Mixture of Gases Questions in Gujarati

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$. અહીં કદ $V$,તાપમાન $T$ અને વાયુ અચળાંક $R$ અચળ હોવાથી,$P \propto n$ થાય.
નાઈટ્રોજનના શરૂઆતના મોલ $(n_{N_2})$: $n_{N_2} = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{35 \, kg}{28 \, g/mol} = \frac{35000 \, g}{28 \, g/mol} = 1250 \, mol$.
પ્રમાણસરતા $P_1/P_2 = n_1/n_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$6/9 = 1250 / n_{total}$
$n_{total} = 1250 \times (9/6) = 1250 \times 1.5 = 1875 \, mol$.
કુલ મોલ $n_{total} = n_{N_2} + n_{O_2}$,તેથી $n_{O_2} = 1875 - 1250 = 625 \, mol$.
ઉમેરવામાં આવેલ ઓક્સિજનનું દળ = $n_{O_2} \times O_2$ નું મોલર દળ = $625 \, mol \times 32 \, g/mol = 20000 \, g = 20 \, kg$.

(A) આપેલ છે: કદ $V = 0.02 \, m^3$,તાપમાન $T = 20 + 273 = 293 \, K$,દબાણ $P = 2 \, atm = 2.026 \times 10^5 \, Pa$. કુલ દળ $M = 5 \, g$.
ધારો કે હાઇડ્રોજનનું દળ $m_H$ અને હિલિયમનું દળ $m_{He}$ છે. તેથી $m_H + m_{He} = 5 \, g$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{m}{M_{mol}}$:
$PV = \left( \frac{m_H}{2} + \frac{m_{He}}{4} \right) RT$.
$2.026 \times 10^5 \times 0.02 = \left( \frac{m_H}{2} + \frac{5 - m_H}{4} \right) \times 8.314 \times 293$.
$4052 = \left( \frac{m_H + 5}{4} \right) \times 2436$.
$16208 = 2436m_H + 12180$.
$4028 = 2436m_H \implies m_H \approx 1.65 \, g$.
$m_{He} = 5 - 1.65 = 3.35 \, g$.
ગુણોત્તર $m_H : m_{He} = 1.65 : 3.35 \approx 1 : 2$.

(C) મિશ્રણ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = n_{total}RT$ છે,જ્યાં $n_{total} = \sum \frac{m_i}{M_i}$.
પ્રથમ,દરેક વાયુ માટે મોલની સંખ્યા ગણો:
$n_{N_2} = \frac{28 \, g}{28 \, g/mol} = 1 \, mol$
$n_{H_2} = \frac{4 \, g}{2 \, g/mol} = 2 \, mol$
$n_{He} = \frac{8 \, g}{4 \, g/mol} = 2 \, mol$
કુલ મોલ $n_{total} = 1 + 2 + 2 = 5 \, mol$.
કુલ દળ $m_{total} = 28 + 4 + 8 = 40 \, g = 0.04 \, kg$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = n_{total}RT$ નો ઉપયોગ કરીને,કદ $V = \frac{n_{total}RT}{P}$ શોધો.
$V = \frac{5 \times 8.3 \times 400}{8.3 \times 10^5} = \frac{2000}{10^5} = 0.02 \, m^3$.
ઘનતા $\rho = \frac{m_{total}}{V} = \frac{0.04 \, kg}{0.02 \, m^3} = 2 \, kg/m^3$.
કારણ કે $1 \, kg/m^3 = 1 \, g/litre$,તેથી ઘનતા $2 \, g/litre$ થાય.

(B) વાયુઓના મિશ્રણનું સમતુલ્ય મોલર દળ $(M_{mix})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$M_{mix} = \frac{n_1 M_1 + n_2 M_2}{n_1 + n_2}$
આપેલ છે:
$n_1 = 5 \ mol$ (હિલિયમ),$M_1 = 4 \ g/mol$
$n_2 = 2 \ mol$ (હાઇડ્રોજન),$M_2 = 2 \ g/mol$
કિંમતો મૂકતા:
$M_{mix} = \frac{(5 \times 4) + (2 \times 2)}{5 + 2}$
$M_{mix} = \frac{20 + 4}{7}$
$M_{mix} = \frac{24}{7} \ g/mol$

(A) હિલિયમ $(He)$ એક પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી તેની મુક્તિની માત્રા $f_1 = 3$ છે. મોલની સંખ્યા $n_1 = 5$ છે.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી તેની મુક્તિની માત્રા $f_2 = 5$ છે. મોલની સંખ્યા $n_2 = 2$ છે.
વાયુઓના મિશ્રણ માટે સમતુલ્ય મુક્તિની માત્રા $f_{mix}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f_{mix} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$f_{mix} = \frac{(5 \times 3) + (2 \times 5)}{5 + 2}$
$f_{mix} = \frac{15 + 10}{7}$
$f_{mix} = \frac{25}{7} \approx 3.57$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) વાયુઓના મિશ્રણ માટે,અચળ કદ પર સમતુલ્ય મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{V,mix} = \frac{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}{n_1 + n_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હિલિયમ એક પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી $C_{V1} = \frac{3}{2}R$. હાઇડ્રોજન દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી $C_{V2} = \frac{5}{2}R$.
અહીં $n_1 = 5 \ mol$ અને $n_2 = 2 \ mol$ આપેલ છે,તેથી $C_{V,mix} = \frac{5(\frac{3}{2}R) + 2(\frac{5}{2}R)}{5 + 2} = \frac{7.5R + 5R}{7} = \frac{12.5R}{7}$.
અચળ દબાણ પર સમતુલ્ય મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{P,mix} = \frac{n_1 C_{P1} + n_2 C_{P2}}{n_1 + n_2}$ છે.
હિલિયમ માટે,$C_{P1} = \frac{5}{2}R$. હાઇડ્રોજન માટે,$C_{P2} = \frac{7}{2}R$.
$C_{P,mix} = \frac{5(\frac{5}{2}R) + 2(\frac{7}{2}R)}{5 + 2} = \frac{12.5R + 7R}{7} = \frac{19.5R}{7}$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{mix} = \frac{C_{P,mix}}{C_{V,mix}} = \frac{19.5R/7}{12.5R/7} = \frac{19.5}{12.5} = 1.56$.

(D) વાયુની આંતરિક ઉર્જા એ જથ્થાત્મક ગુણધર્મ છે,જેનો અર્થ છે કે તે હાજર દ્રવ્યના કુલ જથ્થા પર આધાર રાખે છે.
જ્યારે બે પ્રક્રિયા ન કરતા વાયુઓને મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિણામી મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઉર્જા એ વ્યક્તિગત ઘટકોની આંતરિક ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
આપેલ છે:
$He$ નમૂનાની આંતરિક ઉર્જા $(U_{He})$ = $100\ J$
$H_2$ નમૂનાની આંતરિક ઉર્જા $(U_{H_2})$ = $200\ J$
જેহেতু વાયુઓ રાસાયણિક રીતે પ્રક્રિયા કરતા નથી,તેથી મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઉર્જા $(U_{mix})$ નીચે મુજબ છે:
$U_{mix} = U_{He} + U_{H_2}$
$U_{mix} = 100\ J + 200\ J = 300\ J$

(D) ઉર્જાનો કોઈ વ્યય થતો નથી અને કોઈ બાહ્ય કાર્ય થતું નથી,તેથી તંત્રની કુલ આંતરિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
એક-પરમાણ્વિક વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{3}{2} n R T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $T$ છે.
કુલ પ્રારંભિક આંતરિક ઉર્જા $U_i = \frac{3}{2} n_1 R T_1 + \frac{3}{2} n_2 R T_2$ છે.
કુલ અંતિમ આંતરિક ઉર્જા $U_f = \frac{3}{2} (n_1 + n_2) R T$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$U_i = U_f$.
$\frac{3}{2} n_1 R T_1 + \frac{3}{2} n_2 R T_2 = \frac{3}{2} (n_1 + n_2) R T$.
બંને બાજુ $\frac{3}{2} R$ વડે ભાગતા,આપણને $n_1 T_1 + n_2 T_2 = (n_1 + n_2) T$ મળે છે.
તેથી,અંતિમ તાપમાન $T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$ થશે.

(D) $N_2$ ના મોલની સંખ્યા: $n_{N_2} = \frac{7 \, kg}{28 \, kg/kmol} = 0.25 \, kmol$.
$N_2$ માટે મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom): $f_{N_2} = \frac{2}{\gamma_{N_2}-1} = \frac{2}{1.4-1} = 5$.
$CO_2$ ના મોલની સંખ્યા: $n_{CO_2} = \frac{11 \, kg}{44 \, kg/kmol} = 0.25 \, kmol$.
$CO_2$ માટે મુક્તિની માત્રા: $f_{CO_2} = \frac{2}{\gamma_{CO_2}-1} = \frac{2}{1.3-1} = \frac{20}{3}$.
સમતુલ્ય આણ્વીય દળ $M_{mix} = \frac{m_1 + m_2}{n_1 + n_2} = \frac{7 + 11}{0.25 + 0.25} = \frac{18}{0.5} = 36 \, kg/kmol$.
સમતુલ્ય મુક્તિની માત્રા $f_{mix} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2} = \frac{0.25(5) + 0.25(20/3)}{0.25 + 0.25} = \frac{5 + 20/3}{2} = \frac{35/3}{2} = \frac{35}{6}$.
સમતુલ્ય એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{mix} = 1 + \frac{2}{f_{mix}} = 1 + \frac{2}{35/6} = 1 + \frac{12}{35} = \frac{47}{35}$.
આમ,$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(B) પાત્ર અવાહક હોવાથી,$Q = 0$. વિભાજકને કોઈ પણ કાર્ય કર્યા વગર દૂર કરવામાં આવે છે,તેથી $W = 0$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q + W = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કુલ આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે છે: $U_{initial} = U_{final}$.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = n C_v T$ છે.
તેથી,$n_1 C_v T_1 + n_2 C_v T_2 = (n_1 + n_2) C_v T$.
બંને બાજુથી $C_v$ દૂર કરતા,આપણને $T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$ મળે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$n_1 = \frac{P_1 V_1}{R T_1}$ અને $n_2 = \frac{P_2 V_2}{R T_2}$ મળે છે.
આ કિંમતોને $T$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = \frac{(\frac{P_1 V_1}{R T_1}) T_1 + (\frac{P_2 V_2}{R T_2}) T_2}{\frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2}} = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{\frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2}}$.
છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$T = \frac{R(P_1 V_1 + P_2 V_2)}{\frac{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}{T_1 T_2}} = \frac{T_1 T_2 (P_1 V_1 + P_2 V_2)}{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}$.

(C) ઉર્જાનો કોઈ વ્યય થતો ન હોવાથી મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
$T$ તાપમાને $n$ અણુઓ ધરાવતા વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} n k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે અને $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
મિશ્રણ માટે,કુલ ઉર્જા એ વ્યક્તિગત વાયુઓની ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$U_{total} = U_1 + U_2 + U_3$
$\frac{f}{2} (n_1 + n_2 + n_3) k_B T_{mix} = \frac{f}{2} n_1 k_B T_1 + \frac{f}{2} n_2 k_B T_2 + \frac{f}{2} n_3 k_B T_3$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{f}{2} k_B$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$(n_1 + n_2 + n_3) T_{mix} = n_1 T_1 + n_2 T_2 + n_3 T_3$
તેથી,મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન:
$T_{mix} = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2 + n_3 T_3}{n_1 + n_2 + n_3}$

(B) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને તે $K_{av} = \frac{3}{2} kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બંને વાયુઓ સમાન ઓરડાના તાપમાને હોવાથી,$H_2$ અને $Ar$ બંને માટે પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા સમાન હોય છે. તેથી,વિધાન $(i)$ સાચું છે.
બંધ પાત્રમાં આદર્શ વાયુ મિશ્રણ માટે,ઘટકનું આંશિક દબાણ $p_i = \frac{n_i}{n_{total}} P_{total}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. હાઇડ્રોજનના મોલની સંખ્યા $(n_{H_2} = 2)$ આર્ગોનના મોલની સંખ્યા $(n_{Ar} = 1)$ કરતા વધારે હોવાથી,હાઇડ્રોજનનું આંશિક દબાણ આર્ગોનના આંશિક દબાણ કરતા વધારે હશે. તેથી,વિધાન $(ii)$ ખોટું છે.

(A) $H_2$ ના મોલની સંખ્યા $n_1 = \frac{1 \, g}{2 \, g/mol} = 0.5 \, mol$ છે.
$O_2$ ના મોલની સંખ્યા $n_2 = \frac{16 \, g}{32 \, g/mol} = 0.5 \, mol$ છે.
$H_2$ અને $O_2$ બંને દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુઓ છે,તેથી તેમની અચળ કદ પરની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા સમાન છે $(C_{v1} = C_{v2} = \frac{5}{2}R)$.
મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $T$ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$n_1 C_v (T - T_1) + n_2 C_v (T - T_2) = 0$
$T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$
તાપમાનને કેલ્વિનમાં ફેરવતા: $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$ અને $T_2 = 37 + 273 = 310 \, K$.
$T = \frac{0.5 \times 300 + 0.5 \times 310}{0.5 + 0.5} = \frac{150 + 155}{1} = 305 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T = 305 - 273 = 32 \, ^oC$.

(C) હિલિયમ $(He)$ માટે: મોલર દળ $M_1 = 4 \ g/mol$,મુક્તિના અંશો $f_1 = 3$,દળ $m_1 = 8 \ g$. મોલની સંખ્યા $n_1 = 8/4 = 2 \ mol$.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે: મોલર દળ $M_2 = 32 \ g/mol$,મુક્તિના અંશો $f_2 = 5$,દળ $m_2 = 16 \ g$. મોલની સંખ્યા $n_2 = 16/32 = 0.5 \ mol$.
સરેરાશ મુક્તિના અંશો $f_{av}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_{av} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2} = \frac{(2 \times 3) + (0.5 \times 5)}{2 + 0.5} = \frac{6 + 2.5}{2.5} = \frac{8.5}{2.5} = \frac{17}{5} = 3.4$.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma_{av} = 1 + \frac{2}{f_{av}} = 1 + \frac{2}{3.4} = 1 + \frac{20}{34} = 1 + \frac{10}{17} = \frac{27}{17}$.

(B) જ્યારે બે પાત્રોને જોડવામાં આવે છે ત્યારે વાયુના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે.
પ્રથમ પાત્રમાં રહેલા મોલની સંખ્યા $n_1 = \frac{P_1 V}{R T_1}$ છે.
બીજા પાત્રમાં રહેલા મોલની સંખ્યા $n_2 = \frac{P_2 V}{R T_2}$ છે.
જોડ્યા પછી,કુલ કદ $2V$ થાય છે,અને વાયુ સમાન દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ પ્રાપ્ત કરે છે. મોલની કુલ સંખ્યા $n = n_1 + n_2 = \frac{P(2V)}{RT}$ છે.
કુલ મોલને સરખાવતા:
$\frac{P_1 V}{R T_1} + \frac{P_2 V}{R T_2} = \frac{P(2V)}{RT}$
બંને બાજુને $V/R$ વડે ભાગતા:
$\frac{P_1}{T_1} + \frac{P_2}{T_2} = \frac{2P}{T}$
$P$ માટે ગોઠવતા:
$P = \frac{1}{2} \left( \frac{P_1}{T_1} + \frac{P_2}{T_2} \right) T$

(C) $\gamma_1 = \frac{7}{5}$ વાળા વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_{v1} = \frac{R}{\gamma_1 - 1} = \frac{R}{\frac{7}{5} - 1} = \frac{5}{2} R$ છે.
$\gamma_2 = \frac{4}{3}$ વાળા વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_{v2} = \frac{R}{\gamma_2 - 1} = \frac{R}{\frac{4}{3} - 1} = 3R$ છે.
$n_1 = 1 \, \text{mole}$ અને $n_2 = 1 \, \text{mole}$ ના મિશ્રણ માટે,અચળ કદ પર સમતુલ્ય મોલર ઉષ્મા ધારિતા નીચે મુજબ છે:
$C_{v, \text{mix}} = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2} = \frac{1 \cdot \frac{5}{2} R + 1 \cdot 3R}{1 + 1} = \frac{\frac{11}{2} R}{2} = \frac{11}{4} R$.
મિશ્રણ માટે અચળ દબાણ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_{p, \text{mix}} = C_{v, \text{mix}} + R = \frac{11}{4} R + R = \frac{15}{4} R$ છે.
તેથી,મિશ્રણ માટે એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{\text{mix}} = \frac{C_{p, \text{mix}}}{C_{v, \text{mix}}} = \frac{\frac{15}{4} R}{\frac{11}{4} R} = \frac{15}{11}$ થાય.

(B) અચળ દબાણે થતી પ્રક્રિયા માટે,આપવામાં આવેલી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખ પરથી,રેખાનો ઢાળ $C_p = \frac{Q}{n \Delta T} = \frac{2500 \text{ J}}{1 \text{ mol} \times 100 \text{ K}} = 25 \text{ J/(mol K)}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_p = \frac{f+2}{2} R$,જ્યાં $f$ એ મુક્તિની માત્રા (degree of freedom) છે.
$R \approx 8.314 \text{ J/(mol K)}$ લેતા,આપણને $25 = \frac{f+2}{2} \times 8.314$ મળે છે.
$\frac{f+2}{2} \approx 3.007 \Rightarrow f+2 \approx 6.014 \Rightarrow f \approx 4.014 \approx 4$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ એ $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f = 4$ મૂકતા,આપણને $\gamma = 1 + \frac{2}{4} = 1 + 0.5 = 1.5$ મળે છે.

(B) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ધારો કે મિશ્રણ માટે $\gamma$ અંદાજે અચળ રહે છે,તેથી $v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$.
ધારો કે ઓક્સિજનનું કદ $V$ છે. તો હાઇડ્રોજનનું કદ $4V$ થશે. કુલ કદ $5V$ છે.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ નું મોલર દળ $2 \, g/mol$ અને ઓક્સિજન $(O_2)$ નું $32 \, g/mol$ છે.
ઘનતા $\rho$ એ મોલર દળ $M$ ના પ્રમાણમાં હોય છે. મિશ્રણનું અસરકારક મોલર દળ $M_{mix}$ નીચે મુજબ છે:
$M_{mix} = \frac{n_1 M_1 + n_2 M_2}{n_1 + n_2} = \frac{4(2) + 1(32)}{4 + 1} = \frac{8 + 32}{5} = \frac{40}{5} = 8 \, g/mol$.
હાઇડ્રોજનની ઘનતા તેના મોલર દળ $M_{H_2} = 2 \, g/mol$ ના પ્રમાણમાં છે.
આમ,ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\rho_{mix}}{\rho_{H_2}} = \frac{8}{2} = 4$ છે.
સંબંધ $v_{mix} = v_{H_2} \times \sqrt{\frac{\rho_{H_2}}{\rho_{mix}}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v_{mix} = 1270 \times \sqrt{\frac{1}{4}} = 1270 \times \frac{1}{2} = 635 \, m/s$.

(B) વાયુઓના મિશ્રણ માટે,એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{mix}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\gamma_{mix} = \frac{n_1 C_{P1} + n_2 C_{P2}}{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}$
સ્વતંત્રતાના અંશો $f$ નો ઉપયોગ કરતા:
$C_V = \frac{f}{2}R$ અને $C_P = (\frac{f}{2} + 1)R$
હિલિયમ (એક-પરમાણ્વીય) માટે,$f_1 = 3$,તેથી $C_{V1} = \frac{3}{2}R$ અને $C_{P1} = \frac{5}{2}R$.
હાઇડ્રોજન (દ્વિ-પરમાણ્વીય) માટે,$f_2 = 5$,તેથી $C_{V2} = \frac{5}{2}R$ અને $C_{P2} = \frac{7}{2}R$.
અહીં $n_1 = 2$ અને $n_2 = n$ આપેલ છે,અને મિશ્રણનો ગુણોત્તર $\frac{C_P}{C_V} = \frac{3}{2}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2(\frac{5}{2}R) + n(\frac{7}{2}R)}{2(\frac{3}{2}R) + n(\frac{5}{2}R)} = \frac{3}{2}$
$\frac{5 + 3.5n}{3 + 2.5n} = \frac{3}{2}$
$10 + 7n = 9 + 7.5n$
$0.5n = 1$
$n = 2$.

(A) તંત્રની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U_{\text{total}}$ એ વ્યક્તિગત વાયુઓની આંતરિક ઉર્જાનો સરવાળો છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,જે દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,સ્વતંત્રતાના અંશો $f_1 = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે.
ઓક્સિજનની આંતરિક ઉર્જા $U_{O_2} = n_1 \frac{f_1}{2} RT = 3 \times \frac{5}{2} RT = 7.5 \, RT$ છે.
આર્ગોન $(Ar)$ માટે,જે એક-પરમાણ્વીય વાયુ છે,સ્વતંત્રતાના અંશો $f_2 = 3$ ($3$ સ્થાનાંતરિત) છે.
આર્ગોનની આંતરિક ઉર્જા $U_{Ar} = n_2 \frac{f_2}{2} RT = 5 \times \frac{3}{2} RT = 7.5 \, RT$ છે.
કુલ આંતરિક ઉર્જા $U_{\text{total}} = U_{O_2} + U_{Ar} = 7.5 \, RT + 7.5 \, RT = 15 \, RT$ થાય છે.

(A) હિલિયમ (એક-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 3$ છે.
હાઇડ્રોજન (દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 5$ છે.
મોલની સંખ્યા $n_1 = 2$ અને $n_2 = 3$ છે.
મિશ્રણ માટે અસરકારક મુક્તિના અંશો $f_{\text{mix}} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $f_{\text{mix}} = \frac{2 \times 3 + 3 \times 5}{2 + 3} = \frac{6 + 15}{5} = \frac{21}{5} = 4.2$.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v, \text{mix}} = \frac{f_{\text{mix}} R}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $C_{v, \text{mix}} = \frac{4.2 \times 8.3}{2} = 2.1 \times 8.3 = 17.43\, J/mol\, K$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $17.4\, J/mol\, K$ છે.

(C) ઓક્સિજનના મોલની સંખ્યા $(n_1 = 3)$ દ્વિ-પરમાણ્વીય છે,તેથી તેની મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $f_1 = 5$ છે. હિલિયમના મોલની સંખ્યા $(n_2 = 2)$ એક-પરમાણ્વીય છે,તેથી તેની મુક્તિની માત્રા $f_2 = 3$ છે.
મિશ્રણ માટે સમતુલ્ય મુક્તિની માત્રા $f_{mix} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $f_{mix} = \frac{3 \times 5 + 2 \times 3}{3 + 2} = \frac{15 + 6}{5} = \frac{21}{5} = 4.2$.
મિશ્રણ માટે વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma_{mix} = 1 + \frac{2}{f_{mix}}$ છે.
$\gamma_{mix} = 1 + \frac{2}{4.2} = 1 + \frac{20}{42} = 1 + \frac{10}{21} = \frac{31}{21} \approx 1.476$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $1.5$ છે.

(B) પ્રક્રિયા ન કરતા વાયુઓના મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન શોધવાનું સૂત્ર: $T_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{v1} T_1 + n_2 C_{v2} T_2}{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}$.
$N_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,$n_1 = 2 \text{ mole}$ અને $C_{v1} = \frac{5}{2}R$. તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$.
$He$ (એક-પરમાણ્વિક વાયુ) માટે,$n_2 = 1 \text{ mole}$ અને $C_{v2} = \frac{3}{2}R$. તાપમાન $T_2 = -73 + 273 = 200 \, K$.
કિંમતો મૂકતા:
$T_{\text{mix}} = \frac{2 \times (\frac{5}{2}R) \times 300 + 1 \times (\frac{3}{2}R) \times 200}{2 \times (\frac{5}{2}R) + 1 \times (\frac{3}{2}R)}$
$T_{\text{mix}} = \frac{1500R + 300R}{5R + 1.5R} = \frac{1800R}{6.5R} = \frac{1800}{6.5} \approx 276.92 \, K \approx 277 \, K$.

(A) એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_{v1} = \frac{R}{\gamma_1 - 1} = \frac{R}{5/3 - 1} = \frac{3R}{2}$ અને $C_{p1} = \gamma_1 C_{v1} = \frac{5}{3} \times \frac{3R}{2} = \frac{5R}{2}$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_{v2} = \frac{R}{\gamma_2 - 1} = \frac{R}{7/5 - 1} = \frac{5R}{2}$ અને $C_{p2} = \gamma_2 C_{v2} = \frac{7}{5} \times \frac{5R}{2} = \frac{7R}{2}$.
મિશ્રણ માટે,અચળ કદે કુલ ઉષ્મા ધારિતા $C_{v, \text{mix}} = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2} = \frac{1 \times \frac{3R}{2} + 1 \times \frac{5R}{2}}{1 + 1} = \frac{4R}{2} = 2R$ છે.
અચળ દબાણે કુલ ઉષ્મા ધારિતા $C_{p, \text{mix}} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 + n_2} = \frac{1 \times \frac{5R}{2} + 1 \times \frac{7R}{2}}{1 + 1} = \frac{6R}{2} = 3R$ છે.
આમ,$\gamma_{\text{mix}} = \frac{C_{p, \text{mix}}}{C_{v, \text{mix}}} = \frac{3R}{2R} = 3/2$.

(B) વાયુઓના મિશ્રણ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)_{mix}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$(C_V)_{mix} = \frac{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}{n_1 + n_2}$
અહીં,$n_1 = 1$ મોલ $He$ (એક-પરમાણ્વિક વાયુ),તેથી $C_{V1} = \frac{3}{2} R$.
$n_2 = 3$ મોલ $O_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ),તેથી $C_{V2} = \frac{5}{2} R$.
કિંમતો મૂકતા:
$(C_V)_{mix} = \frac{1 \times (\frac{3}{2} R) + 3 \times (\frac{5}{2} R)}{1 + 3}$
$(C_V)_{mix} = \frac{1.5 R + 7.5 R}{4}$
$(C_V)_{mix} = \frac{9 R}{4} = 2.25 R$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = U_0 + nC_vT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સંબંધ $U = 2 + 2PV$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે તેને આપેલ સંબંધમાં મૂકીએ છીએ:
$U = 2 + 2nRT$.
તાપમાન $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dU}{dT} = 2nR$.
કારણ કે $C_v = \frac{1}{n} \frac{dU}{dT}$,તેથી $C_v = 2R$.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_v = \frac{3}{2}R = 1.5R$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_v = \frac{5}{2}R = 2.5R$.
ગણતરી કરેલ $C_v = 2R$ એ $1.5R$ અને $2.5R$ ની વચ્ચે હોવાથી,વાયુ એ એકપરમાણ્વીય અને દ્વિપરમાણ્વીય વાયુઓનું મિશ્રણ હોવું જોઈએ.

(A) એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_{v1} = \frac{3}{2}R$ અને $C_{p1} = \frac{5}{2}R$. દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_{v2} = \frac{5}{2}R$ અને $C_{p2} = \frac{7}{2}R$.
આપેલ છે કે $n_1 = 1$ મોલ અને $n_2 = 1$ મોલ.
મિશ્રણ માટે અચળ કદે સમતુલ્ય મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_v)_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2} = \frac{1(\frac{3}{2}R) + 1(\frac{5}{2}R)}{1 + 1} = \frac{4R}{2} = 2R$.
મિશ્રણ માટે અચળ દબાણે સમતુલ્ય મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_p)_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 + n_2} = \frac{1(\frac{5}{2}R) + 1(\frac{7}{2}R)}{1 + 1} = \frac{6R}{2} = 3R$.
મિશ્રણ માટે એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{\text{mix}} = \frac{(C_p)_{\text{mix}}}{(C_v)_{\text{mix}}} = \frac{3R}{2R} = 1.5 = 3/2$.

(C) મિશ્રણ માટે અચળ કદ પર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર $C_{V, \text{mix}} = \frac{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}{n_1 + n_2}$ છે.
આપેલ છે કે $n_1 : n_2 = 1 : 2$,તેથી ધારો કે $n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$.
$f$ મુક્તિના અંશો ધરાવતા વાયુ માટે,$C_V = \frac{f}{2} R$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{13}{6} R = \frac{1 \cdot (\frac{f_1}{2} R) + 2 \cdot (\frac{f_2}{2} R)}{1 + 2}$.
$\frac{13}{6} R = \frac{\frac{f_1}{2} R + f_2 R}{3} = \frac{f_1 + 2f_2}{6} R$.
આમ,$f_1 + 2f_2 = 13$.
$He$ (એક-પરમાણ્વિક) માટે,$f = 3$. $N_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વિક) માટે,$f = 5$.
જો $f_1 = 3$ $(He)$ અને $f_2 = 5$ $(N_2)$ લઈએ,તો $3 + 2(5) = 13$,જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,વાયુઓ $He$ અને $N_2$ છે.

(A) $H_2$ ના મોલની સંખ્યા $n_1 = \frac{1\,g}{2\,g/mol} = 0.5\,mol$ છે.
$O_2$ ના મોલની સંખ્યા $n_2 = \frac{16\,g}{32\,g/mol} = 0.5\,mol$ છે.
કેલ્વિનમાં તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300\,K$ અને $T_2 = 37 + 273 = 310\,K$ છે.
ધારો કે વાયુઓ આદર્શ છે અને તંત્ર એડિબેટિક છે,તો અંતિમ તાપમાન $T$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) પર આધારિત ભારિત સરેરાશ દ્વારા મળે છે. $H_2$ અને $O_2$ બંને દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુઓ હોવાથી,તેમના મુક્તિના અંશો $f = 5$ સમાન છે.
$T = \frac{n_1 f_1 T_1 + n_2 f_2 T_2}{n_1 f_1 + n_2 f_2} = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$.
$T = \frac{0.5 \times 300 + 0.5 \times 310}{0.5 + 0.5} = \frac{150 + 155}{1} = 305\,K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T = 305 - 273 = 32\,^{\circ}C$.

(C) મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઉર્જા એ વ્યક્તિગત વાયુઓની આંતરિક ઉર્જાનો સરવાળો છે.
વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{3}{2} N k T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ આંતરિક ઉર્જા $U_{total} = U_1 + U_2 = \frac{3}{2} N_1 k T_1 + \frac{3}{2} N_2 k T_2$.
ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $T$ છે. મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U_{final} = \frac{3}{2} (N_1 + N_2) k T$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$U_{total} = U_{final}$.
$\frac{3}{2} N_1 k T_1 + \frac{3}{2} N_2 k T_2 = \frac{3}{2} (N_1 + N_2) k T$.
બંને બાજુથી સામાન્ય અવયવ $\frac{3}{2} k$ ને દૂર કરતા:
$N_1 T_1 + N_2 T_2 = (N_1 + N_2) T$.
તેથી,પરિણામી તાપમાન $T = \frac{N_1 T_1 + N_2 T_2}{N_1 + N_2}$ છે.

(A) વાયુના અણુની $r.m.s.$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
મિશ્રણમાં રહેલા તમામ વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ થાય.
આપેલ છે કે $m_1 > m_2 > m_3$,તેથી $(v_{rms})_1 < (v_{rms})_2 < (v_{rms})_3$ મળે.
વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $\bar K = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મિશ્રણમાં રહેલા તમામ વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,સરેરાશ ગતિઊર્જા $\bar K$ તમામ પ્રકારના અણુઓ માટે સમાન રહેશે,એટલે કે $(\bar K)_1 = (\bar K)_2 = (\bar K)_3$.

(B) વાયુ $1$ માટે: $n_1 = 2$,$\gamma_1 = \frac{5}{3}$. $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ હોવાથી,$f_1 = 3$. તેથી,$C_{V_1} = \frac{3}{2}R$ અને $C_{P_1} = \frac{5}{2}R$.
વાયુ $2$ માટે: $n_2 = 3$,$\gamma_2 = \frac{4}{3}$. $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ હોવાથી,$f_2 = 6$. તેથી,$C_{V_2} = \frac{6}{2}R = 3R$ અને $C_{P_2} = 4R$.
મિશ્રણ માટે અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{V_{mix}} = \frac{n_1 C_{V_1} + n_2 C_{V_2}}{n_1 + n_2} = \frac{2(\frac{3}{2}R) + 3(3R)}{2+3} = \frac{3R + 9R}{5} = \frac{12R}{5} = 2.4R$.
મિશ્રણ માટે અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{P_{mix}} = \frac{n_1 C_{P_1} + n_2 C_{P_2}}{n_1 + n_2} = \frac{2(\frac{5}{2}R) + 3(4R)}{2+3} = \frac{5R + 12R}{5} = \frac{17R}{5} = 3.4R$.
ગુણોત્તર $\gamma_{mix} = \frac{C_{P_{mix}}}{C_{V_{mix}}} = \frac{17R/5}{12R/5} = \frac{17}{12} \approx 1.4167 \approx 1.42$.

(B) વાયુઓના મિશ્રણ માટે,વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{C_{P, \text{mix}}}{C_{V, \text{mix}}} = \frac{n_1 C_{P1} + n_2 C_{P2}}{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હિલિયમ એક પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી $C_{V1} = \frac{3R}{2}$ અને $C_{P1} = \frac{5R}{2}$.
ઓક્સિજન દ્વિ-પરમાણ્વિક દ્રઢ વાયુ છે,તેથી $C_{V2} = \frac{5R}{2}$ અને $C_{P2} = \frac{7R}{2}$.
અહીં $n_1 = n$ અને $n_2 = 2n$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{C_{P, \text{mix}}}{C_{V, \text{mix}}} = \frac{n(\frac{5R}{2}) + 2n(\frac{7R}{2})}{n(\frac{3R}{2}) + 2n(\frac{5R}{2})}$
$= \frac{\frac{5nR}{2} + \frac{14nR}{2}}{\frac{3nR}{2} + \frac{10nR}{2}} = \frac{19nR/2}{13nR/2} = \frac{19}{13}$.

(N/A) મિશ્રણમાં વાયુનું આંશિક દબાણ એ દબાણ છે જે તે વાયુ એકલો સમાન કદ અને તાપમાને પાત્રમાં હોય ત્યારે અનુભવે છે. બંને વાયુઓ આદર્શ છે અને સમાન કદ $V$ અને તાપમાન $T$ ધરાવે છે,તેથી આપણે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે.
નિયોન $(1)$ અને ઓક્સિજન $(2)$ માટે:
$P_1 V = \mu_1 RT$ અને $P_2 V = \mu_2 RT$
તેથી,$\frac{P_1}{P_2} = \frac{\mu_1}{\mu_2}$. આપેલ છે કે $\frac{P_1}{P_2} = \frac{3}{2}$,તેથી $\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{3}{2}$.
$(i)$ કારણ કે $\mu = \frac{N}{N_A}$,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે:
$\frac{N_1}{N_2} = \frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{3}{2} = 1.5$.
$(ii)$ દળ ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$. કારણ કે $\mu = \frac{m}{M}$ (જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે),તેથી $m = \mu M$.
$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{m_1/V}{m_2/V} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{\mu_1 M_1}{\mu_2 M_2} = \left(\frac{\mu_1}{\mu_2}\right) \times \left(\frac{M_1}{M_2}\right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{3}{2} \times \frac{20.2}{32.0} = 1.5 \times 0.63125 = 0.947$.

આદર્શ વાયુનું દબાણ $P = \frac{1}{3} n m \langle v^2 \rangle$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકમ કદમાં બિન-પ્રતિક્રિયાશીલ વાયુઓનું મિશ્રણ છે તેમ ધારો. અણુઓની સંખ્યા ઘનતા $n_1, n_2, \ldots$,તેમનું દળ $m_1, m_2, \ldots$ અને સરેરાશ વર્ગ ઝડપ $\langle v_1^2 \rangle, \langle v_2^2 \rangle, \ldots$ છે.
મિશ્રણનું કુલ દબાણ $P$ એ વ્યક્તિગત વાયુઓના આંશિક દબાણનો સરવાળો છે:
$P = \frac{1}{3} n_1 m_1 \langle v_1^2 \rangle + \frac{1}{3} n_2 m_2 \langle v_2^2 \rangle + \ldots$ ....$(1)$
ઉષ્મીય સંતુલનમાં,દરેક વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઉર્જા સમાન હોય છે:
$\langle \frac{1}{2} m_1 v_1^2 \rangle = \langle \frac{1}{2} m_2 v_2^2 \rangle = \ldots = \frac{3}{2} k_B T$ ....$(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$m_1 \langle v_1^2 \rangle = m_2 \langle v_2^2 \rangle = \ldots = 3 k_B T$
આ કિંમતને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$P = \frac{1}{3} [n_1 (3 k_B T) + n_2 (3 k_B T) + \ldots]$
$P = (n_1 + n_2 + \ldots) k_B T$
આ ડાલ્ટનનો આંશિક દબાણનો નિયમ દર્શાવે છે,જ્યાં $n = n_1 + n_2 + \ldots$ એ અણુઓની કુલ સંખ્યા ઘનતા છે.

(A) આદર્શ વાયુના અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K_{avg} = \frac{3}{2} k_{B} T$ છે,જ્યાં $k_{B}$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
બંને વાયુઓ એક જ પાત્રમાં હોવાથી,તેઓ તાપીય સંતુલનમાં છે અને બંનેનું તાપમાન $T$ સમાન હશે.
સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે,વાયુના અણુઓના દળ કે સ્વભાવ પર નહીં,તેથી બંને વાયુઓની અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા સમાન હશે.

(A) ઓક્સિજન $(O_{2})$ એ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ છે. વાઇબ્રેશનલ મોડ્સને અવગણતા, તેની મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $(f_{O_2})$ $3$ (સ્થાનાંતરીય) $+ 2$ (ભ્રમણીય) $= 5$ છે.
આદર્શ વાયુના $n$ મોલની આંતરિક ઉર્જા $U = n \cdot \frac{f}{2} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2.0$ મોલ $O_{2}$ માટે:
$U_{O_2} = 2.0 \times \frac{5}{2} RT = 5 RT$.
નિયોન $(Ne)$ એ એક-પરમાણ્વિક વાયુ છે. તેની મુક્તિની માત્રા $(f_{Ne})$ $3$ (સ્થાનાંતરીય) છે.
$4.0$ મોલ $Ne$ માટે:
$U_{Ne} = 4.0 \times \frac{3}{2} RT = 6 RT$.
તંત્રની કુલ આંતરિક ઉર્જા એ વ્યક્તિગત ઘટકોની આંતરિક ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$U_{total} = U_{O_2} + U_{Ne} = 5 RT + 6 RT = 11 RT$.

(1.60 ATM) આપેલ છે:
$V_1 = 2.0 \, L, V_2 = 3.0 \, L$
$\mu_1 = 4.0 \, mol, \mu_2 = 5.0 \, mol$
$P_1 = 1.00 \, atm, P_2 = 2.00 \, atm$
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} PV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
જ્યારે વાયુઓ મિશ્ર થાય છે અને તાપીય સંતુલન પ્રાપ્ત કરે છે,ત્યારે કુલ આંતરિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
$U_{total} = U_1 + U_2$
$\frac{f}{2} P(V_1 + V_2) = \frac{f}{2} P_1 V_1 + \frac{f}{2} P_2 V_2$
બંને બાજુથી $\frac{f}{2}$ દૂર કરતા:
$P(V_1 + V_2) = P_1 V_1 + P_2 V_2$
અંતિમ દબાણ $P$ માટે:
$P = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{V_1 + V_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{(1.00 \times 2.0) + (2.00 \times 3.0)}{2.0 + 3.0} \, atm$
$P = \frac{2.0 + 6.0}{5.0} \, atm$
$P = \frac{8.0}{5.0} \, atm = 1.60 \, atm$
મિશ્રણનું અંતિમ દબાણ $1.60 \, atm$ છે.

(N/A) તાપીય સંતુલનમાં રહેલા વાયુ મિશ્રણમાં,બધા અણુઓ સમાન તાપમાને હોય છે. વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $K.E._{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $k_B$ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ મિશ્રણના તમામ અણુઓ માટે સમાન છે,તેથી સરેરાશ ગતિઊર્જા બધા માટે સમાન રહેશે: $(K.E.)_A = (K.E.)_B = (K.E.)_C$.
$(b)$ વાયુના અણુની $rms$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $m$ એ અણુનું દળ છે. $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ હોવાથી,જે અણુનું દળ સૌથી ઓછું હશે તેની $rms$ ઝડપ સૌથી વધુ હશે. આપેલ $m_A > m_B > m_C$ મુજબ,$rms$ ઝડપનો ઘટતો ક્રમ $(v_{rms})_C > (v_{rms})_B > (v_{rms})_A$ થશે.

(B) વાયુ મિશ્રણની આંતરિક ઉર્જા $U$ એ તેના ઘટકોની આંતરિક ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે: $U = U_1 + U_2$.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} nRT$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ એ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે. બંધ દ્રઢ હોવાથી,તેના મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે.
આર્ગોન $(Ar)$ એ એક-પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી તેના મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$ છે.
અહીં $n_1 = 3$ મોલ ઓક્સિજન અને $n_2 = 5$ મોલ આર્ગોન આપેલ છે.
કુલ આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f_1}{2} n_1 RT + \frac{f_2}{2} n_2 RT$.
$U = \left( \frac{5}{2} \times 3 \times RT \right) + \left( \frac{3}{2} \times 5 \times RT \right)$.
$U = \frac{15}{2} RT + \frac{15}{2} RT = \frac{30}{2} RT = 15 RT$.
આમ,$RT$ ના એકમમાં કુલ આંતરિક ઉર્જા $15$ છે.

(D) પાત્ર બંધ અને અવાહક હોવાથી,આસપાસ સાથે કોઈ ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી અને વાયુ દ્વારા કે વાયુ પર કોઈ કાર્ય થતું નથી. તેથી,તંત્રની કુલ આંતરિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
એકપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = n C_v T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C_v = \frac{3}{2}R$ છે.
ધારો કે $n_1 = 0.1$ મોલ,$T_1 = 200\, K$ અને $n_2 = 0.05$ મોલ,$T_2 = 400\, K$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$n_1 C_v T_1 + n_2 C_v T_2 = (n_1 + n_2) C_v T_{final}$
અહીં $C_v$ સમાન હોવાથી તે ઉડી જશે:
$n_1 T_1 + n_2 T_2 = (n_1 + n_2) T_{final}$
$(0.1 \times 200) + (0.05 \times 400) = (0.1 + 0.05) T_{final}$
$20 + 20 = 0.15 \times T_{final}$
$40 = 0.15 \times T_{final}$
$T_{final} = \frac{40}{0.15} = \frac{4000}{15} = \frac{800}{3} \approx 266.67\, K$.

(A) $1$. દરેક વાયુ માટે મોલની સંખ્યા ગણો:
$n_{1} (CO_{2}) = \frac{11 \, g}{44 \, g/mol} = 0.25 \, mol$
$n_{2} (N_{2}) = \frac{14 \, g}{28 \, g/mol} = 0.50 \, mol$
$2$. દરેક વાયુ માટે મુક્તિના અંશો $(f)$ અને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $(\gamma)$ નક્કી કરો:
$CO_{2}$ એ બહુપરમાણ્વીય વાયુ છે,$f_{1} = 6$,$\gamma_{1} = 1 + \frac{2}{6} = \frac{4}{3}$
$N_{2}$ એ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ છે,$f_{2} = 5$,$\gamma_{2} = 1 + \frac{2}{5} = 1.4$
$3$. મિશ્રણના એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:
$\frac{n_{1} + n_{2}}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{n_{1}}{\gamma_{1} - 1} + \frac{n_{2}}{\gamma_{2} - 1}$
$4$. કિંમતો મૂકતા:
$\frac{0.25 + 0.50}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{0.25}{4/3 - 1} + \frac{0.50}{1.4 - 1}$
$\frac{0.75}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = 0.75 + 1.25 = 2.0$
$5$. $\gamma_{\text{mix}}$ માટે ઉકેલતા:
$\gamma_{\text{mix}} - 1 = 0.375 \Rightarrow \gamma_{\text{mix}} = 1.375 = \frac{11}{8}$

(C) $N_{2}$ (દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_{1} = 5$. મોલર દળ $M_{1} = 28 \, g/mol$. મોલની સંખ્યા $n_{1} = 7/28 = 1/4 \, mol$.
$Ar$ (એક-પરમાણ્વીય વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_{2} = 3$. મોલર દળ $M_{2} = 40 \, g/mol$. મોલની સંખ્યા $n_{2} = 20/40 = 1/2 \, mol$.
$C_{V,mix} = \frac{n_{1}C_{V,1} + n_{2}C_{V,2}}{n_{1} + n_{2}} = \frac{\frac{1}{4}(\frac{5}{2}R) + \frac{1}{2}(\frac{3}{2}R)}{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{8}R + \frac{3}{4}R}{\frac{3}{4}} = \frac{\frac{11}{8}R}{\frac{3}{4}} = \frac{11}{6}R$.
$C_{P,mix} = \frac{n_{1}C_{P,1} + n_{2}C_{P,2}}{n_{1} + n_{2}} = \frac{\frac{1}{4}(\frac{7}{2}R) + \frac{1}{2}(\frac{5}{2}R)}{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{7}{8}R + \frac{5}{4}R}{\frac{3}{4}} = \frac{\frac{17}{8}R}{\frac{3}{4}} = \frac{17}{6}R$.
ગુણોત્તર $\gamma_{mix} = \frac{C_{P,mix}}{C_{V,mix}} = \frac{17/6 R}{11/6 R} = \frac{17}{11}$.

(C) આદર્શ વાયુઓના મિશ્રણનું કુલ દબાણ $P$ એ આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = n_{total} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n_{total} = n_1 + n_2 + n_3$ છે.
પ્રથમ,દરેક વાયુ માટે મોલની સંખ્યાની ગણતરી કરો:
$n_{O_2} = \frac{16 \, g}{32 \, g/mol} = 0.5 \, mol$
$n_{N_2} = \frac{28 \, g}{28 \, g/mol} = 1.0 \, mol$
$n_{CO_2} = \frac{44 \, g}{44 \, g/mol} = 1.0 \, mol$
કુલ મોલ $n_{total} = 0.5 + 1.0 + 1.0 = 2.5 \, mol = \frac{5}{2} \, mol$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$PV = (2.5) RT$
$P = \frac{5}{2} \frac{RT}{V}$.

(B) ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $T$ છે. ઉર્જાનો કોઈ વ્યય થતો ન હોવાથી,તંત્રની કુલ આંતરિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{F}{2} n R T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે. અણુઓની સંખ્યા $N$ માટે,$U = \frac{F}{2} N k_{B} T$ લખી શકાય.
મિશ્રણ માટે,મિશ્રણ પહેલાની કુલ ઉર્જા એ મિશ્રણ પછીની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$U_{1} + U_{2} = U_{mix}$
$\frac{F_{1}}{2} n_{1} k_{B} T_{1} + \frac{F_{2}}{2} n_{2} k_{B} T_{2} = \frac{F_{1}}{2} n_{1} k_{B} T + \frac{F_{2}}{2} n_{2} k_{B} T$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદ $\frac{1}{2} k_{B}$ ને દૂર કરતા:
$F_{1} n_{1} T_{1} + F_{2} n_{2} T_{2} = T (F_{1} n_{1} + F_{2} n_{2})$
$T$ માટે ઉકેલતા:
$T = \frac{F_{1} n_{1} T_{1} + F_{2} n_{2} T_{2}}{F_{1} n_{1} + F_{2} n_{2}}$

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા, કુલ મોલ $n_{total} = n_1 + n_2 = 3.0 + 4.0 = 7.0 \, \text{mole}$ છે.
કુલ કદ $V_{total} = V_1 + V_2 = 4.5 + 5.5 = 10.0 \, L$ છે.
આંતરિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $U_1 + U_2 = U_{mix}$.
$U = \frac{f}{2} PV$ હોવાથી,
$\frac{f}{2} P_1 V_1 + \frac{f}{2} P_2 V_2 = \frac{f}{2} P_{final} (V_1 + V_2)$.
$(2.0)(4.5) + (3.0)(5.5) = P_{final} (4.5 + 5.5)$.
$9.0 + 16.5 = P_{final} (10.0)$.
$25.5 = 10.0 P_{final} \Rightarrow P_{final} = 2.55 \, \text{atm}$.
આપેલ છે કે $P_{final} = x \times 10^{-1} \, \text{atm}$, તેથી $2.55 = x \times 10^{-1} \Rightarrow x = 25.5$.

(C) આપેલ છે:
કદ $V = 4.0 \times 10^{-3} \, m^3$
કુલ મોલની સંખ્યા $n = 1 \, mol \, (H_2) + 2 \, mol \, (CO_2) = 3 \, mol$
તાપમાન $T = 400 \, K$
વાયુ અચળાંક $R = 8.3 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે દબાણ $P$ શોધી શકીએ છીએ:
$P = \frac{nRT}{V}$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{3 \times 8.3 \times 400}{4.0 \times 10^{-3}}$
$P = \frac{9960}{4.0 \times 10^{-3}}$
$P = 2490 \times 10^3 \, Pa = 24.9 \times 10^5 \, Pa$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ એ મોલની કુલ સંખ્યા છે.
આપેલ છે: $P = 400 \times 10^3 \, Pa$,$V = 500 \times 10^{-6} \, m^3$,$T = 300 \, K$,$R \approx 25/3 \, J/(mol \cdot K)$.
$400 \times 10^3 \times 500 \times 10^{-6} = n \times (25/3) \times 300$
$200 = n \times 2500$
$n = 200/2500 = 2/25 = 0.08 \, mol$.
ધારો કે $m_H$ એ હાઇડ્રોજનનું દળ છે અને $m_O$ એ ઓક્સિજનનું દળ છે.
$m_H + m_O = 0.76 \, g$.
મોલની કુલ સંખ્યા $n = n_H + n_O = m_H/2 + m_O/32 = 0.08$.
$32$ વડે ગુણતા: $16m_H + m_O = 0.08 \times 32 = 2.56$.
આપણી પાસે સમીકરણો છે:
$1) \, m_H + m_O = 0.76$
$2) \, 16m_H + m_O = 2.56$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $15m_H = 1.80 \implies m_H = 0.12 \, g$.
તેથી $m_O = 0.76 - 0.12 = 0.64 \, g$.
ઓક્સિજન અને હાઇડ્રોજનના દળનો ગુણોત્તર $m_O/m_H = 0.64/0.12 = 16/3$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ એ કુલ મોલની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: $P = 100 \; kPa = 10^{5} \; Pa$,$V = 2000 \; cm^{3} = 2 \times 10^{-3} \; m^{3}$,$T = 300 \; K$,$R = 25/3 \; J/(mol \cdot K)$.
કુલ મોલ $n = \frac{PV}{RT} = \frac{10^{5} \times 2 \times 10^{-3}}{(25/3) \times 300} = 0.08 \; mol$.
ધારો કે $n_{1}$ એ $H_{2}$ ના મોલ છે અને $n_{2}$ એ $O_{2}$ ના મોલ છે.
$n_{1} + n_{2} = 0.08$ (સમીકરણ $1$).
કુલ દળ $m = n_{1}M_{1} + n_{2}M_{2} = 0.76 \; g$.
$2n_{1} + 32n_{2} = 0.76$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$n_{1} = 0.08 - n_{2}$.
સમીકરણ $2$ માં કિંમત મૂકતા: $2(0.08 - n_{2}) + 32n_{2} = 0.76$.
$0.16 - 2n_{2} + 32n_{2} = 0.76 \implies 30n_{2} = 0.60 \implies n_{2} = 0.02 \; mol$.
તેથી $n_{1} = 0.08 - 0.02 = 0.06 \; mol$.
ગુણોત્તર $n_{1}/n_{2} = 0.06/0.02 = 3/1$.

(B) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v_s = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુના અણુઓની rms ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે $v_{rms} = \sqrt{2} v_s$,તેથી $\frac{v_s}{v_{rms}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
સૂત્રો મૂકતા: $\sqrt{\frac{\gamma}{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \frac{\gamma}{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow \gamma = \frac{3}{2} = 1.5$.
મિશ્રણ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f_{mix}}$ છે,જ્યાં $f_{mix}$ એ અસરકારક મુક્તિના અંશો (degree of freedom) છે.
હિલિયમ (એક-પરમાણ્વીય) માટે,$f_1 = 3$. હાઇડ્રોજન (દ્વિ-પરમાણ્વીય) માટે,$f_2 = 5$.
$f_{mix} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2} = \frac{2 \times 3 + n \times 5}{n + 2} = \frac{6 + 5n}{n + 2}$.
$f_{mix}$ ને $\gamma$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $\gamma = 1 + \frac{2(n + 2)}{6 + 5n} = \frac{6 + 5n + 2n + 4}{6 + 5n} = \frac{7n + 10}{5n + 6}$.
તેને $1.5$ સાથે સરખાવતા: $\frac{7n + 10}{5n + 6} = \frac{3}{2} \Rightarrow 14n + 20 = 15n + 18$.
$n$ માટે ઉકેલતા: $n = 2$.