प्रारंभिक कलांतर वाले दो अध्यारोपित तरंगों के परिणामी तरंग के विस्थापन का समीकरण लिखिए।

मान लीजिए कि दो तरंगें निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दर्शाई गई हैं:
$y_1 = A_1 \sin(\omega t)$
$y_2 = A_2 \sin(\omega t + \phi)$
जहाँ $A_1$ और $A_2$ आयाम हैं,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,$t$ समय है,और $\phi$ प्रारंभिक कलांतर है।
अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,परिणामी विस्थापन $y$ व्यक्तिगत विस्थापनों का सदिश योग है:
$y = y_1 + y_2 = A_1 \sin(\omega t) + A_2 \sin(\omega t + \phi)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ का उपयोग करते हुए:
$y = A_1 \sin(\omega t) + A_2 (\sin(\omega t) \cos \phi + \cos(\omega t) \sin \phi)$
$y = (A_1 + A_2 \cos \phi) \sin(\omega t) + (A_2 \sin \phi) \cos(\omega t)$
मान लीजिए $A_1 + A_2 \cos \phi = R \cos \theta$ और $A_2 \sin \phi = R \sin \theta$,जहाँ $R$ परिणामी आयाम है और $\theta$ कला स्थिरांक है।
अतः,$y = R \cos \theta \sin(\omega t) + R \sin \theta \cos(\omega t) = R \sin(\omega t + \theta)$
जहाँ $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos \phi}$ और $\tan \theta = \frac{A_2 \sin \phi}{A_1 + A_2 \cos \phi}$.