Uniformly Accelerated Motion Questions in Hindi

(C) पुल को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी $=$ ट्रेन की लंबाई $+$ पुल की लंबाई।
कुल दूरी $= 150 \,m + 850 \,m = 1000 \,m$.
वेग को $km/h$ से $m/s$ में बदलने पर: $45 \times \frac{5}{18} = 12.5 \,m/s$.
लिया गया समय $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{वेग}} = \frac{1000 \,m}{12.5 \,m/s} = 80 \,sec$.

(D) ट्रेन की लंबाई $= 100\, m$ है।
ट्रेन का वेग $= 45\, km/hr = 45 \times \frac{5}{18} = 12.5\, m/s$ है।
पुल की लंबाई $= 1\, km = 1000\, m$ है।
पुल को पूरी तरह से पार करने के लिए,ट्रेन को अपनी लंबाई और पुल की लंबाई के योग के बराबर कुल दूरी तय करनी होगी।
कुल दूरी $= 100\, m + 1000\, m = 1100\, m$ है।
लिया गया समय $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{वेग}} = \frac{1100\, m}{12.5\, m/s} = 88\, s$ है।

(B) मान लीजिए गोली का प्रारंभिक वेग $u$ है।
$3\,cm$ अंदर जाने के बाद,इसका वेग $u/2$ हो जाता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करते हुए:
$(u/2)^2 = u^2 - 2a(3)$
$u^2/4 = u^2 - 6a$
$6a = 3u^2/4$
$a = u^2/8$
मान लीजिए कि गोली स्थिर होने से पहले अतिरिक्त $x$ दूरी तय करती है।
इस गति के लिए,प्रारंभिक वेग $u/2$,अंतिम वेग $0$ और त्वरण $-a = -u^2/8$ है।
$v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करते हुए:
$0^2 = (u/2)^2 - 2(u^2/8)x$
$0 = u^2/4 - (u^2/4)x$
$u^2/4 = (u^2/4)x$
$x = 1\,cm$.

(B) दिया गया है कि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है। मान लीजिए कि एकसमान त्वरण $a$ है।
पहले $10 \,s$ के लिए $(t_1 = 10 \,s)$:
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
${S_1} = 0 \times 10 + \frac{1}{2}a(10)^2 = 50a$ .....$(i)$
अगले $10 \,s$ में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए,पहले $t = 10 \,s$ पर वेग ज्ञात करते हैं:
$v = u + at = 0 + a(10) = 10a$।
अगले $10 \,s$ $(t_2 = 10 \,s)$ के लिए,प्रारंभिक वेग $10a$ है:
${S_2} = (10a)(10) + \frac{1}{2}a(10)^2$
${S_2} = 100a + 50a = 150a$ .....(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
${S_1} = 50a$ और ${S_2} = 150a$
अतः,${S_2} = 3{S_1}$,जिसका अर्थ है कि ${S_1} = {S_2}/3$।

(C) कण का विस्थापन समीकरण $x = a_0 + a_1t + a_2t^2$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम विस्थापन $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a_0 + a_1t + a_2t^2) = 0 + a_1 + 2a_2t$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग $v$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(a_1 + 2a_2t) = 0 + 2a_2 = 2a_2$.
अतः,कण का त्वरण $2a_2$ है।

(A) दिया गया है कि वेग $v$,समय $t$ का एक फलन है,$v = kt$,जहाँ $k = 2 \, m/s^2$ है।
पहले $3 \, s$ में तय की गई दूरी $S$ ज्ञात करने के लिए,हम $t = 0$ से $t = 3$ तक वेग का समय के सापेक्ष समाकलन (integration) करते हैं।
$S = \int_{0}^{3} v \, dt = \int_{0}^{3} kt \, dt$.
$k = 2$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = \int_{0}^{3} 2t \, dt = [t^2]_{0}^{3}$.
$S = (3)^2 - (0)^2 = 9 \, m$.
अतः,तय की गई दूरी $9 \, m$ है।

(A) दिया गया है कि विस्थापन $S$ समय $t$ के घन के समानुपाती है,इसलिए हम लिख सकते हैं $S = kt^3$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $S$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(kt^3) = 3kt^2$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग $v$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3kt^2) = 6kt$.
चूँकि $a = 6kt$ है,इसलिए त्वरण $a$ समय $t$ के सीधे समानुपाती है $(a \propto t)$।
अतः,त्वरण का परिमाण समय के साथ बढ़ता है।

(A) दिया गया है कि पिंड विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$S_1 = \frac{1}{2}a(p - 1)^2$
$S_2 = \frac{1}{2}ap^2$
इन दोनों विस्थापनों को जोड़ने पर:
$S_1 + S_2 = \frac{1}{2}a(p^2 - 2p + 1) + \frac{1}{2}ap^2 = \frac{1}{2}a(2p^2 - 2p + 1)$
अब,$n^{th}$ सेकंड में विस्थापन $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ द्वारा दिया जाता है।
$n = (p^2 - p + 1)$ के लिए,विस्थापन है:
$S_{(p^2 - p + 1)^{th}} = 0 + \frac{a}{2}[2(p^2 - p + 1) - 1] = \frac{a}{2}[2p^2 - 2p + 2 - 1] = \frac{a}{2}(2p^2 - 2p + 1)$
परिणामों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $(p^2 - p + 1)^{th}$ सेकंड में विस्थापन $S_1 + S_2$ के बराबर है।

(B) दिया गया वेग $v = 4t^3 - 2t$ है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^3 - 2t) = 12t^2 - 2$ है।
स्थिति $x = \int v\,dt = \int (4t^3 - 2t)\,dt = t^4 - t^2$ ($t=0$ पर $x=0$ मानते हुए)।
जब कण $x = 2\, m$ पर है,तो $t^4 - t^2 = 2$,या $t^4 - t^2 - 2 = 0$ है।
माना $u = t^2$,तो $u^2 - u - 2 = 0$,जिसके गुणनखंड $(u - 2)(u + 1) = 0$ हैं।
चूंकि $t^2$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t^2 = 2$,अर्थात $t = \sqrt{2}\,s$ है।
त्वरण समीकरण में $t^2 = 2$ रखने पर: $a = 12(2) - 2 = 24 - 2 = 22\,m/s^2$।

(B) मान लीजिए $u_1, u_2, u_3$ और $u_4$ क्रमशः $t = 0, t_1, (t_1 + t_2)$ और $(t_1 + t_2 + t_3)$ समय पर वेग हैं और $a$ समान त्वरण है।
औसत वेग इस प्रकार दिए गए हैं:
$v_1 = \frac{u_1 + u_2}{2}, v_2 = \frac{u_2 + u_3}{2}, v_3 = \frac{u_3 + u_4}{2}$
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए:
$u_2 = u_1 + at_1$
$u_3 = u_1 + a(t_1 + t_2)$
$u_4 = u_1 + a(t_1 + t_2 + t_3)$
अब,अंतर की गणना करते हैं:
$v_1 - v_2 = \frac{u_1 + u_2 - u_2 - u_3}{2} = \frac{u_1 - u_3}{2} = \frac{u_1 - (u_1 + a(t_1 + t_2))}{2} = -\frac{a(t_1 + t_2)}{2}$
$v_2 - v_3 = \frac{u_2 + u_3 - u_3 - u_4}{2} = \frac{u_2 - u_4}{2} = \frac{(u_1 + at_1) - (u_1 + a(t_1 + t_2 + t_3))}{2} = -\frac{a(t_2 + t_3)}{2}$
अनुपात लेने पर:
$\frac{v_1 - v_2}{v_2 - v_3} = \frac{-a(t_1 + t_2) / 2}{-a(t_2 + t_3) / 2} = \frac{t_1 + t_2}{t_2 + t_3}$
अतः,$(v_1 - v_2) : (v_2 - v_3) = (t_1 + t_2) : (t_2 + t_3)$.

(B) दिया गया है कि त्वरण $a(t) = at$ समय का एक फलन है।
हम जानते हैं कि त्वरण वेग के परिवर्तन की दर है,$a = \frac{dv}{dt}$।
इसलिए,$dv = a(t) \, dt$।
दोनों पक्षों का $t = 0$ पर प्रारंभिक वेग $u$ से $t$ समय पर अंतिम वेग $v$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{u}^{v} dv = \int_{0}^{t} (at) \, dt$।
$[v]_{u}^{v} = a \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{t}$।
$v - u = \frac{at^2}{2}$।
$v = u + \frac{at^2}{2}$।
अतः,सही संबंध $v = u + \frac{at^2}{2}$ है।

(A) $n^{th}$ सेकंड में कण द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$।
यहाँ,प्रारंभिक वेग $u = 10 \ m/s$,त्वरण $a = -2 \ m/s^2$ (चूंकि यह मंदन है),और $n = 5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$S_5 = 10 + \frac{-2}{2}(2 \times 5 - 1)$
$S_5 = 10 - 1(10 - 1)$
$S_5 = 10 - 9 = 1 \ m$।
अतः,$5^{th}$ सेकंड में कण द्वारा तय की गई दूरी $1 \ m$ है।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 20\,m/s$,अंतिम वेग $v = 0\,m/s$,दूरी $S = 10\,m$।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 = u^2 + 2aS$।
मान रखने पर: $0^2 = (20)^2 + 2 \times a \times 10$।
$0 = 400 + 20a$।
$20a = -400$।
$a = -20\,m/s^2$।
अतः,त्वरण $-20\,m/s^2$ है।

(D) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $(u)$ = $10\,m/s$
एकसमान त्वरण $(a)$ = $2\,m/s^2$
समय अंतराल $(t)$ = $4\,s$
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए:
$v = u + at$
मान रखने पर:
$v = 10 + (2 \times 4)$
$v = 10 + 8$
$v = 18\,m/s$
अतः,$4\,s$ के बाद वेग $18\,m/s$ है।

(C) दिया गया है कि कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
माना नियत त्वरण $a$ है।
समय $t$ में तय की गई दूरी $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ द्वारा दी जाती है।
पहले $2$ सेकंड ($t = 2$ s) के लिए,दूरी $x$ है:
$x = 0(2) + \frac{1}{2}a(2)^2 = 2a$.
पहले $4$ सेकंड ($t = 4$ s) के लिए,कुल तय की गई दूरी $x + y$ है:
$x + y = 0(4) + \frac{1}{2}a(4)^2 = 8a$.
समीकरण में $x = 2a$ रखने पर:
$2a + y = 8a$
$y = 6a$.
अब,$x$ और $y$ की तुलना करने पर:
$\frac{y}{x} = \frac{6a}{2a} = 3$.
अतः,$y = 3x$.

(A) $n^{th}$ सेकंड में पिंड द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$।
यहाँ,प्रारंभिक वेग $u = 7 \, m/s$,त्वरण $a = 4 \, m/s^2$,और समय $n = 5 \, s$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$S_5 = 7 + \frac{4}{2}(2 \times 5 - 1)$
$S_5 = 7 + 2(10 - 1)$
$S_5 = 7 + 2(9)$
$S_5 = 7 + 18 = 25 \, m$।
अतः,$5^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $25 \, m$ है।

(A) $n^{th}$ सेकंड में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 0\,m/s$.
त्वरण $a = 8\,m/s^2$.
समय $n = 5$ वाँ सेकंड.
सूत्र में मान रखने पर:
$S_5 = 0 + \frac{8}{2}(2 \times 5 - 1)$
$S_5 = 4(10 - 1)$
$S_5 = 4 \times 9$
$S_5 = 36\,m$.
अतः,पाँचवें सेकंड में तय की गई दूरी $36\,m$ है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 1 \, km/s = 1000 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 9 \, km/s = 9000 \, m/s$,दूरी $s = 4 \, m$।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
$(9000)^2 = (1000)^2 + 2 \times a \times 4$
$81,000,000 - 1,000,000 = 8a$
$80,000,000 = 8a$
$a = 10^7 \, m/s^2$।
अब,$v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$9000 = 1000 + 10^7 \times t$
$8000 = 10^7 \times t$
$t = \frac{8000}{10^7} = 8 \times 10^{-4} \, s$।

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 10 \, m/s$
अंतिम वेग $v = -2 \, m/s$ (क्योंकि यह विपरीत दिशा में है)
समय $t = 4 \, s$
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए: $v = u + at$
मान रखने पर: $-2 = 10 + a \times 4$
$-2 - 10 = 4a$
$-12 = 4a$
$a = -3 \, m/s^2$
अतः,उत्पन्न त्वरण $-3 \, m/s^2$ है।

(C) कण का विस्थापन समीकरण $y = a + bt + ct^2 - dt^4$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम विस्थापन $y$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(a + bt + ct^2 - dt^4) = b + 2ct - 4dt^3$.
त्वरण $a_{acc}$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग $v$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(b + 2ct - 4dt^3) = 2c - 12dt^2$.
प्रारंभिक समय $t = 0$ पर:
प्रारंभिक वेग $v_{initial} = b + 2c(0) - 4d(0)^3 = b$.
प्रारंभिक त्वरण $a_{initial} = 2c - 12d(0)^2 = 2c$.
अतः,प्रारंभिक वेग $b$ है और प्रारंभिक त्वरण $2c$ है।

(A) वाहन की रुकने की दूरी $S$ को सूत्र $S = \frac{u^2}{2a}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $a$ मंदन का परिमाण है।
चूंकि एक ही कार और समान ब्रेकिंग बल के लिए $a$ स्थिर है,इसलिए $S \propto u^2$ होगा।
यहाँ $u_1 = 40 \, km/h$ और $S_1 = 2 \, m$ दिया गया है।
$u_2 = 80 \, km/h$ के लिए,अनुपात $\frac{S_2}{S_1} = \left( \frac{u_2}{u_1} \right)^2$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{S_2}{2} = \left( \frac{80}{40} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
अतः,$S_2 = 2 \times 4 = 8 \, m$।

(A) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग,$u = 0\,m/s$ (चूंकि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है)।
त्वरण,$a = 5\,m/s^2$.
समय,$t = 10\,s$.
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए:
$v = u + at$
मान रखने पर:
$v = 0 + (5\,m/s^2 \times 10\,s)$
$v = 50\,m/s$.
अतः,$10\,s$ के अंत में इसकी तात्कालिक गति $50\,m/s$ है।

(A) किसी पिंड द्वारा $n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
चूंकि पिंड विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
अतः,$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
$4^{th}$ सेकंड के लिए $(n = 4)$: $S_4 = \frac{a}{2}(2 \times 4 - 1) = \frac{a}{2}(7) = \frac{7a}{2}$.
$3^{rd}$ सेकंड के लिए $(n = 3)$: $S_3 = \frac{a}{2}(2 \times 3 - 1) = \frac{a}{2}(5) = \frac{5a}{2}$.
$4^{th}$ सेकंड और $3^{rd}$ सेकंड में तय की गई दूरी का अनुपात है: $\frac{S_4}{S_3} = \frac{7a/2}{5a/2} = \frac{7}{5}$.

(B) त्वरण $a$ और वेग $v$ के बीच का संबंध $a = \frac{dv}{dt}$ है,जिसका अर्थ है $dv = a\,dt$।
दोनों पक्षों का समाकलन (integration) करने पर,हमें $v = \int a\,dt + C$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a = 3t^2 + 2t + 2$ दिया गया है,इसलिए $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$v = \int (3t^2 + 2t + 2) dt = t^3 + t^2 + 2t + C$।
$t = 0$ पर,प्रारंभिक वेग $u = 2\,m/s$ है,इसलिए $2 = (0)^3 + (0)^2 + 2(0) + C$,जिससे $C = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,वेग का फलन $v(t) = t^3 + t^2 + 2t + 2$ है।
$t = 2\,s$ पर,वेग $v(2) = (2)^3 + (2)^2 + 2(2) + 2 = 8 + 4 + 4 + 2 = 18\,m/s$ होगा।

(D) विस्थापन $s = t^3 - 6t^2 + 3t + 4$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 12t + 3$.
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = 6t - 12$.
वह समय ज्ञात करने के लिए जब त्वरण शून्य हो,$a = 0$ रखें:
$6t - 12 = 0 \implies t = 2 \ s$.
अब,वेग समीकरण में $t = 2$ का मान रखें:
$v = 3(2)^2 - 12(2) + 3 = 3(4) - 24 + 3 = 12 - 24 + 3 = -9 \ m s^{-1}$.

(D) गलत है: मान लीजिए एक गेंद को लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है। उच्चतम बिंदु पर,यह क्षणिक रूप से स्थिर $(v = 0)$ होती है,लेकिन गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ अभी भी नीचे की ओर कार्य करता है।
$B$ गलत है: धीमी होती गति वाली वस्तु का मंदन (deceleration) धनात्मक होता है।
$C$ गलत है: तय की गई दूरी हमेशा एक धनात्मक अदिश राशि होती है,चाहे गति की दिशा कुछ भी हो।
$D$ सही है: गति के दूसरे समीकरण के अनुसार,$x = x_0 + ut + \frac{1}{2}at^2$। क्षण $t = 0$ पर प्रारंभिक स्थिति $(x_0)$,प्रारंभिक वेग $(u)$ और निरंतर त्वरण $(a)$ को जानकर,हम भविष्य के किसी भी समय $t$ पर विस्थापन $(x)$ निर्धारित कर सकते हैं।

(C) $n^{th}$ सेकंड में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$।
चूंकि वस्तु विरामावस्था से शुरू होती है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0 \,m/s$ है।
$6^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_6 = 120 \,cm = 1.2 \,m$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$1.2 = 0 + \frac{a}{2}(2 \times 6 - 1)$
$1.2 = \frac{a}{2}(11)$
$a = \frac{1.2 \times 2}{11} = \frac{2.4}{11} \approx 0.218 \,m/s^2$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $a \approx 0.22 \,m/s^2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 144 \, km/h = 144 \times \frac{5}{18} \, m/s = 40 \, m/s$,और समय $t = 20 \, s$ है।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,$v = u + at$:
$40 = 0 + a \times 20 \Rightarrow a = 2 \, m/s^2$।
अब,गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$s = ut + \frac{1}{2}at^2$:
$s = 0 \times 20 + \frac{1}{2} \times 2 \times (20)^2 = 400 \, m$।
अतः,तय की गई दूरी $400 \, m$ है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 72 \text{ km/h} = 72 \times \frac{5}{18} \text{ m/s} = 20 \text{ m/s}$.
अंतिम वेग $v = 0 \text{ m/s}$ (क्योंकि ट्रेन रुक जाती है)।
दूरी $s = 200 \text{ m}$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 = u^2 - 2as$,जहाँ $a$ मंदन है।
$0^2 = (20)^2 - 2 \times a \times 200$.
$0 = 400 - 400a$.
$400a = 400$.
$a = 1 \text{ m/s}^2$.
अतः,मंदन $1 \text{ m/s}^2$ है।

(A) एकसमान त्वरण $a$ से गति कर रही वस्तु के लिए,समय $t$ के बाद विस्थापन $S$ गति के दूसरे समीकरण द्वारा दिया जाता है।
एकसमान त्वरण के लिए गति के समीकरणों के अनुसार:
$v = u + at$
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
$v^2 = u^2 + 2aS$
जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है,$v$ अंतिम वेग है,$a$ त्वरण है,$t$ समय है और $S$ विस्थापन है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही संबंध $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ है।

(B) मान लीजिए कि कारें $A$ और $B$ समय $t$ सेकंड के बाद मिलती हैं। मिलने के बिंदु पर,दोनों कारों द्वारा तय की गई दूरी समान होनी चाहिए।
कार $A$ के लिए जो एकसमान वेग से चल रही है: $S_A = v_A \times t = 40t$.
कार $B$ के लिए जो विरामावस्था से निरंतर त्वरण के साथ शुरू होती है: $S_B = u_B t + \frac{1}{2} a_B t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times t^2 = 2t^2$.
चूंकि $S_A = S_B$,इसलिए $40t = 2t^2$.
दोनों पक्षों को $2t$ से विभाजित करने पर ($t \neq 0$ मानते हुए),हमें $t = 20\, s$ प्राप्त होता है।

(C) जब कोई पिंड विरामावस्था $(u = 0)$ से अचर त्वरण $(a)$ के साथ गति शुरू करता है,तो $t$ समय में तय की गई दूरी $S = \frac{1}{2}at^2$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए समय अंतराल $T = 5\, s$ है।
पहले $5\, s$ $(t=T)$ में तय दूरी: ${S_1} = \frac{1}{2}aT^2$.
पहले $10\, s$ $(t=2T)$ में तय दूरी: ${S_1} + {S_2} = \frac{1}{2}a(2T)^2 = 4 \times (\frac{1}{2}aT^2) = 4{S_1}$। अतः,${S_2} = 3{S_1}$।
पहले $15\, s$ $(t=3T)$ में तय दूरी: ${S_1} + {S_2} + {S_3} = \frac{1}{2}a(3T)^2 = 9 \times (\frac{1}{2}aT^2) = 9{S_1}$। अतः,${S_3} = 9{S_1} - ({S_1} + {S_2}) = 9{S_1} - 4{S_1} = 5{S_1}$।
इसलिए,अनुपात ${S_1}:{S_2}:{S_3} = 1:3:5$ है।
अतः,${S_1} = \frac{1}{3}{S_2} = \frac{1}{5}{S_3}$।

(A) माना $t = 0$ पर प्रारंभिक वेग $u$ है और एकसमान त्वरण $a$ है।
पहले $5\,s$ के लिए,दूरी $s_5 = 10\,m$:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2 \Rightarrow 10 = 5u + \frac{1}{2}a(5)^2 \Rightarrow 10 = 5u + 12.5a \Rightarrow 2u + 5a = 4$ ...$(i)$
पहले $8\,s$ $(5\,s + 3\,s)$ के लिए,दूरी $s_8 = 10\,m + 10\,m = 20\,m$:
$20 = 8u + \frac{1}{2}a(8)^2 \Rightarrow 20 = 8u + 32a \Rightarrow 2u + 8a = 5$ ...(ii)
समीकरण (ii) में से $(i)$ घटाने पर: $(2u + 8a) - (2u + 5a) = 5 - 4 \Rightarrow 3a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{3}\,m/s^2$.
$a$ का मान $(i)$ में रखने पर: $2u + 5(\frac{1}{3}) = 4 \Rightarrow 2u = 4 - \frac{5}{3} = \frac{7}{3} \Rightarrow u = \frac{7}{6}\,m/s$.
अब,कुल $10\,s$ में तय की गई दूरी $(s_{10})$:
$s_{10} = u(10) + \frac{1}{2}a(10)^2 = (\frac{7}{6})(10) + \frac{1}{2}(\frac{1}{3})(100) = \frac{70}{6} + \frac{50}{3} = \frac{70 + 100}{6} = \frac{170}{6} \approx 28.33\,m$.
अगले $2\,s$ में तय की गई दूरी $s_{10} - s_8 = 28.33 - 20 = 8.33\,m \approx 8.3\,m$.

(A) दिया गया है कि दूरी $s$,समय $t$ के वर्ग के समानुपाती है,इसलिए $s \propto t^2$ है।
इसे $s = kt^2$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष प्रथम अवकलन है: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(kt^2) = 2kt$।
त्वरण $a$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2kt) = 2k$।
चूंकि $k$ एक स्थिरांक है,इसलिए त्वरण $a = 2k$ भी एक स्थिरांक है। अतः,कण समान त्वरण के साथ गति करता है।

(D) दिया गया वेग समीकरण: $v = at$ है।
हम जानते हैं कि दूरी $x$,समय के सापेक्ष वेग का समाकलन है: $x = \int v \ dt$।
दिए गए समीकरण को प्रतिस्थापित करने पर: $x = \int (at) \ dt = \frac{1}{2}at^2$।
पहले $4 \ s$ में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में $t = 4 \ s$ रखते हैं:
$x = \frac{1}{2} \times a \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times a \times 16 = 8a$।
अतः,तय की गई दूरी $8a$ है।

(B) दिया गया है: दूरी $(s)$ = $3.06 \ m$,औसत वेग $(v_{avg})$ = $0.34 \ ms^{-1}$,वेग में परिवर्तन $(\Delta v)$ = $0.18 \ ms^{-1}$।
सबसे पहले,लिए गए समय $(t)$ की गणना करें: $t = \frac{s}{v_{avg}} = \frac{3.06}{0.34} = 9 \ s$।
अब,एक समान त्वरण $(a)$ की गणना करें: $a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{0.18}{9} = 0.02 \ ms^{-2}$।

(A) $n$वें सेकंड में किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
पिंड $A$ के लिए,$5$वें सेकंड में तय की गई दूरी $S_{A,5} = 0 + \frac{a_1}{2}(2 \times 5 - 1) = \frac{9a_1}{2}$ है।
पिंड $B$,$A$ के $2$ सेकंड बाद चलना शुरू करता है। इसलिए,$A$ के चलने के $5$वें सेकंड का समय पिंड $B$ की गति के $(5 - 2) = 3$रे सेकंड के बराबर है।
पिंड $B$ द्वारा अपने $3$रे सेकंड में तय की गई दूरी $S_{B,3} = 0 + \frac{a_2}{2}(2 \times 3 - 1) = \frac{5a_2}{2}$ है।
यह दिया गया है कि ये दूरियाँ समान हैं: $\frac{9a_1}{2} = \frac{5a_2}{2}$।
इसे सरल करने पर,हमें $9a_1 = 5a_2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{9}$।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 200\,m/s$,अंतिम वेग $v = 100\,m/s$,विस्थापन $s = 10\,cm = 0.1\,m$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 = u^2 + 2as$.
मान रखने पर: $(100)^2 = (200)^2 + 2 \times a \times 0.1$.
$10000 = 40000 + 0.2a$.
$0.2a = 10000 - 40000 = -30000$.
$a = -30000 / 0.2 = -150000\,m/s^2 = -15 \times 10^4\,m/s^2$.
मंदन ऋणात्मक त्वरण का परिमाण है,जो $15 \times 10^4\,m/s^2$ है।

(A) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$ होता है। यदि बल $F$ परिमाण और दिशा दोनों में स्थिर है,तो त्वरण $a = F/m$ भी परिमाण और दिशा में स्थिर रहता है।
यदि कण विरामावस्था से शुरू होता है या बल की दिशा में गति करता है,तो वेग केवल उसी रेखा के अनुदिश बदलेगा।
यदि कण का प्रारंभिक वेग बल के समानांतर नहीं है,तो पथ एक परवलय होता है (जैसे प्रक्षेप्य गति)।
हालाँकि,इस भौतिकी समस्या के मानक संदर्भ में,यदि बल स्थिर है,तो कण एक सरल रेखा में गति करता है।

(D) गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v = 0$ (अंतिम वेग),$u$ प्रारंभिक वेग है,$a$ मंदन (retardation) है,और $s$ रुकने की दूरी है।
चूँकि $v = 0$,हमारे पास $-u^2 = 2as$ है,जिसका अर्थ है $s = \frac{u^2}{2|a|}$।
यह दर्शाता है कि रुकने की दूरी $s \propto u^2$ है।
दिया गया है $u_1 = 50 \,km/hr$ और $s_1 = 6 \,m$।
$u_2 = 100 \,km/hr$ के लिए,अनुपात $\frac{s_2}{s_1} = \left(\frac{u_2}{u_1}\right)^2$ होगा।
$\frac{s_2}{6} = \left(\frac{100}{50}\right)^2 = (2)^2 = 4$।
अतः,$s_2 = 4 \times 6 = 24 \,m$।

(A) वस्तु $A$ के लिए,$u = 0$ प्रारंभिक वेग और $a$ त्वरण के साथ $t$ समय में तय की गई दूरी गति के समीकरण द्वारा दी जाती है: $s_A = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$ है।
वस्तु $B$ के लिए,$v$ के नियत वेग के साथ $t$ समय में तय की गई दूरी है: $s_B = vt$ है।
चूंकि दोनों वस्तुएं एक ही बिंदु से शुरू होती हैं और $t$ समय के बाद मिलती हैं,इसलिए उनका विस्थापन समान होना चाहिए: $s_A = s_B$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}at^2 = vt$ है।
दोनों पक्षों को $t$ से विभाजित करने पर ($t \neq 0$ मानते हुए): $\frac{1}{2}at = v$ है।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $t = \frac{2v}{a}$।

(C) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0$,अंतिम वेग $v = 27.5 \,m/s$,समय $t = 10 \,s$ पर।
सबसे पहले,त्वरण $a$ की गणना करें:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{27.5 - 0}{10} = 2.75 \,m/s^2$.
अगले $10 \,s$ के लिए,प्रारंभिक वेग पहले $10 \,s$ के अंत में प्राप्त वेग होगा,जो $u' = 27.5 \,m/s$ है।
अगले $10 \,s$ के लिए गति के समीकरण $S = u't + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$S = (27.5 \times 10) + \frac{1}{2} \times 2.75 \times (10)^2$
$S = 275 + \frac{1}{2} \times 2.75 \times 100$
$S = 275 + 137.5 = 412.5 \,m$.

(C) दिया गया है कि कण का वेग $v = (180 - 16x)^{1/2}$ है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a$ को $a = \frac{dv}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चेन नियम का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $a = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$।
चूंकि $\frac{dx}{dt} = v$,इसलिए $a = v \cdot \frac{dv}{dx}$ होता है।
सबसे पहले,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2}(180 - 16x)^{-1/2} \cdot (-16) = -8(180 - 16x)^{-1/2}$।
अब,त्वरण के सूत्र में $v$ और $\frac{dv}{dx}$ का मान रखने पर:
$a = (180 - 16x)^{1/2} \cdot [-8(180 - 16x)^{-1/2}]$।
$a = -8 \cdot (180 - 16x)^{1/2 - 1/2} = -8 \cdot (180 - 16x)^0$।
$a = -8 \cdot 1 = -8 \text{ m/s}^2$।

(D) दिया गया है कि विस्थापन $x$,समय $t$ के घन के समानुपाती है,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$x = K t^3$,जहाँ $K$ एक नियतांक है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(K t^3) = 3 K t^2$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग का समय के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3 K t^2) = 6 K t$.
चूँकि $6$ और $K$ नियतांक हैं,इसलिए $a \propto t$ प्राप्त होता है।
अतः,कण का त्वरण समय के समानुपाती है।

(A) दिया गया है कि कण विराम अवस्था से शुरू होता है,इसलिए $t = 0$ पर प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = 2(t - 1)$ है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम समय के सापेक्ष त्वरण का समाकलन करेंगे:
$dv = 2(t - 1) \, dt$
दोनों पक्षों का $t = 0$ से $t = 5$ तक समाकलन करने पर:
$v = \int_{0}^{5} 2(t - 1) \, dt$
$v = 2 \left[ \frac{t^2}{2} - t \right]_{0}^{5}$
$v = 2 \left[ \left( \frac{5^2}{2} - 5 \right) - (0 - 0) \right]$
$v = 2 \left( \frac{25}{2} - 5 \right) = 2 \left( 12.5 - 5 \right) = 2(7.5) = 15 \, m/s$.

(C) दिया गया है: पहले $5 \, s$ में दूरी $(S_1)$ = $40 \, m$,समय $(t)$ = $5 \, s$। अगले $5 \, s$ में दूरी $(S_2)$ = $65 \, m$।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए:
पहले $5 \, s$ के लिए: $40 = 5u + \frac{1}{2}a(5)^2$ $\Rightarrow 40 = 5u + 12.5a$ ... $(i)$
कुल $10 \, s$ के लिए: $S_1 + S_2 = u(10) + \frac{1}{2}a(10)^2$ $\Rightarrow 40 + 65 = 10u + 50a$ $\Rightarrow 105 = 10u + 50a$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर: $80 = 10u + 25a$ ... (iii)
समीकरण (ii) में से (iii) को घटाने पर: $(105 - 80) = (10u - 10u) + (50a - 25a)$ $\Rightarrow 25 = 25a$ $\Rightarrow a = 1 \, m/s^2$।
समीकरण $(i)$ में $a = 1$ रखने पर: $40 = 5u + 12.5(1)$ $\Rightarrow 5u = 40 - 12.5 = 27.5$ $\Rightarrow u = 5.5 \, m/s$।

(D) गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 = u^2 + 2as$। चूंकि कारों को रोका जा रहा है,इसलिए अंतिम वेग $v = 0$ है।
अतः,$0 = u^2 - 2as$,जिससे रुकने की दूरी $s = \frac{u^2}{2a}$ प्राप्त होती है।
चूंकि दोनों कारें समान हैं और समान ब्रेकिंग बल के तहत रुकती हैं,इसलिए मंदन $a$ दोनों के लिए समान होगा।
इस प्रकार,$s \propto u^2$।
दूरियों का अनुपात $\frac{s_1}{s_2} = \left( \frac{u_1}{u_2} \right)^2 = \left( \frac{u}{4u} \right)^2 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$ है।
अतः,अनुपात $1:16$ है।

(C) मान लीजिए कि कार बिंदु $A$ से विरामावस्था से शुरू होती है और $S$ दूरी तक $f$ त्वरण के साथ बिंदु $B$ तक चलती है।
बिंदु $B$ पर कार का वेग $v = \sqrt{2fS}$ है ($v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए)।
कार इस स्थिर वेग $v$ के साथ $t$ समय में $BC = x$ दूरी तय करती है,इसलिए $x = vt = \sqrt{2fS} \cdot t$ ... $(i)$।
बिंदु $C$ पर,कार बिंदु $D$ पर रुकने तक $\frac{f}{2}$ की दर से मंदित होती है। मान लीजिए दूरी $CD = y$ है।
$v^2 = u^2 - 2a'y$ का उपयोग करते हुए,जहाँ अंतिम वेग $0$ है: $0 = v^2 - 2(\frac{f}{2})y \implies y = \frac{v^2}{f} = \frac{2fS}{f} = 2S$ ... (ii)।
कुल दूरी $AD = AB + BC + CD = S + x + 2S = 15S$ है।
$3S + x = 15S \implies x = 12S$।
समीकरण $(i)$ में $x = 12S$ रखने पर: $12S = \sqrt{2fS} \cdot t$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $144S^2 = 2fS \cdot t^2$।
$2S$ से विभाजित करने पर: $72S = f \cdot t^2 \implies S = \frac{1}{72}ft^2$।

(B) दिया गया स्थिति समीकरण: $x = 4(t - 2) + a(t - 2)^2$.
वेग ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[4(t - 2) + a(t - 2)^2] = 4 + 2a(t - 2)$.
त्वरण ज्ञात करने के लिए,हम वेग का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}[4 + 2a(t - 2)] = 2a$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(a)$ $t = 0$ पर प्रारंभिक वेग $v = 4 + 2a(0 - 2) = 4 - 4a$ है,जो $4$ नहीं है (जब तक कि $a = 0$ न हो)।
$(b)$ त्वरण $2a$ है,जो स्थिर है और प्राप्त परिणाम से मेल खाता है।
$(c)$ $t = 0$ पर,$x = 4(0 - 2) + a(0 - 2)^2 = -8 + 4a$ है,जो $0$ नहीं है (जब तक कि $a = 2$ न हो)।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(A) $n$ वें सेकंड में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
चूंकि वस्तु विराम अवस्था से शुरू होती है,इसलिए $u = 0$ है।
$5$ वें सेकंड के लिए $(n = 5)$:
$S_{5^{th}} = 0 + \frac{a}{2}(2 \times 5 - 1) = \frac{9a}{2}$.
$t$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ है।
$t = 5$ सेकंड के लिए:
$S_5 = 0 + \frac{1}{2} \times a \times (5)^2 = \frac{25a}{2}$.
अतः अनुपात $\frac{S_{5^{th}}}{S_5} = \frac{9a/2}{25a/2} = \frac{9}{25}$ है।