चित्र में M द्रव्यमान और L आधार वाली एक समद्व | vedclass

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Question

(C) माना त्रिभुजाकार प्लेट की ऊँचाई $h$ है। चूँकि शीर्ष कोण $90^o$ है और त्रिभुज समद्विबाहु है,ऊँचाई $h$ आधार $L$ की आधी है,इसलिए $h = L/2$ है।प्लेट क

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$\frac{ML^2}{24}$

Vedclass · Answer

(C) माना त्रिभुजाकार प्लेट की ऊँचाई $h$ है। चूँकि शीर्ष कोण $90^o$ है और त्रिभुज समद्विबाहु है,ऊँचाई $h$ आधार $L$ की आधी है,इसलिए $h = L/2$ है।प्लेट का पृष्ठीय घनत्व $\sigma = \frac{M}{	ext{Area}} = \frac{M}{\frac{1}{2} 	imes L 	imes h} = \frac{M}{\frac{1}{2} 	imes L 	imes (L/2)} = \frac{4M}{L^2}$ है।शीर्ष से $y$ दूरी पर $dy$ मोटाई की एक पतली पट्टी लें। ऊँचाई $y$ पर पट्टी की लंबाई $l(y) = 2y$ है (चूँकि शीर्ष कोण $90^o$ है,भुजाएँ ऊर्ध्वाधर के साथ $45^o$ का कोण बनाती हैं)।इस पट्टी का द्रव्यमान $dm = \sigma 	imes l(y) 	imes dy = \frac{4M}{L^2} 	imes 2y 	imes dy = \frac{8M}{L^2} y dy$ है।आधार के परितः (जो $y = h = L/2$ पर है) इस पट्टी का जड़त्व आघूर्ण $dI = dm 	imes (h - y)^2$ है।$y = 0$ से $y = L/2$ तक समाकलन करने पर:$I = \int_0^{L/2} \frac{8M}{L^2} y (L/2 - y)^2 dy = \frac{8M}{L^2} \int_0^{L/2} (y \frac{L^2}{4} - Ly^2 + y^3) dy$.$I = \frac{8M}{L^2} [\frac{L^2}{4} \frac{y^2}{2} - L \frac{y^3}{3} + \frac{y^4}{4}]_0^{L/2} = \frac{8M}{L^2} [\frac{L^2}{4} \frac{L^2}{8} - L \frac{L^3}{24} + \frac{L^4}{64}] = \frac{8M}{L^2} [\frac{L^4}{32} - \frac{L^4}{24} + \frac{L^4}{64}] = \frac{8M}{L^2} [\frac{6L^4 - 8L^4 + 3L^4}{192}] = \frac{8M}{L^2} \frac{L^4}{192} = \frac{ML^2}{24}$.

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