Principle of superposition of waves Questions in Hindi

(C) जब विपरीत कला वाले दो समान पल्स (एक शृंग और एक गर्त) एक-दूसरे पर ओवरलैप होते हैं,तो वे विनाशी व्यतिकरण से गुजरते हैं।
पूर्ण ओवरलैप के क्षण पर,डोरी के प्रत्येक बिंदु का कुल विस्थापन शून्य हो जाता है।
चूंकि डोरी की स्थितिज ऊर्जा विस्थापन के वर्ग (या ढलान के वर्ग) के समानुपाती होती है,इसलिए इस क्षण पर स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है।
हालाँकि,इस क्षण पर भी डोरी के कण दो पल्स के वेगों के अध्यारोपण के कारण अधिकतम अनुप्रस्थ वेग के साथ गति कर रहे होते हैं।
इसलिए,इस क्षण पर डोरी की कुल ऊर्जा पूरी तरह से गतिज ऊर्जा के रूप में होती है।

(C) $A_1$ और $A_2$ आयाम तथा $\phi$ कलांतर वाली दो तरंगों का परिणामी आयाम $R$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$.
यहाँ $A_1 = 10$,$A_2 = 20$ और कलांतर $\phi = \pi/2$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$R = \sqrt{10^2 + 20^2 + 2(10)(20) \cos(\pi/2)}$.
चूंकि $\cos(\pi/2) = 0$,इसलिए व्यंजक सरल होकर निम्न प्रकार हो जाता है:
$R = \sqrt{100 + 400 + 0} = \sqrt{500}$.
$R = \sqrt{100 \times 5} = 10\sqrt{5}$.

(C) दिया गया समीकरण $y = 3\, \sin\, \omega t + 4\, \cos\, \omega t$ है।
यह समीकरण $y = A_1\, \sin\, \omega t + A_2\, \cos\, \omega t$ के रूप में है,जहाँ $A_1 = 3\, cm$ और $A_2 = 4\, cm$ है।
परिणामी आयाम $A$ का सूत्र $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\, cm$।

(C) $a_1$ और $a_2$ आयाम तथा $\phi$ कलांतर वाली दो तरंगों का परिणामी आयाम $A$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos \phi}$
तरंगों के दिए गए समीकरणों से:
$y_1 = 10 \sin(2000 \pi t + 2x)$
$y_2 = 10 \sin(2000 \pi t + 2x + \frac{\pi}{2})$
यहाँ,$a_1 = 10$,$a_2 = 10$ और कलांतर $\phi = \frac{\pi}{2} = 90^\circ$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = \sqrt{10^2 + 10^2 + 2(10)(10) \cos(90^\circ)}$
चूंकि $\cos(90^\circ) = 0$ है:
$A = \sqrt{100 + 100 + 0} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14 \ unit$.
अतः,परिणामी आयाम लगभग $14.1 \ unit$ है।

(D) कलांतर $\Delta \phi$ और पथान्तर $\Delta x$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$
ग्राफ से,दोनों तरंगों के बीच पथान्तर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$
समान तीव्रता $I_0$ और कलांतर $\phi$ वाली दो तरंगों की परिणामी तीव्रता $I$ इस प्रकार दी जाती है:
$I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi)$
$\phi = \frac{\pi}{2}$ रखने पर:
$I = 2I_0(1 + \cos \frac{\pi}{2})$
चूंकि $\cos \frac{\pi}{2} = 0$,इसलिए:
$I = 2I_0(1 + 0) = 2I_0$

(A) माना प्रत्येक तरंग का आयाम $A$ है। चूंकि तीव्रता $I \propto A^2$,इसलिए $I_0 = kA^2$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
परिणामी तरंग का समीकरण तीनों तरंगों के योग द्वारा दिया जाता है:
$y = A \sin(\omega t) + A \sin(\omega t - \frac{\pi}{4}) + A \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(x - y) + \sin(x + y) = 2 \sin x \cos y$ का उपयोग करने पर:
$y = A \sin(\omega t) + A [2 \sin(\omega t) \cos(\frac{\pi}{4})]$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$y = A \sin(\omega t) + A [2 \sin(\omega t) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}]$
$y = A \sin(\omega t) + \sqrt{2} A \sin(\omega t)$
$y = (1 + \sqrt{2}) A \sin(\omega t)$
परिणामी आयाम $A_R = (1 + \sqrt{2}) A$ है।
परिणामी तीव्रता $I = k A_R^2 = k [(1 + \sqrt{2}) A]^2 = k A^2 (1 + \sqrt{2})^2$.
चूंकि $I_0 = k A^2$:
$I = I_0 (1 + 2 + 2\sqrt{2}) = I_0 (3 + 2 \times 1.414) = I_0 (3 + 2.828) = 5.828 I_0$.
अतः,परिणामी तीव्रता लगभग $5.8 I_0$ है।

(N/A) अध्यारोपण का सिद्धांत: जब किसी माध्यम का कोई कण एक साथ दो या दो से अधिक तरंगों के प्रभाव में आता है,तो उसका कुल विस्थापन उन व्यक्तिगत तरंगों के प्रभाव में होने वाले विस्थापनों के सदिश योग के बराबर होता है।
व्याख्या:
$1$. जब दो तरंगें विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं,तो वे एक-दूसरे को पार करने के बाद भी अपनी विशेषताओं को बनाए रखती हैं।
$2$. अध्यारोपण के दौरान,माध्यम के कण एक ऐसा विस्थापन प्रदर्शित करते हैं जो व्यक्तिगत तरंग विस्थापनों का बीजगणितीय योग होता है।
$3$. दी गई आकृति दो समान और विपरीत तरंग स्पंदों (pulses) के अध्यारोपण को दर्शाती है। $t = 2 \ s$ (भाग $c$) पर,दोनों स्पंद इस प्रकार ओवरलैप होते हैं कि उनके विस्थापन एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप उस क्षण कुल विस्थापन शून्य हो जाता है। एक-दूसरे को पार करने के बाद,स्पंद अपनी मूल दिशाओं में गति करना जारी रखते हैं,और उनके आकार या वेग में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(N/A) मान लीजिए कि $y_{1}(x, t)$ और $y_{2}(x, t)$ वे विस्थापन हैं जो माध्यम का कोई भी तत्व अनुभव करेगा यदि प्रत्येक तरंग अकेले यात्रा करती है।
जब तरंगें एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं,तो माध्यम के किसी तत्व का विस्थापन $y(x, t)$ अध्यारोपण के सिद्धांत द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$y(x, t) = y_{1}(x, t) + y_{2}(x, t) \quad \dots (1)$
यदि हमारे पास माध्यम में गति करने वाली $n$ तरंगें हैं,तो परिणामी तरंग रूप व्यक्तिगत तरंगों के तरंग फलनों का बीजगणितीय योग होता है।
मान लीजिए कि व्यक्तिगत तरंग फलन इस प्रकार हैं:
$y_{1} = f_{1}(x - vt)$
$y_{2} = f_{2}(x - vt)$
$y_{n} = f_{n}(x - vt)$
तब परिणामी तरंग फलन $y$ इन व्यक्तिगत फलनों का योग है:
$y = f_{1}(x - vt) + f_{2}(x - vt) + \dots + f_{n}(x - vt)$
अतः,परिणामी तरंग फलन को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$y = \sum_{i=1}^{n} f_{i}(x - vt)$
जहाँ $i = 1, 2, 3, \dots, n$।

(N/A) मान लीजिए कि दो प्रगामी हार्मोनिक तरंगें एक तनी हुई डोरी पर समान कोणीय आवृत्ति $(\omega)$,कोणीय तरंग संख्या $(k)$ और आयाम $(a)$ के साथ चल रही हैं।
दोनों तरंगों को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
$y_{1}(x, t) = a \sin(kx - \omega t)$
$y_{2}(x, t) = a \sin(kx - \omega t + \phi)$
जहाँ $\phi$ दोनों तरंगों के बीच का स्थिर कलांतर है।
अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,परिणामी विस्थापन $y(x, t)$ व्यक्तिगत विस्थापनों का बीजगणितीय योग है:
$y(x, t) = y_{1}(x, t) + y_{2}(x, t)$
$y(x, t) = a \sin(kx - \omega t) + a \sin(kx - \omega t + \phi)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C + \sin D = 2 \sin \left( \frac{C+D}{2} \right) \cos \left( \frac{C-D}{2} \right)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $C = kx - \omega t$ और $D = kx - \omega t + \phi$:
$y(x, t) = 2a \sin \left( \frac{kx - \omega t + kx - \omega t + \phi}{2} \right) \cos \left( \frac{kx - \omega t - (kx - \omega t + \phi)}{2} \right)$
$y(x, t) = 2a \sin \left( kx - \omega t + \frac{\phi}{2} \right) \cos \left( -\frac{\phi}{2} \right)$
चूंकि $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$:
$y(x, t) = [2a \cos(\frac{\phi}{2})] \sin(kx - \omega t + \frac{\phi}{2})$
यह परिणामी प्रगामी तरंग का समीकरण है जिसका आयाम $2a \cos(\frac{\phi}{2})$ और प्रारंभिक कला $\frac{\phi}{2}$ है।

(N/A) परिणामी तरंग का आयाम दो घटक तरंगों के बीच के कलांतर $\phi$ का एक फलन है।
परिणामी आयाम $A$ का सूत्र है: $A(\phi) = 2a \cos(\frac{\phi}{2})$,जहाँ $a$ प्रत्येक व्यक्तिगत तरंग का आयाम है।
$1$. जब दो तरंगें समान कला में होती हैं,तो कलांतर $\phi = 0$ होता है। इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $A = 2a \cos(0) = 2a$ प्राप्त होता है। यह अधिकतम संभव आयाम है,जिसे संपोषी व्यतिकरण कहा जाता है।
$2$. जब दो तरंगें पूरी तरह से विपरीत कला में होती हैं,तो कलांतर $\phi = \pi$ होता है। इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $A = 2a \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ प्राप्त होता है। इसके परिणामस्वरूप शून्य आयाम मिलता है,जिसे विनाशी व्यतिकरण कहा जाता है।
$3$. किसी अन्य कलांतर के लिए,परिणामी आयाम $A$ का मान $0 \leq A \leq 2a$ की सीमा में होगा।

(N/A) दो तरंगों के अध्यारोपण की घटना को व्यतिकरण कहा जाता है।
इसके दो प्रकार हैं:
$(1)$ संपोषी व्यतिकरण (Constructive interference)
$(2)$ विनाशी व्यतिकरण (Destructive interference)
$(1)$ संपोषी व्यतिकरण: जब एक तरंग का श्रृंग दूसरी तरंग के श्रृंग पर या एक तरंग का गर्त दूसरी तरंग के गर्त पर अध्यारोपित होता है,तो परिणामी तरंग के लिए आयाम जुड़ जाते हैं,इसे संपोषी व्यतिकरण कहते हैं।
$(2)$ विनाशी व्यतिकरण: जब एक तरंग का श्रृंग दूसरी तरंग के गर्त पर या एक तरंग का गर्त दूसरी तरंग के श्रृंग पर अध्यारोपित होता है,तो परिणामी तरंग के लिए आयाम घट जाते हैं,इसे विनाशी व्यतिकरण कहते हैं।

(N/A) अध्यारोपण का सिद्धांत यह बताता है कि जब दो या दो से अधिक तरंगें एक माध्यम में एक साथ यात्रा करती हैं,तो प्रत्येक तरंग दूसरों से स्वतंत्र रूप से कार्य करती है। किसी भी बिंदु पर और किसी भी क्षण पर परिणामी विस्थापन $y$ उस बिंदु पर प्रत्येक तरंग द्वारा उत्पन्न व्यक्तिगत विस्थापनों $y_1, y_2, y_3, \dots$ का बीजगणितीय योग होता है।
गणितीय रूप में,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $y = y_1 + y_2 + y_3 + \dots = \sum_{i=1}^{n} y_i$.

मान लीजिए कि दो तरंगें निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दर्शाई गई हैं:
$y_1 = A_1 \sin(\omega t)$
$y_2 = A_2 \sin(\omega t + \phi)$
जहाँ $A_1$ और $A_2$ आयाम हैं,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,$t$ समय है,और $\phi$ प्रारंभिक कलांतर है।
अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,परिणामी विस्थापन $y$ व्यक्तिगत विस्थापनों का सदिश योग है:
$y = y_1 + y_2 = A_1 \sin(\omega t) + A_2 \sin(\omega t + \phi)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ का उपयोग करते हुए:
$y = A_1 \sin(\omega t) + A_2 (\sin(\omega t) \cos \phi + \cos(\omega t) \sin \phi)$
$y = (A_1 + A_2 \cos \phi) \sin(\omega t) + (A_2 \sin \phi) \cos(\omega t)$
मान लीजिए $A_1 + A_2 \cos \phi = R \cos \theta$ और $A_2 \sin \phi = R \sin \theta$,जहाँ $R$ परिणामी आयाम है और $\theta$ कला स्थिरांक है।
अतः,$y = R \cos \theta \sin(\omega t) + R \sin \theta \cos(\omega t) = R \sin(\omega t + \theta)$
जहाँ $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos \phi}$ और $\tan \theta = \frac{A_2 \sin \phi}{A_1 + A_2 \cos \phi}$.

(N/A) चित्र $(a)$ समान कला में दोलन करती दो सुइयों को दर्शाता है,जो दो कला-संबद्ध (coherent) स्रोतों का प्रतिनिधित्व करती हैं। चित्र में दिखाए अनुसार पानी के एक गर्त में दो सुइयों को समान रूप से ऊपर-नीचे गति करते हुए मानिए; वे दो जल तरंगें उत्पन्न करती हैं।
किसी विशेष बिंदु पर,प्रत्येक तरंग द्वारा उत्पन्न विस्थापन के बीच का कलांतर समय के साथ नहीं बदलता है,इसलिए दोनों स्रोतों को कला-संबद्ध स्रोत कहा जाता है।
चित्र $(b)$ समय के किसी दिए गए क्षण पर शृंगों (ठोस वृत्त) और गर्तों (डैश वाले वृत्त) की स्थिति को दर्शाता है।
अब चित्र $(a)$ के अनुसार एक बिंदु $P$ पर विचार करें जिसके लिए $S_{1}P = S_{2}P$ है।
चूंकि $S_{1}$ और $S_{2}$ से आने वाली तरंगें बिंदु $P$ तक पहुँचने में समान समय लेंगी,इसलिए वे समान कला में पहुँचेंगी।
बिंदु $P$ पर स्रोत $S_{1}$ द्वारा उत्पन्न विस्थापन $y_{1} = a \cos \omega t$ है और बिंदु $P$ पर स्रोत $S_{2}$ द्वारा उत्पन्न विस्थापन $y_{2} = a \cos \omega t$ है,जहाँ $a$ आयाम है।
अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,$P$ पर परिणामी विस्थापन है:
$y = y_{1} + y_{2} = a \cos \omega t + a \cos \omega t$
$\therefore y = 2a \cos \omega t$

(B) मान लीजिए कि श्रोता की स्थिति $L$ है। प्रारंभ में,श्रोता $S_{2}$ से $x = 2\, m$ की दूरी पर है।
$S_{1}$ से दूरी $S_{1}L = \sqrt{x^2 + (1.5)^2} = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5\, m$ है।
पथ अंतर $\Delta x = S_{1}L - S_{2}L = 2.5 - 2 = 0.5\, m$ है।
चूंकि $\lambda = 1\, m$ है,इसलिए $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है,जो न्यूनतम तीव्रता (विनाशी व्यतिकरण) को दर्शाता है।
जब श्रोता $S_{2}$ से $2\, m$ की दूरी को स्थिर रखते हुए $S_{1}$ से दूर जाता है,तो पथ अंतर $\Delta x = S_{1}L - S_{2}L$ बढ़ता है।
अगला तीव्रता उच्चिष्ठ तब होता है जब पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ हो। क्रमिक उच्चिष्ठ के लिए,$n = 1$ लेने पर,
$\Delta x = 1\, m$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि इस नई स्थिति में $S_{1}$ से श्रोता की दूरी $d$ है।
अतः,$d - 2 = 1$,जिससे $d = 3\, m$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई तरंग समीकरणें ${y}_{1} = {A}_{1} \sin {k}({x} - {vt})$ और ${y}_{2} = {A}_{2} \sin {k}({x} - {vt} + {x}_{0})$ हैं।
दो तरंगों के बीच कलांतर $\Delta \phi = {k} \cdot {x}_{0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ ${k} = 6.28 \, {cm}^{-1}$ और ${x}_{0} = 3.5 \, {cm}$ दिया गया है।
चूंकि $6.28 \approx 2\pi$,इसलिए $\Delta \phi = 6.28 \times 3.5 = 2\pi \times 3.5 = 7\pi$ प्राप्त होता है।
परिणामी आयाम ${A}_{R} = \sqrt{{A}_{1}^{2} + {A}_{2}^{2} + 2{A}_{1}{A}_{2} \cos(\Delta \phi)}$ सूत्र का उपयोग करने पर।
मान रखने पर: ${A}_{R} = \sqrt{12^{2} + 5^{2} + 2(12)(5) \cos(7\pi)}$.
चूंकि $\cos(7\pi) = -1$,इसलिए ${A}_{R} = \sqrt{144 + 25 - 120} = \sqrt{49} = 7 \, {mm}$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए आयाम $A_{1} = 5 \, cm$ और $A_{2} = 3 \, cm$ हैं।
दो तरंगों के बीच का कलांतर $\Delta \phi$ उनके तर्कों के अंतर द्वारा निर्धारित होता है:
$\Delta \phi = 2 \pi (x - vt + 1.5) - 2 \pi (x - vt) = 2 \pi (1.5) = 3 \pi$.
परिणामी आयाम $A_{net}$ का सूत्र है:
$A_{net} = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} \cos(\Delta \phi)}$.
मान रखने पर:
$A_{net} = \sqrt{5^{2} + 3^{2} + 2(5)(3) \cos(3 \pi)}$.
चूंकि $\cos(3 \pi) = -1$:
$A_{net} = \sqrt{25 + 9 + 30(-1)} = \sqrt{34 - 30} = \sqrt{4} = 2 \, cm$.

(C) समान आयाम $A_1 = A_2 = A$ और कलांतर $\phi$ वाली दो अध्यारोपित तरंगों के परिणामी आयाम $A_R$ का सूत्र इस प्रकार है:
$A_R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$
दिया गया है कि $A_R = \sqrt{3}A$,मान रखने पर:
$\sqrt{3}A = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \phi}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$3A^2 = 2A^2 + 2A^2 \cos \phi$
$3A^2 - 2A^2 = 2A^2 \cos \phi$
$A^2 = 2A^2 \cos \phi$
$\cos \phi = \frac{1}{2}$
अतः,$\phi = 60^{\circ}$।

(A) बिंदु $P$ (स्रोत $R$ के ठीक सामने) पर न्यूनतम तीव्रता के लिए,$S$ और $R$ से $P$ तक पहुँचने वाली ध्वनि तरंगों के बीच पथ का अंतर तरंग दैर्ध्य के आधे का विषम गुणज होना चाहिए।
पथ का अंतर $\Delta x = SP - RP$ द्वारा दिया जाता है।
ज्यामिति के अनुसार,$RP = 12 \,m$ और $RS = 5 \,m$ है। इसलिए,$SP = \sqrt{RP^2 + RS^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \,m$ है।
पथ का अंतर $\Delta x = 13 \,m - 12 \,m = 1 \,m$ है।
विनाशी व्यतिकरण (न्यूनतम) के लिए,$\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
$\lambda = \frac{v}{f}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 = (2n + 1) \frac{v}{2f}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f = \frac{(2n + 1)v}{2}$।
चूँकि $v = 330 \,m/s$ दिया गया है,$f = \frac{(2n + 1) \times 330}{2} = (2n + 1) \times 165$ है।
$n = 0$ के लिए,$f = 165 \,Hz$ है।
$n = 1$ के लिए,$f = 3 \times 165 = 495 \,Hz$ है।
$n = 2$ के लिए,$f = 5 \times 165 = 825 \,Hz$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$495 \,Hz$ एक संभावित मान है।

(C) पहले स्पीकर से बिंदु $P$ तक की दूरी $d_1 = 4 \,m$ है। दूसरे स्पीकर से बिंदु $P$ तक की दूरी $d_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \,m$ है।
बिंदु $P$ पर दो ध्वनि तरंगों के बीच का पथ अंतर $\Delta L = d_2 - d_1 = 5 \,m - 4 \,m = 1 \,m$ है।
ध्वनि के सबसे कम तीव्र (विनाशी व्यतिकरण) होने के लिए,पथ अंतर तरंगदैर्ध्य के आधे का विषम गुणज होना चाहिए:
$\Delta L = (2n + 1) \frac{\lambda_1}{2}$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$
$n = 0$ के लिए,$1 \,m = \frac{\lambda_1}{2} \Rightarrow \lambda_1 = 2 \,m$.
ध्वनि के सबसे अधिक तीव्र (संपोषी व्यतिकरण) होने के लिए,पथ अंतर तरंगदैर्ध्य का पूर्णांक गुणज होना चाहिए:
$\Delta L = n \lambda_2$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
$n = 1$ के लिए,$1 \,m = \lambda_2 \Rightarrow \lambda_2 = 1 \,m$.
अतः,संभावित मान $\lambda_1 = 2 \,m$ और $\lambda_2 = 1 \,m$ हैं। सही विकल्प $(c)$ है।

(D) दो तरंगों के आयाम $A_1 = A_0$ और $A_2 = x A_0$ हैं।
अधिकतम परिणामी आयाम $(A_{max})$ तब प्राप्त होता है जब तरंगें समान कला में होती हैं:
$A_{max} = A_1 + A_2 = A_0 + x A_0 = (x+1) A_0$.
न्यूनतम परिणामी आयाम $(A_{min})$ तब प्राप्त होता है जब तरंगें विपरीत कला में होती हैं। दिया गया है कि $x > 1$,इसलिए $A_2 > A_1$,अतः:
$A_{min} = A_2 - A_1 = x A_0 - A_0 = (x-1) A_0$.
अधिकतम और न्यूनतम परिणामी आयाम के बीच का अंतर है:
अंतर $= A_{max} - A_{min} = (x+1) A_0 - (x-1) A_0$.
अंतर $= (x + 1 - x + 1) A_0 = 2 A_0$.

(B) परिणामी तरंग $x' = x_1 + x_2 = a[\sin(\omega t + \phi_1) + \sin(\omega t + \phi_2)]$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$x' = 2a \sin(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2}) \cos(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2})$.
परिणामी तरंग का आयाम $A_{res} = |2a \cos(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2})|$ है।
यह दिया गया है कि परिणामी आयाम व्यक्तिगत तरंगों के आयाम $(a)$ के बराबर है:
$|2a \cos(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2})| = a$.
$\cos(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}) = \frac{1}{2}$.
मान लीजिए $\Delta\phi = \phi_1 - \phi_2$ है। तब $\cos(\frac{\Delta\phi}{2}) = \frac{1}{2}$.
$\frac{\Delta\phi}{2} = \frac{\pi}{3}$.
$\Delta\phi = \frac{2\pi}{3}$.

(B) अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार परिणामी तरंग $y = y_1 + y_2$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$y = A \sin \left(kx - \omega t + \frac{\pi}{6}\right) + A \sin \left(kx - \omega t - \frac{\pi}{6}\right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C + \sin D = 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
माना $C = kx - \omega t + \frac{\pi}{6}$ और $D = kx - \omega t - \frac{\pi}{6}$.
तब $\frac{C+D}{2} = kx - \omega t$ और $\frac{C-D}{2} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$y = 2A \sin(kx - \omega t) \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
चूंकि $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$y = 2A \sin(kx - \omega t) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = A \sqrt{3} \sin(kx - \omega t)$.

(C) दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों की परिणामी तीव्रता $I$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
यहाँ $I_1 = 2 \, W/m^2$,$I_2 = 3 \, W/m^2$,और $I = 5 \, W/m^2$ दिया गया है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$5 = 2 + 3 + 2\sqrt{2 \times 3} \cos \phi$
$5 = 5 + 2\sqrt{6} \cos \phi$
$0 = 2\sqrt{6} \cos \phi$
चूंकि $2\sqrt{6} \neq 0$,इसलिए $\cos \phi = 0$ होना चाहिए।
अतः,कलान्तर $\phi = \frac{\pi}{2}$ है।

(A) समान आयाम $A$ और कलांतर $\Delta \phi$ वाली दो तरंगों का परिणामी आयाम $R$ सूत्र $R = 2A \cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A = 8\,cm$ और $R = 8\,cm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $8 = 2(8) \cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$.
इसे सरल करने पर: $1 = 2 \cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$,जिसका अर्थ है कि $\cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right) = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{\Delta \phi}{2} = 60^{\circ}$.
अतः,कलांतर $\Delta \phi = 120^{\circ}$ है।

(C) प्रथम तरंग का दिया गया समीकरण: $y_1 = 10 \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
दूसरी तरंग का समीकरण: $y_2 = 5[\sin (\omega t) + \sqrt{3} \cos \omega t]$.
कोष्ठक के अंदर $2$ से गुणा और भाग करने पर: $y_2 = 5 \times 2 \left[\frac{1}{2} \sin (\omega t) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\omega t)\right]$.
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin(\omega t + \frac{\pi}{3}) = \sin(\omega t) \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(\omega t) \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \sin(\omega t) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\omega t)$.
अतः,$y_2 = 10 \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
चूंकि दोनों तरंगों का आयाम $A_1 = A_2 = 10 \text{ cm}$ समान है और कला $\phi_1 = \phi_2 = \frac{\pi}{3}$ समान है,इसलिए वे समान कला में हैं।
समान कला में दो तरंगों के लिए परिणामी आयाम $A_R = A_1 + A_2$ होता है।
$A_R = 10 + 10 = 20 \text{ cm}$.

(A) दो प्रगामी तरंगों के दिए गए समीकरण $y_1 = 4 \sin(2x - 6t)$ और $y_2 = 3 \sin(2x - 6t - \pi/2)$ हैं।
इन्हें मानक रूप $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ से तुलना करने पर,हमें आयाम $A_1 = 4$ और $A_2 = 3$ प्राप्त होते हैं।
दोनों तरंगों के बीच का कलांतर $\Delta\phi = \pi/2$ है।
दो अध्यारोपित तरंगों का परिणामी आयाम $A$ ज्ञात करने का सूत्र $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta\phi)}$ है।
मान रखने पर,$A = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos(\pi/2)}$.
चूंकि $\cos(\pi/2) = 0$ है,इसलिए $A = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5$.

(C) कला कोण $\phi_1, \phi_2, \phi_3, \phi_4$ वाली तरंगों के अध्यारोपण का परिणामी आयाम $A_R$,व्यक्तिगत आयामों $A_0$ के सदिश योग द्वारा दिया जाता है (जहाँ $I_0 = k A_0^2$ है)।
माना तरंगें सम्मिश्र संख्याओं के रूप में हैं: $z_1 = A_0 e^{i0} = A_0$,$z_2 = A_0 e^{i\pi/3}$,$z_3 = A_0 e^{i2\pi/3}$,और $z_4 = A_0 e^{i\pi} = -A_0$।
योग $S = A_0(1 + e^{i\pi/3} + e^{i2\pi/3} - 1) = A_0(e^{i\pi/3} + e^{i2\pi/3})$ है।
सर्वसमिका $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,$S = A_0 [(\cos \pi/3 + i \sin \pi/3) + (\cos 2\pi/3 + i \sin 2\pi/3)]$।
$S = A_0 [(1/2 + i\sqrt{3}/2) + (-1/2 + i\sqrt{3}/2)] = A_0 (i\sqrt{3})$।
परिणामी तीव्रता $I = |S|^2 = A_0^2 |i\sqrt{3}|^2 = I_0 (3) = 3I_0$।
अतः,$n = 3$।

(D) परिणामी तरंग $y = y_1 + y_2 = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ द्वारा दी जाती है।
$A_1 = 4$ और $A_2 = 2$ आयाम वाली और $\Delta\phi = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$ का कलांतर रखने वाली दो तरंगों के लिए फेजर योग विधि का उपयोग करते हुए,परिणामी आयाम $A$ है:
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\Delta\phi)}$
$A = \sqrt{4^2 + 2^2 + 2(4)(2) \cos(120^{\circ})}$
$A = \sqrt{16 + 4 + 16(-0.5)} = \sqrt{20 - 8} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
परिणामी तरंग का कला कोण $\phi$ इस प्रकार दिया गया है:
$\tan \phi = \frac{A_2 \sin(\Delta\phi)}{A_1 + A_2 \cos(\Delta\phi)}$
$\tan \phi = \frac{2 \sin(120^{\circ})}{4 + 2 \cos(120^{\circ})} = \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2})}{4 + 2(-0.5)} = \frac{\sqrt{3}}{4 - 1} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\phi = \frac{\pi}{6}$.

(D) पूर्णतः विनाशी व्यतिकरण (न्यूनतम) के लिए,दो तरंगों के बीच पथ अंतर $\Delta x$ तरंगदैर्ध्य के आधे का विषम गुणज होना चाहिए।
गणितीय रूप से,$\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
इसे $\Delta x = 0.5 \lambda, 1.5 \lambda, 2.5 \lambda, 3.5 \lambda, 4.5 \lambda, 5.5 \lambda, \dots$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$5.5 \lambda$ उस स्थिति के अनुरूप है जहाँ $n = 6$ है (अर्थात,$\Delta x = (2 \times 6 - 1) \frac{\lambda}{2} = 11 \frac{\lambda}{2} = 5.5 \lambda$)।
अतः,सही विकल्प $5.5 \lambda$ है।

(D) दिया गया समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{a}} \sin \omega t \pm \frac{1}{\sqrt{b}} \cos \omega t$ है।
हम जानते हैं कि $\cos \omega t = \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$y = \frac{1}{\sqrt{a}} \sin \omega t \pm \frac{1}{\sqrt{b}} \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ प्राप्त होता है।
यह दो सरल आवर्त गतियों के अध्यारोपण को दर्शाता है,जिनका आयाम $A_1 = \frac{1}{\sqrt{a}}$ और $A_2 = \frac{1}{\sqrt{b}}$ है,और कलांतर $\phi = \frac{\pi}{2}$ है।
परिणामी आयाम $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos \phi}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\cos \frac{\pi}{2} = 0$,सूत्र सरल होकर $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ हो जाता है।
मान रखने पर,$A = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{a}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{b}})^2} = \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \sqrt{\frac{a+b}{ab}}$।

(C) दो अध्यारोपित तरंगों के परिणामी आयाम $R$ का सूत्र इस प्रकार है:
$R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos \phi}$
यहाँ दिया गया है कि प्रत्येक तरंग का आयाम $A_1 = A_2 = A$ है और कलांतर $\phi = \frac{\pi}{2}$ (अर्थात $90^{\circ}$) है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2 A^2 \cos 90^{\circ}}$
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$ होता है,इसलिए व्यंजक का सरलीकरण इस प्रकार होगा:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 0} = \sqrt{2 A^2} = \sqrt{2} A$

(D) ध्वनि तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $A$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto A^2$।
दिए गए आयाम $A_1 = 3$ और $A_2 = 5$ हैं।
अधिकतम आयाम $A_{max} = A_1 + A_2 = 3 + 5 = 8$ होगा।
न्यूनतम आयाम $A_{min} = |A_1 - A_2| = |3 - 5| = 2$ होगा।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{A_{max}}{A_{min}} \right)^2$
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{8}{2} \right)^2 = (4)^2 = 16$।
अतः,अनुपात $16:1$ है।

(C) दो तरंगें जिनके आयाम '$A_1$' और '$A_2$' हैं और उनके बीच का कलांतर '$\phi$' है,उनका परिणामी आयाम '$R$' ज्ञात करने का सूत्र है: $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos(\phi)}$।
दिया गया है: $A_1 = A$,$A_2 = A$,और $\phi = \frac{\pi}{2}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2(A)(A) \cos(\frac{\pi}{2})}$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ होता है,इसलिए समीकरण सरल होकर निम्न प्रकार होगा:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 0} = \sqrt{2A^2} = \sqrt{2} A$।
अतः,परिणामी तरंग का अधिकतम आयाम $\sqrt{2} A$ है।

(A) दो तरंगों,जिनके आयाम $a_1$ और $a_2$ हैं और कलांतर $\phi = \phi_1 - \phi_2$ है,का परिणामी आयाम $A$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A^2 = a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos \phi$
यहाँ दिया गया है कि $a_1 = a_2 = a$ और परिणामी आयाम $A = a$ है,इसलिए इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$a^2 = a^2 + a^2 + 2(a)(a) \cos \phi$
$a^2 = 2a^2 + 2a^2 \cos \phi$
दोनों पक्षों से $2a^2$ घटाने पर:
$-a^2 = 2a^2 \cos \phi$
$2a^2$ से विभाजित करने पर:
$\cos \phi = -\frac{1}{2}$
अतः,कलांतर होगा:
$\phi = \phi_1 - \phi_2 = \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$

(A) पथ अंतर $\Delta x = \lambda/3$ दिया गया है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$ है।
मान रखने पर,$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$।
समान आयाम $A$ वाली दो तरंगों का परिणामी आयाम $R$ ज्ञात करने का सूत्र $R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \phi}$ है।
$\phi = 120^{\circ}$ और $\cos(120^{\circ}) = -0.5$ रखने पर:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2(-0.5)}$
$R = \sqrt{2A^2 - A^2}$
$R = \sqrt{A^2} = A$।

(B) दिया गया है कि दो तरंगों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{1}$ है।
चूँकि तीव्रता $I \propto a^2$ होती है,जहाँ $a$ आयाम है,हमारे पास है:
$\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \frac{9}{1}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{1} \Rightarrow a_1 = 3a_2$.
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$
$a_1 = 3a_2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(3a_2 + a_2)^2}{(3a_2 - a_2)^2} = \frac{(4a_2)^2}{(2a_2)^2} = \frac{16a_2^2}{4a_2^2} = \frac{4}{1}$.

(B) माना प्रत्येक तरंग का आयाम $A$ है। तीव्रता $I$ आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,इसलिए $I \propto A^2$। माना प्रत्येक तरंग की तीव्रता $I_0 = kA^2$ है।
स्थिति $1$: जब तरंगें समान कला में पहुँचती हैं,तो कलांतर $\phi = 0$ होता है। परिणामी आयाम $A_R = A + A = 2A$ होता है। परिणामी तीव्रता $I_1 = k(2A)^2 = 4kA^2 = 4I_0$ होती है।
स्थिति $2$: जब तरंगें $90^{\circ}$ ($\pi/2$ रेडियन) के कलांतर पर पहुँचती हैं,तो परिणामी आयाम $A_R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2AA \cos(90^{\circ})} = \sqrt{2A^2} = A\sqrt{2}$ होता है। परिणामी तीव्रता $I_2 = k(A\sqrt{2})^2 = 2kA^2 = 2I_0$ होती है।
परिणामी तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4I_0}{2I_0} = \frac{2}{1}$ है।

(D) माना कि दो तरंगों के समीकरण $y_1 = a \sin(\omega t - kx)$ और $y_2 = a \sin(\omega t - kx + \phi)$ हैं।
जब वे अध्यारोपित होती हैं,तो परिणामी तरंग $y = y_1 + y_2$ होती है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$y = 2a \cos(\frac{\phi}{2}) \sin(\omega t - kx + \frac{\phi}{2})$.
परिणामी आयाम $A_R = |2a \cos(\frac{\phi}{2})|$ है।
यह दिया गया है कि परिणामी आयाम व्यक्तिगत आयाम $a$ के बराबर है,इसलिए:
$a = |2a \cos(\frac{\phi}{2})| \implies \cos(\frac{\phi}{2}) = \pm \frac{1}{2}$.
परिमाण को ध्यान में रखते हुए,$\cos(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{3}$.
अतः,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{3}$ है।

(D) बिंदु $P$ पर तरंगों का परिणामी आयाम निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos \phi}$,जहाँ $\phi$ कलांतर है,और $A_1$ तथा $A_2$ ध्वनि तरंगों के आयाम हैं।
सबसे पहले,हम ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करते हैं: $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{350 m s^{-1}}{350 Hz} = 1 m = 100 cm$.
पथ अंतर $\Delta x = AP - BP = 25 cm$ दिया गया है।
कलांतर $\phi$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2 \pi}{100 cm} \times 25 cm = \frac{\pi}{2}$.
अब,मानों को परिणामी आयाम के सूत्र में रखने पर:
$A = \sqrt{0.3^2 + 0.4^2 + 2 \times 0.3 \times 0.4 \cos(\frac{\pi}{2})}$
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:
$A = \sqrt{0.3^2 + 0.4^2} = \sqrt{0.09 + 0.16} = \sqrt{0.25} = 0.5 mm$.

(B) दिया गया है कि, दोनों तरंगों के आयाम $a_1 = a_2 = 10 \,mm$ हैं।
तरंगों के बीच का कलांतर $\phi = 90^{\circ}$ है।
दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों का परिणामी आयाम $A$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos \phi}$
सूत्र में मान रखने पर:
$A = \sqrt{(10)^2 + (10)^2 + 2(10)(10) \cos 90^{\circ}}$
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$ है, इसलिए व्यंजक सरल हो जाता है:
$A = \sqrt{100 + 100 + 0}$
$A = \sqrt{200}$
$A = 10 \sqrt{2} \,mm$

(D) दिया गया विस्थापन समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{a}} \sin \omega t \pm \frac{1}{\sqrt{b}} \cos \omega t$ है।
हम $\cos \omega t$ को $\sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$y = \frac{1}{\sqrt{a}} \sin \omega t \pm \frac{1}{\sqrt{b}} \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
यह दो सरल आवर्त गतियों का अध्यारोपण है,जहाँ आयाम $A_1 = \frac{1}{\sqrt{a}}$ और $A_2 = \frac{1}{\sqrt{b}}$ हैं,और कलांतर $\phi = \frac{\pi}{2}$ है।
परिणामी आयाम $A$ का सूत्र $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$ है।
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए सूत्र $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ हो जाता है।
मान रखने पर,$A = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{a}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{b}})^2} = \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$.
हर समान करने पर,$A = \sqrt{\frac{a+b}{ab}}$ प्राप्त होता है।

(D) जब समान आवृत्ति $f$ और समान आयाम $a$ वाली दो तरंगें अध्यारोपित होती हैं,तो परिणामी आयाम $A$ कलांतर पर निर्भर करता है। संपोषी व्यतिकरण (अधिकतम तीव्रता) मानते हुए,परिणामी आयाम $A = a + a = 2 a$ होता है।
चूंकि किसी तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए $I \propto A^2$ होता है।
$A$ का मान रखने पर,हमें $I \propto (2 a)^2 = 4 a^2$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल तीव्रता $4 a^2$ के सीधे आनुपातिक है।

(B) परिणामी विस्थापन $x = x_1 + x_2 + x_3$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x = A \cos \omega t + 2 A \sin \omega t + \sqrt{2} A \cos (\omega t + \frac{\pi}{4})$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ का उपयोग करने पर:
$x = A \cos \omega t + 2 A \sin \omega t + \sqrt{2} A (\cos \omega t \cos \frac{\pi}{4} - \sin \omega t \sin \frac{\pi}{4})$.
चूंकि $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है:
$x = A \cos \omega t + 2 A \sin \omega t + \sqrt{2} A (\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t)$.
$x = A \cos \omega t + 2 A \sin \omega t + A \cos \omega t - A \sin \omega t$.
$x = 2 A \cos \omega t + A \sin \omega t$.
$x = a \cos \omega t + b \sin \omega t$ रूप के विस्थापन के लिए परिणामी आयाम $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
अतः,$R = \sqrt{(2 A)^2 + A^2} = \sqrt{4 A^2 + A^2} = \sqrt{5} A$.

(A) दो तरंगें जिनकी व्यक्तिगत तीव्रता $I_1$ और $I_2$ है और उनके बीच का कलान्तर $\phi$ है,तो परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\phi)$
यहाँ दिया गया है कि $I_1 = I_2 = I$ और $\phi = \frac{\pi}{2}$,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I_R = I + I + 2\sqrt{I \cdot I} \cos(\frac{\pi}{2})$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ होता है,इसलिए समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$I_R = 2I + 2I(0) = 2I$
अतः,परिणामी तीव्रता $2I$ है।

(B) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $A$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto A^2$।
$A_1$ और $A_2$ आयाम वाली दो तरंगों के लिए,अधिकतम तीव्रता $I_{max}$ संपोषी व्यतिकरण पर प्राप्त होती है,जहाँ $I_{max} \propto (A_1 + A_2)^2$।
न्यूनतम तीव्रता $I_{min}$ विनाशी व्यतिकरण पर प्राप्त होती है,जहाँ $I_{min} \propto (A_1 - A_2)^2$।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{9}{4}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2} = \frac{9}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} = \frac{3}{2}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$2(A_1 + A_2) = 3(A_1 - A_2)$
$2A_1 + 2A_2 = 3A_1 - 3A_2$
$5A_2 = A_1$
अतः,अनुपात $\frac{A_2}{A_1} = \frac{1}{5} = 0.2$ है।

(B) दिया गया है कि प्रत्येक ज्यावक्रीय तरंग का आयाम समान है。
मान लीजिए $a_1 = a_2 = a$ है。
कलांतर $\phi = 120^{\circ}$ है。
परिणामी आयाम $A = 2 \,mm$ है。
दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों के परिणामी आयाम का सूत्र इस प्रकार है:
$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos \phi}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2 = \sqrt{a^2 + a^2 + 2 a^2 \cos 120^{\circ}}$
चूँकि $\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$, इसलिए:
$2 = \sqrt{a^2 + a^2 + 2 a^2 (-0.5)}$
$2 = \sqrt{2a^2 - a^2}$
$2 = \sqrt{a^2}$
$2 = a$
अतः, प्रत्येक तरंग का आयाम $2 \,mm$ है。

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$y_1 = a \sin (kx - \omega t)$
$y_2 = a \sin (-(kx - \omega t) + \phi)$
सर्वसमिका $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ का उपयोग करके,$y_2$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$y_2 = -a \sin (kx - \omega t - \phi)$
$\sin(\theta - \phi) = \sin \theta \cos \phi - \cos \theta \sin \phi$ का उपयोग करके,अध्यारोपण $y = y_1 + y_2$ है:
$y = a \sin(kx - \omega t) + a \sin(kx - \omega t + \phi)$
योग-से-गुणन सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$y = 2a \sin(\frac{kx - \omega t + kx - \omega t + \phi}{2}) \cos(\frac{kx - \omega t - (kx - \omega t + \phi)}{2})$
$y = 2a \sin(kx - \omega t + \frac{\phi}{2}) \cos(-\frac{\phi}{2})$
चूंकि $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$:
$y = [2a \cos(\frac{\phi}{2})] \sin(kx - \omega t + \frac{\phi}{2})$
परिणामी तरंग का आयाम साइन पद का गुणांक है,जो $2a \cos(\frac{\phi}{2})$ है।

(A) सीधे मार्ग की पथ लंबाई $2r$ (अर्धवृत्त का व्यास) है।
अर्धवृत्ताकार मार्ग की पथ लंबाई $\pi r$ है।
दोनों मार्गों के बीच पथ अंतर $\Delta x = \pi r - 2r = r(\pi - 2)$ है।
अधिकतम आयाम (संपोषी व्यतिकरण) के लिए,पथ अंतर तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए,इसलिए $\Delta x = n\lambda$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
पथ अंतर को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r(\pi - 2) = n\lambda$ प्राप्त होता है।
चूंकि ध्वनि का वेग $v = f\lambda$ है,इसलिए $\lambda = \frac{v}{f}$ होता है।
इसे समीकरण में रखने पर: $r(\pi - 2) = n \frac{v}{f}$।
आवृत्ति $f$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $f = n \left[ \frac{v}{r(\pi - 2)} \right]$।
अतः,अधिकतम आयाम वाली परिणामी तरंगों की आवृत्तियाँ $\frac{v}{r(\pi - 2)}$ के पूर्णांक गुणज होंगी।

(B) मान लीजिए कि बिंदु $A$ की स्पीकरों को जोड़ने वाली रेखा से दूरी $D = 40 \ m$ है। स्पीकर $L_1$ और $L_2$ के बीच की दूरी $10 \ m$ है,इसलिए उन्हें जोड़ने वाली रेखा के मध्य बिंदु के सापेक्ष उनके निर्देशांक $(0, 5)$ और $(0, -5)$ हैं। बिंदु $A$ के निर्देशांक $(40, 0)$ हैं।
जब रिकॉर्डर $A$ से $25 \ m$ की दूरी पर बिंदु $B$ पर जाता है,तो उसके निर्देशांक $(40, 25)$ हो जाते हैं।
स्पीकरों से बिंदु $B$ तक की दूरियाँ:
$L_1B = \sqrt{40^2 + (25-5)^2} = \sqrt{40^2 + 20^2} = \sqrt{1600 + 400} = \sqrt{2000} = 20\sqrt{5} \ m$.
दिया गया है $\sqrt{5} = 2.23$,इसलिए $L_1B = 20 \times 2.23 = 44.6 \ m$.
$L_2B = \sqrt{40^2 + (25+5)^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50 \ m$.
बिंदु $B$ पर पथ अंतर $\Delta x = L_2B - L_1B = 50 - 44.6 = 5.4 \ m$ है।
चूंकि रिकॉर्डर $10$ बार न्यूनतम और अधिकतम से गुजरता है,इसलिए बिंदु $B$ $10$ वां अधिकतम है,यानी $\Delta x = n\lambda$,जहाँ $n = 10$.
$5.4 = 10 \times \lambda \implies \lambda = 0.54 \ m$.
आवृत्ति $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{324}{0.54} = 600 \ Hz$.