Kinetic Friction and Motion on Rough Horizontal Surface Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 4 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m/s$,સમય $t = 2 \, s$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$:
$0 = 4 + a(2) \implies 2a = -4 \implies a = -2 \, m/s^2$.
પદાર્થ પર લાગતું અવરોધક બળ (ઘર્ષણ બળ) $F_{friction} = m|a| = 2 \times 2 = 4 \, N$ છે.
પદાર્થને $4 \, m/s$ ના અચળ વેગથી ગતિશીલ રાખવા માટે,પદાર્થ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,બાહ્ય લગાડેલું બળ એ ઘર્ષણ બળ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ.
લગાડેલું બળ $F = F_{friction} = 4 \, N$.

(B) જ્યારે બે સપાટીઓ વચ્ચે લુબ્રિકન્ટ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે એક પાતળું પડ બનાવે છે જે સપાટીઓની અનિયમિતતાઓને ભરી દે છે.
આ સપાટીઓ વચ્ચેનો સીધો સંપર્ક ઘટાડે છે અને ઘર્ષણાંકમાં ઘટાડો કરે છે.
પરિણામે,સપાટીઓ ન્યૂનતમ અવરોધ સાથે એકબીજા પર સરળતાથી સરકી શકે છે.

(B) $1$. સૌ પ્રથમ,સીમાંત ઘર્ષણ $(f_L)$ ની ગણતરી કરો જે મહત્તમ શક્ય સ્થિત ઘર્ષણ છે: $f_L = \mu N$,જ્યાં $\mu = 0.3$ અને $N = 100 \, N$ છે.
$2$. $f_L = 0.3 \times 100 = 30 \, N$.
$3$. પદાર્થનું વજન $(W)$ નીચેની તરફ લાગે છે: $W = mg = 2 \times 10 = 20 \, N$.
$4$. પદાર્થનું વજન $(20 \, N)$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $(30 \, N)$ કરતા ઓછું હોવાથી,પદાર્થ સંતુલનમાં રહે છે.
$5$. સંતુલનમાં રહેલા પદાર્થ માટે,ઘર્ષણ બળ પદાર્થના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$6$. તેથી,ઘર્ષણ બળ $f = W = 20 \, N$ થશે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ સપાટી પર ગબડે છે ત્યારે લોટણ ઘર્ષણ ઉદ્ભવે છે,જ્યારે પદાર્થ સપાટી પર સરકે છે ત્યારે સરકતું ઘર્ષણ ઉદ્ભવે છે.
ગબડતી વખતે સંપર્ક વિસ્તાર સરકવાની સરખામણીમાં ઘણો ઓછો હોય છે અને સપાટીનું વિરૂપણ પણ ઓછું થાય છે,તેથી લોટણ ઘર્ષણ દ્વારા મળતો અવરોધ ઘણો ઓછો હોય છે.
તેથી,લોટણ ઘર્ષણ હંમેશા સરકતા ઘર્ષણ કરતા ઓછું હોય છે.
આમ,સાચું વિધાન એ છે કે લોટણ ઘર્ષણ એ સરકતા ઘર્ષણ કરતા ઓછું હોય છે.

(A) કાર પર લાગતું અવરોધક બળ $F$ ઘર્ષણને કારણે છે,જે $F = \mu R = \mu mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $ma = \mu mg$,જે પ્રતિપ્રવેગ $a = \mu g$ આપે છે.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 = u^2 - 2as$,જ્યાં $v$ એ અંતિમ વેગ $(0)$ છે,$u$ એ પ્રારંભિક વેગ $(v_0)$ છે,અને $s$ એ અટકવા માટેનું અંતર છે.
કિંમતો મૂકતા: $0^2 = v_0^2 - 2(\mu g)s$.
$s$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા,આપણને $2\mu gs = v_0^2$ મળે છે.
તેથી,કારને અટકાવવા માટેનું લઘુત્તમ અંતર $s = \frac{v_0^2}{2\mu g}$ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 5\, kg$,લગાડેલ બળ $F = 24\, N$,ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.4$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8\, m/s^2$.
સૌ પ્રથમ,ગતિક ઘર્ષણ બળની ગણતરી કરો: $f_k = \mu_k \cdot m \cdot g = 0.4 \times 5 \times 9.8 = 19.6\, N$.
અહીં લગાડેલ બળ $F = 24\, N$ એ ઘર્ષણ બળ $f_k = 19.6\, N$ કરતા વધારે હોવાથી,બ્લોક પ્રવેગિત થશે.
બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = 24 - 19.6 = 4.4\, N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{4.4}{5} = 0.88\, m/s^2$ મળે.

(A) પદાર્થ સમાન વેગથી ગતિ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે લાગુ પાડવામાં આવેલું બળ એ ગતિક ઘર્ષણ બળ જેટલું છે.
ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$.
આપેલ છે: $m = 2\, kg$,$\mu_k = 0.20$,$v = 2\, m/s$,$t = 5\, s$,$g = 9.8\, m/s^2$,અને $J = 4.2\, J/cal$.
કાપેલું અંતર $d = v \times t = 2\, m/s \times 5\, s = 10\, m$.
ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W = f_k \times d = (\mu_k mg) \times d$.
$W = 0.20 \times 2\, kg \times 9.8\, m/s^2 \times 10\, m = 39.2\, J$.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $Q = \frac{W}{J} = \frac{39.2\, J}{4.2\, J/cal} \approx 9.33\, cal$.

(D) ગતિ શરૂ કરવા માટે જરૂરી બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોય છે.
સીમાંત ઘર્ષણ $f_s = \mu_s R = \mu_s mg = 0.5 \times 60 \times 10 = 300\, N$.
તેથી લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F = 300\, N$ છે.
જ્યારે પદાર્થ ગતિમાં આવે છે,ત્યારે તેના પર ગતિક ઘર્ષણ બળ લાગે છે.
ગતિક ઘર્ષણ $f_k = \mu_k R = \mu_k mg = 0.4 \times 60 \times 10 = 240\, N$.
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = 300 - 240 = 60\, N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = ma$.
$60 = 60 \times a$.
તેથી,$a = 1\, m/s^2$.

(B) પદાર્થ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{f}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$ થાય.
અહીં $\mu = 0.2$ અને $g = 10 \, m/s^2$ આપેલ છે,તેથી પ્રતિપ્રવેગ $a = 0.2 \times 10 = 2 \, m/s^2$ મળે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં અંતિમ વેગ $v = 0$,પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \, m/s$ અને $a = 2 \, m/s^2$ છે:
$0 = (10)^2 - 2 \times 2 \times s$
$4s = 100$
$s = 25 \, m$.
આમ,પદાર્થ $25 \, m$ અંતર કાપ્યા પછી અટકી જશે.

(C) પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ એ લગાડેલા બળ અને ગતિક ઘર્ષણ બળના તફાવત જેટલું હોય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ: $F_{net} = ma$.
અહીં,$F_{net} = F - f_k$,જ્યાં $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$.
કિંમતો મૂકતા: $ma = F - \mu_k mg$.
$\mu_k$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\mu_k = \frac{F - ma}{mg}$.
આપેલ છે: $m = 10\, kg$,$F = 129.4\, N$,$a = 10\, m/s^2$,અને $g = 9.8\, m/s^2$.
$\mu_k = \frac{129.4 - (10 \times 10)}{10 \times 9.8} = \frac{129.4 - 100}{98} = \frac{29.4}{98} = 0.3$.
આમ,ગતિક ઘર્ષણાંક $0.3$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો:
$u = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \, m/s$.
જ્યારે કાર અટકે છે,ત્યારે અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
અવરોધક બળ એ ગતિક ઘર્ષણ છે $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$.
ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$ma = -f_k = -\mu_k mg$,તેથી પ્રતિપ્રવેગ $a = -\mu_k g$ મળે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 - (20)^2 = 2(-\mu_k g)s$.
$s = \frac{u^2}{2 \mu_k g} = \frac{20^2}{2 \times 0.5 \times 10} = \frac{400}{10} = 40 \, m$.

(A) ઘર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W = f_k \times S$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_k$ એ ગતિક ઘર્ષણ બળ છે અને $S$ એ સ્થાનાંતર છે.
સપાટી આડી હોવાથી,લંબબળ $N = mg$ થાય.
ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = \mu mg$ છે.
આપેલ છે: દળ $m = 50\, kg$,અંતર $S = 1\, m$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.2$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8\, m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 0.2 \times 50 \times 9.8 \times 1$.
$W = 10 \times 9.8 = 98\, J$.

(D) વાહનની ગતિઊર્જા $K = \frac{P^2}{2m}$ છે.
જ્યારે બ્રેક લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે ઘર્ષણ બળ $f = \mu mg$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય વાહનને સ્થિર કરે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K$
$f \cdot S = K$
$(\mu mg) \cdot S = \frac{P^2}{2m}$
અટકાવવા માટેના અંતર $S$ માટે ઉકેલતા:
$S = \frac{P^2}{2\mu m^2g}$

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ સપાટીની સાપેક્ષમાં ગતિમાં હોય,ત્યારે તેમની વચ્ચે લાગતા ઘર્ષણ બળને ગતિજ ઘર્ષણ અથવા ડાયનેમિક ફ્રિક્શન કહેવામાં આવે છે.
સ્થિત ઘર્ષણ ત્યારે લાગે છે જ્યારે સપાટીઓ વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ હોતી નથી.
સીમાંત ઘર્ષણ એ સ્થિત ઘર્ષણનું મહત્તમ મૂલ્ય છે,જે પદાર્થ ગતિ શરૂ કરે તે પહેલાં હોય છે.
લોટણ ઘર્ષણ ત્યારે ઉદ્ભવે છે જ્યારે કોઈ પદાર્થ સપાટી પર ગબડતો હોય.
તેથી,ગતિ દરમિયાન ઘર્ષણ માટેનો સાચો શબ્દ ડાયનેમિક ફ્રિક્શન છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 10 \, kg$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$,લગાડેલું બળ $F = 100 \, N$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$.
સૌ પ્રથમ,ઘર્ષણ બળની ગણતરી કરો: $f_k = \mu \cdot m \cdot g = 0.5 \times 10 \times 10 = 50 \, N$.
અહીં લગાડેલું બળ $F = 100 \, N$ એ ઘર્ષણ બળ $f_k = 50 \, N$ કરતા વધારે હોવાથી,બ્લોક ગતિ કરશે.
બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = 100 - 50 = 50 \, N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = m \cdot a$,તેથી પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{50}{10} = 5 \, m/s^2$.

(B) આ ઘટનાને ઘર્ષણના ખ્યાલ દ્વારા સમજાવી શકાય છે.
ગબડતું ઘર્ષણ (rolling friction) એ સપાટી પર ગબડતી વસ્તુની ગતિનો વિરોધ કરતું બળ છે.
સરકતું ઘર્ષણ (sliding friction) એ સપાટી પર સરકતી વસ્તુની ગતિનો વિરોધ કરતું બળ છે.
ગબડતું ઘર્ષણ એ સરકતા ઘર્ષણ કરતા ઘણું ઓછું હોવાથી,વસ્તુને સરકાવવા (ખેંચવા) કરતા ગબડાવવા માટે ઓછા બળની જરૂર પડે છે.
તેથી,આ વિધાન સાચું છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 2 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 6 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m/s$,સમય $t = 10 \, s$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v = u + at$.
અહીં ઘર્ષણને કારણે બ્લોકનો વેગ ઘટે છે,તેથી $v = u - at$.
કિંમતો મૂકતા: $0 = 6 - a(10) \Rightarrow a = 0.6 \, m/s^2$.
ઘર્ષણ બળ $f = ma = \mu mg$ છે.
તેથી,$\mu g = a \Rightarrow \mu = \frac{a}{g}$.
$g = 10 \, m/s^2$ લેતા,આપણને મળે છે $\mu = \frac{0.6}{10} = 0.06$.

(B) આપેલ છે: લગાડેલ બળ $F = 129.4 \, N$,દળ $m = 10 \, kg$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.3$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$.
બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = \mu mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $f_k = 0.3 \times 10 \times 9.8 = 29.4 \, N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = ma$.
$129.4 - 29.4 = 10 \times a$.
$100 = 10a$.
$a = 10 \, m/s^2$.

(B) ધારો કે પદાર્થને સમક્ષિતિજ સાથે $60^\circ$ ના ખૂણે $P$ જેટલા અચળ બળથી ખેંચવામાં આવે છે.
પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરે તે માટે,લાગુ પાડેલા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક એ ગતિક ઘર્ષણ બળ $F_k$ ને સંતુલિત કરવો જોઈએ.
$F_k = \mu R$,જ્યાં $R$ એ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ છે.
મુક્ત પદાર્થ આકૃતિ $(FBD)$ પરથી,શિરોલંબ બળો સંતુલિત છે: $R + P \sin 60^\circ = mg \implies R = mg - P \sin 60^\circ$.
સમક્ષિતિજ બળો સંતુલિત છે: $P \cos 60^\circ = F_k = \mu(mg - P \sin 60^\circ)$.
કિંમતો મૂકતા: $P \cos 60^\circ = 0.5(60 \times 9.8 - P \sin 60^\circ)$.
$P(0.5) = 0.5(588 - P \times 0.866)$.
$P = 588 - 0.866P \implies 1.866P = 588 \implies P \approx 315.11 \, N$.
ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W = F_k \times s = (P \cos 60^\circ) \times s$.
$W = (315.11 \times 0.5) \times 2 = 315.11 \, J$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,થયેલું કાર્ય $315 \, J$ છે.

(D) આપેલ છે: કારનું દળ $m = 1000\, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 30\, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0\, m/s$,ઘર્ષણ બળ $F = 5000\, N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{5000\, N}{1000\, kg} = 5\, m/s^2$ મળે છે.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u - at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t$ એ કારને સ્થિર થવા માટે લાગતો સમય છે.
કિંમતો મૂકતા: $0 = 30 - 5 \times t$.
$5t = 30$.
$t = \frac{30}{5} = 6\, s$.
આમ,કાર $6\, s$ માં સ્થિર થઈ જશે.

(A) આપેલ છે: દળ $M = 5\,kg$,ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.2$,લગાડેલ બળ $F = 40\,N$,ખૂણો $\theta = 30^\circ$,અને $g = 10\,m/s^2$.
બ્લોક પરનું લંબબળ $R$ એ $R = Mg - F\sin 30^\circ$ દ્વારા મળે છે.
$R = (5 \times 10) - (40 \times \sin 30^\circ) = 50 - (40 \times 0.5) = 50 - 20 = 30\,N$.
ગતિજ ઘર્ષણ બળ $f_k$ એ $f_k = \mu_k R$ દ્વારા મળે છે.
$f_k = 0.2 \times 30 = 6\,N$.
સમક્ષિતિજ દિશામાં બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F\cos 30^\circ - f_k$ છે.
$F_{net} = (40 \times \cos 30^\circ) - 6 = (40 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) - 6 = 20\sqrt{3} - 6$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,$F_{net} = 20(1.732) - 6 = 34.64 - 6 = 28.64\,N$.
બ્લોકનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{M} = \frac{28.64}{5} = 5.728\,m/s^2 \approx 5.73\,m/s^2$ થાય.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 6\,m/s$
અંતિમ વેગ $v = 0\,m/s$
અંતર $s = 9\,m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અથવા ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 = u^2 + 2as$
$0 = (6)^2 + 2a(9)$
$0 = 36 + 18a$
$a = -2\,m/s^2$
અવરોધક બળ ઘર્ષણને કારણે છે,તેથી $F = ma = \mu mg$.
આમ,$\mu g = |a|$.
$\mu = \frac{|a|}{g} = \frac{2}{10} = 0.2$.
વૈકલ્પિક રીતે,$s = \frac{u^2}{2\mu g}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{u^2}{2gs} = \frac{6^2}{2 \times 10 \times 9} = \frac{36}{180} = 0.2$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 100\, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0\, m/s$,ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.5$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K$
$-f_k \cdot s = 0 - \frac{1}{2} m u^2$
$-(\mu_k m g) s = -\frac{1}{2} m u^2$
$s = \frac{u^2}{2 \mu_k g}$
કિંમતો મૂકતા:
$s = \frac{(100)^2}{2 \times 0.5 \times 10} = \frac{10000}{10} = 1000\, m$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય નળાકારની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K$
$-f_k \cdot s = K_f - K_i$
અંતિમ વેગ $0$ હોવાથી,અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 0$ થશે.
$-\mu_k \cdot m \cdot g \cdot s = 0 - \frac{1}{2} m v^2$
$\mu_k \cdot m \cdot g \cdot s = \frac{1}{2} m v^2$
$s = \frac{v^2}{2 \mu_k g}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $v = 10 \, m/s$,$\mu_k = 0.5$,અને $g = 10 \, m/s^2$.
$s = \frac{(10)^2}{2 \times 0.5 \times 10} = \frac{100}{10} = 10 \, m$.

(C) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ચાલે છે,ત્યારે તે તેના પગ વડે જમીનને પાછળની તરફ ધકેલે છે.
પ્રતિક્રિયા રૂપે,જમીન તે વ્યક્તિ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયા બળ લગાડે છે.
આ પ્રતિક્રિયા બળનો શિરોલંબ ઘટક વ્યક્તિના વજનને સંતુલિત કરે છે,જેથી તે ઊભી દિશામાં ગતિ કરતો નથી.
આ પ્રતિક્રિયા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક (જે સ્થિત ઘર્ષણ બળ છે) આગળની દિશામાં કાર્ય કરે છે અને વ્યક્તિને આગળ ધકેલે છે.
તેથી,જમીન દ્વારા વ્યક્તિ પર લગાડવામાં આવતું પ્રતિક્રિયા બળ તેની આગળની ગતિ માટે જવાબદાર છે.
આથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) બ્લોક પર લાગતા બળો આ મુજબ છે: સમક્ષિતિજ સાથે $60^\circ$ ના ખૂણે લાગતું બળ $F$,વજન $W = mg$,લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$ અને ઘર્ષણ બળ $f$.
બળ $F$ ના ઘટકો પાડતા:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $F_x = F \cos 60^\circ$
શિરોલંબ ઘટક: $F_y = F \sin 60^\circ$
શિરોલંબ સંતુલન માટે:
$R = W + F \sin 60^\circ$
અહીં $m = \sqrt{3} \ kg$ અને $g = 10 \ m/s^2$ હોવાથી,$W = mg = 10\sqrt{3} \ N$.
તેથી,$R = 10\sqrt{3} + F \sin 60^\circ = 10\sqrt{3} + F \frac{\sqrt{3}}{2}$.
બ્લોક ગતિ ન કરે તે માટે,લાગુ પાડેલા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ:
$F \cos 60^\circ \leq \mu R$
$F \cos 60^\circ \leq \mu (W + F \sin 60^\circ)$
કિંમતો મૂકતા $\mu = \frac{1}{2\sqrt{3}}$,$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,અને $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$F \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{3}} (10\sqrt{3} + F \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$
$F \cdot \frac{1}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} + \frac{F \sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$
$F \cdot \frac{1}{2} = 5 + \frac{F}{4}$
$F \cdot \frac{1}{2} - \frac{F}{4} = 5$
$\frac{F}{4} = 5$
$F = 20 \ N$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 10\,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 10\,m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0\,m/s$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$.
નળાકાર પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = \mu mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{f_k}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $a = 0.5 \times 10 = 5\,m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = (10)^2 - 2(5)s$
$0 = 100 - 10s$
$10s = 100$
$s = 10\,m$.
આમ,નળાકાર અટકતા પહેલા $10\,m$ અંતર કાપશે.

(B) જ્યારે આપણે આપણી હથેળીઓને ઘસીએ છીએ,ત્યારે ઘર્ષણને કારણે યાંત્રિક કાર્ય ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
જેમ જેમ હથેળીનું તાપમાન વધે છે,તેમ તે આખરે આસપાસના વાતાવરણના તાપમાન કરતા વધી જાય છે.
એકવાર હથેળીનું તાપમાન આસપાસના તાપમાન કરતા વધારે થઈ જાય,પછી ઉષ્મા વહન અને ઉષ્મા નયન દ્વારા હથેળીમાંથી વાતાવરણમાં ગરમી વહેવાનું શરૂ થાય છે.
જ્યારે ઘસવાથી ઉત્પન્ન થતી ગરમીનો દર અને વાતાવરણમાં ગુમાવાતી ગરમીનો દર સમાન થાય છે,ત્યારે હથેળીઓ સ્થિર મહત્તમ તાપમાન પ્રાપ્ત કરે છે.

(D) $v$ વેગ સાથે ગતિ કરતા $M$ દળના વાહનની ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} Mv^2$ છે.
જો $S$ એ અટકાયત અંતર હોય,તો ઘર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = F_f S \cos(180^\circ) = -\mu MgS$ થાય.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થતું કાર્ય એ ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = K_f - K_i$.
કિંમતો મૂકતા: $-\mu MgS = 0 - \frac{1}{2} Mv^2$.
$S$ માટે ઉકેલતા: $S = \frac{v^2}{2\mu g}$.

(A) બ્લોક ગતિ ન કરે તે માટે,લાગુ પાડવામાં આવેલ સમક્ષિતિજ બળ એ સીમિત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
લાગુ પાડેલા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $F_x = F \cos 60^{\circ} = F/2$ છે.
બ્લોક પર લાગતા ઉર્ધ્વ બળો વજન $W = mg = \sqrt{3}g$ ($g = 10 \ m/s^2$ લેતા,$W = 10\sqrt{3} \ N$) અને લાગુ પાડેલા બળનો ઉર્ધ્વ ઘટક $F_y = F \sin 60^{\circ} = F\sqrt{3}/2$ છે.
લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R = W + F \sin 60^{\circ} = 10\sqrt{3} + F\sqrt{3}/2$ છે.
સીમિત ઘર્ષણ બળ $f_L = \mu R = \frac{1}{2\sqrt{3}} (10\sqrt{3} + \frac{F\sqrt{3}}{2})$ છે.
બ્લોક સ્થિર રહે તે માટે,$F \cos 60^{\circ} \le f_L$.
મહત્તમ બળ શોધવા માટે $F \cos 60^{\circ} = f_L$ લેતા:
$\frac{F}{2} = \frac{1}{2\sqrt{3}} (10\sqrt{3} + \frac{F\sqrt{3}}{2})$
$\frac{F}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} + \frac{F\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$
$\frac{F}{2} = 5 + \frac{F}{4}$
$\frac{F}{2} - \frac{F}{4} = 5$
$\frac{F}{4} = 5 \implies F = 20 \ N$.

(D) ગતિ શરૂ કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ એ સીમાંત સ્થિત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોય છે: $F_{lim} = \mu_s N = \mu_s mg$.
આપેલ છે કે $F_{lim} = 64 \, N$ અને $\mu_s = 0.6$,તેથી $64 = 0.6 \times m \times g$,જેના પરથી દળ $m = \frac{64}{0.6g}$ મળે છે.
એકવાર બ્લોક ગતિમાં આવી જાય,પછી તેના પર લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $f_k = 0.4 \times m \times g = 0.4 \times \left( \frac{64}{0.6g} \right) \times g = 0.4 \times \frac{64}{0.6} = \frac{25.6}{0.6} = \frac{128}{3} \approx 42.67 \, N$.
બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_{applied} - f_k = 64 - \frac{128}{3} = \frac{192 - 128}{3} = \frac{64}{3} \, N$.
પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{64/3}{64/(0.6g)} = \frac{64}{3} \times \frac{0.6g}{64} = \frac{0.6g}{3} = 0.2g$.

(A) ઘર્ષણ બળ $f_k$ એ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\mu_k = 0.2$,$m = 50\, kg$,$g = 9.8\, m/s^2$,અને સ્થાનાંતર $s = 1\, m$.
ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W = f_k \times s$ છે.
$W = \mu_k mg s = 0.2 \times 50 \times 9.8 \times 1$.
$W = 10 \times 9.8 = 98\, J$.

(B) તંત્ર અચળ વેગથી ગતિ કરે તે માટે,તંત્ર પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે દોરીમાં રહેલું તણાવ બળ,બ્લોક ${M_1}$ પર લાગતા ઘર્ષણ બળ અને બ્લોક ${M_2}$ ના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
સંયુક્ત દળ $(M_1 + m)$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu (M_1 + m)g$ છે.
દોરીમાં તણાવ $T$ એ લટકતા બ્લોકના વજન જેટલું છે,$T = M_2 g$.
અચળ વેગ માટે,$T = f$,તેથી:
$M_2 g = \mu (M_1 + m)g$
$M_2 = \mu (M_1 + m)$
$\frac{M_2}{\mu} = M_1 + m$
$m = \frac{M_2}{\mu} - M_1$

(C) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે અને દોરીમાં તણાવ $T$ છે.
ક્ષિતિજ સપાટી પર રહેલા બ્લોક $m_2$ $(20\,kg)$ માટે:
ગતિનું સમીકરણ $T - F_f = m_2 a$ છે,જ્યાં $F_f = \mu m_2 g$.
$T - 0.03 \times 20 \times 10 = 20a$
$T - 6 = 20a$ ... $(i)$
લટકતા બ્લોક $m_1$ $(4\,kg)$ માટે:
ગતિનું સમીકરણ $m_1 g - T = m_1 a$ છે.
$4 \times 10 - T = 4a$
$40 - T = 4a$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(T - 6) + (40 - T) = 20a + 4a$
$34 = 24a$
$a = \frac{34}{24} = \frac{17}{12} \approx 1.416\,m/s^{2}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,પ્રવેગ $1.4\,m/s^{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 2 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 6 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m/s$,સમય $t = 10 \, s$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v = u + at$.
અહીં ઘર્ષણને કારણે બ્લોકનો વેગ ઘટે છે,તેથી $v = u - at$.
અહીં,ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$,તેથી પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{f}{m} = \mu g$.
કિંમતો મૂકતા: $0 = 6 - (\mu \times 10) \times 10$.
$100 \mu = 6$.
$\mu = \frac{6}{100} = 0.06$.

(D) માણસ દ્વારા થાંભલા પર લગાડવામાં આવતું લંબબળ $N = 600 \, N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,થાંભલો માણસ પર એટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં લંબબળ $R = 600 \, N$ લગાડે છે.
માણસ પર ઉપરની દિશામાં લાગતું ઘર્ષણબળ $f = \mu R$ છે,જ્યાં $\mu = 0.5$ છે.
$f = 0.5 \times 600 = 300 \, N$.
માણસનું વજનબળ નીચેની દિશામાં $W = mg = 60 \times 10 = 600 \, N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ નીચેની દિશામાં: $W - f = ma$.
$600 - 300 = 60 \times a$.
$300 = 60a$.
$a = \frac{300}{60} = 5 \, m/s^2$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = V$,અંતિમ વેગ $v = 0$.
બ્લોક પર લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ $f = \mu R = \mu mg$ છે,જ્યાં $m$ એ બ્લોકનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,આ ઘર્ષણને કારણે ઉત્પન્ન થતો પ્રતિપ્રવેગ $a$ છે:
$a = \frac{f}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u - at$ (જ્યાં $a$ એ પ્રતિપ્રવેગ છે):
$0 = V - (\mu g)t$
$V = \mu gt$
$t = \frac{V}{\mu g}$.

(A) બોક્સને ગતિશીલ બેલ્ટ પર મૂકવામાં આવે છે. શરૂઆતમાં,બોક્સ જમીનની સાપેક્ષમાં સ્થિર છે,પરંતુ બેલ્ટ $v = 2\, m s^{-1}$ ની ઝડપે ગતિ કરે છે.
બેલ્ટની સાપેક્ષમાં,બોક્સનો પ્રારંભિક વેગ $u_{rel} = 2\, m s^{-1}$ છે.
બોક્સ પર લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ છે.
બેલ્ટની સાપેક્ષમાં બોક્સનો પ્રવેગ $a = \frac{f}{m} = \mu g = 0.5 \times 10 = 5\, m s^{-2}$ છે.
ઘર્ષણ બળ સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરતું હોવાથી,બોક્સ બેલ્ટની સાપેક્ષમાં ત્યાં સુધી ધીમું પડશે જ્યાં સુધી તેનો બેલ્ટની સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય ન થાય.
ગતિના સમીકરણ $v_{rel}^2 = u_{rel}^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v_{rel} = 0$:
$0^2 = 2^2 - 2(5)s$
$10s = 4$
$s = 0.4\, m$.

(B) ઘર્ષણ બળ અને લંબ પ્રતિક્રિયા શોધવા માટે,આપણે લાગુ પાડેલા બળ $F = 28.2 \,N$ ને તેના ક્ષૈતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ.
ક્ષૈતિજ ઘટક: $F_x = F \cos 45^\circ = 28.2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 28.2 \times 0.707 \approx 20 \,N$.
પદાર્થ માત્ર ગતિમાં આવે છે,તેથી ઘર્ષણ બળ $f$ એ લાગુ પાડેલા બળના ક્ષૈતિજ ઘટક જેટલું હોય છે: $f = 20 \,N$.
શિરોલંબ ઘટક: $F_y = F \sin 45^\circ = 28.2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 28.2 \times 0.707 \approx 20 \,N$.
લંબ પ્રતિક્રિયા $R$ એ શિરોલંબ બળોના સંતુલન દ્વારા મળે છે: $R + F_y = W$,જ્યાં $W = 50 \,N$ એ પદાર્થનું વજન છે.
$R = W - F_y = 50 \,N - 20 \,N = 30 \,N$.
આમ,ઘર્ષણ બળ $20 \,N$ છે અને લંબ પ્રતિક્રિયા $30 \,N$ છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1$ kg,પ્રારંભિક વેગ $u = 2$ m/s,અંતિમ વેગ $v = 0$ m/s,સમય $t = 10$ s.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રવેગ $a$ શોધીએ છીએ:
$0 = 2 + a(10)$
$10a = -2$
$a = -0.2$ m/s$^2$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ઘર્ષણ બળ $F = ma$ દ્વારા મળે છે:
$F = 1 \times (-0.2) = -0.2$ $N$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઘર્ષણ બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.

(B) જ્યારે લિફ્ટ અચળ વેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $a = 0$ થાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$M$ દળની વસ્તુ પર લાગતું લંબબળ $R$ એ વસ્તુના વજન બળ જેટલું હોય છે.
$R = Mg$
ઘર્ષણ અવરોધ $F$ એ સૂત્ર $F = \mu R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $F = \mu Mg$ મળે છે.

(D) પદાર્થ પર લાગતું ગતિજ ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_k$ એ ગતિજ ઘર્ષણાંક છે અને $N$ એ લંબબળ છે.
પદાર્થ સમક્ષિતિજ જમીન પર ગતિ કરતો હોવાથી,લંબબળ $N = mg$ થાય.
તેથી,$f_k = \mu_k mg$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ઘર્ષણ બળને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રતિપ્રવેગ $a$ માટે $f_k = ma$ થાય.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $ma = \mu_k mg$.
આથી $a = \mu_k g$ મળે.
અહીં $\mu_k = 0.2$ અને $g = 9.8\;m/s^2$ લેતા,$a = 0.2 \times 9.8 = 1.96\;m/s^2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 5 \, kg$,બળ $F = 19.6 \, N$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$.
પદાર્થ અચળ વેગથી સરકતો હોવાથી,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
આનો અર્થ એ છે કે લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F$ એ ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k$ જેટલું છે.
$f_k = F = 19.6 \, N$.
આડી સપાટી પર લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R = mg = 5 \times 9.8 = 49 \, N$ છે.
સરકતા ઘર્ષણનો ગુણાંક $\mu_k$ સૂત્ર $\mu_k = \frac{f_k}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\mu_k = \frac{19.6}{49} = 0.4$.

(D) ધારો કે બેલ્ટ ડાબી તરફ $v_b = -4 \, m/s$ થી ગતિ કરે છે અને બ્લોક જમણી તરફ $v_{block,g} = 2 \, m/s$ થી ફેંકવામાં આવે છે.
બેલ્ટની સાપેક્ષે બ્લોકનો સાપેક્ષ વેગ $v_{block,b} = v_{block,g} - v_b = 2 - (-4) = 6 \, m/s$ છે.
બ્લોક $t = 4 \, s$ પછી બેલ્ટ પર સરકવાનું બંધ કરે છે,એટલે કે બેલ્ટની સાપેક્ષે તેનો અંતિમ વેગ $v_f = 0$ છે.
$v_f = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = 6 + a(4)$,તેથી $a = -1.5 \, m/s^2$ (બેલ્ટની સાપેક્ષે).
બેલ્ટની સાપેક્ષે સ્થાનાંતર: $S_b = u_{rel}t + 0.5at^2 = 6(4) + 0.5(-1.5)(4^2) = 24 - 12 = 12 \, m$.
જમીનની સાપેક્ષે બેલ્ટનું સ્થાનાંતર: $S_{belt,g} = v_b \times t = -4 \times 4 = -16 \, m$.
જમીનની સાપેક્ષે બ્લોકનું સ્થાનાંતર: $S_{block,g} = S_b + S_{belt,g} = 12 - 16 = -4 \, m$. તેનું મૂલ્ય $4 \, m$ છે.
જમીનની સાપેક્ષે સ્થાનાંતર શૂન્ય થવા માટે: $S_{block,g}(t) = (v_{block,g})t + 0.5a_g t^2 = 0$. અહીં $a_g = a = -1.5 \, m/s^2$ હોવાથી,$2t - 0.75t^2 = 0 \Rightarrow t(2 - 0.75t) = 0 \Rightarrow t = 2/0.75 = 8/3 \, s$.

(B) ધારો કે સળિયો $x = 0$ થી $x = L$ સુધી વિસ્તરેલો છે. બળ $F$ એ $x = L$ પર લગાડવામાં આવે છે. $x$ સ્થાન પરના $dx$ ઘટક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $df = \mu(x) \cdot dm \cdot g = (Kx) \cdot (M/L) dx \cdot g$ છે.
સળિયાને સંતુલનમાં રાખવા માટે જરૂરી કુલ ઘર્ષણ બળ $F$ એ $0$ થી $L$ સુધીનું $df$ નું સંકલન છે:
$F = \int_{0}^{L} \frac{MgK}{L} x dx = \frac{MgK}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{MgKL}{2}$.
આમ,$K = \frac{2F}{MgL}$.
હવે,મધ્યબિંદુ $x = L/2$ પર તણાવ $T$ ધ્યાનમાં લો. તણાવ $T$ એ $x = 0$ થી $x = L/2$ સુધીના ભાગ પર લાગતા કુલ ઘર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે:
$T = \int_{0}^{L/2} \frac{MgK}{L} x dx = \frac{MgK}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L/2} = \frac{MgK}{L} \cdot \frac{L^2}{8} = \frac{MgKL}{8}$.
$T$ ના સમીકરણમાં $K = \frac{2F}{MgL}$ મૂકતા:
$T = \frac{MgL}{8} \cdot \left( \frac{2F}{MgL} \right) = \frac{2F}{8} = \frac{F}{4}$.

(B) બ્લોકને $v_0$ વેગથી જમણી તરફ ફેંકવામાં આવે છે. કન્વેયર બેલ્ટ $v$ વેગથી ડાબી તરફ ગતિ કરે છે. બ્લોક પર ઘર્ષણ બળ ડાબી તરફ લાગે છે,જે $a = \mu g$ જેટલો પ્રતિપ્રવેગ આપે છે.
બ્લોક છેડા $B$ સુધી પહોંચે તે માટે,બેલ્ટની સાપેક્ષે તેનો વેગ છેડા $B$ પર શૂન્ય થવો જોઈએ.
બેલ્ટની સાપેક્ષે બ્લોકનો પ્રારંભિક વેગ $v_{rel} = v_0 + v$ (જમણી તરફ) થશે.
બેલ્ટની સાપેક્ષે બ્લોકનો પ્રતિપ્રવેગ $a = \mu g$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v_f^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v_f = 0$,$u = v_0 + v$,અને $s = L$:
$0 = (v_0 + v)^2 - 2(\mu g)L$
$(v_0 + v)^2 = 2\mu gL$
$v_0 + v = \sqrt{2\mu gL}$
$v_0 = \sqrt{2\mu gL} - v$
જો બેલ્ટ સ્થિર હોય $(v=0)$,તો લઘુત્તમ વેગ $\sqrt{2\mu gL}$ થાય. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,આ પ્રશ્ન એવા કિસ્સાને સૂચવે છે જ્યાં બેલ્ટનો વેગ $v$ અવગણ્ય હોય અથવા સાપેક્ષ વેગની શરત સ્થિર સપાટી માટેના કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ સરળ બનાવવામાં આવી હોય.

(A) બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N = mg$ છે.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = (cx)mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{f}{m} = \frac{(cx)mg}{m} = cgx$ થાય.
બ્લોકનો વેગ ઘટતો હોવાથી,$a = v \frac{dv}{dx} = -cgx$ લખી શકાય.
ચલને અલગ કરીને પ્રારંભિક વેગ $u$ થી અંતિમ વેગ $0$ સુધી $x$ અંતર માટે સંકલન કરતા:
$\int_{u}^{0} v \, dv = \int_{0}^{x} -cgx \, dx$
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{u}^{0} = -cg \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x}$
$0 - \frac{u^2}{2} = -cg \frac{x^2}{2}$
$\frac{u^2}{2} = \frac{cgx^2}{2}$
$x^2 = \frac{u^2}{cg}$
$x = \frac{u}{\sqrt{cg}}$

(D) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = ma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ બ્લોકનું દળ છે અને $a$ એ તેનો પ્રવેગ છે.
જ્યારે પદાર્થનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય ત્યારે વેગ મહત્તમ હોય છે,જેનો અર્થ એ છે કે પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ પણ શૂન્ય છે.
આ સિસ્ટમમાં,બ્લોક પર લાગતા બળો સ્પ્રિંગ બળ અને ગતિજ ઘર્ષણ બળ છે. બ્લોક તે બિંદુએ તેનો મહત્તમ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે જ્યાં સ્પ્રિંગ બળ ઘર્ષણ બળ દ્વારા બરાબર સંતુલિત થાય છે,જેના પરિણામે પરિણામી બળ શૂન્ય થાય છે અને પરિણામે પ્રવેગ પણ શૂન્ય થાય છે.

(A) ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_f = -\int \mu N \, ds$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માર્ગ $1$ માટે,સપાટી બહિર્ગોળ છે,તેથી લંબબળ $N_1 = mg \cos \theta - \frac{mv^2}{r}$ છે.
માર્ગ $2$ માટે,સપાટી અંતર્ગોળ છે,તેથી લંબબળ $N_2 = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{r}$ છે.
$N_2 > N_1$ હોવાથી,ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ માર્ગ $2$ પર માર્ગ $1$ કરતા વધારે છે.
ઘર્ષણની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય માર્ગ $2$ પર વધારે હોવાથી,માર્ગ $2$ પર વધુ યાંત્રિક ઉર્જા ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થાય છે.
તેથી,બિંદુ $B$ પર અંતિમ ગતિ ઉર્જા અને ઝડપ માર્ગ $1$ માટે વધારે હશે.

(D) બ્લોક પર ઉભી દિશામાં લાગતા બળોમાં લાગુ પાડેલ બળનો ઉભો ઘટક $F \cos \theta$,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$,અને ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N$ છે. અહીં લંબબળ $N = F \sin \theta$ છે.
ઉભી દિશામાં પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = F \cos \theta - mg - \mu F \sin \theta = m \frac{dv}{dt}$ છે.
ગતિના સમીકરણનું $t=0$ થી $t_0$ સુધી સંકલન કરતા (જ્યાં $\theta = \theta_0 t_0 = \frac{\pi}{2}$):
$\int_{0}^{v_f} m dv = \int_{0}^{t_0} (F \cos(\theta_0 t) - mg - \mu F \sin(\theta_0 t)) dt$.
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને $t_0$ સમયે સ્થિર થાય છે,તેથી વેગમાં ફેરફાર શૂન્ય છે:
$0 = \int_{0}^{\pi/2} (F \cos \theta - mg - \mu F \sin \theta) \frac{d\theta}{\theta_0}$.
$0 = \frac{F}{\theta_0} [\sin \theta]_0^{\pi/2} - \frac{mg}{\theta_0} [\theta]_0^{\pi/2} - \frac{\mu F}{\theta_0} [-\cos \theta]_0^{\pi/2}$.
$0 = \frac{F}{\theta_0} (1) - \frac{mg}{\theta_0} (\frac{\pi}{2}) - \frac{\mu F}{\theta_0} (0 - (-1))$.
$0 = F - mg \frac{\pi}{2} - \mu F$.
$F(1 - \mu) = \frac{mg \pi}{2}$.
$F = \frac{mg \pi}{2(1 - \mu)}$.