SHM of Simple Pendulum Questions in Gujarati

(A) શૂન્યાવકાશિત ચેમ્બરમાં,સાદા લોલકના ગોળા પર કોઈ હવાના અવરોધ કે ઘર્ષણ બળ લાગતું નથી.
ગોળા પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે (જે સંરક્ષી બળ છે),તેથી તંત્રની યાંત્રિક ઉર્જાનો વ્યય થવા માટે કોઈ માધ્યમ નથી.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,દોલનનો કંપવિસ્તાર સમય સાથે અચળ રહે છે.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g$ છે.
તેથી,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ ...$(i)$
જ્યારે લિફ્ટ $a = 3g$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a = g + 3g = 4g$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T^{\prime}$ એ $T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{4g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T^{\prime} = \frac{1}{2} \times 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T^{\prime} = \frac{T}{2}$ મળે છે.

(B) $L$ લંબાઈના સાદા લોલક માટે,આવર્તકાળ $T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
$L$ લંબાઈના સમાન સળિયા માટે,જે એક છેડેથી લટકાવેલ છે,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3} mL^2$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું આધારબિંદુથી અંતર $r_{cm} = \frac{L}{2}$ છે.
ભૌતિક લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mg r_{cm}}}$ છે.
સળિયા માટે કિંમતો મૂકતા: $T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3} mL^2}{mg (L/2)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2 \pi \sqrt{L/g}}{2 \pi \sqrt{2L/3g}} = \sqrt{\frac{L/g}{2L/3g}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(A) સાદા આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે.
અહીં,$A = 10 \ cm$ અને $x = 4 \ cm$ છે.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{KE}{PE} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)}{\frac{1}{2} m \omega^2 x^2} = \frac{A^2 - x^2}{x^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{KE}{PE} = \frac{10^2 - 4^2}{4^2} = \frac{100 - 16}{16} = \frac{84}{16}$ મળે.
પરિણામની ગણતરી કરતા: $\frac{84}{16} = 5.25$.

(A) સાદા લોલક માટે,દોરીમાં તણાવ $(T)$ નું સૂત્ર $T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{l}$ છે.
નાના દોલનો માટે,$\theta$ નાનું હોય છે,તેથી $\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ થાય.
વેગ $v$ એ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ સાથે $v = l \frac{d\theta}{dt}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
લોલક $SHM$ કરતું હોવાથી,$\theta = \theta_0 \sin(\omega t + \phi)$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે કે $T$ સમય સાથે $T \propto \cos(2\omega t + 2\phi)$ મુજબ બદલાય છે.
તણાવના ફેરફારની આવૃત્તિ એ લોલકના દોલનની આવૃત્તિ કરતા બમણી હોય છે.
$t=0$ સમયે ગોળો મધ્યમાન સ્થાને ન હોવાથી,કળા $\phi \neq 0$ છે,અને $t=0$ સમયે તણાવ તેના મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય પર હશે નહીં. આલેખ $(a)$ સમય સાથે તણાવમાં સામયિક ફેરફાર દર્શાવે છે,જે લોલકની ભૌતિક વર્તણૂક સાથે સુસંગત છે.

(B) હવામાં સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લોલકને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે અને બોબની ઘનતા $\sigma$ હોય,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ એ $g' = g(1 - \frac{\rho}{\sigma})$ થાય છે.
અહીં,$\rho = 1000 \ kg \ m^{-3}$ અને $\sigma = \frac{5000}{3} \ kg \ m^{-3}$ છે.
તેથી,$g' = g(1 - \frac{1000}{5000/3}) = g(1 - \frac{3000}{5000}) = g(1 - \frac{3}{5}) = g(\frac{2}{5})$.
પાણીમાં આવર્તકાળ $t = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g(2/5)}} = \sqrt{\frac{5}{2}} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = \sqrt{\frac{5}{2}} T$ થાય.
તેથી,$\frac{T}{t} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.

(A) જ્યારે હાઇડ્રોમીટર સંતુલનમાં તરે છે,ત્યારે તેનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
જ્યારે તેને $x$ જેટલા નાના અંતરે નીચે ધકેલવામાં આવે છે,ત્યારે વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
વધારાનું ડૂબેલું કદ $V = \pi r^2 x$ છે.
વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F = \rho V g = \rho (\pi r^2 x) g$ છે.
આ બળ સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરતું હોવાથી,પુનઃસ્થાપક બળ $F_{restoring} = -\rho \pi r^2 g x$ થાય છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$m a = -\rho \pi r^2 g x$,જે આપણને $a = -(\frac{\rho \pi r^2 g}{m}) x$ આપે છે.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{\rho \pi r^2 g}{m}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{\rho \pi r^2 g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ નિલંબન બિંદુથી ગોળાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અસરકારક લંબાઈ છે.
શરૂઆતમાં,પાણીથી ભરેલા ગોળાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે.
જેમ જેમ તળિયે રહેલા છિદ્રમાંથી પાણી બહાર નીકળે છે,તેમ સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે તરફ ખસે છે. આનાથી અસરકારક લંબાઈ $l$ વધે છે,જેના કારણે આવર્તકાળ $T$ વધે છે.
જેમ જેમ પાણીનું સ્તર ઘટતું જાય છે,તેમ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના સૌથી નીચા બિંદુએ પહોંચે છે અને પછી ગોળો ખાલી થતાં તે ફરીથી ભૌમિતિક કેન્દ્ર તરફ ઉપર આવે છે.
એકવાર પાણી સંપૂર્ણપણે નીકળી જાય પછી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પોલા ગોળાના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર પાછું આવે છે,જે મૂળ અસરકારક લંબાઈ $l$ અને આમ મૂળ આવર્તકાળ $T$ ને પુનઃસ્થાપિત કરે છે.

(A) ધારો કે જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે આવર્તકાળ $T_1$ છે, અને જ્યારે લિફ્ટ સમાન પ્રવેગ $a$ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે આવર્તકાળ $T_2$ છે।
ઉપરની તરફ ગતિ કરતી વખતે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = g + a$ છે, અને નીચેની તરફ ગતિ કરતી વખતે $g'' = g - a$ છે।
આવર્તકાળ નીચે મુજબ છે:
$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}}$ $(i)$
$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}$ $(ii)$
આપેલ ગુણોત્તર $T_1 : T_2 = 1 : 2$ મુજબ:
$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{g-a}{g+a}} = \frac{1}{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{g-a}{g+a} = \frac{1}{4}$
$4(g - a) = g + a$
$4g - 4a = g + a$
$3g = 5a$
$a = \frac{3g}{5} = \frac{3 \times 10}{5} = 6 \,ms^{-2}$

(A) આડી સ્થિતિમાં ગોળાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $PE_i = mgh$ છે,જ્યાં $h = L = 200 \ cm = 2 \ m$ છે.
તેથી,$PE_i = m \times 10 \times 2 = 20m$ (અહીં $g=10$ છે).
જ્યારે ગોળો મધ્યમાન સ્થિતિએ પહોંચે છે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઉર્જા ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક ઉર્જાના $10 \%$ ગુમાવાય છે,તેથી બાકી રહેલી ઉર્જા પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જાના $90 \%$ છે.
$KE_f = 0.9 \times PE_i = 0.9 \times mgL = 0.9 \times m \times 10 \times 2 = 18m$.
મધ્યમાન સ્થિતિએ,$KE_f = \frac{1}{2}mv^2$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = 18m$.
$v^2 = 36$.
$v = 6 \ m \ s^{-1}$.

(C) આપેલ છે: $h = 20 \,m$, $v = 31.4 \,ms^{-1}$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $u = 0$:
$v^2 = 2gh$
$g = \frac{v^2}{2h} = \frac{31.4 \times 31.4}{2 \times 20} = \frac{985.96}{40} \approx 24.649 \,ms^{-2}$.
નોંધો કે $31.4 \approx 10\pi$, તેથી $g = \frac{(10\pi)^2}{40} = \frac{100\pi^2}{40} = 2.5\pi^2 \,ms^{-2}$.
સેકન્ડ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \,s$ હોય છે.
સરળ લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g} \Rightarrow l = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$.
$T = 2 \,s$ અને $g = 2.5\pi^2 \,ms^{-2}$ કિંમતો મૂકતા:
$l = \frac{2^2 \times 2.5\pi^2}{4\pi^2} = \frac{4 \times 2.5\pi^2}{4\pi^2} = 2.5 \,m$.

(B) હવામાં સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લોલક $\sigma$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં દોલન કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g' = g \left(1 - \frac{\sigma}{\rho}\right)$ થાય છે,જ્યાં $\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે.
પાણીમાં આવર્તકાળ $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ છે.
આપેલ છે કે $T' = \sqrt{2} T$,તેથી $\sqrt{2} = \frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{\frac{g}{g(1 - \sigma/\rho)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sigma/\rho}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$2 = \frac{1}{1 - \sigma/\rho}$,જેનો અર્થ છે કે $1 - \frac{\sigma}{\rho} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\frac{\sigma}{\rho} = \frac{1}{2}$.
પાણીની ઘનતા $\sigma = 1 \text{ g/cm}^3$ હોવાથી,ગોળાની સાપેક્ષ ઘનતા $\rho = 2$ થાય છે.

(C) સાદા લોલકનો ગોળો ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ અને કારની વર્તુળાકાર ગતિને કારણે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c = v^2/R)$ અનુભવે છે.
આ બંને પ્રવેગ એકબીજાને લંબ છે.
ગોળા પર લાગતો અસરકારક પ્રવેગ $(g')$ $g' = \sqrt{g^2 + a_c^2} = \sqrt{g^2 + (v^2/R)^2} = \sqrt{g^2 + v^4/R^2}$ દ્વારા મળે છે.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{L/g'}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{L / \sqrt{g^2 + v^4/R^2}} = 2\pi \sqrt{1 / (g^2 + v^4/R^2)^{1/2}} = 2\pi / (g^2 + v^4/R^2)^{1/4}$.
આને $T = 2\pi / \alpha^{1/4}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = g^2 + v^4/R^2$ મળે છે.
અહીં $g = 10 \ m/s^2$,$v = 10 \ m/s$,અને $R = 100 \ m$ આપેલ છે:
$\alpha = (10)^2 + (10)^4 / (100)^2 = 100 + 10000 / 10000 = 100 + 1 = 101$.

(A) જ્યારે $r$ ત્રિજ્યાનો એક નાનો ગોળો $R$ ત્રિજ્યાની અંતર્ગોળ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પથની અસરકારક ત્રિજ્યા $(R - r)$ થાય છે.
સંપર્ક બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક $\tau = -mg(R-r)\sin\theta \approx -mg(R-r)\theta$ છે.
સંપર્ક બિંદુને અનુલક્ષીને ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + mr^2 = \frac{2}{5}mr^2 + mr^2 = \frac{7}{5}mr^2$ છે.
ગતિનું સમીકરણ $\tau = I\alpha$ છે,તેથી $-mg(R-r)\theta = \frac{7}{5}mr^2 \frac{d^2\theta}{dt^2}$.
આના પરથી $\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{5g(R-r)}{7r^2}\theta$ મળે છે.
જો કે,જો ગોળો ઘર્ષણ વિના સરકતો હોય તેમ માનવામાં આવે,તો આ ગતિ $l = (R-r)$ લંબાઈના સાદા લોલક જેવી જ છે.
આપેલ છે કે $r << R$,તેથી અસરકારક લંબાઈ $l \approx R$.
આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ થશે.

(D) આપેલ છે: સાદા લોલકની લંબાઈ $L = 1 \,m$,લિફ્ટનો પ્રવેગ $a = 2 \,m/s^2$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,$g_{eff} = 10 + 2 = 12 \,m/s^2$.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{12}} = 2\pi \frac{1}{\sqrt{4 \times 3}} = 2\pi \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \,s$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $T^2 = 4 \pi^2 \left(\frac{l}{g}\right) \quad ...(i)$
જ્યારે લંબાઈમાં $10 \ cm$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવો આવર્તકાળ $T_1$ એ $T_1^2 = 4 \pi^2 \left(\frac{l+10}{g}\right) \quad ...(ii)$ દ્વારા મળે છે.
જ્યારે લંબાઈમાં $10 \ cm$ નો ઘટાડો થાય છે,ત્યારે નવો આવર્તકાળ $T_2$ એ $T_2^2 = 4 \pi^2 \left(\frac{l-10}{g}\right) \quad ...(iii)$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$T_1^2 + T_2^2 = 4 \pi^2 \left(\frac{l+10}{g}\right) + 4 \pi^2 \left(\frac{l-10}{g}\right)$
$T_1^2 + T_2^2 = \frac{4 \pi^2}{g} (l + 10 + l - 10)$
$T_1^2 + T_2^2 = \frac{4 \pi^2}{g} (2l)$
$T_1^2 + T_2^2 = 2 \left(4 \pi^2 \frac{l}{g}\right)$
આમાં સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$T_1^2 + T_2^2 = 2 T^2$

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવૃત્તિ $f$ (એકમ સમયમાં થતા દોલનોની સંખ્યા) $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ છે.
આપેલ સ્થળે $g$ અચળ હોવાથી,$f \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$,જેનો અર્થ છે કે $L \propto \frac{1}{f^2}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = 72 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ અને અંતિમ આવૃત્તિ $f_2 = 90 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ છે.
તેથી,$\frac{L_2}{L_1} = \left( \frac{f_1}{f_2} \right)^2 = \left( \frac{72}{90} \right)^2 = \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} = 0.64$.
આનો અર્થ એ છે કે નવી લંબાઈ $L_2$ એ મૂળ લંબાઈ $L_1$ ના $64 \%$ છે.
લંબાઈમાં ઘટાડો $\Delta L = L_1 - L_2 = L_1 - 0.64 L_1 = 0.36 L_1$ છે.
તેથી,ટકાવારીમાં ઘટાડો $36 \%$ છે.

(C) ગોળા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (નીચેની તરફ) અને વિદ્યુત બળ $qE$ (ઉપરની તરફ,કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર શિરોલંબ ઉપરની તરફ છે અને વિદ્યુતભાર ધન છે) છે.
પરિણામી નીચેની તરફનું બળ $F = mg - qE$ છે.
આને $F = m(g - \frac{qE}{m})$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,ગુરુત્વપ્રવેગનો અસરકારક મૂલ્ય $g' = g - \frac{qE}{m}$ થાય.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$g'$ ની કિંમત મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g - \frac{qE}{m}}}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે, સળિયાની લંબાઈ $l = 1.8 \,m$.
એક છેડેથી લટકાવેલા $l$ લંબાઈના સમાન સળિયાના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgR}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ પીવટ (આધારબિંદુ) ની સાપેક્ષ જડત્વની આઘૂર્ણ છે અને $R$ એ પીવટથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
એક છેડેથી લટકાવેલા સળિયા માટે, $I = \frac{ml^2}{3}$ અને $R = \frac{l}{2}$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{ml^2/3}{mg(l/2)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2l}{3g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2 \times 1.8}{3g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1.2}{g}}$.
$l'$ લંબાઈના સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{l'}{g}}$ છે.
અહીં $T = T'$ હોવાથી, $2 \pi \sqrt{\frac{l'}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1.2}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $l' = 1.2 \,m$ મળે છે.

(C) સાદા લોલકનો ગોળો એક સ્થિર ગોળાની નીચે શિરોલંબ લટકાવેલો છે. બંને ગોળાઓ સમાન વિદ્યુતભાર $q$ ધરાવે છે.
ગોળાઓ શિરોલંબ રેખામાં હોવાથી,તેમની વચ્ચે લાગતું અપાકર્ષણ બળ દોરીની દિશામાં જ લાગે છે.
આ સ્થિત-વિદ્યુત બળ ગતિશીલ ગોળા પર ઉપરની દિશામાં લાગે છે,જે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ ની વિરુદ્ધ છે.
જોકે,સાદા લોલક માટે પુનઃસ્થાપક બળ દોરીને લંબ દિશામાં લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક $mg \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ દોરીની દિશામાં હોવાથી તેનો દોરીને લંબ કોઈ ઘટક મળતો નથી.
તેથી,સ્થિત-વિદ્યુત બળ લોલકની ગતિ કે પુનઃસ્થાપક બળને અસર કરતું નથી.
આમ,લોલકનો આવર્તકાળ બદલાતો નથી: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.

(A) ધારો કે દોરીની લંબાઈ $l$ છે. અંતિમ સ્થાને,વેગ શૂન્ય છે,તેથી તણાવ $T_{\min } = mg \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ મહત્તમ કોણીય સ્થાનાંતર છે.
સૌથી નીચા બિંદુએ (મધ્યમાન સ્થાન),તણાવ મહત્તમ હોય છે,જે $T_{\max } = mg + \frac{mv^2}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતિમ સ્થાન અને મધ્યમાન સ્થાન વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2} mv^2 = mgl(1 - \cos \theta)$,જેનો અર્થ છે $v^2 = 2gl(1 - \cos \theta)$.
$T_{\max }$ ના સમીકરણમાં $v^2$ મૂકતા: $T_{\max } = mg + \frac{m(2gl(1 - \cos \theta))}{l} = mg + 2mg(1 - \cos \theta) = mg(1 + 2 - 2 \cos \theta) = mg(3 - 2 \cos \theta)$.
આપેલ છે કે $T_{\max } = 2 T_{\min }$,તેથી $mg(3 - 2 \cos \theta) = 2(mg \cos \theta)$.
$3 - 2 \cos \theta = 2 \cos \theta \implies 4 \cos \theta = 3 \implies \cos \theta = \frac{3}{4}$.
$T_{\max }$ ના સમીકરણમાં $\cos \theta = \frac{3}{4}$ મૂકતા: $T_{\max } = 2mg \cos \theta = 2mg \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{3mg}{2}$.

(B) $L$ ત્રિજ્યાના શિરોલંબ વર્તુળાકાર માર્ગ પર $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $m$ દળના ગોળા માટે,ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં લાગતા બળો તણાવ $T$ (કેન્દ્ર તરફ) અને વજનનો ઘટક $mg \cos \theta$ (કેન્દ્રથી દૂર) છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ આ ત્રિજ્યાવર્તી બળોના પરિણામી બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$T - mg \cos \theta = \frac{mv^2}{L}$
તણાવ $T$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$T = \frac{mv^2}{L} + mg \cos \theta$

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h = R$ ઊંચાઈ પર (જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે),ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ એ $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2 = g \left( \frac{R}{R+R} \right)^2 = \frac{g}{4}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $g = \pi^2 \ m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $h$ ઊંચાઈ પર અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{\pi^2}{4} \ m/s^2$ થશે.
આવર્તકાળના સૂત્રમાં $\ell = 4.0 \ m$ અને $g' = \frac{\pi^2}{4} \ m/s^2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{4}{\pi^2 / 4}} = 2\pi \sqrt{\frac{16}{\pi^2}} = 2\pi \times \frac{4}{\pi} = 8 \ s$.

(C) $\sigma$ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતી અનંત સમતલ પ્લેટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળો $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો હોવાથી,તે ઉપરની તરફ $F_e = qE = \frac{q \sigma}{2 \varepsilon_{0}}$ જેટલું સ્થિત-વિદ્યુત બળ અનુભવે છે.
ગોળા પર લાગતો અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{\text{eff}}$ એ $m g_{\text{eff}} = mg - F_e = mg - \frac{q \sigma}{2 \varepsilon_{0}}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$g_{\text{eff}} = g - \frac{q \sigma}{2 \varepsilon_{0} m}$.
સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g_{\text{eff}}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g - \frac{q \sigma}{2 \varepsilon_{0} m}}}$ મળે છે.

(C) લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \,s$ છે. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \pi \,rad/s$ છે.
સૌથી નીચલા બિંદુએ સ્થાનાંતર $x = 0$ છે,તેથી ગતિનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ છે.
$t = 0$ સમયે,$v(0) = v_{0} = A \omega$,તેથી $A = \frac{v_{0}}{\omega}$.
આપણને $t = 2.25 \,s$ સમયે ઊંચાઈ $h$ જોઈએ છે. $T = 2 \,s$ હોવાથી,$t = 2.25 \,s = T + 0.25 \,s = T + \frac{T}{8}$.
$t = \frac{T}{8} = 0.25 \,s$ સમયે,વેગ $v = v_{0} \cos(\omega \cdot \frac{T}{8}) = v_{0} \cos(\frac{2 \pi}{T} \cdot \frac{T}{8}) = v_{0} \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{v_{0}}{\sqrt{2}}$ છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + mgh$.
$v = \frac{v_{0}}{\sqrt{2}}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} v_{0}^{2} = \frac{1}{2} (\frac{v_{0}}{\sqrt{2}})^{2} + gh$ મળે છે.
$\frac{1}{2} v_{0}^{2} = \frac{1}{4} v_{0}^{2} + gh$.
$gh = \frac{1}{4} v_{0}^{2} \implies h = \frac{v_{0}^{2}}{4g}$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $T^2 = \frac{4\pi^2 L}{g}$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{T^2} = \frac{g}{4\pi^2 L}$.
આ સમીકરણ $y = \frac{k}{x}$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $y = \frac{1}{T^2}$,$x = L$,અને $k = \frac{g}{4\pi^2}$ એ અચળાંક છે.
આ એક લંબચોરસ હાયપરબોલા (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $T \propto \sqrt{\ell}$.
આપેલ છે કે સમયગાળો $t$ અચળ છે,તેથી દોલનોની સંખ્યા $n$ એ આવર્તકાળ $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(n = \frac{t}{T})$.
તેથી,$n \propto \frac{1}{\sqrt{\ell}}$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 \propto \frac{1}{\ell}$ અથવા $\ell \propto \frac{1}{n^2}$.
શરૂઆતમાં,$n_1 = 20$ અને $\ell_1 = 30 \ cm$.
અંતે,$n_2 = 40$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\ell_2}{\ell_1} = \left( \frac{n_1}{n_2} \right)^2$.
$\ell_2 = 30 \times \left( \frac{20}{40} \right)^2 = 30 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 30 \times \frac{1}{4} = 7.5 \ cm$.

(D) સાદા લોલકની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ એ તેની ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે,જે ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
આપેલ કુલ ઊર્જા $E = 0.02 \text{ J}$ છે.
સંતુલન સ્થિતિ (મધ્યમાન સ્થિતિ) પર,ગોળાની સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય હોય છે,તેથી કુલ ઊર્જા સંપૂર્ણપણે ગતિઊર્જાના સ્વરૂપમાં હોય છે.
તેથી,$E = K.E_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2$.
આપેલ દળ $m = 20 \text{ g} = 0.02 \text{ kg}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.02 = \frac{1}{2} \times 0.02 \times v_{max}^2$
$1 = \frac{1}{2} v_{max}^2$
$v_{max}^2 = 2$
$v_{max} = \sqrt{2} \approx 1.414 \text{ m/s}$.
આમ,સંતુલન સ્થિતિમાં ઝડપ આશરે $1.41 \text{ m/s}$ છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $30$ દોલનો માટે લાગતો સમય $60 \text{ s}$ છે, તેથી આવર્તકાળ $T = \frac{60}{30} = 2 \text{ s}$ થાય.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{9.8}}$.
સમીકરણની બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $4 = 4\pi^2 \frac{L}{9.8}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\pi^2 = 9.8$, તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $4 = 4 \times 9.8 \times \frac{L}{9.8}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા, આપણને $4 = 4L$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $L = 1 \text{ m}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.