Kinetic Friction and Motion on Rough Horizontal Surface Questions in Gujarati

(D) $1$. સૌ પ્રથમ,સમગ્ર દોરડાનો પ્રવેગ શોધો. દોરડા પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k$ છે,જ્યાં $f_k = \mu N = \mu Mg = (1/2)Mg$.
$2$. આમ,$F_{net} = Mg - 0.5Mg = 0.5Mg$.
$3$. પ્રવેગ $a = F_{net} / M = 0.5Mg / M = g/2$ મળે.
$4$. હવે,દોરડાના પાછળના અડધા ભાગને (દળ $M/2$) ધ્યાનમાં લો. આ ભાગ પર મધ્યબિંદુએ લાગતું તણાવબળ $T$ તેને આગળ ખેંચે છે અને ગતિક ઘર્ષણબળ $f_k'$ તેને પાછળની તરફ ખેંચે છે.
$5$. પાછળના અડધા ભાગ પર લાગતું ઘર્ષણબળ $f_k' = \mu (M/2)g = (1/2)(M/2)g = Mg/4$ છે.
$6$. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ: $T - f_k' = (M/2)a$.
$7$. કિંમતો મૂકતા: $T - Mg/4 = (M/2)(g/2) = Mg/4$.
$8$. તેથી,$T = Mg/4 + Mg/4 = Mg/2$.

(A) $1$. ક્રેટને ઊભી રીતે મૂકવામાં આવે છે,તેથી તેનો પ્રારંભિક આડો વેગ $0$ છે. બેલ્ટ $v = 1.20 \ m/s$ ના અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.
$2$. ક્રેટ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu mg = 0.400 \times 300 \times 9.8 = 1176 \ N$ છે.
$3$. ક્રેટનો પ્રવેગ $a = f/m = \mu g = 0.400 \times 9.8 = 3.92 \ m/s^2$ છે.
$4$. ક્રેટને બેલ્ટની ઝડપ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = v/a = 1.20 / 3.92 \approx 0.306 \ s$ છે.
$5$. આ સમય દરમિયાન બેલ્ટ દ્વારા કાપેલું અંતર $d_{belt} = v \times t = 1.20 \times (1.20 / 3.92) = 1.44 / 3.92 \approx 0.367 \ m$ છે.
$6$. બેલ્ટની ઝડપ અચળ રાખવા માટે મોટરે ઘર્ષણ બળ જેટલું જ બળ લગાડવું પડે,તેથી $F_{motor} = f = 1176 \ N$.
$7$. મોટર દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F_{motor} \times d_{belt} = 1176 \times (1.44 / 3.92) = 432 \ J$ છે.

(D) પ્રથમ, લંબબળ $N$ શોધવા માટે બ્લોક પર શિરોલંબ દિશામાં લાગતા બળોનું વિશ્લેષણ કરો:
$N = W + \frac{W}{2} - \frac{W}{2} \sin(30^\circ) = W + \frac{W}{2} - \frac{W}{4} = \frac{5}{4} W$.
ત્યારબાદ, સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગતા બળોનું વિશ્લેષણ કરો. પ્રેરક બળ $F_x = \frac{W}{2} \cos(30^\circ) = \frac{W}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} W}{4}$ છે.
મર્યાદિત ઘર્ષણ બળ $f_L = \mu N = \mu \cdot \frac{5}{4} W$ છે.
જો પ્રેરક બળ એ મર્યાદિત ઘર્ષણ બળ કરતા વધારે હોય તો બ્લોક ગતિ કરશે, એટલે કે $F_x > f_L$.
$\frac{\sqrt{3} W}{4} > \mu \cdot \frac{5}{4} W \Rightarrow \mu < \frac{\sqrt{3}}{5}$.
તેથી, જો $\mu < \frac{\sqrt{3}}{5}$ હોય, તો બ્લોક ગતિ કરશે. જો બ્લોક ગતિ ન કરે, તો સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે. આમ, વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 10\, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 10\, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0\, m/s$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.2$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ છે.
આ બળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{f}{m} = \mu g$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = 0.2 \times 10 = 2\, m/s^2$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = 10^2 - 2 \times 2 \times s$
$0 = 100 - 4s$
$4s = 100$
$s = 25\, m$.
તેથી,બ્લોક $25\, m$ અંતર કાપ્યા પછી અટકી જશે.

(C) બ્લોક પર લાગતા બળો એ લાગુ પાડેલ બળ $F$,ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$,લંબબળ $N$ અને ઘર્ષણ $f$ છે.
બળ $F$ ના ઘટકો પાડતા:
આડો ઘટક: $F_x = F \cos 37^{\circ} = 5t \times \frac{4}{5} = 4t$
ઊભો ઘટક: $F_y = F \sin 37^{\circ} = 5t \times \frac{3}{5} = 3t$
ઊભી સંતુલન સ્થિતિ માટે:
$N + F_y = mg$
$N = mg - F_y = 70 - 3t$
જ્યારે આડું બળ $F_x$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $f_L = \mu N$ જેટલું થાય ત્યારે બ્લોક સરકવાનું શરૂ કરે છે:
$F_x = \mu N$
$4t = 1 \times (70 - 3t)$
$4t = 70 - 3t$
$7t = 70$
$t = 10\,s$

(D) આપેલ છે: $M = \frac{10}{3} \, kg$,$F = 50 \, N$,$\mu = \frac{1}{3}$,$\theta = \sin^{-1}(\frac{3}{5})$.
$\sin \theta = \frac{3}{5}$ પરથી,આપણને $\cos \theta = \frac{4}{5}$ મળે છે.
બ્લોક પર લાગતા શિરોલંબ બળો લંબબળ $N$,વજનબળ $Mg$,અને લાગુ પાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટક $F \sin \theta$ (ઉપરની તરફ) છે.
$N + F \sin \theta = Mg \Rightarrow N = Mg - F \sin \theta$.
$N = (\frac{10}{3} \times 10) - (50 \times \frac{3}{5}) = \frac{100}{3} - 30 = \frac{100 - 90}{3} = \frac{10}{3} \, N$.
સમક્ષિતિજ બળો એ લાગુ પાડેલા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $F \cos \theta$ અને ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ છે.
ગતિનું સમીકરણ $F \cos \theta - \mu N = Ma$ છે.
$50 \times \frac{4}{5} - \frac{1}{3} \times \frac{10}{3} = \frac{10}{3} a$.
$40 - \frac{10}{9} = \frac{10}{3} a$.
$\frac{360 - 10}{9} = \frac{10}{3} a \Rightarrow \frac{350}{9} = \frac{10}{3} a$.
$a = \frac{350}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{35}{3} \, ms^{-2}$.

(D) જ્યારે બ્લોક અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $F$ એ લગાડેલું બળ છે. શિરોલંબ દિશામાં લાગતા બળો લંબબળ $N$,લગાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટક $F \sin \theta$ અને વજનબળ $mg$ છે. તેથી,$N + F \sin \theta = mg$,જે પરથી $N = mg - F \sin \theta$ મળે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગતા બળો લગાડેલા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $F \cos \theta$ અને ગતિક ઘર્ષણ $f_k = \mu N$ છે. અચળ વેગ માટે,$F \cos \theta = f_k = \mu(mg - F \sin \theta)$.
$F$ માટે ઉકેલતા: $F \cos \theta = \mu mg - \mu F \sin \theta \implies F(\cos \theta + \mu \sin \theta) = \mu mg \implies F = \frac{\mu mg}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$.
$d$ જેટલા સ્થાનાંતર દરમિયાન થયેલું કાર્ય $W = F \cdot d = \frac{\mu mgd}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$ થાય.

(C) બ્લોક સંતુલનમાં રહે તે માટે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$1$. બ્લોકને દીવાલ પર દબાવતું સમક્ષિતિજ બળ $F_h = mg$ છે. આ બળ લંબબળ $N = mg$ પૂરું પાડે છે.
$2$. મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu (mg)$ છે.
$3$. ઉર્ધ્વ દિશામાં,બ્લોકનું વજન $mg$ નીચેની તરફ લાગે છે અને $\frac{mg}{2}$ જેટલું બળ ઉપરની તરફ લાગે છે. ધારો કે $f$ એ બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ છે.
$4$. ઉર્ધ્વ દિશામાં સંતુલન માટે: $f + \frac{mg}{2} = mg$,જે આપણને $f = mg - \frac{mg}{2} = \frac{mg}{2}$ આપે છે.
$5$. બ્લોક સંતુલનમાં રહે તે માટે,જરૂરી ઘર્ષણ બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ: $f \le f_{max}$.
$6$. તેથી,$\frac{mg}{2} \le \mu (mg)$.
$7$. $\mu$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\mu \ge \frac{1}{2}$ અથવા $\mu \ge 0.5$ મળે છે. આમ,ન્યૂનતમ ઘર્ષણાંક $0.5$ છે.

(C) સળિયાનું દળ $m = 1 \, kg$ છે,તેથી નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $W = mg = 1 \times 10 = 10 \, N$ છે.
સળિયાને સંતુલનમાં રાખવા માટે,કુલ ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $F_f$ એ વજન બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $F_f = mg = 10 \, N$.
દરેક આંગળી $N = 12 \, N$ નું લંબબળ લગાડે છે. બે આંગળીઓ હોવાથી,કુલ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = 2 \times \mu \times N = 2 \times 0.5 \times 12 = 12 \, N$ છે.
જરૂરી ઘર્ષણ બળ $(10 \, N)$ એ મહત્તમ ઉપલબ્ધ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(12 \, N)$ કરતા ઓછું હોવાથી,સળિયો સરકશે નહીં.
તેથી,સળિયા પર લાગતું વાસ્તવિક ઘર્ષણ બળ તેના વજન જેટલું એટલે કે $10 \, N$ હશે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 60 \ kg$,ખૂણો $\theta = 37^{\circ}$,ઘર્ષણાંક $\mu = 1/3$,$g = 10 \ m/s^2$.
બ્લોક અચળ ઝડપે ગતિ કરતો હોવાથી,ચોખ્ખું બળ શૂન્ય છે $(a = 0)$.
બળ $F$ ને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
સમક્ષિતિજ દિશા: $F \cos 37^{\circ} = \mu N$ --- $(1)$
શિરોલંબ દિશા: $N + F \sin 37^{\circ} = mg$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$N = mg - F \sin 37^{\circ}$.
$N$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$F \cos 37^{\circ} = \mu (mg - F \sin 37^{\circ})$
$F \cos 37^{\circ} = \mu mg - \mu F \sin 37^{\circ}$
$F (\cos 37^{\circ} + \mu \sin 37^{\circ}) = \mu mg$
$F = \frac{\mu mg}{\cos 37^{\circ} + \mu \sin 37^{\circ}}$
$\cos 37^{\circ} = 4/5$ અને $\sin 37^{\circ} = 3/5$ લેતા:
$F = \frac{(1/3) \times 60 \times 10}{(4/5) + (1/3) \times (3/5)} = \frac{200}{(4/5) + (1/5)} = \frac{200}{1} = 200 \ N$.

(A) આપેલ છે:
બ્લોકનું દળ,$m = 5\,kg$
લગાડવામાં આવેલ ક્ષિતિજ સમાંતર બળ,$F = 40\,N$
ગતિજ ઘર્ષણાંક,$\mu_k = 0.4$
ગુરુત્વ પ્રવેગ,$g = 10\,m/s^2$
પગલું $1$: ગતિજ ઘર્ષણ બળ $(f_k)$ ની ગણતરી કરો:
ક્ષિતિજ સમાંતર સપાટી પર લંબબળ $N = mg = 5 \times 10 = 50\,N$ છે.
ગતિજ ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = 0.4 \times 50 = 20\,N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પગલું $2$: પરિણામી બળ $(F_{net})$ ની ગણતરી કરો:
બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = 40\,N - 20\,N = 20\,N$ છે.
પગલું $3$: પ્રવેગ $(a)$ ની ગણતરી કરો:
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F_{net} = ma$.
$a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{20\,N}{5\,kg} = 4\,m/s^2$.
તેથી,બ્લોકનો પ્રવેગ $4\,m/s^2$ છે.

(C) બ્લોક અચળ ઝડપે ગતિ કરતો હોવાથી,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
તેથી,લાગુ પાડવામાં આવેલ સમક્ષિતિજ બળ એ ગતિક ઘર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
$F_{ext} = F_{k}$
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિક ઘર્ષણ બળ $F_{k} = \mu_{k} N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ લંબબળ છે.
સમક્ષિતિજ સપાટી પર રહેલા બ્લોક માટે,$N = mg$.
આમ,$F_{ext} = \mu_{k} mg$.
આપેલ છે: $F_{ext} = 4\,N$,$m = 0.5\,kg$,અને $g = 10\,m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $4 = \mu_{k} \times 0.5 \times 10$.
$4 = \mu_{k} \times 5$.
$\mu_{k} = \frac{4}{5} = 0.8$.

(A) કારની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
કાર પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ કારની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K$
$-f \cdot s = 0 - \frac{1}{2} mv^2$
$\mu mg s = \frac{1}{2} mv^2$
અટકવા માટેનું અંતર $s$ શોધતા:
$s = \frac{v^2}{2\mu g}.$

(B) $F = 75\,N$ બળ સમક્ષિતિજ સાથે $37^{\circ}$ ના ખૂણે લગાડવામાં આવે છે.
બળના ઘટકો પાડતા:
સમક્ષિતિજ ઘટક $N = F \cos 37^{\circ} = 75 \times 0.8 = 60\,N$. આ દીવાલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ છે.
શિરોલંબ ઘટક $F_y = F \sin 37^{\circ} = 75 \times 0.6 = 45\,N$ (ઉપરની તરફ).
બ્લોકનું વજન $mg = 1 \times 10 = 10\,N$ (નીચેની તરફ).
ગતિજ ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = 0.25 \times 60 = 15\,N$. અહીં લગાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટક $(45\,N)$ એ વજન $(10\,N)$ કરતા વધારે હોવાથી,બ્લોક ઉપરની તરફ ગતિ કરશે.
ઘર્ષણ બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં એટલે કે નીચેની તરફ લાગશે.
ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ શિરોલંબ દિશામાં લાગુ પાડતા:
$F_y - mg - f_k = ma$
$45 - 10 - 15 = 1 \times a$
$20 = a$
તેથી,પ્રવેગ $a = 20\,m/s^2$ મળે છે.

(A) જ્યારે કોઈ બ્લોક ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટી પર ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N$ છે.
સપાટી સમક્ષિતિજ હોવાથી,લંબબળ $N = mg$ થાય.
તેથી,ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k mg$ થાય.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગનું મૂલ્ય $a$ એ $F = ma$ દ્વારા મળે છે,તેથી $ma = \mu_k mg$.
આથી $a = \mu_k g$ મળે.
અહીં $\mu_k = 0.2$ અને $g = 10\,m/s^2$ લેતા:
$a = 0.2 \times 10 = 2\,m/s^2$.

(A) મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m = 4\,kg$,$g = 10\,m/s^2$,અને $\mu = 0.8$ આપેલ છે,તેથી $f_{max} = 0.8 \times 4 \times 10 = 32\,N$ થાય.
$t = 2\,s$ સમયે લાગતું બળ $F = kt^2 = 2 \times (2)^2 = 8\,N$ છે.
કારણ કે લાગતું બળ $F = 8\,N$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{max} = 32\,N$ કરતા ઓછું છે,તેથી બ્લોક સ્થિર રહેશે.
સ્થિત ઘર્ષણના નિયમો મુજબ,જ્યારે પદાર્થ સંતુલનમાં હોય ત્યારે ઘર્ષણ બળ એ લાગુ પાડેલા બળ જેટલું જ હોય છે.
તેથી,ઘર્ષણ બળ $8\,N$ છે.

(C) ખરબચડી સપાટી પર ગતિ કરતા પદાર્થ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ એ ગતિક ઘર્ષણ છે.
ગતિક ઘર્ષણનું સૂત્ર $f_k = \mu_k N$ છે,જ્યાં $\mu_k$ એ ગતિક ઘર્ષણાંક છે અને $N$ એ લંબબળ છે.
સપાટી સમતલ હોવાથી અને પદાર્થ શિરોલંબ દિશામાં પ્રવેગિત ન હોવાથી,લંબબળ $N$ એ પદાર્થના વજન $(mg)$ જેટલું હોય છે.
જ્યાં સુધી સપાટીના ગુણધર્મો અને લંબબળ બદલાતા નથી,ત્યાં સુધી ગતિક ઘર્ષણ પદાર્થના વેગથી સ્વતંત્ર રહે છે.
તેથી,જો વેગ $2 \, m/s$ થી વધીને $4 \, m/s$ થાય,તો પણ ઘર્ષણ બળ $10 \, N$ જ રહેશે.

(A) બ્લોકનું દળ $m=1 \, kg$ છે. તેના પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg=10 \, N$ નીચેની તરફ),લંબબળ ($N$ ઉપરની તરફ) અને લાગુ પાડેલ બળ $\vec{F}=\hat{i}+4 \hat{j}$ છે.
શિરોલંબ $(y)$ દિશામાં બળોનું સંતુલન લેતા:
$N + F_y = mg$
$N + 4 = 10$
$N = 6 \, N$
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{\max} = \mu N = 0.3 \times 6 = 1.8 \, N$ મળે છે.
લાગુ પાડેલ બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $F_x = 1 \, N$ છે.
અહીં,બ્લોકને ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી સમક્ષિતિજ બળ $(1 \, N)$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $(1.8 \, N)$ કરતા ઓછું હોવાથી,બ્લોક સ્થિર રહેશે.
તેથી,ઘર્ષણ બળ લાગુ પાડેલ સમક્ષિતિજ બળને સંતુલિત કરશે.
આમ,ઘર્ષણ બળ $f = -F_x \hat{i} = -1 \hat{i} = -\hat{i}$ થશે.

(A) $1$. લાગુ પાડેલા બળ $F$ ને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરો: $F \cos \phi$ (સમક્ષિતિજ) અને $F \sin \phi$ (શિરોલંબ).
$2$. બ્લોક પર લાગતા શિરોલંબ બળો લંબ પ્રતિક્રિયા $R$ (ઉપરની તરફ),લાગુ પાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટક $F \sin \phi$ (ઉપરની તરફ) અને વજનબળ $Mg$ (નીચેની તરફ) છે. શિરોલંબ સંતુલન માટે: $R + F \sin \phi = Mg$,તેથી $R = Mg - F \sin \phi$.
$3$. ગતિ માટે જવાબદાર સમક્ષિતિજ બળ $F \cos \phi$ છે. ગતિનો વિરોધ કરતું ગતિક ઘર્ષણ બળ $f = \mu R = \mu(Mg - F \sin \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4$. સમક્ષિતિજ દિશામાં ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $F \cos \phi - f = Ma$.
$5$. $f$ નું પદ મૂકતા: $F \cos \phi - \mu(Mg - F \sin \phi) = Ma$.
$6$. પ્રવેગ $a$ માટે ઉકેલતા: $Ma = F \cos \phi - \mu Mg + \mu F \sin \phi$.
$7$. $M$ વડે ભાગતા: $a = \frac{F}{M}(\cos \phi + \mu \sin \phi) - \mu g$.

(D) બ્લોક પર લાગતા બળો તેના વજન $mg$ નીચેની તરફ,લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$ ઉપરની તરફ અને લાગુ પાડેલ બળ $F = mg$ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે છે.
બળ $F$ ના ઘટકો પાડતા:
સમક્ષિતિજ ઘટક $= F \sin \theta = mg \sin \theta$
શિરોલંબ ઘટક $= F \cos \theta = mg \cos \theta$
શિરોલંબ સંતુલન માટે:
$R + F \cos \theta = mg$
$R = mg - mg \cos \theta = mg(1 - \cos \theta)$
ઘર્ષણ બળ $f_r$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_r = \mu R = \mu mg(1 - \cos \theta)$
જો બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક ઘર્ષણ બળ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોય તો બ્લોક ખેંચી શકાય:
$mg \sin \theta \geq \mu mg(1 - \cos \theta)$
$\sin \theta \geq \mu(1 - \cos \theta)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ અને $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \geq \mu (2 \sin^2 \frac{\theta}{2})$
$\cos \frac{\theta}{2} \geq \mu \sin \frac{\theta}{2}$
$\cot \frac{\theta}{2} \geq \mu$

(A) $1$. લાગુ પાડેલા બળ $F$ ને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરો: સમક્ષિતિજ ઘટક $F \cos \theta$ અને શિરોલંબ ઘટક $F \sin \theta$।
$2$. બ્લોક પર લાગતા શિરોલંબ બળો લંબબળ $N$ (ઉપરની તરફ),લાગુ પાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટક $F \sin \theta$ (ઉપરની તરફ) અને વજનબળ $mg$ (નીચેની તરફ) છે. શિરોલંબ દિશામાં કોઈ ગતિ ન હોવાથી,$N + F \sin \theta = mg$,તેથી $N = mg - F \sin \theta$ મળે છે.
$3$. ઘર્ષણ બળ $f_r = \mu N = \mu(mg - F \sin \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4$. બ્લોક પર લાગતું પરિણામી સમક્ષિતિજ બળ $F \cos \theta - f_r$ છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F \cos \theta - f_r = ma$ થાય.
$5$. $f_r$ ની કિંમત મૂકતા: $F \cos \theta - \mu(mg - F \sin \theta) = ma$.
$6$. પ્રવેગ $a$ માટે ઉકેલતા: $a = \frac{F \cos \theta - \mu mg + \mu F \sin \theta}{m} = \frac{F}{m}(\cos \theta + \mu \sin \theta) - \mu g$.

(B) સિસ્ટમ સંતુલનમાં રહે તે માટે:
$M_1$ દળના બ્લોક પર $m$ જેટલું વધારાનું દળ મૂકતા:
લંબબળ $N = (M_1 + m)g$.
સીમાંત ઘર્ષણબળ $f = \mu N = \mu(M_1 + m)g$.
સંતુલન માટે,દોરીમાં તણાવબળ $T$ એ ઘર્ષણબળ જેટલું હોવું જોઈએ:
$T = \mu(M_1 + m)g$.
શિરોલંબ લટકતા $M_2$ દળના બ્લોક માટે:
સંતુલન માટે,તણાવબળ $T$ એ બ્લોકના વજનબળ જેટલું હોવું જોઈએ:
$T = M_2 g$.
તણાવબળ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\mu(M_1 + m)g = M_2 g$.
બંને બાજુ $\mu g$ વડે ભાગતા:
$M_1 + m = \frac{M_2}{\mu}$.
તેથી,જરૂરી વધારાનું દળ $m$:
$m = \frac{M_2}{\mu} - M_1$.

(C) પદાર્થ પર લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ $f$ એ $f = \mu R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થને ધીમેથી (પ્રવેગ વગર) ખસેડવા માટે,એક બાહ્ય બળ $P$ એવી રીતે લગાડવું પડે કે જે ઘર્ષણ બળને બરાબર સંતુલિત કરે.
તેથી,$P = f = \mu R$.
પદાર્થને $d$ અંતર સુધી ખસેડવા માટે ઘર્ષણની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય $W$ એ લગાડેલ બળ અને સ્થાનાંતરના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$W = P \times d = (\mu R) \times d = \mu Rd$.

(A) બોક્સને ગતિશીલ બેલ્ટ પર મૂકવામાં આવે છે,તેથી બેલ્ટની સાપેક્ષમાં તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_{rel} = 2\, ms^{-1}$ છે.
બોક્સ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu mg$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,બેલ્ટની સાપેક્ષમાં બોક્સનો પ્રવેગ $a = \frac{f}{m} = \mu g$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$a = 0.5 \times 10 = 5\, ms^{-2}$ મળે છે.
બેલ્ટની સાપેક્ષમાં બોક્સ સરકવાનું બંધ કરે ત્યાં સુધી કાપેલું અંતર $S$ શોધવા માટે આપણે ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,અંતિમ સાપેક્ષ વેગ $v = 0\, ms^{-1}$ અને પ્રારંભિક સાપેક્ષ વેગ $u = 2\, ms^{-1}$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $0^2 - 2^2 = 2(-5)S$.
$-4 = -10S$.
$S = \frac{4}{10} = 0.4\, m$.

(C) પદાર્થ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રતિપ્રવેગ $a = f / m = \mu mg / m = \mu g$ મળે છે.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણ $v_f^2 - v_i^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v_f = 0$ (અંતિમ વેગ) અને $v_i = v$ (પ્રારંભિક વેગ) છે.
કિંમતો મૂકતા: $0^2 - v^2 = 2(-\mu g)s$.
આથી $-v^2 = -2\mu gs$ મળે છે.
તેથી,પ્રારંભિક વેગ $v = \sqrt{2\mu gs}$ થાય.

(C) ધારો કે ટેબલ પર રહેલ દળ $m_1 = 40\, kg$ છે અને લટકતું દળ $m_2 = 10\, kg$ છે.
$40\, kg$ ના બ્લોક પર લાગતું સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_L = \mu m_1 g = 0.1 \times 40 \times 10 = 40\, N$ છે.
લટકતા દળને કારણે લાગતું પ્રેરક બળ $F_d = m_2 g = 10 \times 10 = 100\, N$ છે.
અહીં પ્રેરક બળ $(100\, N)$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $(40\, N)$ કરતા વધારે હોવાથી,તંત્ર પ્રવેગિત થશે.
તંત્ર માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ વાપરતા: $m_2 g - f_L = (m_1 + m_2) a$.
$100 - 40 = (40 + 10) a$.
$60 = 50 a$.
$a = \frac{60}{50} = 1.2\, m/s^2$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 6\,m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0\,m/s$,અંતર $s = 9\,m$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K$.
$-f_k \cdot s = 0 - \frac{1}{2} m u^2$.
કારણ કે $f_k = \mu_k N = \mu_k m g$,તેથી $-\mu_k m g s = -\frac{1}{2} m u^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$\mu_k = \frac{u^2}{2 g s}$.
કિંમતો મૂકતા: $\mu_k = \frac{6^2}{2 \times 10 \times 9} = \frac{36}{180} = 0.2$.

(D) ધારો કે $C$ એ બ્લોકનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે. પાયાથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ $h/2$ છે.
બ્લોક પલટી જાય તે માટે,પાયાની ધાર પર ઘર્ષણ બળ $f$ ને કારણે લાગતું ટોર્ક,તે જ ધાર પર લંબબળ $N$ ને કારણે લાગતા ટોર્ક કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
પાયાની આગળની ધાર પર ટોર્ક લેતા:
$\tau_{f} = f \times h$
$\tau_{N} = N \times \frac{a}{2}$
પલટી જવા માટે,$\tau_{f} > \tau_{N} \implies f \times h > N \times \frac{a}{2}$.
બ્લોક ગતિમાં હોવાથી,$f = \mu N$.
આ કિંમત મૂકતા,$\mu N h > N \frac{a}{2}$.
$\mu h > \frac{a}{2} \implies \mu > \frac{a}{2h}$.
આમ,બ્લોક $\mu > \frac{a}{2h}$ હોય ત્યારે પલટી જશે.

(B) બ્લોક જમણી તરફ ગતિ કરે છે. બળ $F = 20\sqrt{2}\, N$ એ $45^{\circ}$ ના ખૂણે નીચેની તરફ લાગે છે, જે બ્લોકને ભોંયતળિયા તરફ દબાવે છે.
લંબબળ $N = mg + F \sin 45^{\circ} = 5 \times 10 + 20\sqrt{2} \times (1/\sqrt{2}) = 50 + 20 = 70\, N$.
ઘર્ષણ બળ: $f_k = \mu N = 0.5 \times 70 = 35\, N$.
આડું બળ: લાગુ પાડેલા બળનો આડો ઘટક $F_x = F \cos 45^{\circ} = 20\sqrt{2} \times (1/\sqrt{2}) = 20\, N$ (ડાબી તરફ લાગે છે).
કુલ અવરોધક બળ $F_{net} = f_k + F_x = 35 + 20 = 55\, N$.
પ્રવેગ (મંદન) $a = F_{net} / m = 55 / 5 = 11\, m/s^2$.
સૂત્ર $v = u - at$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $u = 33\, m/s$, $a = 11\, m/s^2$, અને $t = 3\, s$:
$v = 33 - (11 \times 3) = 33 - 33 = 0\, m/s$.

(B) આપેલ છે: બ્લોકનું દળ $m = 5 \ kg$,લગાડેલ બળ $F = 1000 \ N$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.1$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
$1$. બ્લોકને દીવાલ પર $F = 1000 \ N$ ના સમક્ષિતિજ બળ દ્વારા દબાવવામાં આવે છે. આ બળ દીવાલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતા લંબબળ $N$ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી $N = F = 1000 \ N$.
$2$. મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max}$ જે લાગી શકે છે તે $f_{max} = \mu N = 0.1 \times 1000 = 100 \ N$ દ્વારા મળે છે.
$3$. બ્લોક પર નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $W = mg = 5 \times 10 = 50 \ N$ છે.
$4$. બ્લોક સંતુલનમાં હોવાથી,ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ એ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $W$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ. તેથી,$f = W = 50 \ N$.
$5$. કારણ કે $f = 50 \ N$ એ $f_{max} = 100 \ N$ કરતા ઓછું છે,બ્લોક સંતુલનમાં રહેશે. આમ,ઘર્ષણ બળ $50 \ N$ છે.

(A) $m$ દળના પદાર્થ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ છે.
પ્લેટફોર્મ વિશાળ $(M \gg m)$ હોવાથી,તેનો વેગ $V_p = 4 \, m/s$ અચળ રહે છે.
પદાર્થ $m$ નો પ્રવેગ $a = \frac{f}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$a = 0.2 \times 10 = 2 \, m/s^2$.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ શરૂઆત કરે છે અને તેનો વેગ પ્લેટફોર્મના વેગ $(v = V_p = 4 \, m/s)$ જેટલો ન થાય ત્યાં સુધી પ્રવેગિત થાય છે.
સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$4 = 0 + 2t$,જે આપણને $t = 2 \, s$ આપે છે.
ગ્રાઉન્ડ ફ્રેમમાં પદાર્થે કાપેલું અંતર $S_b = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (2)^2 = 4 \, m$ છે.
તે જ સમયમાં પ્લેટફોર્મે કાપેલું અંતર $S_p = V_p \times t = 4 \times 2 = 8 \, m$ છે.
પ્લેટફોર્મની સાપેક્ષમાં પદાર્થનું સરકવાનું અંતર $S_{rel} = S_p - S_b = 8 - 4 = 4 \, m$ છે.

(B) ઘર્ષણ બળ $F$ એ $m$ દળ ધરાવતી કારને પ્રતિપ્રવેગ $a$ આપે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$.
ઘર્ષણ બળનું સૂત્ર $F = \mu N$ છે,જ્યાં $\mu$ એ ઘર્ષણાંક છે અને $N$ એ લંબબળ છે.
સમતલ રસ્તા પર ગતિ કરતી કાર માટે,$N = mg$.
$F$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$ma = \mu mg$
$a = \mu g$
$\mu = \frac{a}{g}$
અહીં $a = 7.35\, ms^{-2}$ અને $g = 9.8\, ms^{-2}$ લેતા:
$\mu = \frac{7.35}{9.8} = 0.75$.

(C) બોક્સ ટ્રેનના ફ્લોરની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે છે કારણ કે તેના પર સ્થિત ઘર્ષણ બળ લાગે છે.
ધારો કે $m$ એ બોક્સનું દળ છે,$a$ એ ટ્રેનનો પ્રવેગ છે,અને $\mu_s$ એ સ્થિત ઘર્ષણાંક છે.
બોક્સને પ્રવેગ આપતું બળ એ સ્થિત ઘર્ષણ $f_s$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$f_s = m a$.
બોક્સ સ્થિર રહે તે માટે,સ્થિત ઘર્ષણ $f_s \leq \mu_s N$ હોવું જોઈએ,જ્યાં $N = m g$ એ લંબબળ છે.
તેથી,$m a \leq \mu_s m g$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $a \leq \mu_s g$ મળે છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = \mu_s g$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$a_{\max} = 0.15 \times 10 \ m/s^2 = 1.5 \ m/s^2$.

(N/A) જ્યારે સપાટી પર રહેલા પદાર્થ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય મહત્તમ સ્થિતઘર્ષણ બળ કરતાં વધી જાય,ત્યારે પદાર્થ બાહ્ય બળની દિશામાં ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે. આથી,ઘર્ષણ બળનું મૂલ્ય મહત્તમ સ્થિતઘર્ષણ બળ કરતાં ઘટી જાય છે.
સંપર્કમાં રહેલી સપાટીઓ વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરતા ઘર્ષણ બળને ગતિઘર્ષણ કહે છે. તેને $f_{k}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
ગતિઘર્ષણના નિયમો:
$(1)$ ગતિઘર્ષણ સપાટીઓના સંપર્ક ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખતું નથી.
$(2)$ ગતિઘર્ષણ બળ ગતિ કરતા પદાર્થના સાપેક્ષ વેગ પર આધાર રાખતું નથી.
$(3)$ ગતિઘર્ષણ બળ લંબબળ (normal force) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\therefore f_{k} \propto N$
$\therefore f_{k} = \mu_{k} N$
જ્યાં $\mu_{k} = \text{ગતિઘર્ષણાંક}$,$\mu_{k} = \frac{f_{k}}{N}$.
ગતિઘર્ષણાંક: ગતિઘર્ષણ બળ અને લંબબળના ગુણોત્તરને ગતિઘર્ષણાંક કહે છે.
$f_{s} > f_{k}$ હોવાથી $\mu_{s} > \mu_{k}$ થાય છે. એકવાર સાપેક્ષ ગતિ શરૂ થાય,ત્યારે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{F - f_{k}}{m}$ થાય છે.
જો પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોય,તો $F = f_{k}$ થાય.
જો લાગુ પાડેલ બાહ્ય બળ શૂન્ય કરવામાં આવે,તો પદાર્થનો પ્રવેગ $-\frac{f_{k}}{m}$ થશે. તેથી,તે થોડું અંતર કાપ્યા પછી અટકી જશે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ સપાટી પર સરક્યા વગર ગબડે છે ત્યારે તેની ગતિનો વિરોધ કરતા બળને રોલિંગ ઘર્ષણ કહે છે. તેને $f_{r}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
રોલિંગ ઘર્ષણના નિયમો:
$(1)$ રોલિંગ ઘર્ષણનું મૂલ્ય સંપર્ક સપાટીના ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખતું નથી.
$(2)$ રોલિંગ ઘર્ષણનું મૂલ્ય લંબબળ $(N)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $f_{r} \propto N$,એટલે કે $f_{r} = \mu_{r} N$.
રોલિંગ ઘર્ષણાંક $(\mu_{r})$:
રોલિંગ ઘર્ષણ બળ અને લંબબળના ગુણોત્તરને રોલિંગ ઘર્ષણાંક કહે છે,જે $\mu_{r} = \frac{f_{r}}{N}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તે એકમરહિત ભૌતિક રાશિ છે.
સમજૂતી:
જ્યારે કોઈ પદાર્થ સપાટી પર ગબડે છે,ત્યારે સંપર્કમાં રહેલી સપાટીઓ ક્ષણિક રીતે વિકૃત થાય છે. આ વિકૃતિને કારણે ગતિનો વિરોધ કરતું બળ ઉદભવે છે. રોલિંગ ઘર્ષણ એ સ્થિત કે ગતિક ઘર્ષણ કરતા ઘણું ઓછું (સામાન્ય રીતે $\frac{1}{100}$ થી $\frac{1}{1000}$ ગણું) હોય છે,તેથી જ પૈડાંનો ઉપયોગ કાર્યક્ષમ છે. ઘર્ષણાંકો વચ્ચેનો સંબંધ $\mu_{r} < \mu_{k} < \mu_{s}$ છે.

(N/A) ગતિજ ઘર્ષણ એ સંપર્કમાં રહેલી બે સપાટીઓ વચ્ચે થતી સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરતું અવરોધક બળ છે,જ્યારે એક સપાટી બીજી સપાટી પર સરકતી હોય. તે ગતિની દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
રોલિંગ ઘર્ષણ એ એવું અવરોધક બળ છે જે જ્યારે કોઈ પદાર્થ (જેમ કે પૈડું અથવા ગોળો) સપાટી પર ગબડતો હોય ત્યારે તેની ગતિનો વિરોધ કરે છે. તે સામાન્ય રીતે ગતિજ (સરકતા) ઘર્ષણ કરતા ઘણું ઓછું હોય છે કારણ કે તેમાં સંપર્ક વિસ્તાર નોંધપાત્ર રીતે ઘટી જાય છે.

(D) ઘર્ષણબળ હંમેશા પદાર્થની સાપેક્ષ ગતિ અથવા ગતિની વૃત્તિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
તત્કાલીન વેગ એ ગતિની દિશા દર્શાવે છે,તેથી ઘર્ષણબળ વેગ સદિશની બરાબર વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
તેથી,તત્કાલીન વેગ અને ઘર્ષણબળ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ છે.

(A) રબર અને રસ્તાની સપાટી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક,સ્ટીલ અને રસ્તાની સપાટી વચ્ચેના ઘર્ષણાંક કરતા ઘણો વધારે હોય છે.
આ ઉચ્ચ ઘર્ષણાંકને કારણે વાહનને વધુ સારી પકડ (traction) મળે છે,જે વાહનને સુરક્ષિત રીતે પ્રવેગિત કરવા,બ્રેક લગાવવા અને વળાંક લેવા માટે ખૂબ જ જરૂરી છે.
જો સ્ટીલના ટાયરનો ઉપયોગ કરવામાં આવે,તો ઘર્ષણ ખૂબ ઓછું હોવાથી વાહન સરળતાથી લપસી (skid) શકે છે.

(B) ના,આ વિધાન ખોટું છે. જ્યારે માણસ ચાલે છે,ત્યારે તે તેના પગ વડે જમીનને પાછળની દિશામાં ધકેલે છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,જમીન તેના પગ પર આગળની દિશામાં સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે. આ આગળની દિશામાં લાગતું ઘર્ષણબળ જ માણસને આગળ વધવામાં મદદ કરે છે.

(B) $1$. લગાડેલા બળ $F$ ને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરો: $F_{x} = F \cos \theta$ અને $F_{y} = F \sin \theta$.
$2$. બ્લોક પર લાગતા શિરોલંબ બળો લંબબળ $N$ (ઉપરની તરફ),લગાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટક $F \sin \theta$ (ઉપરની તરફ) અને વજનબળ $mg$ (નીચેની તરફ) છે. શિરોલંબ દિશામાં કોઈ ગતિ ન હોવાથી,કુલ શિરોલંબ બળ શૂન્ય છે: $N + F \sin \theta = mg$,જે આપણને $N = mg - F \sin \theta$ આપે છે.
$3$. ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_{k}$ એ $f_{k} = \mu_{K} N = \mu_{K}(mg - F \sin \theta)$ દ્વારા મળે છે.
$4$. બ્લોક પર લાગતું કુલ સમક્ષિતિજ બળ એ લગાડેલા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક અને ઘર્ષણ બળનો તફાવત છે: $F_{net} = F \cos \theta - f_{k} = F \cos \theta - \mu_{K}(mg - F \sin \theta)$.
$5$. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F_{net} = ma$,આપણને $ma = F \cos \theta - \mu_{K}(mg - F \sin \theta)$ મળે છે.
$6$. દળ $m$ વડે ભાગતા,પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} \cos \theta - \mu_{K}(g - \frac{F}{m} \sin \theta)$ મળે છે.

(B) બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રતિપ્રવેગ $a = -\mu g$ થાય.
અહીં $\mu = 0.5$ અને $g = 9.8\, m/s^2$ આપેલ છે,તેથી પ્રવેગ $a = -0.5 \times 9.8 = -4.9\, m/s^2$ મળે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં અંતિમ વેગ $v = 0$ અને પ્રારંભિક વેગ $u = 9.8\, m/s$ છે:
$0 = (9.8)^2 + 2(-4.9)s$
$9.8s = 9.8 \times 9.8$
$s = 9.8\, m$.

(D) ધારો કે સપાટી પરના બ્લોકનું દળ $M = 40 \,kg$ છે અને લટકાવેલ દળ $m = 4 \,kg$ છે. ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે અને દોરીમાં તણાવ $T$ છે.
લટકાવેલ દળ $m$ માટે,ગતિનું સમીકરણ:
$mg - T = ma$
$4(10) - T = 4a \implies 40 - T = 4a$ --- $(1)$
સપાટી પરના બ્લોક $M$ માટે,ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = \mu_k Mg = 0.02 \times 40 \times 10 = 8 \,N$ છે.
બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ:
$T - f_k = Ma$
$T - 8 = 40a$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(40 - T) + (T - 8) = 4a + 40a$
$32 = 44a$
$a = \frac{32}{44} = \frac{8}{11} \,m/s^2$.

(B) જ્યારે બેગને બેલ્ટ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = \mu mg$ અનુભવે છે.
આ બળ બેગને બેલ્ટની ગતિની દિશામાં $a = f_k / m = \mu g$ જેટલો પ્રવેગ આપે છે.
અહીં $\mu = 0.4$ અને $g = 10\,m/s^2$ આપેલ છે,તેથી પ્રવેગ $a = 0.4 \times 10 = 4\,m/s^2$ થશે.
બેલ્ટના સંદર્ભમાં,બેગનો પ્રારંભિક વેગ $u = 2\,m/s$ (બેલ્ટની સાપેક્ષમાં) છે અને અંતિમ વેગ $v = 0$ (જ્યારે તે લપસવાનું બંધ કરે છે) છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $s$ એ બેલ્ટની સાપેક્ષ અંતર છે):
$0^2 = 2^2 - 2(4)s$
$0 = 4 - 8s$
$8s = 4$
$s = 0.5\,m$.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
જ્યારે મીના બ્રેક લગાવે છે,ત્યારે બ્રેક પેડ્સ વ્હીલની રીમ પર દબાણ લાવે છે,જે વ્હીલને ફરતું અટકાવે છે. જો કે,જડત્વને કારણે સાયકલ આગળ વધવાનું ચાલુ રાખે છે. આના કારણે ટાયર રસ્તાની સપાટી પર ઘસાય છે. રસ્તો સાયકલની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં ટાયર પર ઘર્ષણ બળ લગાડે છે. આ બાહ્ય ઘર્ષણ બળ સાયકલને ધીમી પાડવા માટે જવાબદાર છે.

(C) ધારો કે દોરડાની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda$ છે.
લટકતા દોરડાની લંબાઈ $f l$ છે અને ટેબલ પર રહેલા દોરડાની લંબાઈ $(1-f)l$ છે.
દોરડાના લટકતા ભાગનું વજન,જે ખેંચાણ બળ $F$ તરીકે કાર્ય કરે છે,તે છે:
$F = (f l) \lambda g$
ટેબલ પર રહેલા દોરડાના ભાગ પર ટેબલ દ્વારા લાગતું લંબબળ $N$ છે:
$N = ((1-f)l) \lambda g$
દોરડા પર લાગતું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ છે:
$f_s = \mu N = \mu (1-f) l \lambda g$
દોરડું સ્થિર રહે (સંતુલનમાં રહે) તે માટે,ખેંચાણ બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ:
$F = f_s$
$f l \lambda g = \mu (1-f) l \lambda g$
બંને બાજુ $l \lambda g$ વડે ભાગતા:
$f = \mu (1-f)$
$f = \mu - \mu f$
$f + \mu f = \mu$
$f(1+\mu) = \mu$
$f = \frac{\mu}{1+\mu}$
આપેલા વિકલ્પો સાથે મેળવવા માટે,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$f = \frac{1}{\frac{1+\mu}{\mu}} = \frac{1}{\frac{1}{\mu} + 1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\mu}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(A) બ્લોક માટે,અંતિમ વેગ $v = 0$,સમય $t = 2 \, s$,અને સ્થાનાંતર $s = 1 \, m$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$0 = u + a \times 2 \Rightarrow a = -u/2$.
સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$0 - u^2 = 2 \times (-u/2) \times 1 \Rightarrow -u^2 = -u \Rightarrow u(u - 1) = 0$.
કારણ કે $u \neq 0$,પ્રારંભિક વેગ $u = 1 \, m/s$ છે.
પ્રવેગ $a = -u/2 = -0.5 \, m/s^2$ છે.
ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k mg = m|a|$ છે.
આમ,$\mu_k g = |a| \Rightarrow \mu_k = 0.5 / 10 = 0.05$.
આ ગણતરીમાં,આપણે હવાના અવરોધ અને અન્ય ક્ષયકારી બળોને અવગણ્યા છે. વાસ્તવિક પરિસ્થિતિમાં,આ વધારાના બળો મંદનમાં ફાળો આપશે,જેનો અર્થ છે કે બોક્સને $2 \, s$ માં રોકવા માટે જરૂરી ઘર્ષણ બળ માત્ર ગતિક ઘર્ષણના આધારે ગણતરી કરેલ મૂલ્ય કરતા ઓછું હશે. તેથી,$\mu_k$ નું મૂલ્ય $0.05$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.

(A) બ્લોક પહેલેથી જ $v = 4 \ m/s$ ના વેગથી ડાબી તરફ ગતિમાં છે.
બ્લોક ગતિમાં હોવાથી,તેના પર લાગતું ઘર્ષણ એ ગતિક ઘર્ષણ છે.
ગતિક ઘર્ષણનું સૂત્ર $f_k = \mu_k N$ છે,જ્યાં $N$ એ લંબબળ છે.
ક્ષૈતિજ સપાટી પર રહેલા બ્લોક માટે,$N = mg$.
અહીં $m = 10 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $\mu_k = 0.6$ આપેલ છે:
$f_k = 0.6 \times 10 \times 10 = 60 \ N$.
ગતિક ઘર્ષણની દિશા હંમેશા ગતિની દિશાની વિરુદ્ધ હોય છે.
બ્લોક ડાબી તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,ગતિક ઘર્ષણ બળ જમણી તરફ $60 \ N$ ના મૂલ્ય સાથે લાગશે.

(B) બ્લોક્સ $A$ અને $B$ ની સિસ્ટમ $10 \, m/s$ ના અચળ વેગથી ગતિ કરી રહી છે.
વેગ અચળ હોવાથી,સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a = 0 \, m/s^2$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સમક્ષિતિજ દિશામાં સિસ્ટમ પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $F_{ext} = 20 \, N$ એ બ્લોક $B$ પર જમણી દિશામાં લાગતું બળ છે.
ધારો કે $f_g$ એ જમીન દ્વારા બ્લોક $B$ પર ડાબી દિશામાં લાગતું ઘર્ષણ બળ છે.
સિસ્ટમ સંતુલનમાં રહે (અચળ વેગ) તે માટે,સમક્ષિતિજ દિશામાં કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$F_{ext} - f_g = 0$
$20 \, N - f_g = 0$
$f_g = 20 \, N$.
તેથી,જમીન દ્વારા બ્લોક $B$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $20 \, N$ છે.

(A) આપેલ છે:
બ્લોકનું દળ,$m = 10 \, kg$
પ્રવેગ,$a = 2 \, m/s^2$
પ્રયુક્ત બળ,$F = 40 \, N$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \, m/s^2$ (પ્રમાણિત ગણતરી માટે $g = 10 \, m/s^2$ લેતા)
બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N = mg = 10 \times 10 = 100 \, N$ છે.
ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = \mu_k \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ:
$F - f_k = ma$
$40 - 100 \mu_k = 10 \times 2$
$40 - 100 \mu_k = 20$
$100 \mu_k = 40 - 20$
$100 \mu_k = 20$
$\mu_k = \frac{20}{100} = 0.2$
આમ,ગતિક ઘર્ષણાંકનું મૂલ્ય $0.2$ છે.

(D) જ્યારે બ્રેક લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે સાયકલના પૈડાં ફરવાનું બંધ કરી દે છે અને રસ્તાની સપાટી પર સરકવા લાગે છે.
આ સ્થિતિમાં,ટાયર અને રસ્તા વચ્ચે લાગતું ઘર્ષણ એ સરકતું ઘર્ષણ (sliding friction) છે.
સામાન્ય પરિસ્થિતિમાં,સાયકલ રોલિંગ દ્વારા ગતિ કરે છે,જ્યાં રોલિંગ ઘર્ષણ કાર્ય કરે છે.
કારણ કે સરકતું ઘર્ષણ એ રોલિંગ ઘર્ષણ કરતા ઘણું વધારે હોય છે,તેથી બ્રેક લગાવેલી સાયકલને ચલાવવી મુશ્કેલ બને છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.