Second Law of Motion Questions in Hindi

(N/A) भौतिकी की वह शाखा जिसमें किसी पिंड की गति के साथ-साथ गति के कारणों और गतिमान पिंड के गुणों की चर्चा की जाती है,उसे गतिकी (Dynamics) कहा जाता है।
यह विज्ञान पिंडों की गति और उन पर लगने वाले बलों के अध्ययन से संबंधित है।

(N/A) कथन: किसी पिंड के संवेग में परिवर्तन की समय दर उस पर लगने वाले परिणामी बल के सीधे आनुपातिक होती है और यह परिवर्तन परिणामी बल की दिशा में होता है।
मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान वाले पिंड पर $\Delta t$ समयांतराल के लिए परिणामी बल $\vec{F}$ कार्य करता है। इस दौरान इसका वेग $\vec{v}$ से बदलकर $\vec{v} + \Delta \vec{v}$ हो जाता है।
प्रारंभिक संवेग: $\vec{p}_i = m\vec{v}$
अंतिम संवेग: $\vec{p}_f = m(\vec{v} + \Delta \vec{v})$
संवेग में परिवर्तन:
$\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = m\Delta \vec{v}$
गति के दूसरे नियम के अनुसार:
$\vec{F} \propto \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \implies \vec{F} = k \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$
$\Delta t \to 0$ लेने पर:
$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = m\vec{a}$ (यदि द्रव्यमान स्थिर हो)।
महत्वपूर्ण बिंदु:
$(i)$ न्यूटन का दूसरा नियम $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$ है। यदि द्रव्यमान स्थिर है,तो $\vec{F} = m\vec{a}$।
$(ii)$ यदि परिणामी बाहरी बल शून्य है,तो $\vec{a} = 0$,जिसका अर्थ है कि वेग स्थिर रहता है,जो न्यूटन के गति के पहले नियम के अनुरूप है।
$(iii)$ यह नियम बल का परिमाण देता है। यह एक सदिश राशि है जिसके घटक: $F_x = ma_x, F_y = ma_y, F_z = ma_z$ हैं।
$(iv)$ यह समीकरण बिंदु वस्तुओं,दृढ़ पिंडों या कणों के निकाय पर लागू होता है।
$(v)$ यह नियम किसी विशेष क्षण पर बल और त्वरण के बीच संबंध बताता है; यह वस्तु की गति के इतिहास पर निर्भर नहीं करता है।

(N/A) न्यूटन का गति का दूसरा नियम बताता है कि किसी वस्तु के रेखीय संवेग में परिवर्तन की दर उस पर लगाए गए बाह्य बल के सीधे आनुपातिक होती है और यह परिवर्तन बल की दिशा में होता है।
गणितीय रूप से,इसे $F = \frac{dp}{dt}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $F$ बल है और $p$ रेखीय संवेग है।
स्थिर द्रव्यमान $m$ वाली वस्तु के लिए,यह $F = ma$ में सरल हो जाता है,जहाँ $a$ वस्तु का त्वरण है।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी पिंड के रेखीय संवेग में परिवर्तन की दर उस पर लगाए गए बाह्य बल के सीधे आनुपातिक होती है।
गणितीय रूप से,$F = \frac{dp}{dt}$,जहाँ $dp$ रेखीय संवेग में परिवर्तन है और $dt$ समय अंतराल है।
अतः,रेखीय संवेग में परिवर्तन और उसमें लगने वाले समय का अनुपात लगाए गए बल के बराबर होता है।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,रेखीय संवेग $(p)$ के समय $(t)$ के सापेक्ष परिवर्तन की दर वस्तु पर कार्य करने वाले कुल बल $(F)$ के बराबर होती है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $F = \frac{dp}{dt}$।
अतः,रेखीय संवेग का समय के सापेक्ष प्रथम अवकलज बल को दर्शाता है।

(N/A) न्यूटन का गति का दूसरा नियम बताता है कि किसी वस्तु के संवेग में परिवर्तन की दर उस पर लगाए गए बाह्य बल के सीधे आनुपातिक होती है और यह परिवर्तन बल की दिशा में होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$F = \frac{dp}{dt}$
जहाँ:
$F$ वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल है।
$p$ वस्तु का रैखिक संवेग है।
$t$ समय है।
यदि वस्तु का द्रव्यमान $m$ स्थिर है और वह $a$ त्वरण के साथ गति कर रही है,तो यह समीकरण सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$F = ma$

(A) भार $(W)$ और द्रव्यमान $(m)$ के बीच का संबंध सूत्र $W = m \times g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
$g = 9.8\,m/s^2$ का मानक मान लेने पर:
$W = 1\,N$
$m = \frac{W}{g} = \frac{1}{9.8}\,kg$
$m \approx 0.102\,kg$
अतः,वस्तु का द्रव्यमान $0.102\,kg$ है।

(A) दिया गया द्रव्यमान $m = 2 \, kg$ और वेग $\vec{v}(t) = 2t \hat{i} + t^2 \hat{j}$ है।
$t = 2 \, s$ पर,वेग:
$\vec{v}(2) = 2(2) \hat{i} + (2)^2 \hat{j} = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} \, m/s$.
संवेग $\vec{p} = m\vec{v} = 2(4 \hat{i} + 4 \hat{j}) = (8 \hat{i} + 8 \hat{j}) \, kg \cdot m/s$.
त्वरण $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(2t \hat{i} + t^2 \hat{j}) = 2 \hat{i} + 2t \hat{j}$.
$t = 2 \, s$ पर,त्वरण:
$\vec{a}(2) = 2 \hat{i} + 2(2) \hat{j} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} \, m/s^2$.
बल $\vec{F} = m\vec{a} = 2(2 \hat{i} + 4 \hat{j}) = (4 \hat{i} + 8 \hat{j}) \, N$.

(B) दिया गया बल $\overrightarrow{F} = (20 \hat{i} + 10 \hat{j}) \, N$ और द्रव्यमान $m = 2 \, kg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{20 \hat{i} + 10 \hat{j}}{2} = (10 \hat{i} + 5 \hat{j}) \, m/s^2$ है।
प्रारंभिक वेग $\overrightarrow{u} = 0$ है और समय $t = 10 \, s$ है।
विस्थापन सदिश $\overrightarrow{s} = \overrightarrow{u}t + \frac{1}{2} \overrightarrow{a} t^2$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{s} = 0 + \frac{1}{2} (10 \hat{i} + 5 \hat{j}) (10)^2$.
$\overrightarrow{s} = \frac{1}{2} (10 \hat{i} + 5 \hat{j}) (100) = 50 (10 \hat{i} + 5 \hat{j}) = (500 \hat{i} + 250 \hat{j}) \, m$.
$x$-अक्ष के अनुदिश विस्थापन,विस्थापन सदिश का $i$-घटक है,जो $500 \, m$ है।

(B) दिया गया है: बल $\vec{F} = (40 \hat{i} + 10 \hat{j}) \, N$,द्रव्यमान $m = 5 \, kg$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 0$,समय $t = 10 \, s$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{40 \hat{i} + 10 \hat{j}}{5} = (8 \hat{i} + 2 \hat{j}) \, m/s^2$ है।
चूंकि वस्तु विरामावस्था से चलना शुरू करती है,इसलिए समय $t$ पर स्थिति सदिश $\vec{r}$ का गतिज समीकरण $\vec{r} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2$ है।
$\vec{u} = 0$,$\vec{a} = (8 \hat{i} + 2 \hat{j}) \, m/s^2$,और $t = 10 \, s$ का मान रखने पर:
$\vec{r} = 0 + \frac{1}{2} (8 \hat{i} + 2 \hat{j}) (10)^2$
$\vec{r} = \frac{1}{2} (8 \hat{i} + 2 \hat{j}) (100)$
$\vec{r} = (4 \hat{i} + 1 \hat{j}) (100) = (400 \hat{i} + 100 \hat{j}) \, m$.

(D) दिया गया है कि कण शुरू में विरामावस्था में है,इसलिए $t = 0$ पर,$u = 0$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = M a$,इसलिए $a = \frac{F}{M}$।
दिए गए बल संबंध को प्रतिस्थापित करने पर: $a = \frac{F_{0}}{M} \left(1 - \frac{(t - T)^{2}}{T^{2}}\right) = \frac{dv}{dt}$।
$t = 2T$ पर वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $t = 0$ से $t = 2T$ तक समय के सापेक्ष त्वरण का समाकलन करेंगे:
$v = \int_{0}^{2T} \frac{F_{0}}{M} \left(1 - \frac{(t - T)^{2}}{T^{2}}\right) dt$।
मान लीजिए $x = t - T$,तो $dx = dt$। जब $t = 0, x = -T$ और जब $t = 2T, x = T$।
$v = \frac{F_{0}}{M} \int_{-T}^{T} \left(1 - \frac{x^{2}}{T^{2}}\right) dx$।
$v = \frac{F_{0}}{M} \left[ x - \frac{x^{3}}{3T^{2}} \right]_{-T}^{T}$।
$v = \frac{F_{0}}{M} \left( (T - \frac{T^{3}}{3T^{2}}) - (-T - \frac{(-T)^{3}}{3T^{2}}) \right)$।
$v = \frac{F_{0}}{M} \left( (T - \frac{T}{3}) - (-T + \frac{T}{3}) \right) = \frac{F_{0}}{M} \left( \frac{2T}{3} + \frac{2T}{3} \right) = \frac{4 F_{0} T}{3 M}$।

(A) दिया गया है: बल $\vec{F} = (10 \hat{i} + 5 \hat{j})\ N$,द्रव्यमान $m = 100\, g = 0.1\, kg$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 0$,समय $t = 2\ s$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{10 \hat{i} + 5 \hat{j}}{0.1} = (100 \hat{i} + 50 \hat{j})\ m/s^2$।
गति के समीकरण $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2$ का उपयोग करते हुए,चूँकि $\vec{u} = 0$:
$\vec{s} = \frac{1}{2} (100 \hat{i} + 50 \hat{j}) (2)^2$
$\vec{s} = \frac{1}{2} (100 \hat{i} + 50 \hat{j}) (4) = 2 (100 \hat{i} + 50 \hat{j}) = (200 \hat{i} + 100 \hat{j})\ m$।
इसकी तुलना $(a \hat{i} + b \hat{j})\ m$ से करने पर,हमें $a = 200$ और $b = 100$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a}{b} = \frac{200}{100} = 2$।

(C) वस्तु पर कार्य करने वाला बल $F = k - \beta t^2$ है।
कण का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{k - \beta t^2}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
त्वरण शून्य होता है जब $k - \beta t^2 = 0$,जिसका अर्थ है $t^2 = \frac{k}{\beta} = \frac{8}{2} = 4$,अतः $t = 2 \, s$।
चूँकि $a = \frac{dv}{dt}$,इसलिए $dv = \frac{k - \beta t^2}{m} \, dt$ होगा।
$t = -2 \, s$ से $t = 2 \, s$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{v_i}^{v_f} dv = \int_{-2}^{2} \frac{k - \beta t^2}{m} \, dt$
$v_f - (-15) = \frac{1}{2/3} \int_{-2}^{2} (8 - 2t^2) \, dt = \frac{3}{2} \left[ 8t - \frac{2t^3}{3} \right]_{-2}^{2}$
$v_f + 15 = \frac{3}{2} \left[ (16 - 16/3) - (-16 + 16/3) \right] = \frac{3}{2} \left[ 32 - 32/3 \right] = \frac{3}{2} \left( \frac{64}{3} \right) = 32$
$v_f = 32 - 15 = 17 \, m/s$।

(A) दिया गया है कि कण का संवेग समय के फलन के रूप में है: $p = 2 + 3t^2$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कण पर कार्य करने वाला बल $F$,उसके संवेग के परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{dp}{dt}$
$p$ के लिए दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \frac{d}{dt}(2 + 3t^2)$
$F = 0 + 3(2t) = 6t$
अब,हमें $t = 3 \, s$ पर बल ज्ञात करना है:
$F = 6 \times 3 = 18 \, N$।
अतः,$t = 3 \, s$ पर कण पर कार्य करने वाला बल $18 \, N$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \, kg$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 0$,बल $\vec{F} = (3t^2 \hat{i} + 4 \hat{j}) \, N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$\vec{F} = m \vec{a} = m \frac{d\vec{v}}{dt}$.
अतः,$d\vec{v} = \frac{\vec{F}}{m} dt$.
दोनों पक्षों का $t = 0$ से $t = 2 \, s$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{\vec{v}} d\vec{v} = \int_{0}^{2} \frac{3t^2 \hat{i} + 4 \hat{j}}{2} dt$.
$\vec{v} = \frac{1}{2} \left[ \int_{0}^{2} 3t^2 dt \hat{i} + \int_{0}^{2} 4 dt \hat{j} \right]$.
$\vec{v} = \frac{1}{2} \left[ (t^3)_{0}^{2} \hat{i} + (4t)_{0}^{2} \hat{j} \right]$.
$\vec{v} = \frac{1}{2} [ (8 - 0) \hat{i} + (8 - 0) \hat{j} ]$.
$\vec{v} = \frac{1}{2} [ 8 \hat{i} + 8 \hat{j} ] = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} \, m/s$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2\,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,समय $t = 5\,s$,और अंतिम गतिज ऊर्जा $K = 10000\,J$.
गतिज ऊर्जा के सूत्र का उपयोग करने पर: $K = \frac{1}{2}mv^2$.
मान रखने पर: $10000 = \frac{1}{2} \times 2 \times v^2$.
$v^2 = 10000$,जिससे $v = 100\,m/s$ प्राप्त होता है।
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$100 = 0 + a \times 5$.
$a = \frac{100}{5} = 20\,m/s^2$.
अब,न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F = ma$ का उपयोग करने पर:
$F = 2\,kg \times 20\,m/s^2 = 40\,N$.

(C) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी कण पर कार्य करने वाला बल $\vec{F}$ समय के सापेक्ष संवेग में परिवर्तन की दर के बराबर होता है: $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$.
इसका तात्पर्य यह है कि बल का परिमाण $|\vec{F}|$,$p-t$ ग्राफ के ढाल (slope) के परिमाण के बराबर होता है: $|\vec{F}| = |p-t \text{ वक्र का ढाल}|$.
$1$. क्षेत्र $a$ में,ढाल धनात्मक और मध्यम है।
$2$. क्षेत्र $b$ में,ढाल धनात्मक और छोटा है (रेखा लगभग क्षैतिज है)।
$3$. क्षेत्र $c$ में,ढाल ऋणात्मक है और इसका परिमाण बहुत बड़ा है (रेखा बहुत तीव्र है)।
ढाल के परिमाणों की तुलना करने पर,क्षेत्र $c$ में ढाल अधिकतम है और क्षेत्र $b$ में न्यूनतम है।
अतः,बल का परिमाण क्षेत्र $c$ में अधिकतम और क्षेत्र $b$ में न्यूनतम है।

(A) दिया गया द्रव्यमान $m = 500 \, g = 0.5 \, kg$ है।
वेग सदिश $\vec{v} = 2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}$ है।
त्वरण $\vec{a}$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) = 2 \hat{i} + 6t \hat{j}$।
$t = 1 \, s$ पर,त्वरण $\vec{a} = 2 \hat{i} + 6(1) \hat{j} = 2 \hat{i} + 6 \hat{j} \, ms^{-2}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$\vec{F} = m\vec{a} = 0.5(2 \hat{i} + 6 \hat{j}) = 1 \hat{i} + 3 \hat{j} \, N$।
इसे दिए गए बल $(\hat{i} + x \hat{j}) \, N$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया द्रव्यमान $m = 500\,g = 0.5\,kg$ है।
वेग $v = 10\sqrt{x}$ द्वारा दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 = 100x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2v \frac{dv}{dx} = 100$ प्राप्त होता है।
चूंकि त्वरण $a = v \frac{dv}{dx}$ है,हम $2a = 100$ लिख सकते हैं,जिससे $a = 50\,m/s^2$ प्राप्त होता है।
पिंड पर कार्य करने वाला बल $F = ma$ है।
मान रखने पर,$F = 0.5\,kg \times 50\,m/s^2 = 25\,N$ प्राप्त होता है।

(A) स्थिति सदिश $\overrightarrow{r} = 10t \hat{i} + 15t^2 \hat{j} + 7 \hat{k}$ है।
वेग सदिश $\overrightarrow{v}$ समय के सापेक्ष स्थिति का अवकलन है: $\overrightarrow{v} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = 10 \hat{i} + 30t \hat{j}$.
त्वरण सदिश $\overrightarrow{a}$ समय के सापेक्ष वेग का अवकलन है: $\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = 30 \hat{j}$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}$। चूंकि द्रव्यमान $m$ एक धनात्मक अदिश है,इसलिए कुल बल $\overrightarrow{F}$ की दिशा त्वरण $\overrightarrow{a}$ की दिशा के समान होती है।
चूंकि $\overrightarrow{a} = 30 \hat{j}$ है,इसलिए कुल बल धनात्मक $y$-अक्ष की दिशा में है।

(D) दिया गया है:
गेंद का द्रव्यमान,$m = 120 \,g = 0.12 \,kg$
प्रारंभिक वेग,$u = 25 \,m/s$
अंतिम वेग,$v = 0 \,m/s$ (चूंकि गेंद पकड़ ली जाती है)
लिया गया समय,$\Delta t = 0.1 \,s$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
मान रखने पर:
$F = \frac{0.12 \times (0 - 25)}{0.1}$
$F = \frac{0.12 \times (-25)}{0.1}$
$F = \frac{-3}{0.1} = -30 \,N$
अतः,गेंद द्वारा हाथ पर लगाए गए बल का परिमाण $|F| = 30 \,N$ है।

(C) वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल $\vec{F}_{net}$ दोनों बलों का सदिश योग है:
$\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (5 \hat{i} + 8 \hat{j} + 7 \hat{k}) + (3 \hat{i} - 4 \hat{j} - 3 \hat{k})$
$\vec{F}_{net} = (5+3) \hat{i} + (8-4) \hat{j} + (7-3) \hat{k} = 8 \hat{i} + 4 \hat{j} + 4 \hat{k} \ N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$\vec{F} = m \vec{a}$,इसलिए त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}_{net}}{m}$ होगा।
यहाँ द्रव्यमान $m = 4 \ kg$ दिया गया है,अतः:
$\vec{a} = \frac{8 \hat{i} + 4 \hat{j} + 4 \hat{k}}{4} = 2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \ m/s^2$.

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$m$ द्रव्यमान वाले पिंड पर कार्य करने वाला बल $F = ma$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि बल समय $t$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है,इसलिए हम $F = kt$ लिख सकते हैं,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
इसे गति के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$kt = ma$
$a = \frac{k}{m} t$
चूंकि $k$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए त्वरण $a$ समय $t$ के सीधे समानुपाती है $(a \propto t)$।
यह संबंध $a$ बनाम $t$ ग्राफ में मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है।
अतः,सही वक्र विकल्प $B$ में दिखाया गया है।

(D) दिया गया द्रव्यमान $m = 500 \ g = 0.5 \ kg$ है।
वेग $v = 4 \sqrt{x}$ द्वारा दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $v^2 = 16x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2v \frac{dv}{dx} = 16$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $v \frac{dv}{dx} = 8$ मिलता है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a = v \frac{dv}{dx}$ होता है। अतः,$a = 8 \ m/s^2$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = ma = 0.5 \ kg \times 8 \ m/s^2 = 4 \ N$।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \ kg$, प्रारंभिक वेग $\overrightarrow{u} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} \ ms^{-1}$, बल $\overrightarrow{F} = 6 \hat{k} \ N$, समय $t = \frac{5}{3} \ s$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, त्वरण $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{6 \hat{k}}{2} = 3 \hat{k} \ ms^{-2}$ है।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए, $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{a}t$।
मान रखने पर: $\overrightarrow{v} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) + (3 \hat{k}) \times \left(\frac{5}{3}\right)$।
$\overrightarrow{v} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k} \ ms^{-1}$।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \ kg$,बल $\vec{F} = (4 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ N$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 0$,समय $t = 10 \ s$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{4 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}}{5} = (0.8 \hat{i} - 0.4 \hat{j} + 0.6 \hat{k}) \ m/s^2$.
गति के समीकरण $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{v} = 0 + (0.8 \hat{i} - 0.4 \hat{j} + 0.6 \hat{k}) \times 10 = (8 \hat{i} - 4 \hat{j} + 6 \hat{k}) \ m/s$.
वेग का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{8^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 16 + 36} = \sqrt{116} \ m/s$.
$|\vec{v}| = \sqrt{4 \times 29} = 2 \sqrt{29} \ m/s$.

(C) दिया गया है कि एक स्थिर बल $F$ द्रव्यमान $m_1$ पर कार्य करता है,तो त्वरण $A_1 = \frac{F}{m_1}$ है,जिसका अर्थ है $m_1 = \frac{F}{A_1}$।
इसी प्रकार,द्रव्यमान $m_2$ के लिए,त्वरण $A_2 = \frac{F}{m_2}$ है,जिसका अर्थ है $m_2 = \frac{F}{A_2}$।
जब वही बल $F$ संयुक्त द्रव्यमान $(m_1 + m_2)$ पर कार्य करता है,तो त्वरण $A = \frac{F}{m_1 + m_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$m_1$ और $m_2$ के मानों को समीकरण में रखने पर:
$A = \frac{F}{\frac{F}{A_1} + \frac{F}{A_2}}$
$A = \frac{F}{F(\frac{1}{A_1} + \frac{1}{A_2})}$
$A = \frac{1}{\frac{A_1 + A_2}{A_1 A_2}}$
$A = \frac{A_1 A_2}{A_1 + A_2}$।

(A) दिया गया द्रव्यमान $m = 5 \ kg$ और विस्थापन $x = t^3 - 2t - 10$ है।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 2t - 10) = 3t^2 - 2$.
त्वरण $a$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 2) = 6t$.
बल $F$,न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार $F = ma$ है:
$F = 5 \times (6t) = 30t$.
$t = 5 \ s$ पर:
$F = 30 \times 5 = 150 \ N$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \ kg$,बल $\vec{F} = (-3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \ N$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = (6 \hat{i} - 12 \hat{j}) \ ms^{-1}$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \left(\frac{-3}{5} \hat{i} + \frac{4}{5} \hat{j}\right) \ ms^{-2}$.
किसी भी समय $t$ पर वेग $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v} = (6 \hat{i} - 12 \hat{j}) + \left(-\frac{3}{5} \hat{i} + \frac{4}{5} \hat{j}\right)t$.
$\vec{v} = \left(6 - \frac{3}{5}t\right) \hat{i} + \left(-12 + \frac{4}{5}t\right) \hat{j}$.
वेग के केवल $y$-अक्ष की दिशा में होने के लिए,वेग का $x$-घटक शून्य होना चाहिए:
$6 - \frac{3}{5}t = 0$.
$\frac{3}{5}t = 6$.
$t = \frac{6 \times 5}{3} = 10 \ s$.

(A) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = ma$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,पिंड पर नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ और ऊपर की ओर हवा का प्रतिरोध बल $(F_{air})$ कार्य कर रहा है।
चूंकि पिंड $a$ त्वरण के साथ नीचे गिर रहा है,इसलिए कुल बल का समीकरण है:
$mg - F_{air} = ma$
हवा के प्रतिरोध बल $(F_{air})$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$F_{air} = mg - ma = m(g - a)$
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ = $0.05 \ kg$
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ = $9.8 \ ms^{-2}$
पिंड का त्वरण $(a)$ = $9.5 \ ms^{-2}$
मान रखने पर:
$F_{air} = 0.05 \times (9.8 - 9.5)$
$F_{air} = 0.05 \times 0.3$
$F_{air} = 0.015 \ N$

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \ kg$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = (30 \hat{i} + 40 \hat{j}) \ m/s$,और बल $\vec{F} = -(\hat{i} + 5 \hat{j}) \ N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{-(\hat{i} + 5 \hat{j})}{5} = (-0.2 \hat{i} - 1 \hat{j}) \ m/s^2$ है।
किसी भी समय $t$ पर वेग $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ द्वारा दिया जाता है।
घटकों को प्रतिस्थापित करने पर,वेग का $y$-घटक $v_y = u_y + a_y t$ है।
यहाँ,$u_y = 40 \ m/s$ और $a_y = -1 \ m/s^2$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $v_y = 0$ हो।
$0 = 40 + (-1)t$.
$t = 40 \ s$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1500 \,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 20 \,ms^{-1}$,अंतिम वेग $v = 0 \,ms^{-1}$,समय $t = 5 \,s$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,बल $F = ma$।
सबसे पहले,त्वरण की गणना करें: $a = \frac{v - u}{t} = \frac{0 - 20}{5} = -4 \,ms^{-2}$।
ऋणात्मक चिह्न मंदन (retardation) को दर्शाता है।
अब,मंदक बल की गणना करें: $F = m \times a = 1500 \,kg \times (-4 \,ms^{-2}) = -6000 \,N$।
अतः,मंदक बल का परिमाण $6000 \,N$ है।

(C) न्यूटन के गति के द्वितीय नियम के अनुसार,किसी पिंड पर कार्य करने वाला बाह्य बल $F$ उसके रैखिक संवेग के परिवर्तन की दर के बराबर होता है,जिसे $F = ma$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $a$ पिंड में उत्पन्न त्वरण है। इस प्रकार,इस नियम का उपयोग करके बाह्य बल के परिमाण की गणना सीधे की जा सकती है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 500 \,m/s$,अंतिम वेग $v = 0$,विस्थापन $s = 1 \,cm = 0.01 \,m$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 - u^2 = 2as$.
मान रखने पर: $0^2 - (500)^2 = 2 \times a \times 0.01$.
$-250000 = 0.02 \times a$.
$a = -\frac{250000}{0.02} = -1.25 \times 10^7 \,m/s^2$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार मंदक बल $F = ma$.
$F = 0.02 \,kg \times 1.25 \times 10^7 \,m/s^2 = 250 \times 10^3 \,N$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 10 \,ms^{-1}$,अंतिम वेग $v = 0 \,ms^{-1}$,समय $t = 10 \,s$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F = m \times a$,जहाँ त्वरण $a = \frac{v - u}{t}$ है।
मान रखने पर: $a = \frac{0 - 10}{10} = -1 \,ms^{-2}$।
ऋणात्मक चिह्न मंदक बल को दर्शाता है।
बल का परिमाण $F = m \times |a| = 10 \,kg \times 1 \,ms^{-2} = 10 \,N$।

(B) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 50 \ g = 50 \times 10^{-3} \ kg = 0.05 \ kg$
प्रारंभिक वेग $u = 50 \ cm \ s^{-1} = 50 \times 10^{-2} \ m \ s^{-1} = 0.5 \ m \ s^{-1}$
अंतिम वेग $v = 0 \ m \ s^{-1}$
समय $t = 0.5 \ s$
प्रारंभिक संवेग $p_i = m \times u = 0.05 \ kg \times 0.5 \ m \ s^{-1} = 0.025 \ kg \ m \ s^{-1}$
अंतिम संवेग $p_f = m \times v = 0.05 \ kg \times 0 \ m \ s^{-1} = 0 \ kg \ m \ s^{-1}$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर है:
$F = \frac{\Delta p}{t} = \frac{p_f - p_i}{t}$
$F = \frac{0 - 0.025 \ kg \ m \ s^{-1}}{0.5 \ s}$
$F = -0.05 \ N$
गेंद को रोकने के लिए लगाए गए बल का परिमाण $0.05 \ N$ है।

(A) दिया गया है कि बल सदिश $F = (6 \hat{i} - 18 \hat{j} + 10 \hat{k}) \text{ N}$ है।
बल का परिमाण इस प्रकार है:
$|F| = \sqrt{(6)^2 + (-18)^2 + (10)^2} = \sqrt{36 + 324 + 100} = \sqrt{460} \text{ N}$.
दिया गया त्वरण $a = 8 \text{ m/s}^2$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,जिसका अर्थ है $m = \frac{F}{a}$।
मान रखने पर:
$m = \frac{\sqrt{460}}{8} = \frac{\sqrt{4 \times 115}}{8} = \frac{2\sqrt{115}}{8} = \frac{\sqrt{115}}{4} \text{ kg}$.

(A) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी वस्तु पर लगाया गया बल उसके संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,बल $F$ को संवेग में परिवर्तन $\Delta P$ और समय अंतराल $\Delta t$ के अनुपात द्वारा व्यक्त किया जाता है:
$F = \frac{\Delta P}{\Delta t}$
दिया गया है:
बल $F = 2 \ N$
संवेग में परिवर्तन $\Delta P = 0.4 \ kg \ m \ s^{-1}$
समय $\Delta t$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\Delta t = \frac{\Delta P}{F}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\Delta t = \frac{0.4}{2} = 0.2 \ s$
अतः,लगा समय $0.2 \ s$ है।

(B) दिया गया बल सदिश $\vec{F} = (2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \text{ N}$ है।
प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 0 \text{ ms}^{-1}$ है।
अंतिम वेग $\vec{v} = (4 \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}) \text{ ms}^{-1}$ है।
समय $t = 20 \text{ s}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, $\vec{F} = m \vec{a} = m \left( \frac{\vec{v} - \vec{u}}{t} \right)$.
द्रव्यमान के लिए सूत्र: $m = \frac{\vec{F} \cdot t}{\vec{v} - \vec{u}}$.
यहाँ $\vec{v} - \vec{u} = (4 \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}) = 2(2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 2 \vec{F}$ है।
मान रखने पर: $m = \frac{\vec{F} \cdot 20}{2 \vec{F}} = \frac{20}{2} = 10 \text{ kg}$।

(A) बल $\vec{F_1}$ के घटक हैं: $F_{1x} = 4 \cos 30^{\circ} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \ N$ और $F_{1y} = 4 \sin 30^{\circ} = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \ N$.
बल $\vec{F_2}$ के घटक हैं: $F_{2x} = 0 \ N$ और $F_{2y} = 4 \ N$.
कुल बल के घटक हैं: $F_x = F_{1x} + F_{2x} = 2\sqrt{3} \ N$ और $F_y = F_{1y} + F_{2y} = 2 + 4 = 6 \ N$.
परिणामी बल का परिमाण $F_R = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{12 + 36} = \sqrt{48} \approx 6.928 \ N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $a = \frac{F_R}{m} = \frac{6.928}{1} \approx 6.9 \ m \ s^{-2}$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1.5 \ kg$,प्रारंभिक वेग $\overrightarrow{v} = -8 \hat{j} \ ms^{-1}$ (दक्षिण की ओर),बल $\overrightarrow{F} = 6 \hat{i} \ N$ (पूर्व की ओर),समय $t = 3 \ s$.
त्वरण $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{6}{1.5} \hat{i} = 4 \hat{i} \ ms^{-2}$.
विस्थापन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करने पर: $\overrightarrow{s} = \overrightarrow{v}t + \frac{1}{2} \overrightarrow{a}t^2$.
मान रखने पर: $\overrightarrow{s} = (-8 \hat{j})(3) + \frac{1}{2}(4 \hat{i})(3)^2$.
$\overrightarrow{s} = -24 \hat{j} + 2(9) \hat{i} = 18 \hat{i} - 24 \hat{j} \ m$.
विस्थापन का परिमाण $S = |\overrightarrow{s}| = \sqrt{(18)^2 + (-24)^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \ m$.

(A) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 20 \ kg$
प्रारंभिक वेग $u = 15 \ m s^{-1}$
मंदक बल $F = 100 \ N$
अंतिम वेग $v = 0 \ m s^{-1}$ (क्योंकि पिंड विराम अवस्था में आ जाता है)
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,त्वरण $a = F/m$ होता है। चूंकि बल मंदक है,यह गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है,इसलिए $a = -F/m$.
$a = -\frac{100 \ N}{20 \ kg} = -5 \ m s^{-2}$.
गति के प्रथम समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$0 = 15 + (-5)t$
$5t = 15$
$t = 3 \ s$.
अतः,पिंड $3 \ s$ के बाद विराम अवस्था में आ जाएगा।

(B) दिया गया है: गेंद का द्रव्यमान $m = 0.25 \ kg$,अंतिम वेग $v = 12 \ m \ s^{-1}$,प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m \ s^{-1}$,और दूरी $s = 0.9 \ m$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 = u^2 + 2as$.
मान रखने पर: $(12)^2 = (0)^2 + 2 \times a \times 0.9$.
$144 = 1.8 \times a$.
$a = 144 / 1.8 = 80 \ m \ s^{-2}$.
अब,न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए: $F = ma$.
$F = 0.25 \ kg \times 80 \ m \ s^{-2} = 20 \ N$.
अतः,गेंद पर कार्य करने वाला कुल बल $20 \ N$ है।

(A) माना बल $F$ है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $m = F/a$ है।
द्रव्यमान $P$ के लिए,$P = F/18$ है।
द्रव्यमान $Q$ के लिए,$Q = F/9$ है।
द्रव्यमान $R$ के लिए,$R = F/6$ है।
जब वही बल $F$ संयुक्त द्रव्यमान $(P+Q+R)$ पर लगाया जाता है,तो त्वरण $a'$ का मान $a' = F / (P+Q+R)$ होगा।
$P, Q$ और $R$ के मान रखने पर:
$a' = F / (F/18 + F/9 + F/6) = F / [F(1/18 + 2/18 + 3/18)]$.
$a' = 1 / (6/18) = 1 / (1/3) = 3 \ m/s^2$.
अतः,त्वरण $3 \ m/s^2$ है।

(D) दिया गया है,वस्तु का द्रव्यमान,$m = 2 \ kg$.
वेग,$v = (8t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ m/s$.
वस्तु का त्वरण इस प्रकार है:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(8t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) = (8 \hat{i} + 6t \hat{j}) \ m/s^2$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,वस्तु पर नेट बल:
$F = ma = 2(8 \hat{i} + 6t \hat{j}) = (16 \hat{i} + 12t \hat{j}) \ N$.
बल का परिमाण $|F| = 20 \ N$ दिया गया है।
$|F| = \sqrt{16^2 + (12t)^2} = 20$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$256 + 144t^2 = 400$.
$144t^2 = 144 \implies t^2 = 1 \implies t = 1 \ s$.
$t = 1 \ s$ पर,बल सदिश:
$F = 16 \hat{i} + 12(1) \hat{j} = (16 \hat{i} + 12 \hat{j}) \ N$.
बल सदिश द्वारा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta$:
$\tan \theta = \frac{F_y}{F_x} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$.
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \ kg$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 3 \hat{i} \ m/s$,अंतिम वेग $\vec{v} = (8 \hat{i} + 10 \hat{j}) \ m/s$,और समय $t = 8 \ s$ है।
गति के प्रथम समीकरण $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ का उपयोग करके,हम त्वरण $\vec{a}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{u}}{t} = \frac{(8 \hat{i} + 10 \hat{j}) - 3 \hat{i}}{8} = \frac{5 \hat{i} + 10 \hat{j}}{8} \ m/s^2$.
अब,न्यूटन के गति के दूसरे नियम $\vec{F} = m\vec{a}$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{F} = 4 \times \left( \frac{5 \hat{i} + 10 \hat{j}}{8} \right) = \frac{1}{2} (5 \hat{i} + 10 \hat{j}) = (2.5 \hat{i} + 5 \hat{j}) \ N$.
बल का परिमाण $|\vec{F}| = \sqrt{(2.5)^2 + 5^2} = \sqrt{6.25 + 25} = \sqrt{31.25} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5 \sqrt{5}}{2} \ N$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 10 \,m/s$,बल $F = (3t^2 - 30) \,N$।
आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करते हुए,संवेग में परिवर्तन समय के साथ बल के समाकलन के बराबर होता है:
$\Delta p = \int_{0}^{t} F dt = m(v - u)$
$\int_{0}^{5} (3t^2 - 30) dt = 10(v - 10)$
$[t^3 - 30t]_{0}^{5} = 10(v - 10)$
$(5^3 - 30(5)) - (0) = 10(v - 10)$
$(125 - 150) = 10(v - 10)$
$-25 = 10(v - 10)$
$-2.5 = v - 10$
$v = 10 - 2.5 = 7.5 \,m/s$.

(A) दिया गया बल $\vec{F} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $\vec{a}_{acc} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{a}{m} \hat{i} + \frac{b}{m} \hat{j} + \frac{c}{m} \hat{k}$ है।
चूंकि पिंड मूल बिंदु पर स्थिर अवस्था से शुरू होता है,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 0$ और प्रारंभिक स्थिति $\vec{r}_0 = 0$ है।
गति के समीकरण $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a}_{acc} t^2$ का उपयोग करने पर,$\vec{r} = \frac{1}{2} \vec{a}_{acc} t^2$ प्राप्त होता है।
घटकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{1}{2} (\frac{a}{m}) t^2 = \frac{at^2}{2m}$
$y = \frac{1}{2} (\frac{b}{m}) t^2 = \frac{bt^2}{2m}$
$z = \frac{1}{2} (\frac{c}{m}) t^2 = \frac{ct^2}{2m}$
अतः,निर्देशांक $(\frac{at^2}{2m}, \frac{bt^2}{2m}, \frac{ct^2}{2m})$ होंगे।

(C) दिया गया है,$v = \frac{k}{\sqrt{x}} = k x^{-1/2}$,जहाँ $k$ एक नियतांक है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$.
सबसे पहले,$\frac{dv}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dv}{dx} = k \cdot (-\frac{1}{2}) x^{-3/2} = -\frac{k}{2x^{3/2}}$.
अब,$v$ और $\frac{dv}{dx}$ का मान त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$a = (k x^{-1/2}) \cdot (-\frac{k}{2x^{3/2}}) = -\frac{k^2}{2x^2}$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$.
बल का परिमाण $F = |ma| = m \cdot \frac{k^2}{2x^2}$ है।
चूँकि $m$ और $k$ नियतांक हैं,इसलिए $F \propto \frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।