Vertical Circular Motion Questions in Gujarati

(A) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે. બિંદુ $A$ પર,લંબબળ $N$ એ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે. વજનબળ $mg$ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે અને લંબબળ કેન્દ્ર $O$ તરફ સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે,તેથી $A$ પર પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ એ $N$ અને $mg$ નો સદિશ સરવાળો છે.
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $F_A = \sqrt{N^2 + (mg)^2}$ છે.
આપેલ છે કે $F_A = \sqrt{2} mg$,તેથી $\sqrt{N^2 + (mg)^2} = \sqrt{2} mg$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$N^2 + m^2g^2 = 2m^2g^2$,જે આપે છે $N^2 = m^2g^2$,તેથી $N = mg$.
$A$ પર કેન્દ્રગામી બળનું સમીકરણ $N = \frac{mv_A^2}{R}$ છે,તેથી $mg = \frac{mv_A^2}{R}$,જે સૂચવે છે કે $v_A^2 = Rg$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતના બિંદુ $P$ ($H$ ઊંચાઈ) પરની કુલ ઉર્જા એ બિંદુ $A$ ($R$ ઊંચાઈ) પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$mgH = \frac{1}{2}mv_A^2 + mgR$.
$v_A^2 = Rg$ મૂકતા:
$mgH = \frac{1}{2}m(Rg) + mgR = \frac{3}{2}mgR$.
તેથી,$H = \frac{3}{2}R$.

(B) વર્ટિકલ સર્ક્યુલર પાથના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુ પર,મુસાફર પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (નીચેની તરફ) અને લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ (નીચેની તરફ) છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી ચોખ્ખું કેન્દ્રગામી બળ આ બળોના સરવાળા દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$N + mg = \frac{mv^2}{R}$
મુસાફર નીચે ન પડે તે માટે,લઘુત્તમ શરત એ છે કે ટોચના બિંદુ પર લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ શૂન્ય થઈ જાય.
$N = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$mg = \frac{mv^2}{R}$
$v^2 = gR$
$v = \sqrt{gR}$
અહીં $g = 10 \ m \ s^{-2}$ અને $R = 10 \ m$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{10 \times 10} = \sqrt{100} = 10 \ m \ s^{-1}$.
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપ $10 \ m \ s^{-1}$ છે.

(C) ઢળતી સપાટીના તળિયે (બિંદુ $P$ પર), દડાની સ્થિતિઊર્જા ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2} m v^2 = m g h$
$\Rightarrow v = \sqrt{2 g h} \quad \dots (i)$
શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિ પૂર્ણ કરવા માટે, તળિયે દડાનો વેગ ઓછામાં ઓછો $\sqrt{5 g R}$ હોવો જોઈએ.
$\Rightarrow v \geq \sqrt{5 g R}$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sqrt{2 g h} \geq \sqrt{5 g R}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$2 g h \geq 5 g R$
$h \geq \frac{5}{2} R$
અહીં $R = 20 \,cm$ આપેલ છે, તેથી ન્યૂનતમ ઊંચાઈ $h_{\min}$:
$h_{\min} = \frac{5}{2} \times 20 \,cm = 50 \,cm$

(D) જ્યારે કોઈ કણ શિરોલંબ વર્તુળમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે સર્વોચ્ચ બિંદુએ જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{\min} = \sqrt{gR}$
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે લઘુત્તમ ઝડપ એ ત્રિજ્યાના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે:
$v_{\min} \propto \sqrt{R}$
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે અને પ્રારંભિક લઘુત્તમ ઝડપ $(v_{\min})_1 = v$ છે.
ધારો કે નવી ત્રિજ્યા $R_2 = 2R$ છે અને નવી લઘુત્તમ ઝડપ $(v_{\min})_2$ છે.
સમપ્રમાણતાના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(v_{\min})_1}{(v_{\min})_2} = \sqrt{\frac{R_1}{R_2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v}{(v_{\min})_2} = \sqrt{\frac{R}{2R}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
નવી લઘુત્તમ ઝડપ માટે ઉકેલતા:
$(v_{\min})_2 = \sqrt{2}v$

(B) આપેલ છે: સખત તારની લંબાઈ $l = 1 \,m$, દડાનું દળ $m = 500 \,g = 0.5 \,kg$, સૌથી નીચલા બિંદુએ પ્રારંભિક વેગ $u = 6 \,m/s$. ધારો કે જ્યારે તાર ઉપરની શિરોલંબ દિશા સાથે $\theta = 60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે ત્યારે દડાનો વેગ $v$ છે.
સૌથી નીચલા બિંદુ (ધારો કે $P$) અને બિંદુ $C$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P$ આગળ કુલ ઉર્જા = $C$ આગળ કુલ ઉર્જા
$\frac{1}{2}mu^2 + 0 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$
જ્યાં $h$ એ સૌથી નીચલા બિંદુથી બિંદુ $C$ ની ઊંચાઈ છે. ભૂમિતિ પરથી, $h = l + l \cos 60^{\circ} = l(1 + \cos 60^{\circ}) = 1(1 + 0.5) = 1.5 \,m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times (6)^2 = \frac{1}{2}v^2 + g \times 1.5$
$18 = \frac{1}{2}v^2 + 10 \times 1.5$
$18 = \frac{1}{2}v^2 + 15$
$\frac{1}{2}v^2 = 3 \implies v^2 = 6 \,m^2/s^2$.
પ્રવેગનો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક (કેન્દ્રગામી પ્રવેગ) $a_r = \frac{v^2}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a_r = \frac{6}{1} = 6 \,m/s^2$.

(C)
ડોલમાંથી પાણી બહાર ન ઢોળાય તે માટે, ડોલે શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિ પૂર્ણ કરવી આવશ્યક છે।
સૌથી ઉપરના બિંદુએ, જરૂરી લઘુત્તમ વેગ:
$v_{top} = \sqrt{gR}$
સૌથી નીચેના બિંદુ (bottom) અને સૌથી ઉપરના બિંદુ (top) વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} m v_{bottom}^2 = \frac{1}{2} m v_{top}^2 + mg(2R)$
$v_{bottom}^2 = v_{top}^2 + 4gR$
$v_{bottom}^2 = gR + 4gR = 5gR$
$v_{bottom} = \sqrt{5gR}$
અહીં $g = 10 \,m/s^2$ અને $R = 0.5 \,m$ આપેલ છે:
$v_{bottom} = \sqrt{5 \times 10 \times 0.5} = \sqrt{25} = 5 \,m/s$

(C) શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે,તળિયે લઘુત્તમ વેગ $v = \sqrt{5Rg}$ હોવો જોઈએ,જ્યાં $R$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
ઢળતી સપાટીની ટોચ અને તળિયા વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$P_1 + K_1 = P_2 + K_2$
$mgh + 0 = 0 + \frac{1}{2} m v^2$
$mgh = \frac{1}{2} m (\sqrt{5Rg})^2$
$mgh = \frac{1}{2} m (5Rg)$
$h = \frac{5R}{2}$
અહીં $R = 2 \ m$ આપેલ છે,તેથી:
$h = \frac{5 \times 2}{2} = 5 \ m$

(A) ગોળા માટે શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે,સૌથી નીચલા બિંદુએ લઘુત્તમ વેગ $v_0 = \sqrt{5gL}$ છે.
સૌથી નીચલા બિંદુ અને જ્યાં દોરી સમક્ષિતિજ છે (ઊંચાઈ $L$ પર) તે બિંદુ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgL$
$\frac{1}{2}m(5gL) = \frac{1}{2}mv^2 + mgL$
$\frac{5}{2}gL = \frac{1}{2}v^2 + gL \implies \frac{3}{2}gL = \frac{1}{2}v^2 \implies v^2 = 3gL$.
સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં,ગોળા પર લાગતા બળો:
$1$. કેન્દ્રગામી બળ (સમક્ષિતિજ): $F_x = \frac{mv^2}{L} = \frac{m(3gL)}{L} = 3mg$.
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (શિરોલંબ): $F_y = mg$.
પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(3mg)^2 + (mg)^2} = \sqrt{9m^2g^2 + m^2g^2} = \sqrt{10}mg$.

(B) ધારો કે સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ વેગ $v$ છે. સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ કણ પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$ (નીચેની તરફ),સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ $F_e = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q^2}{R^2}$ (ઉપરની તરફ) અને તણાવ $T$ (નીચેની તરફ) છે.
આપેલ છે કે $Mg = \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$,તેથી કેન્દ્ર તરફનું પરિણામી બળ $F_{net} = Mg - F_e + T = \frac{M v^2}{R}$ થાય.
સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ $T = 0$ હોવાથી,$Mg - \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 R^2} = \frac{M v^2}{R}$.
$Mg = \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$ હોવાથી,$0 = \frac{M v^2}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $v = 0$.
હવે,સૌથી નીચલા બિંદુ (વેગ $v_0$) અને સૌથી ઉચ્ચ બિંદુ (વેગ $v = 0$) વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
સૌથી નીચલા બિંદુએ કુલ ઉર્જા = સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ કુલ ઉર્જા.
$\frac{1}{2} M v_0^2 + U_{lowest} = \frac{1}{2} M v^2 + U_{highest}$.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ગુરુત્વાકર્ષણ અને સ્થિત-વિદ્યુત બંને ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે.
$U_{grav} = Mgh$,$U_{elec} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q^2}{r}$.
ઉર્જામાં ફેરફાર: $\frac{1}{2} M v_0^2 = Mg(2R) + \Delta U_{elec}$.
કેન્દ્રથી અંતર $R$ અચળ હોવાથી,વર્તુળાકાર પથ દરમિયાન સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,$\frac{1}{2} M v_0^2 = Mg(2R)$.
$v_0^2 = 4gR$.
$v_0 = 2 \sqrt{gR}$.

(B) ધારો કે કણ બિંદુ $P$ પર છે જ્યાં દોરો સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે। શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થશે.
આ બિંદુએ, ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં લાગતા બળો તણાવ $T$ અને ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \cos 60^{\circ}$ છે.
ગતિનું સમીકરણ $T + mg \cos 60^{\circ} = \frac{mv^2}{r}$ છે.
આપેલ છે કે આ બિંદુએ તણાવ $T = 0$ છે, તેથી $mg \cos 60^{\circ} = \frac{mv^2}{r}$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી, આપણને $mg(\frac{1}{2}) = \frac{mv^2}{r}$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $v^2 = \frac{gr}{2}$ થાય છે.
હવે, નીચેના બિંદુ $A$ અને બિંદુ $P$ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા.
બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P$ ની ઊંચાઈ $h = r + r \sin 30^{\circ} = r + r(\frac{1}{2}) = \frac{3r}{2}$ છે.
ધારો કે બિંદુ $A$ પર વેગ $u$ છે. તો, $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}m(\frac{gr}{2}) + mg(\frac{3r}{2})$.
$u^2 = \frac{gr}{2} + 3gr = \frac{7gr}{2}$.
તેથી, નીચેના બિંદુ પર વેગ $u = \sqrt{\frac{7}{2}gr}$ થશે.

(B) ઉર્ધ્વ વર્તુળાકાર લૂપના સર્વોચ્ચ બિંદુએ,પદાર્થ પર લાગતા બળો લંબબળ $N$ (નીચેની તરફ) અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (નીચેની તરફ) છે.
આ બળો જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $N + mg = \frac{mv^2}{R}$.
આપેલ છે કે પદાર્થ સપાટી પર તેના વજન કરતાં ત્રણ ગણું બળ લગાડે છે,તેથી લંબબળ $N = 3mg$.
આ કિંમત કેન્દ્રગામી બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $3mg + mg = \frac{mv^2}{R} \Rightarrow 4mg = \frac{mv^2}{R} \Rightarrow v^2 = 4gR$.
હવે,આપણે $h$ ઊંચાઈએથી શરૂઆતના બિંદુ અને $2R$ ઊંચાઈએ લૂપના સર્વોચ્ચ બિંદુ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ.
શરૂઆતમાં કુલ ઉર્જા $mgh$ (સ્થિતિ ઉર્જા) છે.
સર્વોચ્ચ બિંદુએ કુલ ઉર્જા $mg(2R) + \frac{1}{2}mv^2$ (સ્થિતિ ઉર્જા + ગતિ ઉર્જા) છે.
ઉર્જાને સરખાવતા: $mgh = 2mgR + \frac{1}{2}m(4gR) = 2mgR + 2mgR = 4mgR$.
આમ,$h = 4R$.
તેને $h = \alpha R$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 4$ મળે છે.