Kinetic Friction and Motion on Rough Horizontal Surface Questions in Gujarati

(D) બાળક દોરડા પર નીચે તરફ સરકે છે,તેથી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચેની તરફ અને ઘર્ષણ બળ ઉપરની તરફ લાગે છે.
આપેલ છે:
બાળકનું દળ,$m = 25 \,kg$
ઘર્ષણ બળ,$f_s = 200 \,N$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \,m/s^2$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ:
$mg - f_s = ma$
કિંમતો મૂકતા:
$(25 \times 10) - 200 = 25 \times a$
$250 - 200 = 25a$
$50 = 25a$
$a = 2 \,m/s^2$
આમ,બાળકની પ્રવેગ $2 \,m/s^2$ છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1 \,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 8 \,m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \,m/s$,સમય $t = 10 \,s$.
સૌ પ્રથમ,ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને પ્રતિપ્રવેગ (મંદન) $a$ શોધીએ.
$0 = 8 + a(10) \implies a = -0.8 \,m/s^2$.
પદાર્થ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = ma = 1 \times 0.8 = 0.8 \,N$ છે.
પદાર્થને $8 \,m/s$ ના અચળ વેગથી ગતિશીલ રાખવા માટે,લગાડવામાં આવતું બાહ્ય બળ $F$ એ ઘર્ષણ બળ $f$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$F = f = 0.8 \,N$.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 4 \, m/s$
અંતિમ વેગ $v = 0 \, m/s$
સમય $t = 8 \, s$
ઘર્ષણ બળ $f = 10 \, N$
સૌ પ્રથમ,ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગ (મંદન) શોધો:
$0 = 4 + a(8)$
$8a = -4$
$a = -0.5 \, m/s^2$
પ્રવેગનું મૂલ્ય $0.5 \, m/s^2$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$f = ma$:
$10 = m \times 0.5$
$m = \frac{10}{0.5}$
$m = 20 \, kg$
તેથી,બોક્સનું દળ $20 \, kg$ છે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
જ્યારે કારનું એન્જિન પૈડાંને ફેરવે છે,ત્યારે પૈડાં રસ્તા પર પાછળની દિશામાં બળ લગાડે છે.
ન્યૂટનના ગતિના $3^{rd}$ નિયમ મુજબ,રસ્તો પૈડાં પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં આગળની તરફ બળ લગાડે છે.
રસ્તા દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતા આ ઘર્ષણ બળને કારણે જ કાર સમક્ષિતિજ સપાટી પર પ્રવેગિત થાય છે.

(A) બ્લોકનો પ્રતિપ્રવેગ $a$ એ $a = \frac{dv}{dt} = -\mu g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણનું સંકલન કરતા,આપણને $\Delta v = v_f - v_i = -g \int_{0}^{4} \mu \,dt$ મળે છે.
પદ $\int_{0}^{4} \mu \,dt$ એ $t = 0$ થી $t = 4 \,s$ સુધીના $\mu-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે.
આ ક્ષેત્રફળમાં $t = 0$ થી $2 \,s$ સુધીનો લંબચોરસ અને $t = 2$ થી $4 \,s$ સુધીનો સમલંબ ચતુષ્કોણનો સમાવેશ થાય છે.
ક્ષેત્રફળ $= (2 \times 0.5) + \frac{1}{2} \times (0.5 + 0.3) \times (4 - 2) = 1 + 0.8 = 1.8$.
હવે,વેગના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$v_f - 20 = -10 \times (1.8) = -18$.
$v_f = 20 - 18 = 2 \,m/s$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 40\,kg$,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_{s} = 0.5$,ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu_{k} = 0.4$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$.
બળ $P$ એ ગતિ શરૂ કરવા માટે પૂરતું છે,તેથી તે સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલું હશે:
$P = f_{s,max} = \mu_{s} N = \mu_{s} mg$.
જ્યારે પદાર્થ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે તેના પર ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_{k}$ લાગે છે:
$f_{k} = \mu_{k} N = \mu_{k} mg$.
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net}$:
$F_{net} = P - f_{k} = \mu_{s} mg - \mu_{k} mg = m(\mu_{s} - \mu_{k})g$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = ma$:
$ma = m(\mu_{s} - \mu_{k})g$.
તેથી,પ્રવેગ $a$:
$a = (\mu_{s} - \mu_{k})g$.
કિંમતો મૂકતા:
$a = (0.5 - 0.4) \times 10 = 0.1 \times 10 = 1\,m/s^2$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 10\,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 20\,m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0\,m/s$,સમય $t = 5\,s$,અને $g = 10\,m/s^2$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રવેગ $a$ શોધી શકીએ છીએ:
$0 = 20 + a(5) \implies 5a = -20 \implies a = -4\,m/s^2$.
અવરોધક બળ ઘર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,તેથી $F_f = ma = -\mu mg$.
આમ,$-\mu g = a$.
$-\mu(10) = -4$.
$\mu = \frac{4}{10} = 0.4$.

(C) ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $S = 50\,m$,$u = 0\,m/s$,અને $t = 10\,s$ છે:
$50 = 0 + \frac{1}{2} \times a \times (10)^2$
$50 = 50a$
$a = 1\,m/s^2$
હવે,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ચોખ્ખું બળ $F - f_k = ma$ છે,જ્યાં $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$:
$30 - \mu_k \times 5 \times 10 = 5 \times 1$
$30 - 50\mu_k = 5$
$50\mu_k = 25$
$\mu_k = \frac{25}{50} = 0.50$

(C) આપેલ છે:
દળ $m = 100 \ kg$
અંતર $s = 10 \ m$
ઘર્ષણાંક $\mu = 0.4$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$ (પ્રમાણિત મૂલ્ય લેતા).
ઘર્ષણ બળ $f$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \mu N = \mu mg$
$f = 0.4 \times 100 \times 10 = 400 \ N$
ઘર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W$ નીચે મુજબ મળે:
$W = f \times s$
$W = 400 \times 10 = 4000 \ J$
આમ,ઘર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $4000 \ J$ છે.

(C) ટ્રોલીનું દળ $m_1 = 20 \text{ kg}$ છે અને લટકતા બ્લોકનું દળ $m_2 = 6 \text{ kg}$ છે.
ટ્રોલી પર લાગતું લંબબળ $N = m_1 g = 20 \times 10 = 200 \text{ N}$ છે.
ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = 0.04 \times 200 = 8 \text{ N}$ છે.
ડ્રાઇવિંગ ફોર્સ એ લટકતા બ્લોકનું વજન છે,$F = m_2 g = 6 \times 10 = 60 \text{ N}$.
સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $F - f_k = (m_1 + m_2) a$.
$60 - 8 = (20 + 6) a$.
$52 = 26 a$.
$a = \frac{52}{26} = 2 \text{ m/s}^2$.

(B) ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f_k = \mu_k N$
જ્યાં $\mu_k$ એ ગતિક ઘર્ષણાંક છે અને $N$ એ લંબબળ છે।
સમક્ષિતિજ સપાટી પર રહેલા બોક્સ માટે, લંબબળ $N$ એ બોક્સના વજન $mg$ જેટલું હોય છે।
આપેલ છે:
દળ $m = 50 \,kg$
ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.3$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \,m/s^2$
લંબબળની ગણતરી:
$N = mg = 50 \times 9.8 = 490 \,N$
ગતિક ઘર્ષણ બળની ગણતરી:
$f_k = 0.3 \times 490 = 147 \,N$

(B) તંત્ર સંતુલનમાં રહે (ગતિ અટકી જાય) તે માટે,બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ.
લટકતા દળ $m_1$ માટે: $T = m_1 g = 10 \times 10 = 100 \text{ N}$.
આડી સપાટી પર રહેલા સંયુક્ત દળ $(m + m_2)$ માટે,સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_L$ એ તણાવ બળ $T$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$f_L = T$
$\mu N = T$
$\mu (m + m_2) g = 100$
$0.15 \times (m + 20) \times 10 = 100$
$1.5 (m + 20) = 100$
$m + 20 = \frac{100}{1.5} = \frac{1000}{15} = \frac{200}{3}$
$m = \frac{200}{3} - 20 = \frac{200 - 60}{3} = \frac{140}{3} \text{ kg}$.

(D) ફાયરમેન પર લાગતા બળોમાં તેનું વજન $W = mg$ નીચેની તરફ અને ઘર્ષણ બળ $f = \mu R$ ઉપરની તરફ લાગે છે,જ્યાં $R$ એ ફાયરમેન દ્વારા થાંભલા પર લગાડવામાં આવતું લંબબળ છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 60 \ kg$
લંબબળ $R = 600 \ N$
ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$
નીચેની તરફ લાગતું પરિણામી બળ $F_{\text{net}}$ નીચે મુજબ છે:
$F_{\text{net}} = mg - f = mg - \mu R$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{\text{net}} = ma$:
$ma = mg - \mu R$
$a = \frac{mg - \mu R}{m}$
કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{60 \times 10 - 0.5 \times 600}{60}$
$a = \frac{600 - 300}{60}$
$a = \frac{300}{60} = 5 \ m/s^2$
આમ,ફાયરમેન $5 \ m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતરશે.

(A) ધારો કે $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવતા બળનું મહત્તમ મૂલ્ય છે જેથી $m = \sqrt{3} \ kg$ દળનો બ્લોક ખરબચડી સપાટી પર ગતિ ન કરે.
$R$ એ સપાટી દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ છે.
બળોને શિરોલંબ દિશામાં ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$R = F \sin 60^{\circ} + mg$
બળોને સમક્ષિતિજ દિશામાં ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા,સીમાંત ઘર્ષણ $f = \mu R$ એ લાગુ પાડેલા બળના સમક્ષિતિજ ઘટક $F \cos 60^{\circ}$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$f = F \cos 60^{\circ}$
$\mu R = F \cos 60^{\circ}$
$R$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$\mu (F \sin 60^{\circ} + mg) = F \cos 60^{\circ}$
$\mu F \sin 60^{\circ} + \mu mg = F \cos 60^{\circ}$
$F (\cos 60^{\circ} - \mu \sin 60^{\circ}) = \mu mg$
$F = \frac{\mu mg}{\cos 60^{\circ} - \mu \sin 60^{\circ}}$
અહીં $\mu = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$,$m = \sqrt{3} \ kg$,અને $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે:
$F = \frac{(\frac{1}{2 \sqrt{3}}) \times \sqrt{3} \times 10}{\cos 60^{\circ} - (\frac{1}{2 \sqrt{3}}) \sin 60^{\circ}}$
$F = \frac{5}{\frac{1}{2} - (\frac{1}{2 \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{5}{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = \frac{5}{\frac{1}{4}} = 20 \ N$
તેથી,બળનું મહત્તમ મૂલ્ય $20 \ N$ છે.

(A) સપાટી બ્લોક પર બે બળો લગાડે છે: લંબબળ $(N)$ જે શિરોલંબ ઉપરની તરફ લાગે છે અને ગતિક ઘર્ષણ બળ $(f_{k})$ જે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં સમક્ષિતિજ લાગે છે.
$1$. લંબબળ $N = mg$ છે.
$2$. ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_{k} = \mu_{k} N = \mu_{k} mg$ છે.
$3$. સપાટી દ્વારા લાગતું પરિણામી બળ $(F_{net})$ એ લંબબળ અને ઘર્ષણ બળનો સદિશ સરવાળો છે:
$F_{net} = \sqrt{N^{2} + f_{k}^{2}}$
$F_{net} = \sqrt{(mg)^{2} + (\mu_{k} mg)^{2}}$
$F_{net} = \sqrt{(mg)^{2} (1 + \mu_{k}^{2})}$
$F_{net} = mg \sqrt{1 + \mu_{k}^{2}}$
$F_{net} = mg(1 + \mu_{k}^{2})^{1/2}$
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) બ્લોકનું પ્રારંભિક વેગમાન $P = Mu$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે. તેથી,$u = \frac{P}{M}$.
સપાટી ખરબચડી હોવાથી,બ્લોક પર ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu Mg$ લાગે છે.
મંદન (deceleration) $a = \frac{f}{M} = \frac{\mu Mg}{M} = \mu g$ મળે છે.
ગતિના સમીકરણ $v^{2} = u^{2} - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 0$ (જ્યારે બ્લોક અટકે ત્યારે અંતિમ વેગ):
$0 = u^{2} - 2as$
$2as = u^{2}$
$s = \frac{u^{2}}{2a}$
$u = \frac{P}{M}$ અને $a = \mu g$ ની કિંમતો મૂકતા:
$s = \frac{(\frac{P}{M})^{2}}{2 \mu g} = \frac{P^{2}}{M^{2} \cdot 2 \mu g} = \frac{P^{2}}{2 \mu M^{2} g}$.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 4 \,m/s$, અંતિમ વેગ $v = 0 \,m/s$, ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu = 0.2$, અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$.
પદાર્થ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, પ્રતિપ્રવેગ $a = -f/m = -\mu g$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $a = -(0.2) \times 10 = -2 \,m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = (4)^2 + 2(-2)s$
$0 = 16 - 4s$
$4s = 16$
$s = 4 \,m$.
આમ, પદાર્થ સ્થિર થાય તે પહેલાં તેણે કાપેલું અંતર $4 \,m$ છે.

(A) વાહનનું પ્રારંભિક વેગમાન $P = Mv$ છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = \frac{P}{M}$ થાય.
અંતિમ વેગ $v = 0$ છે કારણ કે વાહન અટકી જાય છે.
વાહન પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu Mg$ છે,જ્યાં $N = Mg$ એ લંબબળ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રતિપ્રવેગ $a = -\frac{f}{M} = -\frac{\mu Mg}{M} = -\mu g$ મળે.
ગતિના સમીકરણ $v^{2} - u^{2} = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s$ એ સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ છે:
$0^{2} - (\frac{P}{M})^{2} = 2(-\mu g)s$
$-\frac{P^{2}}{M^{2}} = -2\mu gs$
$s = \frac{P^{2}}{2\mu g M^{2}}$.

(D) વેગ-સમયના આલેખ પરથી,બ્લોકનો પ્રવેગ $a$ એ રેખાનો ઢાળ છે:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{20 - 0}{3} = \frac{20}{3} \text{ m/s}^2$
બ્લોક ગતિમાં હોવાથી,તેના પર લાગતું ઘર્ષણ એ ગતિક ઘર્ષણ છે,$f_k = \mu_k N = \mu_k mg$.
અહીં $\mu_k = 0.25$ અને $g = 10 \text{ m/s}^2$ આપેલ છે,તેથી ગતિક ઘર્ષણ $f_k = 0.25 \times m \times 10 = 2.5m$ થાય.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F - f_k = ma$:
$20 - 2.5m = m \times \frac{20}{3}$
$20 = m \left( \frac{20}{3} + 2.5 \right)$
$20 = m \left( \frac{20 + 7.5}{3} \right) = m \left( \frac{27.5}{3} \right)$
$m = \frac{20 \times 3}{27.5} = \frac{60}{27.5} \approx 2.18 \text{ kg}$.
નજીકના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,દળ $2.2 \text{ kg}$ મળે છે.

$(A)$ આપેલ છે: પદાર્થનું દળ,$m = 10 \,kg$. ગતિક ઘર્ષણાંક,$\mu_k = 0.5$. લગાડેલ સમક્ષિતિજ બળ,$F = 60 \,N$. ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \,m/s^2$.
પદાર્થ પર લાગતું લંબબળ $N = mg = 10 \times 10 = 100 \,N$ છે。
ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = 0.5 \times 100 = 50 \,N$ થાય。
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = 60 \,N - 50 \,N = 10 \,N$ છે。
તેથી,પદાર્થનો પ્રવેગ $a = F_{net} / m = 10 \,N / 10 \,kg = 1 \,m/s^2$ મળે।

(C) પદાર્થને ગતિશીલ બેલ્ટ પર મૂકવામાં આવે છે. શરૂઆતમાં, પદાર્થ જમીનની સાપેક્ષમાં સ્થિર છે, પરંતુ બેલ્ટની સાપેક્ષમાં તેનો વેગ છે. ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k$ આ સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે.
$f_k = \mu_k N = \mu_k mg$
ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા, બેલ્ટની સાપેક્ષમાં પદાર્થનો પ્રતિપ્રવેગ $a$:
$ma = \mu_k mg$
$a = \mu_k g = 0.2 \times 10 = 2 \,m \,s^{-2}$
બેલ્ટની સાપેક્ષમાં પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u = 2 \,m \,s^{-1}$ છે. જ્યારે પદાર્થનો અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય ત્યારે તે બેલ્ટની સાપેક્ષમાં સ્થિર થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = (2)^2 - 2(2)s$
$4 = 4s$
$s = 1 \,m$
આમ, બેલ્ટની સાપેક્ષમાં સ્થિર થતા પહેલા પદાર્થે કાપેલું અંતર $1 \,m$ છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2 \ kg$,લાગતું બળ $F = 20 \ N$,પ્રવેગ $a = 7 \ m \ s^{-2}$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = ma$ છે,જ્યાં $f_k$ એ ગતિક ઘર્ષણ બળ છે.
ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ લંબબળ છે. સમક્ષિતિજ સપાટી પર,$N = mg = 2 \ kg \times 10 \ m \ s^{-2} = 20 \ N$.
સમીકરણ $F - f_k = ma$ માં કિંમતો મૂકતા:
$20 - f_k = 2 \times 7$
$20 - f_k = 14$
$f_k = 20 - 14 = 6 \ N$.
હવે,$f_k = \mu_k N$ નો ઉપયોગ કરતા:
$6 = \mu_k \times 20$
$\mu_k = 6 / 20 = 0.3$.
તેથી,ગતિક ઘર્ષણાંક $0.3$ છે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \ ms^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 0 \ ms^{-1}$,અંતર $S = 12.5 \ m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ ms^{-2}$.
બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ છે,જ્યાં $\mu$ એ ગતિક ઘર્ષણાંક છે.
આ ઘર્ષણ બળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{f}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 0$:
$0 = u^2 - 2aS$
$u^2 = 2aS$
$S = \frac{u^2}{2a} = \frac{u^2}{2 \mu g}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$12.5 = \frac{(10)^2}{2 \times \mu \times 10}$
$12.5 = \frac{100}{20 \mu}$
$12.5 = \frac{5}{\mu}$
$\mu = \frac{5}{12.5} = \frac{50}{125} = 0.4$.
તેથી,ગતિક ઘર્ષણાંક $0.4$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 5 \ kg$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$,લગાડેલ બળ $F = 60 \ N$,અને $g = 10 \ ms^{-2}$.
સૌ પ્રથમ,બ્લોક પર લાગતું સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_l$ શોધો:
$f_l = \mu N = \mu mg = 0.5 \times 5 \times 10 = 25 \ N$.
અહીં લગાડેલ બળ $F = 60 \ N$ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_l = 25 \ N$ કરતા વધારે હોવાથી,બ્લોક ગતિ કરશે.
બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_l = 60 - 25 = 35 \ N$ થશે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = ma$,તેથી પ્રવેગ $a$:
$a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{35}{5} = 7 \ ms^{-2}$.

(B) કણ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f_r = \mu m g$ છે.
કણ ગતિમાં હોવાથી,તેનો પ્રવેગ $a = \frac{-f_r}{m} = \frac{-\mu m g}{m} = -\mu g$ થાય.
અટકવા માટે લાગતો સમય $v = u + at$ પરથી મળે. $v = 0$ લેતા,$0 = u - \mu g t$,તેથી $t = \frac{u}{\mu g}$ મળે.
ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_f = \Delta K = 0 - \frac{1}{2} m u^2 = -\frac{1}{2} m u^2$.
ઘર્ષણ દ્વારા આપવામાં આવતો સરેરાશ પાવર $P_{av} = \frac{|W_f|}{t} = \frac{\frac{1}{2} m u^2}{\frac{u}{\mu g}} = \frac{1}{2} \mu m g u$ થાય.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 5 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 4 \,ms^{-1}$, અંતિમ વેગ $v = 0 \,ms^{-1}$, સમય $t = 2 \,s$, અને $g = 10 \,ms^{-2}$.
સૌ પ્રથમ, ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને પ્રતિપ્રવેગ $a$ શોધો:
$0 = 4 + a(2) \Rightarrow 2a = -4 \Rightarrow a = -2 \,ms^{-2}$.
પ્રતિપ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = 2 \,ms^{-2}$ છે.
ઘર્ષણ બળ $f$ આ પ્રતિપ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે, તેથી $f = ma$.
વળી, ઘર્ષણ બળનું સૂત્ર $f = \mu N = \mu mg$ છે.
$f$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$ma = \mu mg \Rightarrow \mu = \frac{a}{g}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{2}{10} = 0.2$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \,ms^{-1}$, અંતિમ વેગ $v = 0 \,ms^{-1}$, ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu = 0.4$ અને $g = 10 \,ms^{-2}$.
જ્યારે બળ દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે પદાર્થ પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = \mu mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{f_k}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = 0.4 \times 10 = 4 \,ms^{-2}$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u - at$ નો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $a$ એ પ્રતિપ્રવેગ છે):
$0 = 10 - 4t$
$4t = 10$
$t = \frac{10}{4} = 2.5 \,s$.
આમ, પદાર્થ $2.5 \,s$ માં સ્થિર થશે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 10 \,kg$, ઘર્ષણાંક $\mu = 0.3$, લગાડેલ બળ $F = 50 \,N$, ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 10 \,ms^{-2}$.
સૌ પ્રથમ, સીમાંત ઘર્ષણ બળની ગણતરી કરીએ: $f_l = \mu mg = 0.3 \times 10 \times 10 = 30 \,N$.
અહીં લગાડેલ બળ $F = 50 \,N$ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_l = 30 \,N$ કરતા વધારે હોવાથી, પદાર્થ ગતિ કરશે.
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_l = 50 \,N - 30 \,N = 20 \,N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F_{net} = ma$, તેથી $20 = 10 \times a$.
આમ, પદાર્થનો પ્રવેગ $a = 2 \,ms^{-2}$ મળે છે.

(B) સમક્ષિતિજ ખરબચડી સપાટી પર પદાર્થની પ્રારંભિક ઝડપ,$u = 10 \,ms^{-1}$.
અંતિમ વેગ,$v = 4 \,ms^{-1}$ અને સમય,$t = 2 \,s$.
જો ઘર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રતિપ્રવેગ $a$ હોય,તો ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v = u - at$
$4 = 10 - a \times 2$
$2a = 6 \Rightarrow a = 3 \,ms^{-2}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ઘર્ષણ બળ $f_k = ma$ છે.
કારણ કે $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$,તેથી:
$\mu_k mg = ma$
$\mu_k = \frac{a}{g} = \frac{3}{10} = 0.3$.

(A) આપેલ છે: નળાકારનું દળ, $m = 12 \,kg$. પ્રારંભિક વેગ, $u = 20 \,m/s$. ઘર્ષણાંક, $\mu = 0.5$. ગુરુત્વપ્રવેગ, $g = 10 \,m/s^2$.
નળાકાર પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ છે।
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $f = ma$, તેથી $ma = \mu mg$, જે પ્રતિપ્રવેગ $a = -\mu g$ આપે છે।
કિંમતો મૂકતા, $a = -0.5 \times 10 = -5 \,m/s^2$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા, $v^2 = u^2 + 2as$, જ્યાં $v = 0$ (અંતિમ વેગ શૂન્ય છે):
$0 = (20)^2 + 2(-5)s$
$0 = 400 - 10s$
$10s = 400$
$s = 40 \,m$.
આમ, નળાકાર અટકતા પહેલા $40 \,m$ જેટલું અંતર કાપશે।

(A) આપેલ છે: પદાર્થનું વજન,$W = 64 \ N$.
સ્થિત ઘર્ષણાંક,$\mu_s = 0.8$.
ગતિક ઘર્ષણાંક,$\mu_d = 0.6$.
પદાર્થને ગતિમાં લાવવા માટે જરૂરી બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોય છે: $F = \mu_s \times W = 0.8 \times 64 \ N$.
એકવાર પદાર્થ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે,પછી તેના પર લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_d \times W = 0.6 \times 64 \ N$ થાય છે.
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = (0.8 \times 64) - (0.6 \times 64) = 64(0.8 - 0.6) = 64 \times 0.2 \ N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = m \times a$,જ્યાં દળ $m = \frac{W}{g} = \frac{64}{g}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{64}{g} \times a = 64 \times 0.2$.
તેથી,$a = 0.2 \ g$.

(B) બ્લોકનું વજન નીચેની તરફ લાગે છે: $w = mg = 2 \times 10 = 20 \,N$.
પ્રયુક્ત બળ $F = 90 \,N$ સમક્ષિતિજ સાથે $37^{\circ}$ ના ખૂણે છે.
બળનો શિરોલંબ ઘટક $F_V = F \sin 37^{\circ} = 90 \times \frac{3}{5} = 54 \,N$ (ઉપરની તરફ).
બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $F_H = F \cos 37^{\circ} = 90 \times \frac{4}{5} = 72 \,N$ (દીવાલ તરફ).
આ સમક્ષિતિજ ઘટક દીવાલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N$ બને છે: $N = 72 \,N$.
મહત્તમ ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = 0.25 \times 72 = 18 \,N$.
બ્લોક ઉપરની તરફ ગતિ કરતો હોવાથી, ઘર્ષણ બળ નીચેની તરફ લાગશે.
શિરોલંબ દિશામાં પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = F_V - w - f_k = 54 - 20 - 18 = 16 \,N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F_{\text{net}} = ma$, તેથી $16 = 2 \times a$.
આમ, $a = 8 \,ms^{-2}$.

(B) ધારો કે સાંકળની રેખીય દળ ઘનતા $\lambda$ છે. સાંકળની કુલ લંબાઈ $L$ છે. ધારો કે $l^{\prime}$ એ ટેબલની ધાર પર લટકતી સાંકળની લંબાઈ છે.
તેથી,ટેબલ પર રહેલી સાંકળની લંબાઈ $(L - l^{\prime})$ થશે.
લટકતા ભાગનું દળ $m_h = \lambda l^{\prime}$ છે અને ટેબલ પરના ભાગનું દળ $m_t = \lambda (L - l^{\prime})$ છે.
સાંકળને નીચે ખેંચતું બળ એ લટકતા ભાગનું વજન છે: $F_g = m_h g = \lambda l^{\prime} g$.
ટેબલ પરના ભાગ પર લાગતું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu m_t g = \mu \lambda (L - l^{\prime}) g$ છે.
સાંકળ સંતુલનમાં રહે તે માટે,ખેંચતું બળ મહત્તમ ઘર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\lambda l^{\prime} g = \mu \lambda (L - l^{\prime}) g$
$l^{\prime} = \mu (L - l^{\prime})$
$l^{\prime} = \mu L - \mu l^{\prime}$
$l^{\prime} (1 + \mu) = \mu L$
$l^{\prime} = \frac{\mu L}{(1 + \mu)}$

(D) આપેલ છે: વજન $W = 64 \,N$, સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s = 0.6$, ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.4$.
ગતિ શરૂ કરવા માટે લગાડવામાં આવતું બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોય છે: $F = f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s W$.
$W = mg$ હોવાથી, $F = 0.6 \times mg$.
એકવાર પદાર્થ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે, ત્યારે તેના પર લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg = 0.4 \times mg$ થાય છે.
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = 0.6 mg - 0.4 mg = 0.2 mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F_{net} = ma$.
તેથી, $ma = 0.2 mg$, જેનો અર્થ છે કે $a = 0.2 g$.

(B) બ્લોક પર લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્લોક $A$ માટે: દળ $m_A = 2 \ kg$,બળ $F = 20 \ N$. ઘર્ષણ $f_A = 0.3 \times 2 \times 10 = 6 \ N$. પરિણામી બળ $F_{net,A} = F - f_A = 20 - 6 = 14 \ N$. પ્રવેગ $a_A = F_{net,A} / m_A = 14 / 2 = 7 \ m \ s^{-2}$.
બ્લોક $B$ માટે: દળ $m_B = 4 \ kg$,બળ $F = 20 \ N$. ઘર્ષણ $f_B = 0.3 \times 4 \times 10 = 12 \ N$. પરિણામી બળ $F_{net,B} = F - f_B = 20 - 12 = 8 \ N$. પ્રવેગ $a_B = F_{net,B} / m_B = 8 / 4 = 2 \ m \ s^{-2}$.
પ્રવેગનો ગુણોત્તર $a_A : a_B = 7 : 2$ છે.

(D) આપેલ છે: હોડીનું દળ, $m = 700 \,kg$. પ્રારંભિક ઝડપ, $v_1 = 24 \,ms^{-1}$. અંતિમ ઝડપ, $v_2 = 6 \,ms^{-1}$. ઘર્ષણ બળ, $f = 35v$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, અવરોધક બળ $f = -m \frac{dv}{dt}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $35v = -700 \frac{dv}{dt}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dv}{v} = -\frac{35}{700} dt = -\frac{1}{20} dt$.
બંને બાજુ $v_1$ થી $v_2$ અને $0$ થી $t$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_{24}^{6} \frac{dv}{v} = -\int_{0}^{t} \frac{1}{20} dt$.
$\ln(\frac{6}{24}) = -\frac{t}{20}$.
$\ln(\frac{1}{4}) = -\frac{t}{20}$.
$-\ln(4) = -\frac{t}{20} \Rightarrow t = 20 \ln(4) = 20 \ln(2^2) = 40 \ln(2)$.
$\ln(2) \approx 0.693$ લેતા, $t = 40 \times 0.693 = 27.72 \,s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, $t \approx 28 \,s$.

(A) અચળ ઝડપ જાળવી રાખવા માટે, એન્જિને ટ્રેન પર લાગતા ઘર્ષણ બળ જેટલું જ બળ લગાડવું પડે.
ઘર્ષણ બળ $F_f$ એ $F_f = \mu N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\mu$ એ ગતિક ઘર્ષણાંક છે અને $N$ એ લંબબળ છે.
ટ્રેન સમક્ષિતિજ પાટા પર હોવાથી, $N = mg$ થાય.
આપેલ છે: $m = 3 \times 10^6 \,kg$, $\mu = 0.05$, $g = 10 \,m \,s^{-2}$, અને વેગ $v = 50 \,m \,s^{-1}$.
$F_f = 0.05 \times (3 \times 10^6 \,kg) \times (10 \,m \,s^{-2}) = 0.05 \times 3 \times 10^7 \,N = 1.5 \times 10^6 \,N$.
જરૂરી પાવર $P$ એ $P = F_f \times v$ દ્વારા મળે છે.
$P = (1.5 \times 10^6 \,N) \times (50 \,m \,s^{-1}) = 75 \times 10^6 \,W = 75 \,MW$.

(B) આપેલ છે,દોરીમાં તણાવ $(T) = 27 \,N$.
લટકતા બ્લોકનું દળ $(m) = 3 \,kg$.
ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે.
$3 \,kg$ દળના લટકતા બ્લોક માટે,ગતિનું સમીકરણ:
$m g - T = m a$
$3 \times 10 - 27 = 3 a$
$30 - 27 = 3 a$
$3 = 3 a$
$a = 1 \,m/s^2$.
સમક્ષિતિજ સપાટી પર ગતિ કરતા $M = 20 \,kg$ દળના પદાર્થ માટે,ગતિનું સમીકરણ:
$T - f_k = M a$
જ્યાં $f_k = \mu M g$ એ ગતિક ઘર્ષણ બળ છે.
$27 - \mu \times 20 \times 10 = 20 \times 1$
$27 - 200 \mu = 20$
$200 \mu = 27 - 20$
$200 \mu = 7$
$\mu = \frac{7}{200} = 0.035$.
તેથી,ગતિક ઘર્ષણાંક $0.035$ છે.

(C) ધારો કે માણસનું દળ $m$ છે. માણસનું વજન $w = mg$ છે. માણસ પર લાગતા બળો નીચેની તરફ તેનું વજન $mg$ અને ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $F$ છે.
માણસ $a = g/4$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતરી રહ્યો હોવાથી,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ:
$mg - F = ma$
$a = g/4$ મૂકતા:
$mg - F = m(g/4)$
$mg - F = mg/4$
$F = mg - mg/4$
$F = 3mg/4$
$w = mg$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$F = 3w/4$

(C) બ્લોક આડી સપાટી પર છે. બ્લોક પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજનબળ $mg$ નીચેની તરફ.
$2$. લંબબળ $N$ ઉપરની તરફ.
$3$. આડી સપાટી સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે લાગતું બળ $F$.
$F$ ના ઘટકો લેતા: $F_x = F \cos 45^{\circ}$ અને $F_y = F \sin 45^{\circ}$.
શિરોલંબ સંતુલન માટે: $N + F \sin 45^{\circ} = mg$.
તેથી, $N = mg - F \sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \times 10 - F \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} - \frac{F}{\sqrt{2}}$.
જ્યારે બળનો આડો ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલો થાય ત્યારે બ્લોક ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે: $F \cos 45^{\circ} = \mu N$.
કિંમતો મૂકતા: $F \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 0.25 \times (10\sqrt{2} - \frac{F}{\sqrt{2}})$.
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા: $F = 0.25 \times (10 \times 2 - F) = 0.25 \times (20 - F)$.
$F = 5 - 0.25F$.
$1.25F = 5$.
$F = \frac{5}{1.25} = 4 \,N$.

(C) બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = ma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_k = \mu_k mg$ એ ગતિક ઘર્ષણ બળ છે.
તેથી,પ્રવેગ $a = \frac{F - \mu_k mg}{m}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $6 = \frac{20 - \mu_k mg}{m} \implies 6m = 20 - \mu_k mg$ --- $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $11 = \frac{30 - \mu_k mg}{m} \implies 11m = 30 - \mu_k mg$ --- (ii)
સમીકરણ (ii) માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(11m - 6m) = (30 - \mu_k mg) - (20 - \mu_k mg)$
$5m = 10 \implies m = 2 \ kg$.
$m = 2 \ kg$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$6(2) = 20 - \mu_k (2)(10)$
$12 = 20 - 20\mu_k$
$20\mu_k = 8$
$\mu_k = \frac{8}{20} = 0.4$.

(A) બ્લોક પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દીવાલ દ્વારા લાગતું લંબબળ $N = F \cos 30^{\circ} = F \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે।
$2$. મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \sqrt{3} \times (F \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2} F$ છે।
$3$. બ્લોક પર લાગતા ઉર્ધ્વ બળોમાં નીચેની તરફ લાગતું વજન $mg$ અને લાગુ પાડેલા બળનો ઉર્ધ્વ ઘટક $F \sin 30^{\circ}$ છે।
$4$. બ્લોક સંતુલનમાં રહે અને નીચે ન પડે તે માટે, ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ નીચેની તરફ લાગતા કુલ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$f = mg + F \sin 30^{\circ}$
$\frac{3}{2} F = (3 \times 10) + F \times \frac{1}{2}$
$\frac{3}{2} F - \frac{1}{2} F = 30$
$F = 30 \,N$.

(A) $1$. સૌ પ્રથમ,આપણે બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $F_N$ નક્કી કરીએ. શિરોલંબ દિશામાં લાગતા બળો ઉપરની તરફનું બળ $F_2$,લંબબળ $F_N$ અને નીચેની તરફનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ છે. બ્લોક શિરોલંબ દિશામાં ગતિ કરતો ન હોવાથી,શિરોલંબ દિશામાં કુલ બળ શૂન્ય થાય:
$F_2 + F_N - mg = 0$
$10 \ N + F_N - (2 \ kg)(10 \ m/s^2) = 0$
$10 \ N + F_N - 20 \ N = 0$
$F_N = 10 \ N$
$2$. ત્યારબાદ,આપણે સીમાંત સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max}$ ની ગણતરી કરીએ:
$f_{s,max} = \mu_s F_N = 0.4 \times 10 \ N = 4.0 \ N$
$3$. લગાડવામાં આવેલું આડું બળ $F_1 = 6 \ N$ છે. અહીં લગાડવામાં આવેલું આડું બળ $F_1$ એ સીમાંત સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max}$ કરતા વધારે હોવાથી $(6 \ N > 4.0 \ N)$,બ્લોક ગતિ કરવાનું શરૂ કરશે.
$4$. જ્યારે બ્લોક ગતિમાં હોય,ત્યારે તેના પર લાગતું ઘર્ષણ બળ એ ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k$ છે:
$f_k = \mu_k F_N = 0.25 \times 10 \ N = 2.5 \ N$
તેથી,બ્લોક પર લાગતા ઘર્ષણ બળનું મૂલ્ય $2.5 \ N$ છે.

(B) મધ્ય સ્ટીલ પ્લેટને ખસેડવા માટે,લાગુ કરેલા બળ $F$ એ તેની ઉપરની અને નીચેની બંને સપાટીઓ પર કાર્ય કરતા ગતિજ ઘર્ષણ બળોને દૂર કરવા આવશ્યક છે.
$1$. સપાટીઓ પર કાર્ય કરતું લંબબળ $R$ એ લાગુ કરેલા વજન જેટલું છે,$R = 100 \ N$.
$2$. ઉપરની સપાટી પરનું ઘર્ષણ બળ (સ્ટીલ અને સ્ટીલ વચ્ચે) $f_{SS} = \mu_{SS} \times R = 0.57 \times 100 = 57 \ N$ છે.
$3$. નીચેની સપાટી પરનું ઘર્ષણ બળ (સ્ટીલ અને પિત્તળ વચ્ચે) $f_{SB} = \mu_{SB} \times R = 0.44 \times 100 = 44 \ N$ છે.
$4$. પ્લેટને ખસેડવા માટે જરૂરી કુલ બળ $F$ એ આ બે ઘર્ષણ બળોનો સરવાળો છે:
$F = f_{SS} + f_{SB} = 57 \ N + 44 \ N = 101 \ N$.

(B) બ્લોક પર લાગતા બળો આ મુજબ છે: સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે લાગતું બળ $F$, નીચેની તરફ લાગતું વજનબળ $mg$, ઉપરની તરફ લાગતી લંબ પ્રતિક્રિયા $N$, અને ડાબી તરફ લાગતું ગતિક ઘર્ષણબળ $f_k$.
બળ $F$ ના સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકો લેતા: $F_x = F \cos 30^{\circ}$ અને $F_y = F \sin 30^{\circ}$.
શિરોલંબ સંતુલન માટે: $N + F \sin 30^{\circ} = mg \Rightarrow N = mg - F \sin 30^{\circ}$.
અહીં $m = 5 \,kg$, $g = 9.8 \,m/s^2$, અને $\mu = 0.1$ આપેલ છે, તેથી $N = (5 \times 9.8) - F \sin 30^{\circ} = 49 - 0.5F$.
ગતિક ઘર્ષણબળ $f_k = \mu N = 0.1(49 - 0.5F) = 4.9 - 0.05F$.
સમક્ષિતિજ દિશામાં પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = F \cos 30^{\circ} - f_k = ma$.
કિંમતો મૂકતા: $F(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (4.9 - 0.05F) = 5 \times 3$.
$0.866F - 4.9 + 0.05F = 15$.
$0.916F = 19.9$.
$F = \frac{19.9}{0.916} \approx 21.73 \,N$.
આ મૂલ્ય $22 \,N$ ની સૌથી નજીક છે.

(C) આપેલ છે: લાગુ પાડેલ બળ $F_{\text{app}} = 5 \ N$,દળ $m = 0.5 \ kg$,ગતિશીલ ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.2$,સમય $t = 4 \ s$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
ગતિશીલ ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f_k = 0.2 \times 0.5 \times 10 = 1 \ N$.
બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = F_{\text{app}} - f_k = 5 - 1 = 4 \ N$ છે.
બ્લોકનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{4}{0.5} = 8 \ m/s^2$ છે.
$4 \ s$ પછી બ્લોકનો વેગ $v = u + at = 0 + (8 \times 4) = 32 \ m/s$ થાય.
બ્લોકની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (32)^2 = 0.25 \times 1024 = 256 \ J$ છે.

(A) વાહનની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે એન્જિન બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વાહનને રોકવા માટે લાગતું એકમાત્ર બળ ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k M g$ છે.
$s$ અંતર કાપીને વાહનને રોકવા માટે ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$|W| = f_k \cdot s = \mu_k M g s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય પ્રારંભિક ગતિઊર્જા જેટલું હોય છે:
$\mu_k M g s = \frac{p^2}{2M}$.
$s$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$s = \frac{p^2}{2 M^2 \mu_k g}$.