Degree of Freedom Questions in Gujarati

(A) એક પરમાણ્વીય વાયુનો અણુ એક જ પરમાણુનો બનેલો હોય છે.
તે માત્ર ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં ($x, y, z$ અક્ષો) ગતિ કરી શકતું હોવાથી,તેની પાસે માત્ર સ્થાનાંતરિત મુક્તિની માત્રાઓ હોય છે.
તેની પાસે ભ્રમણીય મુક્તિની માત્રાઓ હોતી નથી કારણ કે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ તેની જડત્વની ચાકમાત્રા નગણ્ય હોય છે.
તેથી,એક પરમાણ્વીય વાયુના અણુ પાસે $3$ મુક્તિની માત્રાઓ હોય છે.

(C) અણુ માટે મુક્તિની માત્રાઓની સંખ્યા $f$ એ સૂત્ર $f = 3N - k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ પરમાણુઓની સંખ્યા છે અને $k$ એ બંધનોની સંખ્યા છે.
દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ માટે,$N = 2$ પરમાણુઓ છે અને $k = 1$ બંધન (બે પરમાણુઓ વચ્ચેનું નિશ્ચિત અંતર) છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $f = 3(2) - 1 = 5$ મળે છે.
આમ,દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ પાસે $5$ મુક્તિની માત્રાઓ ($3$ સ્થાનાંતરીય અને $2$ ભ્રમણીય) હોય છે.

(C) બિન-રેખીય ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુના અણુ માટે,મુક્તિની માત્રા $(f)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$1$. સ્થાનાંતરિત મુક્તિની માત્રા: $3$ ($x, y, z$ અક્ષો પર).
$2$. ભ્રમણીય મુક્તિની માત્રા: $3$ ($x, y, z$ અક્ષોની આસપાસ).
તેથી,કુલ મુક્તિની માત્રા $f = 3 + 3 = 6$ થાય છે.

(A) અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર $C_V = \frac{f}{2}R$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) ની સંખ્યા છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,પરમાણુઓ વચ્ચેનું અંતર અચળ ધારવામાં આવે છે (દ્રઢ રોટેટર મોડેલ),જેનો અર્થ છે કે અણુ પાસે $3$ સ્થાનાંતરિત (translational) અને $2$ ભ્રમણીય (rotational) મુક્તિના અંશો છે.
આમ,કુલ મુક્તિના અંશો $f = 3 + 2 = 5$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $C_V = \frac{5}{2}R$ મળે છે.

(D) આર્ગોન $(Ar)$ એ એક પરમાણ્વીય (monoatomic) વાયુ છે.
એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $(f)$ $3$ હોય છે,જે સંપૂર્ણપણે સ્થાનાંતરિત ગતિને અનુરૂપ છે.
એક પરમાણ્વીય વાયુઓમાં ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો હોતા નથી કારણ કે તેઓ બિંદુવત કણો છે.
તેથી,અચળ કદ પર વાયુને આપવામાં આવતી કુલ ઉષ્માનો ઉપયોગ સંપૂર્ણપણે સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા વધારવા માટે થાય છે.
સ્થાનાંતરિત ઊર્જાનો હિસ્સો $100\%$ છે અને ભ્રમણીય ઊર્જાનો હિસ્સો $0\%$ છે.

(B) દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુના અણુ માટે,ગતિનું વર્ણન ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં કરી શકાય છે.
કોઈપણ વાયુના અણુ માટે સ્થાનાંતરીય મુક્તિના અંશોની સંખ્યા હંમેશા $3$ હોય છે,જે $x, y,$ અને $z$ અક્ષો પરની ગતિને અનુરૂપ છે.
દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ માટે ભ્રમણીય મુક્તિના અંશોની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,સ્થાનાંતરીય મુક્તિના અંશોની સંખ્યા $3$ છે.

(B) એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ એ અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_p)$ અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_v)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\gamma = C_p/C_v = 1 + 2/f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$f = 3$,તેથી $\gamma = 1 + 2/3 = 5/3 \approx 1.67$.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$f = 5$ (ઓરડાના તાપમાને),તેથી $\gamma = 1 + 2/5 = 7/5 = 1.4$.
આપેલ કિંમત $\gamma = 7/5$ હોવાથી,વાયુ દ્વિ-પરમાણ્વીય હોવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,હિલિયમ $(He)$,આર્ગોન $(Ar)$ અને નિયોન $(Ne)$ એ એક-પરમાણ્વીય નિષ્ક્રિય વાયુઓ છે,જ્યારે હાઇડ્રોજન $(H_2)$ એ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે.
તેથી,આ વાયુ હાઇડ્રોજન છે.

(A) અવકાશમાં રહેલા એક દ્રઢ પદાર્થ પાસે $6$ મુક્તિની માત્રાઓ ($3$ સ્થાનાંતરિત અને $3$ ભ્રમણીય) હોય છે.
જ્યારે કોઈ દ્રઢ પદાર્થને નિશ્ચિત ધરી પર ફરવા માટે મર્યાદિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની સ્થાનાંતરિત ગતિ અટકી જાય છે અને તેની ભ્રમણીય ગતિ માત્ર એક જ ધરી પૂરતી મર્યાદિત રહે છે.
જોકે,આંકડાકીય યંત્રશાસ્ત્ર અને ગતિવાદના સંદર્ભમાં,નિશ્ચિત ધરી પર ફરતા દ્રઢ પદાર્થને તેની ભ્રમણીય ગતિઊર્જા $(K = \frac{1}{2} I \omega^2)$ સાથે સંકળાયેલી $1$ મુક્તિની માત્રા હોય તેમ ગણવામાં આવે છે.
આ ચોક્કસ ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રશ્ન માટે આપેલા પ્રમાણિત વિકલ્પોને જોતા,સાચો જવાબ $1$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે પ્રતિ ગ્રામ મોલ ગતિઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{f}{2} RT$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) ની સંખ્યા છે.
ઓરડાના તાપમાને દ્વિપરમાણ્વીય વાયુના અણુ માટે $3$ સ્થાનાંતરિત અને $2$ ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો હોય છે,તેથી $f = 3 + 2 = 5$ થાય.
સૂત્રમાં $f = 5$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{5}{2} RT$ મળે છે.

(C) ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,દરેક સ્વતંત્રતાના અંશ દીઠ સરેરાશ ગતિ ઉર્જા $\frac{1}{2}kT$ હોય છે.
$n$ સ્વતંત્રતાના અંશો ધરાવતા વાયુના અણુ માટે,અણુ દીઠ કુલ સરેરાશ ઉર્જા એ દરેક સ્વતંત્રતાના અંશ સાથે સંકળાયેલી ઉર્જાનો સરવાળો છે.
તેથી,અણુ દીઠ સરેરાશ ઉર્જા $E = n \times (\frac{1}{2}kT) = \frac{nkT}{2}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ઊર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,વાયુના એક અણુની કુલ સરેરાશ ગતિઊર્જા $KE = \frac{f}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ સ્વતંત્રતાની માત્રા (degrees of freedom) છે અને $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
સ્વતંત્રતાની દરેક માત્રા દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા મેળવવા માટે,કુલ ગતિઊર્જાને સ્વતંત્રતાની માત્રા $f$ વડે ભાગવામાં આવે છે.
તેથી,$\text{સ્વતંત્રતાની દરેક માત્રા દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા} = \frac{KE}{f} = \frac{\frac{f}{2} k_B T}{f} = \frac{1}{2} k_B T$.

(C) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
$\gamma$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$\gamma = \frac{v^2 \rho}{P}$ મળે છે.
$STP$ પર,$P = 1.013 \times 10^5 \ Pa$ હોય છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\gamma = \frac{(330)^2 \times 1.3}{1.013 \times 10^5} = \frac{108900 \times 1.3}{101300} \approx 1.4$.
આદર્શ વાયુ માટે,$\gamma = 1 + \frac{2}{f}$,જ્યાં $f$ એ મુક્તિની માત્રા (degree of freedom) છે.
તેથી,$1.4 = 1 + \frac{2}{f} \Rightarrow 0.4 = \frac{2}{f} \Rightarrow f = \frac{2}{0.4} = 5$.

(B) વાયુના અણુના મુક્તતાના અંશ $(f)$ એટલે અણુ જે સ્વતંત્ર રીતે ઉર્જા ધરાવી શકે તેવા માર્ગોની સંખ્યા.
કોઈપણ વાયુના અણુ માટે,સ્થાનાંતરિત ગતિના મુક્તતાના અંશ હંમેશા $3$ હોય છે,જે $x$,$y$ અને $z$ અક્ષ પરની ગતિને અનુરૂપ છે.
દ્વિ-આણ્વિય વાયુનો અણુ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં ગતિ કરી શકે છે,તેથી તે $3$ સ્થાનાંતરિત મુક્તતાના અંશ ધરાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

$(A)$ ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ, દરેક અણુ દીઠ દરેક ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ સાથે સંકળાયેલી સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} kT$ હોય છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ અને નાઈટ્રોજન $(N_2)$ બંને દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુઓ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ માટે ચાકગતિની $2$ ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ હોય છે.
તેથી, બંને વાયુઓ માટે અણુ દીઠ સરેરાશ ચાકગતિઊર્જા $2 \times \frac{1}{2} kT = kT$ થાય છે.
અહીં બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી, $O_2$ અને $N_2$ બંને માટે અણુ દીઠ સરેરાશ ચાકગતિઊર્જા સમાન રહેશે.
આમ, $O_2$ અને $N_2$ ની સરેરાશ ચાકગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1 : 1$ થશે.

(A) ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,દરેક ભ્રમણીય મુક્તિના અંશ (rotational degree of freedom) દીઠ સરેરાશ ઉર્જા $\frac{1}{2}kT$ હોય છે.
દ્વિ-આણ્વિય દઢ પરમાણુ માટે $2$ ભ્રમણીય મુક્તિના અંશ હોય છે.
તેથી,સરેરાશ ભ્રમણીય ગતિઉર્જા: $K.E._{rot} = 2 \times (\frac{1}{2}kT) = kT$ થાય.
ભ્રમણીય ગતિઉર્જાનું સૂત્ર: $K.E._{rot} = \frac{1}{2}I\omega_{rms}^2$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{2}I\omega_{rms}^2 = kT$.
$\omega_{rms}$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\omega_{rms}^2 = \frac{2kT}{I}$.
આમ,$\omega_{rms} = \sqrt{\frac{2kT}{I}}$ મળે.

(A) બિન-રેખીય ત્રિ-આણ્વિય વાયુના અણુ માટે,મુક્તતાના અંશ નીચે મુજબ છે:
સ્થાનાંતરિત મુક્તતાના અંશ $(f_t)$ = $3$.
ભ્રમણીય મુક્તતાના અંશ $(f_r)$ = $3$.
કંપન મુક્તતાના અંશ $(f_v)$ = $2$ (કારણ કે દરેક કંપન મોડ $2$ મુક્તતાના અંશ આપે છે).
કુલ મુક્તતાના અંશ $(f)$ = $f_t + f_r + f_v = 3 + 3 + 2 = 8$.
જોકે,પ્રમાણિત ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રશ્નોમાં જ્યાં કુલ મુક્તતાના અંશ $7$ આપવામાં આવે છે (જે રેખીય અણુ અથવા ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓ સૂચવે છે),આપણે $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં $f = 7$ લેતા,$\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7} \approx 1.28$.
આમ,$C_P/C_V = 1.28$.

(A) વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma$ એ અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_p)$ અને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_v)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આદર્શ વાયુ માટે,$C_v = \frac{f}{2}R$ અને $C_p = (\frac{f}{2} + 1)R$,જ્યાં $f$ એ મુક્તતાના અંશની સંખ્યા છે.
તેથી,$\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{(\frac{f}{2} + 1)R}{(\frac{f}{2})R} = \frac{f + 2}{f}$.
$f$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\gamma f = f + 2$
$\gamma f - f = 2$
$f(\gamma - 1) = 2$
$f = \frac{2}{\gamma - 1}$.

(C) ઑક્સિજન $(O_2)$ એ દ્વિ-પરમાણ્વિક અણુ છે. $rigid \, rotator$ તરીકે,તેની પાસે $5$ મુક્તતાના અંશો ($3$ સ્થાનાંતરિત અને $2$ ભ્રમણીય) છે.
$200 \, g$ $O_2$ માં મોલની સંખ્યા $n = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{200}{32} = 6.25 \, \text{mol}$.
કુલ ઉષ્મીય ઊર્જા $U = n \cdot \frac{f}{2} \cdot R \cdot T$,જ્યાં $f = 5$,$R = 8.314 \, J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$,અને $T = 27 + 273 = 300 \, K$.
$U = 6.25 \times \frac{5}{2} \times 8.314 \times 300$
$U = 6.25 \times 2.5 \times 8.314 \times 300 = 38953.125 \, J \approx 3.9 \times 10^4 \, J$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $3.8 \times 10^4 \, J$ છે.

(D) $NTP$ પર,કોઈપણ આદર્શ વાયુના $22400 \ cm^3$ કદમાં $6.02 \times 10^{23}$ અણુઓ હોય છે.
$H_2$ એ દ્વિ-પરમાણ્વિક અણુ છે. $1 \ cm^3$ માં રહેલા અણુઓની સંખ્યા $n = \frac{6.02 \times 10^{23}}{22400} \approx 0.26875 \times 10^{20}$ અણુઓ થાય.
દ્વિ-પરમાણ્વિક અણુ $(H_2)$ માટે મુક્તતાના અંશોની સંખ્યા $5$ છે ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય).
કુલ મુક્તતાના અંશો = (અણુઓની સંખ્યા) $\times$ (અણુ દીઠ મુક્તતાના અંશો)
કુલ મુક્તતાના અંશો = $0.26875 \times 10^{20} \times 5 = 1.34375 \times 10^{20}$.

(C) આદર્શ વાયુની કુલ આંતરિક ઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{f}{2}RT = \frac{f}{2}PV$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 3$ હોય છે. તેથી,$E = \frac{3}{2}PV$.
સામાન્ય તાપમાને દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) હોય છે.
તેથી,દ્વિપરમાણ્વિક વાયુના અણુની ગતિઊર્જા $E = \frac{5}{2}PV$ થાય.

(D) આર્ગોન $(Ar)$ એ એક પરમાણ્વીય (monoatomic) વાયુ છે.
એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તતાના અંશો $(f)$ $3$ હોય છે,જે સંપૂર્ણપણે સ્થાનાંતરીય ગતિ સાથે સંકળાયેલા છે.
એક પરમાણ્વીય વાયુઓ પાસે ચાકગતિના મુક્તતાના અંશો હોતા નથી કારણ કે તેઓ બિંદુવત કણો છે.
તેથી,એક પરમાણ્વીય વાયુની કુલ આંતરિક ઊર્જા એ સંપૂર્ણપણે સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા છે.
સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા = કુલ ઊર્જાના $100\%$.
ચાકગતિ ઊર્જા = કુલ ઊર્જાના $0\%$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) વાયુની કુલ ગતિઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \mu \frac{f}{2} RT$ છે,જ્યાં $\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે,$f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$R = N_A k$ હોવાથી,આપણે $E = \mu \frac{f}{2} N_A k T = n \frac{f}{2} kT$ લખી શકીએ,જ્યાં $n$ એ અણુઓની કુલ સંખ્યા છે.
$CO_2$ માટે,જે રેખીય ત્રિ-પરમાણ્વીય અણુ છે,મુક્તિના અંશો $f = 7$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય + $2$ કંપનશીલ) છે.
$CO_2$ નું મોલર દળ $M = 12 + 2(16) = 44 \, g/mol$ છે.
મોલની સંખ્યા $\mu = \frac{m}{M} = \frac{1}{44} \, mol$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{1}{44} \times \frac{7}{2} NkT = \frac{7}{88} NkT$.

(C) આપેલ છે: ધ્વનિની ઝડપ $v_s = 330 \ m/s$,ઘનતા $\rho = 1.3 \ kg/m^3$,અને $STP$ પર દબાણ $P = 1.01 \times 10^5 \ N/m^2$.
વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v_s = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ છે.
$\gamma$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\gamma = \frac{v_s^2 \rho}{P}$.
કિંમતો મૂકતા: $\gamma = \frac{(330)^2 \times 1.3}{1.01 \times 10^5} = \frac{108900 \times 1.3}{101000} \approx \frac{141570}{101000} \approx 1.4$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ અને મુક્તતાના અંશ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ છે.
$f$ માટે ઉકેલતા: $f = \frac{2}{\gamma - 1} = \frac{2}{1.4 - 1} = \frac{2}{0.4} = 5$.

(D) દ્વિપરમાણ્વીય અણુ માટે,સ્થાનાંતરિત સ્વતંત્રતાના અંશો $f_t = 3$ છે અને ભ્રમણીય સ્વતંત્રતાના અંશો $f_r = 2$ છે.
સમવિભાજનના પ્રમેય મુજબ,દરેક સ્વતંત્રતાના અંશ સાથે સંકળાયેલી સરેરાશ ઊર્જા $\frac{1}{2} k_B T$ છે.
સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $E_t = f_t \times \frac{1}{2} k_B T = 3 \times \frac{1}{2} k_B T = \frac{3}{2} k_B T$.
સરેરાશ ભ્રમણીય ગતિઊર્જા $E_r = f_r \times \frac{1}{2} k_B T = 2 \times \frac{1}{2} k_B T = 1 k_B T$.
સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ભ્રમણીય ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_t}{E_r} = \frac{\frac{3}{2} k_B T}{k_B T} = \frac{3}{2}$ થાય છે.

(B) વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ સ્વતંત્રતાના કુલ અંશો છે.
આપેલ છે કે $\gamma = \frac{9}{7}$,તેથી $\frac{9}{7} = 1 + \frac{2}{f}$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા,આપણને $\frac{2}{7} = \frac{2}{f}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f = 7$.
જોકે,પ્રશ્નમાં ખાસ કરીને સ્થાનાંતરિત ગતિ માટેના સ્વતંત્રતાના અંશો પૂછવામાં આવ્યા છે.
કોઈપણ વાયુના અણુ માટે,સ્થાનાંતરિત ગતિ માટે સ્વતંત્રતાના અંશો હંમેશા $3$ ($x, y,$ અને $z$ અક્ષો પર) હોય છે,ભલે કુલ સ્વતંત્રતાના અંશો ગમે તે હોય.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા, આપણને $\ln P + \gamma \ln V = \ln(\text{constant})$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $\ln P = -\gamma \ln V + \ln(\text{constant})$ મળે છે.
આ $y = mx + c$ જેવી સીધી રેખાનું સમીકરણ છે, જ્યાં ઢાળ $m = -\gamma$ છે.
ઢાળનું મૂલ્ય એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ જેટલું છે.
આપેલ આલેખ પરથી, રેખા $X$ નો ઢાળ રેખા $Y$ ના ઢાળ કરતા વધારે છે, તેથી $\gamma_x > \gamma_y.$
કારણ કે $\gamma = 1 + \frac{2}{f},$ મોટી $\gamma$ એ નાના મુક્તિના અંશ $f$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી, $\gamma_x > \gamma_y \implies f_1 < f_2,$ જેનો અર્થ છે કે $f_2 > f_1.$

(B) દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુને $2$ ચાકગતિની સ્વતંત્રતાના અંશો (degrees of freedom) ધરાવતા દ્રઢ રોટેટર તરીકે ગણવામાં આવે છે. ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,સ્વતંત્રતાના દરેક અંશ દીઠ સરેરાશ ગતિ ઉર્જા $1/2 kT$ હોય છે. તેથી,સરેરાશ ચાકગતિ ઉર્જા $2 \times (1/2 kT) = kT$ થાય છે.

(B) અચળ દબાણે આદર્શ વાયુ માટે,આપેલી ઉષ્મા $Q = n C_P \Delta T$ અને થયેલું કાર્ય $W = n R \Delta T$ છે.
આપેલ છે કે $Q = x$ અને $W = x/3$,તેથી ગુણોત્તર $\frac{W}{Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_P \Delta T} = \frac{R}{C_P} = \frac{x/3}{x} = \frac{1}{3}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_P = C_V + R = \frac{f}{2}R + R = R(\frac{f}{2} + 1) = R(\frac{f+2}{2})$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{R}{R(\frac{f+2}{2})} = \frac{2}{f+2} = \frac{1}{3}$.
$f$ માટે ઉકેલતા: $f+2 = 6$,જે આપણને $f = 4$ આપે છે.

(A) અચળ દબાણે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_p)$ અને અચળ કદે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_v)$ નો ગુણોત્તર એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુણોત્તર માટેનું સૂત્ર $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1 + \frac{2}{f}$ છે,જ્યાં $f$ એ સ્વતંત્રતાના અંશોની સંખ્યા છે.
અહીં આપેલ છે કે વાયુ $f = 5$ સ્વતંત્રતાના અંશો ધરાવે છે:
$\gamma = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.4$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $1.4$ છે.

(D) વાયુ $A$ માટે: અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = 22 \, J\, mol^{-1}\, K^{-1}$ છે.
સંબંધ $C_V = \frac{f}{2}R$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $R \approx 8.314 \, J\, mol^{-1}\, K^{-1}$,આપણને $f = \frac{2 C_V}{R} = \frac{2 \times 22}{8.314} \approx 5.29$ મળે છે.
અહીં $f$ એ $5$ (દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ માટેની મુક્તિના અંશો) કરતા થોડું વધારે હોવાથી,તે $1$ કંપન મોડની હાજરી સૂચવે છે.
વાયુ $B$ માટે: અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = 21 \, J\, mol^{-1}\, K^{-1}$ છે.
$f = \frac{2 C_V}{R} = \frac{2 \times 21}{8.314} \approx 5.05$ મળે છે.
આ મૂલ્ય આશરે $5$ છે,જે કંપન મોડ વગરના દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુને અનુરૂપ છે.
આમ,$A$ પાસે કંપન મોડ છે પરંતુ $B$ પાસે કોઈ નથી.

(C) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$He$ (એક પરમાણ્વીય વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 3$ છે. $10T$ તાપમાને $n_1$ મોલ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U_1 = \frac{3}{2} n_1 R (10T) = 15 n_1 RT$ થાય.
$H_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 5$ છે. $6T$ તાપમાને $n_2$ મોલ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U_2 = \frac{5}{2} n_2 R (6T) = 15 n_2 RT$ થાય.
આંતરિક ઉર્જાને સરખાવતા,$U_1 = U_2$,આપણને $15 n_1 RT = 15 n_2 RT$ મળે છે.
તેથી,$n_1 = n_2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{n_1}{n_2} = 1$.

(D) આદર્શ વાયુના $\mu$ મોલની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} \mu RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degree of freedom) છે,$\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$O_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ અને $\mu_1 = 1$ છે.
તેથી,$U_{O_2} = \frac{5}{2} (1) RT = 2.5 RT$.
$He$ (એક-પરમાણ્વીય વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$ અને $\mu_2 = 2$ છે.
તેથી,$U_{He} = \frac{3}{2} (2) RT = 3 RT$.
ગુણોત્તર $\frac{U_{O_2}}{U_{He}} = \frac{2.5 RT}{3 RT} = \frac{2.5}{3} = \frac{5}{6}$ થાય છે.

(D) ઉર્જાના સમવિભાજનના પ્રમેય મુજબ,એક અણુ માટે દરેક સ્વતંત્રતાના અંશ સાથે સંકળાયેલી સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$1 \, mole$ વાયુ માટે,અણુઓની સંખ્યા એવોગેડ્રો આંક $N_A$ જેટલી હોય છે.
તેથી,$1 \, mole$ દીઠ સ્વતંત્રતાના અંશ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} kT \times N_A$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $R = k \times N_A$ (જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે),તેથી આ પદ $\frac{1}{2} RT$ બને છે.

(B) એક મોનોએટોમિક ગેસ પરમાણુ પાસે $3$ સ્વતંત્રતાના અંશો હોય છે કારણ કે તે ફક્ત $X-$,$Y-$ અને $Z-$ અક્ષો પર સ્થાનાંતરિત ગતિ કરી શકે છે. એક બિંદુ જેવા પરમાણુ માટે પરિભ્રમણ અને કંપનશીલ સ્વતંત્રતાના અંશો હોતા નથી.
તેથી,વિધાન સાચું છે.
સમીકરણ $\frac{C_P}{C_V} = \gamma$ એ મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માના ગુણોત્તર માટેનું પ્રમાણિત થર્મોડાયનેમિક સંબંધ છે,જે પણ સાચું છે.
જો કે,સ્વતંત્રતાના અંશોનું મૂલ્ય અણુના બંધારણ (મોનોએટોમિક,ડાયટોમિક,વગેરે) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,વિશિષ્ટ ઉષ્માના ગુણોત્તર $\gamma$ દ્વારા નહીં. તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
$1$. હાઇડ્રોજન $(H_2)$ એ ઓરડાના તાપમાને દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ છે. તેના મુક્તિના અંશો $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે. તેથી,$\gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$.
$2$. હિલિયમ $(He)$ એ એક-પરમાણ્વિક વાયુ છે. તેના મુક્તિના અંશો $f = 3$ ($3$ સ્થાનાંતરિત) છે. તેથી,$\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
$3$. વાયુ $X$ એ વધારાની કંપનશીલ મોડ ધરાવતો દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ છે. કંપનશીલ મોડ $2$ મુક્તિના અંશો ઉમેરે છે ($1$ ગતિજ + $1$ સ્થિતિજ). તેથી,$f = 5 + 2 = 7$. આમ,$\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$.
તેથી,મૂલ્યો $\frac{7}{5}, \frac{5}{3}$ અને $\frac{9}{7}$ છે.

(B) દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય અણુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $(f_A)$ $5$ છે ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય).
વધારાની કંપન ગતિ ધરાવતા દ્વિપરમાણ્વીય અણુ માટે,મુક્તિના અંશો $(f_B)$ $7$ છે ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય + $2$ કંપન).
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{f}{2}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$C_v^A = \frac{5}{2}R$ અને $C_v^B = \frac{7}{2}R$.
ગુણોત્તર $\frac{C_v^A}{C_v^B} = \frac{\frac{5}{2}R}{\frac{7}{2}R} = \frac{5}{7}$.

(N/A) વાયુના અણુ જે સ્વતંત્ર રીતે ગતિ કરી શકે તેવા સ્વતંત્ર પ્રકારોની સંખ્યાને સ્વતંત્રતાના અંશ (Degree of freedom) કહેવામાં આવે છે.
સ્વતંત્રતાના અંશ નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$(1)$ અણુ કેટલા પરમાણુઓનો બનેલો છે (પરમાણ્વિકતા).
$(2)$ વાયુનું તાપમાન (જે કંપન ગતિના પ્રકારો નક્કી કરે છે).
ગાણિતિક રીતે,અણુની કુલ ઉર્જાના સમીકરણમાં રહેલા સ્વતંત્ર વર્ગના પદોની કુલ સંખ્યાને તેના સ્વતંત્રતાના અંશ $(f)$ કહેવામાં આવે છે.

(N/A) ઊર્જાના સમવિભાજનનો નિયમ: ઉષ્મીય સંતુલનમાં,તંત્રની કુલ ઊર્જા તેના તમામ સક્રિય મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય છે અને દરેક મુક્તિના અંશ સાથે સંકળાયેલી સરેરાશ ઊર્જા $\frac{1}{2} k_{B} T$ જેટલી હોય છે,જ્યાં $k_{B}$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
તાપમાન $T$ પર ઉષ્મીય સંતુલનમાં રહેલા એક પરમાણ્વિક વાયુના અણુને ધ્યાનમાં લો. અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$\langle E_{t} \rangle = \langle \frac{1}{2} m v_{x}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} m v_{y}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} m v_{z}^{2} \rangle$
વાયુના ગતિવાદ મુજબ,અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{3}{2} k_{B} T$ છે:
$\langle E_{t} \rangle = \frac{3}{2} k_{B} T$
વાયુ આઈસોટ્રોપિક હોવાથી,દરેક અક્ષ પર સરેરાશ ગતિઊર્જા સમાન હોય છે:
$\langle \frac{1}{2} m v_{x}^{2} \rangle = \langle \frac{1}{2} m v_{y}^{2} \rangle = \langle \frac{1}{2} m v_{z}^{2} \rangle$
આ કિંમતને કુલ ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{3}{2} k_{B} T = 3 \langle \frac{1}{2} m v_{x}^{2} \rangle$
તેથી,દરેક મુક્તિના અંશ સાથે સંકળાયેલી ઊર્જા:
$\langle \frac{1}{2} m v_{x}^{2} \rangle = \frac{1}{2} k_{B} T$
આ સાબિત કરે છે કે દરેક મુક્તિના અંશ માટે,સંકળાયેલી સરેરાશ ઊર્જા $\frac{1}{2} k_{B} T$ છે. આને ઊર્જાના સમવિભાજનનો નિયમ કહેવામાં આવે છે.

(N/A) $O_{2}$,$N_{2}$,$H_{2}$,અથવા $CO$ જેવા દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુના અણુઓ પાસે $x$,$y$,અને $z$ અક્ષો પરની ગતિને અનુરૂપ ત્રણ સ્થાનાંતરીય મુક્તિના અંશો હોય છે.
$E_{t} = \langle \frac{1}{2} m v_{x}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} m v_{y}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} m v_{z}^{2} \rangle$
વધુમાં,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ તેની પાસે બે $(2)$ ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો હોય છે. દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ માટે,આંતર-પરમાણ્વીય અક્ષને લંબ એવી અક્ષો પર બે સ્વતંત્ર ભ્રમણીય ગતિઓ હોય છે.
ધારો કે $\omega_{1}$ અને $\omega_{2}$ એ અક્ષ $1$ અને $2$ ની આસપાસની કોણીય ઝડપ છે,અને $I_{1}$ અને $I_{2}$ એ આ અક્ષોની આસપાસની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
અણુની કુલ ઉર્જા એ સ્થાનાંતરીય અને ભ્રમણીય ગતિ ઉર્જા $(KE)$ નો સરવાળો છે:
$E = E_{t} + E_{r}$
$E = \langle \frac{1}{2} m v_{x}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} m v_{y}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} m v_{z}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2} \rangle$
અહીં,સ્થાનાંતરીય $KE$ માટે $3$ પદો અને ભ્રમણીય $KE$ માટે $2$ પદો છે,જેના પરિણામે ઓરડાના તાપમાને કુલ $5$ મુક્તિના અંશો મળે છે.
ઊંચા તાપમાને,આ અણુઓ કંપન મોડ પણ દર્શાવે છે. પરમાણુઓ આંતર-પરમાણ્વીય અક્ષ પર એક-પરિમાણીય હાર્મોનિક ઓસિલેટરની જેમ દોલન કરે છે,જે બે વધારાના મુક્તિના અંશો (એક ગતિ ઉર્જા માટે અને એક સ્થિતિ ઉર્જા માટે) ઉમેરે છે,જેથી કુલ $7$ મુક્તિના અંશો થાય છે.

ધારો કે આપેલ વાયુના અણુઓની સંખ્યા $N$ છે. જો દરેક અણુની મુક્તિની માત્રા $f$ હોય,તો ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,દરેક મુક્તિની માત્રા સાથે સંકળાયેલી આંતરિક ઉર્જા $\frac{1}{2} k_{B} T$ છે.
વાયુની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U$ નીચે મુજબ મળે છે:
$U = [\text{અણુઓની કુલ સંખ્યા}] \times [\text{અણુ દીઠ મુક્તિની માત્રા}] \times [\text{દરેક મુક્તિની માત્રા દીઠ આંતરિક ઉર્જા}]$
$\therefore U = N \times f \times \frac{1}{2} k_{B} T$
અહીં $N = \mu N_{A}$ છે,જ્યાં $\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે અને $N_{A}$ એ એવોગેડ્રો આંક છે:
$U = \mu N_{A} \times f \times \frac{1}{2} k_{B} T$
સંબંધ $R = N_{A} k_{B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$U = \mu f \left( N_{A} k_{B} \right) \frac{1}{2} T$
$\therefore U = \frac{1}{2} \mu f RT$

(N/A) કોઈપણ ગતિશીલ તંત્રની સ્વતંત્રતાની માત્રા $(f)$ એટલે તે તંત્રના સ્વતંત્ર યામોની કુલ સંખ્યા અથવા એવી રીતો કે જેમાં તંત્ર પર લાદવામાં આવેલા કોઈપણ અવરોધોનું ઉલ્લંઘન કર્યા વિના તે ગતિ કરી શકે અથવા ઉર્જા ધરાવી શકે.
ગાણિતિક રીતે,$k$ અવરોધો ધરાવતા $N$ કણોના તંત્ર માટે,સ્વતંત્રતાની માત્રા $f = 3N - k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(N/A) મુક્તિના અંશો $(f)$ એટલે અણુ જે સ્વતંત્ર રીતે ઊર્જા ધરાવી શકે તેવા માર્ગોની સંખ્યા.
$(i)$ એકપરમાણ્વીય વાયુ (દા.ત.,$He, Ne, Ar$) માટે,અણુ માત્ર $x, y,$ અને $z$ અક્ષ પર સ્થાનાંતરિત ગતિ કરી શકે છે. તેથી,તેમાં $3$ સ્થાનાંતરિત મુક્તિના અંશો અને $0$ ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો હોય છે. કુલ મુક્તિના અંશો $f = 3$ છે.
$(ii)$ ઓરડાના તાપમાને દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ (દા.ત.,$H_2, O_2, N_2$) માટે,અણુમાં $3$ સ્થાનાંતરિત મુક્તિના અંશો અને $2$ ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો (બંધ અક્ષને લંબ અક્ષો પર) હોય છે. કુલ મુક્તિના અંશો $f = 3 + 2 = 5$ છે.

(B) દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ,જેને દ્રઢ રોટેટર તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે નિશ્ચિત અંતરે રહેલા બે પરમાણુઓનો બનેલો છે.
તેમાં $x, y,$ અને $z$ અક્ષો પરની ગતિને અનુરૂપ $3$ સ્થાનાંતરિત (translational) મુક્તિની માત્રા હોય છે.
વધુમાં,તેમાં $2$ ભ્રમણીય (rotational) મુક્તિની માત્રા હોય છે કારણ કે તે પરમાણુઓને જોડતી રેખાને લંબ બે અક્ષો પર ફરી શકે છે.
તેથી,કુલ મુક્તિની માત્રા $f$ એ સ્થાનાંતરિત અને ભ્રમણીય મુક્તિની માત્રાનો સરવાળો છે: $f = 3 + 2 = 5$.

(N/A) ઊર્જાના સમવિભાજનનો નિયમ જણાવે છે કે તાપીય સંતુલનમાં રહેલી ગતિશીલ પ્રણાલી માટે,પ્રણાલીની કુલ ઊર્જા તેના તમામ મુક્તતાના અંશો (degrees of freedom) વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય છે. દરેક અણુ દીઠ મુક્તતાના દરેક અંશ સાથે સંકળાયેલી ઊર્જા $\frac{1}{2} k_B T$ હોય છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ પ્રણાલીનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.

(C) વાયુના અણુની મુક્તિની માત્રા $(f)$ એટલે કે અણુ જે સ્વતંત્ર રીતે ઉર્જા ધરાવી શકે તે રીતોની સંખ્યા.
અરેખીય (non-linear) બહુપરમાણ્વીય વાયુના અણુ માટે,$3$ સ્થાનાંતરિત (translational) અને $3$ ભ્રમણીય (rotational) મુક્તિની માત્રા હોય છે.
તેથી,અરેખીય બહુપરમાણ્વીય વાયુ માટે કુલ મુક્તિની માત્રા $f = 3 + 3 = 6$ થાય છે.
જો બહુપરમાણ્વીય વાયુ રેખીય હોય,તો તેમાં $3$ સ્થાનાંતરિત અને $2$ ભ્રમણીય મુક્તિની માત્રા હોય છે,જેના પરિણામે $f = 5$ (ઓરડાના તાપમાને) મળે છે.
સામાન્ય રીતે,અરેખીય બહુપરમાણ્વીય અણુ માટે મુક્તિની માત્રા $6$ હોય છે.

(C) કોઈપણ કણ અથવા પદાર્થની સ્વતંત્રતાની માત્રા એટલે અવકાશમાં તેનું સ્થાન દર્શાવવા માટે જરૂરી સ્વતંત્ર યામોની સંખ્યા.
રૂમ એ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ હોવાથી,તેમાં ઉડતી મધમાખી $x$,$y$ અને $z$ અક્ષ પર સ્વતંત્ર રીતે ગતિ કરી શકે છે.
તેથી,મધમાખી માટે સ્વતંત્રતાની માત્રા $3$ છે.

(A) હા,તાપમાનમાં વધારો થવાથી મુક્તિની માત્રા બદલાય છે. નીચા તાપમાને,માત્ર સ્થાનાંતરિત (translational) અને ભ્રમણીય (rotational) મુક્તિની માત્રા સક્રિય હોય છે. જેમ જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ તેમ અણુઓની કંપન ગતિ (vibrational motion) સક્રિય થાય છે,જે વાયુના અણુઓની કુલ મુક્તિની માત્રામાં વધારો કરે છે.

(C) વાયુના અણુની મુક્તિની માત્રા $(f)$ તેની પરમાણ્વિકતા (એકપરમાણ્વીય,દ્વિપરમાણ્વીય અથવા બહુપરમાણ્વીય) દ્વારા નક્કી થાય છે,જે અણુ ઉર્જા સંગ્રહિત કરી શકે તેવી સ્વતંત્ર રીતોની સંખ્યા (સ્થાનાંતરિત,પરિભ્રમણીય અને કંપનશીલ) દર્શાવે છે.
નીચા તાપમાને,માત્ર સ્થાનાંતરિત અને પરિભ્રમણીય મુક્તિની માત્રા સક્રિય હોય છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ કંપનશીલ મુક્તિની માત્રા પણ સક્રિય થઈ શકે છે,આમ મુક્તિની માત્રા પરમાણ્વિકતા અને તાપમાન બંને પર આધાર રાખે છે.

(N/A) થર્મોડાયનેમિક સિસ્ટમમાં કુલ મુક્તિની માત્રા એ પ્રતિ અણુ મુક્તિની માત્રા અને અણુઓની કુલ સંખ્યાના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
$NTP$ પર,$1$ મોલ આદર્શ વાયુ દ્વારા રોકાયેલું કદ $22400$ $cc$ છે.
એવોગેડ્રો આંક $(N_A = 6.023 \times 10^{23})$ નો ઉપયોગ કરીને,$1$ $cc$ માં અણુઓની સંખ્યા $(n)$:
$n = \frac{6.023 \times 10^{23}}{22400} \approx 2.688 \times 10^{19}$ અણુઓ.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ એ દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ છે. ઓરડાના તાપમાને,તેની મુક્તિની માત્રા $(f)$ $5$ છે ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય).
કુલ મુક્તિની માત્રા $= f \times n = 5 \times 2.688 \times 10^{19} = 1.344 \times 10^{20}$.

(D) બિન-રેખીય (ત્રિકોણાકાર) સખત અણુ માટે,મુક્તિના અંશો $(f)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$1$. સ્થાનાંતરિત મુક્તિના અંશો: $3$ ($x, y, z$ અક્ષો પર).
$2$. ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો: $3$ (બિન-રેખીય અણુ માટે ત્રણ મુખ્ય ભ્રમણ અક્ષોની આસપાસ).
કુલ મુક્તિના અંશો $(f)$ = $3 + 3 = 6$.
આદર્શ વાયુના $n$ મોલની આંતરિક ઉર્જા $(U)$ $U = \frac{f}{2} nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 1$ મોલ અને $f = 6$ માટે:
$U = \frac{6}{2} \times 1 \times RT = 3RT$.
આમ,આંતરિક ઉર્જા $3RT$ છે.