Inelastic Collision Questions in Gujarati

(C) અથડામણ પહેલાં ગોળાનો વેગ $\vec{v}_1 = 3 \hat{i} + \hat{j}$ છે.
દીવાલ $\hat{j}$ અક્ષને સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે દીવાલ $x$-અક્ષને લંબ છે.
દીવાલને સમાંતર વેગનો ઘટક ($\hat{j}$ ઘટક) અથડામણ દરમિયાન બદલાતો નથી કારણ કે આઘાત માત્ર દીવાલને લંબ દિશામાં જ લાગે છે.
તેથી,$v_{y, \text{after}} = v_{y, \text{before}} = 1 \hat{j}$.
દીવાલને લંબ વેગનો ઘટક ($\hat{i}$ ઘટક) પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ મુજબ બદલાય છે.
લંબ દિશામાં અભિગમનો વેગ $u_x = 3$ છે.
લંબ દિશામાં અલગ થવાનો વેગ $v_x = -e \cdot u_x = -\frac{1}{3} \cdot 3 = -1$ છે.
તેથી,અથડામણ પછીનો વેગ સદિશ $\vec{v}_2 = -1 \hat{i} + 1 \hat{j} = -\hat{i} + \hat{j}$ થશે.

(B) $1$. અથડામણના સમયગાળા $\Delta t = t_2 - t_1$ દરમિયાન,ગોળી દ્વારા ગોળા પર અને ગોળા દ્વારા ગોળી પર લાગતું આઘાતી બળ એ તંત્ર (ગોળી + ગોળો) માટે આંતરિક બળ છે. બાહ્ય બળો (ગુરુત્વાકર્ષણ અને તણાવ) બિન-આઘાતી છે. તેથી,$\Delta t$ સમયગાળા દરમિયાન તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$2$. ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી કારણ કે અથડામણ અસ્થિતિસ્થાપક છે (ગોળી ગોળામાંથી પસાર થાય છે,જેના કારણે વિરૂપણ અને ઉષ્મા ઉત્પન્ન થાય છે).
$3$. અથડામણ દરમિયાન ઊર્જાના વ્યયને કારણે યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી. અથડામણ પછી ($t_2$ થી $t_3$ સુધી),જ્યારે ગોળો ઉપર તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે તેના માટે યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે,પરંતુ ગોળી સહિતના સમગ્ર તંત્ર માટે નહીં.
$4$. $t_2$ પછી માત્ર ગોળાનું વેગમાન સંરક્ષિત રહેતું નથી કારણ કે તેના પર ગુરુત્વાકર્ષણ અને તણાવ બળ લાગે છે.
$5$. આમ,સાચું વિધાન એ છે કે $\Delta t = t_2 - t_1$ સમયગાળા દરમિયાન ગોળા અને ગોળીનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.

(C) જ્યારે $m_1$ દળનો પદાર્થ $m_2$ દળના સ્થિર લક્ષ્ય સાથે અથડાય અને બંને કણો એકબીજા સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે ગતિ કરે,ત્યારે શરત $m_2 = m_1 \cdot e$ છે,જ્યાં $e$ એ રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક છે.
અપ્રત્યાસ્થ અથડામણ માટે,ગતિઊર્જાનો વ્યય થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $e < 1$.
$e < 1$ ને $m_2 = m_1 \cdot e$ માં મૂકતા,આપણને $m_2 < m_1$ મળે છે,એટલે કે $m_1 > m_2$.
અહીં લક્ષ્ય ન્યુક્લિયસ ${}^4He$ $(m_2 = 4 \text{ amu})$ હોવાથી,અજ્ઞાત ન્યુક્લિયસનું દળ $m_1 > 4 \text{ amu}$ હોવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,${}^{28}N$ અને ${}^{12}C$ બંને ${}^4He$ કરતા ભારે છે. સામાન્ય રીતે આવા ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રશ્નોમાં,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ લક્ષ્ય કરતા ભારે હોય છે,તેથી ${}^{12}C$ એક યોગ્ય વિકલ્પ છે.

(C) બંને દડા સમાન હોવાથી,ધારો કે તેમનું દળ $m$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
$x$-દિશામાં પ્રારંભિક વેગમાન: $P_{ix} = m(v_{Px}) + m(v_{Qx}) = m(6) + m(-5) = m \ kg \ m/s$.
$y$-દિશામાં પ્રારંભિક વેગમાન: $P_{iy} = m(v_{Py}) + m(v_{Qy}) = m(0) + m(2) = 2m \ kg \ m/s$.
અથડામણ પછી,દડો $P$ સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી $v'_{Px} = 0$ અને $v'_{Py} = 0$.
ધારો કે અથડામણ પછી દડા $Q$ ના વેગના ઘટકો $v'_{Qx}$ અને $v'_{Qy}$ છે.
$x$-દિશામાં અંતિમ વેગમાન: $P_{fx} = m(0) + m(v'_{Qx}) = m(v'_{Qx})$.
$y$-દિશામાં અંતિમ વેગમાન: $P_{fy} = m(0) + m(v'_{Qy}) = m(v'_{Qy})$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા:
$m(v'_{Qx}) = m \implies v'_{Qx} = 1 \ m/s$.
$m(v'_{Qy}) = 2m \implies v'_{Qy} = 2 \ m/s$.
તેથી,અથડામણ પછી દડા $Q$ ના વેગના ઘટકો $v_x = 1 \ m/s$ અને $v_y = 2 \ m/s$ છે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h = 1\,m = 100\,cm$ છે અને પ્રથમ અથડામણ પછીની ઊંચાઈ $h_1 = 25\,cm$ છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થને $h$ ઊંચાઈ પરથી પાડવામાં આવે,ત્યારે જમીન સાથે અથડાતા પહેલા તેનો વેગ $u = \sqrt{2gh}$ હોય છે.
અથડામણ પછી,જો પદાર્થ $h_1$ ઊંચાઈ સુધી ઉછળે,તો અથડામણ પછી તરત જ તેનો વેગ $v = \sqrt{2gh_1}$ હોય છે.
પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક $e$ એ અલગ થવાના વેગ અને નજીક આવવાના વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$e = \frac{v}{u} = \frac{\sqrt{2gh_1}}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{h_1}{h}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$e = \sqrt{\frac{25\,cm}{100\,cm}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

(A) કણ $h$ ઊંચાઈ પરથી પડે છે. પ્રથમ અથડામણ પછી,તે $h_1 = e^2 h$ ઊંચાઈ સુધી ઉછળે છે.
બીજી અથડામણ પછી,તે $h_2 = e^2 h_1 = e^4 h$ ઊંચાઈ સુધી ઉછળે છે,અને આ રીતે આગળ વધે છે.
કાપેલું કુલ અંતર $S$ એ પ્રારંભિક પતન અને ત્યારબાદના તમામ ઉપર અને નીચેના માર્ગોનો સરવાળો છે:
$S = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + \dots$
$S = h + 2(e^2 h) + 2(e^4 h) + 2(e^6 h) + \dots$
$S = h + 2e^2 h (1 + e^2 + e^4 + \dots)$
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = e^2$ છે. તેનો સરવાળો $\frac{1}{1 - e^2}$ થાય છે.
$S = h + 2e^2 h \left( \frac{1}{1 - e^2} \right)$
$S = h \left( 1 + \frac{2e^2}{1 - e^2} \right) = h \left( \frac{1 - e^2 + 2e^2}{1 - e^2} \right)$
$S = h \left( \frac{1 + e^2}{1 - e^2} \right)$

(D) અથડામણ બંને દડાઓના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર થાય છે. વેગ સદિશ $V$ અને અથડામણની રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.
અથડામણની રેખા પર વેગનો ઘટક $u = V \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}V}{2}$ છે.
ધારો કે અથડામણ પછી અથડામણની રેખા પર $2m$ દળના દડાનો વેગ $v_1$ અને $m$ દળના દડાનો વેગ $v_2$ છે.
અથડામણની રેખા પર રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m u = m v_2 + (2m) v_1$
$u = v_2 + 2v_1$ --- $(1)$
રેસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંકનું સૂત્ર $(e = 1/2)$ લાગુ પાડતા:
$e = \frac{v_1 - v_2}{u}$
$\frac{1}{2} = \frac{v_1 - v_2}{u}$
$u = 2v_1 - 2v_2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2u = 4v_1 - v_2 + v_2 = 4v_1$
$v_1 = \frac{u}{2} = \frac{\sqrt{3}V}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{3}V}{4}$.

(C) અથડામણ પહેલાં દડાનો વેગ $u = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h = 25 \ cm = 0.25 \ m$ છે.
$u = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.25} = \sqrt{4.9} \ m/s$.
અથડામણ પછી તરત જ દડાનો વેગ $v = \sqrt{2gh'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h' = 4 \ cm = 0.04 \ m$ છે.
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.04} = \sqrt{0.784} \ m/s$.
પુનઃસ્થાપન ગુણાંક $e$ એ દૂર જવાનો વેગ અને નજીક આવવાના વેગનો ગુણોત્તર છે: $e = \frac{v}{u}$.
$e = \sqrt{\frac{2gh'}{2gh}} = \sqrt{\frac{h'}{h}}$.
કિંમતો મૂકતા: $e = \sqrt{\frac{4 \ cm}{25 \ cm}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} = 0.4$.

(C) ધારો કે $m_b = 0.01\, kg$ એ ગોળીનું દળ છે,$v_i = 500\, m/s$ તેનો પ્રારંભિક વેગ છે,અને $v_f$ તેનો અંતિમ વેગ છે.
ધારો કે $M = 2\, kg$ એ બ્લોકનું દળ છે અને $V$ એ ગોળી બહાર નીકળ્યા પછી તરત જ બ્લોકનો વેગ છે.
બ્લોક માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બ્લોક દ્વારા મેળવેલ ગતિ ઉર્જા એ મેળવેલ સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે: $\frac{1}{2} M V^2 = Mgh$.
$V = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.1} = \sqrt{1.96} = 1.4\, m/s$.
હવે,આડી દિશામાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$m_b v_i = m_b v_f + M V$.
$0.01 \times 500 = 0.01 \times v_f + 2 \times 1.4$.
$5 = 0.01 v_f + 2.8$.
$0.01 v_f = 5 - 2.8 = 2.2$.
$v_f = \frac{2.2}{0.01} = 220\, m/s$.

(D) દરેક અથડામણ દરમિયાન વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ જમીન પર આપવામાં આવેલો આઘાત (impulse) છે.
પ્રથમ અથડામણ માટે, દડો $p$ (નીચેની તરફ) વેગમાન સાથે આવે છે અને $ep$ (ઉપરની તરફ) વેગમાન સાથે ઉછળે છે. વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p_1 = p - (-ep) = p(1+e)$ છે.
બીજી અથડામણ માટે, દડો $ep$ (નીચેની તરફ) વેગમાન સાથે આવે છે અને $e^2p$ (ઉપરની તરફ) વેગમાન સાથે ઉછળે છે. વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p_2 = ep - (-e^2p) = ep(1+e)$ છે.
ત્રીજી અથડામણ માટે, ફેરફાર $\Delta p_3 = e^2p(1+e)$ છે, અને આ રીતે આગળ વધે છે.
જમીન પર આપવામાં આવેલું કુલ વેગમાન આ તમામ આઘાતોનો સરવાળો છે:
$\Delta p_{total} = p(1+e) + ep(1+e) + e^2p(1+e) + \dots$
$\Delta p_{total} = p(1+e) [1 + e + e^2 + \dots]$
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{1}{1-e}$ નો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $|e| < 1$):
$\Delta p_{total} = p(1+e) \cdot \frac{1}{1-e} = p(\frac{1+e}{1-e})$.

(B) ધારો કે અથડામણ પહેલાં કણનો વેગ $u$ છે અને અથડામણ પછી $v$ છે.
જમીનને સમાંતર વેગનો ઘટક બદલાતો નથી કારણ કે સપાટીને સમાંતર કોઈ આઘાતી બળ લાગતું નથી:
$v \sin \alpha = u \sin \theta$ --- $(1)$
જમીનને લંબ વેગનો ઘટક પુનઃપ્રાપ્તિ ગુણાંક $e$ મુજબ બદલાય છે:
$v \cos \alpha = e u \cos \theta$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{v \sin \alpha}{v \cos \alpha} = \frac{u \sin \theta}{e u \cos \theta}$
$\tan \alpha = \frac{\tan \theta}{e}$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\tan \theta}{\tan \alpha} = e$

(A) ધારો કે બંને દડાનું દળ $m$ છે. ધારો કે દડા $P$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_1$ છે અને દડા $Q$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0$ છે. અથડામણ પછી,તેમના વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m u_1 + 0 = m v_1 + m v_2 \implies u_1 = v_1 + v_2$.
રિસ્ટિટ્યુશન ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા મુજબ: $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} \implies e u_1 = v_2 - v_1$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(1+e) u_1 = 2 v_2 \implies v_2 = \frac{1+e}{2} u_1$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(1-e) u_1 = 2 v_1 \implies v_1 = \frac{1-e}{2} u_1$.
આપેલ છે કે $v_2 = 2 v_1$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1+e}{2} u_1 = 2 \left( \frac{1-e}{2} \right) u_1$.
$1 + e = 2(1 - e) \implies 1 + e = 2 - 2e$.
$3e = 1 \implies e = 1/3$.

(D) ધારો કે $u = 6\, m/s$ એ શરૂઆતનો નીચેની તરફનો વેગ છે અને $H = 3.2\, m$ એ ઊંચાઈ છે.
સૌ પ્રથમ,$v^2 = u^2 + 2gH$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જમીન સાથે અથડાતા પહેલા દડાનો વેગ $v$ શોધો:
$v^2 = 6^2 + 2 \times 10 \times 3.2 = 36 + 64 = 100$
$v = 10\, m/s$.
ધારો કે $v'$ એ અથડામણ પછી તરત જ દડાનો વેગ છે. દડો ફરીથી તે જ ઊંચાઈ $H$ સુધી પહોંચતો હોવાથી,તે ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી વેગ $v' = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \times 10 \times 3.2} = \sqrt{64} = 8\, m/s$ થશે.
પુનઃપ્રાપ્તિ ગુણાંક $e$ એ અથડામણ પછીના વેગ અને અથડામણ પહેલાના વેગનો ગુણોત્તર છે:
$e = \frac{v'}{v} = \frac{8}{10} = 0.8$.

(B) જ્યારે દડો સપાટી સાથે અથડાય છે,ત્યારે સપાટીને સમાંતર વેગનો ઘટક બદલાતો નથી (ઘર્ષણ નથી તેમ ધારતા),જ્યારે સપાટીને લંબ ઘટક પુનઃપ્રાપ્તિના ગુણાંક $e$ મુજબ બદલાય છે.
$1$. વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે:
$v' \sin \theta = v \sin 45^{\circ}$ --- $(1)$
$2$. અથડામણ પછી વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v'_{y} = e v_{y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v' \cos \theta = e (v \cos 45^{\circ})$ --- $(2)$
$3$. સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{v' \sin \theta}{v' \cos \theta} = \frac{v \sin 45^{\circ}}{e v \cos 45^{\circ}}$
$\tan \theta = \frac{\tan 45^{\circ}}{e}$
$4$. આપેલ છે કે $e = 1/\sqrt{3}$ અને $\tan 45^{\circ} = 1$:
$\tan \theta = \frac{1}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
$5$. તેથી,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$.

(A) જ્યારે પદાર્થ જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $50\%$ થઈ જાય છે. ધારો કે અથડામણ પહેલાંનો વેગ $v$ છે અને અથડામણ પછીનો વેગ $v'$ છે.
$\frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{50}{100} \times \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v' = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
પ્રત્યાવસ્થાન ગુણાંક $e$ ને $e = \frac{v'}{v} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$h$ ઊંચાઈએથી નીચે પાડવામાં આવેલા પદાર્થ દ્વારા અનેક ઉછાળા દરમિયાન કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $H$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$H = h + 2h(e^2) + 2h(e^4) + 2h(e^6) + \dots$
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે: $H = h + 2h \left( \frac{e^2}{1 - e^2} \right) = h \left( \frac{1 - e^2 + 2e^2}{1 - e^2} \right) = h \left( \frac{1 + e^2}{1 - e^2} \right)$.
$e^2 = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$H = h \left( \frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} \right) = h \left( \frac{3/2}{1/2} \right) = 3h$.

(B) ગતિની મૂળ દિશામાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પ્રારંભિક વેગમાન = અંતિમ વેગમાન
$m(2v) + (2m)(v) = m(0) + m(v') \cos(45^o) + m(v') \cos(45^o)$
$2mv + 2mv = 0 + 2mv' \cos(45^o)$
$4mv = 2mv' (1 / \sqrt{2})$
$4v = v' \sqrt{2}$
$v' = 4v / \sqrt{2} = 2\sqrt{2}v$
તેથી,ગતિ કરતા દરેક કણની ઝડપ $2\sqrt{2}v$ છે.

(D) અથડામણ પહેલાં દડાની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2$ છે.
અથડામણ પછી,દડાનો વેગ $v_f = e v_i$ થાય છે,જ્યાં $e$ એ પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક છે.
અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} m (e v_i)^2 = e^2 K_i$ છે.
ગતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = K_i - e^2 K_i = K_i(1 - e^2)$ છે.
ઉર્જામાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો $\frac{\Delta K}{K_i} \times 100\% = (1 - e^2) \times 100\%$ છે.
અહીં $e = 0.5$ આપેલ છે,તેથી પ્રતિશત ઘટાડો $(1 - (0.5)^2) \times 100\% = (1 - 0.25) \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$ થાય.

(C) ધારો કે પ્રથમ અથડામણ પહેલાં દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u = \sqrt{2gh}$ છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,દડાનો વેગ $v_1 = eu = e\sqrt{2gh}$ થાય છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી પ્રાપ્ત થતી ઊંચાઈ $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{e^2(2gh)}{2g} = e^2h$ છે.
બીજી અથડામણ પછી,દડાનો વેગ $v_2 = ev_1 = e(e\sqrt{2gh}) = e^2\sqrt{2gh}$ થાય છે.
બીજી અથડામણ પછી પ્રાપ્ત થતી ઊંચાઈ $h_2 = \frac{v_2^2}{2g} = \frac{(e^2\sqrt{2gh})^2}{2g} = \frac{e^4(2gh)}{2g} = e^4h$ છે.

(B) દડાને પ્રથમ વખત સપાટી સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 4.9}{9.8}} = \sqrt{1} = 1 \, s$ છે.
પ્રથમ અથડામણ પહેલાં દડાનો વેગ $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 4.9} = 9.8 \, m/s$ છે.
પ્રથમ ઉછાળા પછી દડાનો વેગ $v' = e \times v = \frac{3}{4} \times 9.8 = 7.35 \, m/s$ થાય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા અને સપાટી પર પાછા આવવા માટે લાગતો સમય (બીજા ઉછાળા માટેનો ઉડ્ડયન સમય) $t_2 = \frac{2v'}{g} = \frac{2 \times 7.35}{9.8} = 1.5 \, s$ છે.
આમ,દડો પ્રથમ અથડામણના $1.5 \, s$ પછી બીજી વાર સપાટી સાથે અથડાશે.

(C) ધારો કે દરેક દડાનું દળ $m$ છે. પ્રથમ દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 6\, m/s$ છે અને બીજા દડાનો વેગ $u_2 = 0$ છે.
ધારો કે અથડામણ પછી દરેક દડાની અંતિમ ઝડપ $v$ છે.
ગતિની મૂળ દિશા ($X$-અક્ષ) પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m u_1 + m u_2 = m v \cos 30^{\circ} + m v \cos 30^{\circ}$
$m(6) + m(0) = 2 m v \cos 30^{\circ}$
$6 = 2 v \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$
$6 = v \sqrt{3}$
$v = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\, m/s$.

(D) કોઈપણ અથડામણ (સ્થિતિસ્થાપક કે અસ્થિતિસ્થાપક) માં,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય ત્યાં સુધી તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી,પરંતુ રેખીય વેગમાન હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે.

(A-D) ધારો કે અથડામણ પછી બે દડાઓના વેગ $v_{1}$ અને $v_{2}$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$2mv_0 = mv_1 + mv_2$
$\therefore 2v_0 = v_1 + v_2$
પુનઃપ્રાપ્તિ ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા મુજબ:
$e = \frac{v_2 - v_1}{2v_0 - 0} \Rightarrow v_2 - v_1 = 2v_0e$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(v_1 + v_2) + (v_2 - v_1) = 2v_0 + 2v_0e$
$2v_2 = 2v_0(1 + e) \Rightarrow v_2 = v_0(1 + e)$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(v_1 + v_2) - (v_2 - v_1) = 2v_0 - 2v_0e$
$2v_1 = 2v_0(1 - e) \Rightarrow v_1 = v_0(1 - e)$
કારણ કે $0 < e < 1$,તેથી $v_1$ અને $v_2$ બંને ધન છે,જેનો અર્થ છે કે બંને દડા આગળની દિશામાં ગતિ કરે છે.
$(b)$ સામાન્ય અથડામણ માટે,રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\vec{p} = \vec{p_1} + \vec{p_2}$
અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે ગતિઊર્જાનો વ્યય થાય છે,તેથી:
$\frac{p^2}{2m} > \frac{p_1^2}{2m} + \frac{p_2^2}{2m} \Rightarrow p^2 > p_1^2 + p_2^2$
$\vec{p}, \vec{p_1},$ અને $\vec{p_2}$ દ્વારા રચાયેલા સદિશ ત્રિકોણ માટે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$p^2 = p_1^2 + p_2^2 - 2p_1p_2 \cos(180^o - \theta) = p_1^2 + p_2^2 + 2p_1p_2 \cos \theta$
કારણ કે $p^2 > p_1^2 + p_2^2$,તેથી $2p_1p_2 \cos \theta > 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta > 0$.
તેથી,$\theta < 90^o$ થાય છે.

(N/A) આકૃતિ ધ્યાનમાં લો જેમાં ગોળા $B$ ને $\theta$ ખૂણે સ્થાનાંતરિત કરીને મુક્ત કરવામાં આવે છે.
$t=0$ સમયે,ધારો કે ગોળો $B$ જમણી બાજુ $\theta=10^{\circ}$ સ્થાનાંતરિત છે. તેને સ્થિતિ ઊર્જા $E_{1}=E$ આપવામાં આવી છે. $A$ ની ઊર્જા $E_{2}=0$ છે.
જ્યારે $B$ ને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે $t=T/4$ સમયે $A$ ને અથડાય છે. સમાન દળ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તેઓ વેગની આપ-લે કરે છે. આમ,$B$ સ્થિર થાય છે અને $A$ ને $B$ નો વેગ મળે છે. તેથી,$E_{1}=0$ અને $E_{2}=E$.
$t=2T/4$ સમયે,$B$ તેની જમણી અંતિમ સ્થિતિએ પહોંચે છે જ્યારે $A$ ની ગતિ ઊર્જા $PE=E_{2}=E$ માં રૂપાંતરિત થાય છે. $B$ ની ઊર્જા $E_{1}=0$ છે.
$t=3T/4$ સમયે,$A$ તેની મધ્યમાન સ્થિતિએ પહોંચે છે,જ્યારે તેની $PE$ નું $KE=E_{2}=E$ માં રૂપાંતર થાય છે. તે $B$ સાથે સ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાય છે અને તેની સંપૂર્ણ ઊર્જા $B$ ને સ્થાનાંતરિત કરે છે. આમ,$E_{2}=0$ અને $E_{1}=E$. આ સમગ્ર પ્રક્રિયાનું પુનરાવર્તન થાય છે.
$(b)$ $B$ અને $A$ ની ઊર્જાના મૂલ્યો નીચેના કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે:

સમય $(t)$	$B$ ની ઊર્જા $(E_{1})$	$A$ ની ઊર્જા $(E_{2})$
$0$	$E$	$0$
$T/4$	$0$	$E$
$2T/4$	$0$	$E$
$3T/4$	$E$	$0$
$4T/4$	$E$	$0$
$5T/4$	$0$	$E$
$6T/4$	$0$	$E$
$7T/4$	$E$	$0$
$8T/4$	$E$	$0$

(B) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન અને અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન સમાન રહેવું જોઈએ.
અથડામણ પહેલાં,તંત્રનું વેગમાન $p_i = mv$ છે.
અથડામણ પછી,કણ સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી તેનું વેગમાન $0$ છે. ધારો કે સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $V_{cm}$ છે. સળિયાનું વેગમાન $MV_{cm}$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ: $mv = 0 + MV_{cm}$.
તેથી,સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $V_{cm} = mv/M$ થશે.

(D) પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h = 5\, m$ છે. દરેક ઉછાળા પછી દડો તેની અગાઉની ઊંચાઈના $\frac{81}{100}$ ભાગ સુધી ઉપર જાય છે. તેથી,$e^2 = \frac{81}{100}$,જેનો અર્થ છે કે રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 0.9$ છે.
કુલ અંતર $S = h + 2(fh) + 2(f^2h) + \dots = h \left( \frac{1+f}{1-f} \right)$.
$h = 5$ અને $f = 0.81$ મૂકતા: $S = 5 \left( \frac{1.81}{0.19} \right) \approx 47.63\, m$.
કુલ સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \left( \frac{1+e}{1-e} \right)$.
$h = 5, g = 10, e = 0.9$ મૂકતા: $t = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} \left( \frac{1+0.9}{1-0.9} \right) = 19\, s$.
સરેરાશ ઝડપ $v_{av} = \frac{S}{t} = \frac{47.63}{19} \approx 2.5\, m/s$.

(D) ધારો કે દરેક દડાનું દળ $m$ છે. દડા $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 9\, m/s$ છે અને દડા $B$ નો વેગ $u_2 = 0$ છે.
અથડામણ પછી,ધારો કે દડા $A$ અને $B$ ના વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે,જે બંને મૂળ દિશા સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે છે.
$y$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ (ગતિની પ્રારંભિક દિશાને લંબ):
$\sum P_{iy} = \sum P_{fy}$
$0 = m v_1 \sin 30^{\circ} - m v_2 \sin 30^{\circ}$
દળ સમાન હોવાથી અને $\sin 30^{\circ} \neq 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$v_1 \sin 30^{\circ} = v_2 \sin 30^{\circ}$
$v_1 = v_2$
તેથી,વેગનો ગુણોત્તર $v_1 : v_2$ એ $1 : 1$ છે.
આમ,$x = 1$.

(B) આ અથડામણમાં,ઇલેક્ટ્રોન તેની ગતિઊર્જાનો અમુક ભાગ અણુને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાંથી ઉત્તેજિત મેટાસ્ટેબલ અવસ્થામાં લઈ જવા માટે આપે છે.
જેহেতু કેટલીક ગતિઊર્જા અણુની આંતરિક સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,તેથી સિસ્ટમની કુલ ગતિઊર્જા ઘટે છે. તેથી,આ અથડામણ અસ્થિતિસ્થાપક (inelastic) છે,અને $K^{\prime} < K$ થાય છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અલગ કરેલી સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે,પછી ભલે અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોય કે અસ્થિતિસ્થાપક.
આમ,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $p$ એ કુલ અંતિમ વેગમાન $p^{\prime}$ જેટલું જ હોવું જોઈએ,એટલે કે $p = p^{\prime}$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $K^{\prime} < K$ અને $p = p^{\prime}$ મળે છે.

(B) સમાન દળ $m$ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની સીધી અથડામણ માટે,જ્યાં બીજો પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર છે $(u_2 = 0)$ અને પ્રથમ પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = v$ છે:
$1$. રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ: $mv + 0 = mv_1 + mv_2 \implies v = v_1 + v_2$.
$2$. રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંકની વ્યાખ્યા: $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{v_2 - v_1}{v - 0} \implies ev = v_2 - v_1$.
$3$. બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $v + ev = (v_1 + v_2) + (v_2 - v_1) = 2v_2 \implies v_2 = \frac{(1+e)v}{2}$.
$4$. સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $v - ev = (v_1 + v_2) - (v_2 - v_1) = 2v_1 \implies v_1 = \frac{(1-e)v}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આકૃતિ પરથી,દડો સપાટી સાથે લંબની સાપેક્ષે $30^{\circ}$ ના ખૂણે અથડાય છે અને તેટલા જ ખૂણે પાછો ફરે છે.
પ્રારંભિક વેગ સદિશ: $\vec{v}_i = (20 \sin 30^{\circ} \hat{i} - 20 \cos 30^{\circ} \hat{j}) \, m/s$
અંતિમ વેગ સદિશ: $\vec{v}_f = (-20 \sin 30^{\circ} \hat{i} - 20 \cos 30^{\circ} \hat{j}) \, m/s$
વેગમાં ફેરફાર: $\Delta \vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i$
$\Delta \vec{v} = (-20 \sin 30^{\circ} \hat{i} - 20 \cos 30^{\circ} \hat{j}) - (20 \sin 30^{\circ} \hat{i} - 20 \cos 30^{\circ} \hat{j})$
$\Delta \vec{v} = -40 \sin 30^{\circ} \hat{i}$
જો લંબને $x$-અક્ષ પર લેવામાં આવે,તો વેગમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $2v \cos 30^{\circ} = 2 \times 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \, m/s$ મળે છે.

(D) ધારો કે બંને દડાના દળ $m_1 = m_2 = m$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 6 \, m/s$ અને $u_2 = -6 \, m/s$ છે.
પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ છે,જ્યાં $v_1$ અને $v_2$ એ અંતિમ વેગ છે.
સમાન દળ અને સામસામેની અથડામણ માટે,અંતિમ વેગનું સૂત્ર $v_1 = \frac{(m_1 - em_2)u_1 + m_2(1+e)u_2}{m_1 + m_2}$ અને $v_2 = \frac{(m_2 - em_1)u_2 + m_1(1+e)u_1}{m_1 + m_2}$ છે.
$m_1 = m_2 = m$,$u_1 = 6$,અને $u_2 = -6$ મૂકતા:
$v_1 = \frac{(m - em)(6) + m(1+e)(-6)}{2m} = -6e$.
$v_2 = \frac{(m - em)(-6) + m(1+e)(6)}{2m} = 6e$.
અહીં $e = 1/3$ આપેલ છે,તેથી દરેક દડાની ઝડપ $|v| = 6 \times (1/3) = 2 \, m/s$ થશે.

(A) સપાટી લીસી અને સમક્ષિતિજ હોવાથી,અથડામણ દરમિયાન $x$-દિશામાં કોઈ આઘાતી બળ લાગતું નથી. તેથી,$x$-દિશામાં વેગનો ઘટક બદલાતો નથી.
$v_x = u_x = 2 \, m/s$
$y$-દિશામાં (સપાટીને લંબ),રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ એ અલગ થવાના વેગ અને નજીક આવવાના વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$e = \frac{v_y}{u_y}$
આપેલ છે કે $e = \frac{1}{2}$ અને $u_y = 4 \, m/s$,તેથી:
$v_y = e \times u_y = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \, m/s$
આમ,અથડામણ પછી તરત જ ઘટકો $v_x = 2 \, m/s$ અને $v_y = 2 \, m/s$ છે.

(C) $1$. ગોળીની પ્રારંભિક ગતિઊર્જાની ગણતરી: $KE_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 0.01 \,kg \times (20 \,m/s)^2 = 2 \,J$.
$2$. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને તંત્રનો અંતિમ વેગ શોધો: $m_b v_b = (m_b + m_i) v_f \Rightarrow 0.01 \times 20 = (0.01 + 0.99) v_f \Rightarrow v_f = 0.2 \,m/s$.
$3$. તંત્રની અંતિમ ગતિઊર્જા: $KE_f = \frac{1}{2} (m_b + m_i) v_f^2 = \frac{1}{2} \times 1 \,kg \times (0.2 \,m/s)^2 = 0.02 \,J$.
$4$. ગુમાવેલી ગતિઊર્જા: $\Delta KE = KE_i - KE_f = 2 - 0.02 = 1.98 \,J$.
$5$. બરફ ઓગાળવા માટે ઉપલબ્ધ ઉર્જા: $Q = 50\% \text{ of } \Delta KE = 0.5 \times 1.98 = 0.99 \,J \approx 1 \,J$.
$6$. ઓગળેલા બરફનું દળ: $m_{melt} = \frac{Q}{L} = \frac{1 \,J}{336 \,J/g} \approx 0.00297 \,g \approx 0.003 \,g$.

(C) જ્યારે કોઈ દડાને $h$ ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે અને તે $e$ પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક સાથે ભોંયતળિયા સાથે અથડાય,ત્યારે તે જે ઊંચાઈ $h^{\prime}$ સુધી ઉછળે છે તે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $h^{\prime} = e^2 h$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h = 20\,m$.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e = 0.5$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$h^{\prime} = (0.5)^2 \times 20\,m$.
$h^{\prime} = 0.25 \times 20\,m$.
$h^{\prime} = 5\,m$.
તેથી,દડો $5\,m$ ની ઊંચાઈ સુધી ઉછળશે.

(C) ધારો કે $V_1$ એ જમીન સાથે અથડાયા પહેલાનો વેગ છે અને $V_2$ એ જમીન સાથે અથડાયા પછીનો વેગ છે.
આપેલ છે કે વેગનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = 4$ છે,જેનો અર્થ છે કે $V_1 = 4V_2$.
જમીન સાથે અથડાયા પહેલાની ગતિ ઊર્જા $KE_{before} = \frac{1}{2}mV_1^2$ છે.
જમીન સાથે અથડાયા પછીની ગતિ ઊર્જા $KE_{after} = \frac{1}{2}mV_2^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{V_1}{4}\right)^2 = \frac{1}{2}mV_1^2 \times \frac{1}{16}$ છે.
ગતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta KE = KE_{before} - KE_{after} = \frac{1}{2}mV_1^2 \left(1 - \frac{1}{16}\right) = \frac{15}{32}mV_1^2$ છે.
ગતિ ઊર્જામાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો $\frac{\Delta KE}{KE_{before}} \times 100 = \left(1 - \frac{1}{16}\right) \times 100 = \frac{15}{16} \times 100 = \frac{1500}{16} = \frac{375}{4} \%$ છે.
આને $\frac{x}{4} \%$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 375$ મળે છે.

(C) બે સમાન દળ $m$ ધરાવતા દડાઓ વચ્ચેની સીધી અથડામણ માટે,જ્યાં એક દડો સ્થિર છે,ગતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta KE$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta KE = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} (1 - e^2) (u_1 - u_2)^2$
અહીં $m_1 = m_2 = m$,$u_1 = u$,અને $u_2 = 0$ હોવાથી:
$\Delta KE = \frac{1}{2} \frac{m^2}{2m} (1 - e^2) u^2 = \frac{1}{4} m u^2 (1 - e^2)$
આપેલ છે કે $\Delta KE = \frac{1}{4} KE_{initial} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} m u^2)$
તેથી,$\frac{1}{4} m u^2 (1 - e^2) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} m u^2)$
$(1 - e^2) = \frac{1}{2}$
$e^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(B) ધારો કે દરેક દડાનું દળ $m$ છે. પ્રથમ દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u = 9 \ m/s$ છે અને બીજો દડો સ્થિર છે $(u_2 = 0)$.
ગતિની પ્રારંભિક દિશામાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ $(COLM)$ મુજબ:
$m \times u = m \times v \cos 30^{\circ} + m \times v \cos 30^{\circ}$
$m \times 9 = 2 \times m \times v \times \cos 30^{\circ}$
$9 = 2 \times v \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$9 = v \sqrt{3}$
$v = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3 \sqrt{3} \ m/s$
આમ,અથડામણ પછી બંને દડાની ઝડપ $3 \sqrt{3} \ m/s$ હશે.

(C) સમાન દળ $m$ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની અથડામણમાં,જ્યાં એક પદાર્થ સ્થિર છે,ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta KE = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} (1 - e^2) (u_1 - u_2)^2$.
અહીં $m_1 = m_2 = m$,$u_1 = u$,અને $u_2 = 0$ લેતા,સૂત્ર આ મુજબ બને છે: $\Delta KE = \frac{1}{2} \frac{m^2}{2m} (1 - e^2) u^2 = \frac{1}{4} m (1 - e^2) u^2$.
આપણને આપેલ છે કે ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(KE_i = \frac{1}{2} m u^2)$ ના $1/4$ ભાગ જેટલો છે.
તેથી,$\frac{1}{4} m (1 - e^2) u^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} m u^2)$.
બંને બાજુ $\frac{1}{4} m u^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $1 - e^2 = \frac{1}{2}$.
તેથી,$e^2 = 1 - 1/2 = 1/2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$e = 1 / \sqrt{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે દરેક દડાનું દળ $m$ છે. ધારો કે પહેલા દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને બીજા દડાનો વેગ $0$ છે. અથડામણ પછીના વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,$v_2 = 2v_1$.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ $(COLM)$ મુજબ:
$m(u) + m(0) = m(v_1) + m(v_2)$
$u = v_1 + v_2$
કારણ કે $v_2 = 2v_1$,તેથી $u = v_1 + 2v_1 = 3v_1$,જેનો અર્થ છે કે $v_1 = \frac{u}{3}$ અને $v_2 = \frac{2u}{3}$.
પુનઃપ્રાપ્તિ ગુણાંક $e$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{2v_1 - v_1}{u - 0} = \frac{v_1}{u}$
કારણ કે $v_1 = \frac{u}{3}$,આપણને મળે છે:
$e = \frac{u/3}{u} = \frac{1}{3}$

(D) અથડામણ પહેલાં દડાનો વેગ $\vec{v}_{initial} = a \hat{i} - b \hat{j}$ છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,કોઈ ઘર્ષણ નથી,તેથી વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક બદલાતો નથી: $v_{x, final} = v_{x, initial} = a \hat{i}$.
અથડામણને કારણે વેગનો શિરોલંબ ઘટક બદલાય છે. પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,લંબ દિશામાં અલગ થવાનો વેગ એ લંબ દિશામાં નજીક આવવાના વેગ કરતાં $e$ ગણો હોય છે.
$v_{y, final} = e \times |v_{y, initial}| = e b$.
દડો ઉપરની તરફ ઉછળે છે,તેથી અંતિમ શિરોલંબ વેગ ધન $y$-દિશામાં છે: $\vec{v}_{y, final} = e b \hat{j}$.
તેથી,અથડામણ પછી તરત જ દડાનો વેગ $\vec{v}_{final} = a \hat{i} + e b \hat{j}$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ દડાનું દળ $m$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 4 \ m/s$ છે. બીજા દડાનું દળ $2m$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0 \ m/s$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$m(4) + 2m(0) = m v_1 + 2m v_2$
$4 = v_1 + 2v_2$ --- (સમીકરણ $1$)
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e = 0.2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
$0.2 = \frac{v_2 - v_1}{4 - 0}$
$v_2 - v_1 = 0.8$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(v_1 + 2v_2) + (v_2 - v_1) = 4 + 0.8$
$3v_2 = 4.8 \Rightarrow v_2 = 1.6 \ m/s$
$v_2$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મુકતા:
$1.6 - v_1 = 0.8 \Rightarrow v_1 = 0.8 \ m/s$
આમ,અથડામણ પછીના વેગ $0.8 \ m/s$ અને $1.6 \ m/s$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થનું દળ $m$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. બીજા પદાર્થનું દળ $M$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $0$ છે. અથડામણ પછી,પ્રથમ પદાર્થ સ્થિર થઈ જાય છે $(v_1 = 0)$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m u + M(0) = m(0) + M v_2$
$m u = M v_2$
$v_2 = \frac{m u}{M}$
અથડામણ ગુણાંક $e$ એ છૂટા પડવાના સાપેક્ષ વેગ અને નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગનો ગુણોત્તર છે:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{\frac{m u}{M} - 0}{u - 0} = \frac{m u / M}{u} = \frac{m}{M}$

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ $h_1$ ઊંચાઈ પરથી પડે છે,ત્યારે અથડામણ પહેલાં તેનો વેગ $v_b = \sqrt{2gh_1}$ હોય છે.
અથડામણ પછી,પદાર્થનો વેગ $v_f = e \cdot v_b$ થાય છે,જ્યાં $e$ એ પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક છે.
ત્યારબાદ પદાર્થ $h_2$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે,જ્યાં $v_f = \sqrt{2gh_2}$ થાય છે.
સમીકરણમાં $v_f$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\sqrt{2gh_2} = e \sqrt{2gh_1}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$2gh_2 = e^2 (2gh_1)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $h_2 = e^2 h_1$ થાય છે.
અહીં $e = 0.6$ અને $h_1 = 1 \ m$ આપેલ છે:
$h_2 = (0.6)^2 \times 1 \ m = 0.36 \ m$.

(C) ધારો કે બંને ગોળાઓનું દળ $m$ છે. પ્રથમ ગોળાનો પ્રારંભિક વેગ $v$ છે અને બીજા ગોળાનો $0$ છે. ધારો કે તેમના અંતિમ વેગ અનુક્રમે $V_1$ અને $V_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v + m(0) = m V_1 + m V_2$
$v = V_1 + V_2$ --- $(1)$
રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા મુજબ:
$e = \frac{V_2 - V_1}{u_1 - u_2}$
$e = \frac{V_2 - V_1}{v - 0}$
$e v = V_2 - V_1$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$v + e v = (V_1 + V_2) + (V_2 - V_1)$
$v(1 + e) = 2 V_2$
$V_2 = \frac{v(e + 1)}{2}$
બીજા ગોળાના અંતિમ વેગ $(V_2)$ અને પ્રથમ ગોળાના પ્રારંભિક વેગ $(v)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{V_2}{v} = \frac{e + 1}{2}$

(D) ધારો કે $m$ દળના કણનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને અથડામણ પછી $M$ દળના કણનો વેગ $v_M$ છે। $m$ દળનો કણ અથડામણ પછી સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી તેનો અંતિમ વેગ $0$ છે।
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mu + M(0) = m(0) + Mv_M$
$mu = Mv_M$
$v_M = \frac{m}{M}u$
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ એ અથડામણ પછીના સાપેક્ષ વેગ અને અથડામણ પહેલાના સાપેક્ષ વેગનો ગુણોત્તર છે:
$e = \frac{v_M - 0}{u - 0} = \frac{v_M}{u}$
$v_M$ ની કિંમત મૂકતા:
$e = \frac{(m/M)u}{u} = \frac{m}{M}$

(B) આપેલ છે: પ્રથમ બ્લોકનું દળ $M_1 = m$,પ્રારંભિક વેગ $u_1 = v$,અંતિમ વેગ $v_1 = 0$.
બીજા બ્લોકનું દળ $M_2 = 4m$,પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0$,અંતિમ વેગ $v_2 = ?$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$M_1 u_1 + M_2 u_2 = M_1 v_1 + M_2 v_2$
$m(v) + 4m(0) = m(0) + 4m(v_2)$
$mv = 4mv_2$
$v_2 = \frac{v}{4}$
રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{\frac{v}{4} - 0}{v - 0} = \frac{v/4}{v} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(A) આપેલ છે: ઊંચાઈ $h = 20 \,m$, ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$, અને પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e = 0.4$.
સૌ પ્રથમ, ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરીને જમીન સાથે અથડાતા પહેલા દડાનો વેગ $v$ શોધીએ (જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે):
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \,m/s$.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ એ દૂર જવાનો વેગ (ઉછાળાનો વેગ $v'$) અને નજીક આવવાના વેગ (અથડામણનો વેગ $v$) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$e = \frac{v'}{v}$.
તેથી, ઉપરની તરફનો ઉછાળાનો વેગ $v'$ નીચે મુજબ મળે:
$v' = e \times v = 0.4 \times 20 = 8 \,m/s$.

(B) સૌ પ્રથમ, ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરીને જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાં દડાનો વેગ શોધો. દડો મુક્ત પતન કરે છે, તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
$v^2 = 0 + 2 \times 10 \times 20 = 400$
$v = \sqrt{400} = 20 \,ms^{-1}$.
રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ એ ઉછાળાના વેગ $(v')$ અને અથડામણના વેગ $(v)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: $e = \frac{v'}{v}$.
અહીં $e = 0.4$ આપેલ છે, તેથી પ્રથમ ઉછાળા પછીનો વેગ $v' = e \times v$ થશે.
$v' = 0.4 \times 20 = 8 \,ms^{-1}$.

(B) આપેલ છે: $m_1 = 1 \,kg$, $u_1 = 12 \,ms^{-1}$, $m_2 = 2 \,kg$, $u_2 = -24 \,ms^{-1}$ (ઋણ નિશાની વિરુદ્ધ દિશા સૂચવે છે).
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e = 2/3$.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંકનું સૂત્ર $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{v_2 - v_1}{12 - (-24)} = \frac{v_2 - v_1}{36}$.
તેથી, $v_2 - v_1 = 24$ ... $(i)$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
$(1)(12) + (2)(-24) = (1)v_1 + (2)v_2$.
$12 - 48 = v_1 + 2v_2 \Rightarrow v_1 + 2v_2 = -36$ ... (ii).
$(i)$ પરથી, $v_2 = v_1 + 24$. આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$v_1 + 2(v_1 + 24) = -36$.
$v_1 + 2v_1 + 48 = -36 \Rightarrow 3v_1 = -84 \Rightarrow v_1 = -28 \,ms^{-1}$.
તેથી $v_2 = -28 + 24 = -4 \,ms^{-1}$.
આમ, અથડામણ પછીના વેગ $-28 \,ms^{-1}$ અને $-4 \,ms^{-1}$ છે.

(C) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
જ્યારે દડો જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે દડા અને પૃથ્વી (જમીન) વચ્ચેની આંતરક્રિયામાં આંતરિક બળોનો સમાવેશ થાય છે. દડા અને પૃથ્વીના તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,ગતિ ઉર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી કારણ કે કેટલીક ઉર્જા ગરમી,અવાજ અથવા વિરૂપણ ઉર્જા તરીકે વ્યય પામે છે.
તેથી,દડાની યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી,અને અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન ઉર્જાના વ્યયને કારણે દડા અને પૃથ્વીની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા પણ સંરક્ષિત રહેતી નથી.