Inelastic Collision Questions in Gujarati

(A) કોઈપણ અથડામણમાં,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય,તો રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે.
આ સિદ્ધાંત સ્થિતિસ્થાપક અને અસ્થિતિસ્થાપક બંને પ્રકારની અથડામણો માટે લાગુ પડે છે.
જોકે,કુલ ગતિઊર્જા માત્ર સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણોમાં જ સંરક્ષિત રહે છે.
અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણોમાં,કેટલીક ગતિઊર્જા ઊર્જાના અન્ય સ્વરૂપોમાં (જેમ કે ઉષ્મા,ધ્વનિ અથવા વિરૂપણ ઊર્જા) રૂપાંતરિત થાય છે,તેથી તે સંરક્ષિત રહેતી નથી.
તેથી,કુલ રેખીય વેગમાન એ એવી રાશિ છે જે હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે.

(C) ધારો કે બંને પદાર્થોનું દળ $m$ છે. પ્રથમ પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = v$ અને બીજા પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = v/2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2$,જ્યાં $v_1$ અને $v_2$ એ અંતિમ વેગ છે.
$v + v/2 = v_1 + v_2 \implies v_1 + v_2 = 1.5v$ --- $(1)$
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ ને $e = (v_2 - v_1) / (u_1 - u_2)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $e = 0.5$,$u_1 = v$,અને $u_2 = v/2$,તેથી $0.5 = (v_2 - v_1) / (v - v/2)$.
$0.5 = (v_2 - v_1) / (0.5v) \implies v_2 - v_1 = 0.25v$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $2v_2 = 1.75v \implies v_2 = 0.875v = (7/8)v$.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $2v_1 = 1.25v \implies v_1 = 0.625v = (5/8)v$.
વેગનો ગુણોત્તર $v_1 : v_2 = (5/8)v : (7/8)v = 5:7$ થાય છે.

(A) ધારો કે પદાર્થ જે પ્રારંભિક ઊંચાઈએથી પડે છે તે $H_0$ છે.
જ્યારે પદાર્થ $H_0$ ઊંચાઈએથી પડે છે,ત્યારે પ્રથમ અથડામણ પહેલાં તેનો વેગ $v_0 = \sqrt{2gH_0}$ હોય છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,વેગ $v_1 = e v_0$ થાય છે અને પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $H_1 = e^2 H_0$ થાય છે.
બીજી અથડામણ પછી,વેગ $v_2 = e v_1 = e^2 v_0$ થાય છે અને પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $H_2 = e^4 H_0$ થાય છે.
અહીં $e = 0.8 = 4/5$ આપેલ છે.
બીજી અથડામણ પછીની ઊંચાઈ અને પ્રારંભિક ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $H_2 / H_0 = e^4$ છે.
$e^4 = (0.8)^4 = (4/5)^4 = 256 / 625$ ની ગણતરી કરતા.
આમ,ગુણોત્તર $256: 625$ છે.

(B) અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તંત્રની કુલ ગતિ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.
ગતિ ઊર્જાનો અમુક ભાગ અન્ય સ્વરૂપોમાં જેવી કે ઉષ્મા,ધ્વનિ અથવા વિરૂપણ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,અંતિમ ગતિ ઊર્જા $(K_f)$ હંમેશા પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $(K_i)$ કરતાં ઓછી હોય છે.
$K_f < K_i$ અથવા $K_i > K_f$.

(B) આપેલ છે: $m_1 = 2 \,kg$, $m_2 = 4 \,kg$, અથડામણ પહેલાં સાપેક્ષ વેગ $u_{rel} = u_1 - u_2 = 10 \,ms^{-1}$, અથડામણ પછી સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_2 - v_1 = 4 \,ms^{-1}$.
પ્રત્યાવસ્થાન ગુણાંક $e = \frac{v_{rel}}{u_{rel}} = \frac{4}{10} = 0.4$.
અથડામણ દરમિયાન ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) (u_{rel})^2 (1 - e^2)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{2 \times 4}{2 + 4} \right) (10)^2 (1 - (0.4)^2)$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{8}{6} \right) (100) (1 - 0.16)$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times 100 \times 0.84$.
$\Delta K = \frac{2}{3} \times 84 = 56 \,J$.

(D) ધારો કે $H_0 = 6.25 \ m$ એ પ્રારંભિક ઊંચાઈ છે અને $H_2 = 81 \ cm = 0.81 \ m$ એ બીજા ઉછાળા પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ છે.
સખત સપાટી પર ઉછળતા દડા માટે,$n$ ઉછાળા પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $H_n = H_0 \cdot e^{2n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક છે.
અહીં $n = 2$,$H_0 = 6.25 \ m$,અને $H_2 = 0.81 \ m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$0.81 = 6.25 \cdot e^{2 \times 2}$
$0.81 = 6.25 \cdot e^4$
$e^4 = \frac{0.81}{6.25} = \frac{81}{625}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$e^2 = \sqrt{\frac{81}{625}} = \frac{9}{25} = 0.36$
ફરીથી વર્ગમૂળ લેતા:
$e = \sqrt{0.36} = 0.6$
આમ,રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $0.6$ છે.

(C) જમીન સાથે અથડાતા પહેલા પદાર્થનો વેગ $v_0 = \sqrt{2gh_0}$ છે,જ્યાં $h_0 = 100 \ m$ છે.
અથડામણ પછી,ઉછળવાનો વેગ $v_1 = e v_0 = e \sqrt{2gh_0}$ થાય છે.
અથડામણ પછી પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{(e \sqrt{2gh_0})^2}{2g} = e^2 h_0$ છે.
આપેલ છે કે $h_1 = 36 \ m$ અને $h_0 = 100 \ m$,તેથી $36 = e^2(100)$.
$e^2 = \frac{36}{100} = 0.36$.
$e = \sqrt{0.36} = 0.6$.

(A) ધારો કે પ્રથમ દડાનું દળ $m_1 = m$ અને બીજા દડાનું દળ $m_2 = 2m$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 2 \,m/s$ અને $u_2 = 0 \,m/s$ છે.
પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક $e = 0.5$ છે.
અથડામણ પછી પ્રથમ દડાનો વેગ $v_1 = \frac{(m_1 - em_2)u_1 + (1 + e)m_2u_2}{m_1 + m_2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_1 = \frac{(m - 0.5 \times 2m)(2) + (1 + 0.5)(2m)(0)}{m + 2m} = \frac{(m - m)(2) + 0}{3m} = 0 \,m/s$.
અથડામણ પછી બીજા દડાનો વેગ $v_2 = \frac{(m_2 - em_1)u_2 + (1 + e)m_1u_1}{m_1 + m_2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_2 = \frac{(2m - 0.5 \times m)(0) + (1 + 0.5)(m)(2)}{m + 2m} = \frac{0 + (1.5)(2m)}{3m} = \frac{3m}{3m} = 1 \,m/s$.
આમ, અથડામણ પછી તેમના વેગ $0 \,m/s$ અને $1 \,m/s$ હશે.

(C) બોલનો પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \,m \,s^{-1}$ છે જે સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ વેગને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
સમક્ષિતિજ ઘટક, $v_{1x} = u \cos 30^{\circ} = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \,m \,s^{-1}$.
શિરોલંબ ઘટક, $v_{1y} = u \sin 30^{\circ} = 5 \times \frac{1}{2} = 2.5 \,m \,s^{-1}$.
જમીન સાથેની અથડામણ દરમિયાન, સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ આઘાત (impulse) ન હોવાથી વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક બદલાતો નથી.
$v_{2x} = v_{1x} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \,m \,s^{-1}$.
શિરોલંબ ઘટક રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંક $e = 0.2$ મુજબ બદલાય છે:
$v_{2y} = e \times v_{1y} = 0.2 \times 2.5 = 0.5 \,m \,s^{-1}$.
બોલની અંતિમ ઝડપ $v_f$ એ પરિણામી વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$v_f = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2} = \sqrt{\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (0.5)^2}$
$v_f = \sqrt{\frac{25 \times 3}{4} + 0.25} = \sqrt{\frac{75}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{76}{4}} = \sqrt{19} \,m \,s^{-1}$.

(D) ધારો કે $m_1 = 2 \ g$ અને $u_1 = 2 \ ms^{-1}$ એ પ્રથમ દડાનું દળ અને પ્રારંભિક વેગ છે.
ધારો કે $m_2 = 8 \ g$ અને $u_2 = 0 \ ms^{-1}$ એ બીજા દડાનું દળ અને પ્રારંભિક વેગ છે.
અથડામણ પછી,પ્રથમ દડો સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી $v_1 = 0 \ ms^{-1}$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
કિંમતો મૂકતા: $(2 \ g)(2 \ ms^{-1}) + (8 \ g)(0) = (2 \ g)(0) + (8 \ g)(v_2)$.
$4 = 8 v_2 \implies v_2 = 0.5 \ ms^{-1}$.
અથડામણ ગુણાંક $e$ ને $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $e = \frac{0.5 - 0}{2 - 0} = \frac{0.5}{2} = 0.25$.

(D) ધારો કે દરેક દડાનું દળ $m$ છે. દડા $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $v_A = 16 \,ms^{-1}$ અને દડા $B$ નો પ્રારંભિક વેગ $v_B = 0$ છે.
અથડામણ પછી,ધારો કે $A$ અને $B$ ના વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m v_A + 0 = m v_1 + m v_2 \implies v_1 + v_2 = 16$.
રિસ્ટિટ્યુશન ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા મુજબ: $e = \frac{v_2 - v_1}{v_A - 0} \implies v_2 - v_1 = 16e$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2v_2 = 16(1+e) \implies v_2 = 8(1+e)$.
દડા $B$ ને $h = 5 \,m$ ઊંચાઈ ધરાવતા ઢળતા સમતલની ટોચ સુધી પહોંચવા માટે,તળિયે તેની ગતિઊર્જા ટોચ પરની સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોવી જોઈએ: $\frac{1}{2} m v_2^2 = mgh$.
$v_2^2 = 2gh = 2 \times 10 \times 5 = 100 \implies v_2 = 10 \,ms^{-1}$.
$v_2$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $8(1+e) = 10 \implies 1+e = \frac{10}{8} = 1.25 \implies e = 0.25 = \frac{1}{4}$.

(C) અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં ગુમાવેલી ઉર્જાનું સૂત્ર: $\Delta KE = \frac{m_1 m_2}{2(m_1 + m_2)} (1 - e^2) (u_1 + u_2)^2$ છે.
આપેલ છે: $m_1 = 1 \ kg$,$m_2 = 0.5 \ kg$,$u_1 = 6 \ ms^{-1}$,$u_2 = 9 \ ms^{-1}$ (તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી સાપેક્ષ વેગ $u_1 + u_2$ થશે),અને $e = \frac{1}{3}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta KE = \frac{1 \times 0.5}{2(1 + 0.5)} \left(1 - (\frac{1}{3})^2\right) (6 + 9)^2$
$\Delta KE = \frac{0.5}{3} \times (1 - \frac{1}{9}) \times (15)^2$
$\Delta KE = \frac{1}{6} \times \frac{8}{9} \times 225$
$\Delta KE = \frac{8}{54} \times 225 = \frac{4}{27} \times 225 = 33.33 \ J$.

(B) ધારો કે બંને દડાનું દળ $m$ છે. પ્રારંભિક વેગ $u_P = v$ અને $u_Q = -10 \ ms^{-1}$ છે.
અથડામણ પછી,દડા $P$ નો અંતિમ વેગ $v_P = 0$ છે અને દડા $Q$ નો અંતિમ વેગ $v_Q$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m(v) + m(-10) = m(0) + m(v_Q)$
$v - 10 = v_Q$
હવે,રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંકના સૂત્ર $e = \frac{\text{અલગ થવાનો વેગ}}{\text{અભિગમનો વેગ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$e = \frac{v_Q - v_P}{u_P - u_Q}$
અહીં $e = 0.6$,$v_P = 0$,$u_P = v$,અને $u_Q = -10$ આપેલ છે:
$0.6 = \frac{v_Q - 0}{v - (-10)}$
$0.6 = \frac{v_Q}{v + 10}$
સમીકરણમાં $v_Q = v - 10$ મૂકતા:
$0.6 = \frac{v - 10}{v + 10}$
$0.6(v + 10) = v - 10$
$0.6v + 6 = v - 10$
$16 = 0.4v$
$v = \frac{16}{0.4} = 40 \ ms^{-1}$

(C) જ્યારે દડો $h$ ઊંચાઈ પરથી પડે છે,ત્યારે તે જમીન સાથે અથડાય છે અને $h_1 = h e^2$ ઊંચાઈ સુધી ઉછળે છે.
બીજી અથડામણ પછી,તે $h_2 = h_1 e^2 = h e^4$ ઊંચાઈ સુધી ઉછળે છે.
સામાન્ય રીતે,$n$-મી અથડામણ પછી પ્રાપ્ત થતી ઊંચાઈ $h_n = h e^{2n}$ છે.
દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $H$ એ પ્રારંભિક પતન અને દરેક ઉછાળા માટેના અનુગામી ઉપર અને નીચેના માર્ગોનો સરવાળો છે:
$H = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + \dots$
$H = h + 2(h e^2 + h e^4 + h e^6 + \dots)$
$H = h + 2h(e^2 + e^4 + e^6 + \dots)$
કૌંસમાં રહેલું પદ એ અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેનું પ્રથમ પદ $a = e^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = e^2$ છે. તેનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{e^2}{1-e^2}$ થાય છે.
$H = h + 2h \left( \frac{e^2}{1-e^2} \right)$
$H = h \left( 1 + \frac{2e^2}{1-e^2} \right)$
$H = h \left( \frac{1 - e^2 + 2e^2}{1 - e^2} \right)$
$H = h \left( \frac{1 + e^2}{1 - e^2} \right)$

(B) $1$. દડાને $h$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. પ્રથમ પતન દરમિયાન કાપેલું અંતર $h$ છે.
$2$. ભોંયતળિયા સાથેની પ્રથમ અથડામણ પછી,દડો $h_1 = e^2h$ ઊંચાઈ સુધી ઉછળે છે.
$3$. ત્યારબાદ દડો $h_1$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે અને પછી બીજા અથડામણ માટે પાછો નીચે આવે છે.
$4$. ઉછાળા દરમિયાન કાપેલું અંતર $h_1$ (ઉપરની તરફ) + $h_1$ (નીચેની તરફ) = $2h_1 = 2e^2h$ થાય છે.
$5$. બીજા અથડામણ પહેલાં દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર એ પ્રારંભિક પતન અને ઉછાળાના અંતરનો સરવાળો છે: $D = h + 2e^2h = h(1 + 2e^2)$.

(C) $10 \text{ m}$ ની ઊંચાઈ $H$ પર દડાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $E_i = mgH$ છે。
જ્યારે દડો જમીન સાથે અથડાય છે, ત્યારે આ ઉર્જા ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે。
અથડામણ પછી, $50\%$ ઉર્જા ગુમાવાય છે, તેથી બાકી રહેલી ઉર્જા $E_f = 0.5 \times E_i = 0.5 \times mgH$ છે。
દડો નવી ઊંચાઈ $h$ સુધી ઉપર જશે જ્યાં તેની સ્થિતિ ઉર્જા બાકી રહેલી ઉર્જા જેટલી હશે:
$mgh = 0.5 \times mgH$
$h = 0.5 \times H$
અહીં $H = 10 \text{ m}$ આપેલ છે, તેથી:
$h = 0.5 \times 10 \text{ m} = 5 \text{ m}$。
તેથી, દડા દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલી ઊંચાઈ $5 \text{ m}$ છે。

(A) ધારો કે દડાને $h$ ઊંચાઈએથી નીચે પાડવામાં આવે છે. પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = mgh$ છે.
અથડામણ પછી,દડો $h_f = \frac{3}{4}h$ જેટલી અંતિમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = mgh_f = mgh(\frac{3}{4}) = \frac{3}{4}mgh$ થાય.
ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = U_i - U_f = mgh - \frac{3}{4}mgh = \frac{1}{4}mgh$ છે.
ઊર્જામાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $\frac{\Delta U}{U_i} \times 100\%$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટકાવારી ઘટાડો $= \frac{\frac{1}{4}mgh}{mgh} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 25\%$.

(D) જ્યારે એક દડાને $H$ ઊંચાઈએથી છોડવામાં આવે અને પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ હોય,ત્યારે પ્રથમ ઉછાળા પછી પ્રાપ્ત થતી ઊંચાઈ $h_1 = e^2 H$,બીજા ઉછાળા પછી $h_2 = e^4 H$ વગેરે થાય છે.
દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $D$ એ પ્રારંભિક પતન અને અનંત ઉછાળાઓ (ઉપર અને નીચે) ના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$D = H + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + ...$
$D = H + 2(e^2 H + e^4 H + e^6 H + ...)$
$D = H + 2e^2 H (1 + e^2 + e^4 + ...)$
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1$ અને $r = e^2$:
$D = H + 2e^2 H \left( \frac{1}{1 - e^2} \right)$
$D = H \left( 1 + \frac{2e^2}{1 - e^2} \right) = H \left( \frac{1 - e^2 + 2e^2}{1 - e^2} \right) = H \left( \frac{1 + e^2}{1 - e^2} \right)$
અહીં $H = 42 \ m$ અને $e = 0.4$ આપેલ છે:
$e^2 = (0.4)^2 = 0.16$
$D = 42 \times \left( \frac{1 + 0.16}{1 - 0.16} \right) = 42 \times \left( \frac{1.16}{0.84} \right)$
$D = 42 \times \frac{116}{84} = 42 \times \frac{116}{2 \times 42} = \frac{116}{2} = 58 \ m$.

(A) આપેલ છે: $m_1 = 0.5 \ kg$,$u_1 = 10 \ ms^{-1}$,$m_2 = 1 \ kg$,$u_2 = 0$,$e = 0.4$.
એક-પરિમાણીય અથડામણ પછીના અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - e m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 = \left( \frac{0.5 - 0.4 \times 1}{0.5 + 1} \right) \times 10 = \left( \frac{0.1}{1.5} \right) \times 10 = \frac{1}{15} \times 10 = \frac{2}{3} \ ms^{-1}$.
$v_2 = \frac{(1 + e) m_1 u_1}{m_1 + m_2} = \frac{(1 + 0.4) \times 0.5 \times 10}{0.5 + 1} = \frac{1.4 \times 5}{1.5} = \frac{7}{1.5} = \frac{14}{3} \ ms^{-1}$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{2/3}{14/3} = \frac{2}{14} = 1:7$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: $m_1 = m_2 = m = 1.2 \ kg$,$u_1 = 12 \ ms^{-1}$,$u_2 = 0$,$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2$
$12 + 0 = v_1 + v_2 \Rightarrow v_1 + v_2 = 12$ ...$(i)$
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $(e)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{v_2 - v_1}{12}$
$v_2 - v_1 = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2v_2 = 12 + 6\sqrt{2} \Rightarrow v_2 = 6 + 3\sqrt{2} \ ms^{-1}$
સમીકરણ $(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા:
$2v_1 = 12 - 6\sqrt{2} \Rightarrow v_1 = 6 - 3\sqrt{2} \ ms^{-1}$
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(KE)_i = \frac{1}{2} m u_1^2 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (12)^2 = 0.6 \times 144 = 86.4 \ J$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $(KE)_f = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m (v_1^2 + v_2^2)$.
$v_1^2 + v_2^2 = (6 - 3\sqrt{2})^2 + (6 + 3\sqrt{2})^2 = (36 + 18 - 36\sqrt{2}) + (36 + 18 + 36\sqrt{2}) = 54 + 54 = 108$.
$(KE)_f = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 108 = 0.6 \times 108 = 64.8 \ J$.
ગુણોત્તર $\frac{(KE)_f}{(KE)_i} = \frac{64.8}{86.4} = \frac{648}{864} = \frac{3}{4} = 3:4$.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ $h$ ઊંચાઈ પરથી નીચે પડે છે,ત્યારે તે $v = \sqrt{2gh}$ વેગ સાથે જમીન સાથે અથડાય છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,તે $v_1 = ev = e\sqrt{2gh}$ વેગ સાથે પાછો ઉછળે છે.
પ્રથમ ઉછાળા પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2h$ છે.
બીજી અથડામણ પછી,તે $v_2 = ev_1 = e^2v$ વેગ સાથે પાછો ઉછળે છે,અને $h_2 = \frac{v_2^2}{2g} = e^4h$ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે.
કાપેલું કુલ અંતર $D$ એ શરૂઆતનું પતન અને ત્યારબાદના તમામ ઉછાળાની ઊંચાઈના બમણાનો સરવાળો છે:
$D = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + \dots$
$D = h + 2(e^2h + e^4h + e^6h + \dots)$
$D = h + 2e^2h(1 + e^2 + e^4 + \dots)$
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=1$ અને $r=e^2$:
$D = h + 2e^2h \left( \frac{1}{1-e^2} \right)$
$D = h \left[ 1 + \frac{2e^2}{1-e^2} \right] = h \left[ \frac{1-e^2+2e^2}{1-e^2} \right] = h \left[ \frac{1+e^2}{1-e^2} \right]$.

(B) જ્યારે દડાને $h$ ઊંચાઈથી નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે $v = \sqrt{2gh}$ વેગ સાથે સપાટી પર અથડાય છે.
અથડામણ પછી,દડો $u = ev = e\sqrt{2gh}$ વેગ સાથે પાછો ઉછળે છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી દડા દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_1 = \frac{u^2}{2g} = \frac{e^2(2gh)}{2g} = e^2h$ છે.
બીજી વાર સપાટી પર અથડાય તે પહેલાં દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર એ પ્રારંભિક નીચે તરફનું અંતર અને પ્રથમ ઉછાળા દરમિયાન કાપેલું અંતર (ઉપર અને નીચે) નો સરવાળો છે.
કુલ અંતર $= h + 2h_1 = h + 2(e^2h) = h(1 + 2e^2)$.

(A) ધારો કે બંને કણોનું દળ $m$ છે. ધારો કે અથડામણ પછી કણ $A$ અને $B$ ના વેગ અનુક્રમે $V_1$ અને $V_2$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m \times 10 + 0 = m V_1 + m V_2 \Rightarrow V_1 + V_2 = 10$ ... $(i)$
આપેલ છે કે તંત્રની ગતિઊર્જામાં $1 \% $ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 0.99 K_i$.
$\frac{1}{2} m V_1^2 + \frac{1}{2} m V_2^2 = 0.99 \times (\frac{1}{2} m \times 10^2)$
$V_1^2 + V_2^2 = 0.99 \times 100 = 99$ ... (ii)
આપણે જાણીએ છીએ કે $(V_1 + V_2)^2 = V_1^2 + V_2^2 + 2 V_1 V_2$.
કિંમતો મૂકતા: $10^2 = 99 + 2 V_1 V_2 \Rightarrow 100 = 99 + 2 V_1 V_2 \Rightarrow 2 V_1 V_2 = 1 \Rightarrow V_1 V_2 = 0.5$.
હવે,$(V_1 - V_2)^2 = (V_1 + V_2)^2 - 4 V_1 V_2 = 100 - 4(0.5) = 100 - 2 = 98$.
$V_1 - V_2 = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \approx 9.899 \ m/s$.
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા: $2 V_1 = 10 + 9.899 = 19.899 \Rightarrow V_1 \approx 9.95 \ m/s$.

(D) આપેલ છે: દડા $A$ નું દળ $m_A = 50 \ gm$; દડા $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_A = 10 \ m/s$. દડા $B$ નું દળ $m_B = 10 \ gm$; દડા $B$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_B = -15 \ m/s$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે). રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = \frac{2}{5}$.
એક-પરિમાણીય અથડામણ પછી બીજા દડા $B$ નો અંતિમ વેગ $v_B$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_B = \frac{m_A(1+e)}{m_A+m_B} u_A + \frac{m_B - e m_A}{m_A+m_B} u_B$
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$v_B = \frac{50(1 + \frac{2}{5})}{50 + 10} \times 10 + \frac{10 - (\frac{2}{5} \times 50)}{50 + 10} \times (-15)$
$v_B = \frac{50 \times \frac{7}{5}}{60} \times 10 + \frac{10 - 20}{60} \times (-15)$
$v_B = \frac{70}{60} \times 10 + \frac{-10}{60} \times (-15)$
$v_B = \frac{70}{6} + \frac{150}{60} = \frac{70}{6} + \frac{15}{6} = \frac{85}{6} \ m/s$
આમ,દડા $B$ ની અંતિમ ઝડપ $\frac{85}{6} \ m/s$ છે.

(A) ધારો કે $m_1$ નો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને $m_1$ તથા $m_2$ ના અંતિમ વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે. કણ $m_1$ એ $X$-અક્ષ સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે અને $m_2$ એ $X$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે ગતિ કરે છે.
$X$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m_1 u = m_2 v_2 \cos 30^{\circ} \quad \dots (i)$
$Y$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$0 = m_2 v_2 \sin 30^{\circ} - m_1 v_1 \quad \Rightarrow \quad m_1 v_1 = m_2 v_2 \sin 30^{\circ} \quad \dots (ii)$
આપેલ છે કે ગતિ ઊર્જા $50 \%$ ઘટે છે,તેથી અંતિમ ગતિ ઊર્જા એ પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જાના અડધી છે:
$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m_1 u^2) \quad \Rightarrow \quad m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 u^2 \quad \dots (iii)$
$(i)$ પરથી,$v_2 \cos 30^{\circ} = \frac{m_1 u}{m_2} \Rightarrow v_2 = \frac{2 m_1 u}{\sqrt{3} m_2}$.
$(ii)$ પરથી,$v_1 = \frac{m_2 v_2 \sin 30^{\circ}}{m_1} = \frac{m_2}{m_1} \cdot \frac{2 m_1 u}{\sqrt{3} m_2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{u}{\sqrt{3}}$.
$v_1$ અને $v_2$ ની કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા:
$m_1 (\frac{u^2}{3}) + m_2 (\frac{4 m_1^2 u^2}{3 m_2^2}) = \frac{1}{2} m_1 u^2$
$m_1 u^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{3} + \frac{4 m_1}{3 m_2} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{4 m_1}{3 m_2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \quad \Rightarrow \quad \frac{m_2}{m_1} = 8$.

(A) પ્રથમ અથડામણ પહેલાં દડાનો વેગ $v_0 = \sqrt{2gh_0}$ છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,વેગ $v_1 = e v_0$ થાય છે.
બીજી અથડામણ પછી,વેગ $v_2 = e v_1 = e^2 v_0$ થાય છે.
આ પેટર્નને અનુસરીને,$n$ અથડામણ પછી દડાનો વેગ $v_n = e^n v_0$ થાય છે.
$n$મી અથડામણ પછી પ્રાપ્ત થયેલ ઊંચાઈ $h_n = \frac{v_n^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_n = e^n v_0$ મૂકતા,આપણને $h_n = \frac{(e^n v_0)^2}{2g} = e^{2n} \frac{v_0^2}{2g}$ મળે છે.
કારણ કે $h_0 = \frac{v_0^2}{2g}$,તેથી $h_n = e^{2n} h_0$ થાય છે.
$e$ માટે ગોઠવતા,આપણને $e^{2n} = \frac{h_n}{h_0}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $e = \left[\frac{h_n}{h_0}\right]^{1/2n}$.

(A) આપેલ છે: $m_1 = 2 \,kg$, $v_1 = 24 \,ms^{-1}$, $m_2 = 4 \,kg$, $v_2 = -48 \,ms^{-1}$ (વિરુદ્ધ દિશા), $e = 2/3$.
સંઘાત બાદ અંતિમ વેગ માટેનું સૂત્ર:
$v_1' = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2 + e m_2 (v_2 - v_1)}{m_1 + m_2}$
$v_1' = \frac{(2)(24) + (4)(-48) + (2/3)(4)(-48 - 24)}{2 + 4}$
$v_1' = \frac{48 - 192 + (8/3)(-72)}{6} = \frac{-144 - 192}{6} = \frac{-336}{6} = -56 \,ms^{-1}$.
વેગમાન સંરક્ષણ અથવા પ્રત્યવસ્થાનના સમીકરણ $v_2' - v_1' = e(v_1 - v_2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v_2' - (-56) = (2/3)(24 - (-48))$
$v_2' + 56 = (2/3)(72) = 48$
$v_2' = 48 - 56 = -8 \,ms^{-1}$.

(A) કણ $h$ ઊંચાઈ પરથી પડે છે. પ્રથમ અથડામણનો વેગ $v_0 = \sqrt{2gh}$ છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,ઉછળવાનો વેગ $v_1 = ev_0$ છે. પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2h$ છે.
કણ $h$ નીચે તરફ,પછી $h_1$ ઉપર તરફ અને $h_1$ નીચે તરફ ગતિ કરે છે.
બીજી અથડામણ પછી,તે $h_2 = e^2h_1 = e^4h$ સુધી પહોંચે છે,જેમાં $h_2$ ઉપર અને $h_2$ નીચે ગતિ કરે છે.
કુલ અંતર $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + ...$
$D = h + 2(e^2h + e^4h + e^6h + ...)$
$D = h + 2h(e^2 + e^4 + e^6 + ...)$
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = e^2$ અને $r = e^2$:
$D = h + 2h \left( \frac{e^2}{1-e^2} \right)$
$D = h \left( 1 + \frac{2e^2}{1-e^2} \right) = h \left( \frac{1-e^2+2e^2}{1-e^2} \right) = h \left( \frac{1+e^2}{1-e^2} \right)$.

(C) ધારો કે ગોળા $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને અથડામણ પછી ગોળા $A$ અને $B$ ના વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m u + (2m)(0) = m v_1 + 2m v_2$
$u = v_1 + 2v_2$ ....$(i)$
અહીં પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e = 0.4 = \frac{2}{5}$ આપેલ છે.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંકની વ્યાખ્યા મુજબ:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{v_2 - v_1}{u - 0} = 0.4$
$v_2 - v_1 = 0.4u$ ....$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$u = v_1 + 2v_2$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$v_2 - v_1 = 0.4(v_1 + 2v_2)$
$v_2 - v_1 = 0.4v_1 + 0.8v_2$
$0.2v_2 = 1.4v_1$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{0.2}{1.4} = \frac{1}{7}$

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v + 2m(0) = m v_P + 2m v_Q$
$v = v_P + 2v_Q \quad \dots(1)$
રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંકના સૂત્ર $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$e = \frac{1}{3} = \frac{v_Q - v_P}{v - 0}$
$v_Q - v_P = \frac{v}{3} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$v = v_P + 2v_Q$. આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$v_Q - v_P = \frac{v_P + 2v_Q}{3}$
$3v_Q - 3v_P = v_P + 2v_Q$
$v_Q = 4v_P$
$\frac{v_Q}{v_P} = 4$

(B) આપેલ છે: બંને દડાનું દળ $m$ છે. પ્રારંભિક વેગ $u_1 = v$ અને $u_2 = 0$ છે. અથડામણ પછી,$v_1 = 0.15 v$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2$
$m v + 0 = m(0.15 v) + m v_2$
$v = 0.15 v + v_2 \implies v_2 = 0.85 v$
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(KE)_i = \frac{1}{2} m v^2$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $(KE)_f = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m (0.15 v)^2 + \frac{1}{2} m (0.85 v)^2$
$(KE)_f = \frac{1}{2} m v^2 [0.15^2 + 0.85^2] = \frac{1}{2} m v^2 [0.0225 + 0.7225] = \frac{1}{2} m v^2 [0.745]$
ગતિઊર્જામાં ઘટાડો $\Delta KE = (KE)_i - (KE)_f = \frac{1}{2} m v^2 [1 - 0.745] = 0.255 \times (KE)_i$
ટકાવારીમાં ઘટાડો $= \frac{\Delta KE}{(KE)_i} \times 100 = 0.255 \times 100 = 25.5 \% \approx 25 \%$.

(A) દડો $h$ ઊંચાઈથી નીચે પડે છે અને સપાટી સાથે અથડાય છે. પ્રથમ અથડામણ પહેલાનો વેગ $v_0 = \sqrt{2gh}$ છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,વેગ $v_1 = e v_0$ થાય છે. દડો $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2 h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે.
ત્યારબાદ તે $h_1$ ઊંચાઈથી નીચે પડે છે અને ફરીથી સપાટી સાથે અથડાય છે. પ્રથમ ઉછાળામાં કાપેલું અંતર (ઉપર અને નીચે) $2h_1 = 2e^2 h$ છે.
બીજી અથડામણ પછી,તે $h_2 = e^2 h_1 = e^4 h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે. બીજા ઉછાળામાં કાપેલું અંતર $2h_2 = 2e^4 h$ છે.
કુલ અંતર $D$ એ પ્રારંભિક પતન અને ત્યારબાદના તમામ ઉછાળાનો સરવાળો છે:
$D = h + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + ...$
$D = h + 2e^2 h + 2e^4 h + 2e^6 h + ...$
$D = h + 2e^2 h (1 + e^2 + e^4 + ...)$
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=1$ અને $r=e^2$:
$D = h + 2e^2 h \left( \frac{1}{1-e^2} \right)$
$D = h \left( 1 + \frac{2e^2}{1-e^2} \right) = h \left( \frac{1-e^2+2e^2}{1-e^2} \right) = h \left( \frac{1+e^2}{1-e^2} \right)$.

(A) ધારો કે અથડામણ પહેલા બોલનો વેગ $v$ છે. વેગના ઘટકો $v_x = v \sin \theta$ (ફ્લોરને સમાંતર) અને $v_y = v \cos \theta$ (ફ્લોરને લંબ) છે.
ફ્લોર લીસો હોવાથી,ફ્લોરને સમાંતર કોઈ આઘાતી બળ લાગતું નથી,તેથી વેગનો સ્પર્શક ઘટક બદલાતો નથી: $v'_x = v \sin \theta$.
લંબ ઘટક માટે,પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક $\varepsilon$ એ લંબ દિશામાં અલગ થવાના વેગ અને નજીક આવવાના વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\varepsilon = \frac{v'_y}{v_y}$.
આમ,$v'_y = \varepsilon v_y = \varepsilon v \cos \theta$.
ધારો કે $\theta'$ એ લંબ સાથે પરાવર્તનનો ખૂણો છે. તો,$\tan \theta' = \frac{v'_x}{v'_y} = \frac{v \sin \theta}{\varepsilon v \cos \theta} = \frac{\tan \theta}{\varepsilon}$.
તેથી,$\theta' = \tan ^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\varepsilon}\right)$.

(D) પ્રથમ પતન માટેનો સમય $t_0 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,દડો $h_1 = e^2 h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે અને પાછો નીચે આવે છે,જેમાં લાગતો સમય $t_1 = 2 \sqrt{\frac{2h_1}{g}} = 2e \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
તે જ રીતે,અનુગામી ઉછાળ માટે,લાગતો સમય $t_n = 2e^n \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
કુલ સમય $T$ એ પ્રારંભિક પતન અને ત્યારબાદના તમામ ઉછાળનો સરવાળો છે:
$T = \sqrt{\frac{2h}{g}} + 2e \sqrt{\frac{2h}{g}} + 2e^2 \sqrt{\frac{2h}{g}} + \dots = \sqrt{\frac{2h}{g}} \left( 1 + 2e + 2e^2 + \dots \right)$.
$e < 1$ માટે ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા,$T = \sqrt{\frac{2h}{g}} \left( 1 + 2e \frac{1}{1-e} \right) = \sqrt{\frac{2h}{g}} \left( \frac{1+e}{1-e} \right)$.
આપેલ છે કે $h = 0.4 \text{ m}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,અને $T = 10 \text{ s}$:
$10 = \sqrt{\frac{2 \times 0.4}{10}} \left( \frac{1+e}{1-e} \right) = \sqrt{0.08} \left( \frac{1+e}{1-e} \right)$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $e = \frac{17}{18}$ મળે છે.

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે,તેથી $y$-અક્ષની દિશામાં (ગતિની પ્રારંભિક દિશાને લંબ) વેગમાનનું સંરક્ષણ થવું જોઈએ.
શરૂઆતમાં,તંત્રનું $y$-અક્ષની દિશામાં વેગમાન શૂન્ય છે.
અથડામણ પછી,દડા $A$ અને $B$ માટે $y$-અક્ષની દિશામાં વેગમાનના ઘટકો સમાન અને વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
ધારો કે $m_1 = 4 \ kg$ અને $m_2 = 1 \ kg$.
$m_1 v_1 \sin(30^{\circ}) = m_2 v_2 \sin(60^{\circ})$
$4 \cdot v_1 \cdot \frac{1}{2} = 1 \cdot v_2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$2 v_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} v_2$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

(B) ધારો કે ગોળીનું દળ $m = 4.2 \times 10^{-2} \text{ kg}$ છે.
બ્લોકનું દળ $M = 9m = 9 \times 4.2 \times 10^{-2} \text{ kg}$ છે.
ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $v = 300 \text{ m/s}$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, અથડામણ પહેલાનું વેગમાન = અથડામણ પછીનું વેગમાન:
$mv = (m + M)V$
$m(300) = (m + 9m)V$
$300m = 10mV$
$V = 30 \text{ m/s}$.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એ ગતિઊર્જામાં થતા ઘટાડા જેટલી હોય છે:
$\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}(m + M)V^2$
$\Delta K = \frac{1}{2} \times (4.2 \times 10^{-2}) \times (300)^2 - \frac{1}{2} \times (10 \times 4.2 \times 10^{-2}) \times (30)^2$
$\Delta K = \frac{1}{2} \times 4.2 \times 10^{-2} \times (90000 - 10 \times 900)$
$\Delta K = 2.1 \times 10^{-2} \times (90000 - 9000) = 2.1 \times 10^{-2} \times 81000 = 1701 \text{ J}$.
$1 \text{ cal} = 4.2 \text{ J}$ હોવાથી, કેલરીમાં ઉષ્મા:
$\text{Heat} = \frac{1701}{4.2} = 405 \text{ cal}$.