Stationary Waves (Standing wave) Questions in Hindi

(B) दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए,डोरी की लंबाई $L$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $L = n \frac{\lambda}{2}$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ हार्मोनिक संख्या है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{2L}{n}$ है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य प्राप्त करने के लिए,हमें $n$ का सबसे छोटा संभव मान चुनना होगा,जो कि $n = 1$ (मूल विधा) है।
$n = 1$ और $L = 40 \ cm$ रखने पर:
$\lambda_{max} = \frac{2 \times 40 \ cm}{1} = 80 \ cm$.

(B) स्थिर तरंग का दिया गया समीकरण $y = \sin(2\pi x) \cos(2\pi t)$ है।
इसे स्थिर तरंग के मानक समीकरण $y = A \sin(\frac{2\pi x}{\lambda}) \cos(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{2\pi x}{\lambda} = 2\pi x$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{2\pi}{\lambda} = 2\pi$,इसलिए $\lambda = 1 \text{ m}$।
डोरी की न्यूनतम लंबाई मूल विधा (प्रथम सन्नादी) के अनुरूप होती है,जहाँ लंबाई $L$ तरंगदैर्ध्य की आधी होती है।
अतः,$L_{\min} = \frac{\lambda}{2} = \frac{1}{2} \text{ m} = 0.5 \text{ m}$।

(B) अप्रगामी तरंग का निर्माण समान आवृत्ति और समान गति वाली दो तरंगों के विपरीत दिशाओं में चलने और उनके अध्यारोपण से होता है। यद्यपि अप्रगामी तरंग के आदर्श निर्माण में समान आयाम माना जाता है,लेकिन व्यवहार में,यदि व्यतिकरण करने वाली तरंगों के आयाम अलग-अलग हों,तब भी अप्रगामी तरंगें देखी जा सकती हैं। ऐसे मामले में,निस्पंद बिंदुओं (nodes) पर विस्थापन शून्य नहीं होता है (वे न्यूनतम विस्थापन के बिंदु होते हैं),लेकिन विशिष्ट स्थिर तरंग पैटर्न अभी भी बनता है। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है: ध्वनि का वेग $v = 330 \ m/s$ और आवृत्ति $n = 165 \ Hz$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{v}{n}$ है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{330}{165} = 2 \ m$ प्राप्त होता है।
अप्रगामी तरंग में दो क्रमिक निस्पंद बिंदुओं (nodes) के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ के बराबर होती है।
अतः,निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी = $\frac{2 \ m}{2} = 1 \ m$ है।

(D) दिया गया समीकरण $y(x, t) = 0.02 \cos(10 \pi x) \cos(50 \pi t + \frac{\pi}{2})$ है।
यह $y = A \cos(kx) \cos(\omega t + \phi)$ के रूप की एक स्थिर तरंग है,जहाँ $k = 10 \pi \ m^{-1}$ है।
$1$. नोड्स के लिए,आयाम शून्य होना चाहिए: $\cos(10 \pi x) = 0$.
$10 \pi x = (2n + 1) \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{2n + 1}{20} \ m$.
$n = 1$ के लिए,$x = \frac{3}{20} = 0.15 \ m$। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$2$. एंटीनोड्स के लिए,आयाम अधिकतम होता है: $|\cos(10 \pi x)| = 1$.
$10 \pi x = n \pi \Rightarrow x = \frac{n}{10} \ m$.
$n = 3$ के लिए,$x = 0.3 \ m$। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$3$. तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ से प्राप्त होता है।
$10 \pi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{2 \pi}{10 \pi} = 0.2 \ m$। अतः,विकल्प $C$ सही है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $D$ है।

(D) चूंकि वर्गाकार प्लेट के किनारे क्लैंप किए गए हैं,इसलिए सभी सीमाओं पर विस्थापन $u(x, y)$ शून्य होना चाहिए:
$1$. $y = 0$ (किनारा $OA$) पर,$0 \le x \le L$ के लिए $u(x, 0) = 0$।
$2$. $x = L$ (किनारा $AB$) पर,$0 \le y \le L$ के लिए $u(L, y) = 0$।
$3$. $y = L$ (किनारा $BC$) पर,$0 \le x \le L$ के लिए $u(x, L) = 0$।
$4$. $x = 0$ (किनारा $OC$) पर,$0 \le y \le L$ के लिए $u(0, y) = 0$।
विकल्पों का मूल्यांकन करने पर:
- विकल्प $(a)$ के लिए: $u(0, y) = a \cos(0) \cos(\frac{\pi y}{2L}) = a \cos(\frac{\pi y}{2L}) \neq 0$,सभी $y$ के लिए।
- विकल्प $(b)$ के लिए: $u(x, y) = a \sin(\frac{\pi x}{L}) \sin(\frac{\pi y}{L})$। यहाँ,$x=0, x=L, y=0, y=L$ पर $u = 0$ है। यह सीमा शर्तों को पूरा करता है।
- विकल्प $(c)$ के लिए: $u(x, y) = a \sin(\frac{\pi x}{L}) \sin(\frac{2\pi y}{L})$। यहाँ,$x=0, x=L, y=0, y=L/2, y=L$ पर $u = 0$ है। यह भी सीमा शर्तों को पूरा करता है।
अतः,$(b)$ और $(c)$ दोनों मान्य व्यंजक हैं।

(C) अप्रगामी तरंग की कुल ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2$ है,जहाँ $m$ तार का द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
पहले प्रयोग में,आवृत्ति $\omega_1 = \omega$ है और आयाम $A_1 = A$ है। अतः,$E_1 = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2$.
दूसरे प्रयोग में,आवृत्ति $\omega_2 = 2\omega$ है और आयाम $A_2 = A$ है। अतः,$E_2 = \frac{1}{4} m (2\omega)^2 A^2 = 4 \times (\frac{1}{4} m \omega^2 A^2) = 4E_1$.
इसलिए,दूसरे प्रयोग में ऊर्जा पहले प्रयोग की ऊर्जा की चार गुना है,अर्थात ${E_2} = 4{E_1}$.

(D) जब डोरी पर गति करता हुआ एक तरंग पल्स किसी कठोर आधार (स्थिर सिरे) से टकराता है,तो उसमें $\pi$ रेडियन (या $180^{\circ}$) का कला परिवर्तन होता है।
इसका अर्थ है कि परावर्तन के बाद पल्स लंबवत (किनारे से) और क्षैतिज (लंबाई में) दोनों तरह से उल्टा हो जाता है।
आपतित पल्स $P$ को देखने पर,अग्रणी किनारा अधिक तीव्र है और पिछला किनारा कम तीव्र है।
परावर्तन के बाद,पल्स विपरीत दिशा में गति करता है,और उलटने के कारण,तीव्र किनारा अब पीछे की ओर होगा और पल्स नीचे की ओर निर्देशित होगा।
विकल्प $D$ इस उल्टे और विपरीत हुए पल्स को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) स्थिर तरंग का मानक समीकरण $y = A \cos \left( \frac{2\pi x}{\lambda} \right) \sin (\omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 5 \cos \left( \frac{\pi x}{3} \right) \sin (40 \pi t)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर:
$\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{3}$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए हल करने पर:
$\lambda = 6 \text{ cm}$.
दो क्रमागत निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
अतः,दूरी $= \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}$।

(B) स्थिर तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 0.15 \sin(5x) \cos(300t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = 5 \, \text{rad/m}$ प्राप्त होती है।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
$k$ का मान रखने पर: $5 = \frac{2\pi}{\lambda}$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{2\pi}{5} = 0.4 \times 3.14159 \approx 1.2566 \, \text{m}$।
अतः,तरंग की तरंगदैर्ध्य लगभग $1.256 \, \text{m}$ है।

(A) अप्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \cos \left( \frac{2\pi x}{\lambda} \right) \sin (\omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 0.8 \cos \left( \frac{\pi x}{20} \right) \sin (200 \pi t)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर:
$\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{20}$
$\frac{2}{\lambda} = \frac{1}{20}$
$\lambda = 40 \text{ cm}$.
दो क्रमागत निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
दूरी $= \frac{40}{2} = 20 \text{ cm}$.

(A) अप्रगामी तरंग के निर्माण के लिए,दो प्रगामी तरंगों की आवृत्ति समान,आयाम समान होना चाहिए और उन्हें एक ही रेखा पर विपरीत दिशाओं में यात्रा करनी चाहिए।
$1$. $z_1 = A \cos(\omega t - kx)$ एक तरंग को दर्शाता है जो $+x$ दिशा में $\omega$ आवृत्ति और $k$ तरंग संख्या के साथ यात्रा कर रही है।
$2$. $z_2 = A \cos(\omega t + kx)$ एक तरंग को दर्शाता है जो $-x$ दिशा में समान आवृत्ति $\omega$ और तरंग संख्या $k$ के साथ यात्रा कर रही है।
चूंकि $z_1$ और $z_2$ समान आवृत्ति,समान आयाम और एक ही अक्ष ($x$-अक्ष) पर विपरीत दिशाओं में होने की शर्तों को पूरा करते हैं,इसलिए उनके अध्यारोपण से अप्रगामी तरंग का निर्माण होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) जब कोई तरंग एक दृढ़ सीमा से परावर्तित होती है,तो उसमें $\pi$ रेडियन का कला परिवर्तन (phase change) होता है।
दिया गया आपतित तरंग समीकरण $y_{incident} = A\sin(\omega t - kx)$ है।
परावर्तित तरंग विपरीत दिशा (ऋणात्मक $x-$ अक्ष) में गति करती है,इसलिए $kx$ का चिह्न बदलकर $+kx$ हो जाता है।
परावर्तित तरंग का आयाम मूल आयाम का $80\%$ है,जो कि $0.8A$ है।
$\pi$ का कला परिवर्तन जोड़ने पर,परावर्तित तरंग का समीकरण:
$y_{reflected} = 0.8A\sin(\omega t + kx + \pi)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(\theta + \pi) = -\sin(\theta)$ का उपयोग करने पर:
$y_{reflected} = -0.8A\sin(\omega t + kx)$.

(B) दिया गया समीकरण $y = 10 \sin 2\pi(100t - 0.02x) + 10 \sin 2\pi(100t + 0.02x)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$y = 10 [2 \sin(2\pi \cdot 100t) \cos(2\pi \cdot 0.02x)]$.
$y = 20 \sin(200\pi t) \cos(0.04\pi x)$.
इसे स्थिर तरंग के मानक समीकरण $y = A_{max} \sin(\omega t) \cos(kx)$ के साथ तुलना करने पर,अधिकतम आयाम $A_{max} = 20$ इकाई प्राप्त होता है।
तरंग संख्या $k = 0.04\pi$ है। चूँकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $\frac{2\pi}{\lambda} = 0.04\pi$.
$\lambda = \frac{2}{0.04} = 50$ इकाई।
लूप की लंबाई $\frac{\lambda}{2} = \frac{50}{2} = 25$ इकाई होती है।
अतः,अधिकतम आयाम $20$ इकाई है और लूप की लंबाई $25$ इकाई है।

(B) माना पहली तरंग $y_1 = A \cos (kx - \omega t)$ है।
माना दूसरी तरंग $y_2 = A \cos (kx + \omega t + \phi)$ है।
परिणामी तरंग $y = y_1 + y_2 = A [\cos (kx - \omega t) + \cos (kx + \omega t + \phi)]$ है।
सर्वसमिका $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = 2A \cos (kx + \frac{\phi}{2}) \cos (\omega t + \frac{\phi}{2})$।
$x = 0$ बिंदु को नोड होने के लिए,$x = 0$ पर आयाम सभी $t$ के लिए शून्य होना चाहिए।
$2A \cos (k(0) + \frac{\phi}{2}) = 0 \implies \cos \frac{\phi}{2} = 0$।
इसका अर्थ है कि $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\phi = \pi$।
$y_2$ के समीकरण में $\phi = \pi$ रखने पर:
$y_2 = A \cos (kx + \omega t + \pi) = -A \cos (kx + \omega t)$।

(C) अप्रगामी तरंग का समीकरण $y = A \sin \left( \frac{20}{3} \pi x \right) \cos (1000 \pi t)$ है।
किसी भी बिंदु $x$ पर दोलन का आयाम $A(x) = |A \sin \left( \frac{20}{3} \pi x \right)|$ द्वारा दिया जाता है।
हम उन बिंदुओं की तलाश कर रहे हैं जहाँ आयाम $A/2$ है,इसलिए $|A \sin \left( \frac{20}{3} \pi x \right)| = A/2$,जिसका अर्थ है $\sin \left( \frac{20}{3} \pi x \right) = \pm 1/2$।
प्रथम धनात्मक मान के लिए,$\frac{20}{3} \pi x = \frac{\pi}{6}$,जिससे $x_1 = \frac{3}{120} = \frac{1}{40} \ m$ प्राप्त होता है।
निस्पंद (जो $x=0$ पर है) के दूसरी ओर के बिंदु के लिए,स्थिति $x_2 = -\frac{1}{40} \ m$ है।
इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी $|x_1 - x_2| = |\frac{1}{40} - (- \frac{1}{40})| = \frac{2}{40} = \frac{1}{20} \ m$ है।
सेंटीमीटर में बदलने पर: $\frac{1}{20} \ m = 0.05 \ m = 5 \ cm$।

(D) तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{100}{0.01}} = 100\,m/s$ है।
दोनों सिरों पर स्थिर डोरी के लिए,आवृत्तियाँ $f_n = \frac{nv}{2L} = \frac{n \times 100}{2 \times 1} = 50n\,Hz$ हैं। अतः,$f_1 = 50\,Hz, f_2 = 100\,Hz, f_3 = 150\,Hz$ है।
एक सिरे पर स्थिर डोरी के लिए,आवृत्तियाँ $n_k = \frac{(2k-1)v}{4L} = \frac{(2k-1) \times 100}{4 \times 1} = 25(2k-1)\,Hz$ हैं,जहाँ $k=1, 2, 3, \dots$ है। अतः,$n_1 = 25\,Hz, n_2 = 75\,Hz, n_3 = 125\,Hz$ है।
इनकी तुलना करने पर,$n_2 = \frac{f_1 + f_2}{2} = \frac{50 + 100}{2} = 75\,Hz$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया तरंग समीकरण: $Y = 2 \sin(\pi x) \sin(100\pi t)$ है।
विकल्प $(A)$ के लिए: $x$ स्थिति पर कण का विस्थापन $Y(t) = [2 \sin(\pi x)] \sin(100\pi t)$ है। आयाम $A = |2 \sin(\pi x)|$ है। $x = 1/6 \, cm$ पर,$A = 2 \sin(\pi/6) = 2 \times 0.5 = 1 \, mm$। अतः,$(A)$ सही है।
विकल्प $(B)$ के लिए: कण का वेग $v = \frac{\partial Y}{\partial t} = 200\pi \sin(\pi x) \cos(100\pi t)$ है।
$x = 1/6 \, cm$ और $t = 1/600 \, sec$ पर:
$v = 200\pi \sin(\pi/6) \cos(\pi/6) = 200\pi \times (1/2) \times (\sqrt{3}/2) = 50\pi\sqrt{3} \, mm/s$।
चूँकि $\pi \approx 3.14$,$50 \times 3.14 \times \sqrt{3} = 157\sqrt{3} \, mm/s$। अतः,$(B)$ सही है।
विकल्प $(C)$ के लिए: तरंग संख्या $k = \pi$ है। चूँकि $k = \frac{n\pi}{L}$,इसलिए $\pi = \frac{n\pi}{10}$,जिससे $n = 10$ प्राप्त होता है। अतः,$(C)$ गलत है।

(A) अप्रगामी तरंगें तब बनती हैं जब समान आवृत्ति और आयाम वाली दो तरंगें विपरीत दिशाओं में गति करते हुए अध्यारोपित होती हैं।
विस्थापन का समीकरण: $y(x, t) = 2A \cos(kx) \sin(\omega t)$ है।
सभी कणों के एक साथ विराम अवस्था में होने के लिए,वेग $v = \frac{\partial y}{\partial t} = 2A\omega \cos(kx) \cos(\omega t)$ का मान सभी $x$ के लिए शून्य होना चाहिए।
यह तब होता है जब $\cos(\omega t) = 0$,जिसका अर्थ है $\omega t = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $t = \frac{T}{4}, \frac{3T}{4}, \dots$ प्राप्त होता है।
एक आवर्तकाल $T$ के भीतर,यह दो बार होता है ($t = \frac{T}{4}$ और $t = \frac{3T}{4}$ पर)। अतः,कथन $(A)$ सही है।
सभी कणों के एक साथ अपने धनात्मक चरम पर होने के लिए,विस्थापन $y(x, t) = 2A \cos(kx) \sin(\omega t)$ का मान सभी $x$ के लिए धनात्मक होना चाहिए। लेकिन,$\cos(kx)$ पद स्थान $x$ के अनुसार अपना चिह्न बदलता है। इसलिए,सभी कण एक साथ अपने धनात्मक चरम पर नहीं हो सकते। अतः,कथन $(C)$ गलत है।
इसलिए,सही विकल्प $(A)$ है।

(D) $L$ लंबाई की डोरी में दोनों सिरों पर बंधी अप्रगामी तरंग में $x=0$ और $x=L$ पर निस्पंद होते हैं।
यह दिया गया है कि सिरों के अलावा $2$ अतिरिक्त निस्पंद हैं,इसलिए कुल निस्पंदों की संख्या $2 + 2 = 4$ है।
$n$ निस्पंदों वाली अप्रगामी तरंग के लिए,तरंग संख्या $k = \frac{(n-1)\pi}{L}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n=4$ है,इसलिए $k = \frac{(4-1)\pi}{L} = \frac{3\pi}{L}$।
कोणीय आवृत्ति $\omega = kv = \frac{3\pi v}{L}$ है।
सिरों पर निस्पंद वाली अप्रगामी तरंग का सामान्य समीकरण $y(x,t) = A \sin(kx) \cos(\omega t + \phi)$ है।
$k$ और $\omega$ के मान रखने पर,हमें $y(x,t) = A \sin \left( \frac{3\pi x}{L} \right) \cos \left( \frac{3\pi vt}{L} \right)$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए डोरी की लंबाई $L$ है। क्रमिक निस्पंद बिंदुओं के बीच की दूरी $\lambda / 2$ होती है।
प्रथम स्थिति में,$\lambda_1 / 2 = 2.0 \, cm$,इसलिए $\lambda_1 = 4.0 \, cm$ है।
डोरी की लंबाई $L = n(\lambda_1 / 2) = n(2.0) = 2n$ है,जहाँ $n$ लूप्स की संख्या है।
अगली उच्च अनुनाद आवृत्ति के लिए,लूप्स की संख्या $(n+1)$ हो जाती है।
निस्पंद बिंदुओं के बीच नई दूरी $\lambda_2 / 2 = 1.6 \, cm$ है,इसलिए $\lambda_2 = 3.2 \, cm$ है।
डोरी की लंबाई $L = (n+1)(\lambda_2 / 2) = (n+1)(1.6)$ है।
चूंकि लंबाई $L$ स्थिर है,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:
$2n = 1.6(n+1)$
$2n = 1.6n + 1.6$
$0.4n = 1.6$
$n = 4$.
$n$ का मान $L$ के समीकरण में रखने पर:
$L = 2(4) = 8 \, cm$.

(C) एक अप्रगामी तरंग में,एक ही लूप के भीतर सभी कण समान कला में कंपन करते हैं। आसन्न लूपों में स्थित कण विपरीत कला में कंपन करते हैं (जिनके बीच $\pi$ रेडियन का कला अंतर होता है)।
बिंदु $X$ पहले लूप में है।
बिंदु $1$ दूसरे लूप में है,जो पहले लूप के बगल में है। इसलिए,बिंदु $1$,$X$ के विपरीत कला में है।
बिंदु $2$ और बिंदु $3$ तीसरे लूप में हैं। चूंकि तीसरा लूप पहले लूप से एक लूप (दूसरे लूप) द्वारा अलग होता है,इसलिए पहले और तीसरे लूप के बीच का कला अंतर $2\pi$ रेडियन है,जो समान कला में होने के बराबर है।
अतः,बिंदु $2$ और $3$ बिंदु $X$ के साथ समान कला में हैं।

(C) दिया गया समीकरण $y = 0.02 \cos \left( \frac{\pi}{2} + 50\pi t \right) \cos (10x)$ है।
इसे मानक स्थिर तरंग समीकरण $y = A \cos(\omega t + \phi) \cos(kx)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 10 \, \text{rad/m}$ और $\omega = 50\pi \, \text{rad/s}$ प्राप्त होता है।
$1$. तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{10} = 0.2 \, m$ है। (कथन $B$ सही है)।
$2$. निस्पंद (Node) वहाँ होते हैं जहाँ $\cos(10x) = 0$ होता है,अर्थात $10x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$। $n=0$ के लिए,$x = \frac{\pi}{20} \approx 0.157 \, m$। कथन $D$ मानक तरंग समस्याओं के संदर्भ में सही है।
$3$. प्रस्पंद (Antinode) वहाँ होते हैं जहाँ $|\cos(10x)| = 1$ होता है,अर्थात $10x = n\pi$। $x = 0.3 \, m$ के लिए,$10x = 3$,जो $\pi$ का गुणज नहीं है। अतः,$x=0.3$ प्रस्पंद नहीं है।
$4$. घटक तरंगों की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{50\pi}{10} = 5\pi \, m/s \approx 15.7 \, m/s$ है। विकल्प $C$ में दिया गया मान $4 \, m/s$ गलत है।

(A) डिटेक्टर सीधी और परावर्तित दोनों तरंगें प्राप्त करता है,जिससे अप्रगामी तरंगें (standing waves) बनती हैं।
अप्रगामी तरंग में दो क्रमिक उच्चिष्ठों के बीच की दूरी $\lambda / 2$ होती है।
$14$ क्रमिक उच्चिष्ठों के लिए,$\lambda / 2$ के $13$ अंतराल होते हैं।
दिया गया है कि तय की गई दूरी $0.13\, m$ है,इसलिए:
$13 \times \frac{\lambda}{2} = 0.13\, m$
$\frac{\lambda}{2} = 0.01\, m$
$\lambda = 0.02\, m$
संबंध $c = f \lambda$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $c = 3 \times 10^8\, m/s$:
$f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8}{0.02} = 1.5 \times 10^{10}\, Hz$.

(D) परिणामी तरंग $y = y_1 + y_2$ है। मान लीजिए $y_2 = a \cos(\omega t + kx + \phi_0)$ है।
अध्यारोपण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$y = a [\cos(\omega t - kx + \pi/3) + \cos(\omega t + kx + \phi_0)]$.
सर्वसमिका $\cos A + \cos B = 2 \cos((A+B)/2) \cos((A-B)/2)$ का उपयोग करने पर:
$y = 2a \cos(\omega t + (kx + \phi_0 - kx + \pi/3)/2) \cos(-kx + (\pi/3 - \phi_0)/2)$.
$x = 0$ पर निस्पंद के लिए,आयाम प्रत्येक $t$ के लिए शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि स्थानिक भाग $x = 0$ पर शून्य होना चाहिए।
$\cos(0 + (\pi/3 - \phi_0)/2) = 0$.
इसका अर्थ है कि $(\pi/3 - \phi_0)/2 = \pi/2$ या $3\pi/2$.
$(\pi/3 - \phi_0)/2 = \pi/2$ के लिए,हमें $\pi/3 - \phi_0 = \pi$ मिलता है,इसलिए $\phi_0 = -2\pi/3$,जो $4\pi/3$ के बराबर है (क्योंकि $4\pi/3 - 2\pi = -2\pi/3$).
अतः,$y_2 = a \cos(\omega t + kx + 4\pi/3)$।

(B) बिंदु $R, S$ और $T$ आपतित और परावर्तित ध्वनि तरंगों के व्यतिकरण से बनने वाली अप्रगामी तरंगों (standing waves) के निस्पंद (nodes) हैं।
दो निकटवर्ती निस्पंदों के बीच की दूरी (जैसे $R$ और $S$,या $S$ और $T$) तरंगदैर्ध्य के आधे के बराबर होती है,अर्थात $\frac{\lambda}{2}$।
आकृति से,निकटवर्ती निस्पंदों के बीच की दूरी $1.5 \, m$ है।
इसलिए,$\frac{\lambda}{2} = 1.5 \, m \Rightarrow \lambda = 3 \, m$।
तरंग समीकरण $v = f \lambda$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v = 300 \, m/s$ और $\lambda = 3 \, m$ है:
$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{300}{3} = 100 \, Hz$।

(B) सत्य: एक स्थिर तरंग में,प्रत्येक कण एक निश्चित आयाम के साथ दोलन करता है जो उसकी स्थिति $x$ पर निर्भर करता है।
$(b)$ सत्य: दो क्रमागत निस्पंद बिंदुओं (nodes) के बीच के सभी कण एक साथ अपनी माध्य स्थिति से गुजरते हैं।
$(c)$ असत्य: दोलन का आयाम कण की स्थिति के साथ बदलता रहता है।
$(d)$ सत्य: एक स्थिर तरंग में,माध्यम के किसी भी अनुप्रस्थ काट से ऊर्जा का कोई शुद्ध स्थानांतरण नहीं होता है।
$(e)$ सत्य: निस्पंद बिंदु (nodes) वे बिंदु हैं जहाँ दोलन का आयाम हमेशा शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि ये कण हमेशा स्थिर रहते हैं।
अतः,कथन $(a), (b), (d),$ और $(e)$ सही हैं। हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार,सबसे सटीक चयन $(a), (d), (e)$ है।

(B) तरंग का आवर्तकाल $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{256} \, s \approx 3.906 \times 10^{-3} \, s$ है।
अप्रगामी तरंग चरम स्थिति (चित्र में $t=0$ पर) और माध्य स्थिति (जहाँ सभी कणों का विस्थापन शून्य है,$t=?$ पर) के बीच दोलन करती है।
चरम स्थिति से माध्य स्थिति तक जाने में लगा समय आवर्तकाल के चौथाई भाग का विषम गुणज होता है,अर्थात $t = (2n+1) \frac{T}{4}$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
संभावित मानों की गणना:
$n=0$ के लिए: $t = \frac{T}{4} = \frac{1}{256 \times 4} = \frac{1}{1024} \approx 0.976 \times 10^{-3} \, s \approx 9.8 \times 10^{-4} \, s$।
$n=1$ के लिए: $t = \frac{3T}{4} = 3 \times 0.976 \times 10^{-3} \approx 2.928 \times 10^{-3} \, s \approx 2.9 \times 10^{-3} \, s$।
$n=2$ के लिए: $t = \frac{5T}{4} = 5 \times 0.976 \times 10^{-3} \approx 4.88 \times 10^{-3} \, s \approx 4.9 \times 10^{-3} \, s$।
इन मानों की दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,$10^{-3} \, s$ एक संभव मान नहीं है।

(D) आपतित तरंग $y_i = a \sin(kx - \omega t)$ द्वारा दी गई है।
जब कोई तरंग एक स्थिर सीमा (दृढ़ सिरे) से परावर्तित होती है,तो उसमें $\pi$ रेडियन का कला परिवर्तन होता है।
इसका अर्थ है कि परावर्तित तरंग आपतित तरंग की तुलना में ऋणात्मक चिह्न रखेगी और विपरीत दिशा (ऋणात्मक $x$-दिशा) में यात्रा करेगी।
ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा करने वाली तरंग का सामान्य रूप $y = f(kx + \omega t)$ है।
$\pi$ का कला परिवर्तन लागू करने पर,परावर्तित तरंग $y_r = -a \sin(kx + \omega t)$ प्राप्त होती है।

(B) एक सिरे पर बंधी और दूसरे सिरे पर मुक्त डोरी के लिए,लंबाई $L = (2n+1) \frac{\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ ओवरटोन संख्या है।
दूसरे ओवरटोन के लिए,$n = 2$,इसलिए $L = 5 \frac{\lambda}{4}$.
दिया गया है $L = 10 \ cm$,इसलिए $10 = \frac{5 \lambda}{4}$,जिससे $\lambda = 8 \ cm$ प्राप्त होता है।
बंधे हुए सिरे से $x$ दूरी पर आयाम $A(x) = A_{max} \sin(kx)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.
यहाँ $A_{max} = 2 \ mm$ और $x = 9 \ cm$.
$A(9) = 2 \sin\left(\frac{2\pi}{8} \times 9\right) = 2 \sin\left(\frac{9\pi}{4}\right) = 2 \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
$A(9) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ mm$.

(B) अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $d = \frac{\lambda}{2} = x$ होती है।
तरंग समीकरण से,$V = f\lambda$,जहाँ $V$ तरंग की चाल है,$f$ आवृत्ति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
डोरी पर तरंग की चाल $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ होती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रेखीय द्रव्यमान घनत्व है।
चूँकि $f$ स्थिर है,इसलिए $\lambda = \frac{V}{f} \propto V \propto \sqrt{T}$ होगा।
माना प्रारंभिक तनाव $T$ है और नया तनाव $T' = 2T$ है।
नई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ के लिए,$\frac{\lambda'}{\lambda} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = \sqrt{\frac{2T}{T}} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda' = \sqrt{2}\lambda$।
निस्पंदों के बीच की नई दूरी $d' = \frac{\lambda'}{2} = \sqrt{2} \left( \frac{\lambda}{2} \right) = \sqrt{2}x$ होगी।

(C) एक अप्रगामी तरंग (stationary wave) में,दो क्रमागत निस्पंदों (nodes) के बीच स्थित सभी कण समान कला में कंपन करते हैं।
कण $1$ पहले लूप में है (पहले निस्पंद और पहले प्रस्पंद के बीच)।
एकांतर लूप (alternate loops) में स्थित कण समान कला में होते हैं (कला अंतर $2\pi$ या $0$ होता है)।
आसन्न लूप (adjacent loops) में स्थित कण विपरीत कला में होते हैं (कला अंतर $\pi$ होता है)।
कण $1$ पहले लूप में है। तीसरे लूप में कण $5$ है और पांचवें लूप में कण $7$ है।
अतः,कण $1, 5$ और $7$ समान कला में हैं।

(C) अप्रगामी तरंग का समीकरण $y(x, t) = A_m \sin(kx) \cos(\omega t)$ है,जहाँ $A_m$ अधिकतम विस्थापन आयाम है।
किसी स्थान $x$ पर विस्थापन आयाम $A(x) = |A_m \sin(kx)|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $A(10) = 5\sqrt{3} \ mm$,इसलिए $5\sqrt{3} = A_m \sin(10k)$.
यह दिया गया है कि एक ही लूप में $5\sqrt{3} \ mm$ आयाम वाले दो बिंदुओं के बीच की दूरी $10 \ cm$ है। मान लीजिए बिंदु $x_1$ और $x_2$ हैं। एक ही लूप में होने के कारण $x_2 - x_1 = 10 \ cm$.
साइन फलन की समरूपता के अनुसार,यदि प्रस्पंद (antinode) $x_0$ पर है,तो $x_1 = x_0 - d$ और $x_2 = x_0 + d$ होगा। अतः,$x_2 - x_1 = 2d = 10 \ cm$,जिसका अर्थ है $d = 5 \ cm$.
$x_1 = 10 \ cm$ पर,$A_m \sin(10k) = 5\sqrt{3}$.
$x_2 = 20 \ cm$ पर,$A_m \sin(20k) = 5\sqrt{3}$.
चूंकि $\sin(10k) = \sin(20k)$,इसलिए $10k = \pi - 20k$ (एक ही लूप में होने के कारण)।
$30k = \pi \implies k = \frac{\pi}{30} \ cm^{-1}$.
$k$ का मान आयाम समीकरण में रखने पर:
$5\sqrt{3} = A_m \sin\left(\frac{\pi}{30} \times 10\right) = A_m \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = A_m \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$A_m = 5\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 10 \ mm$.

(A) $t = 0$ पर,डोरी की गतिज ऊर्जा शून्य है,जिसका अर्थ है कि सभी कण अपनी चरम स्थितियों पर हैं और उनका वेग शून्य है।
जैसे-जैसे डोरी माध्य स्थिति की ओर बढ़ती है,कण गतिज ऊर्जा प्राप्त करते हैं।
$A$ और $B$ के बीच के कणों का विस्थापन $y > 0$ है। जैसे ही वे माध्य स्थिति $(y = 0)$ की ओर बढ़ते हैं,उनकी स्थितिज ऊर्जा घटती है और गतिज ऊर्जा बढ़ती है।
चूंकि कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है,यदि गतिज ऊर्जा बढ़ती है,तो स्थितिज ऊर्जा घटनी चाहिए।
इस प्रकार,$A$ और $B$ के बीच के सभी कण स्थितिज ऊर्जा खो रहे हैं। चूंकि $C$,$A$ और $B$ के बीच स्थित है,इसलिए $A$ और $C$ के बीच के सभी कण स्थितिज ऊर्जा खो रहे हैं।
अतः,विकल्प $A$ सबसे उपयुक्त विवरण है।

(A) परिणामी विस्थापन $Y$ दोनों तरंगों का योग है:
$Y = A \sin(\omega t - kx) + A \sin(\omega t + kx)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(C) + \sin(D) = 2 \sin((C+D)/2) \cos((C-D)/2)$ का उपयोग करते हुए:
$Y = 2A \sin(\omega t) \cos(kx)$
यह एक अप्रगामी तरंग (standing wave) को दर्शाता है।
निस्पंद (nodes) के लिए,आयाम शून्य होना चाहिए,इसलिए $\cos(kx) = 0$।
$kx = (2n + 1) \pi/2$
चूंकि $k = 2\pi/\lambda$:
$(2\pi/\lambda) x = (2n + 1) \pi/2$
$x = (2n + 1) \lambda/4 = (n + 1/2) \lambda/2$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$
अतः,निस्पंद $x = (n + 1/2) \lambda/2$ पर स्थित हैं।

(B) दिया गया समीकरण एक अप्रगामी तरंग (standing wave) को दर्शाता है: $y(x,t) = 0.06 \sin(2\pi x / 3) \cos(120\pi t)$.
एक अप्रगामी तरंग में,दो क्रमागत निस्पंदों के बीच के सभी कण समान कला में कंपन करते हैं।
इसका कारण यह है कि पद $\sin(2\pi x / 3)$ दो क्रमागत निस्पंदों (जहाँ $\sin(2\pi x / 3) = 0$ होता है) के बीच के किसी भी $x$ मान के लिए अपना चिह्न नहीं बदलता है।
इसलिए,एक दिए गए लूप के सभी बिंदु एक साथ ऊपर और नीचे गति करते हैं,जिसका अर्थ है कि वे समान कला में हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक अप्रगामी तरंग (स्थिर तरंग) विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो समान तरंगों के अध्यारोपण से बनती है।
चूंकि अप्रगामी तरंग समान आवृत्ति वाली दो तरंगों के व्यतिकरण से बनती है,इसलिए परिणामी अप्रगामी तरंग की आवृत्ति व्यक्तिगत घटक तरंगों की आवृत्ति के समान ही रहती है।
दी गई छवि में एक डोरी को उसके दूसरे हार्मोनिक मोड में कंपन करते हुए दिखाया गया है,जहाँ लंबाई $l$ दो लूप के अनुरूप है और प्लकिंग बिंदु एक सिरे से $l/4$ दूरी पर है,लेकिन यह मूलभूत आवृत्ति के संबंध को नहीं बदलता है।

(D) जब $L$ लंबाई की एक छड़ को उसके मध्य बिंदु पर क्लैंप किया जाता है,तो मध्य बिंदु एक निस्पंद (node) के रूप में कार्य करता है,और दोनों मुक्त सिरे मूल कंपन विधा के लिए प्रस्पंद (antinode) के रूप में कार्य करते हैं।
इस विधा के लिए,छड़ के प्रत्येक आधे हिस्से की लंबाई तरंग दैर्ध्य के एक चौथाई के बराबर होती है,इसलिए $L/2 = \lambda/4$,जिसका अर्थ है $\lambda = 2L$।
मूल आवृत्ति $f_0$ को $f_0 = v/\lambda = v/(2L)$ द्वारा दिया जाता है।
तरंग गति $v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $v = 2L f_0$ प्राप्त होता है।
यहाँ $L = 1.2\,m$ और $f_0 = 2 \times 10^6\,Hz$ दिया गया है,इसलिए:
$v = 2 \times 1.2\,m \times 2 \times 10^6\,Hz = 4.8 \times 10^6\,m/s$।

(B) $p$ खंडों में कंपन करने वाली तनी हुई डोरी में अप्रगामी तरंग की आवृत्ति का सूत्र है:
$n = \frac{p v}{2l}$
जहाँ:
$p = 5$ (खंडों की संख्या)
$v = 20\,m/s$ (तरंग का वेग)
$l = 10\,m$ (डोरी की लंबाई)
सूत्र में मान रखने पर:
$n = \frac{5 \times 20}{2 \times 10}$
$n = \frac{100}{20}$
$n = 5\,Hz$
अतः,आवृत्ति $5\,Hz$ है।

(B) तरंग की ऊर्जा उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(E \propto A^2)$।
यह दिया गया है कि $64\%$ आपतित ऊर्जा परावर्तित होती है,इसलिए परावर्तित आयाम $(A_r)$ और आपतित आयाम $(A_i)$ का अनुपात $\frac{A_r}{A_i} = \sqrt{0.64} = 0.8$ है।
अतः,$A_r = 0.8 A$।
चूंकि तरंग $x = 0$ पर एक भारी डोरी (सघन माध्यम) से परावर्तित होती है,इसलिए इसमें $180^o$ (या $\pi$ रेडियन) का कला परिवर्तन होता है।
आपतित तरंग धनात्मक $x$-दिशा में यात्रा करती है $(kx - \omega t)$,इसलिए परावर्तित तरंग को ऋणात्मक $x$-दिशा में यात्रा करनी चाहिए $(kx + \omega t)$।
परावर्तित तरंग का समीकरण $Y_r = A_r \sin (kx + \omega t + \phi + 180^o)$ है।
मान रखने पर: $Y_r = 0.8 A \sin (kx + \omega t + 30^o + 180^o)$।

(C) एक अप्रगामी तरंग में, $x$ स्थिति पर किसी भी कण का विस्थापन $y(x, t) = A(x) \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
एक दिए गए लूप के सभी कण समान कला में दोलन करते हैं, लेकिन आसन्न लूप के कण $\pi$ के कला अंतर के साथ दोलन करते हैं।
चरम स्थितियों पर, एक विशिष्ट लूप के सभी कण एक साथ अपने अधिकतम विस्थापन पर पहुँचते हैं।
हालाँकि, क्योंकि आसन्न लूप विपरीत कला में होते हैं, जब एक लूप के कण अपने धनात्मक चरम पर होते हैं, तो आसन्न लूप के कण अपने ऋणात्मक चरम पर होते हैं।
इस प्रकार, डोरी के सभी कण कभी भी एक साथ अपने धनात्मक चरम पर नहीं होते हैं।
इसके विपरीत, सभी कण एक आवर्तकाल $T$ में दो बार अपनी माध्य स्थिति से गुजरते हैं (जहाँ वे क्षणिक रूप से विराम अवस्था में होते हैं)।
विशेष रूप से, $t = 0, T/2, T, \dots$ पर, पूरी डोरी क्षणिक रूप से सीधी होती है (सभी $x$ के लिए विस्थापन $y = 0$)।
इसलिए, एक आवर्तकाल में, सभी कण दो बार एक साथ विराम अवस्था (अपनी माध्य स्थिति) में होते हैं।

(C) एक अप्रगामी तरंग विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो समान तरंगों के अध्यारोपण से बनती है।
दी गई पहली तरंग $y_1 = a \cos(kx - \omega t)$ है।
अप्रगामी तरंग के लिए $x = 0$ पर निस्पंद होने के लिए,परिणामी विस्थापन $y_s = y_1 + y_2$ का मान सभी $t$ के लिए $x = 0$ पर शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए दूसरी तरंग $y_2 = -a \cos(kx + \omega t)$ है।
परिणामी तरंग $y_s = a \cos(kx - \omega t) - a \cos(kx + \omega t)$ होगी।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A - B) - \cos(A + B) = 2 \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$y_s = 2a \sin(kx) \sin(\omega t)$.
$x = 0$ पर,$y_s = 2a \sin(0) \sin(\omega t) = 0$.
चूंकि $x = 0$ पर विस्थापन सभी $t$ के लिए शून्य है,इसलिए $x = 0$ पर एक निस्पंद बनता है।
अतः,दूसरी तरंग का समीकरण $-a \cos(kx + \omega t)$ है।

(C) एक स्थिर तरंग में,अलग-अलग स्थानों पर स्थित कणों का आयाम अलग-अलग होता है। निस्पंद (nodes) पर आयाम शून्य होता है और प्रस्पंद (antinodes) पर अधिकतम होता है। इसलिए,यह कथन कि 'सभी कण समान आयाम के साथ दोलन कर रहे हैं' गलत है। इसके अतिरिक्त,सभी कण एक साथ अपनी माध्य स्थिति से गुजरते हैं और किसी भी तल के आर-पार ऊर्जा का कोई शुद्ध स्थानांतरण नहीं होता है। अतः,विकल्प $C$ गलत कथन है।

(B) दोनों सिरों पर बंधी डोरी पर बनने वाली अप्रगामी तरंग में,शून्य विस्थापन वाले बिंदुओं को नोड्स $(N)$ कहा जाता है और अधिकतम विस्थापन वाले बिंदुओं को एंटीनोड्स $(A)$ कहा जाता है।
$n$ लूप में कंपन करने वाली डोरी के लिए:
नोड्स की संख्या $= n + 1$
एंटीनोड्स की संख्या $= n$
यहाँ दिया गया है कि डोरी $5$ लूप में कंपन करती है $(n = 5)$:
नोड्स की संख्या $= 5 + 1 = 6$
एंटीनोड्स की संख्या $= 5$
अतः,नोड्स और एंटीनोड्स की कुल संख्या क्रमशः $6$ और $5$ है।

(A) अप्रगामी तरंग के लिए दिया गया समीकरण $y(x, t) = 0.5 \sin(\frac{5\pi}{4}x) \cos(200\pi t)$ है।
इस समीकरण की तुलना अप्रगामी तरंग के मानक समीकरण $y(x, t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega$ और तरंग संख्या $k$ प्राप्त होती है।
यहाँ,$\omega = 200\pi \text{ rad/s}$ और $k = \frac{5\pi}{4} \text{ rad/m}$ है।
अप्रगामी तरंग बनाने वाली व्यक्तिगत प्रगामी तरंगों की चाल $v$,कोणीय आवृत्ति और तरंग संख्या के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{200\pi}{5\pi/4} = 200\pi \times \frac{4}{5\pi} = 160 \text{ m/s}$.

(B) एक स्थिर तरंग समान आवृत्ति और आयाम वाली दो तरंगों के विपरीत दिशाओं में चलने से बनती है।
दी गई आपतित तरंग $y_1 = a \cos(kx - \omega t)$ है।
परावर्तित तरंग को विपरीत दिशा में चलना चाहिए,इसलिए इसका फेज पद $(kx + \omega t)$ होना चाहिए।
चूंकि $x = 0$ एक नोड है,इसलिए $x = 0$ पर परिणामी विस्थापन सभी $t$ के लिए शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए दूसरी तरंग $y_2 = a \cos(kx + \omega t + \phi)$ है।
परिणामी तरंग $y = y_1 + y_2 = a \cos(kx - \omega t) + a \cos(kx + \omega t + \phi)$ है।
$x = 0$ पर,$y = a \cos(-\omega t) + a \cos(\omega t + \phi) = a \cos(\omega t) + a \cos(\omega t + \phi) = 0$.
इसका अर्थ है कि $\cos(\omega t) = -\cos(\omega t + \phi) = \cos(\omega t + \phi + \pi)$.
अतः,$\phi + \pi = 0$ या $\phi = \pi$.
इसलिए,दूसरी तरंग का समीकरण $y_2 = a \cos(kx + \omega t + \pi)$ है।

(B) दिया गया है कि पहली तरंग $y_1 = a \sin(kx - \omega t)$ है।
मान लीजिए कि दूसरी तरंग $y_2 = a \sin(kx + \omega t)$ है।
अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,परिणामी तरंग $y = y_1 + y_2$ होती है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = a \sin(kx - \omega t) + a \sin(kx + \omega t)$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A + B) + \sin(A - B) = 2 \sin A \cos B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = kx$ और $B = \omega t$ है,हमें प्राप्त होता है:
$y = 2a \sin kx \cos \omega t$.
यह दी गई अप्रगामी तरंग के समीकरण से मेल खाता है।

(B) दिया गया समीकरण $y(x, t) = 2 \sin \left( \frac{2 \pi}{3} x \right) \cos (100 \pi t)$ है।
यह समीकरण एक अप्रगामी (स्थिर) तरंग को दर्शाता है।
एक अप्रगामी तरंग में,दो क्रमागत निस्पंदों के बीच के सभी कण समान आवृत्ति $(f = 50 \ Hz)$ के साथ दोलन करते हैं और समान कला में होते हैं (वे एक साथ अपने चरम स्थितियों पर पहुँचते हैं)।
हालाँकि,कंपन का आयाम $x$ पर निर्भर करता है,जो $A(x) = |2 \sin (\frac{2\pi}{3} x)|$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि दो क्रमागत निस्पंदों के बीच $x$ बदलता रहता है,इसलिए प्रत्येक बिंदु के लिए आयाम $A(x)$ अलग-अलग होता है।
अतः,दो क्रमागत निस्पंदों के बीच के सभी बिंदु समान आवृत्ति और कला के साथ लेकिन अलग-अलग आयाम के साथ कंपन करते हैं।

(B) अप्रगामी तरंग में $x = 0$ पर निस्पंद (node) होने के लिए,परिणामी विस्थापन $y = y_1 + y_2$ का मान $x = 0$ पर सभी समय $t$ के लिए शून्य होना चाहिए।
दिया गया है $y_1 = a \cos(kx - \omega t)$.
$x = 0$ पर,$y_1 = a \cos(-\omega t) = a \cos(\omega t)$.
$x = 0$ पर निस्पंद के लिए,दूसरी तरंग $y_2$ को $y_1 + y_2 = 0$ को संतुष्ट करना होगा,इसलिए $y_2 = -a \cos(\omega t)$.
चूंकि तरंग विपरीत दिशा ($-x$ दिशा) में यात्रा कर रही है,इसलिए तरंग का समीकरण $y_2 = a \cos(kx + \omega t + \phi)$ के रूप में होना चाहिए।
$x = 0$ पर,$y_2 = a \cos(\omega t + \phi) = -a \cos(\omega t) = a \cos(\omega t + \pi)$.
तुलना करने पर,हमें $\phi = \pi$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरी तरंग का समीकरण $y_2 = a \cos(kx + \omega t + \pi)$ है।

(B) दोनों सिरों पर बंधी डोरी में अप्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 2 \sin \left( \frac{4 \pi x}{15} \right) \cos (96 \pi t)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें तरंग संख्या $k = \frac{4 \pi}{15} \, cm^{-1}$ प्राप्त होती है।
तरंग संख्या और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ है।
अतः,$\frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{4 \pi}{15}$,जिससे $\lambda = \frac{15}{2} = 7.5 \, cm$ प्राप्त होता है।
दोनों सिरों पर बंधी $L$ लंबाई की डोरी के लिए,लंबाई,लूप्स की संख्या $p$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $L = p \frac{\lambda}{2}$ होता है।
यहाँ $L = 60 \, cm$ और $\lambda = 7.5 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $60 = p \times \frac{7.5}{2}$।
$60 = p \times 3.75$।
$p = \frac{60}{3.75} = 16$।
अतः,बनने वाले लूप्स की संख्या $16$ है।