Transverse Stationary Waves and Sonometer Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે અને સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિ $f$ છે. સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિ તેની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $f \propto \frac{1}{l}$.
$4$ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા હોવાથી,તારની આવૃત્તિ $(n + 4)$ અથવા $(n - 4)$ હશે.
જેમ લંબાઈ વધે તેમ આવૃત્તિ ઘટે છે. તેથી,$l_1 = 95 \ cm$ માટે આવૃત્તિ $(n + 4)$ અને $l_2 = 100 \ cm$ માટે આવૃત્તિ $(n - 4)$ થશે.
સંબંધ $f_1 l_1 = f_2 l_2$ નો ઉપયોગ કરતા,$(n + 4) \times 95 = (n - 4) \times 100$.
$5$ વડે ભાગતા,$(n + 4) \times 19 = (n - 4) \times 20$.
$19n + 76 = 20n - 80$.
$n = 76 + 80 = 156 \ Hz$.

(A) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે અને સોનોમીટર વાયરની આવૃત્તિ $f$ છે.
આપેલ છે કે વાયર ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે $4$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી વાયરની આવૃત્તિ $f = n \pm 4$ છે.
આવૃત્તિ $f \propto \frac{1}{l}$ હોવાથી,$f \cdot l = \text{અચળ}$ થાય.
પ્રારંભિક લંબાઈ $l_1 = 50 \ cm$ માટે,$f_1 = n \pm 4$.
ઘટાડેલી લંબાઈ $l_2 = 49 \ cm$ માટે,$f_2 = n \pm 4$.
$l_2 < l_1$ હોવાથી,આવૃત્તિ $f_2 > f_1$ થશે.
તેથી,$f_1 = n - 4$ અને $f_2 = n + 4$.
સંબંધ $f_1 l_1 = f_2 l_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(n - 4) \times 50 = (n + 4) \times 49$
$50n - 200 = 49n + 196$
$n = 196 + 200 = 396 \ Hz$.

(C) જ્યારે $l$ લંબાઈની બંને છેડે જડેલી દોરી બે વિભાગોમાં કંપન કરે છે,ત્યારે તે બે લૂપ બનાવે છે.
દરેક લૂપ અડધી તરંગલંબાઈ એટલે કે $\frac{\lambda}{2}$ દર્શાવે છે.
અહીં બે વિભાગો હોવાથી,દોરીની કુલ લંબાઈ $l = 2 \times \frac{\lambda}{2}$ થાય.
તેથી,$l = \lambda$.
આમ,અનુરૂપ તરંગની તરંગલંબાઈ $l$ છે.

(D) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ રહેતા હોવાથી,આવૃત્તિ એ લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $n \propto \frac{1}{l}$.
તેથી,$\frac{n_2}{n_1} = \frac{l_1}{l_2}$.
અહીં $l_1 = 1 \, cm$,$l_2 = \frac{1}{4} \, cm$,અને $n_1 = 256 \, Hz$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $n_2 = n_1 \times \frac{l_1}{l_2} = 256 \times \frac{1}{1/4} = 256 \times 4 = 1024 \, Hz$.

(B) દોરીની લંબાઈ $l = 1 \ m = 100 \ cm$ છે. દળ $m = 5 \times 10^{-4} \ kg$ છે. તણાવ $T = 20 \ N$ છે.
જ્યારે દોરીને એક છેડેથી $x$ અંતરે ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તે $p$ માં હાર્મોનિકમાં કંપન કરે છે જેથી $x = \frac{l}{2p}$ થાય.
આપેલ છે કે $x = 25 \ cm$,તેથી $25 = \frac{100}{2p}$,જે આપણને $2p = 4$ આપે છે,એટલે કે $p = 2$.
કંપનની આવૃત્તિ $f = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
અહીં,$\mu = \frac{m}{l} = \frac{5 \times 10^{-4} \ kg}{1 \ m} = 5 \times 10^{-4} \ kg/m$.
કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{2}{2 \times 1} \sqrt{\frac{20}{5 \times 10^{-4}}} = 1 \times \sqrt{4 \times 10^4} = 200 \ Hz$.

(B) સોનોમીટર તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $l$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \sqrt{T}$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto n^2$.
વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta T}{T} = 2 \frac{\Delta n}{n}$ મળે છે.
આપેલ પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n = 500 \, Hz$ અને બીટ આવૃત્તિ $\Delta n = 5 \, Hz$ છે,તેથી નવી આવૃત્તિ $n' = 505 \, Hz$ હોવી જોઈએ.
આવૃત્તિમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta n}{n} = \frac{5}{500} = 0.01$ અથવા $1 \%$ છે.
આને તણાવના સંબંધમાં મૂકતા: $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta n}{n} \times 100) = 2 \times 1 \% = 2 \%$.
તેથી,તણાવમાં $2 \%$ નો વધારો કરવો આવશ્યક છે.

(A) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ બળ છે અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $n \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T_1$ છે અને પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1$ છે. નવું તણાવ $T_2 = 4T_1$ અને નવી આવૃત્તિ $n_2$ છે.
તેથી,$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{4T_1}{T_1}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,મૂળભૂત આવૃત્તિ $2$ ગણી વધશે.

(C) ખેંચાયેલી દોરીના કંપનની આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $n$ એ આવૃત્તિ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $n \propto \sqrt{T}$.
જો આવૃત્તિ બે ગણી વધારવામાં આવે,તો નવી આવૃત્તિ $n' = 2n$ થાય.
તેથી,$\frac{n'}{n} = \frac{\sqrt{T'}}{\sqrt{T}} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{T'}{T} = 4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $T' = 4T$.
આમ,તણાવ મૂળ તણાવ કરતા ચાર ગણો કરવો જોઈએ.

(D) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
તાર સમાન લંબાઈ,વ્યાસ અને દ્રવ્યના હોવાથી,$L$ અને $\mu$ બધા તાર માટે અચળ રહેશે.
તેથી,આવૃત્તિ એ તણાવના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે: $n \propto \sqrt{T}$.
તણાવનો ગુણોત્તર $T_1 : T_2 : T_3 : T_4 = 1 : 4 : 9 : 16$ આપેલ છે,તેથી તેમની મૂળભૂત આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$n_1 : n_2 : n_3 : n_4 = \sqrt{1} : \sqrt{4} : \sqrt{9} : \sqrt{16}$ થશે.
વર્ગમૂળની ગણતરી કરતા,આપણને $1 : 2 : 3 : 4$ મળે છે.
આમ,સાચો ગુણોત્તર $1 : 2 : 3 : 4$ છે.

(C) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની ફ્રીક્વન્સી $N$ છે.
કંપન કરતા તારની ફ્રીક્વન્સી તેની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(f \propto 1/l)$,તેથી $f \cdot l = \text{અચળ}$.
સોનોમીટરના તાર માટે,ફ્રીક્વન્સી $f = k/l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લંબાઈ $20 \ cm$ હોય,ત્યારે ફ્રીક્વન્સી $f_1 = k/20$ છે. તે ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે દર સેકન્ડે $5$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી $f_1 = N \pm 5$.
જ્યારે લંબાઈ $21 \ cm$ હોય,ત્યારે ફ્રીક્વન્સી $f_2 = k/21$ છે. બીટ ફ્રીક્વન્સી સમાન રહેતી હોવાથી,$f_2 = N \mp 5$.
જેમ લંબાઈ વધે છે,તેમ ફ્રીક્વન્સી ઘટે છે. તેથી,$f_1 = N + 5$ અને $f_2 = N - 5$.
આમ,$(N + 5) \cdot 20 = (N - 5) \cdot 21$.
$20N + 100 = 21N - 105$.
$N = 205 \ Hz$.

(A) બંને છેડે જડેલી દોરી માટે $n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ હાર્મોનિક નંબર છે.
$9^{th}$ હાર્મોનિક માટે,$f_9 = \frac{9}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
$7^{th}$ હાર્મોનિક માટે,$f_7 = \frac{7}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
અહીં $9 > 7$ હોવાથી,$f_9 > f_7$ થાય છે.
તેથી,$9^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $7^{th}$ હાર્મોનિક કરતા વધારે છે.

(D) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $n \propto \frac{1}{l} \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n$,પ્રારંભિક લંબાઈ $l$ અને પ્રારંભિક તણાવ $T$ છે.
આપેલ છે: નવું તણાવ $T' = 4T$ અને નવી લંબાઈ $l' = 2l$.
નવી આવૃત્તિ $n'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{n'}{n} = \frac{l}{l'} \times \sqrt{\frac{T'}{T}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{n'}{n} = \frac{l}{2l} \times \sqrt{\frac{4T}{T}}$
$\frac{n'}{n} = \frac{1}{2} \times \sqrt{4} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$
તેથી,$n' = n$.

(A) $Sonometer$ (સોનોમીટર) એ એક પ્રયોગશાળાનું સાધન છે જેનો ઉપયોગ ખેંચાયેલી દોરી દ્વારા ઉત્પન્ન થતા અવાજની આવૃત્તિ અને દોરીના તણાવ,લંબાઈ તથા એકમ લંબાઈ દીઠ દળ વચ્ચેના સંબંધની તપાસ કરવા માટે થાય છે.
તે અનુનાદના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે,જેમાં કંપન કરતી દોરીની આવૃત્તિને બાહ્ય ધ્વનિ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ સાથે મેળવવામાં આવે છે.

(A) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ તેની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $n \propto \frac{1}{l}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $n_1 l_1 = n_2 l_2$.
આપેલ છે: $l_1 = 50 \ cm$,$n_1 = 270 \ Hz$,અને $n_2 = 1000 \ Hz$.
આપણે $l_2$ શોધવાની જરૂર છે.
સંબંધ $l_2 = l_1 \left( \frac{n_1}{n_2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$l_2 = 50 \times \left( \frac{270}{1000} \right)$,
$l_2 = 50 \times 0.27 = 13.5 \ cm$.

(C) ખેંચાયેલા તારની આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $l$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \sqrt{T}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
આપેલ છે કે $n_1 = n$,$n_2 = 2n$,અને $T_1 = 10 \ N$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{n}{2n} = \sqrt{\frac{10}{T_2}}$.
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{10}{T_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{10}{T_2}$.
આમ,$T_2 = 40 \ N$.

(B) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $L$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \sqrt{T}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = 100 \ Hz$ અને અંતિમ આવૃત્તિ $n_2 = 400 \ Hz$ છે.
તેથી,$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{400}{100} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \implies 4 = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{T_2}{T_1} = 4^2 = 16$ મળે છે.
આમ,તણાવને $16$ ગણો વધારવો પડે.

(D) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ એ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આ સૂત્ર પરથી,આપણને મળે છે $n \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1$ છે અને અંતિમ આવૃત્તિ $n_2 = 2n_1$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $l_1$ છે અને અંતિમ લંબાઈ $l_2 = \frac{3}{4}l_1$ છે.
પ્રમાણસરતા $n \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ $\frac{n_2}{n_1} = \frac{\sqrt{T_2}/l_2}{\sqrt{T_1}/l_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \cdot \frac{l_1}{l_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2 = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \cdot \frac{l_1}{(3/4)l_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \cdot \frac{4}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{T_2}{T_1} \cdot \frac{16}{9}$.
તેથી,$\frac{T_2}{T_1} = 4 \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{4} = 2.25$.

(A) $l$ લંબાઈની દોરીમાં $p$-મો હાર્મોનિક ઉત્પન્ન કરવા માટે,દોરીને એક છેડાથી $x = \frac{l}{2p}$ અંતરે ખેંચવી જોઈએ જેથી ત્યાં એન્ટિનોડ (પ્રસ્પંદ) રચાય,અને અન્ય હાર્મોનિક્સને દબાવવા માટે નોડ (નિસ્પંદ) પર સ્પર્શ કરવો જોઈએ.
બીજા હાર્મોનિક માટે,$p = 2$ છે.
તેથી,ખેંચવાનું બિંદુ એક છેડાથી $x = \frac{l}{2 \times 2} = \frac{l}{4}$ અંતરે છે.
બીજો હાર્મોનિક મોડ રચાય તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે દોરીને નોડ પર સ્પર્શ કરવો આવશ્યક છે. બીજા હાર્મોનિકમાં,દોરીના કેન્દ્રમાં એક નોડ હોય છે,જે બંને છેડાથી $\frac{l}{2}$ અંતરે છે.
આમ,દોરીને $\frac{l}{4}$ પર ખેંચવી અને $\frac{l}{2}$ પર સ્પર્શ કરવો જોઈએ.

(A) સોનોમીટરના તારની કંપન આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $p$ એ લૂપ્સની સંખ્યા (એન્ટિનોડ્સ),$l$ એ લંબાઈ,$T$ એ તણાવ અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$p_1 = 5$ અને $T_1 = 9g$. તેથી,$n = \frac{5}{2l} \sqrt{\frac{9g}{\mu}}$.
બીજા કિસ્સામાં,$p_2 = 3$ અને $T_2 = Mg$. તેથી,$n = \frac{3}{2l} \sqrt{\frac{Mg}{\mu}}$.
ટ્યુનિંગ ફોર્ક સમાન હોવાથી,આવૃત્તિ $n$ સમાન રહેશે. બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{5}{2l} \sqrt{\frac{9g}{\mu}} = \frac{3}{2l} \sqrt{\frac{Mg}{\mu}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$25 \times 9g = 9 \times Mg$
$225g = 9Mg$
$M = \frac{225}{9} = 25 \ kg$.

(B) ખેંચાયેલી દોરીની આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ,$l$ એ લંબાઈ અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
અહીં $n$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$,જેનો અર્થ છે કે $l \propto \sqrt{T}$.
આપેલ છે કે તણાવમાં $69\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવું તણાવ $T_2 = T_1 + 0.69 T_1 = 1.69 T_1$ થાય.
પ્રમાણસરતા $l_2 / l_1 = \sqrt{T_2 / T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $l_2 / l_1 = \sqrt{1.69 T_1 / T_1} = \sqrt{1.69} = 1.3$ મળે છે.
તેથી,$l_2 = 1.3 l_1 = l_1 + 0.3 l_1$.
આમ,લંબાઈમાં $30\%$ નો વધારો કરવો પડે.

(B) સોનોમીટરના તાર માટે જે તેના મૂળભૂત મોડમાં કંપન કરે છે,આવૃત્તિ $n$ એ તારની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $n \propto \frac{1}{l}$ અથવા $nl = \text{અચળ}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = 250 \ Hz$
પ્રારંભિક લંબાઈ $l_1 = 0.60 \ m$
અંતિમ લંબાઈ $l_2 = 0.40 \ m$
સંબંધ $n_1 l_1 = n_2 l_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$250 \times 0.60 = n_2 \times 0.40$
$n_2 = \frac{250 \times 0.60}{0.40}$
$n_2 = \frac{150}{0.40} = 375 \ Hz$.
તેથી,ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $375 \ Hz$ છે.

(C) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{v}{2L}$ છે,જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે અને $L$ એ દોરીની લંબાઈ છે.
દોરીનું તણાવ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ અચળ રહેતું હોવાથી,તરંગની ઝડપ $v$ અચળ રહે છે.
તેથી,$f \propto \frac{1}{L}$,જેનો અર્થ છે કે $f_1 L_1 = f_2 L_2$.
આપેલ છે: $f_1 = 800 \ Hz$,$L_1 = 50 \ cm$,અને $f_2 = 1000 \ Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $800 \times 50 = 1000 \times L_2$.
$L_2 = \frac{800 \times 50}{1000} = 40 \ cm$.
આમ,દોરીની જરૂરી લંબાઈ $40 \ cm$ છે.

(D) ખેંચાયેલા તારની આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T}{\pi d^2 \rho}}$ છે,જ્યાં $d$ એ વ્યાસ છે.
બે તાર માટે આવૃત્તિનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2}{l_1} \sqrt{\frac{T_1}{T_2} \times \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2 \times \frac{\rho_2}{\rho_1}}$
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{8}{1}$,$\frac{l_1}{l_2} = \frac{36}{35}$,$\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{1}$,$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{35}{36} \sqrt{\frac{8}{1} \times \left(\frac{1}{4}\right)^2 \times \frac{2}{1}}$
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{35}{36} \sqrt{8 \times \frac{1}{16} \times 2} = \frac{35}{36} \sqrt{1} = \frac{35}{36}$.
અહીં $n_1 = 360 \ Hz$ એ ઓછી આવૃત્તિ છે,તેથી $n_1 = 360 \ Hz$ અને $n_2 = 360 \times \frac{36}{35} = 370 \ Hz$.
બીટ આવૃત્તિ = $|n_2 - n_1| = |370 - 360| = 10 \ Hz$.

(B) બંને છેડે જડિત કરેલા ખેંચાયેલા તાર માટે,હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિઓ $n_k = k \cdot n_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n_1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ (પ્રથમ હાર્મોનિક) છે અને $k = 1, 2, 3, \dots$ છે.
પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજા હાર્મોનિક $(k = 2)$ ને અનુરૂપ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ ઓવરટોન $n_2 = 320 \ Hz$ છે.
કારણ કે $n_2 = 2 \cdot n_1$,તેથી $320 \ Hz = 2 \cdot n_1$ થાય.
તેથી,પ્રથમ હાર્મોનિક $n_1 = \frac{320 \ Hz}{2} = 160 \ Hz$ મળે.

(D) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $n \propto \frac{1}{l} \sqrt{T}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = 200 \ Hz$,પ્રારંભિક લંબાઈ $l_1$,અને પ્રારંભિક તણાવ $T_1$ છે.
ધારો કે અંતિમ આવૃત્તિ $n_2$,અંતિમ લંબાઈ $l_2 = \frac{l_1}{4}$,અને અંતિમ તણાવ $T_2 = 4T_1$ છે.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{n_2}{n_1} = \frac{l_1}{l_2} \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n_2}{200} = \frac{l_1}{l_1/4} \sqrt{\frac{4T_1}{T_1}} = 4 \times \sqrt{4} = 4 \times 2 = 8$.
તેથી,$n_2 = 8 \times 200 = 1600 \ Hz$.

(B) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
તાર સમાન હોવાથી,$\mu$ અને $T$ બધા ભાગો માટે સમાન છે.
તેથી,$n \propto \frac{1}{l}$,જેનો અર્થ છે કે $nl = k$ (અચળાંક).
ત્રણ તાર માટે,આપણી પાસે $n_1 l_1 = n_2 l_2 = n_3 l_3 = k$ છે.
આના પરથી $l_1 = \frac{k}{n_1}$,$l_2 = \frac{k}{n_2}$,અને $l_3 = \frac{k}{n_3}$ મળે છે.
સંયુક્ત તારની કુલ લંબાઈ $l = l_1 + l_2 + l_3$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{k}{n} = \frac{k}{n_1} + \frac{k}{n_2} + \frac{k}{n_3}$ મળે છે.
$k$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3}$ મળે છે.

(A) જ્યારે સળિયાને તેના મધ્યબિંદુએથી જકડવામાં આવે છે,ત્યારે મધ્યબિંદુ નિસ્પંદ બિંદુ $(N)$ તરીકે અને મુક્ત છેડાઓ પ્રસ્પંદ બિંદુ $(A)$ તરીકે વર્તે છે.
સળિયાની લંબાઈ $l = 100 \ cm = 1 \ m$ છે.
કંપનની મૂળભૂત સ્થિતિ માટે,સળિયાની લંબાઈ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગ જેટલી હોય છે,એટલે કે $l = \frac{\lambda}{2}$,અથવા $\lambda = 2l$.
આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{v}{2l}$ છે.
અહીં $f = 2.53 \ kHz = 2530 \ Hz$ અને $l = 1 \ m$ આપેલ છે,તેથી:
$2530 = \frac{v}{2 \times 1}$
$v = 2530 \times 2 = 5060 \ m/s$.
$km/s$ માં ફેરવતા,આપણને $v = 5.06 \ km/s$ મળે છે.

(D) એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ નીચે મુજબ મળે: $\mu = \frac{M}{L} = \frac{2 \times 10^{-4} \ kg}{0.5 \ m} = 4 \times 10^{-4} \ kg/m$.
ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1$ નું સૂત્ર $n_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
બીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $n_2 = 2n_1 = 2 \times \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{1}{L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $n_2 = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{20}{4 \times 10^{-4}}} = 2 \times \sqrt{5 \times 10^4} = 2 \times 223.6 = 447.2 \ Hz$.

(D) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે.
આપેલ દોરી માટે $l$ અને $m$ અચળ હોવાથી,આવૃત્તિ એ તણાવના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $n \propto \sqrt{T}$.
ઓક્ટેવ એટલે મૂળભૂત આવૃત્તિ કરતા બમણી આવૃત્તિ,તેથી $n' = 2n$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{n'}{n} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T'}{T} = 4$.
તેથી,જરૂરી તણાવ $T' = 4T = 4 \times 4 \ kg \ wt = 16 \ kg \ wt$ થાય.

(D) કંપન કરતા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
કારણ કે $\mu = \pi r^2 \rho$ (જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે),તેથી આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ થાય.
આપેલ છે કે દ્રવ્ય સમાન છે,તેથી $\rho$ અચળ છે. તણાવ $T$ પણ સમાન હોવાથી,$n \propto \frac{1}{lr}$ મળે.
તેથી,આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2 r_2}{l_1 r_1}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $l_1 = L$,$l_2 = 2L$,$r_1 = 2r$,અને $r_2 = r$.
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{2L \times r}{L \times 2r} = \frac{2Lr}{2Lr} = 1$.

(C) સોનોમીટર તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આમ,$n \propto \sqrt{\frac{T}{r^2 \rho}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક મૂલ્યો $T_1 = T$,$r_1 = r$,અને $\rho_1 = \rho$ છે. નવા મૂલ્યો $T_2 = 2T$,$r_2 = 2r$,અને $\rho_2 = \frac{\rho}{2}$ છે.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1} \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \cdot \frac{\rho_1}{\rho_2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{2T}{T} \cdot \left(\frac{r}{2r}\right)^2 \cdot \frac{\rho}{\rho/2}} = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2} = \sqrt{1} = 1$.
તેથી,$n_2 = n_1 = n$.

(A) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે. $l$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \sqrt{T}$ થાય.
શરૂઆતમાં,તણાવ $T_1 = M g = 50.7 \times 10 = 507 \, N$ છે.
જ્યારે દળને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho_{water} g = 0.0075 \times 1000 \times 10 = 75 \, N$ લાગે છે.
નવો તણાવ $T_2 = M g - F_B = 507 - 75 = 432 \, N$ થાય.
ગુણોત્તર $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{260}{n_2} = \sqrt{\frac{507}{432}}$ મળે છે.
$\frac{260}{n_2} = \sqrt{1.1736} \approx 1.0833$.
$n_2 = \frac{260}{1.0833} \approx 240 \, Hz$.

(C) બંને છેડે જડિત દોરી માટે,$p$-માં હાર્મોનિક માટે તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{2L}{p}$ છે,જ્યાં $L$ એ દોરીની લંબાઈ છે અને $p$ એ મોડ નંબર છે.
આપેલ છે: $L = 2 \ m$,$p = 4$,અને આવૃત્તિ $f = 500 \ Hz$.
પ્રથમ,તરંગલંબાઈની ગણતરી કરો: $\lambda = \frac{2 \times 2}{4} = 1 \ m$.
તરંગનો વેગ $v$ એ $v = f \times \lambda$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = 500 \ Hz \times 1 \ m = 500 \ m/s$.

(D) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
જ્યાં $T$ એ તણાવ છે,$l$ એ લંબાઈ છે,અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
કારણ કે $\mu = \pi r^2 \rho$ (જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે),સૂત્ર આ રીતે બને છે:
$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{1}{2l} \frac{1}{r} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$
આ દર્શાવે છે કે $n \propto \frac{\sqrt{T}}{r}$.
આપેલ છે કે નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 2r_1$ અને નવું તણાવ $T_2 = \frac{T_1}{2}$ છે,તેથી નવી આવૃત્તિ $n_2$ અને મૂળ આવૃત્તિ $n_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{n_2}{n_1} = \frac{r_1}{r_2} \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \frac{r_1}{2r_1} \sqrt{\frac{T_1/2}{T_1}} = \frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,નવી આવૃત્તિ $n_2 = \frac{n}{2\sqrt{2}}$ થશે.

(B) સોનોમીટરના તાર માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$
તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m$ અચળ હોવાથી,આવૃત્તિ એ અનુનાદિત લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$n \propto \frac{1}{l}$
તેથી,$n_1 l_1 = n_2 l_2$
આપેલ છે:
$n_1 = 256 \ Hz$,$l_1 = 25 \ cm$,$l_2 = 16 \ cm$
કિંમતો મૂકતા:
$256 \times 25 = n_2 \times 16$
$n_2 = \frac{256 \times 25}{16}$
$n_2 = 16 \times 25 = 400 \ Hz$
આમ,બીજા ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $400 \ Hz$ છે.

(B) અનુનાદની સ્થિતિમાં,અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(n)$ ની આવૃત્તિ એ કંપન કરતા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ જેટલી હોય છે.
ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 1 \, m$
તણાવ $T = 10 \, kg \text{-} wt = 10 \times 9.8 \, N = 98 \, N$
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = 9.8 \, g/m = 9.8 \times 10^{-3} \, kg/m$
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{1}{2 \times 1} \sqrt{\frac{98}{9.8 \times 10^{-3}}}$
$n = \frac{1}{2} \sqrt{10000}$
$n = \frac{1}{2} \times 100 = 50 \, Hz$.

(B) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત (લઘુત્તમ) આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આપેલ છે: ઘનતા $\rho = 9 \times 10^3 \text{ kg/m}^3$,લંબાઈ $l = 1 \text{ m}$,વિસ્તરણ $\Delta l = 4.9 \times 10^{-4} \text{ m}$,અને યંગ મોડ્યુલસ $Y = 9 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m = \frac{M}{l} = \frac{A \cdot l \cdot \rho}{l} = A\rho$.
યંગ મોડ્યુલસ પરથી,$Y = \frac{T/A}{\Delta l/l} \implies T = \frac{Y \cdot A \cdot \Delta l}{l}$.
આવૃત્તિના સૂત્રમાં $T$ અને $m$ ની કિંમત મૂકતા:
$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Y \cdot A \cdot \Delta l / l}{A \cdot \rho}} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Y \cdot \Delta l}{l \cdot \rho}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{1}{2 \times 1} \sqrt{\frac{9 \times 10^{10} \times 4.9 \times 10^{-4}}{1 \times 9 \times 10^3}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{9 \times 4.9 \times 10^6}{9 \times 10^3}} = \frac{1}{2} \sqrt{4.9 \times 10^3} = \frac{1}{2} \sqrt{4900} = \frac{70}{2} = 35 \text{ Hz}$.

(C) ખેંચાયેલા તારની કંપન આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવૃત્તિ $N$ અચળ રહેતી હોવાથી,$L \propto \sqrt{T}$ મળે,જ્યાં $T$ એ તારમાં તણાવ છે.
હવામાં,તણાવ $T_{air} = V \rho g$ છે,જ્યાં $V$ એ પથ્થરનું કદ અને $\rho$ તેની ઘનતા છે.
જ્યારે પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે ત્યારે તણાવ $T_{water} = V(\rho - \sigma)g$ થાય છે,જ્યાં $\sigma$ એ પાણીની ઘનતા છે. $\sigma = 1$ લેતા,$T_{water} = V(\rho - 1)g$.
આમ,$\frac{L}{l} = \sqrt{\frac{T_{air}}{T_{water}}} = \sqrt{\frac{V \rho g}{V(\rho - 1)g}} = \sqrt{\frac{\rho}{\rho - 1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{L^2}{l^2} = \frac{\rho}{\rho - 1}$.
$\rho(l^2) = L^2(\rho - 1) \implies \rho l^2 = L^2 \rho - L^2$.
$L^2 = \rho(L^2 - l^2)$.
તેથી,$\rho = \frac{L^2}{L^2 - l^2}$.

(C) દોરીના કંપનની આવૃત્તિ $n = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ લૂપ્સની સંખ્યા છે,$l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
$n$,$l$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$p \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$,જેનો અર્થ છે કે $p_1 \sqrt{T_1} = p_2 \sqrt{T_2}$.
અહીં $p_1 = 4$ અને $T_1 = (50 + 15) \,g = 65 \,g$ આપેલ છે.
$p_2 = 6$ માટે,$4 \sqrt{65} = 6 \sqrt{T_2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $16 \times 65 = 36 \times T_2$.
$T_2 = \frac{16 \times 65}{36} = \frac{4 \times 65}{9} \approx 28.89 \,g$.
દૂર કરવા પડતું વજન $\Delta T = T_1 - T_2 = 65 - 28.89 = 36.11 \,g \approx 36 \,g$.
તેને $kg$ માં ફેરવતા,$36 \,g = 0.036 \,kg \,wt$ મળે છે.

(A) કંપન કરતા તારની આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$
જ્યાં $p$ એ કંપનનો પ્રકાર છે,$l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
આપેલ છે કે $l$,$r$,અને $T$ અચળ છે,તેથી આવૃત્તિ $n$ અને ઘનતા $\rho$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$n \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$
આ એક વ્યસ્ત સંબંધ દર્શાવે છે,જે આલેખમાં લંબચોરસ હાયપરબોલા (rectangular hyperbola) તરીકે દેખાય છે. જેમ $\sqrt{\rho}$ વધે છે,તેમ $n$ ઘટે છે. તેથી,સાચો આલેખ હાયપરબોલા છે.

(A) સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિ $n$ તેની લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $n \propto \frac{1}{l}$.
આપેલ છે કે સ્વરકાંટો $95 \, cm$ અને $100 \, cm$ લંબાઈ સાથે $4$ સ્પંદ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન કરે છે.
ધારો કે સ્વરકાંટાની આવૃત્તિ $n$ છે.
$l_1 = 95 \, cm$ માટે,તારની આવૃત્તિ $n_1 = \frac{k}{95}$ છે. $l_1 < l_2$ હોવાથી,$n_1 > n_2$ થાય. તેથી,$n_1 = n + 4$.
$l_2 = 100 \, cm$ માટે,તારની આવૃત્તિ $n_2 = \frac{k}{100}$ છે. તેથી,$n_2 = n - 4$.
આપણી પાસે સંબંધ છે: $(n + 4) \times 95 = (n - 4) \times 100$.
$95n + 380 = 100n - 400$.
$5n = 780$.
$n = 156 \, Hz$.

(C) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દોરી માટે તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \frac{1}{l}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $l = \frac{k}{n}$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
જ્યારે દોરીને $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ લંબાઈના ત્રણ ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે,જેની મૂળભૂત આવૃત્તિઓ અનુક્રમે $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ છે,ત્યારે $l_{1} = \frac{k}{n_{1}}$,$l_{2} = \frac{k}{n_{2}}$,અને $l_{3} = \frac{k}{n_{3}}$ થાય.
દોરીની કુલ લંબાઈ $l = l_{1} + l_{2} + l_{3}$ છે.
આવૃત્તિના સંદર્ભમાં લંબાઈના પદો મૂકતા,આપણને $\frac{k}{n} = \frac{k}{n_{1}} + \frac{k}{n_{2}} + \frac{k}{n_{3}}$ મળે છે.
$k$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}} + \frac{1}{n_{3}}$ સંબંધ મળે છે.

(C) મૂળભૂત આવૃત્તિ (પ્રથમ હાર્મોનિક) $n_1 = 100 \, Hz$ આપેલ છે.
બે નિશ્ચિત બિંદુઓ વચ્ચે ખેંચાયેલી દોરીમાં,હાર્મોનિક્સ $n_k = k \times n_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ હાર્મોનિક ક્રમાંક છે $(k = 1, 2, 3, \dots)$.
પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજો હાર્મોનિક છે $(n_2 = 2n_1)$.
બીજો ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક છે $(n_3 = 3n_1)$.
ત્રીજો ઓવરટોન એ ચોથો હાર્મોનિક છે $(n_4 = 4n_1)$.
તેથી,ત્રીજા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $n_4 = 4 \times 100 \, Hz = 400 \, Hz$ છે.

(D) જ્યારે કોઈ તારને એક છેડાથી તેની લંબાઈના $\frac{1}{n}$ ભાગે છેડવામાં આવે છે,ત્યારે $n$મું હાર્મોનિક સૌથી મુખ્ય હોય છે.
આ કિસ્સામાં,તારને તેના છેડાથી તેની લંબાઈના $\frac{1}{4}$ ભાગે છેડવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 4$.
જો કે,પ્રશ્ન સૌથી મુખ્ય હાર્મોનિક વિશે પૂછે છે. જો તારને $\frac{L}{n}$ પર છેડવામાં આવે,તો જો $n$ એ હાર્મોનિક નંબરનો ગુણક હોય તો $n$મું હાર્મોનિક ગેરહાજર હોય છે. ખાસ કરીને,જો $\frac{1}{4}$ ભાગે છેડવામાં આવે,તો $4$થા હાર્મોનિકમાં છેડવાના બિંદુ પર નોડ (node) હોય છે અને તેથી તે ગેરહાજર હોય છે.
હાજર રહેલા હાર્મોનિક્સ તે છે જ્યાં છેડવાનું બિંદુ એ એન્ટિનોડ (antinode) હોય છે. $\frac{L}{4}$ પર છેડવામાં આવેલા તાર માટે,$1$લું,$2$જું,$3$જું,$5$મું,વગેરે હાર્મોનિક્સ હાજર હોય છે. $2$જું હાર્મોનિક નીચલા હાર્મોનિક્સમાં સૌથી મુખ્ય છે કારણ કે છેડવાનું બિંદુ $2$જા હાર્મોનિકના એન્ટિનોડ સાથે સુસંગત છે (જેમાં $\frac{L}{4}$ અને $\frac{3L}{4}$ પર એન્ટિનોડ હોય છે). આમ,$2$જું હાર્મોનિક સૌથી મુખ્ય છે.

(C) કંપન કરતી દોરી માટે,આવૃત્તિ $n$ અને લંબાઈ $l$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે,એટલે કે $n_1 l_1 = n_2 l_2 = n_3 l_3 = \dots = nl = k$ (અચળ).
દોરીની કુલ લંબાઈ તેના વિભાગોની લંબાઈના સરવાળા જેટલી હોવાથી,$l_1 + l_2 + l_3 + \dots = l$ થાય.
સમીકરણમાં $l_i = \frac{k}{n_i}$ અને $l = \frac{k}{n}$ મૂકતા,આપણને $\frac{k}{n_1} + \frac{k}{n_2} + \frac{k}{n_3} + \dots = \frac{k}{n}$ મળે છે.
બંને બાજુ $k$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3} + \dots$ મળે છે.

(B) જ્યારે તારને ઠંડો કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે સંકોચન પામવાનો પ્રયત્ન કરે છે,પરંતુ તે દ્રઢ આધાર વચ્ચે બાંધેલો હોવાથી તારમાં તણાવ $F$ ઉત્પન્ન થાય છે.
ઉષ્મીય વિકૃતિ $\alpha \Delta T$ એ સ્થિતિસ્થાપક વિકૃતિ $\frac{F}{AY}$ જેટલી હોય છે.
$\frac{F}{AY} = \alpha \Delta T \implies F = Y A \alpha \Delta T$
લંબગત કંપનની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{F}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
કારણ કે $\mu = \rho A$,આપણે $F$ અને $\mu$ ની કિંમત આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકીએ છીએ:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y A \alpha \Delta T}{\rho A}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \alpha \Delta T}{\rho}}$
અહીં $L$ અને $\Delta T$ અચળ હોવાથી,$f \propto \sqrt{\frac{Y \alpha}{\rho}}$.

(D) સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે. તેથી $f \propto \sqrt{T}$,એટલે કે $f \propto \sqrt{Mg}$.
જ્યારે દળ $M$ ને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક તણાવ $T_w = Mg - V\rho_w g$ થાય છે,જ્યાં $V$ એ દળનું કદ છે અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે. આપેલ છે કે $f_w = f/2$,તેથી:
$\frac{f}{2} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Mg - V\rho_w g}{\mu}} \implies \frac{1}{4} = \frac{Mg - V\rho_w g}{Mg} = 1 - \frac{V\rho_w}{M}$.
આમ,$\frac{V\rho_w}{M} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,તેથી $V = \frac{3M}{4\rho_w}$.
જ્યારે દળને $\rho_L$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે આવૃત્તિ $f_L = f/3$ થાય છે. અસરકારક તણાવ $T_L = Mg - V\rho_L g$ છે. તેથી:
$\frac{f}{3} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Mg - V\rho_L g}{\mu}} \implies \frac{1}{9} = \frac{Mg - V\rho_L g}{Mg} = 1 - \frac{V\rho_L}{M}$.
$V = \frac{3M}{4\rho_w}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{9} = 1 - \frac{3M}{4\rho_w} \cdot \frac{\rho_L}{M} \implies \frac{3}{4} \cdot \frac{\rho_L}{\rho_w} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઘનતા $\frac{\rho_L}{\rho_w} = \frac{8}{9} \cdot \frac{4}{3} = \frac{32}{27}$.

(C) સોનોમીટરના તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{v}{2L} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
અહીં $\mu = A \rho$ હોવાથી,$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$ થાય.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{T/A}{\Delta L/L}$ પરથી,$\frac{T}{A} = Y \times \text{વિકૃતિ} = Y \times \frac{\Delta L}{L}$ મળે.
આ કિંમત આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \times \text{વિકૃતિ}}{\rho}}$.
આપેલ છે: $L = 1.5 \ m$,$\text{વિકૃતિ} = 1\% = 0.01$,$Y = 2.2 \times 10^{11} \ N/m^2$,$\rho = 7.7 \times 10^3 \ kg/m^3$.
$f = \frac{1}{2 \times 1.5} \sqrt{\frac{2.2 \times 10^{11} \times 0.01}{7.7 \times 10^3}}$.
$f = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2.2 \times 10^9}{7.7}} = \frac{1}{3} \sqrt{0.2857 \times 10^9} \approx 178.2 \ Hz$.

(C) મૂળભૂત મોડ માટેનું સમીકરણ $L = \frac{1}{2f\sqrt{\mu}} \sqrt{T}$ છે.
આને રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = L$ અને $x = \sqrt{T}$,ઢાળ $m = \frac{1}{2f\sqrt{\mu}}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $m = 8.0 \times 10^{-3}$ અને $\mu = 1.0 \times 10^{-4} \ kg/m$,તેથી:
$8.0 \times 10^{-3} = \frac{1}{2f \sqrt{1.0 \times 10^{-4}}} = \frac{1}{2f \times 10^{-2}}$.
$f$ માટે ઉકેલતા: $f = \frac{1}{2 \times 10^{-2} \times 8.0 \times 10^{-3}} = \frac{1}{16 \times 10^{-5}} = \frac{10^5}{16} = 6250 \ Hz$.
ભૂલ $\Delta f$ શોધવા માટે,આપણે $f = \frac{1}{2m\sqrt{\mu}}$ માંથી સાપેક્ષ ભૂલનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ:
$\frac{\Delta f}{f} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{1}{2} \frac{\Delta \mu}{\mu}$.
આપેલ છે કે $\Delta m = 0.3 \times 10^{-3}$ અને $\Delta \mu = 0.1 \times 10^{-4}$:
$\frac{\Delta f}{f} = \frac{0.3 \times 10^{-3}}{8.0 \times 10^{-3}} + \frac{1}{2} \left( \frac{0.1 \times 10^{-4}}{1.0 \times 10^{-4}} \right) = \frac{0.3}{8.0} + \frac{0.1}{2} = 0.0375 + 0.05 = 0.0875$.
$\Delta f = 6250 \times 0.0875 = 546.875 \ Hz \approx 546.9 \ Hz$.
આમ,$f = (6250 \pm 546.9) \ Hz$.