M द्रव्यमान और BC = a भुजा वाली एक त्रिभुजाका | vedclass

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Question

(D) दिया गया त्रिभुज $ABC$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका आधार $BC = a$ और ऊँचाई $h = a/2$ है। ऐसी चार समान त्रिभुजाकार प्लेटों से बनी $a$ भुजा

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{Ma^2}{12}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया त्रिभुज $ABC$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका आधार $BC = a$ और ऊँचाई $h = a/2$ है। ऐसी चार समान त्रिभुजाकार प्लेटों से बनी $a$ भुजा और $4M$ द्रव्यमान वाली एक वर्ग प्लेट पर विचार करें। इस वर्ग की उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{square} = \frac{1}{6}(4M)a^2 = \frac{2}{3}Ma^2$ है। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,वर्ग के एक शीर्ष $(A)$ से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{vertex} = I_{CM} + (4M)d^2$ है,जहाँ $d$ केंद्र से शीर्ष की दूरी है,$d^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/2$। अतः,$I_{vertex} = \frac{1}{6}(4M)a^2 + (4M)(a^2/2) = \frac{2}{3}Ma^2 + 2Ma^2 = \frac{8}{3}Ma^2$। चूँकि वर्ग चार समान त्रिभुजों से बना है,$A$ से गुजरने वाली उसी अक्ष के परितः एक त्रिभुज का जड़त्व आघूर्ण $I_{triangle} = \frac{1}{4} I_{vertex} = \frac{1}{4} 	imes \frac{8}{3}Ma^2 = \frac{2}{3}Ma^2$। हालाँकि,आधार $a$ और ऊँचाई $h$ वाले त्रिभुज के लिए शीर्ष से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के लिए मानक परिणाम $I = M(\frac{h^2}{6} + \frac{a^2}{24})$ है। $h = a/2$ रखने पर,$I = M(\frac{a^2}{24} + \frac{a^2}{24}) = M(\frac{2a^2}{24}) = \frac{Ma^2}{12}$।

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