सिद्ध कीजिए कि रैखिक $SHM$ में एक कण के लिए,दोलन की एक अवधि में औसत गतिज ऊर्जा उसी अवधि में औसत स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।

(N/A) $SHM$ कर रहे कण का विस्थापन $x = A \sin \omega t$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
कण का वेग $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos \omega t$ है।
गतिज ऊर्जा $E_k = \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} M A^2 \omega^2 \cos^2 \omega t$ है।
स्थितिज ऊर्जा $E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t$ है।
$T$ अवधि पर औसत गतिज ऊर्जा $\langle E_k \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T E_k dt = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} M A^2 \omega^2 \cos^2 \omega t dt$ है।
$\cos^2 \omega t = \frac{1 + \cos 2 \omega t}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\langle E_k \rangle = \frac{M A^2 \omega^2}{2T} \int_0^T \frac{1 + \cos 2 \omega t}{2} dt = \frac{M A^2 \omega^2}{4T} [t + \frac{\sin 2 \omega t}{2 \omega}]_0^T = \frac{1}{4} M A^2 \omega^2 \dots (i)$ प्राप्त होता है।
$T$ अवधि पर औसत स्थितिज ऊर्जा $\langle E_p \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T E_p dt = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t dt$ है।
$\sin^2 \omega t = \frac{1 - \cos 2 \omega t}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\langle E_p \rangle = \frac{M \omega^2 A^2}{2T} \int_0^T \frac{1 - \cos 2 \omega t}{2} dt = \frac{M \omega^2 A^2}{4T} [t - \frac{\sin 2 \omega t}{2 \omega}]_0^T = \frac{1}{4} M A^2 \omega^2 \dots (ii)$ प्राप्त होता है।
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $\langle E_k \rangle = \langle E_p \rangle$।