}$. તો $\frac{x+5}{x-1} = \frac{5}{3} \Rightarrow 3x + 15 = 5x - 5 \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10$.
કારણ કે $x = \frac{v_{min}^2}{Rg} = 10$,તેથી $v_{min}^2 = 10gR = 10 \times 10 \times 1.0 = 100$.
આમ,$v_{min} = 10 \ ms^{-1}$.

(D) અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ અને એકમ દળ દીઠ વિદ્યુત બળના સદિશ સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g_{eff} = \sqrt{g^2 + (qE/m)^2} = \sqrt{10^2 + (5 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^6 / 1)^2} = \sqrt{100 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \ m/s^2$.
કણ વર્તુળ પૂર્ણ કરે (અથવા ટોચ પર માર્ગ છોડે) તે માટેની શરત $v_C^2 = g_{eff} \times l = 10\sqrt{2} \times 1 = 10\sqrt{2}$ છે.
બિંદુ $A$ અને $C$ વચ્ચે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv_C^2 + m g_{eff} (2l)$
$u^2 = v_C^2 + 4 g_{eff} l = 10\sqrt{2} + 4(10\sqrt{2})(1) = 50\sqrt{2} \ m^2/s^2$.
$u = \sqrt{50\sqrt{2}} \ m/s$. આ વિકલ્પોમાં ન હોવાથી, સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) $1$. $m$ દળ શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિ પૂર્ણ કરે તે માટે, નીચેના બિંદુએ લઘુત્તમ વેગ $u \ge \sqrt{5gL}$ હોવો જોઈએ।
$2$. વર્તુળાકાર પથના ઉપરના બિંદુએ, દોરીમાં તણાવ $T$ અને વજન $mg$ નીચેની તરફ લાગે છે, જે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $T + mg = \frac{mv_{top}^2}{L}$.
$3$. જો તણાવ $T$ બ્લોકના વજન કરતા વધે નહીં, એટલે કે $T \le 10mg$, તો $10m$ દળનો બ્લોક જમીન પર સ્થિર રહેશે.
$4$. નીચેના અને ઉપરના બિંદુ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv_{top}^2 + mg(2L)$, જે $v_{top}^2 = u^2 - 4gL$ આપે છે.
$5$. $v_{top}^2$ ની કિંમત તણાવના સમીકરણમાં મૂકતા: $T = \frac{m(u^2 - 4gL)}{L} - mg = \frac{mu^2}{L} - 5mg$.
$6$. $10m$ બ્લોક ઉપર ન ઉઠે તે માટે, $T \le 10mg \implies \frac{mu^2}{L} - 5mg \le 10mg \implies \frac{mu^2}{L} \le 15mg \implies u^2 \le 15gL$.
$7$. શરતો $u \ge \sqrt{5gL}$ અને $u \le \sqrt{15gL}$ ને જોડતા, શ્રેણી $\sqrt{5gL} \le u \le \sqrt{15gL}$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ, દોરી ખેંચાયેલી રહે અને બ્લોક ન ઉઠે તે માટે સૌથી યોગ્ય શ્રેણી $\sqrt{3gL} < u < \sqrt{13gL}$ છે.

(D) કણ દોરી ઢીલી પડ્યા વગર શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરે તે માટે,સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ $A$ પર લઘુત્તમ ઝડપ $v_A = \sqrt{gl}$ હોવી જોઈએ.
$A$ અને $B$ (સૌથી નીચું બિંદુ) વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mv_A^2 + mg(2l) = \frac{1}{2}mv_B^2$
$\frac{1}{2}m(gl) + 2mgl = \frac{1}{2}mv_B^2$
$v_B^2 = gl + 4gl = 5gl \implies v_B = \sqrt{5gl}$.
$A$ અને $D$ (સમક્ષિતિજ સ્થાન) વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mv_A^2 + mgl = \frac{1}{2}mv_D^2$
$\frac{1}{2}m(gl) + mgl = \frac{1}{2}mv_D^2$
$v_D^2 = gl + 2gl = 3gl \implies v_D = \sqrt{3gl}$.
ઝડપની સરખામણી કરતા: $v_B = \sqrt{5gl}$,$v_D = \sqrt{3gl}$,$v_A = \sqrt{gl}$. આમ,$v_B > v_D > v_A$.
શિરોલંબ નીચેની દિશા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતા કોઈપણ બિંદુએ તણાવ $T = \frac{mv^2}{l} + mg\cos\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બિંદુ $D$ પર,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
$T_D = \frac{m(3gl)}{l} + mg\cos(90^{\circ}) = 3mg + 0 = 3mg$.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F_c = \frac{mv^2}{r}$ છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 150 \ g = 0.15 \ kg$.
ત્રિજ્યા $r = 70 \ cm = 0.7 \ m$.
ઝડપ $v = 3.5 \ m/s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$F_c = \frac{0.15 \times (3.5)^2}{0.7}$
$F_c = \frac{0.15 \times 12.25}{0.7}$
$F_c = \frac{1.8375}{0.7} = 2.625 \ N$.
દશાંશના બે અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,કેન્દ્રગામી બળ આશરે $2.63 \ N$ મળે છે.

(D) ધારો કે સૌથી નીચલું સ્થાન ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે। સૌથી નીચલા સ્થાને વેગ $\vec{v}_i = u\hat{i}$ છે।
જ્યારે દોરી સમક્ષિતિજ હોય, ત્યારે પથ્થર $h = L$ જેટલી ઊંચાઈએ પહોંચ્યો હોય છે। ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgL$
$v^2 = u^2 - 2gL$
$v = \sqrt{u^2 - 2gL}$.
સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં, વેગ સદિશ શિરોલંબ ઉપરની તરફ હોય છે: $\vec{v}_f = \sqrt{u^2 - 2gL}\hat{j}$.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta\vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i = \sqrt{u^2 - 2gL}\hat{j} - u\hat{i}$ છે।
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{u^2 - 2gL})^2 + (-u)^2} = \sqrt{u^2 - 2gL + u^2} = \sqrt{2u^2 - 2gL} = \sqrt{2(u^2 - gL)}$ થાય.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$, લંબાઈ $\ell = 1 \ m$, નીચેના બિંદુએ પ્રારંભિક વેગ $u = \sqrt{60} \ m/s$, અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
જ્યારે દોરી સમક્ષિતિજ બને છે, ત્યારે પથ્થર $h = \ell = 1 \ m$ જેટલી ઊંચાઈએ પહોંચે છે.
નીચેના બિંદુ અને સમક્ષિતિજ સ્થિતિ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2}(1)(\sqrt{60})^2 = \frac{1}{2}(1)v^2 + (1)(10)(1)$
$30 = \frac{1}{2}v^2 + 10$
$20 = \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = 40 \ m^2/s^2$
સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં, તણાવ $T$ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T = \frac{mv^2}{\ell}$
$T = \frac{1 \times 40}{1} = 40 \ N$.

(B) ઢળતા સમતલ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g' = g \sin \theta$ છે। આ ગતિ અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g'$ સાથેની ઉર્ધ્વ વર્તુળાકાર ગતિને સમાન છે。
સ્થાન $A$ (ટોચ) પર, વેગ $u$ છે。
સ્થાન $B$ ($A$ થી $90^o$) માટે:
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $\frac{1}{2}mu^2 + mg'l = \frac{1}{2}mv_B^2 + mg'(0) \Rightarrow v_B^2 = u^2 + 2g'l = u^2 + 2gl \sin \theta$.
$B$ પર તણાવ $T_B = \frac{mv_B^2}{l} = \frac{m(u^2 + 2gl \sin \theta)}{l} = m\left( \frac{u^2}{l} + 2g \sin \theta \right)$.
સ્થાન $C$ (તળિયે, $A$ થી $180^o$) માટે:
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $\frac{1}{2}mu^2 + mg'(2l) = \frac{1}{2}mv_C^2 \Rightarrow v_C^2 = u^2 + 4g'l = u^2 + 4gl \sin \theta$.
$C$ પર તણાવ $T_C - mg' = \frac{mv_C^2}{l} \Rightarrow T_C = \frac{m(u^2 + 4gl \sin \theta)}{l} + mg \sin \theta = m\left( \frac{u^2}{l} + 5g \sin \theta \right)$.
આમ, વિકલ્પ $B$ સાચો છે।

(D) શિરોલંબ વર્તુળમાં ગતિ કરતા કણ માટે,સૌથી ઉપરના બિંદુએ તણાવ $T = \frac{mv^2}{r} - mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ,જો તણાવ $T = 0$ હોય,તો $\frac{mv^2}{r} = mg$ થાય.
આ સમીકરણ $v^2 = rg$ માં પરિણમે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v = r\omega$,તેથી $(r\omega)^2 = rg$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $\omega^2 = \frac{g}{r}$ મળે છે.
અહીં $r = 20 \ cm = 0.2 \ m$ અને $g = 9.8 \ m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{9.8}{0.2}}$.
$\omega = \sqrt{49} = 7 \ rad/s$.

(B) સૌથી નીચેના બિંદુએ,દોરીમાં તણાવ $T$ એ કેન્દ્રગામી બળ અને ગોળાના વજનના સરવાળા જેટલું હોય છે: $T = mg + \frac{mv^2}{r}$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં રહેલી સ્થિતિ ઉર્જા સૌથી નીચેના બિંદુએ ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$.
અહીં,$h = r = 1 \, m$ છે,તેથી $v^2 = 2gr$.
તણાવના સમીકરણમાં $v^2$ ની કિંમત મૂકતા: $T = mg + \frac{m(2gr)}{r} = mg + 2mg = 3mg$.
આપેલ છે કે $m = 10 \, g = 0.01 \, kg$ અને $g = 10 \, m/s^2$,તેથી $T = 3 \times 0.01 \times 10 = 0.3 \, N$.

(C) ઉર્ધ્વ વર્તુળમાં ગતિ કરતા પથ્થર માટે દોરીમાં તણાવ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{mv^2}{r} + mg \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ નીચેની તરફની ઉર્ધ્વ દિશા સાથેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: દળ $m = 2 \, kg$,લંબાઈ $r = 1 \, m$,ઝડપ $v = 4 \, ms^{-1}$,અને તણાવ $T = 52 \, N$. $g = 10 \, ms^{-2}$ લેતા:
$52 = \frac{2 \times (4)^2}{1} + 2 \times 10 \times \cos \theta$
$52 = 32 + 20 \cos \theta$
$20 = 20 \cos \theta$
$\cos \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0^{\circ}$.
કારણ કે $\theta = 0^{\circ}$ એ વર્તુળના સૌથી નીચેના બિંદુને દર્શાવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ઘટકો દિવાલ પર ન ચોંટે તે માટે,ડ્રમના ઉપરના ભાગે લંબબળ શૂન્ય અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ. મર્યાદિત સ્થિતિ ત્યારે આવે છે જ્યારે લંબબળ શૂન્ય હોય,જે શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિની સ્થિતિને અનુરૂપ છે જ્યાં ઉપરના બિંદુએ કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$v = \sqrt{Rg}$
ત્રિજ્યા $R = 1.25\, m$ અને $g = 10\, m/s^2$ આપેલ છે,તેથી કોણીય વેગ $\omega$:
$\omega = \frac{v}{R} = \sqrt{\frac{g}{R}} = \sqrt{\frac{10}{1.25}} = \sqrt{8} = 2.828\, rad/s$.
આને પ્રતિ મિનિટ પરિભ્રમણ (rpm) માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $\omega (rpm) = \frac{60}{2\pi} \times \omega$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\omega (rpm) = \frac{60}{2 \times 3.14} \times 2.828 \approx 9.55 \times 2.828 \approx 27.0\, rpm$.
આમ,મહત્તમ પરિભ્રમણ ઝડપ આશરે $27.0\, rpm$ છે.

(B) ધારો કે કણનું દળ $m$ છે,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને કોણીય વેગ $\omega$ છે. કેન્દ્રગામી બળ ચોખ્ખા ત્રિજ્યાવર્તી બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
બિંદુ $A$ (તળિયે) પર: તણાવ $T_1$ ઉપરની તરફ લાગે છે અને વજન $mg$ નીચેની તરફ લાગે છે. ચોખ્ખું બળ $T_1 - mg = m\omega^2 r$ છે. તેથી,$T_1 = mg + m\omega^2 r$ ... $(1)$
બિંદુ $B$ (જમણી બાજુ) પર: તણાવ $T_2$ કેન્દ્ર તરફ લાગે છે. વજન $mg$ નીચેની તરફ લાગે છે,જે ત્રિજ્યાને લંબ છે. તેથી,$T_2 = m\omega^2 r$ ... $(2)$
બિંદુ $C$ (ટોચ પર) પર: તણાવ $T_3$ અને વજન $mg$ બંને નીચેની તરફ લાગે છે. ચોખ્ખું બળ $T_3 + mg = m\omega^2 r$ છે. તેથી,$T_3 = m\omega^2 r - mg$ ... $(3)$
બિંદુ $D$ (ડાબી બાજુ) પર: તણાવ $T_4$ કેન્દ્ર તરફ લાગે છે. વજન $mg$ નીચેની તરફ લાગે છે,જે ત્રિજ્યાને લંબ છે. તેથી,$T_4 = m\omega^2 r$ ... $(4)$
સમીકરણોની સરખામણી કરતા: $T_1 = mg + m\omega^2 r$,$T_2 = m\omega^2 r$,$T_3 = m\omega^2 r - mg$,અને $T_4 = m\omega^2 r$.
સ્પષ્ટપણે,$T_1 > T_2 = T_4 > T_3$. તેથી,$T_1 > T_2 > T_3$ અને $T_2 = T_4$.

(A) ધારો કે સમક્ષિતિજ સ્થિતિ એ સ્થિતિ ઊર્જા માટે સંદર્ભ સ્તર છે $(PE = 0)$.
સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં,કુલ ઊર્જા $E_i = PE + KE = 0 + 0 = 0$ છે.
સૌથી નીચેની સ્થિતિમાં,ગોળો સંદર્ભ સ્તરથી $L$ જેટલી ઊર્ધ્વ અંતરે નીચે છે,તેથી તેની સ્થિતિ ઊર્જા $PE_f = -mgL$ છે.
ધારો કે સૌથી નીચેની સ્થિતિમાં ઝડપ $v$ છે. ગતિ ઊર્જા $KE_f = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$E_i = E_f$:
$0 = -mgL + \frac{1}{2}mv^2$
$mgL = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gL \Rightarrow v = \sqrt{2gL}$.
સૌથી નીચેની સ્થિતિમાં,ગોળા પર લાગતા બળો ઉપરની તરફ તણાવ $T$ અને નીચેની તરફ વજન $mg$ છે. ચોખ્ખું કેન્દ્રગામી બળ:
$T - mg = \frac{mv^2}{L}$
$v^2 = 2gL$ મૂકતા:
$T - mg = \frac{m(2gL)}{L} = 2mg$
$T = 2mg + mg = 3mg$.
આમ,ઝડપ $\sqrt{2gL}$ અને તણાવ $3mg$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1\, kg$,ત્રિજ્યા $r = 1\, m$,ઝડપ $v = 4\, m/s$,$g = 10\, m/s^2$.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r} = \frac{1 \times 4^2}{1} = 16\, N$ છે.
વર્તુળના ઉપરના બિંદુએ,તણાવ $T_{top} = \frac{mv^2}{r} - mg = 16 - 10 = 6\, N$.
વર્તુળના નીચેના બિંદુએ,તણાવ $T_{bottom} = \frac{mv^2}{r} + mg = 16 + 10 = 26\, N$.
આડા બિંદુએ (વચ્ચે),તણાવ $T_{mid} = \frac{mv^2}{r} = 16\, N$.
તેથી,તણાવ $6\, N$ હોવાથી,પથ્થર વર્તુળના ઉપરના બિંદુએ છે.

(B) ધારો કે $m = 1\,kg$ એ દળ છે અને $r = 1\,m$ એ શિરોલંબ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
સૌથી નીચેના બિંદુએ,સ્થિતિઊર્જા $PE_{bottom} = 0$ છે અને ગતિઊર્જા $KE_{bottom} = \frac{1}{2}mv_b^2$ છે.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ,સ્થિતિઊર્જા $PE_{top} = mg(2r) = 2mgr$ છે અને ગતિઊર્જા $KE_{top} = \frac{1}{2}mv_t^2$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $KE_{bottom} + PE_{bottom} = KE_{top} + PE_{top}$.
$KE_{bottom} = KE_{top} + 2mgr$.
તેથી,ગતિઊર્જાનો તફાવત $KE_{bottom} - KE_{top} = 2mgr$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times 1\,kg \times 10\,m/s^2 \times 1\,m = 20\,J$.

(A) સૌથી નીચા બિંદુ $(L)$ પર,વેગ $v_L = \sqrt{5gl}$ છે. તણાવ $T_L = mg + \frac{mv_L^2}{l} = mg + \frac{m(5gl)}{l} = 6mg$ છે.
સૌથી ઊંચા બિંદુ $(H)$ પર,વેગ $v_H = \sqrt{gl}$ છે. તણાવ $T_H = \frac{mv_H^2}{l} - mg = \frac{m(gl)}{l} - mg = 0$ છે.
તણાવનો તફાવત $T_L - T_H = 6mg - 0 = 6mg$ છે.
સૌથી નીચા બિંદુએ ગતિઊર્જા $K_L = \frac{1}{2}mv_L^2 = \frac{1}{2}m(5gl) = 2.5mgl$ છે.
સૌથી ઊંચા બિંદુએ ગતિઊર્જા $K_H = \frac{1}{2}mv_H^2 = \frac{1}{2}m(gl) = 0.5mgl$ છે.
ગતિઊર્જાનો તફાવત $K_L - K_H = 2.5mgl - 0.5mgl = 2mgl$ છે.
તેથી,તફાવત $6mg$ અને $2mgl$ છે.

(A) ધારો કે સમક્ષિતિજ સ્થિતિ $A$ છે અને સૌથી નીચેની સ્થિતિ $B$ છે. લોલકની લંબાઈ $L$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$A$ આગળની સ્થિતિ ઉર્જા એ $B$ આગળની ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$m g L = \frac{1}{2} m v^2$
$v^2 = 2 g L$
$v = \sqrt{2 g L}$
સૌથી નીચેની સ્થિતિ $B$ પર,$bob$ પર લાગતા બળો તણાવ $T$ (ઉપરની તરફ) અને વજન $mg$ (નીચેની તરફ) છે. પરિણામી બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T - m g = \frac{m v^2}{L}$
$T = m g + \frac{m (2 g L)}{L}$
$T = m g + 2 m g = 3 m g$
આમ,ઝડપ $\sqrt{2 g L}$ છે અને તણાવ $3 m g$ છે.

(B) શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે,સૌથી ઉપરના બિંદુએ ન્યૂનતમ વેગ $v = \sqrt{gL}$ હોય છે.
જ્યારે સૌથી ઉપરના બિંદુએ દોરી તૂટી જાય છે,ત્યારે પદાર્થ $h = 2L$ (વર્તુળનો વ્યાસ) ઊંચાઈ પરથી સમક્ષિતિજ રીતે ફેંકાયેલ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ તરીકે વર્તે છે.
જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h = 2L$ મૂકતા,આપણને $t = \sqrt{\frac{2(2L)}{g}} = \sqrt{\frac{4L}{g}} = 2\sqrt{\frac{L}{g}}$ મળે છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $x$ એ સમક્ષિતિજ વેગ અને સમયના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $x = v \times t$.
કિંમતો મૂકતા,$x = \sqrt{gL} \times 2\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\sqrt{gL \times \frac{L}{g}} = 2\sqrt{L^2} = 2L$.

(C) ધારો કે દોરીની લંબાઈ $l$ છે. જ્યારે $m$ દળને બિંદુ $A$ થી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે $l$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
બિંદુ $A$ અને બિંદુ $B$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$PE_A + KE_A = PE_B + KE_B$
બિંદુ $B$ પર સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય લેતા,$PE_A = mgl$ અને $KE_A = 0$.
બિંદુ $B$ પર,$PE_B = 0$ અને $KE_B = \frac{1}{2}mv^2$.
તેથી,$mgl = \frac{1}{2}mv^2 \implies v^2 = 2gl$.
બિંદુ $B$ પર,દળ પર લાગતા બળો તણાવ $T$ (ઉપરની તરફ) અને વજન $mg$ (નીચેની તરફ) છે.
કેન્દ્રગામી બળ તણાવ અને ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$T - mg = \frac{mv^2}{l}$
$v^2 = 2gl$ મૂકતા:
$T - mg = \frac{m(2gl)}{l} = 2mg$
$T = 2mg + mg = 3mg$.
તેથી,બિંદુ $B$ પર તણાવ $3mg$ છે.

(C) ધારો કે મહત્તમ કોણીય કંપવિસ્તાર $\theta$ છે. જ્યારે લોલકનો ગોળો અંતિમ સ્થાન $B$ થી સૌથી નીચા બિંદુ $A$ પર આવે છે,ત્યારે સ્થિતિ ઊર્જામાં ઘટાડો એ $A$ આગળ ગતિ ઊર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે.
$B$ અને $A$ વચ્ચેની શિરોલંબ ઊંચાઈનો તફાવત $h = l - l \cos \theta = l(1 - \cos \theta)$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$mg(l(1 - \cos \theta)) = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gl(1 - \cos \theta)$
સૌથી નીચા બિંદુ $A$ પર,ગોળા પર લાગતા બળો ઉપરની તરફ તણાવ $T$ અને નીચેની તરફ વજન $mg$ છે. ચોખ્ખું કેન્દ્રગામી બળ:
$T - mg = \frac{mv^2}{l}$
$v^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$T - mg = \frac{m}{l} \cdot 2gl(1 - \cos \theta)$
$T - mg = 2mg(1 - \cos \theta)$
$T = mg + 2mg - 2mg \cos \theta = mg(3 - 2 \cos \theta)$
જ્યારે $T = T_{\max} = 2mg$ થાય ત્યારે દોરી તૂટી જાય છે. $T = 2mg$ લેતા:
$2mg = mg(3 - 2 \cos \theta)$
$2 = 3 - 2 \cos \theta$
$2 \cos \theta = 1$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = 60^\circ$

(B) અને $D$ બિંદુઓ વચ્ચે સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ માં થતો ઘટાડો એ $A$ અને $D$ વચ્ચે ગતિ ઉર્જા $(KE)$ માં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
$mg(h - 2r) = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2g(h - 2r) \quad .....(i)$
બ્લોક વર્તુળાકાર લૂપ પૂર્ણ કરે તે માટે,સૌથી ઉચ્ચ બિંદુ $D$ પર શરત એ છે કે લંબબળ શૂન્ય અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રગામી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ:
$\frac{mv^2}{r} \geq mg$
$v^2 \geq rg \quad .....(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $v^2$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$2g(h - 2r) \geq rg$
$2(h - 2r) \geq r$
$2h - 4r \geq r$
$2h \geq 5r$
$h \geq \frac{5}{2}r$

(C) $R$ ત્રિજ્યાના શિરોલંબ વર્તુળમાં ગતિ કરતા $m$ દળ માટે,સૌથી નીચા બિંદુથી કોઈપણ કોણીય સ્થાન $\theta$ પર તારમાં તણાવ $T$ નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T - mg \cos \theta = \frac{mv^2}{R}$
$T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{R}$
સૌથી નીચા બિંદુ પર,$\theta = 0^{\circ}$,તેથી $\cos 0^{\circ} = 1$ થાય. ઉપરાંત,ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ સૌથી નીચા બિંદુ પર વેગ $v$ મહત્તમ હોય છે.
કારણ કે $\cos \theta$ અને $v$ બંને સૌથી નીચા બિંદુ પર તેમના મહત્તમ મૂલ્યો ધરાવે છે,તેથી આ સ્થાને તણાવ $T$ મહત્તમ હોય છે.
તેથી,જ્યારે દળ સૌથી નીચા બિંદુ પર હોય ત્યારે તાર તૂટવાની શક્યતા સૌથી વધુ છે.

(A) સૌથી નીચેના બિંદુએ,પથ્થર પર લાગતા બળો ઉપરની તરફ તણાવ $T_1$ અને નીચેની તરફ વજન $mg$ છે. કેન્દ્ર તરફ (ઉપરની તરફ) લાગતું પરિણામી બળ $T_1 - mg = \frac{mv_1^2}{R}$ છે. શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગતું પરિણામી બળ $mg - T_1 = -\frac{mv_1^2}{R}$ છે.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ,તણાવ $T_2$ અને વજન $mg$ બંને નીચેની તરફ લાગે છે. શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગતું પરિણામી બળ $mg + T_2 = \frac{mv_2^2}{R}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,પ્રશ્ન શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગતા પરિણામી બળ વિશે પૂછે છે. સૌથી નીચેના બિંદુ માટે,આ $mg - T_1$ છે. સૌથી ઉપરના બિંદુ માટે,આ $mg + T_2$ છે. આમ,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.

(N/A) ડેથ વેલમાં,મોટરસાયકલ સવાર વર્ટિકલ લૂપના ઉપરના બિંદુએ પડતો નથી કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને દિવાલ દ્વારા લાગતું લંબ પ્રતિક્રિયા બળ (normal reaction force) બંને નીચેની તરફ લાગે છે,જે વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ઉપરના બિંદુએ મોટરસાયકલ સવાર પર લાગતું કુલ બળ એ લંબ બળ $(F_N)$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(F_g = mg)$ નો સરવાળો છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c)$ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$F_{\text{net}} = m a_c$
$F_N + mg = \frac{m v^2}{r}$
મોટરસાયકલ સવાર પડ્યા વિના લૂપ પૂર્ણ કરે તે માટે,લઘુત્તમ ઝડપ $(v_{\min})$ ત્યારે મળે છે જ્યારે લંબ પ્રતિક્રિયા $(F_N)$ શૂન્ય થાય.
$mg = \frac{m v_{\min}^2}{r}$
$v_{\min}^2 = rg$
$v_{\min} = \sqrt{rg}$
અહીં $r = 25 \; m$ અને $g = 10 \; m/s^2$ લેતા:
$v_{\min} = \sqrt{25 \times 10} = \sqrt{250} \approx 15.81 \; m/s$.

(N/A) ગોળા પર બે બાહ્ય બળો લાગે છે: ગુરુત્વાકર્ષણ અને દોરીમાં તણાવ $(T)$. દોરીમાં તણાવ કોઈ કાર્ય કરતું નથી કારણ કે ગોળાનું સ્થાનાંતર હંમેશા દોરીને લંબ હોય છે. તેથી ગોળાની સ્થિતિઊર્જા માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સાથે સંકળાયેલ છે. તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ સંરક્ષિત રહે છે. આપણે સૌથી નીચેના બિંદુ $A$ પર સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય લઈએ છીએ.
બિંદુ $A$ પર,કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} m v_{o}^{2}$ છે.
સૌથી ઉપરના બિંદુ $C$ પર,દોરી ઢીલી પડે છે,એટલે કે તણાવ $T_{C} = 0$. $C$ પર ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ: $mg = \frac{m v_{C}^{2}}{L}$,જે $v_{C} = \sqrt{gL}$ આપે છે.
$C$ પર કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} m v_{C}^{2} + mg(2L) = \frac{1}{2} m(gL) + 2mgL = \frac{5}{2} mgL$ છે.
$A$ અને $C$ પરની ઊર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{2} m v_{o}^{2} = \frac{5}{2} mgL \implies v_{o} = \sqrt{5gL}$.
બિંદુ $B$ (સમક્ષિતિજ સ્તર) પર,ઊંચાઈ $L$ છે. ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2} m v_{o}^{2} = \frac{1}{2} m v_{B}^{2} + mgL$.
$v_{o}^{2} = 5gL$ મૂકતા: $\frac{5}{2} mgL = \frac{1}{2} m v_{B}^{2} + mgL \implies \frac{1}{2} m v_{B}^{2} = \frac{3}{2} mgL \implies v_{B} = \sqrt{3gL}$.
$(iii)$ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર: $\frac{K_{B}}{K_{C}} = \frac{\frac{1}{2} m v_{B}^{2}}{\frac{1}{2} m v_{C}^{2}} = \frac{3gL}{gL} = \frac{3}{1}$.
બિંદુ $C$ પર પહોંચ્યા પછી,જો દોરી ઢીલી થઈ જાય,તો ગોળો માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ હોય છે. તે બિંદુ $C$ થી સમક્ષિતિજ વેગ $v_{C} = \sqrt{gL}$ સાથે પરવલયાકાર પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરશે.

(N/A) જ્યારે ગોળાને ઉર્ધ્વ વર્તુળમાં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ દોરીમાં રહેલા તણાવ અને ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે. જ્યારે દોરી કાપવામાં આવે છે,ત્યારે તણાવ શૂન્ય થઈ જાય છે અને ગોળો તેના તત્કાલીન વેગની દિશામાં સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે,જેના પર માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગે છે.
$(a)$ બિંદુ $B$ પર,વેગ ઉર્ધ્વ દિશામાં નીચેની તરફ છે. તેથી,જ્યારે દોરી $B$ પર કાપવામાં આવે છે,ત્યારે ગોળો ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ સીધો નીચેની તરફ ગતિ કરે છે.
$(b)$ બિંદુ $C$ પર,વેગ સમક્ષિતિજ (જમણી તરફ) છે. જ્યારે દોરી $C$ પર કાપવામાં આવે છે,ત્યારે ગોળો $v$ જેટલા પ્રારંભિક વેગ સાથે સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરે છે અને સાથે સાથે ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ નીચે પડે છે. આના પરિણામે $C$ પર શિરોબિંદુ ધરાવતો પરવલયાકાર ગતિપથ મળે છે.
$(c)$ બિંદુ $X$ પર,ગોળાનો વેગ બિંદુ $X$ પર દોરેલા સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે. જ્યારે દોરી $X$ પર કાપવામાં આવે છે,ત્યારે ગોળો આ સ્પર્શકની દિશામાં $v$ જેટલા પ્રારંભિક વેગ સાથે ગતિ કરે છે અને ત્યારબાદ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ પરવલયાકાર ગતિપથ અનુસરે છે,જેનું શિરોબિંદુ બિંદુ $C$ કરતા ઊંચું હોય છે.

(D) ઉર્ધ્વ વર્તુળના સૌથી નીચલા બિંદુએ,'$m$' દળ પર લાગતા બળોમાં ઉપરની તરફ લાગતું તણાવ '$T$' અને નીચેની તરફ લાગતું વજન '$mg$' છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી ચોખ્ખું કેન્દ્રગામી બળ તણાવ અને વજનના તફાવત દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$T - mg = \frac{mv^2}{r}$
આપેલ છે કે સૌથી નીચલા બિંદુએ વેગ $v = \sqrt{7gr}$ છે,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$T - mg = \frac{m(\sqrt{7gr})^2}{r}$
$T - mg = \frac{m(7gr)}{r}$
$T - mg = 7mg$
$T = 7mg + mg = 8mg$
તેથી,સૌથી નીચલા બિંદુએ દોરીમાં તણાવ $8mg$ છે.

(C) ધારો કે સૌથી નીચા સ્થાને ગોળાની ઝડપ $v_1$ છે અને સૌથી ઊંચા સ્થાને $v_2$ છે.
મહત્તમ તણાવ સૌથી નીચા સ્થાને અને ન્યૂનતમ તણાવ સૌથી ઊંચા સ્થાને હોય છે. યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} mv_1^2 = \frac{1}{2} mv_2^2 + mg(2l)$
$\Rightarrow v_1^2 = v_2^2 + 4gl$ $......(1)$
સૌથી નીચા સ્થાને: $T_{\max} - mg = \frac{mv_1^2}{l} \Rightarrow T_{\max} = mg + \frac{mv_1^2}{l}$
સૌથી ઊંચા સ્થાને: $T_{\min} + mg = \frac{mv_2^2}{l} \Rightarrow T_{\min} = \frac{mv_2^2}{l} - mg$
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{T_{\max}}{T_{\min}} = \frac{5}{1}$:
$\frac{mg + \frac{mv_1^2}{l}}{\frac{mv_2^2}{l} - mg} = 5$
$mg + \frac{m}{l}(v_2^2 + 4gl) = 5(\frac{mv_2^2}{l} - mg)$
$mg + \frac{mv_2^2}{l} + 4mg = \frac{5mv_2^2}{l} - 5mg$
$10mg = \frac{4mv_2^2}{l}$
$v_2^2 = \frac{10gl}{4} = \frac{10 \times 10 \times 1}{4} = 25$
$v_2 = 5\, m/s$.

(B) ધારો કે બ્લોક શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે સંપર્ક ગુમાવે છે. આ બિંદુએ,લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
$1$. ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બળનું સંતુલન:
$mg \cos \theta - N = \frac{mv^2}{R}$
અહીં $N=0$ હોવાથી,$mg \cos \theta = \frac{mv^2}{R} \implies v^2 = Rg \cos \theta \dots (1)$
$2$. ટોચથી સંપર્ક ગુમાવવાના બિંદુ સુધી યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ:
કાપેલું શિરોલંબ અંતર $(R - R \cos \theta) = R(1 - \cos \theta)$ છે.
$mgR(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2 \implies v^2 = 2gR(1 - \cos \theta) \dots (2)$
$3$. સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$Rg \cos \theta = 2gR(1 - \cos \theta)$
$\cos \theta = 2 - 2 \cos \theta$
$3 \cos \theta = 2 \implies \cos \theta = \frac{2}{3}$
$4$. પાયાથી ઊંચાઈ $h$ એ $h = R \cos \theta$ દ્વારા મળે છે:
$h = R \left( \frac{2}{3} \right) = 3 \times \frac{2}{3} = 2\, m$.

(B) સમાન ઝડપ $v$ સાથેની શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિમાં,ચોખ્ખું કેન્દ્રગામી બળ તણાવ $T$ અને ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક $mg \cos \theta$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો છે.
સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ,તણાવ $T_{top}$ એ $T_{top} + mg = \frac{mv^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $T_{top} = \frac{mv^2}{r} - mg$.
સૌથી નીચલા બિંદુએ,તણાવ $T_{bottom}$ એ $T_{bottom} - mg = \frac{mv^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $T_{bottom} = \frac{mv^2}{r} + mg$.
કારણ કે $T_{top} < T_{bottom}$,તેથી તણાવ વર્તુળાકાર માર્ગના સૌથી ઉચ્ચ સ્થાને ન્યૂનતમ હોય છે.

(B) ધારો કે સૌથી નીચલું સ્થાન $A$ છે અને સમક્ષિતિજ સ્થાન $B$ છે। $A$ પર, વેગ $\vec{v}_A = u \hat{i}$ છે。
$A$ અને $B$ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv_B^2 + mgL$.
$v_B$ માટે ઉકેલતા, આપણને $v_B^2 = u^2 - 2gL$ મળે છે, તેથી $v_B = \sqrt{u^2 - 2gL}$.
સ્થાન $B$ પર, વેગ $\vec{v}_B = v_B \hat{j} = \sqrt{u^2 - 2gL} \hat{j}$ છે。
વેગમાં ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = \sqrt{u^2 - 2gL} \hat{j} - u \hat{i}$ છે。
વેગમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-u)^2 + (\sqrt{u^2 - 2gL})^2} = \sqrt{u^2 + u^2 - 2gL} = \sqrt{2u^2 - 2gL}$ છે。
$|\Delta \vec{v}| = \sqrt{2(u^2 - gL)}$.
આને $\sqrt{x(u^2 - gL)}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 2$ મળે છે.