Elastic Collision Questions in Gujarati

(D) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,સંઘાત પછી પ્રથમ પદાર્થ $(m_1 = m)$ નો વેગ $(v_1)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 + \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right) u_2$
અહીં $m_1 = m$,$m_2 = 2m$,$u_1 = v$,અને $u_2 = 0$ આપેલ છે:
$v_1 = \left( \frac{m - 2m}{m + 2m} \right) v + 0 = \left( \frac{-m}{3m} \right) v = -\frac{v}{3}$
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(KE_i)$ = $\frac{1}{2} mv^2$
અંતિમ ગતિઊર્જા $(KE_f)$ = $\frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m \left( -\frac{v}{3} \right)^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{v^2}{9} \right) = \frac{1}{18} mv^2$
$KE_i$ અને $KE_f$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{KE_i}{KE_f} = \frac{\frac{1}{2} mv^2}{\frac{1}{18} mv^2} = \frac{1/2}{1/18} = \frac{18}{2} = 9$
આમ,ગુણોત્તર $9 : 1$ છે.

(A) સમાન દળ $(m_1 = m_2 = m)$ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની હેડ-ઓન સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,પદાર્થો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u_1$ અને $u_2$ છે,અને અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે.
વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2$,જેનું સાદું રૂપ $u_1 + u_2 = v_1 + v_2$ થાય છે.
સમાન દળ માટે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણના ગુણધર્મ મુજબ: $v_1 = u_2$ અને $v_2 = u_1$.
અહીં અંતિમ વેગ $v_1 = +3\,m/s$ અને $v_2 = -2\,m/s$ આપેલ છે.
તેથી,પ્રારંભિક વેગ $u_1 = v_2 = -2\,m/s$ અને $u_2 = v_1 = +3\,m/s$ થશે.

(C) $1$. બ્લોક $A$ અને બ્લોક $B$ વચ્ચેની પ્રથમ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન:
$V_A = \left(\frac{M-m}{M+m}\right)u$
$V_B = \left(\frac{2M}{M+m}\right)u$
$2$. અથડામણ પછી,બ્લોક $B$ બ્લોક $C$ તરફ ગતિ કરે છે અને સ્પ્રિંગને સંકોચે છે. મહત્તમ સંકોચનના સમયે,બ્લોક $B$ અને $C$ ના વેગ સમાન થઈ જાય છે (ધારો કે આ વેગ $v$ છે).
$3$. બ્લોક $B$ અને $C$ ની સિસ્ટમ માટે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m V_B = (m + m)v$
$m \left(\frac{2M}{M+m}\right)u = 2mv$
$v = \left(\frac{M}{M+m}\right)u$
$4$. બ્લોક $A$ ની સાપેક્ષમાં બ્લોક $C$ નો વેગ:
$V_{CA} = V_C - V_A = v - V_A$
$V_{CA} = \left(\frac{M}{M+m}\right)u - \left(\frac{M-m}{M+m}\right)u$
$V_{CA} = \left(\frac{M - M + m}{M+m}\right)u = \left(\frac{m}{M+m}\right)u$

(B) સમાન દળ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જો આવતા પદાર્થોની સંખ્યા બહાર જતા પદાર્થોની સંખ્યા જેટલી હોય,તો અથડાતો પદાર્થ સ્થિર થઈ જાય છે અને તેનો વેગ સ્થિર પદાર્થને સ્થાનાંતરિત કરે છે.
અહીં,$2$ દડા $v$ વેગથી ગતિ કરી રહ્યા છે અને $6$ સમાન સ્થિર દડાઓની હાર સાથે અથડાય છે.
રેખીય વેગમાન અને ગતિ ઊર્જાના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,$2$ આવતા દડા સ્થિર થઈ જશે અને હારના જમણા છેડેથી $2$ દડા સમાન વેગ $v$ સાથે બહાર નીકળશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અને કુલ ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
જોકે તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા અચળ રહે છે,પરંતુ અથડામણ દરમિયાન ઊર્જાની આપ-લે થવાને કારણે વ્યક્તિગત કણોની ગતિઊર્જા બદલાઈ શકે છે.
તેથી,બંને કણોની કુલ ગતિઊર્જા એ સંરક્ષિત રાશિ છે.

(A) સમાન દળ $(m_1 = m_2 = m)$ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેના હેડ-ઓન સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,તેમના વેગની અદલાબદલી થાય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u_1$ અને $u_2$ છે,અને અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે.
સમાન દળ ધરાવતા એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતના ગુણધર્મો મુજબ,$v_1 = u_2$ અને $v_2 = u_1$ થાય છે.
અહીં અંતિમ વેગ $v_1 = +3 \, m/s$ અને $v_2 = -2 \, m/s$ આપેલા છે.
તેથી,પ્રારંભિક વેગ $u_1 = v_2 = -2 \, m/s$ અને $u_2 = v_1 = +3 \, m/s$ હોવા જોઈએ.
આમ,મૂળ વેગ $-2 \, m/s$ અને $+3 \, m/s$ છે.

(C) લિફ્ટ સાથે અથડાતા પહેલા દડાની ઝડપ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g = 9.8\, m/s^2$ અને $h = 10\, m$ લેતા,આપણને $v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 10} = \sqrt{196} = 14\, m/s$ મળે છે.
ધારો કે નીચેની દિશા ધન છે. અથડામણ પહેલા દડાનો વેગ $u_1 = 14\, m/s$ છે અને લિફ્ટનો વેગ $u_2 = 1\, m/s$ છે.
લિફ્ટનું દળ દડાના દળ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી $(M_{lift} \gg M_{ball})$,આ અથડામણ અસરકારક રીતે $u_2$ વેગથી ગતિ કરતી સ્થિર દીવાલ સાથેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ છે.
અથડામણ પછી દડાનો વેગ $v_1$ એ સૂત્ર $v_1 = 2u_2 - u_1$ (જમીનની સાપેક્ષમાં) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_1 = 2(1) - 14 = 2 - 14 = -12\, m/s$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે દડો $12\, m/s$ ની ઝડપે ઉપરની તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે.

(D) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી પ્રથમ પદાર્થનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{1} = \left(\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) u_{1} + \frac{2 m_{2} u_{2}}{m_{1}+m_{2}}$
અહીં $m_{1} = m$,$m_{2} = 2m$,$u_{1} = v$,અને $u_{2} = 0$ છે:
$v_{1} = \left(\frac{m - 2m}{m + 2m}\right) v + \frac{2(2m)(0)}{3m} = \left(\frac{-m}{3m}\right) v = -\frac{v}{3}$
પ્રથમ પદાર્થની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા: $KE_{i} = \frac{1}{2} mv^{2}$
પ્રથમ પદાર્થની અંતિમ ગતિઊર્જા: $KE_{f} = \frac{1}{2} m\left(-\frac{v}{3}\right)^{2} = \frac{1}{2} m \left(\frac{v^{2}}{9}\right) = \frac{KE_{i}}{9}$
$KE_{i}$ અને $KE_{f}$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{KE_{i}}{KE_{f}} = \frac{KE_{i}}{KE_{i}/9} = 9$
આમ,ગુણોત્તર $9 : 1$ છે.

(B) ધારો કે $m_1$ એ ભારે વસ્તુનું દળ છે અને $m_2$ એ નાની વસ્તુનું દળ છે. આપેલ છે કે $m_1 \gg m_2$.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને વસ્તુ $m_1$ ખૂબ જ ભારે હોવાથી,તે અથડામણ પછી પણ તેના પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 30\, m/s$ થી ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,રેસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$ છે.
રેસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંકનું સૂત્ર $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ છે,જ્યાં $u_1 = 30\, m/s$,$u_2 = 0$,$v_1 = 30\, m/s$,અને $v_2 = v$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1 = \frac{v - 30}{30 - 0}$.
$1 = \frac{v - 30}{30} \Rightarrow v - 30 = 30 \Rightarrow v = 60\, m/s$.

(A) ધારો કે $v_{1}$ એ અથડામણ પહેલાંનો વેગ છે અને $v_{2}$ એ અથડામણ પછીનો વેગ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$h$ ઊંચાઈ પરથી પડતા પદાર્થનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અથડામણ પહેલાંનો વેગ: $v_{1} = \sqrt{2gh_{1}} = \sqrt{2 \times g \times 10}$.
અથડામણ પછીનો વેગ: $v_{2} = \sqrt{2gh_{2}} = \sqrt{2 \times g \times 2.5}$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{\sqrt{2gh_{1}}}{\sqrt{2gh_{2}}} = \sqrt{\frac{h_{1}}{h_{2}}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \sqrt{\frac{10}{2.5}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,વેગનો ગુણોત્તર $2$ છે.

(B) ધારો કે અથડામણ પહેલા દડાનો વેગ $u_1$ છે અને લિફ્ટનો વેગ $u_2$ છે.
$1$. અથડામણ પહેલા દડાનો વેગ શોધો:
$v^2 - u^2 = 2gh$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u=0$,$g=10\,m/s^2$,અને $h=5\,m$:
$u_1 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10\,m/s$ (નીચેની તરફ).
$2$. યામ પદ્ધતિ નક્કી કરો:
ઉપરની દિશાને ધન $(+)$ અને નીચેની દિશાને ઋણ $(-)$ લો.
તેથી,$u_1 = -10\,m/s$ અને $u_2 = +1\,m/s$.
$3$. અથડામણનું વિશ્લેષણ:
લિફ્ટ દડા કરતા ઘણી ભારે હોવાથી $(m_{lift} \gg m_{ball})$,સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ $(e=1)$ પછી લિફ્ટનો વેગ બદલાશે નહીં.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે સાપેક્ષ વેગના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $v_1 - v_2 = -e(u_1 - u_2)$.
અહીં $v_2 = u_2 = 1\,m/s$ હોવાથી:
$v_1 - 1 = -1(-10 - 1)$
$v_1 - 1 = -1(-11)$
$v_1 - 1 = 11$
$v_1 = 12\,m/s$.
પરિણામ ધન હોવાથી,દડો $12\,m/s$ ના વેગથી ઉપરની તરફ પાછો ફેંકાશે.

(A) $1$. સૌ પ્રથમ,ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને અથડામણ પહેલાં ગોળાનો વેગ શોધો. નિલંબન ઊંચાઈ પરની સ્થિતિઊર્જા નીચે ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$.
$2$. આપેલ $h = 1\,m$ અને $g = 10\,m/s^2$ માટે,વેગ $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 1} = \sqrt{20}\,m/s$ થાય.
$3$. સમાન દળ $(m_1 = m_2 = 0.1\,kg)$ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક છે. સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,પદાર્થો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે.
$4$. ગોળાનો વેગ $v$ હતો અને બ્લોક સ્થિર હતો,તેથી અથડામણ પછી ગોળો સ્થિર થઈ જાય છે અને બ્લોક $v$ વેગથી ગતિ કરે છે.
$5$. અથડામણ પછી બ્લોકની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (\sqrt{20})^2 = 0.05 \times 20 = 1\,J$ થાય.

(C) હેડ-ઓન સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,$m_1$ દળના પદાર્થમાંથી $m_2$ દળના પદાર્થ (જે શરૂઆતમાં સ્થિર છે) માં સ્થાનાંતરિત થતી ગતિઊર્જાનો અંશ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f = \frac{4m_1m_2}{(m_1 + m_2)^2}$
અહીં,$m_1 = m$ અને $m_2 = nm$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = \frac{4(m)(nm)}{(m + nm)^2}$
$f = \frac{4nm^2}{m^2(1 + n)^2}$
$f = \frac{4n}{(1 + n)^2}$

(D) ધારો કે પ્રોટોનનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને અથડામણ પછી પ્રોટોન અને કણના અંતિમ વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે. ધારો કે પ્રોટોન પ્રારંભિક દિશા સાથે $\theta$ ખૂણે ગતિ કરે છે, તો કણ $(90^\circ - \theta)$ ખૂણે ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પ્રારંભિક દિશામાં ($x$-અક્ષ): $mu = mv_1 \cos \theta + Mv_2 \cos(90^\circ - \theta) = mv_1 \cos \theta + Mv_2 \sin \theta$ ...$(i)$
લંબ દિશામાં ($y$-અક્ષ): $0 = mv_1 \sin \theta - Mv_2 \sin(90^\circ - \theta) = mv_1 \sin \theta - Mv_2 \cos \theta$ ...$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી, $Mv_2 \cos \theta = mv_1 \sin \theta$, તેથી $Mv_2 = mv_1 \tan \theta$.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી, ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}Mv_2^2$
$mu^2 = mv_1^2 + Mv_2^2$ ...$(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(mu)^2 = (mv_1 \cos \theta + Mv_2 \sin \theta)^2 + (mv_1 \sin \theta - Mv_2 \cos \theta)^2$
$m^2u^2 = m^2v_1^2 + M^2v_2^2$ ...$(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ ની સરખામણી કરતા:
$m(mv_1^2 + Mv_2^2) = m^2v_1^2 + M^2v_2^2$
$m^2v_1^2 + m M v_2^2 = m^2v_1^2 + M^2v_2^2$
$m M v_2^2 = M^2v_2^2$
$m = M$
આમ, અજ્ઞાત કણનું દળ $m$ છે.

(C) $m_1$ દળનો કણ જે $u_1$ વેગથી ગતિ કરે છે અને $m_2$ દળનો કણ જે સ્થિર છે $(u_2 = 0)$ તેમની વચ્ચેના સંઘાત બાદ પ્રથમ કણનો અંતિમ વેગ $v_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1$
પ્રથમ કણ દ્વારા જળવાઈ રહેલી ગતિ ઉર્જાનો અંશ:
$\frac{K_f}{K_i} = \frac{\frac{1}{2} m_1 v_1^2}{\frac{1}{2} m_1 u_1^2} = \left( \frac{v_1}{u_1} \right)^2 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2$
અહીં $m_1 = m$ અને $m_2 = 2m$ આપેલ છે:
$\frac{K_f}{K_i} = \left( \frac{m - 2m}{m + 2m} \right)^2 = \left( \frac{-m}{3m} \right)^2 = \left( -\frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}$
ગતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો:
$\frac{\Delta K}{K_i} = 1 - \frac{K_f}{K_i} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
ઉર્જામાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો:
$\text{પ્રતિશત ઘટાડો} = \frac{8}{9} \times 100 \approx 88.89\% \approx 90\%$

(C) નાના ખૂણાઓ માટે,$\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ થાય છે. સૌથી નીચલા બિંદુએ $m$ દળના ગોળાનો વેગ $v = \sqrt{2gl(1 - \cos \theta_0)} \approx \sqrt{2gl(\frac{\theta_0^2}{2})} = \theta_0 \sqrt{gl}$ છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી,ગોળો $v'$ વેગ સાથે પાછો ફેંકાય છે અને $\theta_1$ ખૂણા સુધી પહોંચે છે,તેથી $v' = \theta_1 \sqrt{gl}$ થાય.
સ્થિર $M$ દળના બ્લોક સાથેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,અથડામણ પછી $m$ દળના ગોળાનો વેગ $v' = \left( \frac{m - M}{m + M} \right)v$ હોય છે.
ગોળો પાછો ફેંકાતો હોવાથી,તેનો વેગ પ્રારંભિક દિશાની સાપેક્ષમાં ઋણ છે,તેથી $v' = -\theta_1 \sqrt{gl}$ થાય.
આમ,$-\theta_1 \sqrt{gl} = \left( \frac{m - M}{m + M} \right) \theta_0 \sqrt{gl}$.
$-\theta_1 = \frac{m - M}{m + M} \theta_0 \implies -\theta_1(m + M) = \theta_0(m - M)$.
$-m\theta_1 - M\theta_1 = m\theta_0 - M\theta_0$.
$M(\theta_0 - \theta_1) = m(\theta_0 + \theta_1)$.
$M = m\left( \frac{\theta_0 + \theta_1}{\theta_0 - \theta_1} \right)$.

(D) ધારો કે આલ્ફા-કણનો પ્રારંભિક વેગ $v_0$ છે અને તેનો અંતિમ વેગ $-v_1$ છે (કારણ કે તે પાછળની તરફ ફેંકાય છે).
ધારો કે ન્યુક્લિયસનું દળ $M$ છે અને તેનો અંતિમ વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mv_0 = -mv_1 + Mv_2$ --- $(1)$
$1$-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતના ગુણધર્મ મુજબ:
$v_0 = v_1 + v_2$ --- $(2)$
$(2)$ પરથી,$v_1 = v_0 - v_2$. આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$mv_0 = -m(v_0 - v_2) + Mv_2$
$mv_0 = -mv_0 + mv_2 + Mv_2$
$2mv_0 = (m + M)v_2 \Rightarrow v_2 = \frac{2mv_0}{m + M}$
આલ્ફા-કણની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}mv_1^2$ છે.
આપેલ છે કે તે તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K_i = \frac{1}{2}mv_0^2)$ ના $64\%$ ગુમાવે છે,તેથી બાકી રહેલી ગતિઊર્જા $K_i$ ના $36\%$ છે:
$K_f = 0.36 K_i \Rightarrow \frac{1}{2}mv_1^2 = 0.36 \times \frac{1}{2}mv_0^2$
$v_1^2 = 0.36 v_0^2 \Rightarrow v_1 = 0.6 v_0$
સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં અંતિમ વેગ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $v_1 = \left( \frac{m - M}{m + M} \right) v_0$ (જ્યાં $v_1$ એ $v_0$ ની દિશામાં છે).
તે પાછળની તરફ ફેંકાતો હોવાથી,$v_1 = -0.6 v_0$,તેથી $\frac{m - M}{m + M} = -0.6$.
$m - M = -0.6m - 0.6M$
$1.6m = 0.4M \Rightarrow M = 4m$.

(B) ધારો કે $2\,kg$ દળના પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $v_0$ છે અને અંતિમ વેગ $v_0/4$ છે. ધારો કે બીજા પદાર્થનું દળ $m$ છે અને તેનો અંતિમ વેગ $v$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$2v_0 = 2(v_0/4) + mv$
$2v_0 = v_0/2 + mv$
$mv = 3v_0/2$ --- $(1)$
અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$ છે:
$e = (v_{2} - v_{1}) / (u_{1} - u_{2}) = 1$
$v - v_0/4 = v_0 - 0$
$v = v_0 + v_0/4 = 5v_0/4$
$v$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$m(5v_0/4) = 3v_0/2$
$m = (3/2) * (4/5) = 12/10 = 1.2\,kg$.

(A) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,સ્થિર રહેલા કણ $(m_2)$ સાથે અથડાતા પ્રથમ કણ $(m_1)$ નો અંતિમ વેગ $v_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1$
અહીં $m_1 = m$,$m_2 = 2m$ અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} m u_1^2$ આપેલ છે.
પ્રથમ કણની અથડામણ પછીની અંતિમ ગતિઊર્જા $E'$ નીચે મુજબ થશે:
$E' = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{m - 2m}{m + 2m} \right)^2 u_1^2$
$E' = \left( \frac{-m}{3m} \right)^2 \left( \frac{1}{2} m u_1^2 \right)$
$E' = \left( -\frac{1}{3} \right)^2 E = \frac{1}{9} E$
આમ,અથડામણ પછી પ્રથમ કણની ગતિઊર્જા $\frac{E}{9}$ થશે.

(D) સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જ્યાં એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય છે,ત્યારે અથડામણ પછી પદાર્થો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે.
ગોળા $A$ અને ગોળા $B$ નું દળ સમાન હોવાથી અને અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,ગોળો $A$ તેનો સંપૂર્ણ વેગ ગોળા $B$ ને સ્થાનાંતરિત કરે છે.
પરિણામે,અથડામણ પછી તરત જ ગોળો $A$ સ્થિર થઈ જાય છે અને ગોળો $B$ તે વેગથી ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે જે વેગ અથડામણ પહેલા ગોળા $A$ પાસે હતો.

(C) ન્યૂટનનો રિસ્ટિટ્યુશનનો નિયમ જણાવે છે કે રિસ્ટિટ્યુશન ગુણાંક $e$ એ અલગ થવાના સાપેક્ષ વેગ અને નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગનો ગુણોત્તર છે.
$e = \frac{\text{અલગ થવાનો સાપેક્ષ વેગ}}{\text{નજીક આવવાનો સાપેક્ષ વેગ}}$
આપેલ આકૃતિ પરથી,અથડામણ પહેલાના વેગ $u_1 = 3u$ અને $u_2 = u$ છે.
તેથી,નજીક આવવાનો સાપેક્ષ વેગ $u_1 - u_2 = 3u - u = 2u$ છે.
અથડામણ પછીના વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે.
તેથી,અલગ થવાનો સાપેક્ષ વેગ $v_2 - v_1$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = \frac{v_2 - v_1}{2u}$
$e \times 2u = v_2 - v_1$

(B) $m_{1}$ અને $m_{2}$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેના સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}$
$m_{1}(u_{1} - v_{1}) = m_{2}(v_{2} - u_{2})$ $...(i)$
ગતિઊર્જા $(KE)$ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$
$m_{1}(u_{1}^{2} - v_{1}^{2}) = m_{2}(v_{2}^{2} - u_{2}^{2})$ $...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$u_{1} + v_{1} = v_{2} + u_{2}$
$(u_{1} - u_{2}) = (v_{2} - v_{1})$
$\frac{v_{2} - v_{1}}{u_{1} - u_{2}} = 1$
આ ગુણોત્તર એ પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ છે. સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,$e = 1$. વ્યાખ્યા મુજબ,'સ્થિતિસ્થાપક' અને 'સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક' શબ્દો એક જ ભૌતિક પ્રક્રિયાનો સંદર્ભ આપે છે જેમાં વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.

(A) જ્યારે દડાને $h$ ઊંચાઈ પરથી પાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રથમ અથડામણ પહેલાં તેનો વેગ $v_0 = \sqrt{2gh}$ હોય છે.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ સાથેની પ્રથમ અથડામણ પછી,વેગ $v_1 = ev_0 = e\sqrt{2gh}$ બને છે.
પ્રથમ કૂદકા પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2h$ છે.
બીજી અથડામણ પછી,વેગ $v_2 = ev_1 = e^2\sqrt{2gh}$ બને છે.
બીજા કૂદકા પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_2 = \frac{v_2^2}{2g} = e^4h$ છે.
સામાન્ય રીતે,$n$ કૂદકા પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_n = e^{2n}h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 2$ માટે,ઊંચાઈ $h_2 = e^{2(2)}h = e^4h$ થશે.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે $m_1 = 5\, kg$ એ પ્રથમ પદાર્થનું દળ છે અને $u_1 = 10\, m/s$ તેનો પ્રારંભિક વેગ છે.
ધારો કે $m_2 = 20\, kg$ એ બીજા પદાર્થનું દળ છે અને $u_2 = 0\, m/s$ તેનો પ્રારંભિક વેગ છે.
અથડામણ પછી,પ્રથમ પદાર્થ સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી $v_1 = 0\, m/s$.
ધારો કે $v_2$ એ બીજા પદાર્થનો અંતિમ વેગ છે.
સંરક્ષણનું સમીકરણ: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
કિંમતો મૂકતા: $(5 \times 10) + (20 \times 0) = (5 \times 0) + (20 \times v_2)$.
$50 + 0 = 0 + 20 v_2$.
$50 = 20 v_2$.
$v_2 = \frac{50}{20} = 2.5\, m/s$.

(A) જ્યારે સમાન દળ ધરાવતી બે વસ્તુઓ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હેડ-ઓન અથડામણ અનુભવે છે,ત્યારે તેઓ તેમના વેગની આપ-લે કરે છે.
ધારો કે ચાર દડાના દળ $m_1 = m_2 = m_3 = m_4 = m$ છે.
પ્રથમ દડાનો પ્રારંભિક વેગ $v_1 = 0.4\, m/s$ છે,અને અન્ય દડા સ્થિર છે $(v_2 = v_3 = v_4 = 0)$.
$1$. દડા $1$ અને દડા $2$ વચ્ચેની અથડામણ: દડો $1$ સ્થિર થાય છે,અને દડો $2$ $0.4\, m/s$ નો વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
$2$. દડા $2$ અને દડા $3$ વચ્ચેની અથડામણ: દડો $2$ સ્થિર થાય છે,અને દડો $3$ $0.4\, m/s$ નો વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
$3$. દડા $3$ અને દડા $4$ વચ્ચેની અથડામણ: દડો $3$ સ્થિર થાય છે,અને દડો $4$ $0.4\, m/s$ નો વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
આમ,છેલ્લા દડાનો વેગ $0.4\, m/s$ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થનું દળ $m_1 = 2 \ kg$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_1$ છે. ધારો કે બીજા પદાર્થનું દળ $m_2$ છે,જે શરૂઆતમાં સ્થિર છે $(u_2 = 0)$.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી,પ્રથમ પદાર્થનો અંતિમ વેગ $v_1$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1$
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ પદાર્થ તેની મૂળ ઝડપના ચોથા ભાગની ઝડપ સાથે મૂળ દિશામાં ગતિ ચાલુ રાખે છે,તેથી $v_1 = \frac{u_1}{4}$.
$v_1$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{u_1}{4} = \left( \frac{2 - m_2}{2 + m_2} \right) u_1$
$\frac{1}{4} = \frac{2 - m_2}{2 + m_2}$
$2 + m_2 = 4(2 - m_2)$
$2 + m_2 = 8 - 4m_2$
$5m_2 = 6$
$m_2 = \frac{6}{5} = 1.2 \ kg$.

(B) જ્યારે બે કણો વચ્ચે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ થાય છે,ત્યારે અથડામણના ટૂંકા ગાળા દરમિયાન કણો વચ્ચે આઘાતી બળ લાગે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,આઘાતી બળ દરેક વ્યક્તિગત કણનું વેગમાન બદલે છે.
જોકે,સમગ્ર તંત્ર માટે,આઘાતી બળો એ આંતરિક બળો છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બાહ્ય બળની ગેરહાજરીમાં તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
તેથી,આઘાતી બળ તંત્રનું કુલ વેગમાન બદલી શકતું નથી.

(B) ધારો કે ભારે પદાર્થનું દળ $M$ છે અને હલકા પદાર્થનું દળ $m = M/2$ છે. ભારે પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 6\,ms^{-1}$ અને હલકા પદાર્થનો વેગ $u_2 = 0$ છે.
એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,બીજા પદાર્થ (હલકા પદાર્થ) નો અંતિમ વેગ $v_2$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v_2 = \frac{2M_1 u_1}{M_1 + M_2} + \frac{(M_2 - M_1) u_2}{M_1 + M_2}$
$M_1 = M$,$M_2 = M/2$,$u_1 = 6$,અને $u_2 = 0$ મૂકતા:
$v_2 = \frac{2M(6)}{M + M/2} + 0$
$v_2 = \frac{12M}{1.5M} = \frac{12}{1.5} = 8\,ms^{-1}$.

(C) ધારો કે દરેક દડાનું દળ $m$ છે। પ્રથમ દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને બીજો દડો સ્થિર $(0)$ છે।
તંત્રની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{1}{2}mu^2$ છે।
બે સમાન દળ વચ્ચેની અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta KE = \frac{1}{4}m(1-e^2)u^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે કે ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ પ્રારંભિક ગતિઊર્જાના $\frac{1}{4}$ ભાગ જેટલો છે:
$\Delta KE = \frac{1}{4} KE_i = \frac{1}{4} (\frac{1}{2}mu^2) = \frac{1}{8}mu^2$.
$\Delta KE$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{1}{4}m(1-e^2)u^2 = \frac{1}{8}mu^2$.
બંને બાજુ $\frac{1}{4}mu^2$ વડે ભાગતા:
$1-e^2 = \frac{1}{2}$.
$e^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) જ્યારે સમાન દળ ધરાવતા બે કણો હેડ-ઓન સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે,ત્યારે તેઓ તેમના વેગની આપ-લે કરે છે.
આ કિસ્સામાં,બે ગતિશીલ દડાઓ સ્થિર હારના પ્રથમ દડા સાથે અથડાય છે. દળ સમાન હોવાથી અને અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,વેગમાન અને ગતિ ઊર્જા સાંકળ દ્વારા સ્થાનાંતરિત થાય છે.
પ્રથમ ગતિશીલ દડો તેનો વેગ $V$ પ્રથમ સ્થિર દડાને આપે છે,જે પછી તેને આગળના દડાને આપે છે,અને આ પ્રક્રિયા હારના અંત સુધી ચાલુ રહે છે.
બે આવતા દડાઓ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા બંને માટે થાય છે. પરિણામે,હારના અત્યંત જમણી બાજુના બે દડાઓ $V$ ઝડપથી ગતિ કરશે,જ્યારે બાકીના દડાઓ સ્થિર થઈ જશે.

(B) ધારો કે ન્યુટ્રોનનું દળ $m$ છે. તો પરમાણુનું દળ $Am$ થશે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mu + Am(0) = mv_1 + Amv_2$, જેનું સાદું રૂપ $u = v_1 + Av_2$ (સમીકરણ $1$) થાય છે.
સ્થિતિસ્થાપક સન્મુખ અથડામણ માટે, રેસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$ હોવાથી, $v_2 - v_1 = u$ (સમીકરણ $2$) મળે છે.
સમીકરણ $2$ પરથી, $v_2 = u + v_1$. આ કિંમતને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$u = v_1 + A(u + v_1) = v_1 + Au + Av_1 = v_1(1 + A) + Au$.
$v_1(1 + A) = u - Au = u(1 - A)$.
$v_1 = u \frac{1 - A}{1 + A}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mu^2$ છે.
અથડામણ પછી ન્યુટ્રોનની અંતિમ ગતિઊર્જા $E' = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}m \left( u \frac{1 - A}{1 + A} \right)^2$ થશે.
$E' = \left( \frac{1}{2}mu^2 \right) \left( \frac{1 - A}{1 + A} \right)^2 = E \left( \frac{A - 1}{A + 1} \right)^2$.

(D) સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન કુલ ગતિઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે,પરંતુ સંઘાત દરમિયાન ગતિઊર્જા અસ્થાયી રૂપે સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે અને પછી ફરીથી ગતિઊર્જામાં પાછી આવે છે. તેથી,સંપર્ક સમય દરમિયાન ગતિઊર્જા અચળ રહેતી નથી,માટે $Assertion$ ખોટું છે.
$Reason$ પણ ખોટું છે કારણ કે ઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ સાર્વત્રિક છે; ઘર્ષણ સામે ખર્ચાયેલી ઊર્જા ઉષ્મા અથવા ધ્વનિમાં રૂપાંતરિત થાય છે,અને તંત્રની કુલ ઊર્જા (ઉષ્મા/ધ્વનિ સહિત) સંરક્ષિત રહે છે.

(A) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે,તેથી દડો વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન વેગ $u$ સાથે પાછો ફરે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સપાટી દ્વારા લાગતું બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
એક દડા માટે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = m(u - (-u)) = 2mu$ છે.
દર સેકન્ડે $n$ દડાઓ અથડાતા હોવાથી,પ્રતિ સેકન્ડ વેગમાનમાં થતો કુલ ફેરફાર $n \times 2mu = 2mnu$ છે.
તેથી,સપાટી દ્વારા અનુભવાતું બળ $F = 2mnu$ છે.
$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ સમજાવે છે કે શા માટે દરેક દડા માટે વેગમાનમાં ફેરફાર $2mu$ થાય છે.

(A) બે સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થોની અથડામણ દરમિયાન,પદાર્થોમાં વિરૂપણ (deformation) થાય છે.
જેમ પદાર્થો વિરૂપ થાય છે,તેમ કણો વચ્ચેનું આંતરઆણ્વિય અંતર ઘટે છે,જેના પરિણામે તંત્રની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રની કુલ ઊર્જા અચળ રહેવી જોઈએ.
અથડામણના વિરૂપણના તબક્કા દરમિયાન સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા વધતી હોવાથી,આ ફેરફારને સરભર કરવા માટે તંત્રની ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ ઘટવી જોઈએ.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(B) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે જ્યાં પદાર્થ $B$ શરૂઆતમાં સ્થિર છે,પદાર્થ $A$ નો અંતિમ વેગ $v_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u$
$m_1 = 4m$ અને $m_2 = 2m$ મૂકતા:
$v_1 = \left( \frac{4m - 2m}{4m + 2m} \right) u = \left( \frac{2m}{6m} \right) u = \frac{u}{3}$
પદાર્થ $A$ ની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2}(4m)u^2 = 2mu^2$ છે.
પદાર્થ $A$ ની અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2}(4m)v_1^2 = \frac{1}{2}(4m)\left(\frac{u}{3}\right)^2 = \frac{2mu^2}{9}$ છે.
પદાર્થ $A$ દ્વારા ગુમાવેલ ઉર્જા $\Delta K = K_i - K_f = 2mu^2 - \frac{2mu^2}{9} = \frac{16mu^2}{9}$ છે.
ગુમાવેલ ઉર્જાનો અંશ $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{16mu^2 / 9}{2mu^2} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$ થાય.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m \vec{u}_A + m \vec{u}_B = m \vec{v}_A + m \vec{v}_B$
અહીં $m = 0.1 \; kg$,$\vec{u}_A = 3 \hat{i} \; ms^{-1}$,$\vec{u}_B = 5 \hat{j} \; ms^{-1}$,અને $\vec{v}_A = 4(\hat{i} + \hat{j}) \; ms^{-1}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$0.1(3 \hat{i}) + 0.1(5 \hat{j}) = 0.1(4 \hat{i} + 4 \hat{j}) + 0.1 \vec{v}_B$
$0.1$ વડે ભાગતા:
$3 \hat{i} + 5 \hat{j} = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} + \vec{v}_B$
$\vec{v}_B = (3-4) \hat{i} + (5-4) \hat{j} = -\hat{i} + \hat{j} \; ms^{-1}$.
સંઘાત બાદ $B$ ની ઝડપ $|\vec{v}_B| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2} \; ms^{-1}$ છે.
સંઘાત બાદ $B$ ની ગતિઉર્જા $K_B = \frac{1}{2} m |\vec{v}_B|^2$ છે.
$K_B = \frac{1}{2} (0.1) (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} (0.1) (2) = 0.1 \; J$.
આમ,$K_B = \frac{x}{10} \; J$ હોવાથી,$0.1 = \frac{x}{10}$,જે દર્શાવે છે કે $x = 1$.

$(53^{\circ})$ રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, દળ સમાન હોવાથી $(m_{1} = m_{2})$, આપણને મળે છે:
$\vec{v}_{1i} = \vec{v}_{1f} + \vec{v}_{2f}$
વેગ સદિશનો તેની સાથે જ ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$v_{1i}^{2} = (\vec{v}_{1f} + \vec{v}_{2f}) \cdot (\vec{v}_{1f} + \vec{v}_{2f})$
$v_{1i}^{2} = v_{1f}^{2} + v_{2f}^{2} + 2\vec{v}_{1f} \cdot \vec{v}_{2f}$
$v_{1i}^{2} = v_{1f}^{2} + v_{2f}^{2} + 2v_{1f}v_{2f} \cos(\theta_{1} + \theta_{2})$
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે અને દળ સમાન હોવાથી, ગતિઊર્જા સંરક્ષણ મુજબ:
$\frac{1}{2}m v_{1i}^{2} = \frac{1}{2}m v_{1f}^{2} + \frac{1}{2}m v_{2f}^{2}$
$v_{1i}^{2} = v_{1f}^{2} + v_{2f}^{2}$
$v_{1i}^{2}$ માટેના બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા, આપણને મળે છે:
$2v_{1f}v_{2f} \cos(\theta_{1} + \theta_{2}) = 0$
અહીં $v_{1f} \neq 0$ અને $v_{2f} \neq 0$ હોવાથી, $\cos(\theta_{1} + \theta_{2}) = 0$ થવું જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે $\theta_{1} + \theta_{2} = 90^{\circ}$.
$\theta_{2} = 37^{\circ}$ આપેલ હોવાથી, આપણને મળે છે:
$\theta_{1} = 90^{\circ} - 37^{\circ} = 53^{\circ}$.
આમ, અથડામણ પછી બંને બોલ એકબીજાને કાટખૂણે ગતિ કરશે.

(B) દરેક કિસ્સામાં અથડામણ પહેલાં અને પછીનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે તે જોઈ શકાય છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા અથડામણ પહેલાં અને પછી સંરક્ષિત રહે છે.
દરેક બોલ બેરિંગના દળ $m$ માટે,આપણે લખી શકીએ:
અથડામણ પહેલાં તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા:
$= \frac{1}{2} m V^{2} + \frac{1}{2}(2m)(0)^{2} = \frac{1}{2} m V^{2}$
કિસ્સો $(i)$:
અથડામણ પછી તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા
$= \frac{1}{2} m (0)^{2} + \frac{1}{2}(2m) \left( \frac{V}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4} m V^{2}$
અહીં $\frac{1}{4} m V^{2} \neq \frac{1}{2} m V^{2}$ હોવાથી,ગતિઊર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી.
કિસ્સો $(ii)$:
અથડામણ પછી તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા
$= \frac{1}{2}(2m)(0)^{2} + \frac{1}{2} m V^{2} = \frac{1}{2} m V^{2}$
અહીં $\frac{1}{2} m V^{2} = \frac{1}{2} m V^{2}$ હોવાથી,ગતિઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
કિસ્સો $(iii)$:
અથડામણ પછી તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા
$= \frac{1}{2}(3m) \left( \frac{V}{3} \right)^{2} = \frac{1}{6} m V^{2}$
અહીં $\frac{1}{6} m V^{2} \neq \frac{1}{2} m V^{2}$ હોવાથી,ગતિઊર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી.
આમ,માત્ર કિસ્સો $(ii)$ એ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે શક્ય પરિણામ દર્શાવે છે.

(A) ગોળો $A$ બિલકુલ ઉપર જશે નહીં.
બે સમાન દળ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જેમાં એક પદાર્થ સ્થિર હોય અને બીજો પદાર્થ અમુક વેગથી ગતિ કરતો હોય,ત્યારે સ્થિર પદાર્થ ગતિમાન પદાર્થનો વેગ પ્રાપ્ત કરે છે,જ્યારે ગતિમાન પદાર્થ અથડામણ પછી તરત જ સ્થિર થઈ જાય છે. આ કિસ્સામાં,ગતિમાન પદાર્થમાંથી સ્થિર પદાર્થમાં વેગમાન અને ગતિઊર્જાનું સંપૂર્ણ સ્થાનાંતરણ થાય છે.
તેથી,$m$ દળનો ગોળો $A$,સમાન દળના ગોળા $B$ સાથે અથડાયા પછી સ્થિર થઈ જશે,જ્યારે ગોળો $B$ અથડામણના સમયે ગોળા $A$ ના વેગ સાથે ગતિ કરશે. કારણ કે ગોળો $A$ સૌથી નીચા બિંદુએ સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી તે બિલકુલ ઉપર જશે નહીં.

(A) બે સખત બિલિયર્ડ બોલ વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $V(r)$ એ બે શરતો સંતોષવી જોઈએ:
$1$. જ્યારે કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r$ એ $2R$ (જ્યાં $R$ એ દરેક બોલની ત્રિજ્યા છે) કરતા વધારે હોય,ત્યારે બોલ એકબીજા સાથે આંતરક્રિયા કરતા નથી,તેથી સ્થિતિ ઊર્જા $V(r) = 0$ હોય છે.
$2$. જ્યારે અંતર $r$ એ $2R$ કરતા ઓછું હોય,ત્યારે બોલ સંપર્કમાં હોય છે અને તેમાં વિરૂપણ થાય છે,જેના કારણે સ્થિતિ ઊર્જામાં ઝડપી વધારો થાય છે. સંપર્ક બિંદુ $r = 2R$ પર,સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય હોવી જોઈએ,અને $r < 2R$ માટે,તે ધન અને વધતી જતી હોવી જોઈએ.
આપેલ આલેખો જોતા:
- આલેખ $(v)$ દર્શાવે છે કે $r \ge 2R$ માટે $V(r) = 0$ અને $r < 2R$ માટે $V(r) > 0$,જે આંતરક્રિયાનું યોગ્ય વર્ણન કરે છે.
- આલેખો $(i), (ii), (iii), (iv),$ અને $(vi)$ આ ભૌતિક જરૂરિયાતોને સંતોષતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે,$(ii)$ દર્શાવે છે કે અંતર સાથે સ્થિતિ ઊર્જા વધે છે,જે ખોટું છે,અને $(i)$ તથા $(vi)$ દર્શાવે છે કે $r > 2R$ માટે સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય નથી.
તેથી,જે આલેખો સ્થિતિસ્થાપક અથડામણનું વર્ણન કરી શકતા નથી તે $(i), (ii), (iii), (iv),$ અને $(vi)$ છે.

(N/A) $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો $X$-દિશામાં સુરેખ ગતિ કરે છે તેમ ધારો. તેમના પ્રારંભિક વેગ અનુક્રમે $v_{1i}$ અને $v_{2i}$ છે,જ્યાં $v_{1i} > v_{2i}$ છે.
અથડામણ બાદ તેમના અંતિમ વેગ $v_{1f}$ અને $v_{2f}$ છે. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ:
$m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$
$m_1(v_{1i} - v_{1f}) = m_2(v_{2f} - v_{2i})$ ---$(1)$
ગતિઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ:
$\frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2f}^2$
$m_1(v_{1i}^2 - v_{1f}^2) = m_2(v_{2f}^2 - v_{2i}^2)$
$m_1(v_{1i} - v_{1f})(v_{1i} + v_{1f}) = m_2(v_{2f} - v_{2i})(v_{2f} + v_{2i})$ ---$(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$v_{1i} + v_{1f} = v_{2f} + v_{2i}$
$v_{1f} = v_{2f} + v_{2i} - v_{1i}$ ---$(3)$
સમીકરણ $(3)$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$m_1(v_{1i} - (v_{2f} + v_{2i} - v_{1i})) = m_2(v_{2f} - v_{2i})$
$m_1(2v_{1i} - v_{2i} - v_{2f}) = m_2(v_{2f} - v_{2i})$
$2m_1 v_{1i} - m_1 v_{2i} - m_1 v_{2f} = m_2 v_{2f} - m_2 v_{2i}$
$2m_1 v_{1i} + (m_2 - m_1)v_{2i} = (m_1 + m_2)v_{2f}$
$v_{2f} = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_{1i} + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}v_{2i}$
તે જ રીતે,$v_{1f}$ માટે:
$v_{1f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_{1i} + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}v_{2i}$

(A) કિસ્સો $1$: જો બે દળ સમાન હોય $(m_{1} = m_{2} = m)$:
$v_{1f} = \left(\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) v_{1i} + \left(\frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) v_{2i}$. ધારો કે $v_{2i} = 0$,તો આપણને $v_{1f} = 0$ અને $v_{2f} = v_{1i}$ મળે છે. દળો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે.
કિસ્સો $2$: જો $m_{2} \gg m_{1}$ (હલકું પદાર્થ ખૂબ ભારે સ્થિર પદાર્થ સાથે અથડાય છે):
$v_{1f} = \left(\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) v_{1i} \approx \left(\frac{-m_{2}}{m_{2}}\right) v_{1i} = -v_{1i}$. હલકું પદાર્થ સમાન ઝડપ સાથે પાછું ફેંકાય છે.
$v_{2f} = \left(\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right) v_{1i} \approx 0$. ભારે પદાર્થ વ્યવહારિક રીતે સ્થિર રહે છે.
કિસ્સો $3$: જો $m_{1} \gg m_{2}$ (ભારે પદાર્થ હલકા સ્થિર પદાર્થ સાથે અથડાય છે):
$v_{1f} = \left(\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) v_{1i} \approx \left(\frac{m_{1}}{m_{1}}\right) v_{1i} = v_{1i}$. ભારે પદાર્થ લગભગ સમાન વેગ સાથે ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
$v_{2f} = \left(\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right) v_{1i} \approx \left(\frac{2m_{1}}{m_{1}}\right) v_{1i} = 2v_{1i}$. હલકું પદાર્થ ભારે પદાર્થના વેગ કરતા બમણા વેગથી ગતિ કરે છે.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ધારો કે $m_{1}$ દળનો એક દડો $X$-દિશામાં $v_{1i}$ ઝડપથી ગતિ કરી રહ્યો છે અને તે $m_{2}$ દળના સ્થિર દડા સાથે સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત અનુભવે છે.
સંઘાત પછી,આ દડાઓ $X$-અક્ષ સાથે $\theta_{1}$ અને $\theta_{2}$ ખૂણે $v_{1f}$ અને $v_{2f}$ વેગથી ગતિ કરે છે.
સંઘાત દરમિયાન વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,તેથી સંઘાત પહેલાનું કુલ વેગમાન = સંઘાત પછીનું કુલ વેગમાન.
વેગમાનના $X$-ઘટકો લેતા:
$m_{1} v_{1i} = m_{1} v_{1f} \cos \theta_{1} + m_{2} v_{2f} \cos \theta_{2} \quad \dots (1)$
વેગમાનના $Y$-ઘટકો લેતા:
$0 = m_{1} v_{1f} \sin \theta_{1} - m_{2} v_{2f} \sin \theta_{2} \quad \dots (2)$
સંઘાત સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે:
$\frac{1}{2} m_{1} v_{1i}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1f}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2f}^{2} \quad \dots (3)$
અહીં,આપણી પાસે ત્રણ સ્વતંત્ર સમીકરણો $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ છે. સામાન્ય રીતે $m_{1}, m_{2}$ અને $v_{1i}$ જાણીતા હોય છે,જ્યારે ચાર ચલ $v_{1f}, v_{2f}, \theta_{1}$ અને $\theta_{2}$ અજ્ઞાત હોય છે. બધા અજ્ઞાત પદો શોધવા માટે,આ ચારમાંથી ઓછામાં ઓછી એક રાશિ જાણીતી હોવી જોઈએ,કારણ કે ત્રણ સમીકરણો ફક્ત ત્રણ અજ્ઞાત રાશિઓ જ નક્કી કરી શકે છે.

(N/A) હેડ-ઓન અથડામણ એ અથડામણનો એક પ્રકાર છે જેમાં અથડાતી વસ્તુઓના વેગ તેમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રોને જોડતી રેખાની દિશામાં હોય છે. આવી અથડામણમાં,વસ્તુઓ અથડામણ પહેલાં અને પછી એક જ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે.

(B) બે સમાન પદાર્થો (દળ $m_1 = m_2 = m$) વચ્ચે થતા સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,વેગમાન અને ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સંઘાત બાદ પદાર્થો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે.
જો પદાર્થ $1$ નો વેગ $v_1$ હોય અને પદાર્થ $2$ નો વેગ $v_2$ હોય,તો સંઘાત પછી પદાર્થ $1$ નો વેગ $v_2$ અને પદાર્થ $2$ નો વેગ $v_1$ થશે.

(N/A) જો સંઘાત અનુભવતા બંને પદાર્થો સંઘાત પહેલાં અને સંઘાત બાદ એક જ સુરેખ માર્ગ પર ગતિ કરતા હોય,તો તેવા સંઘાતને એક પરિમાણિક સંઘાત અથવા સન્મુખ (Head-On) સંઘાત કહે છે.

(A) $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,પ્રથમ પદાર્થમાંથી બીજા પદાર્થમાં સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $\Delta K = \frac{4m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2} K_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K_i$ એ પ્રથમ પદાર્થની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા છે.
આ સ્થાનાંતર ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે છેદ $(m_1 + m_2)^2$ અંશની સાપેક્ષમાં ન્યૂનતમ હોય,જે $m_1 = m_2$ હોય ત્યારે થાય છે.
તેથી,જ્યારે સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો સીધી સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે,ત્યારે તેઓ તેમના વેગની સંપૂર્ણ અદલાબદલી કરે છે,જેના પરિણામે મહત્તમ ઊર્જાની આપ-લે થાય છે.

(C) બે સમાન દળ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જ્યાં એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય છે,ત્યાં રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\vec{p}_1 = \vec{p}_1' + \vec{p}_2'$
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,$K_1 = K_1' + K_2'$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{p_1^2}{2m} = \frac{p_1'^2}{2m} + \frac{p_2'^2}{2m}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ $p_1^2 = p_1'^2 + p_2'^2$ થાય છે.
આને સદિશ સમીકરણ $\vec{p}_1 = \vec{p}_1' + \vec{p}_2'$ સાથે સરખાવતા,તે પાયથાગોરસના પ્રમેય $(a^2 + b^2 = c^2)$ નું પાલન કરે છે તેમ જણાય છે.
તેથી,સદિશો $\vec{p}_1'$ અને $\vec{p}_2'$ એકબીજાને લંબ હોવા જોઈએ.
આમ,અથડામણ બાદ બંને પદાર્થો વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.