Uniformly Accelerated Motion Questions in Hindi

(A) माना वस्तु का प्रारंभिक वेग $u$ है।
$2 \, s$ में तय की गई दूरी $S = ut + \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
$S = u(2) + \frac{1}{2}(10)(2)^2 = 2u + 20$ ... $(i)$
$3^{rd}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_{3^{rd}} = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 3$ है।
$S_{3^{rd}} = u + \frac{10}{2}(2 \times 3 - 1) = u + 5(5) = u + 25$ ... (ii)
प्रश्न के अनुसार,$2 \, s$ में तय की गई दूरी $3^{rd}$ सेकंड में तय की गई दूरी के बराबर है,इसलिए $S = S_{3^{rd}}$.
$2u + 20 = u + 25 \Rightarrow u = 5 \, m/s$.
समीकरण $(i)$ में $u = 5$ रखने पर:
$S = 2(5) + 20 = 10 + 20 = 30 \, m$.

(C) दिया गया त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = bt$ है।
समय $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int dv = \int bt \, dt \Rightarrow v = \frac{1}{2}bt^2 + C_1$।
$t = 0$ पर,$v = v_0$,इसलिए $C_1 = v_0$।
अतः,वेग $v = \frac{1}{2}bt^2 + v_0$ है।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}bt^2 + v_0$।
समय $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$x = \int (\frac{1}{2}bt^2 + v_0) dt = \frac{1}{2}b(\frac{t^3}{3}) + v_0t + C_2$।
$t = 0$ पर,$x = 0$,इसलिए $C_2 = 0$।
अतः,तय की गई दूरी $x = v_0t + \frac{1}{6}bt^3$ होगी।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dv}{dt} = 6 - 3v$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dv}{6 - 3v} = dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{6 - 3v} = \int dt$.
इससे प्राप्त होता है: $-\frac{1}{3} \ln(6 - 3v) = t + C$.
$\ln(6 - 3v) = -3t + C'$.
$t = 0$ पर,$v = 0$,इसलिए $\ln(6) = C'$.
$C'$ का मान रखने पर: $\ln(6 - 3v) = -3t + \ln(6) \Rightarrow \ln(\frac{6 - 3v}{6}) = -3t$.
घातांकीय रूप लेने पर: $\frac{6 - 3v}{6} = e^{-3t} \Rightarrow 1 - 0.5v = e^{-3t} \Rightarrow v(t) = 2(1 - e^{-3t}) \, m/s$.
अंतिम गति $(t \to \infty)$: $v = 2(1 - 0) = 2.0 \, m/s$.
प्रारंभिक त्वरण $(t = 0)$: $a = \frac{dv}{dt} = 6 - 3(0) = 6.0 \, m/s^2$.
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $(d)$ है।

(D) मान लीजिए कि कार $t_1$ समय के लिए $\alpha$ की निरंतर दर से त्वरित होती है। प्राप्त अधिकतम वेग $v = u + \alpha t_1$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि यह विरामावस्था से शुरू होती है,$u = 0$,इसलिए $v = \alpha t_1$।
इसके बाद,कार शेष समय $(t - t_1)$ के लिए $\beta$ की निरंतर दर से मंदित होती है और अंत में रुक जाती है। मंदन चरण के लिए $v = u + at$ समीकरण का उपयोग करते हुए,हमें $0 = v - \beta(t - t_1)$ प्राप्त होता है।
$v = \alpha t_1$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $0 = \alpha t_1 - \beta t + \beta t_1$ मिलता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(\alpha + \beta) t_1 = \beta t$ प्राप्त होता है,जिससे $t_1 = \frac{\beta}{\alpha + \beta} t$ मिलता है।
$t_1$ के मान को $v$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $v = \alpha \left( \frac{\beta}{\alpha + \beta} t \right) = \frac{\alpha \beta}{\alpha + \beta} t$ प्राप्त होता है।

(D) वाहन के रुकने की दूरी $S$ संबंध $v^2 = u^2 + 2as$ द्वारा दी जाती है। चूंकि अंतिम वेग $v = 0$ है,इसलिए $0 = u^2 - 2a|S|$,जिसका अर्थ है $S = \frac{u^2}{2|a|}$।
चूंकि मंदन $a$ स्थिर है,इसलिए रुकने की दूरी प्रारंभिक वेग के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है: $S \propto u^2$।
दिया गया है कि $u_1 = 60\,km/h$ के लिए $S_1 = 20\,m$ और $u_2 = 120\,km/h$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{u_2}{u_1}\right)^2 = \left(\frac{120}{60}\right)^2 = (2)^2 = 4$।
अतः,$S_2 = 4 \times S_1 = 4 \times 20\,m = 80\,m$।

(C) मान लीजिए कि एक तख्ते की मोटाई $s$ है। यदि गोली $u$ वेग के साथ प्रवेश करती है,तो वह $v = u - \frac{u}{20} = \frac{19}{20}u$ वेग के साथ बाहर निकलती है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a$ मंदन है:
$(\frac{19}{20}u)^2 = u^2 - 2as$
$\frac{361}{400}u^2 = u^2 - 2as$
$2as = u^2 - \frac{361}{400}u^2 = \frac{39}{400}u^2$
$\frac{u^2}{2as} = \frac{400}{39} \approx 10.25$
अब,यदि गोली को रोकने के लिए $n$ तख्तों की आवश्यकता है,तो कुल दूरी $ns$ तय करने के बाद अंतिम वेग $v_f = 0$ होगा:
$0^2 = u^2 - 2a(ns)$
$u^2 = 2ans$
$n = \frac{u^2}{2as} = \frac{400}{39} \approx 10.25$
चूंकि तख्तों की संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए और $10$ तख्ते गोली को रोकने के लिए पर्याप्त नहीं हैं,इसलिए हमें $11$ तख्तों की आवश्यकता होगी।

(C) वाहन की रुकने की दूरी $s$ सूत्र $s = \frac{u^2}{2a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $u$ प्रारंभिक गति है और $a$ मंदन का परिमाण है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि रुकने की दूरी प्रारंभिक गति के वर्ग के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $s \propto u^2$।
यदि गति को तीन गुना कर दिया जाए,तो नई गति $u' = 3u$ हो जाएगी।
नई रुकने की दूरी $s'$ का मान $s' \propto (3u)^2 = 9u^2$ होगा।
इसलिए,$s' = 9s$।
अतः,गति को तीन गुना करने पर रुकने की दूरी $9$ गुना बढ़ जाती है।

(A) माना प्रारंभिक वेग $u$ है। $s_1 = 3 \, cm$ प्रवेश करने के बाद,वेग $v_1 = u/2$ हो जाता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
$(u/2)^2 = u^2 + 2a(3)$
$u^2/4 = u^2 + 6a$
$6a = -3u^2/4$
$a = -u^2/8$
अब,दूसरे भाग के लिए,प्रारंभिक वेग $u/2$ है और अंतिम वेग $0$ है। माना तय की गई अतिरिक्त दूरी $x$ है।
$0^2 = (u/2)^2 + 2ax$
$0 = u^2/4 + 2(-u^2/8)x$
$u^2/4 = (u^2/4)x$
$x = 1 \, cm$.

(D) दिया गया संबंध: $t = \sqrt{x} + 3$ है।
$x$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{x} = t - 3$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x = (t - 3)^2$ है।
वेग $v$,स्थिति का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t - 3)^2 = 2(t - 3)$ है।
जब वेग शून्य हो: $2(t - 3) = 0$,जिससे $t = 3 \ s$ प्राप्त होता है।
$t = 0 \ s$ पर प्रारंभिक स्थिति: $x_i = (0 - 3)^2 = 9 \ m$ है।
$t = 3 \ s$ पर अंतिम स्थिति: $x_f = (3 - 3)^2 = 0 \ m$ है।
विस्थापन को स्थिति में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\Delta x = x_f - x_i = 0 - 9 = -9 \ m$ है।

(A) माना प्रारंभिक वेग $u$ है और एक तख्ते की मोटाई $s$ है। एक तख्ते से गुजरने के बाद,वेग $v = u - (1/20)u = (19/20)u$ हो जाता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
$(19/20u)^2 = u^2 + 2as$
$2as = (361/400)u^2 - u^2 = -(39/400)u^2$.
माना गोली को रोकने के लिए आवश्यक तख्तों की न्यूनतम संख्या $n$ है। $n$ तख्तों से गुजरने के बाद अंतिम वेग $0$ होने के लिए,कुल तय की गई दूरी $ns$ है:
$0^2 = u^2 + 2a(ns)$
$0 = u^2 + n(2as)$
$2as = -(39/400)u^2$ का मान रखने पर:
$0 = u^2 + n(-(39/400)u^2)$
$n(39/400) = 1$
$n = 400/39 \approx 10.26$.
चूंकि तख्तों की संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए गोली को रोकने के लिए आवश्यक न्यूनतम तख्तों की संख्या $11$ है।

(C) कण की स्थिति $x = at^2 - bt^3$ द्वारा दी गई है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष स्थिति का प्रथम अवकलज है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2 - bt^3) = 2at - 3bt^2$.
त्वरण $a_{acc}$,समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2at - 3bt^2) = 2a - 6bt$.
वह समय ज्ञात करने के लिए जब त्वरण शून्य हो,$a_{acc} = 0$ रखें:
$2a - 6bt = 0$
$2a = 6bt$
$t = \frac{2a}{6b} = \frac{a}{3b}$.

(C) कण की स्थिति $y = a + bt + ct^2 - dt^4$ द्वारा दी गई है।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष स्थिति का प्रथम अवकलज है:
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(a + bt + ct^2 - dt^4) = 0 + b + 2ct - 4dt^3$.
प्रारंभिक समय $t = 0$ पर,प्रारंभिक वेग $v_{initial}$ है:
$v_{initial} = b + 2c(0) - 4d(0)^3 = b$.
त्वरण $a_{acc}$,समय $t$ के सापेक्ष वेग का अवकलज है:
$a_{acc} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(b + 2ct - 4dt^3) = 0 + 2c - 12dt^2$.
प्रारंभिक समय $t = 0$ पर,प्रारंभिक त्वरण $a_{initial}$ है:
$a_{initial} = 2c - 12d(0)^2 = 2c$.
अतः,प्रारंभिक वेग $b$ है और प्रारंभिक त्वरण $2c$ है।

(A) दिया गया संबंध: $t = \alpha x^2 + \beta x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dt}{dx} = 2\alpha x + \beta$।
चूंकि वेग $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $v = \frac{1}{2\alpha x + \beta}$।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$।
$v = (2\alpha x + \beta)^{-1}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dv}{dx} = -1(2\alpha x + \beta)^{-2} \cdot (2\alpha) = -\frac{2\alpha}{(2\alpha x + \beta)^2}$।
इस मान को त्वरण के सूत्र में रखने पर: $a = v \cdot \left( -\frac{2\alpha}{(2\alpha x + \beta)^2} \right)$।
चूंकि $v = \frac{1}{2\alpha x + \beta}$,इसलिए $v^2 = \frac{1}{(2\alpha x + \beta)^2}$।
अतः,$a = v \cdot (-2\alpha \cdot v^2) = -2\alpha v^3$।
मंदन ऋणात्मक त्वरण का परिमाण है,जो $2\alpha v^3$ है।

(A) मान लीजिए कि $t$ समय पर वस्तु $A$ का विस्थापन $s_A$ है और वस्तु $B$ का विस्थापन $s_B$ है।
वस्तु $A$ के लिए,प्रारंभिक वेग $u_A = 0$ और त्वरण $a$ है। गति के समीकरण $s = ut + (1/2)at^2$ का उपयोग करने पर,$s_A = (1/2)at^2$ प्राप्त होता है।
वस्तु $B$ के लिए,वेग एकसमान $v$ है। अतः,$s_B = vt$।
चूंकि दोनों वस्तुएं $t$ समय पर एक ही स्थान पर मिलती हैं,इसलिए उनका विस्थापन समान होना चाहिए: $s_A = s_B$।
अतः,$(1/2)at^2 = vt$।
दोनों पक्षों को $t$ से विभाजित करने पर ($t \neq 0$ मानते हुए),हमें $(1/2)at = v$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर,$t = 2v/a$ प्राप्त होता है।

(D) गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v = 0$ (अंतिम वेग),$u$ प्रारंभिक वेग है,$a$ मंदन है,और $s$ रुकने की दूरी है।
चूँकि $0 = u^2 - 2as$,हमें $s = \frac{u^2}{2a}$ प्राप्त होता है।
यह मानते हुए कि मंदन $a$ स्थिर है,रुकने की दूरी $s$ प्रारंभिक वेग के वर्ग के सीधे आनुपातिक है: $s \propto u^2$।
इसलिए,$\frac{s_2}{s_1} = \left( \frac{u_2}{u_1} \right)^2$।
दिया गया है $u_1 = 50 \, km/hr$,$s_1 = 6 \, m$,और $u_2 = 100 \, km/hr$।
$\frac{s_2}{6} = \left( \frac{100}{50} \right)^2 = (2)^2 = 4$।
$s_2 = 4 \times 6 = 24 \, m$।

(D) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 200\; m/s$
अंतिम वेग $v = 100\; m/s$
दूरी $s = 10\; cm = 0.1\; m$
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 = u^2 + 2as$
$a = \frac{v^2 - u^2}{2s}$
$a = \frac{(100)^2 - (200)^2}{2 \times 0.1}$
$a = \frac{10000 - 40000}{0.2} = \frac{-30000}{0.2} = -150000\; m/s^2$
मंदन ऋणात्मक त्वरण का परिमाण है,इसलिए मंदन $= 15 \times 10^4\; m/s^2$.

(A) $n^{th}$ सेकंड में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$।
चूंकि वस्तु विरामावस्था से शुरू होती है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0\,m/s$ है।
त्वरण $a = 8\,m/s^2$ और समय $n = 5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$S_5 = 0 + \frac{8}{2}(2 \times 5 - 1)$
$S_5 = 4 \times (10 - 1)$
$S_5 = 4 \times 9 = 36\,m$।
अतः,$5^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $36\,m$ है।

(C) गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 = u^2 - 2as$।
चूंकि कार रुक जाती है,इसलिए अंतिम वेग $v = 0$ है।
अतः,$0 = u^2 - 2as$,जिससे $s = \frac{u^2}{2a}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि रुकने की दूरी $s$ प्रारंभिक वेग के वर्ग के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $s \propto u^2$।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u_1 = V$ है और रुकने की दूरी $s_1 = 20 \ m$ है।
जब वेग दोगुना हो जाता है,तो $u_2 = 2V$ हो जाता है।
अतः,$\frac{s_2}{s_1} = \left( \frac{u_2}{u_1} \right)^2 = \left( \frac{2V}{V} \right)^2 = 4$।
इस प्रकार,$s_2 = 4 \times s_1 = 4 \times 20 \ m = 80 \ m$।

(A) वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $x$,वेग के समय के सापेक्ष समाकलन द्वारा प्राप्त की जाती है: $x = \int_{t_1}^{t_2} v \, dt$.
यहाँ $v = kt$ और $k = 2 \, m/s^2$ दिया गया है,इसलिए हम $t = 0$ से $t = 3 \, s$ तक समाकलन करेंगे।
$x = \int_{0}^{3} 2t \, dt$.
$x = 2 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^3$.
$x = [t^2]_0^3 = 3^2 - 0^2 = 9 \, m$.
अतः,तय की गई दूरी $9 \, m$ है।

(C) दिया गया त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = bt$ है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए समय के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int_{v_0}^{v} dv = \int_{0}^{t} bt \, dt$
$v - v_0 = \frac{1}{2}bt^2$
$v = v_0 + \frac{1}{2}bt^2$
अब,चूंकि $v = \frac{ds}{dt}$,विस्थापन $s$ ज्ञात करने के लिए समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{s} ds = \int_{0}^{t} (v_0 + \frac{1}{2}bt^2) dt$
$s = [v_0t + \frac{1}{2}b \cdot \frac{t^3}{3}]_0^t$
$s = v_0t + \frac{1}{6}bt^3$.

(D) कण का वेग $v = \frac{ds}{dt} = at$ द्वारा दिया गया है।
पहले $4 \, s$ में तय की गई दूरी $s$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग का समय के सापेक्ष $t = 0$ से $t = 4 \, s$ तक समाकलन करेंगे:
$s = \int_{0}^{4} v \, dt = \int_{0}^{4} at \, dt$
$s = a \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$s = a \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = a \left( \frac{16}{2} \right) = 8a$.
अतः,तय की गई दूरी $8a$ है।

(D) गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 = u^2 + 2as$।
चूंकि अंतिम वेग $v = 0$ है,इसलिए $0 = u^2 - 2as$,जिसका अर्थ है $s = \frac{u^2}{2a}$।
यह मानते हुए कि मंदन $a$ स्थिर है,रुकने की दूरी $s$ प्रारंभिक वेग के वर्ग के सीधे आनुपातिक है: $s \propto u^2$।
इसलिए,$\frac{s_2}{s_1} = \left( \frac{u_2}{u_1} \right)^2$।
यहाँ $u_1 = 30 \, km/hr$,$s_1 = 8 \, m$,और $u_2 = 60 \, km/hr$ दिया गया है:
$\frac{s_2}{8} = \left( \frac{60}{30} \right)^2 = (2)^2 = 4$।
$s_2 = 4 \times 8 = 32 \, m$।

(A) कण की स्थिति $x = 40 + 12t - t^3$ द्वारा दी गई है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष स्थिति में परिवर्तन की दर है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(40 + 12t - t^3) = 12 - 3t^2$.
कण के विराम अवस्था में आने के लिए,उसका वेग शून्य होना चाहिए: $v = 0$.
$12 - 3t^2 = 0 \implies 3t^2 = 12 \implies t^2 = 4 \implies t = 2 \text{ s}$ (क्योंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता)।
$t = 0$ से $t = 2$ तक कण द्वारा तय की गई दूरी स्थिति में परिवर्तन के बराबर है:
$x(0) = 40 + 12(0) - (0)^3 = 40 \text{ m}$.
$x(2) = 40 + 12(2) - (2)^3 = 40 + 24 - 8 = 56 \text{ m}$.
तय की गई दूरी = $x(2) - x(0) = 56 - 40 = 16 \text{ m}$.

(C) दिया गया है: समय $t = 0$ पर,वेग $v = 0$ है।
त्वरण $f = f_0(1 - t/T)$ है।
जिस क्षण $f = 0$ होता है,तब $0 = f_0(1 - t/T)$। चूँकि $f_0$ एक स्थिरांक है,$1 - t/T = 0$,जिसका अर्थ है $t = T$।
हम जानते हैं कि त्वरण $f = \frac{dv}{dt}$,इसलिए $dv = f dt$।
दोनों पक्षों का $t = 0$ से $t = T$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{v_x} dv = \int_{0}^{T} f_0(1 - t/T) dt$
$v_x = f_0 \left[ t - \frac{t^2}{2T} \right]_{0}^{T}$
$v_x = f_0 \left( T - \frac{T^2}{2T} \right) = f_0 \left( T - \frac{T}{2} \right) = \frac{1}{2} f_0 T$.

(C) दिया गया है कि कण विरामावस्था से गति शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
चूंकि बल स्थिर है,इसलिए त्वरण $a$ भी स्थिर रहेगा।
समय $t$ में तय की गई दूरी $S$ गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ द्वारा दी जाती है।
$t = 10 \ s$ के लिए,दूरी $S_1 = 0(10) + \frac{1}{2}a(10)^2 = 50a$ है।
$t = 20 \ s$ के लिए,दूरी $S_2 = 0(20) + \frac{1}{2}a(20)^2 = 200a$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$S_2 = 200a = 4(50a) = 4S_1$ प्राप्त होता है।
अतः,$S_2 = 4S_1$।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 10 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 20 \, m/s$,और दूरी $s = 135 \, m$ है।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करने पर:
$(20)^2 - (10)^2 = 2 \times a \times 135$
$400 - 100 = 270a$
$300 = 270a$
$a = \frac{300}{270} = \frac{10}{9} \, m/s^2$.
अब,$t$ ज्ञात करने के लिए समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$20 = 10 + (\frac{10}{9})t$
$10 = (\frac{10}{9})t$
$t = 9 \, s$.

(A) $n^{th}$ सेकंड में कण द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$।
यहाँ,प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m/s$,त्वरण $a = \frac{4}{3} \ m/s^2$,और समय $n = 3 \ s$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$S_3 = 0 + \frac{4/3}{2}(2(3) - 1)$
$S_3 = \frac{4}{6}(6 - 1)$
$S_3 = \frac{2}{3}(5)$
$S_3 = \frac{10}{3} \ m$।
अतः,तीसरी सेकंड में तय की गई दूरी $\frac{10}{3} \ m$ है।

(A) दिया गया स्थिति समीकरण: $x = (t + 5)^{-1}$ ... $(i)$
वेग $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t + 5)^{-1} = -(t + 5)^{-2}$ ... (ii)
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}[-(t + 5)^{-2}] = 2(t + 5)^{-3}$ ... (iii)
समीकरण (ii) से,हमारे पास $v = -(t + 5)^{-2}$ है,जिसका अर्थ है कि $v^{3/2} = [-(t + 5)^{-2}]^{3/2} = -(t + 5)^{-3}$।
इस मान को समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a = -2v^{3/2}$ प्राप्त होता है।
अतः,त्वरण $(velocity)^{3/2}$ के समानुपाती है।

(D) दिया गया स्थिति समीकरण: $x = 8 + 12t - t^3$ है।
वेग $v$,स्थिति का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(8 + 12t - t^3) = 12 - 3t^2$।
जब वेग शून्य हो जाता है: $12 - 3t^2 = 0 \implies 3t^2 = 12 \implies t^2 = 4 \implies t = 2 \, s$।
त्वरण $a$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(12 - 3t^2) = -6t$।
$t = 2 \, s$ पर,त्वरण $a = -6(2) = -12 \, m/s^2$ है।
मंदन ऋणात्मक त्वरण का परिमाण होता है,इसलिए मंदन = $12 \, m/s^2$।

(B) कण का वेग $v = At + Bt^2$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि $v = \frac{ds}{dt}$,इसलिए $ds = (At + Bt^2) dt$ है।
$t = 1 \ s$ और $t = 2 \ s$ के बीच तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए,हम समय के सापेक्ष वेग का समाकलन करेंगे:
$s = \int_{1}^{2} (At + Bt^2) dt$
$s = \left[ \frac{At^2}{2} + \frac{Bt^3}{3} \right]_{1}^{2}$
$s = \left( \frac{A(2)^2}{2} + \frac{B(2)^3}{3} \right) - \left( \frac{A(1)^2}{2} + \frac{B(1)^3}{3} \right)$
$s = \left( 2A + \frac{8B}{3} \right) - \left( \frac{A}{2} + \frac{B}{3} \right)$
$s = (2A - \frac{A}{2}) + (\frac{8B}{3} - \frac{B}{3})$
$s = \frac{3}{2}A + \frac{7}{3}B$
चूंकि अंतराल $[1, 2]$ में वेग की दिशा नहीं बदल रही है,इसलिए दूरी विस्थापन के परिमाण के बराबर होगी।

(C) गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v$ अंतिम वेग है,$u$ प्रारंभिक वेग है,$a$ मंदन है,और $s$ दूरी है।
चूँकि गोली रुक जाती है,इसलिए $v = 0$ है।
अतः,$0 = u^2 - 2as$,जिसका अर्थ है $u^2 = 2as$।
यह मानते हुए कि समान गुटके के लिए मंदन $a$ स्थिर है,हमें $u^2 \propto s$ प्राप्त होता है।
इससे अनुपात मिलता है: $\frac{u_2^2}{u_1^2} = \frac{s_2}{s_1}$।
यहाँ $u_1 = 200 \, cm/s$,$s_1 = 4 \, cm$,और $s_2 = 9 \, cm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{u_2^2}{200^2} = \frac{9}{4}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{u_2}{200} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$।
$u_2 = 200 \times \frac{3}{2} = 300 \, cm/s$।

(D) गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए:
पहली $S$ दूरी के लिए,अंतिम वेग $2u$ है:
$(2u)^2 = u^2 + 2aS \Rightarrow 4u^2 = u^2 + 2aS \Rightarrow 2aS = 3u^2$.
अब,कुल $2S$ दूरी के लिए,मान लीजिए अंतिम वेग $v'$ है:
$(v')^2 = u^2 + 2a(2S) = u^2 + 2(2aS)$.
समीकरण में $2aS = 3u^2$ रखने पर:
$(v')^2 = u^2 + 2(3u^2) = u^2 + 6u^2 = 7u^2$.
अतः,$v' = \sqrt{7} u$.

(D) दिया गया है कि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
माना एकसमान त्वरण $a$ है।
$n$ सेकंड के बाद वेग $\upsilon = u + an = 0 + an$ है,इसलिए $a = \frac{\upsilon}{n}$।
$n$ सेकंड में विस्थापन $S_n = \frac{1}{2}an^2$ है।
$(n - 2)$ सेकंड में विस्थापन $S_{n-2} = \frac{1}{2}a(n - 2)^2$ है।
अंतिम दो सेकंड में विस्थापन $\Delta S = S_n - S_{n-2}$ है।
$\Delta S = \frac{1}{2}an^2 - \frac{1}{2}a(n - 2)^2 = \frac{a}{2}[n^2 - (n - 2)^2]$।
सर्वसमिका $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ का उपयोग करने पर:
$\Delta S = \frac{a}{2}[n - (n - 2)][n + (n - 2)] = \frac{a}{2}[2][2n - 2] = a(2n - 2)$।
$a = \frac{\upsilon}{n}$ का मान रखने पर:
$\Delta S = \frac{\upsilon}{n}(2n - 2) = \frac{2\upsilon(n - 1)}{n}$।

(B) मान लीजिए त्वरण $a$ है। बिंदु $A$ से विरामावस्था से चलना शुरू करता है और $t$ समय तक $a$ त्वरण के साथ चलकर $B$ बिंदु पर पहुँचता है।
$B$ पर वेग $v = at$ है।
दूरी $S_{AB} = \frac{1}{2}at^2$ है।
$B$ पर,त्वरण $-a$ हो जाता है। बिंदु तब तक चलता रहता है जब तक कि $C$ बिंदु पर उसका वेग शून्य न हो जाए।
$v_C = v_B + (-a)t'$ का उपयोग करने पर,जहाँ $v_C = 0$ और $v_B = at$,हमें $0 = at - at'$ मिलता है,इसलिए $t' = t$ है।
दूरी $S_{BC} = v_B t' - \frac{1}{2}at'^2 = (at)t - \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$ है।
कुल दूरी $S_{AC} = S_{AB} + S_{BC} = \frac{1}{2}at^2 + \frac{1}{2}at^2 = at^2$ है।
$C$ तक पहुँचने में लगा कुल समय $t + t = 2t$ है।
अब,बिंदु $C$ से $A$ की ओर $a$ त्वरण के प्रभाव में वापस आता है,जहाँ $C$ पर उसका प्रारंभिक वेग शून्य है।
$S_{AC} = \frac{1}{2}at_1^2$,जहाँ $t_1$ वापस आने में लगा समय है।
$at^2 = \frac{1}{2}at_1^2 \implies t_1^2 = 2t^2 \implies t_1 = \sqrt{2}t$ है।
कुल समय $T = 2t + t_1 = 2t + \sqrt{2}t = (2 + \sqrt{2})t$ है।

(B) मान लीजिए कि कण $u = 6\;m/s$ के वेग से दाईं ओर गति करता है। मंदन $a = 2\;m/s^2$ के कारण,$t_1$ समय के बाद इसका वेग शून्य हो जाता है।
$v = u - at$ से,$0 = 6 - 2t_1$,जिससे $t_1 = 3\;s$ प्राप्त होता है।
चूंकि मंदन $4\;s$ तक कार्य करता है,कण शेष $1\;s$ $(4\;s - 3\;s = 1\;s)$ के लिए विपरीत दिशा में त्वरित होता है।
पहले $3\;s$ में तय की गई दूरी ($O$ से $A$ तक): $S_{OA} = ut_1 - \frac{1}{2}at_1^2 = 6(3) - \frac{1}{2}(2)(3)^2 = 18 - 9 = 9\;m$.
अगले $1\;s$ में तय की गई दूरी ($A$ से $B$ तक): $S_{AB} = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}(2)(1)^2 = 1\;m$.
$O$ के सापेक्ष $B$ की स्थिति: $S_{OB} = S_{OA} - S_{AB} = 9 - 1 = 8\;m$.
$B$ पर वेग (वापसी यात्रा में): $v_B = at = 2(1) = 2\;m/s$.
$B$ से आगे,कण $8\;m$ की दूरी तय करने के लिए $2\;m/s$ के निरंतर वेग से गति करता है।
$B$ से $O$ तक पहुँचने में लगा समय: $t_{BO} = \frac{S_{OB}}{v_B} = \frac{8}{2} = 4\;s$.
$O$ पर वापस लौटने में लगा कुल समय: $T = t_{OA} + t_{AB} + t_{BO} = 3 + 1 + 4 = 8\;s$.

(D) दिया गया है कि मंदन $a = -\alpha x^2$ है। हम जानते हैं कि $a = v \frac{dv}{dx}$ होता है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v \frac{dv}{dx} = -\alpha x^2$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$v \, dv = -\alpha x^2 \, dx$ मिलता है।
दोनों पक्षों का प्रारंभिक वेग $v_0$ से अंतिम वेग $0$ तक और स्थिति $0$ से $S$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{v_0}^{0} v \, dv = -\alpha \int_{0}^{S} x^2 \, dx$.
समाकलन का मान निकालने पर:
$[\frac{v^2}{2}]_{v_0}^{0} = -\alpha [\frac{x^3}{3}]_{0}^{S}$.
$0 - \frac{v_0^2}{2} = -\alpha (\frac{S^3}{3})$.
$\frac{v_0^2}{2} = \frac{\alpha S^3}{3}$.
$S$ के लिए हल करने पर,हमें $S^3 = \frac{3v_0^2}{2\alpha}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $S = (\frac{3v_0^2}{2\alpha})^{1/3}$।

(A) मान लीजिए कि $y$ स्ट्रीट लैंप के आधार से व्यक्ति की दूरी है और $x$ उसकी परछाई की लंबाई है।
समरूप त्रिभुजों का उपयोग करते हुए,लैंप की ऊँचाई और आधार से कुल दूरी का अनुपात व्यक्ति की ऊँचाई और उसकी परछाई की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है:
$\frac{3h}{x + y} = \frac{h}{x}$
$3x = x + y$
$2x = y$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2 \frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt}$
यह दिया गया है कि व्यक्ति $v$ की स्थिर गति से दूर जा रहा है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = v$ है।
अतः,$\frac{dx}{dt} = \frac{v}{2}$।
परछाई की लंबाई बढ़ने की दर लैंप से दूरी पर निर्भर नहीं करती है,इसलिए $10h$ की दूरी पर भी यह $v/2$ ही होगी।

(B) दिया गया है कि त्वरण के परिवर्तन की दर स्थिर है: $\frac{da}{dt} = 2 m/s^3$.
प्रारंभिक स्थितियों $a(0) = 0$ के साथ समय $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$a = \int 2 dt = 2t$.
चूंकि त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$,इसलिए $\frac{dv}{dt} = 2t$ है।
प्रारंभिक वेग $v(0) = 0$ के साथ समय $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$v = \int 2t dt = t^2$.
चूंकि वेग $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = t^2$ है।
$t = 0$ से $t = 3 s$ तक तय की गई दूरी $x$ ज्ञात करने के लिए समाकलन करने पर:
$x = \int_{0}^{3} t^2 dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - 0 = \frac{27}{3} = 9 m$.

(B) कण का त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - t) = 2t - 1$ द्वारा दिया जाता है।
एक कण तब मंदन करता है जब उसका त्वरण और वेग विपरीत दिशाओं में होते हैं,अर्थात $a \cdot v < 0$।
$v$ और $a$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(2t - 1)(t^2 - t) < 0$
$(2t - 1)t(t - 1) < 0$
चूंकि $t \ge 0$,हम $t > 0$ के लिए व्यंजक $t(2t - 1)(t - 1) < 0$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $0 < t < 1/2$ के लिए: $t > 0$,$(2t - 1) < 0$,और $(t - 1) < 0$। गुणनफल $(+)(-)(-) = (+)$ है,जो $> 0$ है।
$2$. $1/2 < t < 1$ के लिए: $t > 0$,$(2t - 1) > 0$,और $(t - 1) < 0$। गुणनफल $(+)(+)(-) = (-)$ है,जो $< 0$ है।
$3$. $t > 1$ के लिए: $t > 0$,$(2t - 1) > 0$,और $(t - 1) > 0$। गुणनफल $(+)(+)(+) = (+)$ है,जो $> 0$ है।
अतः,कण $1/2 < t < 1$ अंतराल में मंदन करता है।

(A) कण संतुलन स्थिति $E$ की ओर निर्देशित एक स्थिर बल $F$ के तहत गति करता है। यह सरल आवर्त गति नहीं,बल्कि स्थिर त्वरण गति का एक मामला है।
जब कण $E$ से $A$ दूरी पर होता है,तो उसका त्वरण $a = \frac{F}{m}$ होता है।
प्रारंभिक स्थिति से $E$ तक पहुँचने में लगा समय गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। यहाँ,$s = A$,$u = 0$,और $a = \frac{F}{m}$ है।
$A = 0 + \frac{1}{2} \left(\frac{F}{m}\right) t_1^2 \implies t_1^2 = \frac{2Am}{F} \implies t_1 = \sqrt{\frac{2Am}{F}}$.
यह चरम स्थिति से संतुलन स्थिति $E$ तक यात्रा करने में लगा समय है। समरूपता के कारण,कण $E$ के दूसरी ओर समान दूरी $A$ तय करेगा और उसी समय $t_1$ में $E$ पर वापस आएगा,और फिर अगले $2t_1$ समय में प्रारंभिक स्थिति पर वापस आ जाएगा।
कुल आवर्तकाल $T = 4 \times t_1 = 4\sqrt{\frac{2Am}{F}}$ है।

(D) कण $E$ की ओर कार्य करने वाले एक स्थिर बल $F$ के तहत गति करता है। मान लीजिए $E$,$x = 0$ पर है। बल $x > 0$ के लिए $F = -F$ और $x < 0$ के लिए $F = +F$ है।
$x = -A$ से प्रारंभिक वेग $v = 0$ के साथ शुरू करने पर,त्वरण $a = F/m$ है।
गति का समीकरण $x(t) = -A + \frac{1}{2}at^2 = -A + \frac{F}{2m}t^2$ है।
$x = -A/2$ पर,$-A/2 = -A + \frac{F}{2m}t_1^2$,जिससे $\frac{A}{2} = \frac{F}{2m}t_1^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $t_1 = \sqrt{\frac{mA}{F}}$।
$x = -A/2$ पर वेग $v_1 = at_1 = \frac{F}{m} \sqrt{\frac{mA}{F}} = \sqrt{\frac{FA}{m}}$ है।
$x = -A/2$ से $x = 0$ तक,कण प्रारंभिक वेग $v_1$ और त्वरण $a = F/m$ के साथ गति करता है।
$x = v_1 t_2 + \frac{1}{2}at_2^2$ का उपयोग करने पर,$A/2 = \sqrt{\frac{FA}{m}} t_2 + \frac{F}{2m}t_2^2$।
मान लीजिए $k = \sqrt{\frac{mA}{F}}$। तो $A/2 = \frac{A}{k} t_2 + \frac{A}{2k^2}t_2^2$।
$A/2$ से विभाजित करने पर,$1 = \frac{2}{k} t_2 + \frac{1}{k^2}t_2^2$,या $t_2^2 + 2kt_2 - k^2 = 0$।
$t_2$ के लिए हल करने पर,$t_2 = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 + 4k^2}}{2} = k(\sqrt{2}-1)$।
कुल समय $t = t_1 + t_2 = k + k(\sqrt{2}-1) = k\sqrt{2} = \sqrt{\frac{2mA}{F}}$।
चूंकि यह परिणाम विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B) दिया गया वेग $v = \frac{dx}{dt} = \alpha \sqrt{x}$ है।
चरों को अलग करने पर:
$\frac{dx}{\sqrt{x}} = \alpha dt$.
$t=0$ पर $x=0$ की प्रारंभिक स्थिति के साथ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{x} x^{-1/2} dx = \int_{0}^{t} \alpha dt$.
समाकलन हल करने पर:
$[2x^{1/2}]_{0}^{x} = \alpha [t]_{0}^{t}$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$2\sqrt{x} = \alpha t$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4x = \alpha^2 t^2$.
अतः,विस्थापन $x$ समय $t^2$ के समानुपाती है:
$x \propto t^2$.

(C) हम जानते हैं कि वेग $v = \frac{dx}{dt}$,जिसका अर्थ है $dx = v \, dt$।
$t = 0$ पर $x = 0$ की प्रारंभिक स्थिति के साथ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$x = \int_{0}^{t} v \, dt = \int_{0}^{t} (v_0 + gt + ft^2) \, dt$।
समाकलन करने पर:
$x = \left[ v_0 t + \frac{gt^2}{2} + \frac{ft^3}{3} \right]_{0}^{t} = v_0 t + \frac{gt^2}{2} + \frac{ft^3}{3}$।
इकाई समय $(t = 1)$ पर विस्थापन ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $t = 1$ रखने पर:
$x = v_0(1) + \frac{g(1)^2}{2} + \frac{f(1)^3}{3} = v_0 + \frac{g}{2} + \frac{f}{3}$।

(C) दिया गया मंदन समीकरण: $\frac{dv}{dt} = - 2.5\sqrt{v}$.
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dv}{\sqrt{v}} = - 2.5 \ dt$.
दोनों पक्षों का प्रारंभिक गति $v = 6.25 \ m/s$ से अंतिम गति $v = 0 \ m/s$ तक समय $t$ के लिए समाकलन करने पर:
$\int_{6.25}^{0} v^{-1/2} \ dv = \int_{0}^{t} - 2.5 \ dt$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$[2\sqrt{v}]_{6.25}^{0} = - 2.5t$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$2(\sqrt{0} - \sqrt{6.25}) = - 2.5t$.
$2(0 - 2.5) = - 2.5t$.
$-5 = - 2.5t$.
$t = \frac{5}{2.5} = 2 \ s$.

(D) मान लीजिए प्रत्येक ट्रेन की गति $u = 40\ m/s$ है। उनके बीच की कुल दूरी $d = 2.0\ km = 2000\ m$ है।
टक्कर से बचने के लिए,प्रत्येक ट्रेन को $s = d/2 = 1000\ m$ की दूरी तय करने के बाद रुक जाना चाहिए।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v = 0$ (अंतिम वेग),$u = 40\ m/s$,और $s = 1000\ m$ है:
$0 = (40)^2 + 2a(1000)$
$0 = 1600 + 2000a$
$2000a = -1600$
$a = -1600 / 2000 = -0.8\ m/s^2$.
अतः,मंदन का मान $0.8\ m/s^2$ है।

(B) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x^3 = t^3 + 1$.
दोनों पक्षों का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3x^2 \frac{dx}{dt} = 3t^2$
$x^2 v = t^2$,जहाँ $v = \frac{dx}{dt}$ वेग है।
$v = \frac{t^2}{x^2}$.
अब $x^2 v = t^2$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dt} v + x^2 \frac{dv}{dt} = 2t$
चूँकि $a = \frac{dv}{dt}$ त्वरण है,इसलिए:
$2x v^2 + x^2 a = 2t$
$v = \frac{t^2}{x^2}$ का मान रखने पर:
$2x (\frac{t^2}{x^2})^2 + x^2 a = 2t$
$2x \frac{t^4}{x^4} + x^2 a = 2t$
$x^2 a = 2t - \frac{2t^4}{x^3}$
चूँकि $x^3 = t^3 + 1$,इसलिए $t^3 = x^3 - 1$:
$x^2 a = 2t - \frac{2t(t^3)}{x^3} = 2t - \frac{2t(x^3 - 1)}{x^3} = 2t - 2t + \frac{2t}{x^3} = \frac{2t}{x^3}$
$a = \frac{2t}{x^3 \cdot x^2} = \frac{2t}{x^5}$.

(A) कुल समय को कम करने के लिए,ट्रेन को अधिकतम गति $(v_{max} = 10 \ m/s)$ तक पहुँचने के लिए अपनी अधिकतम दर $(a_1 = 10 \ m/s^2)$ पर त्वरित होना चाहिए और रुकने के लिए अपनी अधिकतम दर $(a_2 = 5 \ m/s^2)$ पर मंदित होना चाहिए।
त्वरण के लिए लिया गया समय $(t_1)$: $v = u + a_1 t_1 \implies 10 = 0 + 10 t_1 \implies t_1 = 1 \ s$.
त्वरण के दौरान तय की गई दूरी $(d_1)$: $d_1 = \frac{1}{2} a_1 t_1^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (1)^2 = 5 \ m$.
मंदन के लिए लिया गया समय $(t_2)$: $v = u - a_2 t_2 \implies 0 = 10 - 5 t_2 \implies t_2 = 2 \ s$.
मंदन के दौरान तय की गई दूरी $(d_2)$: $d_2 = v_{max} t_2 - \frac{1}{2} a_2 t_2^2 = 10 \times 2 - \frac{1}{2} \times 5 \times (2)^2 = 20 - 10 = 10 \ m$.
स्थिर गति पर तय की जाने वाली शेष दूरी $(d_3)$: $d_3 = 135 - (d_1 + d_2) = 135 - (5 + 10) = 120 \ m$.
स्थिर गति पर लिया गया समय $(t_3)$: $t_3 = \frac{d_3}{v_{max}} = \frac{120}{10} = 12 \ s$.
कुल समय $(T)$: $T = t_1 + t_2 + t_3 = 1 + 2 + 12 = 15 \ s$.

(B) विस्थापन $x = \frac{k}{b^2}(1 - e^{-bt})$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [\frac{k}{b^2}(1 - e^{-bt})] = \frac{k}{b^2} [0 - (-b)e^{-bt}] = \frac{k}{b^2} (b e^{-bt}) = \frac{k}{b} e^{-bt}$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग $v$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} [\frac{k}{b} e^{-bt}] = \frac{k}{b} (-b) e^{-bt} = -k e^{-bt}$.
अतः,कण का त्वरण $-k e^{-bt}$ है।