Elastic Collision Questions in Gujarati

(B) અથડામણના ટૂંકા સમયગાળા દરમિયાન,બિલિયર્ડ બોલ વિકૃત થાય છે,જેના કારણે સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ સંગ્રહિત થાય છે.
વિકૃતિના તબક્કા દરમિયાન કેટલીક ગતિ ઊર્જા $(KE)$ સ્થિતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થતી હોવાથી,સંપર્ક સમય દરમિયાન કુલ ગતિ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.
જો કે,બે બોલની સિસ્ટમ માટે,સિસ્ટમ પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો અથડામણની પ્રક્રિયા દરમિયાન,સંપર્કના સમય સહિત,સિસ્ટમનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.

(N/A) જ્યારે દડો $A$ નીચેના બિંદુએ પહોંચે છે,ત્યારે તેનો વેગ સમક્ષિતિજ હોય છે. અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને દળ સમાન હોવાથી,વેગની આપ-લે થાય છે.
$(a)$ સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જ્યાં એક પદાર્થ સ્થિર હોય,ત્યારે ગતિ કરતો પદાર્થ સ્થિર થઈ જાય છે અને સ્થિર પદાર્થ ગતિમાન પદાર્થનો વેગ પ્રાપ્ત કરે છે. તેથી,અથડામણ પછી ગોળો $A$ નીચેના બિંદુએ સ્થિર થઈ જશે. તે જે ઊંચાઈ સુધી ઉપર જશે તે $0\,m$ છે.
$(b)$ ગોળો $B$ જે ઝડપથી ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે તે ગોળા $A$ દ્વારા ગોળા $B$ ને અથડાતી વખતે જે ઝડપ હોય તેના જેટલી જ હોય છે. ગોળા $A$ માટે ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યારે તે $h = 1\,m$ ની ઊંચાઈએથી નીચે પડે છે:
$v = \sqrt{2gh}$
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 1}$
$v = \sqrt{19.6} \approx 4.43\,m/s$.

(C) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં કુલ ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. જોકે,પ્રશ્નમાં અથડાતા પદાર્થની ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો પૂછવામાં આવ્યો છે. ધારો કે પ્રથમ પદાર્થનું દળ $m_1 = m$ અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = v$ છે. બીજા પદાર્થનું દળ $m_2 = 2m$ અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0$ છે.
અથડામણ પછી,પ્રથમ પદાર્થનો અંતિમ વેગ $v_1$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} u_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} u_2$.
કિંમતો મૂકતા: $v_1 = \frac{m - 2m}{m + 2m} v + 0 = \frac{-m}{3m} v = -v/3$.
પ્રથમ પદાર્થની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 1/2 \ mv^2$ છે.
પ્રથમ પદાર્થની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 1/2 \ m(v_1)^2 = 1/2 \ m(-v/3)^2 = 1/2 \ m(v^2/9) = 1/18 \ mv^2$ છે.
અથડાતા પદાર્થની ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = 1/2 \ mv^2 - 1/18 \ mv^2$.
$\Delta K = (9/18 - 1/18) \ mv^2 = 8/18 \ mv^2 = 4/9 \ mv^2$.

(D) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\vec{P}_i = \vec{P}_f$
$m(u\hat{i}) + 3m(0) = m(v\hat{j}) + 3m\vec{v}_1$
$m(u\hat{i} - v\hat{j}) = 3m\vec{v}_1$
$\vec{v}_1 = \frac{u\hat{i} - v\hat{j}}{3}$
બંને બાજુ વર્ગ લેતા:
$v_1^2 = \frac{u^2 + v^2}{9} \quad \dots(1)$
અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી, ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે:
$K_i = K_f$
$\frac{1}{2}mu^2 + 0 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(3m)v_1^2$
$u^2 = v^2 + 3v_1^2$
સમીકરણ $(1)$ ને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$u^2 = v^2 + 3\left(\frac{u^2 + v^2}{9}\right)$
$u^2 = v^2 + \frac{u^2 + v^2}{3}$
$3u^2 = 3v^2 + u^2 + v^2$
$2u^2 = 4v^2$
$v^2 = \frac{u^2}{2}$
$v = \frac{u}{\sqrt{2}}$

(A) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$Mv + m \times 0 = Mv_1 + mv_2$
$\Rightarrow M(v - v_1) = mv_2 \dots (i)$
ગતિઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ (અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી):
$\frac{1}{2}Mv^2 + 0 = \frac{1}{2}Mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2$
$\Rightarrow M(v^2 - v_1^2) = mv_2^2 \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{M(v - v_1)(v + v_1)}{M(v - v_1)} = \frac{mv_2^2}{mv_2}$
$v + v_1 = v_2 \dots (iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(iii)$ ને હલ કરતા,હલકી વસ્તુનો અંતિમ વેગ $(v_2)$:
$v_2 = \frac{2Mv}{M + m}$
અહીં $M \gg m$ હોવાથી,$M + m \approx M$ લેતા:
$v_2 = \frac{2Mv}{M} = 2v$.

(C) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે, પદાર્થ $A$ નો અંતિમ વેગ $(v_1)$ નીચે મુજબ છે:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 + \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right) u_2$
અહીં $m_1 = 4m$, $u_1 = u$, $m_2 = 2m$, અને $u_2 = 0$ આપેલ છે:
$v_1 = \left( \frac{4m - 2m}{4m + 2m} \right) u + 0 = \left( \frac{2m}{6m} \right) u = \frac{1}{3} u$
પદાર્થ $A$ ની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2} (4m) u^2 = 2mu^2$ છે.
પદાર્થ $A$ ની અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2} (4m) (\frac{1}{3} u)^2 = 2m (\frac{1}{9} u^2) = \frac{2}{9} mu^2$ છે.
પદાર્થ $A$ દ્વારા ગુમાવેલી ઉર્જા $\Delta K = K_i - K_f = 2mu^2 - \frac{2}{9} mu^2 = \frac{16}{9} mu^2$ છે.
ગુમાવેલી ઉર્જાનો અંશ $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{\frac{16}{9} mu^2}{2mu^2} = \frac{8}{9}$ થાય.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાં તંત્રનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના તંત્રના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે અથડામણ પછી સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm}$ છે.
અથડામણ પહેલાં,કણનું વેગમાન $p_i = mv$ છે અને સળિયો સ્થિર છે $(p_{rod} = 0)$.
અથડામણ પછી,કણ સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી તેનું વેગમાન $0$ છે. સળિયો $v_{cm}$ વેગથી ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$mv + 0 = 0 + Mv_{cm}$
$v_{cm}$ માટે ઉકેલતા:
$v_{cm} = \frac{mv}{M}$

(A) ધારો કે $m_{1}$ દળનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને અથડામણ પછી $m_{1}$ અને $m_{2}$ ના અંતિમ વેગ વિરુદ્ધ દિશામાં $v$ છે. અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,આપણે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણ અને રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$m_{1}u = m_{2}v - m_{1}v$
$m_{1}u = v(m_{2} - m_{1})$ --- $(1)$
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$:
$e = \frac{v_{sep}}{v_{app}} = \frac{v - (-v)}{u - 0} = 1$
$2v = u$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માં $u = 2v$ મૂકતા:
$m_{1}(2v) = v(m_{2} - m_{1})$
$2m_{1} = m_{2} - m_{1}$
$m_{2} = 3m_{1}$
$\frac{m_{2}}{m_{1}} = 3$
આમ,$m_{2} : m_{1}$ નો ગુણોત્તર $3:1$ છે.

(C) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે જ્યાં બીજો પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,બીજા પદાર્થનો અંતિમ વેગ $V_2$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_2 = \frac{2m_1 u_1}{m_1 + m_2}$
અહીં,$m_1 = M$,$m_2 = m$,અને $u_1 = u$. આ કિંમતો મૂકતા:
$V_2 = \frac{2Mu}{M + m}$
શરત $m << M$ આપેલ હોવાથી,આપણે $M + m \approx M$ તરીકે લઈ શકીએ.
તેથી,$V_2 \approx \frac{2Mu}{M} = 2u$.
આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
કારણ $R$ જણાવે છે કે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં વેગમાન અને ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે,જે વેગના સમીકરણો મેળવવા માટે વપરાતો મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે. તેથી,$R$ એ $A$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(C) આપેલ છે કે $\theta_{1} = \theta_{2} = \theta$.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$x$-દિશામાં: $M V_{0} = M V_{1} \cos \theta + m V_{2} \cos \theta$
$y$-દિશામાં: $0 = M V_{1} \sin \theta - m V_{2} \sin \theta$
$y$-દિશાના સમીકરણ પરથી,આપણને $M V_{1} = m V_{2}$ મળે છે,તેથી $V_{2} = \frac{M V_{1}}{m}$.
આ કિંમતને $x$-દિશાના સમીકરણમાં મૂકતા: $M V_{0} = (M V_{1} + m \cdot \frac{M V_{1}}{m}) \cos \theta = 2 M V_{1} \cos \theta$,જે આપણને $V_{0} = 2 V_{1} \cos \theta$ આપે છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2} M V_{0}^{2} = \frac{1}{2} M V_{1}^{2} + \frac{1}{2} m V_{2}^{2}$
$V_{0} = 2 V_{1} \cos \theta$ અને $V_{2} = \frac{M V_{1}}{m}$ મૂકતા:
$M (4 V_{1}^{2} \cos^{2} \theta) = M V_{1}^{2} + m (\frac{M V_{1}}{m})^{2}$
$4 M \cos^{2} \theta = M + \frac{M^{2}}{m}$
$M$ વડે ભાગતા: $4 \cos^{2} \theta = 1 + \frac{M}{m}$
કારણ કે $\cos^{2} \theta \leq 1$,તેથી $1 + \frac{M}{m} \leq 4$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{M}{m} \leq 3$.
આમ,$M/m$ ગુણોત્તરનું મહત્તમ શક્ય મૂલ્ય $3$ છે.

(C) ધારો કે ગતિશીલ કણનું દળ $m_1 = m$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = u_0$ છે.
ધારો કે સ્થિર કણનું દળ $m_2 = 5m$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0$ છે.
હેડ-ઓન સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,બીજા કણનો અંતિમ વેગ $V_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V_2 = \frac{2m_1 u_1}{m_1 + m_2} = \frac{2m u_0}{m + 5m} = \frac{2m u_0}{6m} = \frac{u_0}{3}$.
સ્થિર કણમાં સ્થાનાંતરિત થયેલી ગતિઊર્જા એ તેની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{1}{2} m_2 V_2^2$ છે.
$K_2 = \frac{1}{2} (5m) \left(\frac{u_0}{3}\right)^2 = \frac{5}{2} m \frac{u_0^2}{9} = \frac{5}{18} m u_0^2$.
ગતિશીલ કણની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{1}{2} m u_0^2$ છે.
સ્થાનાંતરિત થયેલી ગતિઊર્જાની ટકાવારી $\frac{K_2}{K_1} \times 100$ છે.
$\frac{\frac{5}{18} m u_0^2}{\frac{1}{2} m u_0^2} \times 100 = \frac{5}{18} \times 2 \times 100 = \frac{5}{9} \times 100 = 55.55\% \approx 55.5\%$.

(B) દરેક બોલનું દળ,$m = 0.05\,kg$.
એક બોલનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 10\,m/s$.
અથડામણ પછી તે જ બોલનો અંતિમ વેગ,$v = -10\,m/s$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં પાછો ફરે છે).
એક બોલના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર,$\Delta P = m(v - u) = 0.05 \times (-10 - 10) = 0.05 \times (-20) = -1\,kg\cdot m/s$.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta P| = 1\,kg\cdot m/s$ છે.
લાગતું સરેરાશ બળ $F = \frac{|\Delta P|}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\Delta t = 0.005\,s$,તેથી $F = \frac{1}{0.005} = \frac{1000}{5} = 200\,N$.

(D) અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે $M$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_1$ છે,અને $M$ તથા $M/2$ ના અંતિમ વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$M u_1 = M v_1 + (M/2) v_2$
$u_1 = v_1 + v_2/2$
$2 u_1 = 2 v_1 + v_2$ ... $(i)$
ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ:
$(1/2) M u_1^2 = (1/2) M v_1^2 + (1/2) (M/2) v_2^2$
$u_1^2 = v_1^2 + v_2^2/2$
$2 u_1^2 = 2 v_1^2 + v_2^2$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$u_1 = (2 v_1 + v_2) / 2$. આ કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$2 ((2 v_1 + v_2) / 2)^2 = 2 v_1^2 + v_2^2$
$2 (4 v_1^2 + v_2^2 + 4 v_1 v_2) / 4 = 2 v_1^2 + v_2^2$
$(4 v_1^2 + v_2^2 + 4 v_1 v_2) / 2 = 2 v_1^2 + v_2^2$
$4 v_1^2 + v_2^2 + 4 v_1 v_2 = 4 v_1^2 + 2 v_2^2$
$4 v_1 v_2 = v_2^2$
અહીં $v_2 \neq 0$ હોવાથી,$v_2 = 4 v_1$ મળે.
તેથી,$M$ અને $M/2$ ના અંતિમ વેગનો ગુણોત્તર $x = v_1 / v_2 = 1 / 4$ થાય.

(D) ધારો કે અથડામણ પહેલાં $m$ દળના દડાનો વેગ $u$ છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $\frac{1}{2}mu^2 = mgh$, તેથી $u = \sqrt{2gh}$.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, ગતિ ઉર્જા અને રેખીય વેગમાન બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે અથડામણ પછી દડાનો વેગ (વિરુદ્ધ દિશામાં) $v_1$ છે અને બ્લોકનો વેગ $v_2$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણ: $mu = 2mv_2 - mv_1 \Rightarrow u = 2v_2 - v_1 \quad \dots (i)$
ગતિ ઉર્જા સંરક્ષણ: $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}(2m)v_2^2 \Rightarrow u^2 = v_1^2 + 2v_2^2 \quad \dots (ii)$
$(i)$ પરથી, $2v_2 = u + v_1$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$u^2 = v_1^2 + 2\left(\frac{u+v_1}{2}\right)^2 = v_1^2 + \frac{(u+v_1)^2}{2}$
$2u^2 = 2v_1^2 + u^2 + v_1^2 + 2uv_1$
$u^2 - 2uv_1 - 3v_1^2 = 0$
$(u - 3v_1)(u + v_1) = 0$
અહીં $v_1$ એ વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ હોવાથી, $v_1 = \frac{u}{3}$.
દડા દ્વારા પ્રાપ્ત નવી ઊંચાઈ $h'$ એ $mgh' = \frac{1}{2}mv_1^2$ દ્વારા મળે છે.
$h' = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{(u/3)^2}{2g} = \frac{u^2}{18g} = \frac{2gh}{18g} = \frac{h}{9}$.

(D) અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે,તેથી રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ:
$M V = M V^{\prime} + m v \implies M(V - V^{\prime}) = m v \dots (i)$
ગતિઊર્જાના સંરક્ષણ મુજબ:
$\frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} M V^{\prime 2} + \frac{1}{2} m v^2 \implies M(V^2 - V^{\prime 2}) = m v^2 \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{M(V^2 - V^{\prime 2})}{M(V - V^{\prime})} = \frac{m v^2}{m v}$
$\frac{(V - V^{\prime})(V + V^{\prime})}{(V - V^{\prime})} = v$
$V + V^{\prime} = v$
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $\text{2m}$ દળના દડાનો વેગ $\text{u}_0$ છે અને બે દડાઓની સિસ્ટમ સ્થિર છે. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી, ધારો કે $\text{2m}$ દળના દડાનો વેગ $\text{v}_1$ છે અને $\text{m}$ દળના પ્રથમ દડાનો વેગ $\text{v}_2$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\text{2m u}_0 = \text{2m v}_1 + \text{m v}_2 \implies \text{2u}_0 = \text{2v}_1 + \text{v}_2$.
અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી, પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $\text{e} = 1 = \frac{\text{v}_2 - \text{v}_1}{\text{u}_0} \implies \text{v}_2 - \text{v}_1 = \text{u}_0$.
આ બે સમીકરણો ઉકેલતા: $\text{v}_2 = \text{u}_0 + \text{v}_1$. આને વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા: $\text{2u}_0 = \text{2v}_1 + (\text{u}_0 + \text{v}_1) = \text{3v}_1 + \text{u}_0 \implies \text{3v}_1 = \text{u}_0 \implies \text{v}_1 = \frac{\text{u}_0}{3}$.
તેથી $\text{v}_2 = \text{u}_0 + \frac{\text{u}_0}{3} = \frac{\text{4u}_0}{3}$.
કંપન ઊર્જા એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ફ્રેમમાં બે-દડાની સિસ્ટમની ગતિ ઊર્જા છે. બે-દડાની સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\text{v}_{cm} = \frac{\text{m}(\text{v}_2) + \text{m}(0)}{\text{2m}} = \frac{\text{v}_2}{2} = \frac{\text{2u}_0}{3}$ છે.
કંપન ઊર્જા $\text{E}_v = \frac{1}{2} \mu \text{v}_{rel}^2$, જ્યાં $\mu = \frac{\text{m} \cdot \text{m}}{\text{m}+\text{m}} = \frac{\text{m}}{2}$ અને $\text{v}_{rel} = \text{v}_2 - 0 = \frac{\text{4u}_0}{3}$.
$\text{E}_v = \frac{1}{2} \left( \frac{\text{m}}{2} \right) \left( \frac{\text{4u}_0}{3} \right)^2 = \frac{\text{m}}{4} \cdot \frac{\text{16u}_0^2}{9} = \frac{\text{4mu}_0^2}{9}$.
$\text{2m}$ દળના દડાની પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $\text{K}_i = \frac{1}{2} (\text{2m}) \text{u}_0^2 = \text{mu}_0^2$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{\text{E}_v}{\text{K}_i} = \frac{\text{4mu}_0^2 / 9}{\text{mu}_0^2} = \frac{4}{9}$ થાય.

(D) ધારો કે કણ $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_A$ છે અને કણ $B$ નો વેગ $0$ છે. ધારો કે અંતિમ વેગ $v_A$ અને $v_B$ છે. આપેલ છે કે તેઓ સમાન ઝડપ સાથે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી $v_A = -v$ અને $v_B = v$ લો.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_A u_A = m_A (-v) + m_B v$
$m_A u_A = (m_B - m_A) v$ --- $(1)$
ગતિ ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ (સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ):
$\frac{1}{2} m_A u_A^2 = \frac{1}{2} m_A (-v)^2 + \frac{1}{2} m_B v^2$
$m_A u_A^2 = (m_A + m_B) v^2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{m_A u_A^2}{m_A u_A} = \frac{(m_A + m_B) v^2}{(m_B - m_A) v}$
$u_A = \frac{(m_A + m_B) v}{(m_B - m_A)}$
$u_A$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$m_A \left[ \frac{(m_A + m_B) v}{(m_B - m_A)} \right] = (m_B - m_A) v$
$m_A (m_A + m_B) = (m_B - m_A)^2$
$m_A^2 + m_A m_B = m_B^2 - 2 m_A m_B + m_A^2$
$3 m_A m_B = m_B^2$
$3 m_A = m_B$

(B) સપાટી પર લાગતું બળ એ દડાઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે。
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક અને લંબરૂપે હોવાથી, દરેક દડાનો વેગ $u$ થી બદલાઈને $-u$ થાય છે。
એક દડા માટે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m(-u) - mu = -2mu$ છે。
એક દડા માટે વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta p| = 2mu$ છે。
એકમ સમયમાં $n$ દડાઓ સપાટી પર અથડાતા હોવાથી, વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો કુલ દર $F = n \times |\Delta p|$ છે。
તેથી, સપાટી પર લાગતું બળ $F = 2mun$ છે。

(B) બે ગોળાઓ વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન,આઘાતી બળ તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા ($SR$ રેખા) પર લાગે છે.
આ બળને કારણે બંને પદાર્થોના વેગમાનમાં $SR$ રેખાની દિશામાં ફેરફાર થાય છે.
જોકે,$SR$ રેખાને લંબ દિશામાં કોઈ આઘાતી બળ લાગતું નથી.
તેથી,દરેક પદાર્થનું $SR$ રેખાને લંબ વેગમાનનો ઘટક બદલાતો નથી (સંરક્ષિત રહે છે).
આમ,$M_1$ નું વેગમાન $SR$ ને લંબ દિશામાં સંરક્ષિત રહે છે.

(D) અથડામણ પહેલાં દડાના વેગને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta$ અને શિરોલંબ ઘટક $u_y = -u \sin \theta$ (નીચેની દિશાને ઋણ લેતા).
સપાટી લીસી હોવાથી,સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ આઘાત લાગતો નથી,તેથી સમક્ષિતિજ વેગ બદલાતો નથી: $v_x = u \cos \theta$.
શિરોલંબ દિશામાં,પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ એ લંબ દિશામાં અલગ થવાના વેગ અને નજીક આવવાના વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $e = \frac{v_y}{u_y}$.
આમ,અથડામણ પછીનો શિરોલંબ વેગ $v_y = e u \sin \theta$ (ઉપરની તરફ) છે.
સપાટી દ્વારા દડા પર આપવામાં આવેલ આઘાત $I$ એ દડાના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે: $\vec{I} = m(\vec{v} - \vec{u})$.
સમક્ષિતિજ વેગમાનમાં કોઈ ફેરફાર થતો ન હોવાથી,આઘાત માત્ર શિરોલંબ દિશામાં જ હોય છે: $I = m(v_y - u_y) = m(e u \sin \theta - (-u \sin \theta)) = m u(1+e) \sin \theta$.
દડા દ્વારા સપાટી પર આપવામાં આવેલા આઘાતનું મૂલ્ય એ સપાટી દ્વારા દડા પર આપવામાં આવેલા આઘાતના મૂલ્ય જેટલું જ હોય છે,જે $m u(1+e) \sin \theta$ છે.

(D) સમાન દળ $(m_1 = m_2)$ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેના સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,જો એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય અને સંઘાત ત્રાંસો હોય,તો બંને પદાર્થો એકબીજા સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે ગતિ કરે છે,વિરુદ્ધ દિશામાં નહીં. તેથી,વિધાન $(d)$ ખોટું છે.
$(a)$ માટે: જ્યારે $m_1 \ll m_2$ હોય,ત્યારે વેગમાનનું સ્થાનાંતર મહત્તમ હોય છે.
$(c)$ માટે: જ્યારે $m_1 = m_2$ હોય અને $m_2$ સ્થિર હોય,ત્યારે પ્રથમ દડો સ્થિર થઈ જાય છે અને બીજો દડો પ્રથમ દડાના પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરે છે,જેના પરિણામે $100\%$ ગતિઊર્જાનું સ્થાનાંતર થાય છે.

(B) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક હેડ-ઓન અથડામણમાં,પ્રથમ દળ $m_1$ નો અંતિમ વેગ $v_1$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_1 = \frac{(m_1 - m_2)u_1}{m_1 + m_2}$
જ્યાં $u_1$ એ $m_1$ નો પ્રારંભિક વેગ છે અને $m_2$ શરૂઆતમાં સ્થિર છે $(u_2 = 0)$.
પ્રશ્ન મુજબ,દળ $m_1$ પાછું ફરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો અંતિમ વેગ $v_1$ તેના પ્રારંભિક વેગ $u_1$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. તેથી,$v_1$ ઋણ હોવું જોઈએ.
$v_1$ ઋણ હોવા માટે,અંશ $(m_1 - m_2)$ ઋણ હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $m_1 - m_2 < 0$ અથવા $m_1 < m_2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે અથડામણ પછી બ્લોક્સના વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે.
પ્રારંભિક વેગમાન = $mv + (2m)(0) = mv$.
અંતિમ વેગમાન = $m(0) + (2m)v_2 = 2mv_2$.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv = 2mv_2$,જે આપણને $v_2 = v/2$ આપે છે.
રિસ્ટિટ્યુશન ગુણાંક $e$ એ અલગ થવાના વેગ અને નજીક આવવાના વેગનો ગુણોત્તર છે.
નજીક આવવાનો વેગ = $v - 0 = v$.
અલગ થવાનો વેગ = $v_2 - 0 = v_2 = v/2$.
તેથી,$e = \frac{v/2}{v} = 0.5$.

(B) વિધાન $(A)$ સાચું છે. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણની વ્યાખ્યા મુજબ,ગતિઊર્જા અને રેખીય વેગમાન બંને સંરક્ષિત રહે છે. $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,જેમના પ્રારંભિક વેગ $u_1$ અને $u_2$ તથા અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે,પુનઃપ્રાપ્તિ ગુણાંક $e$ ને $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે $e = 1$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $v_2 - v_1 = u_1 - u_2$. આ પુષ્ટિ કરે છે કે અથડામણ પછી અલગ થવાની સાપેક્ષ ઝડપ એ અથડામણ પહેલાં નજીક આવવાની સાપેક્ષ ઝડપ જેટલી જ હોય છે.
કારણ $(R)$ પણ સાચું છે. કોઈપણ અથડામણમાં (સ્થિતિસ્થાપક કે અસ્થિતિસ્થાપક),જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
જો કે,માત્ર રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ એ સમજાવતું નથી કે સાપેક્ષ ઝડપ શા માટે અચળ રહે છે; આ ગુણધર્મ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં ગતિઊર્જાના સંરક્ષણનું પરિણામ છે. તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) ધારો કે $m_1 = 1\,kg$,$m_2 = 3\,kg$,$u_1$ એ $1\,kg$ દળના પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ છે,અને $u_2 = 0$ એ $3\,kg$ દળના પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ છે.
અથડામણ પછી,$1\,kg$ દળના પદાર્થનો વેગ $v_1 = -2\,m/s$ છે (કારણ કે તે દિશા ઉલટાવે છે).
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$1(u_1) + 3(0) = 1(-2) + 3(v_2)$
$u_1 = -2 + 3v_2 \quad \dots(1)$
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,રેસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$ છે:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = 1$
$1 = \frac{v_2 - (-2)}{u_1 - 0} \Rightarrow u_1 = v_2 + 2 \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $v_2 = u_1 - 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$u_1 = -2 + 3(u_1 - 2)$
$u_1 = -2 + 3u_1 - 6$
$2u_1 = 8$
$u_1 = 4\,m/s$.

(C) $1$. દડો $P$ એ $h = 20\,cm = 0.2\,m$ ઊંચાઈ પરથી નીચે સરકે છે.
$2$. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાં દડા $P$ નો વેગ $v_P = \sqrt{2gh}$ દ્વારા મળે છે.
$3$. કિંમતો મૂકતા: $v_P = \sqrt{2 \times 10 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2\,m/s$.
$4$. અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને બંને દડાના દળ સમાન હોવાથી,અથડામણ પછી વેગની અદલાબદલી થાય છે.
$5$. અથડામણ પહેલાં,દડા $P$ નો વેગ $v_P = 2\,m/s$ છે અને દડો $Q$ સ્થિર છે $(v_Q = 0)$.
$6$. અથડામણ પછી,દડો $P$ સ્થિર થઈ જાય છે $(v_P' = 0)$ અને દડો $Q$ તે વેગ સાથે ગતિ કરે છે જે અથડામણ પહેલાં દડા $P$ નો હતો $(v_Q' = v_P = 2\,m/s)$.

(B) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંને સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થોના પ્રારંભિક વેગ $u_1$ અને $u_2$ છે, અને અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$ => $m_1(u_1 - v_1) = m_2(v_2 - u_2)$ (સમીકરણ $1$).
ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ: $\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2$ => $m_1(u_1^2 - v_1^2) = m_2(v_2^2 - u_2^2)$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ વડે ભાગતા: $u_1 + v_1 = v_2 + u_2$ => $u_1 - u_2 = v_2 - v_1$.
આ દર્શાવે છે કે અભિગમનો સાપેક્ષ વેગ $(u_1 - u_2)$ એ અલગીકરણના સાપેક્ષ વેગ $(v_2 - v_1)$ જેટલો છે. આમ, $\text{વિધાન}-1$ સાચું છે.
$\text{વિધાન}-2$ પણ સાચું છે કારણ કે બાહ્ય બળોની ગેરહાજરીમાં કોઈપણ અથડામણમાં (સ્થિતિસ્થાપક કે અસ્થિતિસ્થાપક) રેખીય વેગમાન હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે. જોકે, સાપેક્ષ ઝડપના ગુણધર્મને તારવવા માટે માત્ર વેગમાનનું સંરક્ષણ પૂરતું નથી; ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ જરૂરી છે. તેથી, $\text{વિધાન}-2$ એ $\text{વિધાન}-1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને દળ સમાન હોવાથી,દરેક અથડામણ પછી કણોના વેગની અદલાબદલી થશે.
ધારો કે કણો $t$ સમયે બિંદુ $A$ થી $\theta$ ખૂણે અથડાય છે.
પ્રથમ કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $R\theta = vt$ છે.
બીજા કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $R(2\pi - \theta) = 2vt$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{\theta}{2\pi - \theta} = \frac{vt}{2vt} = \frac{1}{2}$.
આનાથી $2\theta = 2\pi - \theta$ મળે છે,તેથી $3\theta = 2\pi$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$.
$120^{\circ}$ પર પ્રથમ અથડામણ પછી,વેગની અદલાબદલી થાય છે. જે કણનો વેગ $v$ હતો તેનો વેગ હવે $2v$ થાય છે,અને જેનો વેગ $2v$ હતો તેનો વેગ $v$ થાય છે.
તેઓ એકબીજાની સાપેક્ષમાં બીજા $120^{\circ}$ કાપ્યા પછી ફરીથી અથડાશે,જે બિંદુ $A$ થી $240^{\circ}$ ના ખૂણે થાય છે.
આ બીજી અથડામણ પછી,વેગ ફરીથી બદલાય છે. ત્યારબાદ કણો બિંદુ $A$ પર પહોંચવા માટે બાકીના $120^{\circ}$ નું અંતર એકસાથે કાપશે.
આમ,તેઓ $2$ અથડામણો પછી બિંદુ $A$ પર પહોંચશે.

(A) જ્યારે સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક એક-પરિમાણીય અથડામણ અનુભવે છે,ત્યારે તેઓ તેમના વેગની આપ-લે કરે છે.
શરૂઆતમાં,$v_{A} = 5 \ m/s$,$v_{B} = 2 \ m/s$,અને $v_{C} = 4 \ m/s$ છે.
પ્રથમ,ગોળો $A$ એ ગોળા $B$ સાથે અથડાય છે. સમાન દળ હોવાથી,તેઓ વેગની આપ-લે કરે છે: $v_{A}' = 2 \ m/s$ અને $v_{B}' = 5 \ m/s$.
હવે,ગોળો $B$ ($5 \ m/s$ ના વેગથી ગતિ કરતો) ગોળા $C$ ($4 \ m/s$ ના વેગથી ગતિ કરતો) સાથે અથડાય છે. તેઓ વેગની આપ-લે કરે છે: $v_{B}'' = 4 \ m/s$ અને $v_{C}' = 5 \ m/s$.
આમ,અંતિમ વેગ $v_{A} = 2 \ m/s$,$v_{B} = 4 \ m/s$,અને $v_{C} = 5 \ m/s$ છે.
વિધાન $(A)$ જણાવે છે કે અંતિમ વેગ $4 \ m/s, 2 \ m/s, 5 \ m/s$ છે,જે ખોટું છે.
કારણ $(R)$ એક સાચો ભૌતિક સિદ્ધાંત છે.
તેથી,$(A)$ ખોટું છે પણ $(R)$ સાચું છે.

(B) ધારો કે દીવાલનો વેગ $v_w = 20 \ m/s$ (જમણી તરફ,ધન દિશા) છે.
અથડામણ પહેલાં દડાનો વેગ $u = -10 \ m/s$ (ડાબી તરફ,ઋણ દિશા) છે.
દડાનું દળ $m = 500 \ g = 0.5 \ kg$ છે.
$v_w$ વેગથી ગતિ કરતી વિશાળ દીવાલ સાથેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,અથડામણ પછી દડાનો વેગ $v = 2v_w - u$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = 2(20) - (-10) = 40 + 10 = 50 \ m/s$.
દડાની ગતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta KE = KE_f - KE_i = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$ છે.
$\Delta KE = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (50^2 - (-10)^2) = 0.25 \times (2500 - 100) = 0.25 \times 2400 = 600 \ J$.

(C) બે સમાન દળ $(m_1 = m_2 = m)$ વચ્ચેની દ્વિ-પરિમાણીય સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જ્યાં એક દળ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય છે,રેખીય વેગમાન અને ગતિ ઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ બંને કણોના અંતિમ વેગ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.
આપેલ છે કે $\theta_1 = 30^{\circ}$,તેથી આપણે જાણીએ છીએ કે $\theta_1 + \theta_2 = 90^{\circ}$.
તેથી,$\theta_2 = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

(B) $2m$ દળના કણનો પ્રારંભિક વેગ $v_1$ અને $2m$ તથા $m$ દળના કણોના અંતિમ વેગ અનુક્રમે $v_{1f}$ અને $v_{2f}$ છે,જે $\theta$ અને $\phi$ ખૂણે છે.
$x$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$2mv_1 = 2mv_{1f} \cos \theta + mv_{2f} \cos \phi$ ---$(i)$
$y$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$0 = 2mv_{1f} \sin \theta - mv_{2f} \sin \phi \implies 2mv_{1f} \sin \theta = mv_{2f} \sin \phi$ ---(ii)
ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ:
$\frac{1}{2}(2m)v_1^2 = \frac{1}{2}(2m)v_{1f}^2 + \frac{1}{2}mv_{2f}^2 \implies 2v_1^2 = 2v_{1f}^2 + v_{2f}^2$ ---(iii)
$(i)$ અને (ii) પરથી,$mv_{2f} \cos \phi = 2m(v_1 - v_{1f} \cos \theta)$ અને $mv_{2f} \sin \phi = 2mv_{1f} \sin \theta$.
બંનેનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(mv_{2f})^2 = 4m^2(v_1^2 + v_{1f}^2 - 2v_1v_{1f} \cos \theta)$.
(iii) પરથી $v_{2f}^2 = 2v_1^2 - 2v_{1f}^2$ મૂકતા:
$m^2(2v_1^2 - 2v_{1f}^2) = 4m^2(v_1^2 + v_{1f}^2 - 2v_1v_{1f} \cos \theta)$.
$v_1^2 - v_{1f}^2 = 2v_1^2 + 2v_{1f}^2 - 4v_1v_{1f} \cos \theta$.
$3v_{1f}^2 - (4v_1 \cos \theta)v_{1f} + v_1^2 = 0$.
$v_{1f}$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$:
$(4v_1 \cos \theta)^2 - 4(3)(v_1^2) \geq 0 \implies 16v_1^2 \cos^2 \theta - 12v_1^2 \geq 0$.
$\cos^2 \theta \geq \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \implies \cos \theta \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$\theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ છે.

$(A)$ $\text{હેડ-ઓન સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,નજીક આવવાનો સાપેક્ષ વેગ એ દૂર જવાનો સાપેક્ષ વેગ જેટલો હોય છે.}$
$\text{ધારો કે બે કણોના દળ } m_1 \text{ અને } m_2 \text{ છે।}$
$\text{પ્રારંભિક વેગ } u_1 = 5 \,m/s \text{ અને } u_2 = 3 \,m/s \text{ છે।}$
$\text{અંતિમ વેગ } v_1 = 4 \,m/s \text{ અને } v_2 = ? \text{ છે।}$
$\text{નજીક આવવાનો સાપેક્ષ વેગ } u_1 - u_2 = 5 - 3 = 2 \,m/s \text{ છે।}$
$\text{દૂર જવાનો સાપેક્ષ વેગ } v_2 - v_1 = v_2 - 4 \text{ છે।}$
$\text{અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,} u_1 - u_2 = v_2 - v_1$.
$\text{કિંમતો મૂકતા: } 2 = v_2 - 4$.
$\text{તેથી,} v_2 = 2 + 4 = 6 \,m/s$.
$\text{પરિણામ ધન હોવાથી,બીજો કણ સમાન દિશામાં ગતિ કરે છે।}$

(B) ધારો કે બંને ગોળાઓનું દળ $m$ છે. પ્રથમ ગોળાનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 3u$ અને બીજા ગોળાનો વેગ $u_2 = 0$ છે.
ધારો કે અથડામણ પછી પ્રથમ અને બીજા ગોળાના વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m(3u) + m(0) = mv_1 + mv_2$,જેનું સાદું રૂપ $v_1 + v_2 = 3u$ થાય છે (સમીકરણ $1$).
પુનઃપ્રાપ્તિ ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા મુજબ: $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{v_2 - v_1}{3u - 0}$,જે આપણને $v_2 - v_1 = 3ue$ આપે છે (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $2v_2 = 3u(1 + e) \implies v_2 = \frac{3u(1 + e)}{2}$.
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $2v_1 = 3u(1 - e) \implies v_1 = \frac{3u(1 - e)}{2}$.
બીજા ગોળાના વેગ અને પહેલા ગોળાના વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \frac{3u(1 + e) / 2}{3u(1 - e) / 2} = \frac{1 + e}{1 - e}$ થાય છે.

(A) ધારો કે $m$ દળનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને $M$ દળનો પ્રારંભિક વેગ $0$ છે。
ધારો કે અથડામણ પછી $m$ દળનો અંતિમ વેગ $v_1$ છે અને $M$ દળનો અંતિમ વેગ $v_2$ છે。
આપેલ છે કે અથડામણ પછી $m$ દળનો કણ અટકી જાય છે,તેથી $v_1 = 0$。
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mu + M(0) = m(0) + Mv_2$。
આ સમીકરણ $mu = Mv_2$ થાય છે,તેથી $v_2 = \frac{mu}{M}$。
રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ છે。
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $e = \frac{\frac{mu}{M} - 0}{u - 0} = \frac{mu/M}{u} = \frac{m}{M}$。

(B) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે બંને દડાનું દળ $m$ છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v^2 + 0 = \frac{1}{2} m v^2$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m (v/3)^2 + \frac{1}{2} m v_2'^2$,જ્યાં $v_2'$ એ બીજા દડાની ઝડપ છે.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,$K_i = K_f$.
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (v^2/9) + \frac{1}{2} m v_2'^2$.
$\frac{1}{2} m$ વડે ભાગતા,આપણને $v^2 = \frac{v^2}{9} + v_2'^2$ મળે છે.
$v_2'^2 = v^2 - \frac{v^2}{9} = \frac{8v^2}{9}$.
તેથી,$v_2' = \sqrt{\frac{8}{9}} v = \frac{2\sqrt{2}}{3} v$.

(B) $m_1$ અને $m_2$ દળના બે પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,વેગમાન અને ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ મળે છે.
અહીં આપેલ છે કે અથડામણ પછી પદાર્થો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે,એટલે કે $m_1$ એ $v_2$ વેગથી અને $m_2$ એ $v_1$ વેગથી ગતિ કરે છે. આ ગુણધર્મ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે બંને પદાર્થોના દળ સમાન હોય.
જો $m_1 = m_2$ હોય,તો અથડામણ પછી પદાર્થો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{m_2}{m_1} = 1$ થાય.

(C) સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v_{a}$ અને $-v_{b}$ છે (કારણ કે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે).
સંઘાત પછી,વેગ અનુક્રમે $-v_{b}$ અને $v_{a}$ થાય છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_{a}v_{a} - m_{b}v_{b} = m_{a}(-v_{b}) + m_{b}v_{a}$
પદોને ગોઠવતા:
$m_{a}v_{a} + m_{a}v_{b} = m_{b}v_{a} + m_{b}v_{b}$
$m_{a}(v_{a} + v_{b}) = m_{b}(v_{a} + v_{b})$
અહીં $(v_{a} + v_{b}) \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $(v_{a} + v_{b})$ વડે ભાગતા:
$m_{a} = m_{b}$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{m_{a}}{m_{b}} = 1$ થાય છે.

(A) સ્થિર દીવાલ સાથેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,અણુ સમાન ઝડપ $v$ થી વિરુદ્ધ દિશામાં પાછો ફરે છે.
એક અથડામણમાં અણુના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર = $mv - (-mv) = 2mv$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,એક અથડામણમાં દીવાલના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ અણુના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,જે $2mv$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ $5$ અથડામણો થતી હોવાથી,દીવાલના વેગમાનમાં પ્રતિ સેકન્ડ થતો કુલ ફેરફાર $5 \times 2mv = 10mv$ થશે.

(B) પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક $e$ એ અલગ થવાના સાપેક્ષ વેગ અને નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,ગતિ ઊર્જા અને વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
આવી અથડામણમાં,અલગ થવાનો સાપેક્ષ વેગ એ નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગ જેટલો જ હોય છે.
તેથી,$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = 1$.

(B) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,અથડામણ પહેલાની કુલ ગતિઊર્જા એ અથડામણ પછીની કુલ ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે.
ધારો કે અથડામણ પછી બીજા બ્લોકની ઝડપ $v_2$ છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}m(0)^2 = \frac{1}{2}mv^2$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2$.
$KE_i = KE_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2$
$\frac{1}{2}m$ વડે ભાગતા:
$v^2 = v_1^2 + v_2^2$
$v_2^2 = v^2 - v_1^2$
$v_2 = \sqrt{v^2 - v_1^2}$.

(C) ધારો કે $m_1$ દળનો પ્રારંભિક વેગ $v_1$ છે અને $m_2$ દળનો અંતિમ વેગ $v_2$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$m_1$ દળનો અંતિમ વેગ $v_1' = \frac{v_1}{1.5} = \frac{2}{3} v_1$ છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ ધારતા,રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$ છે.
રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંકનું સૂત્ર $e = \frac{v_2 - v_1'}{v_1 - 0}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1 = \frac{v_2 - \frac{2}{3}v_1}{v_1} \implies v_2 = v_1 + \frac{2}{3}v_1 = \frac{5}{3}v_1$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2$.
વેગની કિંમતો મૂકતા: $m_1 v_1 = m_1 (\frac{2}{3} v_1) + m_2 (\frac{5}{3} v_1)$.
પદોને ગોઠવતા: $m_1 v_1 - \frac{2}{3} m_1 v_1 = m_2 \frac{5}{3} v_1$.
$\frac{1}{3} m_1 v_1 = \frac{5}{3} m_2 v_1$.
તેથી,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{5}{1}$.

(C) $I$. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તંત્રની કુલ ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે,એટલે કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ અંતિમ ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે.
$II$. જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય,તો તમામ પ્રકારની અથડામણો (સ્થિતિસ્થાપક કે અસ્થિતિસ્થાપક) માં રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
$III$. અથડામણના સમયગાળા $\Delta t$ દરમિયાન,પદાર્થો વિકૃત થાય છે અને ગતિઊર્જાનો કેટલોક ભાગ કામચલાઉ રીતે સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી,અથડામણની પ્રક્રિયા દરમિયાન ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.
$\therefore$ ત્રણેય વિધાનો સાચા છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ ગોળાનું દળ $m_1$ અને બીજા ગોળાનું દળ $m_2$ છે. બંને સ્ટીલના ગોળા હોવાથી તેમની ઘનતા $\rho$ સમાન છે. તેથી,$m = \rho V = \rho (\frac{4}{3} \pi r^3)$.
આમ,$m_1 \propto r_1^3$ અને $m_2 \propto r_2^3$.
એક પરિમાણમાં સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે જ્યાં બીજો પદાર્થ સ્થિર હોય,પ્રથમ પદાર્થનો અંતિમ વેગ $v_1'$ એ $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $v_1' = \frac{7}{9} v_1$,તેથી $\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{7}{9}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $9m_1 - 9m_2 = 7m_1 + 7m_2$.
$2m_1 = 16m_2 \implies m_1 = 8m_2$.
$m \propto r^3$ હોવાથી,$r_1^3 = 8r_2^3$.
ઘનમૂળ લેતા: $r_1 = 2r_2$.
$r_1 = 1.2 \ cm$ આપેલ હોવાથી,$1.2 = 2r_2 \implies r_2 = 0.6 \ cm$.

(A) સમાન દળ $(m_1 = m_2 = m)$ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,પદાર્થો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે.
આપેલ છે:
$u_1 = 20 \ ms^{-1}$
$u_2 = -30 \ ms^{-1}$ (વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે)
સમાન દળની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણના ગુણધર્મ મુજબ:
$v_1 = u_2 = -30 \ ms^{-1}$
$v_2 = u_1 = 20 \ ms^{-1}$
આમ,અથડામણ પછી પ્રથમ પદાર્થનો વેગ $-30 \ ms^{-1}$ અને બીજા પદાર્થનો વેગ $20 \ ms^{-1}$ છે.

(A) અથડામણ પહેલાં અને પછી રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$M(150) + 2M(-v) = M(0) + 2M(v')$ (દડા $A$ ની દિશાને ધન લેતા)
$150 - 2v = 2v'$
$v' = 75 - v \dots (1)$
હવે,રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ નીચે મુજબ છે:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = 1$
$1 = \frac{v' - 0}{150 - (-v)}$
$150 + v = v' \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$75 - v = 150 + v$
$2v = -75$
ઝડપ (મૂલ્ય) શોધતા,આપણને $37.5 \ m \ s^{-1}$ મળે છે.

(B) સમાન દળ ધરાવતા બે કણો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક હેડ-ઓન અથડામણમાં,કણો તેમના વેગની આપ-લે કરે છે. તેથી,આપાત કણનો વેગ $0$ થઈ જાય છે અને સ્થિર કણ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે.
આપાત કણના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m(v - 0) = mv$ છે.
ઈમ્પલ્સ-મોમેન્ટમ પ્રમેય મુજબ,ઈમ્પલ્સ ($F-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ) એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$\text{Area} = \Delta p = mv$.
આપેલ સમલંબ ચતુષ્કોણ $F-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \left( T + \left( \frac{3T}{4} - \frac{T}{4} \right) \right) \times F_0$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \left( T + \frac{2T}{4} \right) \times F_0 = \frac{1}{2} \times \left( T + \frac{T}{2} \right) \times F_0 = \frac{1}{2} \times \left( \frac{3T}{2} \right) \times F_0 = \frac{3T F_0}{4}$.
ક્ષેત્રફળને વેગમાનના ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$\frac{3T F_0}{4} = mv$
$F_0 = \frac{4mv}{3T}$.

(A) રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $(e)$ એ બે અથડાતી વસ્તુઓ વચ્ચેના અલગ થવાના સાપેક્ષ વેગ અને નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{\text{અલગ થવાનો સાપેક્ષ વેગ}}{\text{નજીક આવવાનો સાપેક્ષ વેગ}}$.
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,ગતિ ઊર્જા અને વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે અલગ થવાનો સાપેક્ષ વેગ એ નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગ જેટલો જ હોય છે.
તેથી,સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે $e = 1$ થાય છે.
સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે $e = 0$ અને અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે $0 < e < 1$ હોય છે.

(C) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા અને કુલ રેખીય વેગમાન બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
વધુમાં,તમામ પ્રકારની અથડામણોમાં તંત્રની કુલ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.

(C) આપેલ છે: $m_1 = 2 \ kg$,$m_2 = 4 \ kg$,$u_1 = 10 \ ms^{-1}$,$u_2 = -10 \ ms^{-1}$.
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$2(10) + 4(-10) = 2v_1 + 4v_2$
$20 - 40 = 2v_1 + 4v_2$
$-20 = 2v_1 + 4v_2 \Rightarrow v_1 + 2v_2 = -10 \quad \dots (i)$
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,પુનઃપ્રાપ્તિ ગુણાંક $e = 1$ હોય છે,તેથી અલગ થવાનો વેગ એ અભિગમ વેગ (velocity of approach) જેટલો હોય છે:
$v_2 - v_1 = u_1 - u_2$
$v_2 - v_1 = 10 - (-10) = 20 \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(v_1 + 2v_2) + (v_2 - v_1) = -10 + 20$
$3v_2 = 10 \Rightarrow v_2 = \frac{10}{3} \ ms^{-1}$
$v_2$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{10}{3} - v_1 = 20$
$v_1 = \frac{10}{3} - 20 = \frac{10 - 60}{3} = -\frac{50}{3} \ ms^{-1}$
આમ,અંતિમ વેગ $v_1 = -\frac{50}{3} \ ms^{-1}$ અને $v_2 = \frac{10}{3} \ ms^{-1}$ છે.