Stationary Waves (Standing wave) Questions in Hindi

(B) दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए,$n^{th}$ ओवरटोन $(n+1)^{th}$ हार्मोनिक के अनुरूप होता है।
यहाँ,पांचवां ओवरटोन छठा हार्मोनिक $(n=6)$ है।
डोरी की लंबाई $L = 2.4 \ m$ है।
$n^{th}$ हार्मोनिक के लिए शर्त $L = n \frac{\lambda}{2}$ है।
मान रखने पर: $2.4 = 6 \times \frac{\lambda}{2}$।
इससे $\frac{\lambda}{2} = \frac{2.4}{6} = 0.4 \ m$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = 0.8 \ m$।
एक निस्पंद और क्रमागत प्रस्पंद के बीच की दूरी हमेशा $\frac{\lambda}{4}$ होती है।
इसलिए,दूरी $= \frac{0.8 \ m}{4} = 0.2 \ m$ है।

(B) परिणामी तरंग विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो तरंगों के अध्यारोपण से बनती है: $Y_1 = A \sin(\omega t - kx)$ और $Y_2 = A \sin(\omega t + kx)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(C) + \sin(D) = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$Y = Y_1 + Y_2 = 2A \sin(\omega t) \cos(kx)$।
यह एक अप्रगामी तरंग को दर्शाता है।
निस्पंद (nodes) वहां होते हैं जहां आयाम शून्य होता है,अर्थात $\cos(kx) = 0$।
इसका अर्थ है $kx = (2n+1) \frac{\pi}{2}$ जहाँ $n = 0, 1, 2, \ldots$।
$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2\pi}{\lambda} x = (2n+1) \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = (n + \frac{1}{2}) \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई प्रगामी तरंगें $Y_{1} = \sin 2\pi(\frac{t}{0.4} - \frac{x}{4})$ और $Y_{2} = \sin 2\pi(\frac{t}{0.4} + \frac{x}{4})$ हैं।
इनकी तुलना मानक तरंग समीकरण $Y = A \sin 2\pi(\frac{t}{T} \pm \frac{x}{\lambda})$ से करने पर,हमें तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4 \ m$ और आवर्तकाल $T = 0.4 \ s$ प्राप्त होता है।
जब समान आयाम और आवृत्ति वाली दो तरंगें विपरीत दिशाओं में यात्रा करते हुए अध्यारोपित होती हैं,तो वे $Y = Y_{1} + Y_{2} = 2A \cos(\frac{2\pi x}{\lambda}) \sin(\frac{2\pi t}{T})$ द्वारा दी गई एक अप्रगामी तरंग बनाती हैं।
यहाँ,किसी भी स्थिति $x$ पर अप्रगामी तरंग का आयाम $A_{res} = |2A \cos(\frac{2\pi x}{\lambda})|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A = 1$,$\lambda = 4 \ m$,और $x = 0.5 \ m$ मान रखने पर:
$A_{res} = 2 \times 1 \times |\cos(\frac{2\pi \times 0.5}{4})|$
$A_{res} = 2 \cos(\frac{\pi}{4})$
चूंकि $\cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $A_{res} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ m$ प्राप्त होता है।

(B) जब एक डोरी को दोनों सिरों (कठोर आधारों) पर बांधा जाता है,तो इन बिंदुओं पर विस्थापन शून्य होना चाहिए क्योंकि वे हिल नहीं सकते।
शून्य विस्थापन वाले बिंदुओं को निस्पंद (nodes) कहा जाता है।
इसलिए,दोनों सिरों पर निस्पंद बनते हैं।
डोरी को कंपन करने के लिए,दो स्थिर सिरों के बीच अधिकतम विस्थापन वाला कम से कम एक बिंदु होना चाहिए,जिसे प्रस्पंद (antinode) कहा जाता है।
इस प्रकार,कंपन का सबसे सरल रूप (मूल विधा) दोनों सिरों पर निस्पंद और बीच में कम से कम एक प्रस्पंद से मिलकर बनता है।

(D) तनी हुई डोरी के लिए,मूल आवृत्ति (पहला हार्मोनिक) $n = \frac{v}{2l} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है।
दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $2n = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है।
पहला ओवरटोन मूल आवृत्ति के बाद अगली संभावित आवृत्ति है,जो $n_1 = \frac{2v}{2l} = \frac{v}{l} = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है।
इनकी तुलना करने पर,पहले ओवरटोन की आवृत्ति दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति के बराबर होती है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(A) तरंग का वेग $v = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $v = 50 \,m/s$ और $f = 200 \,Hz$ दिया गया है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करने पर:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{50}{200} = 0.25 \,m$।
अप्रगामी तरंग में, दो क्रमागत प्रस्पंदों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य की आधी $(\frac{\lambda}{2})$ होती है।
दूरी $= \frac{0.25 \,m}{2} = 0.125 \,m$।

(D) जब समान आवृत्ति और वेग की दो तरंगें एक ही पथ पर विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं,तो वे एक अप्रगामी तरंग (stationary wave) बनाती हैं।
दी गई आवृत्ति $n$ है और वेग $v = 12 \ m/s$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ संबंध $v = n\lambda$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $\lambda = \frac{v}{n} = \frac{12}{n}$।
एक अप्रगामी तरंग में,दो क्रमागत निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य की आधी होती है,अर्थात $d = \frac{\lambda}{2}$।
$\lambda$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $d = \frac{1}{2} \times \frac{12}{n} = \frac{6}{n}$ प्राप्त होता है।

(C) अप्रगामी तरंग के लिए दिया गया समीकरण $y = 12 \cos \left(\frac{\pi}{6} x\right) \sin (8 \pi t)$ है।
इस समीकरण की तुलना मानक अप्रगामी तरंग समीकरण $y = A_0 \cos(kx) \sin(\omega t)$ से करने पर,हम तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ प्राप्त करते हैं।
समीकरण से,$k = \frac{\pi}{6}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 12 \ cm$ प्राप्त होता है।
अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत प्रस्पंदों (antinodes) के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
अतः,दूरी $= \frac{12 \ cm}{2} = 6 \ cm$ है।

(C) डोरी की लंबाई $L = 90 \ cm$ है।
अप्रगामी तरंग में $3$ निस्पंद $(N)$ हैं।
दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
चूंकि इसमें $3$ निस्पंद हैं,इसलिए उनके बीच $2$ ऐसे खंड (loops) बनते हैं।
अतः,कुल लंबाई $L = 2 \times \frac{\lambda}{2} = \lambda$।
दिया गया है कि $L = 90 \ cm$,इसलिए $\lambda = 90 \ cm$ होगा।

(C) परिणामी विस्थापन $Y$ अध्यारोपण के सिद्धांत द्वारा दिया जाता है: $Y = Y_1 + Y_2$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A - B) + \sin(A + B) = 2 \sin A \cos B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = \frac{2 \pi t}{0.4}$ और $B = \frac{2 \pi x}{4}$,हमें प्राप्त होता है:
$Y = 2 \sin \left( \frac{2 \pi t}{0.4} \right) \cos \left( \frac{2 \pi x}{4} \right)$.
किसी भी स्थिति $x$ पर अप्रगामी तरंग का आयाम $R$,$R = |2 \cos \left( \frac{2 \pi x}{4} \right)|$ द्वारा दिया जाता है।
$x = 0.5 \ m$ रखने पर:
$R = 2 \cos \left( \frac{2 \pi \times 0.5}{4} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)$.
चूँकि $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $R = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ m$.

(D) स्थिर तरंगें (जिन्हें स्टैंडिंग वेव्स भी कहा जाता है) एक सीमित माध्यम में विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो समान तरंगों के अध्यारोपण द्वारा बनती हैं।
इन तरंगों को प्रसार के लिए एक माध्यम की आवश्यकता होती है और सीमाओं पर परावर्तन होना आवश्यक है।
चूंकि यांत्रिक तरंगें पदार्थ की तीनों अवस्थाओं (ठोस,तरल और गैस) में प्रसार कर सकती हैं,इसलिए स्थिर तरंगें इन सभी माध्यमों में उत्पन्न की जा सकती हैं।
उदाहरण के लिए,एक तनी हुई डोरी (ठोस),पानी के स्तंभ (तरल) और हवा के स्तंभ (गैस) में स्थिर तरंगें उत्पन्न होती हैं।

(A) अप्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = 2a \sin(kx) \cos(\omega t)$ है,जहाँ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ होता है।
दिए गए समीकरण $Y = 10 \sin \left( \frac{\pi x}{15} \right) \cos (48 \pi t)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = \frac{\pi}{15} \text{ cm}^{-1}$ प्राप्त होती है।
चूँकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{15}$ होगा।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 30 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
अप्रगामी तरंग में एक निस्पंद और उसके अगले प्रस्पंद के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{4}$ होती है।
अतः,दूरी $= \frac{30}{4} = 7.5 \text{ cm}$ है।

(C) एक अप्रगामी तरंग में,माध्यम के कण अपनी माध्य स्थितियों के परितः $S.H.M.$ में कंपन करते हैं।
सभी कण (निस्पंद बिंदुओं पर स्थित कणों को छोड़कर,जो स्थिर रहते हैं) स्रोत की समान आवृत्ति (और इसलिए समान आवर्तकाल) के साथ कंपन करते हैं।
हालाँकि,कंपन का आयाम कण-कण पर भिन्न होता है,जो निस्पंद बिंदुओं पर शून्य और प्रस्पंद बिंदुओं पर अधिकतम होता है।

(D) स्थिर तरंग का मानक समीकरण $y = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $Y = 0.5 \sin(0.314 x) \cos(600 \pi t)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 0.314 \ cm^{-1}$ प्राप्त होती है।
चूंकि $0.314 \approx \frac{\pi}{10}$,इसलिए $k = \frac{\pi}{10} \ cm^{-1}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ से प्राप्त होता है,अतः $\frac{\pi}{10} = \frac{2\pi}{\lambda}$,जिससे $\lambda = 20 \ cm$ प्राप्त होता है।
दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की लंबाई $L = n \frac{\lambda}{2}$ होती है।
तीसरे हार्मोनिक के लिए,$n = 3$ रखने पर,$L = 3 \times \frac{20}{2} = 3 \times 10 = 30 \ cm$ प्राप्त होता है।

(C) अप्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $y = 10 \sin \left( \frac{\pi x}{4} \right) \cos (20 \pi t)$ है।
इसे अप्रगामी तरंग के मानक समीकरण $y = 2A \sin (kx) \cos (\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें संचरण नियतांक $k = \frac{\pi}{4} \ cm^{-1}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि संचरण नियतांक $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ होता है।
$k$ का मान रखने पर: $\frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{\lambda}$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 8 \ cm$ प्राप्त होता है।
अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य की आधी होती है,जो कि $\frac{\lambda}{2}$ है।
अतः,दूरी $\frac{8 \ cm}{2} = 4 \ cm$ है।

(C) एक अप्रगामी तरंग का निर्माण समान आवृत्ति और आयाम वाली तथा विपरीत दिशाओं में गति करने वाली दो समान प्रगामी तरंगों के अध्यारोपण से होता है।
एक अप्रगामी तरंग में,दो क्रमागत निस्पंदों (nodes) या दो क्रमागत प्रस्पंदों (antinodes) के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
अप्रगामी तरंग की तरंगदैर्ध्य को समान कला में स्थित दो क्रमागत बिंदुओं के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो घटक प्रगामी तरंगों की तरंगदैर्ध्य के बराबर होती है।
अतः,अप्रगामी तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है।

(C) एक अप्रगामी तरंग में, दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\lambda / 2$ होती है।
$4$ निस्पंदों के लिए, उनके बीच $\lambda / 2$ लंबाई के $3$ खंड होते हैं।
डोरी की कुल लंबाई $L = 120 \,cm$ दी गई है।
इसलिए, $3 \times (\lambda / 2) = 120 \,cm$.
$3 \lambda / 2 = 120 \,cm$.
$\lambda = (120 \times 2) / 3 \,cm$.
$\lambda = 240 / 3 \,cm$.
$\lambda = 80 \,cm$.

(A) एक अप्रगामी तरंग में,माध्यम के कण अलग-अलग स्थानों पर अलग-अलग आयामों के साथ दोलन करते हैं।
निस्पंद (nodes) वे बिंदु हैं जहाँ कंपन का आयाम शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि विस्थापन हमेशा शून्य होता है।
प्रस्पंद (antinodes) वे बिंदु हैं जहाँ कंपन का आयाम अधिकतम होता है।
इसलिए,निस्पंद पर विस्थापन शून्य होता है और प्रस्पंद पर विस्थापन अधिकतम होता है।

(A) दिया गया समीकरण $Y = 0.04 \cos(\pi x) \sin(50 \pi t)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करके,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$Y = 0.02 \sin(50 \pi t + \pi x) + 0.02 \sin(50 \pi t - \pi x)$.
इसे मानक तरंग समीकरण $y = a \sin(\omega t \pm kx)$ के साथ तुलना करने पर:
$1$. आयाम $a = 0.02 \text{ m}$.
$2$. कोणीय आवृत्ति $\omega = 50 \pi \text{ rad/s}$.
$3$. तरंग संख्या $k = \pi \text{ m}^{-1}$.
अब,मापदंडों की गणना करने पर:
- आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{50 \pi} = 0.04 \text{ s}$.
- तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{\pi} = 2 \text{ m}$.
- वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{50 \pi}{\pi} = 50 \text{ m/s}$.
इन परिणामों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $A$ (आवर्तकाल $= 0.02 \text{ s}$) में दिया गया कथन गलत है,क्योंकि गणना किया गया आवर्तकाल $0.04 \text{ s}$ है।

(A) अप्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 4 \sin \left(\frac{\pi x}{15}\right) \cos (96 \pi t)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,तरंग संख्या $k$ प्राप्त होती है:
$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{15}$
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए हल करने पर:
$\lambda = 15 \times 2 = 30$
अप्रगामी तरंग में एक निस्पंद और उसके निकटतम प्रस्पंद के बीच की दूरी हमेशा $\frac{\lambda}{4}$ होती है।
अतः,अभीष्ट दूरी $\frac{30}{4} = 7.5$ है।

(B) जब समान आवृत्ति और वेग की दो तरंगें विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं,तो वे एक अप्रगामी तरंग (standing wave) बनाती हैं।
अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $x = \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि तरंग का वेग $v$,आवृत्ति $n$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $v = n \lambda$ है,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{v}{n}$।
दूरी के सूत्र में $\lambda$ का मान रखने पर:
$x = \frac{1}{2} \left( \frac{v}{n} \right) = \frac{v}{2n}$।
यहाँ $v = 20 \ m/s$ दिया गया है,इसलिए:
$x = \frac{20 \ m/s}{2n} = \frac{10}{n} \ m$।

(B) दिया गया है:
तरंगों का वेग,$v = 50 \,m/s$
तरंगों की आवृत्ति,$f = 200 \,Hz$
सबसे पहले,हम प्रगामी तरंगों की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करते हैं:
$v = f \lambda$
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{50}{200} = 0.25 \,m$
जब दो समान प्रगामी तरंगें विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं,तो वे एक अप्रगामी तरंग (standing wave) बनाती हैं।
अप्रगामी तरंग में,दो क्रमागत प्रस्पंदों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य की आधी $(\frac{\lambda}{2})$ होती है।
दूरी $= \frac{\lambda}{2} = \frac{0.25 \,m}{2} = 0.125 \,m$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है: रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = 0.1 \ kg/m$,लंबाई $L = 0.9 \ m$,तनाव $T = 40 \ N$,आयाम $A = 0.3 \ cm = 0.003 \ m$,खंडों की संख्या $n = 3$.
तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{40}{0.1}} = \sqrt{400} = 20 \ m/s$.
$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n v}{2L} = \frac{3 \times 20}{2 \times 0.9} = \frac{60}{1.8} = \frac{600}{18} = \frac{100}{3} \ Hz$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f_n = 2 \pi \times \frac{100}{3} = \frac{200 \pi}{3} \ rad/s$.
कण का अधिकतम वेग $v_{max} = A \omega = 0.003 \times \frac{200 \pi}{3} = \frac{3}{1000} \times \frac{200 \pi}{3} = \frac{\pi}{5} \ m/s$.

(C) दोनों सिरों पर स्थिर डोरी के लिए,तरंग एक अप्रगामी तरंग (stationary wave) पैटर्न बनाती है।
माना डोरी की लंबाई $L$ है और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है।
डोरी में बनने वाले लूप्स की संख्या $n$ है,जहाँ $n = x - 1$ (क्योंकि दो स्थिर सिरों सहित कुल $x$ नोड्स हैं)।
डोरी की लंबाई $L = n \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दी जाती है।
$n = x - 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L = (x - 1) \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) जब एक डोरी दोनों सिरों पर बंधी होती है,तो तरंगें डोरी के अनुदिश चलती हैं और नियत सीमाओं से परावर्तित होती हैं। आपतित और परावर्तित तरंगों के अध्यारोपण के परिणामस्वरूप स्थिर (standing) तरंगें बनती हैं। चूंकि डोरी के कणों का विस्थापन तरंग संचरण की दिशा के लंबवत होता है,इसलिए ये तरंगें अनुप्रस्थ (transverse) प्रकृति की होती हैं। अतः,ये तरंगें स्थिर अनुप्रस्थ तरंगें हैं।

(D) दोनों सिरों पर बंधी एक डोरी पर अप्रगामी तरंग में,डोरी लूप्स नामक खंडों में विभाजित होती है।
प्रत्येक लूप नोड्स (शून्य विस्थापन के बिंदु) द्वारा अलग होता है।
एक ही लूप के भीतर,सभी कण एक-दूसरे के साथ समान कला में कंपन करते हैं।
आसन्न लूप्स में कण एक नोड द्वारा अलग होते हैं और $\pi$ रेडियन के कला अंतर के साथ कंपन करते हैं (अर्थात,वे विपरीत कला में होते हैं)।
इसलिए,वैकल्पिक लूप्स में कण (जो सम संख्या में नोड्स द्वारा अलग होते हैं) समान कला में कंपन करते हैं।
चूंकि प्रत्येक प्रस्पंद (antinode) एक लूप के केंद्र में स्थित होता है,इसलिए सभी प्रस्पंदों पर स्थित कण एक-दूसरे के साथ समान कला में कंपन करते हैं।

(B) अप्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $ y = 2 \sin \left( \frac{\pi x}{15} \right) \cos (48 \pi t) $ है।
इसे मानक समीकरण $ y = A \sin(kx) \cos(\omega t) $ से तुलना करने पर, हमें तरंग संख्या $ k = \frac{\pi}{15} $ प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि $ k = \frac{2 \pi}{\lambda} $, इसलिए $ \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{\pi}{15} $।
तरंगदैर्ध्य $ \lambda $ के लिए हल करने पर, हमें $ \lambda = 30 $ इकाई प्राप्त होती है।
एक निस्पंद और उसके अगले प्रस्पंद के बीच की दूरी $ d = \frac{\lambda}{4} $ द्वारा दी जाती है।
$ \lambda $ का मान रखने पर, हमें $ d = \frac{30}{4} = 7.5 $ इकाई प्राप्त होती है।

(D) अप्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 0.7 \sin \left(\frac{7 \pi}{4} x\right) \cos (350 \pi t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
तरंग संख्या $k = \frac{7 \pi}{4} \ m^{-1}$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 350 \pi \ rad \ s^{-1}$
तरंग की चाल $v$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या का अनुपात होती है:
$v = \frac{\omega}{k}$
मान रखने पर:
$v = \frac{350 \pi}{7 \pi / 4}$
$v = 350 \pi \times \frac{4}{7 \pi}$
$v = 50 \times 4 = 200 \ m \ s^{-1}$
अतः,तरंग की चाल $200 \ m \ s^{-1}$ है।

(A) दोनों सिरों पर बंधी डोरी पर बनने वाली अप्रगामी तरंग में,जिन बिंदुओं पर विस्थापन हमेशा शून्य होता है,उन्हें नोड्स (निस्पंद बिंदु) कहा जाता है। जिन बिंदुओं पर कंपन का आयाम अधिकतम होता है,उन्हें एंटीनोड्स (स्पंद बिंदु) कहा जाता है।
$n$ लूप में कंपन करने वाली डोरी के लिए,नोड्स की संख्या $n + 1$ होती है और एंटीनोड्स की संख्या $n$ होती है।
यहाँ दिया गया है कि डोरी $5$ लूप में कंपन करती है,इसलिए $n = 5$ है।
अतः,नोड्स की संख्या = $5 + 1 = 6$ है।
एंटीनोड्स की संख्या = $5$ है।
इस प्रकार,नोड्स और एंटीनोड्स की कुल संख्या क्रमशः $6$ और $5$ है।

(B) आवृत्ति, $f = 1000 \,Hz$.
$6$ क्रमिक निस्पंद बिंदुओं के बीच की कुल दूरी $d = 85 \,cm = 0.85 \,m$ है।
अप्रगामी तरंग में, दो क्रमिक निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
इसलिए, $6$ क्रमिक निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी (जिसमें $\frac{\lambda}{2}$ के $5$ अंतराल होते हैं) इस प्रकार दी जाती है:
$d = 5 \times \frac{\lambda}{2} = \frac{5 \lambda}{2}$.
इसे दी गई दूरी के बराबर रखने पर:
$\frac{5 \lambda}{2} = 0.85 \,m$.
$\lambda = \frac{0.85 \times 2}{5} = 0.34 \,m$.
ध्वनि की चाल $v$ का सूत्र $v = f \lambda$ है।
$v = 1000 \,Hz \times 0.34 \,m = 340 \,ms^{-1}$.

(C) अप्रगामी तरंग (stationary wave) में,नोड $(N)$ न्यूनतम विस्थापन (शून्य आयाम) वाले बिंदु होते हैं,और एंटी-नोड $(A)$ अधिकतम विस्थापन (अधिकतम आयाम) वाले बिंदु होते हैं।
दो क्रमिक नोड्स के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
दो क्रमिक एंटी-नोड्स के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
एक नोड और अगले क्रमिक एंटी-नोड के बीच की दूरी,दो क्रमिक नोड्स के बीच की दूरी की आधी होती है,जो $\frac{1}{2} \times \frac{\lambda}{2} = \frac{\lambda}{4}$ है।
अतः,क्रमिक नोड और एंटी-नोड के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{4}$ है।

(A) एक अप्रगामी तरंग में,दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
यह दिया गया है कि दो परमाणुओं के बीच $3$ निस्पंद और $2$ प्रस्पंद हैं,इसलिए दो परमाणुओं के बीच की कुल दूरी $L$,$\frac{\lambda}{2}$ लंबाई के दो खंडों के बराबर है।
अतः,कुल दूरी $L = \frac{\lambda}{2} + \frac{\lambda}{2} = \lambda$ है।
चूंकि $L = 1.21 \ Å$ दिया गया है,इसलिए $\lambda = 1.21 \ Å$ होगा।

(C) अप्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $y = 20 \sin(\pi x) \cos(\omega t)$ है।
इसे मानक समीकरण $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ से तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = \pi \text{ rad/m}$ प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $\frac{2\pi}{\lambda} = \pi$,जिससे तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2 \text{ m} = 200 \text{ cm}$ प्राप्त होती है।
एक निस्पंद और उसके निकटतम प्रस्पंद के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,दूरी $= \frac{200 \text{ cm}}{4} = 50 \text{ cm}$ है।

(D) स्थिर तरंग के लिए दिया गया समीकरण $y_{(x, t)} = 0.03 \sin \left(\frac{2 \pi x}{3}\right) \cos (60 \pi t)$ है।
इसे मानक स्थिर तरंग समीकरण $y = a \sin(kx) \cos(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 60 \pi \text{ rad s}^{-1}$।
तरंग संख्या $k = \frac{2 \pi}{3} \text{ m}^{-1}$।
तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60 \pi}{2 \pi / 3} = 30 \times 3 = 90 \text{ m s}^{-1}$ है।
डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
यहाँ $\mu = 0.01 \text{ kg m}^{-1}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $90 = \sqrt{\frac{T}{0.01}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $8100 = \frac{T}{0.01}$।
$T = 8100 \times 0.01 = 81 \text{ N}$।

(B) दिया गया है,डोरी की लंबाई,$L = 16 \ m$ है।
तरंग की गति,$v = 32 \ m/s$ है।
डोरी के दो स्थिर सिरों के बीच निस्पंदों की संख्या $= 9$ है।
स्थिर सिरों को शामिल करते हुए कुल निस्पंदों की संख्या $9 + 2 = 11$ है।
डोरी में बनने वाले लूप या खंडों की संख्या $(p)$,निस्पंदों की संख्या से $1$ कम होती है,इसलिए $p = 11 - 1 = 10$ है।
$p$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{p \cdot v}{2L}$ है।
मान रखने पर: $f = \frac{10 \times 32}{2 \times 16}$ है।
$f = \frac{320}{32} = 10 \ Hz$ है।

(B) अप्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 5 \sin \left( \frac{\pi x}{3} \right) \cos(40 \pi t)$ के साथ तुलना करने पर,हम तरंग संख्या $k = \frac{\pi}{3} \ cm^{-1}$ प्राप्त करते हैं।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
$k$ का मान रखने पर: $\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{\lambda}$,जिससे $\lambda = 6 \ cm$ प्राप्त होता है।
अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
अतः,दूरी $= \frac{6 \ cm}{2} = 3 \ cm$ है।

(A, B, D) दिया गया समीकरण $y(x, t) = 0.02 \cos(50 \pi t + \frac{\pi}{2}) \cos(10 \pi x)$ है।
निस्पंद (nodes) वहाँ होते हैं जहाँ स्थानिक भाग $\cos(10 \pi x) = 0$ होता है।
$10 \pi x = (n + \frac{1}{2}) \pi \implies x = \frac{n + 0.5}{10} = 0.05, 0.15, 0.25, \dots \ m$। अतः,$x = 0.15 \ m$ पर एक निस्पंद होता है।
प्रस्पंद (antinodes) वहाँ होते हैं जहाँ $|\cos(10 \pi x)| = 1$ होता है।
$10 \pi x = n \pi \implies x = \frac{n}{10} = 0, 0.1, 0.2, 0.3, \dots \ m$। अतः,$x = 0.3 \ m$ पर एक प्रस्पंद होता है।
स्थिर तरंग के मानक समीकरण $y = A \cos(\omega t + \phi) \cos(kx)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 10 \pi$ और $\omega = 50 \pi$ प्राप्त होता है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{10 \pi} = 0.2 \ m$।
तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{50 \pi}{10 \pi} = 5 \ m/s$।