Vertical Circular Motion Questions in Gujarati

(D) કોઈપણ પદાર્થ ઉર્ધ્વ વર્તુળાકાર ગતિ પૂર્ણ કરી શકે તે માટે,સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ પર તણાવ બળ ઓછામાં ઓછું શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ પર,મોટરબાઈક પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ નીચેની તરફ અને લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $(N)$ નીચેની તરફ લાગે છે.
પરિણામી કેન્દ્રગામી બળ આ બળોના સરવાળા દ્વારા મળે છે: $mg + N = \frac{mv^2}{R}$.
લઘુત્તમ ઝડપ $(v_{min})$ શોધવા માટે,આપણે લંબ પ્રતિક્રિયા $N = 0$ લઈએ છીએ.
તેથી,$mg = \frac{mv_{min}^2}{R}$.
$v_{min}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v_{min}^2 = gR$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v_{min} = \sqrt{gR}$.

(D) શિરોલંબ વર્તુળના ઉચ્ચતમ બિંદુએ,બ્લોક પર લાગતા બળો તેનું વજન $(mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે અને દોરીમાં તણાવ $(T)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $\frac{mv^2}{R} = T + mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દોરી ઉચ્ચતમ બિંદુએ ખેંચાયેલી રહે તે માટે,તણાવ $T$ ઓછામાં ઓછું શૂન્ય $(T \ge 0)$ હોવું જોઈએ.
ક્રિટિકલ સ્થિતિ માટે $T = 0$ લેતા,આપણને $\frac{mv^2}{R} = mg$ મળે છે.
$v$ માટે ઉકેલતા,$v^2 = Rg$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{Rg}$.
આમ,ઉચ્ચતમ બિંદુએ ક્રિટિકલ ઝડપ $\sqrt{Rg}$ છે.

(A) શિરોલંબ વર્તુળના સૌથી ઉપરના બિંદુએ ડોલમાંથી પાણી ન ઢોળાય તે માટેની શરત એ છે કે કેન્દ્રગામી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ લઘુત્તમ વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{gR}$ છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $R = 1.6\, m$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{10 \times 1.6} = \sqrt{16} = 4\, m/s$.
તેથી,જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપ $4\, m/s$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \,kg$,ત્રિજ્યા $r = 1 \,m$,ઝડપ $v = 4 \,m/s$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r} = \frac{1 \times 4^2}{1} = 16 \,N$ છે.
પથ્થરનું વજન $W = mg = 1 \times 10 = 10 \,N$ છે.
શિરોલંબ વર્તુળના સૌથી ઉપરના બિંદુએ તણાવ $T_{top} = \frac{mv^2}{r} - mg$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T_{top} = 16 \,N - 10 \,N = 6 \,N$.
આમ,ગણતરી કરેલ તણાવ આપેલ મૂલ્ય સાથે મેળ ખાય છે,તેથી પથ્થર વર્તુળના સૌથી ઉપરના બિંદુએ છે.

(D) ઉર્ધ્વ વર્તુળના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ પાણી નીચે ન પડે તે માટે,કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ,ક્રાંતિક વેગ માટેની શરત $v = \sqrt{gR}$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = v/R$ હોવાથી,આપણને $\omega = \sqrt{g/R}$ મળે છે.
સમયગાળો $T = 2\pi / \omega = 2\pi \sqrt{R/g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R = 4 \ m$ અને $g \approx 10 \ m/s^2$ લેતા:
$T = 2\pi \sqrt{4/10} = 2\pi \times (2 / \sqrt{10}) \approx 2 \times 3.14 \times (2 / 3.16) \approx 4 \ s$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2 \, kg$,દોરીની લંબાઈ $r = 1 \, m$,ઝડપ $v = 4 \, m/s$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$.
પથ્થરનું વજન $mg = 2 \times 10 = 20 \, N$ છે.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r} = \frac{2 \times (4)^2}{1} = 32 \, N$ છે.
શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિમાં,કોઈપણ બિંદુએ તણાવ $T = \frac{mv^2}{r} + mg \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ નીચેની શિરોલંબ રેખા સાથેનો ખૂણો છે.
વર્તુળના નીચેના બિંદુએ,$\theta = 0^\circ$ હોવાથી,$T_{bottom} = \frac{mv^2}{r} + mg = 32 + 20 = 52 \, N$.
તેથી,જ્યારે પથ્થર વર્તુળના સૌથી નીચેના બિંદુએ હોય ત્યારે તણાવ $52 \, N$ હશે.

(B) $R$ ત્રિજ્યાના ઉર્ધ્વ વર્તુળાકાર લૂપને પૂર્ણ કરવા માટે,લૂપના તળિયે લઘુત્તમ વેગ $v = \sqrt{5gR}$ હોવો જોઈએ.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$h$ ઊંચાઈ પરની સ્થિતિ ઉર્જા એ લૂપના તળિયે રહેલી ગતિ ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$mgh = \frac{1}{2}m(5gR)$
$h = \frac{5}{2}R$
અહીં વ્યાસ $D = 2R$ હોવાથી,$R = \frac{D}{2}$ થાય.
$h$ ના સમીકરણમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા:
$h = \frac{5}{2} \left( \frac{D}{2} \right) = \frac{5D}{4}$.

(B) જ્યારે લોલકને $90^{\circ}$ થી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે મધ્યમાન સ્થાન પર આવે છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા એ મેળવેલી ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$mgl = \frac{1}{2}mv^2 \implies v^2 = 2gl$.
મધ્યમાન સ્થાન પર,બોબ પર લાગતા બળો તણાવ $T$ (ઉપરની તરફ) અને વજન $mg$ (નીચેની તરફ) છે. કેન્દ્રગામી બળ:
$T - mg = \frac{mv^2}{l}$.
$v^2 = 2gl$ મૂકતા:
$T - mg = \frac{m(2gl)}{l} = 2mg$.
$T = 2mg + mg = 3mg$.
આમ,દોરીની લઘુત્તમ મજબૂતી $3mg$ હોવી જોઈએ.

(A) શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિમાં,દોરીમાં તણાવ તેના સૌથી નીચલા બિંદુએ મહત્તમ હોય છે.
સૌથી નીચલા બિંદુએ,ગતિનું સમીકરણ આ મુજબ છે: $T_{max} = m \omega_{max}^2 r + mg$.
આપેલ છે: $T_{max} = 30 \, N$,$m = 0.5 \, kg$,$r = 2 \, m$,અને $g = 10 \, m/s^2$.
કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $30 = (0.5) \cdot \omega_{max}^2 \cdot 2 + (0.5) \cdot 10$.
$30 = \omega_{max}^2 + 5$.
$\omega_{max}^2 = 30 - 5 = 25$.
$\omega_{max} = \sqrt{25} = 5 \, rad/s$.

(B) ધારો કે કણ સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ $P$ પર છે. જ્યારે તે શિરોલંબથી $\theta$ ખૂણે ખસે છે,ત્યારે તેનું સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુથી ઉર્ધ્વ અંતર $h = R - R \cos \theta$ થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,આ બિંદુએ ગતિઊર્જા એ સ્થિતિઊર્જામાં થયેલા ઘટાડા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} m v^2 = m g h = m g R(1 - \cos \theta) \Rightarrow v^2 = 2 g R(1 - \cos \theta)$.
કણ પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ $(m g)$ અને લંબ પ્રતિક્રિયા $(N)$ છે. ત્રિજ્યાવર્તી ગતિનું સમીકરણ:
$m g \cos \theta - N = \frac{m v^2}{R}$.
જ્યારે કણ વર્તુળ છોડે છે,ત્યારે લંબ પ્રતિક્રિયા $N = 0$ થાય છે. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$m g \cos \theta = \frac{m v^2}{R} \Rightarrow g \cos \theta = \frac{2 g R(1 - \cos \theta)}{R}$.
$\cos \theta = 2 - 2 \cos \theta \Rightarrow 3 \cos \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = \frac{2}{3}$.
$\cos \theta$ ની કિંમત $h$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$h = R - R \cos \theta = R - R \left(\frac{2}{3}\right) = \frac{R}{3}$.

(B) શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિમાં,સૌથી નીચલા બિંદુથી કોઈપણ ખૂણે $\theta$ પર તારમાં તણાવ $T$ નું સૂત્ર $T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{r}$ છે.
સૌથી નીચલા બિંદુએ,$\theta = 0^\circ$ હોવાથી $\cos 0^\circ = 1$ થાય છે અને વેગ $v$ મહત્તમ હોય છે. તેથી,સૌથી નીચલા બિંદુએ તણાવ $T$ મહત્તમ હોય છે.
તણાવ સૌથી નીચલા બિંદુએ મહત્તમ હોવાથી,તાર આ સ્થાને તૂટવાની શક્યતા સૌથી વધુ છે.

(A) દોરી સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ તણાવ $T_{max} = 3.7 \, kg \cdot wt = 3.7 \times 10 \, N = 37 \, N$ છે.
શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિમાં,માર્ગના સૌથી નીચેના બિંદુએ તણાવ મહત્તમ હોય છે.
સૌથી નીચેના બિંદુએ તણાવનું સૂત્ર $T = mg + m\omega^2r$ છે.
આપેલ દળ $m = 500 \, g = 0.5 \, kg$,ત્રિજ્યા $r = 4 \, m$,અને $g = 10 \, m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $37 = (0.5 \times 10) + (0.5 \times \omega^2 \times 4)$.
$37 = 5 + 2\omega^2$.
$32 = 2\omega^2$.
$\omega^2 = 16$.
$\omega = 4 \, rad/s$.

(C) સૌથી ઉપરના બિંદુએ,લાગતા બળો તણાવ $T$ અને વજનબળ $mg$ છે,જે બંને નીચેની તરફ લાગે છે. કેન્દ્રગામી બળ આ બળો દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $T + mg = \frac{mv_1^2}{l}$.
દોરી સૌથી ઉપરના બિંદુએ માત્ર ઢીલી પડે તે માટે તણાવ $T$ શૂન્ય હોવો જોઈએ $(T = 0)$.
આમ,$mg = \frac{mv_1^2}{l}$,જે સૌથી ઉપરના બિંદુએ ક્રાંતિક વેગ $v_1 = \sqrt{gl}$ આપે છે.
સૌથી નીચેના બિંદુ (વેગ $v_2$) અને સૌથી ઉપરના બિંદુ (વેગ $v_1$) વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
તળિયે કુલ ઉર્જા = ટોચ પર કુલ ઉર્જા.
સૌથી નીચેના બિંદુને સ્થિતિ ઉર્જા માટે સંદર્ભ સ્તર $(PE = 0)$ તરીકે લેતા:
$\frac{1}{2}mv_2^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_1^2 + mg(2l)$.
$v_1^2 = gl$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}m(gl) + 2mgl$.
$\frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{5}{2}mgl$.
$v_2^2 = 5gl$.
$v_2 = \sqrt{5gl}$.

(A) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે અને દોરીની લંબાઈ $l$ છે. પદાર્થને મધ્યમાન સ્થાન (સૌથી નીચું બિંદુ) પર સમક્ષિતિજ વેગ $v$ આપવામાં આવે છે.
તેના ગતિપથના સૌથી ઊંચા બિંદુએ,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે. આ બિંદુએ પદાર્થનો વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે.
સૌથી નીચું બિંદુ અને $60^{\circ}$ વાળા બિંદુ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = mg(l - l\cos 60^{\circ})$
$\frac{1}{2}mv^2 = mgl(1 - 0.5) = 0.5mgl$
$v^2 = gl$
મધ્યમાન સ્થાન (સૌથી નીચું બિંદુ) પર,તણાવ $T$ એ $T - mg = \frac{mv^2}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v^2 = gl$ મૂકતા:
$T = mg + \frac{m(gl)}{l} = mg + mg = 2\,mg$.

(A) ધારો કે સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ દોરીમાં તણાવ $T$ છે. ઉર્ધ્વ વર્તુળાકાર ગતિ પૂર્ણ કરવા માટે કણ માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપ $v = \sqrt{gr}$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ,કેન્દ્ર તરફ લાગતા બળો તણાવ $T$ અને વજન $mg$ છે. કેન્દ્રગામી બળ આ બળો દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$\frac{mv^2}{r} = T + mg$
સમીકરણમાં $v^2 = gr$ મૂકતા:
$\frac{m(gr)}{r} = T + mg$
$mg = T + mg$
$T = 0$
આમ,જ્યારે કણ ઉર્ધ્વ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે સક્ષમ હોય ત્યારે સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ તણાવ શૂન્ય હોય છે.

(C) શિરોલંબ વર્તુળના સૌથી નીચેના સ્થાને,દળ $m$ પર બે બળો લાગે છે: કેન્દ્ર તરફ ઉપરની દિશામાં લાગતું તણાવ બળ $T$ અને નીચેની દિશામાં લાગતું વજન બળ $mg$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ આપતું પરિણામી બળ $T - mg = \frac{mv^2}{r}$ છે.
આ સમીકરણને તણાવ $T$ માટે ગોઠવતા,આપણને $T = \frac{mv^2}{r} + mg$ મળે છે.

(A) વર્ટિકલ સર્કલ (ઊભું વર્તુળ) પૂર્ણ કરવા માટે,માર્ગના તળિયે લઘુત્તમ વેગ $v_{\min}$ નું સૂત્ર $v_{\min} = \sqrt{5gr}$ છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $r = 6.4 \, m$ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$v_{\min} = \sqrt{5 \times 10 \times 6.4}$
$v_{\min} = \sqrt{50 \times 6.4}$
$v_{\min} = \sqrt{320}$
$v_{\min} \approx 17.88 \, m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $17.7 \, m/s$ છે.

(D) સંપૂર્ણ ઉર્ધ્વ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે,બ્લોકે લૂપના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ ટ્રેક સાથે સંપર્ક જાળવી રાખવો આવશ્યક છે.
ધારો કે $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ બ્લોકનો વેગ $v_{top}$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ,બ્લોક પર લાગતા બળો નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ $(mg)$ અને ટ્રેક દ્વારા નીચેની તરફ લાગતું લંબબળ $(N)$ છે.
ગતિનું સમીકરણ: $mg + N = \frac{mv_{top}^2}{r}$.
બ્લોક વર્તુળ પૂર્ણ કરે તે માટે,લંબબળ ઓછામાં ઓછું શૂન્ય હોવું જોઈએ $(N \ge 0)$.
$N = 0$ લેતા,આપણને ટોચ પર લઘુત્તમ વેગ મળે છે: $mg = \frac{mv_{top}^2}{r} \Rightarrow v_{top}^2 = gr$.
શરૂઆતના બિંદુ ($h$ ઊંચાઈ પર) અને લૂપના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુ ($2r$ ઊંચાઈ પર) વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
પ્રારંભિક ઉર્જા $(E_i)$ = અંતિમ ઉર્જા $(E_f)$
$mgh = mg(2r) + \frac{1}{2}mv_{top}^2$
$v_{top}^2 = gr$ મૂકતા:
$mgh = 2mgr + \frac{1}{2}m(gr)$
$mgh = 2mgr + 0.5mgr = 2.5mgr$
$h = 2.5r = 5r/2$.
બ્લોક પાસે વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે ઓછામાં ઓછી આટલી ઉર્જા હોવી જોઈએ,તેથી શરત $h \ge 5r/2$ છે.

(A) દોરી સાથે બાંધેલા પથ્થરને શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે,સૌથી નીચેના બિંદુએ જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{5gr}$ છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $r$ એ દોરીની લંબાઈ છે.
સૂત્ર $v = \sqrt{5gr}$ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ઝડપ $v$ માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ અને ત્રિજ્યા (દોરીની લંબાઈ) $r$ પર આધાર રાખે છે.
તે પથ્થરના દળ $m$ પર આધાર રાખતું નથી. તેથી,લઘુત્તમ ઝડપ પથ્થરના દળથી સ્વતંત્ર છે.

(C) કોઈ પદાર્થ ઉર્ધ્વ વર્તુળાકાર ગતિ પૂર્ણ કરે તે માટે,સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ દોરીમાં તણાવ (અથવા લંબબળ) ઓછામાં ઓછું શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ,પ્લેન પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે અને લંબબળ $(N)$ જે પણ નીચેની તરફ લાગે છે.
કુલ કેન્દ્રગામી બળ આ બળોના સરવાળા દ્વારા મળે છે: $N + mg = \frac{mv^2}{r}$.
લઘુત્તમ વેગ માટે,આપણે લંબબળ $N = 0$ લઈએ છીએ.
આમ,$mg = \frac{mv^2}{r}$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v^2 = gr$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{gr}$.

(D) શિરોલંબ વર્તુળના સૌથી નીચલા બિંદુએ,તણાવ $T$ એ $T = mg + F_c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F_c$ એ કેન્દ્રગામી બળ છે.
$T = mg + m\omega^2 r$.
કોણીય વેગ $\omega$ (રેડિયન પ્રતિ સેકન્ડમાં) $\omega = \frac{2\pi n}{60} = \frac{\pi n}{30} \text{ rad/s}$ દ્વારા મળે છે.
$\omega$ ની કિંમત તણાવના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = mg + m \left( \frac{\pi n}{30} \right)^2 r$.
$T = mg + m \left( \frac{\pi^2 n^2}{900} \right) r$.
$T = m \left\{ g + \frac{\pi^2 n^2 r}{900} \right\}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) કોઈ પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $h$ ઊંચાઈએથી શરૂ કરીને ઉર્ધ્વ વર્તુળાકાર લૂપ પૂર્ણ કરે તે માટે,જરૂરી લઘુત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{5}{2}r$ છે,જ્યાં $r$ એ લૂપની ત્રિજ્યા છે.
અહીં આપેલ છે કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h = 5 \, m$ છે.
સૂત્રમાં $h$ ની કિંમત મૂકતા:
$5 = \frac{5}{2}r$
$r = \frac{5 \times 2}{5}$
$r = 2 \, m$
તેથી,લૂપની ત્રિજ્યા $2 \, m$ હોવી જોઈએ.

(B) સૌથી ઉપરના બિંદુએ,ક્રાંતિક ઝડપ $v_{top} = \sqrt{gr}$ છે.
ટોચના બિંદુ અને સમક્ષિતિજ સ્થિતિ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$E_{top} = E_{horizontal}$
$\frac{1}{2}mv_{top}^2 + mg(2r) = \frac{1}{2}mv_{hor}^2 + mgr$
$\frac{1}{2}m(gr) + 2mgr = \frac{1}{2}mv_{hor}^2 + mgr$
$\frac{1}{2}gr + mgr = \frac{1}{2}v_{hor}^2$
$\frac{3}{2}gr = \frac{1}{2}v_{hor}^2 \implies v_{hor}^2 = 3gr$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_{hor}^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$a_c = \frac{3gr}{r} = 3g$.

(C) શિરોલંબ વર્તુળમાં ગતિ કરતા કણ માટે સૌથી નીચલા બિંદુથી $\theta$ ખૂણે દોરીમાં તણાવનું સૂત્ર $T = \frac{mv^2}{r} + mg \cos \theta$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $\theta$ ખૂણે વેગ $v$ અને સૌથી નીચલા બિંદુએ વેગ $u$ વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mu^2 - mgr(1 - \cos \theta)$ છે.
તણાવના સમીકરણમાં $v^2$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $T = \frac{m}{r}(u^2 - 2gr(1 - \cos \theta)) + mg \cos \theta = \frac{mu^2}{r} - 2mg + 3mg \cos \theta$ મળે છે.
અહીં $T$ એ $\cos \theta$ નું વિધેય છે, અને $\cos 30^\circ > \cos 60^\circ$ હોવાથી, $T_1 > T_2$ સાબિત થાય છે.

(C) ગોળાનો વ્યાસ $D = 42\, m$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = D/2 = 21\, m$ થાય.
ધારો કે કણ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે ગોળાને છોડે છે. જે બિંદુએ તે છૂટો પડે છે,ત્યાં લંબ પ્રતિક્રિયા $N = 0$ થાય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણનો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$,તેથી $v^2 = rg \cos \theta$.
ટોચથી છૂટા પડવાના બિંદુ સુધી ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mg r = mg r \cos \theta + \frac{1}{2} mv^2$.
$v^2 = rg \cos \theta$ મૂકતા: $mgr = mgr \cos \theta + \frac{1}{2} mgr \cos \theta$.
$1 = \cos \theta + \frac{1}{2} \cos \theta = \frac{3}{2} \cos \theta$,જે $\cos \theta = 2/3$ આપે છે.
કેન્દ્રથી ઊંચાઈ $h = r \cos \theta = 21 \times (2/3) = 14\, m$ છે.
તળિયેથી ઊંચાઈ $H = r + h = 21 + 14 = 35\, m$ થશે.

(D) શિરોલંબ વર્તુળના સૌથી ઉપરના બિંદુએ તણાવબળ $T$ નું સૂત્ર $T = m\omega^2r - mg$ છે.
આપેલ છે: દળ $m = 0.4\, kg$,આવૃત્તિ $n = 2\, rev/sec$,ત્રિજ્યા $r = 2\, m$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8\, m/s^2$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi n = 2 \times \pi \times 2 = 4\pi\, rad/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$T = 0.4 \times (4\pi)^2 \times 2 - 0.4 \times 9.8$
$T = 0.4 \times 16 \times \pi^2 \times 2 - 3.92$
ગણતરી કરતા,$T \approx 115.86\, N$ મળે છે.

(C) ઉર્ધ્વ વર્તુળના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ ડોલમાંથી પાણી ન પડે તે માટે,કેન્દ્રગામી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ.
$m\omega^2 R \ge mg$
$\omega^2 \ge g/R$
$\omega_{\min} = \sqrt{g/R}$
સમયગાળો $T$ એ $T = 2\pi / \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ સમયગાળો $T_{\max}$ શોધવા માટે,આપણે ન્યૂનતમ કોણીય વેગ $\omega_{\min}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$T_{\max} = 2\pi \sqrt{R/g}$
અહીં $R = 2\,m$ અને $g = 10\,m/s^2$ આપેલ છે:
$T_{\max} = 2\pi \sqrt{2/10} = 2\pi \sqrt{1/5} = 2\pi / \sqrt{5}$
$\pi \approx 3.14$ અને $\sqrt{5} \approx 2.236$ લેતા:
$T_{\max} = 2 \times 3.14 / 2.236 \approx 6.28 / 2.236 \approx 2.81\,s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $3\,s$ મળે છે.

(A) અચળ ઝડપ $v$ સાથે ઉર્ધ્વ વર્તુળાકાર ગતિમાં,સૌથી નીચલા બિંદુએ તણાવ $T_{\max} = \frac{mv^2}{r} + mg$ અને સૌથી ઉંચા બિંદુએ તણાવ $T_{\min} = \frac{mv^2}{r} - mg$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{T_{\max}}{T_{\min}} = \frac{5}{3}$ મુજબ:
$\frac{\frac{mv^2}{r} + mg}{\frac{mv^2}{r} - mg} = \frac{5}{3}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(\frac{mv^2}{r} + mg) = 5(\frac{mv^2}{r} - mg)$
$3\frac{mv^2}{r} + 3mg = 5\frac{mv^2}{r} - 5mg$
$8mg = 2\frac{mv^2}{r}$
$4gr = v^2$
$v = \sqrt{4gr} = \sqrt{4 \times 9.8 \times 2.5} = \sqrt{98} \, m/s$.

(A) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m = 1\, kg$ અને વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = 1\, m$ છે. ધારો કે $g = 10\, m/s^2$.
સૌથી નિમ્નતમ બિંદુએ સ્થિતિઊર્જા $0$ છે અને સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ સ્થિતિઊર્જા $mg(2r) = 2mgr$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,નિમ્નતમ બિંદુએ કુલ ઊર્જા = ઉચ્ચતમ બિંદુએ કુલ ઊર્જા: $KE_{low} + PE_{low} = KE_{high} + PE_{high}$.
$KE_{low} + 0 = KE_{high} + 2mgr$.
તેથી,ગતિઊર્જાઓ વચ્ચેનો તફાવત $KE_{low} - KE_{high} = 2mgr$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times 1\, kg \times 10\, m/s^2 \times 1\, m = 20\, J$.

(D) શિરોલંબ વર્તુળમાં ગતિ કરતા પદાર્થ માટે મહત્તમ તણાવ $T_{max}$ નીચેના બિંદુએ અને ન્યૂનતમ તણાવ $T_{min}$ ઉપરના બિંદુએ હોય છે.
તણાવ માટેના સૂત્રો:
$T_{max} = \frac{mv_B^2}{L} + mg$
$T_{min} = \frac{mv_T^2}{L} - mg$
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{T_{max}}{T_{min}} = 4$ છે,તેથી:
$\frac{\frac{mv_B^2}{L} + mg}{\frac{mv_T^2}{L} - mg} = 4$
ઉપરના અને નીચેના બિંદુઓ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{1}{2}mv_B^2 = \frac{1}{2}mv_T^2 + mg(2L)$
$v_B^2 = v_T^2 + 4gL$
$v_B^2$ ની કિંમત તણાવના ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{v_T^2 + 4gL + gL}{v_T^2 - gL} = 4$
$\frac{v_T^2 + 5gL}{v_T^2 - gL} = 4$
$v_T^2 + 5gL = 4v_T^2 - 4gL$
$3v_T^2 = 9gL$
$v_T^2 = 3gL$
$g = 10\, m/s^2$ અને $L = \frac{10}{3}\, m$ ની કિંમતો મૂકતા:
$v_T^2 = 3 \times 10 \times \frac{10}{3} = 100$
$v_T = 10\, m/s$.

(D) ધારો કે સૌથી નીચલું બિંદુ $A$ છે અને સમક્ષિતિજ સ્થિતિ $B$ છે। $A$ પર, વેગ $\vec{u} = u \hat{i}$ છે。
$A$ અને $B$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgL$
$v^2 = u^2 - 2gL$
$v = \sqrt{u^2 - 2gL}$.
સ્થિતિ $B$ પર, વેગ શિરોલંબ ઉપરની તરફ છે, તેથી $\vec{v} = v \hat{j} = \sqrt{u^2 - 2gL} \hat{j}$.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v} - \vec{u} = v \hat{j} - u \hat{i}$ છે。
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{v^2 + u^2} = \sqrt{(u^2 - 2gL) + u^2} = \sqrt{2u^2 - 2gL} = \sqrt{2(u^2 - gL)}$ છે.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થ $h$ ઊંચાઈએથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપને સફળતાપૂર્વક પૂર્ણ કરે,ત્યારે જરૂરી લઘુત્તમ ઊંચાઈ ઉર્જા સંરક્ષણ અને લૂપના ટોચના બિંદુએ લંબબળ શૂન્ય ન થાય તે શરત પરથી મળે છે.
લૂપની ટોચ પર,જરૂરી લઘુત્તમ વેગ $v = \sqrt{gR}$ છે.
$A$ બિંદુ અને લૂપની ટોચ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$mgh = mg(2R) + \frac{1}{2}mv^2$
$mgh = 2mgR + \frac{1}{2}m(gR)$
$h = 2R + 0.5R = 2.5R = \frac{5}{2}R$
અહીં $h = 5\, cm$ આપેલ છે,તેથી:
$5 = \frac{5}{2}R$
$R = 2\, cm$.
આમ,પદાર્થ લૂપ પૂર્ણ કરી શકે તે માટે $R$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $2\, cm$ છે.

(B) ન્યૂનતમ અને મહત્તમ સ્થાન વચ્ચે ગતિઊર્જાનો તફાવત એ આ બે બિંદુઓ વચ્ચેના સ્થિતિઊર્જાના ફેરફાર જેટલો હોય છે.
ન્યૂનતમ બિંદુએ ઊંચાઈ $h_1 = 0$ છે.
મહત્તમ બિંદુએ ઊંચાઈ $h_2 = 2R$ છે.
સ્થિતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = mg(h_2 - h_1) = mg(2R - 0) = 2mgR$.
આપેલ ત્રિજ્યા $R = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
તેથી,$\Delta K = 2 \times mg \times 0.2 = 0.4 \ mg \ J$.

(B) જ્યારે સાદું લોલક શિરોલંબ અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કરે છે,ત્યારે તેના સૌથી નીચેના (મધ્ય) સ્થાન પરનો વેગ $v$ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ દ્વારા મેળવી શકાય છે.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ સ્થિતિ ઉર્જા $mgl$ હોય છે,જે સૌથી નીચેના બિંદુએ ગતિ ઉર્જા $\frac{1}{2}mv^2$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,$\frac{1}{2}mv^2 = mgl$.
$v = \sqrt{2gl}$.
આપેલ છે: $l = 75 \, cm = 0.75 \, m$ અને $g = 9.8 \, m/s^2$.
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.75}$.
$v = \sqrt{14.7} \, m/s$.

(D) અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v = m(v/2) + M v_1$,જ્યાં $v_1$ એ લોલક દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલ વેગ છે.
$M v_1 = m(v - v/2) = mv/2$
$v_1 = \frac{m}{2M} v$
લોલક સંપૂર્ણ શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરે તે માટે,સૌથી નીચેના બિંદુએ ન્યૂનત્તમ વેગ $v_1 = \sqrt{5g\ell}$ હોવો જોઈએ.
$v_1$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{m}{2M} v = \sqrt{5g\ell}$
$v = \frac{2M}{m} \sqrt{5g\ell}$

(C) ધારો કે $T_L$ એ સૌથી નીચેના બિંદુએ તણાવ છે અને $T_H$ એ સૌથી ઉપરના બિંદુએ તણાવ છે.
સૌથી નીચેના બિંદુએ,પરિણામી બળ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ આપે છે: $T_L - mg = \frac{mv_L^2}{l} \implies T_L = mg + \frac{mv_L^2}{l}$.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ,પરિણામી બળ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ આપે છે: $T_H + mg = \frac{mv_H^2}{l} \implies T_H = \frac{mv_H^2}{l} - mg$.
સૌથી નીચેના બિંદુ (ઊંચાઈ $0$) અને સૌથી ઉપરના બિંદુ (ઊંચાઈ $2l$) વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા: $\frac{1}{2}mv_L^2 = \frac{1}{2}mv_H^2 + mg(2l) \implies v_L^2 = v_H^2 + 4gl$.
$T_L$ ના સમીકરણમાં $v_L^2$ ની કિંમત મૂકતા: $T_L = mg + \frac{m(v_H^2 + 4gl)}{l} = mg + \frac{mv_H^2}{l} + 4mg = 5mg + \frac{mv_H^2}{l}$.
હવે,તણાવબળનો તફાવત: $T_L - T_H = (5mg + \frac{mv_H^2}{l}) - (\frac{mv_H^2}{l} - mg) = 5mg + mg = 6mg$.

(D) $r$ ત્રિજ્યાનું વર્ટિકલ લૂપ પૂર્ણ કરવા માટે,લૂપના ટોચના બિંદુએ લઘુત્તમ વેગ $v_{top} = \sqrt{gr}$ હોવો જોઈએ.
શરૂઆતના બિંદુ (ઊંચાઈ $H$) અને લૂપની ટોચ (ઊંચાઈ $2r$) વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$mgH = mg(2r) + \frac{1}{2}mv_{top}^2$
$mgH = 2mgr + \frac{1}{2}m(gr)$
$H = 2.5r = \frac{5r}{2}$.
આકૃતિ મુજબ,જો $h$ એ લૂપની ટોચની ઊંચાઈ હોય,તો $h = 2r$ અને લૂપની ઉપરની વધારાની ઊંચાઈ $h$ હોય તો $H = 2r + h$.
$2.5r = 2r + h \implies 0.5r = h \implies r = 2h$.
તેથી $H = 2.5(2h) = 5h$.
આમ,$H/h = 5$.

(C) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે. આપેલ વ્યાસ $D = 42 \, m$ હોવાથી,$r = 21 \, m$ થાય.
જ્યારે પદાર્થ સંપર્ક છોડે છે,ત્યારે લંબબળ $N = 0$ થાય છે.
આ બિંદુએ,ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$,તેથી $v^2 = rg \cos \theta$.
ગોળાની ટોચથી સંપર્ક છૂટવાના બિંદુ સુધી ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mg(2r) = mg(r + r \cos \theta) + \frac{1}{2}mv^2$.
$v^2 = rg \cos \theta$ મૂકતા:
$2mgr = mgr(1 + \cos \theta) + \frac{1}{2}mgr \cos \theta$.
$2 = 1 + \cos \theta + \frac{1}{2} \cos \theta$.
$1 = \frac{3}{2} \cos \theta \implies \cos \theta = \frac{2}{3}$.
કેન્દ્રથી ઊંચાઈ $x = r \cos \theta = r(\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}r$ છે.
તળિયેથી ઊંચાઈ $h = r + x = r + \frac{2}{3}r = \frac{5}{3}r$ છે.
$h = \frac{5}{3} \times 21 = 35 \, m$.

(A) શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિમાં સૌથી ઉપરના બિંદુએ પાણી ન ઢોળાય તે માટે,કેન્દ્રગામી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ.
$mv^2 / r = mg$
$v^2 = rg$
$v = \sqrt{rg}$
અહીં $r = 1.6 \, m$ અને $g = 10 \, m/s^2$ આપેલ છે.
$v = \sqrt{1.6 \times 10} = \sqrt{16} = 4 \, m/s$.
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ વેગ $4 \, m/s$ છે.

(D) શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિમાં,વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે સૌથી ઉપરના બિંદુ $A$ આગળ જરૂરી લઘુત્તમ વેગ $v_A = \sqrt{gr}$ છે.
બિંદુ $A$ અને બિંદુ $B$ (સમક્ષિતિજ સ્થિતિ) વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mv_A^2 + mg(2r) = \frac{1}{2}mv_B^2 + mgr$
$\frac{1}{2}mgr + 2mgr = \frac{1}{2}mv_B^2 + mgr$
$\frac{3}{2}mgr = \frac{1}{2}mv_B^2 \implies v_B = \sqrt{3gr}$.
બિંદુ $A$ અને બિંદુ $C$ (સૌથી નીચેનું બિંદુ) વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mv_A^2 + mg(2r) = \frac{1}{2}mv_C^2 + 0$
$\frac{1}{2}mgr + 2mgr = \frac{1}{2}mv_C^2$
$\frac{5}{2}mgr = \frac{1}{2}mv_C^2 \implies v_C = \sqrt{5gr}$.
આમ,વેગનો ગુણોત્તર $v_A : v_B : v_C = \sqrt{gr} : \sqrt{3gr} : \sqrt{5gr} = 1 : \sqrt{3} : \sqrt{5}$ થાય.

(B) શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિ પૂર્ણ કરવા માટે સૌથી નીચેના બિંદુએ જરૂરી લઘુત્તમ વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{5gr}$ છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $r$ એ દોરીની લંબાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v \propto \sqrt{r}$.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $r_1 = r$ અને પ્રારંભિક વેગ $v_1 = v$ છે.
ધારો કે નવી લંબાઈ $r_2 = r/4$ અને નવો વેગ $v_2$ છે.
પ્રમાણસરતા $v_2 / v_1 = \sqrt{r_2 / r_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$v_2 / v = \sqrt{(r/4) / r} = \sqrt{1/4} = 1/2$.
તેથી,નવો વેગ $v_2 = v/2$ થશે.

(B) પદાર્થને $r$ ત્રિજ્યાની ઉર્ધ્વ વર્તુળાકાર લૂપ પૂર્ણ કરવા માટે,તેને જે લઘુત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરથી મુક્ત કરવો પડે તે ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત દ્વારા મેળવી શકાય છે.
લૂપના ટોચના બિંદુએ જરૂરી લઘુત્તમ વેગ $v = \sqrt{gr}$ છે.
શરૂઆતના બિંદુ અને લૂપના ટોચના બિંદુ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$mgh = mg(2r) + \frac{1}{2}mv^2$
$mgh = 2mgr + \frac{1}{2}m(gr)$
$mgh = 2mgr + 0.5mgr = 2.5mgr$
$h = 2.5r = \frac{5}{2}r$
અહીં વ્યાસ $D = 2r$ હોવાથી,$r = \frac{D}{2}$ થાય.
$h$ ના સમીકરણમાં $r$ ની કિંમત મુકતા:
$h = \frac{5}{2} \left( \frac{D}{2} \right) = \frac{5D}{4}$

(D) શિરોલંબ વર્તુળના સૌથી ઉપરના બિંદુએ પાણી ન ઢોળાય તે માટે,કેન્દ્રગામી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ,પાણી ન ઢોળાય તે માટેની શરત $mg = m\omega^2 r$ છે,જ્યાં $r = 4 \ m$ એ ત્રિજ્યા (દોરીની લંબાઈ) છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $g = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા ($g = 10 \ m/s^2$ અને $r = 4 \ m$):
$10 = \frac{4\pi^2}{T^2} \times 4$.
$\pi^2 \approx 10$ લેતા,$10 = \frac{4 \times 10 \times 4}{T^2}$ મળે.
$10 = \frac{160}{T^2} \implies T^2 = 16$.
તેથી,$T = 4 \ s$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2 \, kg$,ત્રિજ્યા $r = 1 \, m$,ઝડપ $v = 5 \, m/s$,$g = 10 \, m/s^2$.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r} = \frac{2 \times (5)^2}{1} = 50 \, N$.
વજનબળ $W = mg = 2 \times 10 = 20 \, N$.
વર્તુળના નીચેના બિંદુએ,તણાવ $T$ નું સૂત્ર $T = F_c + mg = 50 + 20 = 70 \, N$ છે.
તેથી,દોરીમાં તણાવ $70 \, N$ વર્તુળના નીચેના બિંદુએ હશે.

(A) શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિમાં,ગતિઊર્જા સૌથી નીચેના બિંદુએ મહત્તમ $(K_{max})$ અને સૌથી ઉપરના બિંદુએ ન્યૂનતમ $(K_{min})$ હોય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સૌથી નીચેના બિંદુએ અને સૌથી ઉપરના બિંદુએ ગતિઊર્જાનો તફાવત એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
$K_{max} - K_{min} = \Delta U = mg(h_{max} - h_{min}) = mg(2r)$.
આપેલ છે: $m = 2 \, kg$,$r = 2 \, m$,અને $g = 10 \, m/s^2$ લેતા.
$K_{max} - K_{min} = 2 \times 10 \times (2 \times 2) = 2 \times 10 \times 4 = 80 \, J$.

(C) ઉર્ધ્વ સમતલમાં સંપૂર્ણ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે,સૌથી નીચેના બિંદુએ જરૂરી લઘુત્તમ વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{5gl}$ છે.
સૌથી નીચેના બિંદુએ ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}m(\sqrt{5gl})^2$
$K = \frac{1}{2}m(5gl)$
$K = 2.5\;mgl$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતું શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે,સૌથી નીચેના બિંદુ $A$ પર લઘુત્તમ ઝડપ $v_A = \sqrt{5gR}$ હોવી જોઈએ.
આપેલ છે કે વર્તુળનો વ્યાસ $D$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = \frac{D}{2}$ થશે.
વેગના સમીકરણમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $v_A = \sqrt{5g \left(\frac{D}{2}\right)} = \sqrt{\frac{5gD}{2}}$ મળે છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$h$ ઊંચાઈ પરની સ્થિતિ ઉર્જા બિંદુ $A$ પર ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv_A^2$
$gh = \frac{1}{2}v_A^2$
$v_A^2 = \frac{5gD}{2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$gh = \frac{1}{2} \left(\frac{5gD}{2}\right)$
$h = \frac{5D}{4}$

(B) શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે,પદાર્થે સૌથી ઉચ્ચ બિંદુ $C$ પર લઘુત્તમ વેગ જાળવી રાખવો જોઈએ જેથી દોરીમાં તણાવ $T_C$ (અથવા લંબબળ) ઓછામાં ઓછું શૂન્ય થાય.
સૌથી ઉચ્ચ બિંદુ $C$ પર,પદાર્થ પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ $(mg)$ નીચેની તરફ અને તણાવ $(T_C)$ નીચેની તરફ છે. કેન્દ્રગામી બળ આ બળોના સરવાળા દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$T_C + mg = \frac{mv_C^2}{R}$
લઘુત્તમ વેગ માટે,આપણે $T_C = 0$ લઈએ છીએ,જે આપે છે:
$mg = \frac{mv_C^2}{R} \Rightarrow v_C = \sqrt{gR}$
હવે,આપણે સૌથી નીચલા બિંદુ $A$ અને સૌથી ઉચ્ચ બિંદુ $C$ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ. ધારો કે $v_0$ એ બિંદુ $A$ પરનો વેગ છે:
$A$ પરની કુલ ઉર્જા = $C$ પરની કુલ ઉર્જા
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg(2R)$
$v_C^2 = gR$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}m(gR) + 2mgR$
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{5}{2}mgR$
$v_0^2 = 5gR$
$v_0 = \sqrt{5gR}$