Elastic Collision Questions in Gujarati

(D) બે પદાર્થો વચ્ચેના સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,જ્યાં $B$ શરૂઆતમાં સ્થિર છે:
$v_A' = \left( \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} \right) v$
$v_B' = \left( \frac{2m_A}{m_A + m_B} \right) v$
આપેલ છે કે $v_B' = 1.6v$,તેથી:
$1.6v = \left( \frac{2m_A}{m_A + m_B} \right) v \Rightarrow 1.6(m_A + m_B) = 2m_A \Rightarrow 1.6m_A + 1.6m_B = 2m_A \Rightarrow 0.4m_A = 1.6m_B \Rightarrow \frac{m_A}{m_B} = 4$
હવે,$v_A'$ શોધો:
$v_A' = \left( \frac{4m_B - m_B}{4m_B + m_B} \right) v = \left( \frac{3m_B}{5m_B} \right) v = 0.6v$
$A$ માંથી $B$ માં સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાનો અંશ એ $A$ ની ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો ભાગ્યા તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા છે:
$\text{ટકાવારી સ્થાનાંતરિત} = \frac{\frac{1}{2}m_A v^2 - \frac{1}{2}m_A (v_A')^2}{\frac{1}{2}m_A v^2} \times 100\%$
$= \left( 1 - \left( \frac{v_A'}{v} \right)^2 \right) \times 100\% = (1 - (0.6)^2) \times 100\% = (1 - 0.36) \times 100\% = 64\%$

(A) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,પ્રથમ પદાર્થ $(m_1 = m)$ નો સંઘાત પછીનો વેગ,જ્યારે બીજો પદાર્થ $(m_2 = 2m)$ શરૂઆતમાં સ્થિર $(u_2 = 0)$ હોય,ત્યારે નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} u_1 = \frac{m - 2m}{m + 2m} v = -\frac{v}{3}$
સંઘાત પહેલા પ્રથમ પદાર્થની ગતિ ઊર્જા $KE_{before} = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
સંઘાત પછી પ્રથમ પદાર્થની ગતિ ઊર્જા $KE_{after} = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m (-\frac{v}{3})^2 = \frac{1}{2} m \frac{v^2}{9}$ છે.
સંઘાત પહેલા અને પછીની ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{KE_{before}}{KE_{after}} = \frac{\frac{1}{2} m v^2}{\frac{1}{2} m \frac{v^2}{9}} = 9 : 1$.

(C) ગોળાઓ લીસા હોવાથી,અથડામણ દરમિયાન તેમની વચ્ચે કોઈ સ્પર્શક બળ લાગતું નથી.
કોઈ સ્પર્શક બળ ન હોવાથી,બંને ગોળાઓ પર કોઈ ટોર્ક લાગતું નથી.
કોઈ ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,દરેક ગોળાનું તેના પોતાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
તેથી,ગોળા $A$ નો કોણીય વેગ બદલાતો નથી,એટલે કે $\omega_A = \omega$.
ગોળો $B$ શરૂઆતમાં સ્થિર હતો અને તેના પર કોઈ ટોર્ક લાગ્યું ન હોવાથી,તેનો કોણીય વેગ $\omega_B = 0$ રહે છે.

(C) ગોળાઓ લીસા હોવાથી,અથડામણ દરમિયાન તેમની વચ્ચે કોઈ સ્પર્શક બળ લાગતું નથી.
કોઈ સ્પર્શક બળ ન હોવાથી,બંને ગોળાઓની ભ્રમણ અવસ્થા બદલવા માટે કોઈ ટોર્ક લાગતું નથી.
તેથી,ગોળા $A$ નું કોણીય વેગમાન બદલાતું નથી અને ગોળા $B$ માં કોઈ ભ્રમણ ઉત્પન્ન થતું નથી.
આમ,$\omega_A = \omega$ અને $\omega_B = 0$ થાય છે.

(C) સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,$m_1$ દળનો પદાર્થ $m_2$ દળના સ્થિર પદાર્થ સાથે અથડાય ત્યારે ગુમાવેલી ગતિઊર્જાનો અંશ નીચે મુજબ છે:
$\frac{\Delta K}{K} = \frac{4 m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2}$
અહીં $m_1 = m$ અને $m_2 = 2m$ આપેલ છે:
$\frac{\Delta K}{K} = \frac{4(m)(2m)}{(m + 2m)^2}$
$\frac{\Delta K}{K} = \frac{8m^2}{(3m)^2} = \frac{8m^2}{9m^2} = \frac{8}{9}$
આમ,$m$ દળનો પદાર્થ તેની શરૂઆતની ગતિઊર્જાના $8/9$ ભાગ ગુમાવે છે.

(D) બે સમાન દળ $(m_1 = m_2 = m)$ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેના સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,સંઘાત પછી તેમના વેગની અદલાબદલી થાય છે.
શરૂઆતના વેગ $u_1 = V$ અને $u_2 = -2V$ છે.
સંઘાત પછી,અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ નીચે મુજબ હશે:
$v_1 = u_2 = -2V$
$v_2 = u_1 = V$
તેથી,સંઘાત પછી બંને દડાના વેગ અનુક્રમે $-2V$ અને $V$ થશે.

(B) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
આપેલ છે:
$m_1 = 400 \ kg$,$u_1 = 72 \ km/h$
$m_2 = 4000 \ kg$,$u_2 = 9 \ km/h$
કાર પાછી ફેંકાતી હોવાથી,તેનો અંતિમ વેગ $v_1 = -18 \ km/h$ (પ્રારંભિક દિશાની વિરુદ્ધ) લેવામાં આવશે.
કિંમતો મૂકતા:
$400 \times 72 + 4000 \times 9 = 400 \times (-18) + 4000 \times v_2$
$28800 + 36000 = -7200 + 4000 v_2$
$64800 = -7200 + 4000 v_2$
$72000 = 4000 v_2$
$v_2 = 18 \ km/h$.

(C) એક પરિમાણમાં સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,સ્થિર રહેલા $m_2$ દળના પદાર્થનો સંઘાત પછીનો વેગ $v_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_2 = \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right) u_1$
અહીં,$m_1 = M$,$m_2 = m$,$u_1 = u$,અને $u_2 = 0$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \left( \frac{2M}{M + m} \right) u$
આપેલા વિકલ્પો સાથે મેળવવા માટે,અંશ અને છેદને $M$ વડે ભાગતા:
$v = \frac{2u}{\frac{M+m}{M}} = \frac{2u}{1 + \frac{m}{M}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $1$. જ્યારે પ્રથમ ગોળાને $(m = 0.1 \ kg)$ $1 \ m$ લંબાઈની સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની સ્થિતિઊર્જા નીચેના બિંદુએ ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$2$. અથડામણ પહેલાં પ્રથમ ગોળાની ગતિઊર્જા $K_1 = mgh = 0.1 \ kg \times 10 \ m/s^2 \times 1 \ m = 1 \ J$ થાય છે.
$3$. સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જ્યાં એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય છે,ત્યારે પદાર્થો તેમના વેગની આપ-લે કરે છે.
$4$. તેથી,પ્રથમ ગોળો સ્થિર થઈ જાય છે અને બીજો ગોળો પ્રથમ ગોળાની સંપૂર્ણ ગતિઊર્જા મેળવે છે.
$5$. બીજા ગોળા દ્વારા મેળવેલ ગતિઊર્જા $1 \ J$ છે.

(B) સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેના સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,પદાર્થો તેમના વેગની આપ-લે કરે છે.
સંઘાત પહેલા: કણનો વેગ $v$ છે અને લોલકનો ગોળો સ્થિર છે (વેગ $0$).
સંઘાત પછી: કણ સ્થિર થઈ જાય છે (વેગ $0$) અને ગોળો $v$ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
હવે,ગોળા માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = mgh$
$h$ માટે ઉકેલતા:
$h = \frac{v^2}{2g}$

(C) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,પ્રથમ પદાર્થનો અંતિમ વેગ $v_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 + \frac{2m_2 u_2}{m_1 + m_2}$
અહીં બીજો પદાર્થ સ્થિર હોવાથી $u_2 = 0$ લેતા:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1$
આપેલ છે કે અંતિમ વેગ $v_1 = \frac{u_1}{1.5}$,તેથી:
$\frac{u_1}{1.5} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1$
$\frac{1}{1.5} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$
$m_1 + m_2 = 1.5(m_1 - m_2)$
$m_1 + m_2 = 1.5m_1 - 1.5m_2$
$2.5m_2 = 0.5m_1$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{2.5}{0.5} = 5$.

(C) એક પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,જ્યારે બીજો પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,ત્યારે પ્રથમ પદાર્થ $(m_1)$ ની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$K_f = K_i \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2$
અહીં $m_1 = 8 \ kg$,$m_2 = 2 \ kg$ અને શરૂઆતની ગતિઊર્જા $K_i = E$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$K_f = E \left( \frac{8 - 2}{8 + 2} \right)^2$
$K_f = E \left( \frac{6}{10} \right)^2$
$K_f = E \left( 0.6 \right)^2$
$K_f = 0.36E$.

(A) $m_1$ દળ ધરાવતા પદાર્થ અને $m_2$ દળ ધરાવતા સ્થિર લક્ષ્ય વચ્ચેના એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,ન્યુટ્રોન દ્વારા ગુમાવેલી ગતિઊર્જાનો અંશ $\frac{\Delta E}{E} = \frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,ન્યુટ્રોનનું દળ $m_1 = 1$ અને ન્યુક્લિયસનું દળ $m_2 = A$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta E}{E} = \frac{4(1)(A)}{(1+A)^2} = \frac{4A}{(A+1)^2}$.
જો પ્રશ્ન ન્યુક્લિયસને મળેલી ગતિઊર્જાના અંશ વિશે હોય,તો તે $\frac{4A}{(A+1)^2}$ થાય. આપેલા વિકલ્પો જોતા,જો પ્રશ્ન ન્યુટ્રોન પાસે રહેલી બાકી ગતિઊર્જાના અંશ વિશે હોય,તો સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે,જેનો અર્થ છે કે રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે અથડામણ પછી બીજા બ્લોકની ઝડપ $v'$ છે.
ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2}M V^2 + 0 = \frac{1}{2}M \left( \frac{V}{3} \right)^2 + \frac{1}{2}M (v')^2$
બંને બાજુને $\frac{1}{2}M$ વડે ભાગતા:
$V^2 = \frac{V^2}{9} + (v')^2$
$(v')^2 = V^2 - \frac{V^2}{9}$
$(v')^2 = \frac{8V^2}{9}$
$v' = \sqrt{\frac{8V^2}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}V$

(D) સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,અથડામણ પછી પદાર્થોના વેગની અદલાબદલી થાય છે.
આપેલ છે: દડા $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $(u_A)$ = $0.5 \, m s^{-1}$ અને દડા $B$ નો પ્રારંભિક વેગ $(u_B)$ = $-0.3 \, m s^{-1}$.
દળ સમાન હોવાથી અને અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,દડા $A$ નો અંતિમ વેગ $(v_A)$ એ $u_B$ જેટલો થશે અને દડા $B$ નો અંતિમ વેગ $(v_B)$ એ $u_A$ જેટલો થશે.
તેથી,$v_A = -0.3 \, m s^{-1}$ અને $v_B = 0.5 \, m s^{-1}$.
પ્રશ્નમાં $B$ અને $A$ ના વેગ અનુક્રમે પૂછવામાં આવ્યા છે,જે $v_B$ અને $v_A$ છે.
આમ,વેગ $0.5 \, m s^{-1}$ અને $-0.3 \, m s^{-1}$ થશે.

(A) $m_1$ દળ ધરાવતો કણ જે $v_1$ વેગથી ગતિ કરે છે અને $m_2$ દળ ધરાવતો કણ જે સ્થિર છે,તેમની વચ્ચેની સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હેડ-ઓન અથડામણ માટે,પ્રથમ કણનો અંતિમ વેગ $v_1'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1' = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_1$
અહીં,ન્યુટ્રોનનું દળ $m_1 = 1$ અને ન્યુક્લિયસનું દળ $m_2 = A$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,ન્યુટ્રોનનો અંતિમ વેગ:
$v_1' = \left( \frac{1 - A}{1 + A} \right) v$
ન્યુટ્રોનની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} m_1 v^2$ છે.
ન્યુટ્રોનની અંતિમ ગતિઊર્જા $E' = \frac{1}{2} m_1 (v_1')^2$ છે.
જાળવી રાખેલી ઊર્જાનો અંશ $\frac{E'}{E} = \frac{\frac{1}{2} m_1 (v_1')^2}{\frac{1}{2} m_1 v^2} = \left( \frac{v_1'}{v} \right)^2$ છે.
$v_1'$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{E'}{E} = \left( \frac{1 - A}{1 + A} \right)^2 = \left( \frac{A - 1}{A + 1} \right)^2$.

(B) સમાન કણો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જો $v$ વેગથી ગતિ કરતા કણોની સંખ્યા સ્થિર કણોની સમાન સંખ્યા સાથે અથડાય,તો ગતિ કરતા કણો સ્થિર થઈ જાય છે અને સ્થિર કણો સમાન વેગ $v$ સાથે ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે.
અહીં,$2$ દડા $v$ વેગથી ગતિ કરી રહ્યા છે અને તેઓ $6$ સ્થિર દડાઓની હાર સાથે અથડાય છે.
સમાન દળ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં રેખીય વેગમાન અને ગતિ ઊર્જાના સંરક્ષણને કારણે,$2$ આપાત દડા સ્થિર થઈ જશે અને હારના જમણા છેડેથી $2$ દડા સમાન વેગ $v$ સાથે બહાર નીકળશે.
હારમાં બાકીના $4$ દડા સ્થિર રહેશે.

(A) ધારો કે પૂર્વ દિશા ધન $(+)$ છે અને પશ્ચિમ દિશા ઋણ $(-)$ છે.
ધારો કે ટ્રકનું દળ $M$ છે અને દડાનું દળ $m$ છે. દડો હલકો હોવાથી,$M \gg m$ છે.
ટ્રકનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = +20\, ms^{-1}$ છે.
દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = -25\, ms^{-1}$ છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,સાપેક્ષ વેગનું અલગીકરણ એ અભિગમના સાપેક્ષ વેગ જેટલું હોય છે.
અભિગમનો વેગ $= u_1 - u_2 = 20 - (-25) = 45\, ms^{-1}$.
ધારો કે $v_1$ અને $v_2$ એ અનુક્રમે ટ્રક અને દડાના અંતિમ વેગ છે.
$M \gg m$ હોવાથી,ટ્રકનો વેગ લગભગ બદલાતો નથી,તેથી $v_1 \approx u_1 = 20\, ms^{-1}$.
અલગીકરણનો સાપેક્ષ વેગ $v_2 - v_1$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $v_2 - v_1 = 45\, ms^{-1}$.
$v_1 = 20\, ms^{-1}$ મૂકતા:
$v_2 - 20 = 45$
$v_2 = 65\, ms^{-1}$.
પરિણામ ધન હોવાથી,દડો $65\, ms^{-1}$ ના વેગથી પૂર્વ દિશામાં ગતિ કરશે.

(C) ધારો કે આવતી ડિસ્કની ત્રિજ્યા $r_2$ છે. ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $b$ એ $r_2$ આપેલ છે.
$r$ અને $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બે ડિસ્ક માટે,ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $b$ અને સ્કેટરિંગ એંગલ $\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $\sin \phi = \frac{b}{r+r_2}$ છે.
અહીં $b = r_2$ આપેલ હોવાથી,$\sin \phi = \frac{r_2}{r+r_2}$ થાય.
પ્રથમ ડિસ્ક $45^{\circ}$ ના ખૂણે ગતિ કરે છે,તેથી $\phi = 45^{\circ}$ લેતા:
$\sin 45^{\circ} = \frac{r_2}{r+r_2}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{r_2}{r+r_2}$.
$r+r_2 = \sqrt{2} r_2$.
$r = r_2(\sqrt{2}-1)$.
તેથી,$r_2 = \frac{r}{\sqrt{2}-1}$.

(A) આ ઉકેલવા માટે,આપણે પ્રતિબિંબની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. બિલિયર્ડ ટેબલને તે બે દિવાલો પર પરાવર્તિત કરો જ્યાં દડો અથડાય છે. દડાનો માર્ગ બે પરાવર્તન પછી $A$ થી પોકેટ $B$ ના પ્રતિબિંબ સુધીની સીધી રેખા બની જાય છે.
ધારો કે $A$ થી પ્રથમ દિવાલનું આડું અંતર $(a-c)$ છે. પ્રથમ અથડામણ પછી,દડો પહોળાઈ $b$ માં મુસાફરી કરે છે. બીજી અથડામણ પછી,તે $a$ જેટલું આડું અંતર કાપે છે. $B$ ના પ્રતિબિંબ સુધી પહોંચવા માટે જરૂરી કુલ આડું સ્થાનાંતર $(a-c) + a = 2a - c$ છે.
કુલ ઊભું સ્થાનાંતર $2b$ છે.
માર્ગની ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta = \frac{\text{કુલ ઊભું સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ આડું સ્થાનાંતર}} = \frac{2b}{2a - c}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{2b}{2a - c} \right) = \cot^{-1} \left( \frac{2a - c}{2b} \right)$.

(C) $1$. $A$ અને $B$ વચ્ચેની અથડામણ: બંને બ્લોકનું દળ સમાન $m$ હોવાથી અને અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,તેઓ તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે. શરૂઆતમાં,$v_A = v$ અને $v_B = 0$. અથડામણ પછી,$v_A = 0$ અને $v_B = v$.
$2$. $B$ અને $C$ વચ્ચેની અથડામણ: બ્લોક $B$ (દળ $m$,વેગ $v$) બ્લોક $C$ (દળ $4m$,વેગ $0$) સાથે અથડાય છે. આ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી $B$ નો અંતિમ વેગ સૂત્ર $v_{B}' = \left(\frac{m_B - m_C}{m_B + m_C}\right) v_B + \left(\frac{2m_C}{m_B + m_C}\right) v_C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કિંમતો મૂકતા: $v_{B}' = \left(\frac{m - 4m}{m + 4m}\right) v + 0 = -\frac{3}{5} v = -0.6v$. ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે બ્લોક $B$ ડાબી તરફ $0.6v$ ના વેગથી ગતિ કરે છે.
$3$. ત્યારબાદની ગતિ: બ્લોક $A$ હવે સ્થિર છે અને બ્લોક $B$ ડાબી તરફ $0.6v$ ના વેગથી ગતિ કરી રહ્યો છે. બ્લોક $B$ એ $A$ થી દૂર જઈ રહ્યો હોવાથી,$A$ અને $B$ વચ્ચે હવે કોઈ અથડામણ થશે નહીં. આમ,બ્લોક $A$ નો અંતિમ વેગ $0$ છે.

(A) બે સમાન ગોળાઓ વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક હેડ-ઓન અથડામણમાં,ગોળાઓ તેમના વેગની આપ-લે કરે છે. જો ગોળાઓ સ્પર્શ કર્યા વિના એકબીજાને પસાર કરે,તો તેઓ તેમના મૂળ વેગ સાથે ગતિ ચાલુ રાખે છે. ગોળાઓ સમાન હોવાથી,પડદા પાછળથી પસાર થયા પછી સિસ્ટમની અંતિમ સ્થિતિ (વેગ અને દિશાઓ) બંને કિસ્સાઓમાં સમાન હોય છે. તેથી,અવલોકનકાર એ કહી શકતા નથી કે ગોળાઓ અથડાયા હતા કે એકબીજામાંથી પસાર થયા હતા.

(B) ધારો કે બોલ $2$ નું દળ $m$ છે. તો બોલ $1$ નું દળ $2m$ થશે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = (2m)(v) + (m)(0) = 2mv$.
ધારો કે બોલ $2$ નો અંતિમ વેગ $v_2$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$2mv = (2m)(v/3) + m(v_2)$
$2v = 2v/3 + v_2$
$v_2 = 2v - 2v/3 = 4v/3$.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ એ અલગ થવાના સાપેક્ષ વેગ અને નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$e = (v_2 - v_1) / (u_1 - u_2)$
$e = (4v/3 - v/3) / (v - 0) = (3v/3) / v = v / v = 1$.
અહીં પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e = 1$ હોવાથી,આ અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે.

(C) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણના ટૂંકા સમયગાળા દરમિયાન,બિલિયર્ડ બોલ વિરૂપણ (deformation) અનુભવે છે.
મહત્તમ વિરૂપણની ક્ષણે,ગતિ ઉર્જાનો એક ભાગ કામચલાઉ રીતે સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,અથડામણની પ્રક્રિયા દરમિયાન દરેક ક્ષણે તંત્રની ગતિ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી,જોકે અથડામણ પહેલાં અને પછી તે સંરક્ષિત રહે છે.
જો કે,તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા (ગતિ ઉર્જા + સ્થિતિ ઉર્જા) અને કુલ રેખીય વેગમાન સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન સંરક્ષિત રહે છે.

(A) દડાને $h$ ઊંચાઈ પરથી $u = \sqrt{2gh}$ ના પ્રારંભિક વેગ સાથે ફેંકવામાં આવે છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જમીન સાથે અથડાતા પહેલાનો વેગ $v_i$ નીચે મુજબ મળે:
$v_i^2 = (\sqrt{2gh})^2 + 2gh = 2gh + 2gh = 4gh$
$v_i = \sqrt{4gh} = 2\sqrt{gh}$
અથડામણ પછી,દડો ફરીથી $h$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે. ધારો કે અથડામણ પછીનો વેગ $v_f$ છે. ઉપરની તરફની ગતિ માટે $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = v_f^2 - 2gh$
$v_f = \sqrt{2gh}$
રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ એ અથડામણ પછીના વેગ અને અથડામણ પહેલાના વેગનો ગુણોત્તર છે:
$e = \frac{v_f}{v_i} = \frac{\sqrt{2gh}}{\sqrt{4gh}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(D) ધારો કે ગતિ કરતા કણનું દળ $m$ અને વેગ $u$ છે. ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m u^2 = 3 \ J$ છે.
સ્થિર કણનું દળ $2m$ છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = \frac{m u + 2m(0)}{m + 2m} = \frac{u}{3}$ થાય.
મહત્તમ સંકોચન સમયે (જ્યારે બંને કણો $v_{cm}$ વેગથી ગતિ કરે છે) તંત્રની ગતિઊર્જા $K_{min} = \frac{1}{2} (m + 2m) v_{cm}^2 = \frac{1}{2} (3m) (\frac{u}{3})^2 = \frac{1}{2} (3m) \frac{u^2}{9} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} m u^2) = \frac{1}{3} (3 \ J) = 1 \ J$ થાય.
મહત્તમ સંકોચન સમયે સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા $U_{max} = K_{initial} - K_{min} = 3 \ J - 1 \ J = 2 \ J$ થાય.
ગતિઊર્જા $3 \ J$ થી ઘટીને $1 \ J$ થાય છે અને સંઘાત બાદ ફરીથી $3 \ J$ થાય છે,તેથી ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર તે મુજબ બદલાય છે. આમ,બધા જ વિધાનો સાચા છે.

(D) જ્યારે સમાન દળ ધરાવતા બે દડાઓ વચ્ચે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ થાય અને એક દડો શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,ત્યારે રેખીય વેગમાન અને ગતિ ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ સદિશ સમીકરણ: $\vec{v}_1 = \vec{v}_1' + \vec{v}_2'$ મળે છે.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,$\frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}m(v_1')^2 + \frac{1}{2}m(v_2')^2$,જેનું સાદું રૂપ $v_1^2 = (v_1')^2 + (v_2')^2$ થાય છે.
આ સમીકરણ પાયથાગોરસના પ્રમેયને દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ સદિશો $\vec{v}_1'$,$\vec{v}_2'$ અને $\vec{v}_1$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે. તેથી,અથડામણ પછી બંને દડાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ હોવો જોઈએ.
ઉર્જાના સ્થાનાંતરણના સંદર્ભમાં,$100 \%$ સ્થાનાંતરણ ફક્ત હેડ-ઓન અથડામણ (ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $= 0$) માં જ થાય છે. શૂન્ય સિવાયના ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર માટે,દડાઓ અમુક ખૂણે ગતિ કરે છે અને ગતિ ઉર્જા તેમની વચ્ચે વહેંચાઈ જાય છે,જેનો અર્થ છે કે આવા કિસ્સાઓમાં $100 \%$ સ્થાનાંતરણ થઈ શકતું નથી.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(B) બે સમાન દ્રવ્યમાન ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જ્યાં એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,ત્યારે અથડામણની રેખા પરનો વેગનો ઘટક એકબીજામાં બદલાય છે.
ધારો કે કેન્દ્રોને જોડતી રેખા $x$-અક્ષ છે.
દડા $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $v = 10 \, m/s$ છે જે $x$-અક્ષ સાથે $\theta = 60^o$ નો ખૂણો બનાવે છે.
અથડામણની રેખા પર $A$ ના વેગનો ઘટક $v_x = v \cos(60^o) = 10 \times 0.5 = 5 \, m/s$ છે.
અથડામણની રેખાને લંબ $A$ ના વેગનો ઘટક $v_y = v \sin(60^o) = 10 \times 0.866 = 8.66 \, m/s$ છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન,અથડામણની રેખા પરનો વેગનો ઘટક $A$ માંથી $B$ માં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
તેથી,અથડામણ પછી,$B$ નો અથડામણની રેખા પરનો વેગ $v_{Bx} = 5 \, m/s$ અને $v_{By} = 0$ થાય છે.
આમ,અથડામણ પછી દડા $B$ નો વેગ $5 \, m/s$ છે.

(C) ધારો કે બંને બ્લોકનું દળ $m = 2\, kg$ છે. પ્રથમ બ્લોકનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 10\, m/s$ અને બીજા બ્લોકનો વેગ $u_2 = 0\, m/s$ છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું નથી. તેથી,તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = m u_1 + m u_2 = 2(10) + 2(0) = 20\, kg\cdot m/s$.
જ્યારે સ્પ્રિંગ મહત્તમ દબાયેલી હોય,ત્યારે બંને બ્લોક સમાન વેગ $v_{cm} = \frac{m u_1 + m u_2}{m + m} = \frac{20}{4} = 5\, m/s$ થી ગતિ કરે છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગ તેની મૂળ લંબાઈ પર પાછી આવે છે,ત્યારે બ્લોક્સ અલગ થઈ જાય છે. ધારો કે અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m v_1 + m v_2 = 20 \implies v_1 + v_2 = 10$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2} m u_1^2 = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 \implies v_1^2 + v_2^2 = 100$.
ઉર્જા સમીકરણમાં $v_2 = 10 - v_1$ મુકતા: $v_1^2 + (10 - v_1)^2 = 100 \implies v_1^2 + 100 - 20 v_1 + v_1^2 = 100 \implies 2 v_1^2 - 20 v_1 = 0$.
આનાથી $v_1 = 0$ અથવા $v_1 = 10$ મળે છે.
પ્રથમ બ્લોક બીજા બ્લોકમાંથી પસાર થઈ શકતો નથી,તેથી $v_1 = 0$ અને $v_2 = 10\, m/s$ મળે છે.

(D) સ્થિર દળ $m_2$ ધરાવતા કણ સાથે સ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાતા $m_1$ દળના કણ માટે ગતિ ઉર્જાનો આંશિક વ્યય $\frac{\Delta K}{K}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{\Delta K}{K} = \frac{4 m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2}$.
ન્યુટ્રોન $(m_1 = m)$ માટે જે ડ્યુટેરિયમ $(m_2 = 2m)$ સાથે અથડાય છે:
$P_d = \frac{4(m)(2m)}{(m + 2m)^2} = \frac{8m^2}{(3m)^2} = \frac{8}{9} \approx 0.89$.
ન્યુટ્રોન $(m_1 = m)$ માટે જે કાર્બન ન્યુક્લિયસ $(m_2 = 12m)$ સાથે અથડાય છે:
$P_c = \frac{4(m)(12m)}{(m + 12m)^2} = \frac{48m^2}{(13m)^2} = \frac{48}{169} \approx 0.28$.
આમ,મૂલ્યો $P_d = 0.89$ અને $P_c = 0.28$ છે.

(B) ધારો કે હલકા કણનું દળ $m_1$ છે અને ભારે બ્લોકનું દળ $m_2$ છે. બ્લોક ખૂબ જ ભારે હોવાથી,$m_2 \gg m_1$ છે.
એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,અથડામણ પછી પ્રથમ કણનો વેગ $v_1'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} v_2$
અહીં $v_1 = 12\ m/s$ અને $v_2 = 10\ m/s$ આપેલ છે. $m_2 \gg m_1$ હોવાથી,આપણે $\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \approx -1$ અને $\frac{2m_2}{m_1 + m_2} \approx 2$ લઈ શકીએ.
આ કિંમતો મૂકતા:
$v_1' \approx (-1) \times 12 + (2) \times 10$
$v_1' \approx -12 + 20 = 8\ m/s$.
પરિણામ ધન હોવાથી,કણ તેની મૂળ દિશામાં $8\ m/s$ ની ઝડપે ગતિ કરશે.

(A) રેસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ એ રેકેટ સ્થિર હોય ત્યારે ઝડપના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = \sqrt{h/H} = \sqrt{0.8 H / H} = \sqrt{0.8} \approx 0.8944$.
ધારો કે બોલ $v_b = 150 \ km/hr$ ના વેગ સાથે ધન દિશામાં ગતિ કરે છે અને રેકેટ $v_r = -100 \ km/hr$ ના વેગ સાથે ઋણ દિશામાં ગતિ કરે છે.
રેકેટની સાપેક્ષમાં બોલનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_b - v_r = 150 - (-100) = 250 \ km/hr$ છે.
અથડામણ પછી,રેકેટની સાપેક્ષમાં બોલનો સાપેક્ષ વેગ $v'_{rel}$ એ $v'_{rel} = -e \cdot v_{rel} = -0.8944 \times 250 \approx -223.6 \ km/hr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેકેટનું દળ બોલના દળ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી,રેકેટનો વેગ $v_r = -100 \ km/hr$ પર અપરિવર્તિત રહે છે.
બોલનો અંતિમ વેગ $v'_b$ એ $v'_b = v'_{rel} + v_r = -223.6 + (-100) = -323.6 \ km/hr$ છે.
બોલની ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે,જે $323.6 \ km/hr$ છે.

(B) સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, જ્યાં એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય, ત્યારે અથડામણ પછી બંને પદાર્થો એકબીજા સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે ગતિ કરે છે.
ધારો કે દડા $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}_A = 12 \hat{j} \ m/s$ છે.
અંતિમ વેગ $\vec{v}_A$ અને $\vec{v}_B$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m\vec{u}_A = m\vec{v}_A + m\vec{v}_B \implies \vec{u}_A = \vec{v}_A + \vec{v}_B$.
ગતિ ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2}mu_A^2 = \frac{1}{2}mv_A^2 + \frac{1}{2}mv_B^2 \implies u_A^2 = v_A^2 + v_B^2$.
$\vec{u}_A = \vec{v}_A + \vec{v}_B$ હોવાથી, $u_A^2 = v_A^2 + v_B^2 + 2\vec{v}_A \cdot \vec{v}_B$ મળે. ઉર્જા સમીકરણ સાથે સરખાવતા, $\vec{v}_A \cdot \vec{v}_B = 0$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે દડાઓ એકબીજા સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે ગતિ કરે છે.
અથડામણની ભૂમિતિ મુજબ, દડો $A$ તેના મૂળ માર્ગથી $60^{\circ}$ ના ખૂણે વિચલિત થાય છે. આમ, $\vec{v}_A$ અને $\vec{u}_A$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
વેગના પ્રક્ષેપણનો ઉપયોગ કરતા: $v_A = u_A \cos(60^{\circ}) = 12 \times 0.5 = 6 \ m/s$.

(B) પદાર્થ પર લાગતો આઘાત $J$ એ સરેરાશ બળ $F$ અને અથડામણના સમયગાળા $\Delta t$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
$J = F \times \Delta t$
અહીં $F = 100\ N$ અને $\Delta t = 0.02\ s$ આપેલ છે,તેથી આઘાત:
$J = 100\ N \times 0.02\ s = 2\ N\cdot s$
આઘાત-વેગમાનના પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર લાગતો આઘાત તેના રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
$J = \Delta p = m_2(v_2 - u_2)$
$2\ kg$ નો પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,$u_2 = 0$. તેથી:
$2 = 2\ kg \times (v_2 - 0)$
$2 = 2 \times v_2$
$v_2 = 1\ m/s$
આમ,અથડામણ પછી $2\ kg$ ના પદાર્થનો વેગ $1\ m/s$ છે.

(A) બે સમાન દળ વચ્ચેની સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જ્યાં એક શરૂઆતમાં સ્થિર હોય છે,વેગની આપ-લે થાય છે. અથડામણની રેખા સ્ટ્રાઈકરના પ્રારંભિક વેગ સદિશ સાથે $\theta = 45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
અથડામણ પહેલા: $\vec{u}_1 = v \hat{i}$,$\vec{u}_2 = 0$.
અથડામણ પછી: સ્ટ્રાઈકર ધારને લંબ ગતિ કરે છે (ધારો કે આ $y$-અક્ષ છે),તેથી $\vec{v}_1 = v_1 \hat{j}$. સિક્કો ધારને સમાંતર ગતિ કરે છે (ધારો કે આ $x$-અક્ષ છે),તેથી $\vec{v}_2 = v_2 \hat{i}$.
વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv \hat{i} = m v_1 \hat{j} + m v_2 \hat{i}$.
ઘટકોને સરખાવતા: $v_2 = v \cos 45^{\circ} = \frac{v}{\sqrt{2}}$ અને $v_1 = v \sin 45^{\circ} = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
સ્ટ્રાઈકર પરનો આઘાત $\vec{J} = \Delta \vec{p} = m(\vec{v}_1 - \vec{u}_1) = m(\frac{v}{\sqrt{2}} \hat{j} - v \hat{i})$.
આઘાતનું મૂલ્ય $|\vec{J}| = m \sqrt{(\frac{v}{\sqrt{2}})^2 + (-v)^2} = m \sqrt{\frac{v^2}{2} + v^2} = m \sqrt{\frac{3v^2}{2}} = mv \sqrt{\frac{3}{2}}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\frac{\sqrt{5}}{2} mv$ છે.

(A) પુનઃપ્રાપ્તિ ગુણાંક $e$ ને અલગ થવાની ઝડપ અને નજીક આવવાની ઝડપના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
નજીક આવવાની ઝડપ = $1.8 \text{ m/s} - (-0.2 \text{ m/s}) = 2.0 \text{ m/s}$.
અલગ થવાની ઝડપ = $1.4 \text{ m/s} - (-0.6 \text{ m/s}) = 2.0 \text{ m/s}$.
તેથી,$e = \frac{\text{અલગ થવાની ઝડપ}}{\text{નજીક આવવાની ઝડપ}} = \frac{2.0}{2.0} = 1$.
કારણ કે પુનઃપ્રાપ્તિ ગુણાંક $e = 1$ છે,તેથી અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક છે.

(B) સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જ્યાં એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,ત્યારે અથડામણ પછી બંને પદાર્થો એકબીજા સાથે $90^\circ$ ના ખૂણે ગતિ કરે છે.
ધારો કે દડા $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}_A = 12 \hat{j} \ m/s$ છે (શિરોલંબ અક્ષને $y$-અક્ષ તરીકે લેતા).
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને દળ સમાન હોવાથી,વેગમાન અને ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ અથડામણ પછીના વેગ સદિશો $\vec{v}_A$ અને $\vec{v}_B$ માટે $\vec{v}_A \cdot \vec{v}_B = 0$ થાય.
અથડામણની ભૂમિતિ મુજબ,દડો $A$ એ શિરોલંબ સાથે $60^\circ$ ના ખૂણે દડા $B$ ને અથડાય છે. અથડામણની રેખા (લંબ) ની દિશામાં વેગનો ઘટક દડા $B$ ને મળે છે,જ્યારે લંબને લંબરૂપ ઘટક દડા $A$ પાસે રહે છે.
લંબની દિશામાં (સમક્ષિતિજ $x$-અક્ષ) $A$ નો વેગ ઘટક $v_{Ax} = 12 \sin(60^\circ) = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \ m/s$ છે.
લંબને લંબરૂપ (શિરોલંબ $y$-અક્ષ) $A$ નો વેગ ઘટક $v_{Ay} = 12 \cos(60^\circ) = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \ m/s$ છે.
સમાન દળની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,અથડામણની રેખા પરનો વેગ ઘટક અદલાબદલી થાય છે. તેથી,અથડામણ પછી,$A$ ના વેગનો $x$-ઘટક $0$ થઈ જાય છે,અને $y$-ઘટક $6 \ m/s$ રહે છે.
તેથી,દડા $A$ નો અંતિમ વેગ $6 \ m/s$ છે.

(C) બે સમાન દળ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જ્યારે એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,ત્યારે અથડામણની રેખા પરનો વેગનો ઘટક સંપૂર્ણપણે લક્ષ્ય ગોળામાં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $v = 8 \ m/s$. કેન્દ્રોને જોડતી રેખા (સામાન્ય લંબ) પર $A$ ના વેગનો ઘટક $v \cos 60^{\circ} = 8 \times 0.5 = 4 \ m/s$ છે.
કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને લંબ $A$ ના વેગનો ઘટક $v \sin 60^{\circ} = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \ m/s$ છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી,કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પરનો વેગનો ઘટક ગોળા $B$ માં સ્થાનાંતરિત થાય છે. આમ,ગોળો $B$ કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર $v_B = 4 \ m/s$ ની ઝડપથી ગતિ કરે છે.
ગોળો $A$ કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને લંબ તેનો વેગનો ઘટક જાળવી રાખે છે,જે $v_A = 4\sqrt{3} \ m/s$ છે.
ગોળા $A$ પાસે કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને લંબ વેગનો ઘટક હોવાથી અને ગોળો $B$ કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર ગતિ કરતો હોવાથી,તેમની ગતિની દિશાઓ એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ હોય છે.
આમ,વિધાનો $(iii)$ અને $(iv)$ સાચા છે.

(B) ધારો કે $1\, kg$ ના કણનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 1\, m/s$ છે અને તેનો અંતિમ વેગ $v_1$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} \times 1 \times (1)^2 = 0.5\, J$ છે.
કણ તેની ગતિઊર્જાના $\frac{3}{4}$ ભાગ ગુમાવે છે,તેથી અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = K_i - \frac{3}{4}K_i = \frac{1}{4}K_i = \frac{1}{4} \times 0.5 = 0.125\, J$ થાય.
આમ,$\frac{1}{2} \times 1 \times v_1^2 = 0.125 \Rightarrow v_1^2 = 0.25 \Rightarrow v_1 = \pm 0.5\, m/s$.
ધારો કે કણ સમાન દિશામાં ગતિ ચાલુ રાખે છે,તેથી $v_1 = 0.5\, m/s$.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
$1(1) + m(0) = 1(0.5) + m v_2 \Rightarrow m v_2 = 0.5$.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $(e=1)$ નો ઉપયોગ કરતા: $v_2 - v_1 = u_1 - u_2$.
$v_2 - 0.5 = 1 - 0 \Rightarrow v_2 = 1.5\, m/s$.
વેગમાનના સમીકરણમાં $v_2$ ની કિંમત મૂકતા: $m(1.5) = 0.5 \Rightarrow m = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}\, kg$.

(D) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,રેસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$ છે.
અભિગમનો વેગ $u_{rel} = v_1 - v_2$ છે.
બ્લોક ખૂબ જ ભારે હોવાથી,અથડામણ પછી તેનો વેગ વ્યવહારિક રીતે બદલાતો નથી,એટલે કે $V_{block} \approx v_2$.
ધારો કે કણનો અંતિમ વેગ $v'$ છે.
અલગ થવાનો વેગ $v_{rel} = V_{block} - v' = v_2 - v'$ છે.
$e = \frac{v_{rel}}{u_{rel}}$ હોવાથી,આપણને $1 = \frac{v_2 - v'}{v_1 - v_2}$ મળે છે.
તેથી,$v_1 - v_2 = v_2 - v'$.
$v'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v' = 2v_2 - v_1$ મળે છે.

(B) ધારો કે $m$ દળનો કણ $A$ છે અને $2m$ દળનો કણ $B$ છે. શરૂઆતમાં,$A$ એ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે અને $B$ સ્થિર છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$mv + 0 = mv_1 + 2mv_2$
$v = v_1 + 2v_2$ --- $(i)$
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$:
$e = \frac{v_2 - v_1}{v - 0} = 1$
$v_2 - v_1 = v$ --- $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$3v_2 = 2v \implies v_2 = \frac{2}{3}v$
$v_2$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$v_1 = v_2 - v = \frac{2}{3}v - v = -\frac{1}{3}v$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે કણ $A$ તેની દિશા ઉલટાવે છે.
અલગ થવાનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_2 - v_1 = \frac{2}{3}v - (-\frac{1}{3}v) = v$ છે.
વર્તુળાકાર નળીમાં પછીની અથડામણ માટે કાપવાનું અંતર પરિઘ $2\pi R$ જેટલું છે.
સમય $t = \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ વેગ}} = \frac{2\pi R}{v}$.

(B) ધારો કે ન્યુટ્રોનનું દળ $m$ છે.
તેથી સ્થિર પરમાણુનું દળ $M = Am$ થશે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mu + Am(0) = mv_1 + Amv_2$, જેનું સાદું રૂપ $u = v_1 + Av_2$ મળે છે ... $(1)$.
સ્થિતિસ્થાપક સન્મુખ અથડામણ માટે, રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$ હોવાથી, $v_2 - v_1 = u$ ... $(2)$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી, $v_2 = u + v_1$. આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$u = v_1 + A(u + v_1) = v_1 + Au + Av_1 = v_1(1 + A) + Au$.
$v_1(1 + A) = u - Au = u(1 - A)$.
આમ, $v_1 = u \frac{1 - A}{1 + A}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mu^2$ છે.
અથડામણ પછી ન્યુટ્રોનની અંતિમ ગતિઊર્જા $E' = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}m \left( u \frac{1 - A}{1 + A} \right)^2$ થશે.
$E' = \left( \frac{1}{2}mu^2 \right) \left( \frac{1 - A}{1 + A} \right)^2 = E \left( \frac{A - 1}{A + 1} \right)^2$.

(A) ધારો કે $m_1 = 0.4 \, kg$,$u_1 = 3 \, m/s$,$m_2 = 0.6 \, kg$,અને $u_2 = 0 \, m/s$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
$(0.4 \times 3) + 0 = 0.4 v_1 + 0.6 v_2 \implies 1.2 = 0.4 v_1 + 0.6 v_2 \implies 2 v_1 + 3 v_2 = 6$ (સમીકરણ $1$).
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e = 1$ હોય છે,તેથી $v_2 - v_1 = u_1 - u_2$.
$v_2 - v_1 = 3 - 0 \implies v_2 - v_1 = 3 \implies v_2 = v_1 + 3$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$2 v_1 + 3(v_1 + 3) = 6 \implies 2 v_1 + 3 v_1 + 9 = 6 \implies 5 v_1 = -3 \implies v_1 = -0.6 \, m/s$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રથમ દડો પાછો ફરે છે.
$v_1$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$v_2 = -0.6 + 3 = 2.4 \, m/s$.
આમ,બંને દડાઓની ઝડપ $0.6 \, m/s$ અને $2.4 \, m/s$ છે.

(C) બે સમાન દળ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેની સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,જ્યાં એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય છે,રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમો નીચે મુજબ છે:
$1$. રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ: $m\vec{v} = m\vec{v}_P + m\vec{v}_Q$,જેનું સાદું રૂપ $\vec{v} = \vec{v}_P + \vec{v}_Q$ થાય છે.
$2$. ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_P^2 + \frac{1}{2}mv_Q^2$,જેનું સાદું રૂપ $v^2 = v_P^2 + v_Q^2$ થાય છે.
વેગમાનના સમીકરણ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $v^2 = |\vec{v}_P + \vec{v}_Q|^2 = v_P^2 + v_Q^2 + 2v_P v_Q \cos \theta$.
આને ગતિઊર્જાના સમીકરણ $v^2 = v_P^2 + v_Q^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2v_P v_Q \cos \theta = 0$ મળે છે.
અહીં $v_P$ અને $v_Q$ શૂન્ય નથી,તેથી $\cos \theta = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^o$.

(A) ધારો કે આપાતકોણ $\theta$ છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ અથડામણની ભૂમિતિ પરથી,ત્રિકોણ $\Delta PMO$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $P$ એ અથડામણનું બિંદુ છે,$M$ એ મધ્ય રેખા પર $P$ નો પ્રક્ષેપ છે અને $O$ એ ગોળાનું કેન્દ્ર છે.
ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $b = PM = 2\sqrt{3} \, cm$ અને ત્રિજ્યા $R = OP = 4 \, cm$ છે.
$\Delta PMO$ માં,$\sin \theta = \frac{PM}{OP} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\theta = 60^{\circ}$.
વિચલનનો ખૂણો $\delta$ એ કણની પ્રારંભિક દિશા અને સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછીની અંતિમ દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ભૂમિતિ પરથી,વિચલનનો ખૂણો $\delta = 180^{\circ} - 2\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\delta = 180^{\circ} - 2(60^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ મળે છે.

(A) $n$ અથડામણો પછી દડા દ્વારા પ્રાપ્ત ઊંચાઈ $h_n$ માટેનું સૂત્ર $h_n = e^{2n} h$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્રારંભિક ઊંચાઈ છે અને $e$ એ પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક છે.
અહીં $h = 80 \ m$,$e = 0.5 = \frac{1}{2}$,અને $n = 2$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $h_2 = e^{2 \times 2} h = e^4 h$.
$h_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \times 80$.
$h_2 = \frac{1}{16} \times 80 = 5 \ m$.

(A) ધારો કે $m$ દળનો પ્રારંભિક વેગ $u_1$ છે અને અંતિમ વેગ $v_1$ (વિરુદ્ધ દિશામાં) છે। ધારો કે અથડામણ પછી $M$ દળનો વેગ $v_2$ છે।
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mu_1 = -mv_1 + Mv_2$ $\implies Mv_2 = m(u_1 + v_1)$ $...(i)$
આપેલ છે કે કણની અંતિમ ગતિઊર્જા તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જાના $4/9$ છે:
$K' = \frac{4}{9} K \implies \frac{1}{2} mv_1^2 = \frac{4}{9} (\frac{1}{2} mu_1^2)$
$v_1^2 = \frac{4}{9} u_1^2 \implies v_1 = \frac{2}{3} u_1$ $...(ii)$
$v_1$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$Mv_2 = m(u_1 + \frac{2}{3} u_1) = m(\frac{5}{3} u_1)$ $...(iii)$
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી, રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$:
$e = \frac{v_2 - (-v_1)}{u_1 - 0} = 1 \implies v_2 + v_1 = u_1$
$v_2 = u_1 - v_1 = u_1 - \frac{2}{3} u_1 = \frac{1}{3} u_1$ $...(iv)$
સમીકરણ $(iv)$ માંથી $v_2$ ની કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા:
$M(\frac{1}{3} u_1) = m(\frac{5}{3} u_1)$
$M = 5m$

(C) લિફ્ટ સાથે અથડાતા પહેલા દડાની ઝડપ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા મળે છે.
$g = 9.8 \ m/s^2$ અને $h = 10 \ m$ મૂકતા,$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 10} = \sqrt{196} = 14 \ m/s$ મળે છે.
ધારો કે નીચેની દિશા ઋણ છે. અથડામણ પહેલા દડાનો વેગ $u_1 = -14 \ m/s$ છે.
લિફ્ટનો વેગ $u_2 = -1 \ m/s$ છે.
લિફ્ટનું દળ દડાના દળ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી $(M_{lift} \gg M_{ball})$,લિફ્ટ $u_2$ વેગથી ગતિ કરતી સ્થિર દીવાલ તરીકે વર્તે છે.
અથડામણ પછી દડાનો વેગ $v_1$ સૂત્ર $v_1 = 2u_2 - u_1$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_1 = 2(-1) - (-14) = -2 + 14 = 12 \ m/s$.
આમ,દડાનો રિકોઈલ વેગ $12 \ m/s$ ઉપરની તરફ હશે.