Stationary Waves (Standing wave) Questions in Hindi

(A) अप्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \cos(kx) \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = 0.8 \cos \left( \frac{\pi x}{20} \right) \sin(200 \pi t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = \frac{\pi}{20}$ प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$,इसलिए $\frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{\pi}{20}$।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 40 \, cm$ प्राप्त होता है।
अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
अतः,पृथक्करण $\frac{40}{2} = 20 \, cm$ होगा।

(D) अप्रगामी तरंग में,एक ही लूप के भीतर (दो क्रमागत निस्पंद बिंदुओं के बीच) सभी कण एक-दूसरे के साथ समान कला में कंपन करते हैं।
आसन्न लूपों में स्थित कण विपरीत कलाओं में कंपन करते हैं।
चूंकि बिंदु $A$ पहले लूप में है और बिंदु $B$ दूसरे लूप में है,इसलिए वे एक निस्पंद बिंदु द्वारा अलग किए गए हैं।
अतः,$A$ और $B$ स्थितियों पर स्थित कण विपरीत कला में हैं।
विपरीत कला में स्थित कणों के बीच का कलांतर $\pi$ रेडियन होता है।

(A) अप्रगामी तरंग का मानक समीकरण $Y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $Y = 10 \sin \left( \frac{\pi x}{4} \right) \cos(20 \pi t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{4}$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 8 \ m$ प्राप्त होता है।
अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
अतः,दूरी $= \frac{8}{2} = 4 \ m$ है।

(B) माना पहली तरंग $y_1 = a \sin(\omega t - kx)$ है।
माना अज्ञात तरंग $y_2 = A \sin(\omega t + kx + \phi)$ है।
परिणामी तरंग $y = y_1 + y_2$ है।
$x = 0$ पर एक निस्पंद बनता है,जिसका अर्थ है कि $x = 0$ पर सभी $t$ के लिए परिणामी विस्थापन $y$ शून्य होना चाहिए।
$y(0, t) = a \sin(\omega t) + A \sin(\omega t + \phi) = 0$.
इसके सभी $t$ के लिए सत्य होने हेतु,तरंगों का परिमाण समान और कला विपरीत होनी चाहिए।
अतः,$A = a$ और $\phi = \pi$ (या $\pi$ का कलांतर)।
$y_2 = a \sin(\omega t + kx + \pi) = -a \sin(\omega t + kx)$.
इसलिए,अज्ञात तरंग का समीकरण $y = -a \sin(\omega t + kx)$ है।

(A) अप्रगामी तरंग के लिए दिया गया व्यंजक $y = a \sin bx \sin \omega t$ है।
इसे अप्रगामी तरंग के मानक समीकरण $y = R \sin \left( \frac{2 \pi x}{\lambda} \right) \sin \omega t$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2 \pi}{\lambda} = b$
इससे,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान है:
$\lambda = \frac{2 \pi}{b}$
एक अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत निस्पंदों (nodes) के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य की आधी होती है,अर्थात $\frac{\lambda}{2}$।
$\lambda$ का मान रखने पर:
दूरी $= \frac{\lambda}{2} = \frac{2 \pi / b}{2} = \frac{\pi}{b}$।

(B) स्थिर तरंगों के निर्माण के लिए यह आवश्यक है कि माध्यम असीमित न हो बल्कि उसकी सीमाएं हों। ऐसे माध्यम में संचरित होने वाली तरंग सीमा पर परावर्तित होती है और विपरीत दिशा में यात्रा करने वाली समान प्रकार की तरंग उत्पन्न करती है। इन दो तरंगों के अध्यारोपण से एक स्थिर तरंग बनती है। अतः,$Assertion$ सही है।
स्थिर तरंगों में,माध्यम के कुछ बिंदु ऐसे होते हैं जो स्थायी रूप से विराम अवस्था में रहते हैं,अर्थात उनका विस्थापन हमेशा शून्य होता है। इन बिंदुओं को निस्पंद (nodes) कहा जाता है। अतः,$Reason$ भी सही है।
हालाँकि,यह तथ्य कि कुछ कण स्थिर रहते हैं,स्थिर तरंगों का एक गुण है,न कि यह कारण कि माध्यम परिबद्ध क्यों होना चाहिए। इसलिए,$Reason$ सही व्याख्या नहीं है $Assertion$ की।

(N/A) अप्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y(x, t) = 2a \sin(kx) \cos(\omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $y(x, t) = 0.06 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} x\right) \cos (120 \pi t)$ के साथ तुलना करने पर,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि यह एक अप्रगामी तरंग को दर्शाता है।
$(b)$ एक अप्रगामी तरंग दो तरंगों का अध्यारोपण है: $y_1 = a \sin(\omega t - kx)$ और $y_2 = a \sin(\omega t + kx)$।
दिए गए समीकरण की तुलना $y = 2a \sin(kx) \cos(\omega t)$ से करने पर,हमें $k = \frac{2 \pi}{3}$ और $\omega = 120 \pi$ प्राप्त होता है।
चूँकि $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$,हमें $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{2 \pi / 3} = 3 \; m$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\omega = 2 \pi \nu$,हमें $\nu = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{120 \pi}{2 \pi} = 60 \; Hz$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक तरंग की गति $v = \nu \lambda = 60 \times 3 = 180 \; m/s$ है।
$(c)$ डोरी पर एक अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $\mu = \frac{m}{l} = \frac{3.0 \times 10^{-2}}{1.5} = 2 \times 10^{-2} \; kg/m$ है।
अतः,$T = v^2 \mu = (180)^2 \times (2 \times 10^{-2}) = 32400 \times 0.02 = 648 \; N$।

(N/A) $(i)$ दिया गया समीकरण एक अप्रगामी तरंग (standing wave) को दर्शाता है।
$(a)$ हाँ,डोरी के सभी बिंदु $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{120\pi}{2\pi} = 60 \, Hz$ की समान आवृत्ति के साथ दोलन करते हैं,सिवाय निस्पंद बिंदुओं (nodes) के जहाँ आयाम शून्य होता है।
$(b)$ नहीं,सभी बिंदु समान कला में दोलन नहीं करते हैं। एक ही लूप के भीतर के बिंदु समान कला में दोलन करते हैं,लेकिन आसन्न लूप के बिंदु $\pi$ रेडियन के कला अंतर के साथ दोलन करते हैं।
$(c)$ नहीं,सभी बिंदु समान आयाम के साथ दोलन नहीं करते हैं। $x$ स्थिति पर एक बिंदु का आयाम $A(x) = 0.06 \sin \left(\frac{2\pi}{3} x\right)$ द्वारा दिया जाता है,जो स्थिति $x$ पर निर्भर करता है।
$(ii)$ $x = 0.375 \, m$ पर स्थित बिंदु का आयाम है:
$A = 0.06 \sin \left(\frac{2\pi}{3} \times 0.375\right)$
$A = 0.06 \sin \left(\frac{2\pi}{3} \times \frac{3}{8}\right)$
$A = 0.06 \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)$
$A = 0.06 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.0424 \, m$.

(N/A) $+x$-दिशा में गति करती हुई एक तरंग पल्स जब किसी दृढ़ (स्थिर) आधार से टकराती है,तो वह $-x$-दिशा में परावर्तित हो जाती है।
यदि हम यह मान लें कि सीमा पर ऊर्जा का कोई अवशोषण नहीं होता है,तो परावर्तित पल्स का आकार आपतित पल्स के समान ही रहता है,लेकिन इसकी कला (phase) $180^{\circ}$ या $\pi$ रेडियन से बदल जाती है।
इसका कारण यह है कि आधार स्थिर है,इसलिए उस बिंदु पर विस्थापन हमेशा शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि $t$ समय पर आपतित प्रगामी तरंग का विस्थापन $y_{i}(x, t) = a \sin(kx - \omega t)$ है।
मान लीजिए कि परावर्तित तरंग का विस्थापन $y_{r}(x, t)$ है।
अध्यारोपण के सिद्धांत (superposition principle) के अनुसार,परिणामी विस्थापन $y(x, t)$ इस प्रकार है:
$y(x, t) = y_{i}(x, t) + y_{r}(x, t)$
चूंकि आधार दृढ़ है,स्थिर सिरे पर विस्थापन हमेशा शून्य होता है,इसलिए $y(x, t) = 0$।
अतः,$0 = y_{i}(x, t) + y_{r}(x, t)$
इसका अर्थ है कि $y_{r}(x, t) = -y_{i}(x, t)$
आपतित तरंग का समीकरण रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y_{r}(x, t) = -a \sin(kx - \omega t) = a \sin(kx - \omega t + \pi)$

(N/A) जब एक अनुप्रस्थ तरंग स्पंद (transverse wave pulse) एक डोरी के साथ यात्रा करती है और एक मुक्त सिरे (जैसे घर्षण रहित छड़ पर एक छल्ला) तक पहुँचती है,तो यह बिना किसी कला परिवर्तन (phase change) के वापस परावर्तित हो जाती है।
$1$. जैसे ही स्पंद मुक्त सिरे पर पहुँचता है,सिरा अपने अधिकतम आयाम तक विस्थापित हो जाता है।
$2$. चूंकि आधार मुक्त है,यह आपतित स्पंद की विपरीत दिशा में कोई प्रत्यानयन बल (restoring force) नहीं लगाता है।
$3$. परिणामस्वरूप,परावर्तित स्पंद की ध्रुवीयता (polarity) आपतित स्पंद के समान ही रहती है (अर्थात श्रृंग का परावर्तन श्रृंग के रूप में ही होता है)।
$4$. मुक्त सीमा पर परावर्तन के दौरान $\pi$ रेडियन (या $180^{\circ}$) का कोई कला परिवर्तन नहीं होता है।

(N/A) अप्रगामी तरंगें (Stationary waves): जब समान आयाम,आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य वाली दो तरंगें एक ही रेखा पर विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं और अध्यारोपित होती हैं,तो बनने वाली परिणामी तरंग को अप्रगामी तरंग कहा जाता है।
ये परिणामी तरंगें किसी भी दिशा में आगे नहीं बढ़ती हैं; इसलिए,वे ऊर्जा का संचरण नहीं करती हैं।
समीकरण प्राप्त करने के लिए,समान आयाम $a$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ वाली दो तरंगों पर विचार करें जो विपरीत दिशाओं में यात्रा कर रही हैं:
$1$. धनात्मक $x$-दिशा में यात्रा करने वाली तरंग: $y_{1}(x, t) = a \sin(kx - \omega t)$
$2$. ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा करने वाली तरंग: $y_{2}(x, t) = a \sin(kx + \omega t)$
अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,परिणामी विस्थापन $y$ है:
$y = y_{1} + y_{2}$
$y = a \sin(kx - \omega t) + a \sin(kx + \omega t)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A) + \sin(B) = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$y = 2a \sin(kx) \cos(\omega t)$
यह एक अप्रगामी तरंग का समीकरण है,जहाँ $2a \sin(kx)$ स्थिति $x$ पर कण के आयाम को दर्शाता है।

(N/A) अप्रगामी तरंग का समीकरण इस प्रकार है:
$y(x, t) = 2a \sin(kx) \cos(\omega t)$ ... $(1)$
यहाँ,पद $2a \sin(kx)$ स्थिति $x$ पर दोलन के आयाम को दर्शाता है। चूंकि आयाम $x$ पर निर्भर करता है,इसलिए डोरी के विभिन्न बिंदु अलग-अलग आयामों के साथ दोलन करते हैं।
नोड्स (Nodes): वे बिंदु जहाँ दोलन का आयाम शून्य होता है,उन्हें नोड्स कहते हैं।
समीकरण $(1)$ में,नोड्स के लिए $2a \sin(kx) = 0$ होना चाहिए।
$\sin(kx) = 0 \implies kx = n\pi$,जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
चूंकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $\frac{2\pi}{\lambda} x = n\pi$।
अतः,$x = \frac{n\lambda}{2}$ जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
दो क्रमागत नोड्स के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
एंटीनोड्स (Antinodes): वे बिंदु जहाँ दोलन का आयाम अधिकतम होता है,उन्हें एंटीनोड्स कहते हैं।
समीकरण $(1)$ में,एंटीनोड्स के लिए $|\sin(kx)| = 1$ होना चाहिए।
$kx = (n + \frac{1}{2})\pi$,जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
$\frac{2\pi}{\lambda} x = (n + \frac{1}{2})\pi$।
अतः,$x = (n + \frac{1}{2})\frac{\lambda}{2}$ जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$

(B) छोटे हाथ के ड्रम (एक गोलाकार झिल्ली) के लिए,सामान्य मोड (normal modes) इस सीमा स्थिति (boundary condition) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं कि झिल्ली की परिधि स्थिर (clamped) है।
चूंकि सीमा स्थिर है,इसलिए परिधि पर विस्थापन हर समय $t$ के लिए शून्य होना चाहिए।
यह स्थिति झिल्ली पर स्थिर तरंगों (stationary waves) के निर्माण की ओर ले जाती है,जहाँ सामान्य मोड कंपन के विशिष्ट पैटर्न (नोडल लाइन) के अनुरूप होते हैं जो इस सीमा स्थिति को संतुष्ट करते हैं।

(C) जब कोई तरंग एक माध्यम से यात्रा करती है और एक कठोर सीमा (स्थिर सिरे) से टकराती है,तो उसका परावर्तन होता है।
दृढ़ आधार के लिए सीमा शर्तों के अनुसार,सीमा पर विस्थापन हमेशा शून्य होना चाहिए।
इस स्थिति को पूरा करने के लिए,परावर्तित तरंग को आपतित तरंग के साथ $180^{\circ}$ के कला अंतर पर होना चाहिए।
इसलिए,एक दृढ़ आधार से परावर्तन के कारण तरंग की कला में परिवर्तन $\pi$ रेडियन होता है।

(N/A) $1$. अपवर्तित तरंग: जब कोई तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है,तो गति में परिवर्तन के कारण उसकी दिशा बदल जाती है। इस घटना को अपवर्तन कहा जाता है,और दूसरे माध्यम में मौजूद तरंग को अपवर्तित तरंग के रूप में जाना जाता है।
$2$. स्थिर तरंग: एक स्थिर तरंग (या स्टैंडिंग वेव) एक ही माध्यम में विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो समान तरंगों के अध्यारोपण से बनती है। इस तरंग में,विक्षोभ माध्यम के माध्यम से आगे नहीं बढ़ता है और ऊर्जा का एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक स्थानांतरण नहीं होता है। शून्य आयाम वाले बिंदुओं को निस्पंद (nodes) कहा जाता है,और अधिकतम आयाम वाले बिंदुओं को प्रस्पंद (antinodes) कहा जाता है।

(B) एक स्थिर तरंग में,कणों के कंपन का आयाम उनकी स्थिति $x$ पर निर्भर करता है। आयाम $A(x) = 2a \sin(kx)$ द्वारा दिया जाता है। इस प्रकार,आयाम हर बिंदु पर बदलता रहता है।
दो क्रमागत निस्पंद बिंदुओं (nodes) के बीच के सभी कण समान कला में कंपन करते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका कलांतर $0$ है।
आसन्न लूप में कण विपरीत कला में कंपन करते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका कलांतर $\pi$ रेडियन है।
इसलिए,समान अंतराल के कणों के लिए (दो क्रमागत निस्पंद बिंदुओं के बीच),आयाम बदलता है और कलांतर $0$ होता है।

(C) अप्रगामी तरंग में, दो क्रमिक निस्पंद बिंदुओं (nodes) के बीच के सभी कण समान कला में कंपन करते हैं।
आसन्न खंडों में स्थित कण (जो एक निस्पंद बिंदु द्वारा अलग होते हैं) विपरीत कला में कंपन करते हैं।
क्रमिक अंतरालों में कणों के बीच का कलान्तर $\pi$ रेडियन होता है।

(N/A) अप्रगामी तरंग (stationary wave) में,निस्पंद बिंदु और प्रस्पंद बिंदु उनके विस्थापन आयाम द्वारा परिभाषित विशिष्ट बिंदु हैं:
$1$. निस्पंद बिंदु (Node): ये अप्रगामी तरंग में वे बिंदु हैं जहाँ माध्यम के कणों का विस्थापन हमेशा शून्य होता है। इन बिंदुओं पर कंपन का आयाम $0$ होता है। ये उन स्थितियों पर होते हैं जहाँ तरंगों का विनाशी व्यतिकरण (destructive interference) होता है।
$2$. प्रस्पंद बिंदु (Antinode): ये अप्रगामी तरंग में वे बिंदु हैं जहाँ माध्यम के कणों का विस्थापन अधिकतम होता है। इन बिंदुओं पर कंपन का आयाम अधिकतम होता है। ये उन स्थितियों पर होते हैं जहाँ तरंगों का संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) होता है।

(A) विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो समान तरंगों के अध्यारोपण से बनी एक अप्रगामी तरंग में,विस्थापन $y = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
नोड पर,कंपन का आयाम शून्य होता है क्योंकि इन बिंदुओं पर विस्थापन हमेशा शून्य होता है,अर्थात $\sin(kx) = 0$।
एंटी-नोड पर,कंपन का आयाम अधिकतम होता है,जो $2A$ है,क्योंकि इन बिंदुओं पर विस्थापन अधिकतम होता है,अर्थात $|\sin(kx)| = 1$।

(B) एक अप्रगामी तरंग (जिसे स्थिर तरंग भी कहा जाता है) विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो समान तरंगों के अध्यारोपण द्वारा बनती है।
अप्रगामी तरंग में,ऊर्जा निस्पंदों (nodes) के बीच फंसी रहती है।
यद्यपि माध्यम के कण दोलन करते हैं,लेकिन माध्यम में ऊर्जा का कोई शुद्ध स्थानांतरण नहीं होता है।
इसलिए,यह कथन कि अप्रगामी तरंगें ऊर्जा का चालन करती हैं,असत्य है।

(B) एक अप्रगामी तरंग (या स्थिर तरंग) विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो समान तरंगों के अध्यारोपण से बनती है।
अप्रगामी तरंग में,ऊर्जा निस्पंदों (nodes) और प्रस्पंदों (antinodes) के बीच सीमित रहती है।
यद्यपि माध्यम के कण दोलन करते हैं,लेकिन माध्यम के किसी भी अनुप्रस्थ काट से ऊर्जा का कोई शुद्ध स्थानांतरण नहीं होता है।
इसलिए,अप्रगामी तरंग का सबसे महत्वपूर्ण गुण यह है कि यह एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऊर्जा का स्थानांतरण नहीं करती है।

(N/A) मूलभूत मोड,जिसे प्रथम हार्मोनिक के रूप में भी जाना जाता है,किसी प्रणाली (जैसे कि एक डोरी या वायु स्तंभ) के कंपन की सबसे कम आवृत्ति है। इस मोड में,प्रणाली सबसे सरल संभव अप्रगामी तरंग (standing wave) पैटर्न के साथ कंपन करती है,जिसमें नोड्स (nodes) और एंटीनोड्स (antinodes) की संख्या न्यूनतम होती है। दोनों सिरों पर बंधी हुई डोरी के लिए,मूलभूत मोड लंबाई $L = \lambda / 2$ के अनुरूप होता है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है। इस मोड की आवृत्ति $f = v / (2L)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ तरंग की गति है।

(N/A) अप्रगामी तरंग में,दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
इसी प्रकार,दो क्रमागत प्रस्पंदों के बीच की दूरी भी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
एक निस्पंद और उसके क्रमागत प्रस्पंद के बीच की दूरी,दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी की आधी होती है।
अतः,एक क्रमागत निस्पंद और प्रस्पंद के बीच की दूरी $\frac{1}{2} \times \frac{\lambda}{2} = \frac{\lambda}{4}$ होती है।

(C) जब डोरी पर यात्रा करने वाली तरंग एक स्थिर दृढ़ आधार से टकराती है,तो सीमा स्थिति (boundary condition) के अनुसार आधार पर विस्थापन हर समय शून्य होना चाहिए।
इस स्थिति को पूरा करने के लिए,परावर्तित तरंग का आयाम आपतित तरंग के बराबर होना चाहिए लेकिन कला विपरीत होनी चाहिए।
गणितीय रूप से,यदि आपतित तरंग $y_i = A \sin(kx - \omega t)$ है,तो परावर्तित तरंग $y_r = A \sin(kx + \omega t + \pi)$ हो जाती है।
इसलिए,एक स्थिर दृढ़ आधार से परावर्तन पर कला में परिवर्तन $\pi \text{ rad}$ होता है।

(N/A) विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो समान तरंगों के अध्यारोपण से बनी अप्रगामी तरंग में,आयाम स्थिति के साथ बदलता रहता है।
$1$. निस्पंद (node) पर,दोनों तरंगें विनाशी व्यतिकरण करती हैं,जिसके परिणामस्वरूप विस्थापन $0$ होता है। अतः,निस्पंद पर आयाम $0$ होता है।
$2$. प्रस्पंद (antinode) पर,दोनों तरंगें संपोषी व्यतिकरण करती हैं,जिसके परिणामस्वरूप अधिकतम विस्थापन प्राप्त होता है। यदि प्रत्येक घटक तरंग का आयाम $A$ है,तो प्रस्पंद पर आयाम $2A$ होता है।

(B) एक अप्रगामी तरंग में,क्रमागत निस्पंद और प्रस्पंद के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{4}$ होती है।
यहाँ दिया गया है कि $\frac{\lambda}{4} = 5 \ cm$,जिससे तरंगदैर्ध्य $\lambda = 20 \ cm$ प्राप्त होती है।
दो क्रमागत प्रस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
$\lambda$ का मान रखने पर,दूरी $\frac{20 \ cm}{2} = 10 \ cm$ प्राप्त होती है।

(C) एक अप्रगामी तरंग (standing wave) तब बनती है जब समान आवृत्ति और आयाम वाली दो तरंगें विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं और एक-दूसरे के साथ व्यतिकरण करती हैं।
किसी सीमित क्षेत्र में तरंग के अप्रगामी तरंग के रूप में बने रहने के लिए, उसे उस क्षेत्र की सीमा शर्तों (boundary conditions) को पूरा करना होगा।
यह रचनात्मक व्यतिकरण की स्थिति की ओर ले जाता है जहाँ तरंगों के बीच का पथ अंतर तरंग दैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए, अर्थात $L = n \lambda / 2$, जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
यह सिद्धांत हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल के लिए मौलिक है, जहाँ एक स्थिर कक्षा बनाए रखने के लिए इलेक्ट्रॉन तरंग को नाभिक के चारों ओर एक अप्रगामी तरंग बनानी पड़ती है।

(A) अप्रगामी तरंग (stationary wave) में,दबाव में परिवर्तन माध्यम के कणों के विस्थापन से संबंधित होता है।
नोडल बिंदु $(ii)$ पर,कणों का विस्थापन शून्य होता है,जो दबाव में अधिकतम परिवर्तन (प्रेशर एंटीनोड) के अनुरूप होता है।
एंटीनोडल बिंदु $(i)$ पर,कणों का विस्थापन अधिकतम होता है,जो दबाव में न्यूनतम परिवर्तन (प्रेशर नोड) के अनुरूप होता है।
अतः,सही मिलान है: $(a-i), (b-ii)$.

(N/A) दिया गया चित्र एक अप्रगामी तरंग (stationary wave) को दर्शाता है क्योंकि निस्पंद (शून्य विस्थापन वाले बिंदु) सभी समय $t$ के लिए $x = 10, 20, 30, 40 \text{ cm}$ जैसे विशिष्ट स्थानों पर स्थिर रहते हैं।
दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ के बराबर होती है।
चित्र से,दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी है:
$\frac{\lambda}{2} = 20 \text{ cm} - 10 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है:
$\lambda = 2 \times 10 \text{ cm} = 20 \text{ cm}$।

(N/A) दिया गया है: वेग $v = 360 \ m/s$,आवृत्ति $f = 256 \ Hz$.
आवर्तकाल $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{256} \approx 3.906 \times 10^{-3} \ s$.
$(a)$ $t = 0$ पर,डोरी अपने अधिकतम विस्थापन पर है। दूसरा वक्र ($t = ?$ पर) डोरी की संतुलन स्थिति (सीधी रेखा) को दर्शाता है। डोरी को अधिकतम विस्थापन से संतुलन स्थिति तक आने में लगा समय $\frac{T}{4}$ है।
$t = \frac{T}{4} = \frac{3.906 \times 10^{-3}}{4} = 9.765 \times 10^{-4} \ s$.
$(b)$ निस्पंद (nodes) वे बिंदु हैं जहाँ विस्थापन शून्य है: $A, B, C, D, E$. प्रस्पंद (antinodes) वे बिंदु हैं जहाँ विस्थापन अधिकतम है: $A^{\prime}, C^{\prime}$.
$(c)$ दो क्रमागत प्रस्पंदों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बराबर होती है।
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{360}{256} = 1.40625 \ m \approx 1.41 \ m$.

(B) निस्पंद (node) के लिए,अप्रगामी तरंग का आयाम शून्य होना चाहिए।
दिए गए समीकरण ${y} = 1.0 \, \text{mm} \cos(1.57 \, \text{cm}^{-1} x) \sin(78.5 \, \text{s}^{-1} t)$ में,स्थानिक भाग $\cos(1.57 \, \text{cm}^{-1} x)$ है।
स्थानिक भाग को शून्य के बराबर रखने पर: $\cos(1.57 \, \text{cm}^{-1} x) = 0$।
यह तब होता है जब कोण $\frac{\pi}{2}$ का विषम गुणज हो। मूल बिंदु के सबसे निकट के निस्पंद $(x > 0)$ के लिए,हम पहला धनात्मक मान लेते हैं:
$1.57 \, \text{cm}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $1.57 \approx \frac{\pi}{2}$।
अतः,$x = \frac{\pi}{2 \times 1.57} \, \text{cm} = \frac{1.57}{1.57} \, \text{cm} = 1 \, \text{cm}$।

(D) अप्रगामी तरंग का समीकरण $y = A_{res} \sin \omega t$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A_{res}$ स्थिति $x$ पर कण का आयाम है।
दिए गए समीकरण $y = (10 \cos \pi x) \sin \frac{2 \pi t}{T}$ की तुलना मानक रूप से करने पर,किसी भी स्थिति $x$ पर आयाम $A(x) = |10 \cos \pi x|$ है।
$x = \frac{4}{3} \, cm$ दिया गया है,इसलिए हम इस मान को व्यंजक में रखते हैं:
$A = |10 \cos(\pi \cdot \frac{4}{3})|$
$A = |10 \cos(\frac{4 \pi}{3})|$
चूँकि $\cos(\frac{4 \pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$,
$A = |10 \cdot (-0.5)| = |-5| = 5 \, cm$.
अतः,आयाम $5 \, cm$ है।

(C) जब कोई तरंग किसी माध्यम में यात्रा करते हुए एक सघन सीमा (कठोर सतह) से टकराती है,तो उसकी कला (phase) में $\pi$ रेडियन का परिवर्तन होता है।
इसके अतिरिक्त,संचरण की दिशा उलट जाती है,जिसका अर्थ है कि $kx$ पद का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है।
आपतित तरंग $y_i = a \cos (kx - \omega t)$ है।
परावर्तित तरंग का आयाम $a$ होगा,कला में $\pi$ का विस्थापन होगा और यह ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा करेगी।
अतः,परावर्तित तरंग $y_r = a \cos (kx + \omega t + \pi)$ होगी।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta)$ का उपयोग करने पर:
$y_r = -a \cos (kx + \omega t)$.

(B) हवा के झोंकों की आवृत्ति $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{5} = 0.2 \, Hz$ है।
पुल के अनुदिश अनुप्रस्थ तरंगों की गति $v = 400 \, m/s$ है।
हवा द्वारा उत्पन्न तरंगों की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{400}{0.2} = 2000 \, m$ है।
पुल में (दोनों सिरों पर स्थिर) अनुनाद उसकी मूल आवृत्ति पर तब होता है जब पुल की लंबाई $L$ तरंगदैर्ध्य की आधी होती है,अर्थात $L = \frac{\lambda}{2}$।
अतः,$L = \frac{2000}{2} = 1000 \, m$।

(A) अप्रगामी तरंग का समीकरण $y = A \sin(\omega t) \cos(kx)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = A \sin(100t) \cos(0.01x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \, rad/s$.
तरंग संख्या $k = 0.01 \, m^{-1}$.
घटक तरंगों का वेग $v$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{\omega}{k}$
$v = \frac{100}{0.01}$
$v = 10000 \, m/s = 10^4 \, m/s$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) डोरी की लंबाई $L = 10 \, m$ है।
तरंग का वेग $v = 20 \, m/s$ है।
डोरी $n = 5$ खंडों में कंपन करती है,जो $5$वें हार्मोनिक के अनुरूप है।
दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए $n$वें हार्मोनिक की आवृत्ति का सूत्र $f_n = \frac{n v}{2L}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $f_5 = \frac{5 \times 20}{2 \times 10}$.
$f_5 = \frac{100}{20} = 5 \, Hz$.
अतः,आवृत्ति $5 \, Hz$ है।

(D) अप्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $y = 0.2 \sin(0.8 x) \cos(3000 t) \, m$ है।
इसे मानक समीकरण $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ से तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 0.8 \, rad/m$ प्राप्त होती है।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
अतः,$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0.8} = \frac{20\pi}{8} = 2.5\pi \, m$ है।
न्यूनतम विस्थापन (निस्पंद) या अधिकतम विस्थापन (प्रस्पंद) के किन्हीं दो क्रमागत बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ द्वारा दी जाती है।
दूरी $= \frac{\lambda}{2} = \frac{2.5\pi}{2} = 1.25\pi \, m = \frac{5\pi}{4} \, m$ है।
चूंकि $\frac{5\pi}{4} \, m$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(D) अप्रगामी तरंग का समीकरण $y = 2A \sin kx \cos \omega t$ है।
किसी स्थिति $x$ पर कण का आयाम $A_p = |2A \sin kx|$ द्वारा दिया जाता है।
निस्पंद (node) वहां होता है जहां $\sin kx = 0$ (जैसे,$x = 0$) और प्रस्पंद (antinode) वहां होता है जहां $\sin kx = 1$ (जैसे,$x = \frac{\lambda}{4}$)।
निस्पंद $(x = 0)$ और प्रस्पंद $(x = \frac{\lambda}{4})$ के बीच का मध्य बिंदु $x = \frac{\lambda}{8}$ है।
$x = \frac{\lambda}{8}$ और $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ को आयाम के समीकरण में रखने पर:
$A_p = 2A \sin \left( \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{8} \right) = 2A \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = 2A \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}A$।
अप्रगामी तरंग में सभी कणों के लिए कंपन की आवृत्ति समान होती है,जो तरंग की आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi}$ के बराबर होती है।
अतः,आयाम $\sqrt{2}A$ है और आवृत्ति $\frac{\omega}{2\pi}$ है।

(B) एक अप्रगामी तरंग में,दो क्रमागत निस्पंदों (nodes) के बीच माध्यम के सभी कण समान कला (phase) में कंपन करते हैं।
इसका अर्थ है कि वे सभी एक ही समय पर अपनी माध्य स्थिति से गुजरते हैं।
अप्रगामी तरंग में किसी कण का विस्थापन $y = A(x) \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A(x)$ आयाम है जो स्थिति $x$ पर निर्भर करता है।
कण का वेग $v = \frac{dy}{dt} = A(x) \omega \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य स्थिति पर,$\sin(\omega t + \phi) = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि $\cos(\omega t + \phi) = \pm 1$।
अतः,माध्य स्थिति पर गति $|v| = A(x) \omega$ होती है।
चूंकि आयाम $A(x)$ स्थिति $x$ के साथ बदलता है,इसलिए जब कण माध्य स्थिति को पार करते हैं तो एक ही समय पर उनकी गति अलग-अलग होती है।

(B) अप्रगामी तरंग का समीकरण $y = A_0 \sin(kx) \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A_0$ प्रस्पंद का आयाम है।
दिया गया है,$A_0 = 4 \,cm$.
निस्पंद की स्थिति वह होती है जहाँ $\sin(kx) = 0$ हो,और प्रस्पंद की स्थिति वह होती है जहाँ $\sin(kx) = 1$ हो।
एक निस्पंद और निकटतम प्रस्पंद के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{4}$ होती है।
निस्पंद और प्रस्पंद के ठीक बीच में स्थित कण निस्पंद से $\frac{1}{2} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\lambda}{8}$ की दूरी पर है।
$x$ स्थिति पर कण का आयाम $A = A_0 \sin(kx)$ द्वारा दिया जाता है।
$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ और $x = \frac{\lambda}{8}$ रखने पर:
$A = 4 \sin\left(\frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{8}\right) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
चूंकि $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $A = 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \,cm$।

(A) डोरी में तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ डोरी में तनाव है और $\mu$ डोरी की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
दिया गया है: $T = 0.5 \ N$,द्रव्यमान $m = 1.0 \ g = 1.0 \times 10^{-3} \ kg$,और लंबाई $L = 20 \ cm = 0.2 \ m$।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L} = \frac{1.0 \times 10^{-3} \ kg}{0.2 \ m} = 0.5 \times 10^{-2} \ kg/m$।
इन मानों को वेग के सूत्र में रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{0.5}{0.5 \times 10^{-2}}} = \sqrt{100} = 10 \ m/s$।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{v}{f}$ द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $f = 100 \ Hz$।
$\lambda = \frac{10 \ m/s}{100 \ Hz} = 0.1 \ m = 10 \ cm$।
अप्रगामी तरंग में क्रमिक निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
अतः,दूरी $= \frac{10 \ cm}{2} = 5 \ cm$।

(C) दिया गया है: डोरी की लंबाई $L = 3 \ m$,तरंग की गति $v = 100 \ m/s$ है।
डोरी का एक सिरा $x=0$ पर स्थिर (node) है और दूसरा सिरा $x=3 \ m$ पर कंपन कर रहा है (antinode)।
एक सिरे पर स्थिर और दूसरे सिरे पर मुक्त डोरी के लिए,संभावित तरंगदैर्ध्य $L = (2n+1) \frac{\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$ है।
अतः,$\lambda = \frac{4L}{2n+1} = \frac{12}{2n+1} \ m$ है।
तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{(2n+1)\pi}{6}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = vk = 100 \times \frac{(2n+1)\pi}{6} = \frac{(2n+1)50\pi}{3}$ है।
$n=0$ के लिए: $k = \frac{\pi}{6}$,$\omega = \frac{50\pi}{3}$। यह विकल्प $(A)$ से मेल खाता है।
$n=1$ के लिए: $k = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ (विकल्पों में नहीं है)।
$n=2$ के लिए: $k = \frac{5\pi}{6}$,$\omega = \frac{250\pi}{3}$। यह विकल्प $(C)$ से मेल खाता है।
$n=7$ के लिए: $k = \frac{15\pi}{6} = \frac{5\pi}{2}$,$\omega = \frac{15 \times 50\pi}{3} = 250\pi$। यह विकल्प $(D)$ से मेल खाता है।
अतः,विकल्प $(A)$,$(C)$,और $(D)$ सही हैं।

(A) एक अप्रगामी तरंग में, $x$ स्थिति पर एक कण का विस्थापन $y(x, t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
सभी कण $t = \frac{T}{4}, \frac{3T}{4}, ...$ पर एक साथ अपनी माध्य स्थिति से गुजरते हैं और $t = 0, \frac{T}{2}, T, ...$ पर एक साथ अपनी चरम स्थितियों पर विराम अवस्था में होते हैं।
इस प्रकार, एक आवर्तकाल में सभी कण दो बार एक साथ विराम अवस्था में होते हैं।
हालाँकि, आसन्न लूप में कण विपरीत कला (opposite phase) में होते हैं। यदि पहले लूप $(0 < x < \frac{\lambda}{2})$ में कण अपने धनात्मक चरम पर हैं, तो अगले लूप $(\frac{\lambda}{2} < x < \lambda)$ में कण अपने ऋणात्मक चरम पर होते हैं।
इसलिए, सभी कण कभी भी एक साथ अपने धनात्मक चरम पर नहीं हो सकते हैं।

(D) दिया गया समीकरण $y(x, t) = 10 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} x\right) \cos (120 \pi t)$,$y(x, t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ के रूप में है,जो एक अप्रगामी (स्थिर) तरंग को दर्शाता है।
दिए गए समीकरण की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $k = \frac{2 \pi}{3}$ और $\omega = 120 \pi$ प्राप्त होता है।
अप्रगामी तरंग की आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{120 \pi}{2 \pi} = 60 \ Hz$ है। अतः,कथन $(B)$ सही है।
एक अप्रगामी तरंग समान आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य वाली दो तरंगों के विपरीत दिशाओं में यात्रा करने से बनती है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{2 \pi / 3} = 3 \ m$ है।
तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{120 \pi}{2 \pi / 3} = 180 \ m/s$ है। अतः,कथन $(C)$ सही है।
चूंकि डोरी की लंबाई $L = 1.5 \ m$ और $\lambda = 3 \ m$ है,इसलिए $L = \frac{\lambda}{2}$ है। यह दोनों सिरों पर बंधी डोरी के मूल विधा (fundamental mode) के अनुरूप है। इसलिए,परावर्तन एक स्थिर सिरे से होता है,न कि मुक्त सिरे से। कथन $(D)$ गलत है।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(A) मुख्य विचार: अप्रगामी तरंग में $3$ निस्पंद $(N)$ और $2$ प्रस्पंद $(A)$ हैं,जिसका अर्थ है कि इसमें $2$ लूप या खंड हैं।
दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
चूंकि $3$ निस्पंद हैं,इसलिए दो परमाणुओं के बीच ऐसे $2$ खंड हैं।
अप्रगामी तरंग की कुल लंबाई $L$ इन $2$ खंडों की लंबाई का योग है:
$L = 2 \times \left( \frac{\lambda}{2} \right) = \lambda$
यह दिया गया है कि दो परमाणुओं के बीच की दूरी $1.21 \ Å$ है,इसलिए:
$L = 1.21 \ Å$
अतः,$\lambda = 1.21 \ Å$।

(A) जब तरंग ट्रेन का एक पल्स एक तनी हुई डोरी के अनुदिश यात्रा करता है और एक स्थिर सिरे तक पहुँचता है,तो यह परावर्तन से गुजरता है।
स्थिर सिरे के लिए सीमा स्थितियों के अनुसार,सीमा पर विस्थापन हर समय शून्य होना चाहिए।
इसके परिणामस्वरूप आपतित पल्स की तुलना में परावर्तित पल्स में $\pi$ $(180^{\circ})$ का कला परिवर्तन होता है।
हालाँकि,परावर्तन के बाद तरंग का वेग दिशा में उलट जाता है,लेकिन परिमाण समान रहता है।
इसलिए,पल्स $180^{\circ}$ के कला परिवर्तन के साथ वापस परावर्तित होता है और इसका वेग उलट जाता है।

(A) अप्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $y = 0.06 \sin \left( \frac{2 \pi}{3} x \right) \cos (120 \pi t)$ है।
इसे मानक समीकरण $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = \frac{2 \pi}{3} \ m^{-1}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 120 \pi \ rad/s$ प्राप्त होती है।
तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{120 \pi}{2 \pi / 3} = 120 \pi \times \frac{3}{2 \pi} = 180 \ m/s$ है।
तनी हुई डोरी में तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
दिया गया है $\mu = 4 \times 10^{-2} \ kg/m$,इसलिए $180 = \sqrt{\frac{T}{4 \times 10^{-2}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $180^2 = \frac{T}{4 \times 10^{-2}}$.
$32400 = \frac{T}{0.04}$.
$T = 32400 \times 0.04 = 1296 \ N$.

(C) अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत नोड्स के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
दिया गया है, $\frac{\lambda}{2} = 5 \,cm = 0.05 \,m$।
अतः, तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2 \times 0.05 \,m = 0.1 \,m$।
कंपन की आवृत्ति $f$, तरंग वेग $v$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से $f = \frac{v}{\lambda}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, $f = \frac{2 \,m/s}{0.1 \,m} = 20 \,Hz$।

(A) जब एक अनुप्रस्थ तरंग एक कठोर दीवार से टकराती है,तो उसका परावर्तन होता है। कठोर आधार के लिए सीमा शर्तों के अनुसार,तरंग में $180^{\circ}$ (या $\pi$ रेडियन) का कला परिवर्तन होता है। चूंकि माध्यम समान रहता है,इसलिए तरंग की गति नहीं बदलती है,हालांकि प्रसार की दिशा उलट जाती है। इसलिए,कला $180^{\circ}$ बदल जाती है,लेकिन वेग का परिमाण समान रहता है।

(A) दोनों सिरों पर बंधी एक तनी हुई डोरी के लिए,लंबाई $l$ का सूत्र $l = \frac{p \lambda}{2}$ है,जहाँ $p$ लूप्स की संख्या है।
दोनों सिरों पर बंधी डोरी पर अप्रगामी तरंगों में,लूप्स की संख्या $p$ प्रस्पंदों (anti-nodes) की संख्या के बराबर होती है।
निस्पंदों $m$ और प्रस्पंदों $p$ के बीच संबंध $m = p + 1$ होता है।
इसलिए,लूप्स की संख्या $p = m - 1$ होगी।
$p$ का यह मान लंबाई के सूत्र में रखने पर,हमें $l = \frac{(m-1) \lambda}{2}$ प्राप्त होता है।