Mix Examples-Kinetic Theory of Gases Questions in Gujarati

(D) વાયુના અણુની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
તમામ વાયુઓ માટે તાપમાનમાં થતો ફેરફાર સમાન હોવાથી,પ્રતિ અણુ ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર પણ સમાન રહેશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{p^2}{2m}$,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે અને $m$ એ વાયુના અણુનું દળ છે.
તેથી,$p = \sqrt{2m(K.E.)}$.
ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર અચળ હોવાથી,વેગમાન $p$ એ વાયુના અણુના દળના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે $(p \propto \sqrt{m})$.
આપેલા વિકલ્પોમાં,આર્ગોનનું મોલર દળ સૌથી વધુ $(39.95\, g/mol)$ છે,ત્યારબાદ નાઇટ્રોજન $(28.01\, g/mol)$,હિલિયમ $(4.00\, g/mol)$ અને હાઇડ્રોજન $(2.02\, g/mol)$ આવે છે.
આમ,જે વાયુનું દળ સૌથી વધુ હશે તે સૌથી વધુ વેગમાન પ્રાપ્ત કરશે.
તેથી,આર્ગોન સૌથી વધુ વેગમાન પ્રાપ્ત કરશે.

(B) વાયુની એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતા $E$ નું સૂત્ર $E = \gamma P$ છે,જ્યાં $\gamma = C_p/C_v$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે અને $P$ એ દબાણ છે.
આર્ગોન માટે,એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતા $E_{Ar} = 1.6P$ છે.
હાઇડ્રોજન માટે,ધારો કે દબાણ $P'$ છે. એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતા $E_{H2} = 1.4P'$ છે.
આપેલ છે કે એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતા સમાન છે,તેથી $E_{Ar} = E_{H2}$.
તેથી,$1.6P = 1.4P'$.
$P'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $P' = \frac{1.6}{1.4}P = \frac{16}{14}P = \frac{8}{7}P$ મળે છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ ($m$ એ દળ છે,$M$ એ મોલર દળ છે).
બે વાયુઓ ઉષ્મીય સંતુલનમાં હોવાથી,તેમના તાપમાન $T$ સમાન છે.
આપેલ છે કે દળ $m$ સમાન છે,તેથી સમીકરણ $PV = \frac{m}{M} RT$ બને છે.
બંને વાયુઓ માટે,$P_a V_a = \frac{m}{M_a} RT$ અને $P_b V_b = \frac{m}{M_b} RT$ થાય.
જો આપણે ધારી લઈએ કે વાયુઓ સમાન છે અથવા સમાન મોલર દળ $M$ ધરાવે છે,તો $P_a V_a = P_b V_b$ સાચું ઠરે છે.
આ પ્રકારના પ્રમાણિત ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં,$P_a V_a = P_b V_b$ એ અપેક્ષિત પરિણામ છે.

(B) વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ,નીચેની ધારણાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે:
$1$. વાયુના અણુઓ સતત યાદચ્છિક ગતિમાં હોય છે.
$2$. અણુઓ અથડામણ સિવાય એકબીજા સાથે કોઈ આંતરક્રિયા કરતા નથી.
$3$. અણુઓ વચ્ચેની અથડામણો સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોય છે,જેનો અર્થ છે કે ગતિ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
$4$. અણુઓ વચ્ચેની અથડામણો ખૂબ જ ટૂંકા ગાળાની હોય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,'અણુઓ સતત અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણો અનુભવે છે' તે વિધાન ખોટું છે,કારણ કે ગતિવાદમાં અથડામણો સ્થિતિસ્થાપક હોવાનું માનવામાં આવે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ ખોટું વિધાન છે.

(C) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો આપણે ધારીએ કે તાપમાન કદના સમપ્રમાણમાં છે $(T \propto V)$,તો $T_a = 2T_b$ થાય.
તેથી,$C_a = \sqrt{\frac{\gamma R T_a}{M}} = \sqrt{\frac{\gamma R (2T_b)}{M}} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{\gamma R T_b}{M}} = \sqrt{2} C_b$.
આમ,$C_a = \sqrt{2} C_b$.

(D) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT = \frac{m}{M} RT$ છે,જ્યાં $m$ એ વાયુનું દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
અહીં દબાણ $P$,કદ $V$ અને મોલર દળ $M$ અચળ હોવાથી,$m_1 T_1 = m_2 T_2$ મળે.
આપેલ છે કે $m_1 = 13 \, g$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$ અને $T_2 = 52 + 273 = 325 \, K$.
કિંમતો મૂકતા: $13 \times 300 = m_2 \times 325$.
$m_2 = \frac{13 \times 300}{325} = \frac{3900}{325} = 12 \, g$.
બહાર કાઢવા પડતા વાયુનું દળ $\Delta m = m_1 - m_2 = 13 - 12 = 1 \, g$ થાય.

(C) જ્યારે વાલ્વ ખોલવામાં આવે છે ત્યારે મોલની કુલ સંખ્યા $n$ જળવાઈ રહે છે.
$n = n_1 + n_2$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = \frac{PV}{RT}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2} = \frac{P(V_1 + V_2)}{R T}$
તંત્ર ઉષ્મીય રીતે અલગ હોવાથી,કુલ આંતરિક ઉર્જા જળવાઈ રહે છે. આદર્શ વાયુ માટે,$U = \frac{f}{2} nRT$. તેથી,$n_1 T_1 + n_2 T_2 = (n_1 + n_2) T$.
$n = \frac{PV}{RT}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{P_1 V_1}{R T_1} T_1 + \frac{P_2 V_2}{R T_2} T_2 = (n_1 + n_2) T$.
$n_1 + n_2 = \frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2} = \frac{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}{R T_1 T_2}$.
અંતિમ દબાણ $P = \frac{(n_1 + n_2)RT}{V_1 + V_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણ સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $P_1 V_1 + P_2 V_2 = (n_1 + n_2) RT$.
તેથી,$T = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{n_1 + n_2} = \frac{(P_1 V_1 + P_2 V_2) T_1 T_2}{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}$.

(C) અચળ તાપમાને બોઈલના નિયમ મુજબ,$P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_{total} V_{final}$.
આપેલ છે:
વાયુ $A$: $P_1 = 0.60 \, atm$,$V_1 = 125 \, ml = 0.125 \, L$.
વાયુ $B$: $P_2 = 0.80 \, atm$,$V_2 = 150 \, ml = 0.150 \, L$.
પાત્રનું અંતિમ કદ $V_{final} = 1 \, L$.
મોલના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$P_{total} = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{V_{final}}$
$P_{total} = \frac{(0.60 \times 0.125) + (0.80 \times 0.150)}{1}$
$P_{total} = 0.075 + 0.120 = 0.195 \, atm$.
આમ,કુલ દબાણ $0.195 \, atm$ થશે.

(C) સંતૃપ્ત વરાળ ચોક્કસ તાપમાને તેની પ્રવાહી અવસ્થા સાથે સંતુલનમાં હોય છે.
સંતૃપ્ત વરાળ દ્વારા લાગતું દબાણ માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે અને પાત્રના કદથી સ્વતંત્ર છે,જો તાપમાન અચળ રહે.
જ્યારે કદને સંકોચવામાં આવે છે,ત્યારે તે તાપમાને સંતૃપ્તિની સ્થિતિ જાળવી રાખવા માટે વરાળનો કેટલોક ભાગ પ્રવાહીમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,સંતૃપ્ત વરાળનું દબાણ અચળ રહે છે.
આથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ સમાન છે.

(A) ચંદ્રની સપાટી પર નિષ્ક્રમણ વેગ (કોઈ પદાર્થને ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાંથી મુક્ત કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ વેગ) એ ચંદ્રના તાપમાને વાયુના અણુઓના $r.m.s.$ વેગ કરતા ઘણો ઓછો છે.
કારણ કે વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ નિષ્ક્રમણ વેગ કરતા વધી જાય છે,તેથી આ અણુઓ ચંદ્રના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી સરળતાથી બહાર નીકળી જાય છે. પરિણામે,ચંદ્ર વાતાવરણ જાળવી શકતું નથી.
નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2gR}$ છે. પૃથ્વી પર નિષ્ક્રમણ વેગ આશરે $11.2 \; km/s$ છે,જ્યારે ચંદ્ર પર તે માત્ર $2.4 \; km/s$ જેટલો છે. ચંદ્રની સપાટીના તાપમાનને કારણે,વાયુના અણુઓનો ઉષ્મીય વેગ આ ઓછા નિષ્ક્રમણ વેગને વટાવી જાય તેટલો ઊંચો હોય છે.

(A) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
વાયુના અણુઓનો $r.m.s.$ વેગ $c = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ અને $c$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{v}{c} = \frac{\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}}{\sqrt{\frac{3P}{\rho}}} = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho} \cdot \frac{\rho}{3P}} = \sqrt{\frac{\gamma}{3}}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{\frac{\gamma}{3}}$ છે.

(A) આદર્શ વાયુની ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો $T = 0 \, K$ હોય,તો ગતિ ઉર્જા શૂન્ય થાય છે,પરંતુ અણુઓની સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય ન પણ હોય. આમ,પરમ શૂન્ય તાપમાન એ શૂન્ય ઉર્જા તાપમાન નથી. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$(B)$ સરેરાશ વર્ગિત $(RMS)$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તે મોલર દળ $(M)$ પર આધાર રાખે છે,તેથી સમાન તાપમાને બે અલગ-અલગ વાયુઓનો $RMS$ વેગ અલગ-અલગ હશે. તેથી,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
$(C)$ વિકલ્પ $B$ ની જેમ જ,$RMS$ ઝડપ મોલર દળ પર આધાર રાખે છે. તેથી,સમાન તાપમાને વિવિધ આદર્શ વાયુઓના અણુઓની $RMS$ ઝડપ અલગ-અલગ હશે. તેથી,વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
$(D)$ એવોગેડ્રોના નિયમ મુજબ,સમાન તાપમાન અને દબાણે,તમામ વાયુઓના સમાન કદમાં અણુઓની સંખ્યા સમાન હોય છે. બંને નમૂનાઓ $NTP$ પર $1 \, cc$ કદ ધરાવતા હોવાથી,તેમાં અણુઓની સંખ્યા સમાન હશે. તેથી,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(C) ગેસનું તાપમાન તેના અણુઓની અસ્તવ્યસ્ત ગતિને કારણે તેમની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા સાથે સંબંધિત છે.
જ્યારે પાત્ર સમાન ઝડપે ગતિ કરે છે,ત્યારે આખું પાત્ર (અંદરના ગેસના અણુઓ સહિત) સંદર્ભના એક ફ્રેમ તરીકે ગતિ કરે છે.
ટ્રક સમાન ઝડપે ગતિ કરી રહી હોવાથી,પાત્રની સાપેક્ષમાં ગેસના અણુઓ પર કોઈ પ્રવેગ લાગતો નથી.
ગેસનું દબાણ $P$ અને કદ $V$ અચળ રહેતું હોવાથી,અને ટ્રકની સમાન ગતિને કારણે ગેસની આંતરિક ઊર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,તેથી ગેસના અણુઓનું તાપમાન સમાન રહે છે.

(C) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તેના તાપમાન પર આધાર રાખે છે,પ્રક્રિયા (અચળ દબાણ કે અચળ કદ) પર નહીં.
આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ સૂત્ર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાપમાનમાં એકમ ફેરફાર માટે $(\Delta T = 1)$:
$U_1 = n C_v (1) = n C_v$ (અચળ દબાણ પર).
$U_2 = n C_v (1) = n C_v$ (અચળ કદ પર).
આમ,આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,તાપમાનમાં થતા ચોક્કસ ફેરફાર માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર કોઈપણ પ્રક્રિયા માટે સમાન રહે છે.
તેથી,$U_1 : U_2 = n C_v : n C_v = 1 : 1$.

(D) વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ:
$(I)$ નિરપેક્ષ શૂન્ય $(T = 0 \ K)$ તાપમાને અણુની ઉર્જા શૂન્ય હોતી નથી.
$(II)$ $r.m.s.$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અલગ-અલગ વાયુઓ માટે $M$ અલગ હોવાથી,સમાન તાપમાને $v_{rms}$ સમાન હોતી નથી.
$(III)$ $1 \ g$ વાયુ માટે ગતિ ઉર્જા $K = \frac{m}{M} \frac{f R T}{2}$ છે. વાયુના પ્રકાર મુજબ $M$ અને $f$ બદલાતા હોવાથી ગતિ ઉર્જા સમાન હોતી નથી.
$(IV)$ એક મોલ આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિ ઉર્જા $U = \frac{f}{2} RT$ છે. વાયુની પરમાણુતા મુજબ $f$ બદલાય છે,તેથી સરેરાશ ગતિ ઉર્જા સમાન હોતી નથી.
આમ,આપેલ એકપણ વિધાન સાચું નથી.

(A) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} k_B T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. તેથી,$E \propto T$.
અહીં $T_1 = 300 \, K$ અને $T_2 = 600 \, K$ આપેલ છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{600}{300} = 2$ થાય.
તેથી,$E_2 = 2 \times E_1 = 2 \times 6.21 \times 10^{-21} \, J = 12.42 \times 10^{-21} \, J$.
$r.m.s.$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. તેથી,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
તેથી,$\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{600}{300}} = \sqrt{2} \approx 1.414$.
$(v_{rms})_2 = 1.414 \times 484 \, m/s \approx 684 \, m/s$.
આમ,સાચું મૂલ્ય $12.42 \times 10^{-21} \, J$ અને $684 \, m/s$ છે.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ એ છે જેમાં તંત્રની કુલ ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. તેથી,અથડામણમાં ગતિઊર્જાનો વ્યય થાય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગ વેગ $\langle v^2 \rangle = \frac{3kT}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુ $A$ માટે,સરેરાશ વર્ગ વેગ $\langle v_A^2 \rangle = \frac{3kT}{m}$ છે.
કારણ કે $\langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle$ અને $\langle v^2 \rangle = \langle v_x^2 \rangle + \langle v_y^2 \rangle + \langle v_z^2 \rangle$,તેથી $\langle v_x^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle v^2 \rangle$ થાય.
આમ,$w^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{3kT}{m} \right) = \frac{kT}{m}$.
વાયુ $B$ માટે,સરેરાશ વર્ગ વેગ $v^2 = \frac{3kT}{2m}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{w^2}{v^2}$ લેતા:
$\frac{w^2}{v^2} = \frac{kT/m}{3kT/2m} = \frac{1}{m} \cdot \frac{2m}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.67$.

(B) આપેલ છે: $n = \frac{1}{2} \; mol$,$c_v = 3 \; J \; g^{-1} \; K^{-1}$,હિલિયમનું મોલર દળ $M = 4 \; g \; mol^{-1}$.
પ્રથમ,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માની ગણતરી કરો: $C_V = M \times c_v = 4 \times 3 = 12 \; J \; mol^{-1} \; K^{-1}$.
અચળ કદ માટે આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$P \propto T$. તેથી,$\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}$.
દબાણ બમણું થતું હોવાથી,$P_2 = 2P_1$,જેનો અર્થ છે કે $T_2 = 2T_1$.
$S.T.P.$ પર,$T_1 = 273 \; K$. તેથી,તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 2T_1 - T_1 = T_1 = 273 \; K$.
જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $\Delta Q = n C_V \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta Q = \frac{1}{2} \times 12 \times 273 = 6 \times 273 = 1638 \; J$.

(D) $1$ મોલ આદર્શ વાયુ માટે,$pV = RT$ ... $(i)$.
અચળ દબાણે,$P dV = R dT$ ... (ii).
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) પરથી,આપણને $\frac{dV}{V} = \frac{dT}{T}$ મળે છે.
અચળ દબાણે કદ પ્રસરણાંક $\gamma = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT} = \frac{1}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ માત્ર $T$ પર આધારિત હોવાથી,તે તમામ આદર્શ વાયુઓ માટે સમાન છે.
સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ દબાણ $P$ ઘટે છે,તેમ $\lambda$ વધે છે.
અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $\langle K \rangle = \frac{3}{2} kT$ છે. આ મૂલ્ય માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને વાયુના અણુઓના દળ કે સ્વભાવથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,તાપીય સંતુલનમાં રહેલા મિશ્રણમાં,તમામ ઘટકો સમાન સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા ધરાવે છે.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(B) પ્રવેગ $a$ સાથે ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરતા પ્રવેગિત સંદર્ભ ફ્રેમમાં ડબ્બાને ધ્યાનમાં લો.
આ બિન-જડત્વીય ફ્રેમમાં,દરેક વાયુના અણુ પર પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં (એટલે કે,ઋણ $x$-દિશામાં) સ્યુડો ફોર્સ લાગે છે.
આ સ્યુડો ફોર્સને કારણે,વાયુના અણુઓ ડબ્બાની પાછળની બાજુએ એકઠા થાય છે.
પરિણામે,પાછળની બાજુએ વાયુની ઘનતા વધે છે અને આગળની બાજુએ ઘટે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $(P = \rho RT/M)$ મુજબ,વાયુનું દબાણ તેની ઘનતાના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,પાછળની બાજુએ દબાણ વધારે હશે અને આગળની બાજુએ ઓછું હશે.
તેથી,આગળની બાજુએ દબાણ ઓછું છે.

(B) વાયુની કુલ ગતિઊર્જા ${E_{total}} = \frac{f}{2}NkT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો છે,$N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
કુલ ગતિઊર્જા ${E_{total}}$ અચળ હોવાથી,$N_1 T_1 = N_2 T_2$ મળે.
અહીં $N_2 = 2N_1$ આપેલ છે,તેથી $N_1 T_1 = (2N_1) T_2$,જેનો અર્થ છે કે ${T_2} = \frac{{{T_1}}}{2}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = NkT$ પરથી,$P \propto NT$ મળે.
તેથી,$\frac{{{P_2}}}{{{P_1}}} = \frac{{{N_2}{T_2}}}{{{N_1}{T_1}}} = \left( \frac{2N_1}{N_1} \right) \left( \frac{T_1/2}{T_1} \right) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.
આમ,${P_2} = {P_1}$ અને ${T_2} = \frac{{{T_1}}}{2}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે પાત્ર $A$ અને $B$ માં રહેલા વાયુઓ તાપીય સંતુલનમાં છે,તેથી તેમના તાપમાન સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $T_A = T_B = T$.
આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે.
મોલની સંખ્યા $n = m/M$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
પાત્ર $A$ માટે: $P_A V_A = (m/M_A) RT$.
પાત્ર $B$ માટે: $P_B V_B = (m/M_B) RT$.
દળ $m$ સમાન હોવાથી,આપણને $P_A V_A / M_A = P_B V_B / M_B$ મળે છે.
જો વાયુઓ અલગ-અલગ હોય,તો $M_A \neq M_B$,તેથી $P_A V_A$ એ $P_B V_B$ જેટલું હોવું જરૂરી નથી. જો કે,જો વાયુઓ સમાન હોય,તો $M_A = M_B$,જેનો અર્થ છે કે $P_A V_A = P_B V_B$. પ્રશ્નમાં પૂછવામાં આવ્યું છે કે શું 'સાચું હોઈ શકે',તેથી વિકલ્પ $D$ એક શક્યતા છે.

(D) તંત્રમાં વાયુનો કુલ જથ્થો અચળ રહે છે. ધારો કે દરેક બલ્બનું કદ $V$ છે અને $N.T.P.$ પર શરૂઆતનું દબાણ $P_0$ $(T_0 = 273 \ K)$ છે.
શરૂઆતમાં,મોલની કુલ સંખ્યા $\mu = \mu_1 + \mu_2 = \frac{P_0 V}{R T_0} + \frac{P_0 V}{R T_0} = \frac{2 P_0 V}{R T_0}$.
અંતે,દબાણ $P = 1.5 P_0$ થાય છે. એક બલ્બ $T_1 = 273 \ K$ તાપમાને છે અને બીજો $T_2 = T$ તાપમાને છે.
અંતિમ મોલની સંખ્યા $\mu' = \mu_1' + \mu_2' = \frac{P V}{R T_1} + \frac{P V}{R T_2} = \frac{1.5 P_0 V}{R (273)} + \frac{1.5 P_0 V}{R T}$.
$\mu = \mu'$ હોવાથી:
$\frac{2 P_0 V}{R (273)} = \frac{1.5 P_0 V}{R (273)} + \frac{1.5 P_0 V}{R T}$
$\frac{P_0 V}{R}$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{273} = \frac{1.5}{273} + \frac{1.5}{T}$
$\frac{0.5}{273} = \frac{1.5}{T}$
$T = 273 \times 3 = 819 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^oC) = 819 - 273 = 546^\circ C$.

(D) પ્રથમ પાત્ર માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $P_1V = n_1RT_1$ છે,તેથી $n_1 = \frac{P_1V}{RT_1}$.
બીજા પાત્ર માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $P_2V = n_2RT_2$ છે,તેથી $n_2 = \frac{P_2V}{RT_2}$.
જ્યારે પાત્રોને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ કદ $2V$ થાય છે અને મોલની કુલ સંખ્યા $n = n_1 + n_2$ થાય છે.
અંતિમ સ્થિતિ $P(2V) = (n_1 + n_2)RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n_1$ અને $n_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$P(2V) = \left( \frac{P_1V}{RT_1} + \frac{P_2V}{RT_2} \right) RT$
$2PV = \left( \frac{P_1}{T_1} + \frac{P_2}{T_2} \right) V T$
બંને બાજુને $2VT$ વડે ભાગતા:
$\frac{P}{T} = \frac{1}{2} \left( \frac{P_1}{T_1} + \frac{P_2}{T_2} \right) = \frac{P_1}{2T_1} + \frac{P_2}{2T_2}$.

(B) જ્યારે વાયુને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું દબાણ વધે છે. વાયુ દરેક પિસ્ટન પર $F = P \times A$ જેટલું બળ લગાડે છે,જ્યાં $P$ એ વાયુનું દબાણ છે અને $A$ એ પિસ્ટનનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
બે પિસ્ટન એક દોરી વડે જોડાયેલા હોવાથી,તેઓ એક તંત્ર તરીકે સાથે ગતિ કરે છે.
ડાબા પિસ્ટન પર વાયુ દ્વારા લાગતું બળ $F_L = P \times A_L$ છે (જે ડાબી તરફ લાગે છે).
જમણા પિસ્ટન પર વાયુ દ્વારા લાગતું બળ $F_R = P \times A_R$ છે (જે જમણી તરફ લાગે છે).
આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે જમણા પિસ્ટનનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A_R)$ એ ડાબા પિસ્ટનના ક્ષેત્રફળ $(A_L)$ કરતા વધારે છે.
તેથી,તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_R - F_L = P(A_R - A_L)$ થશે.
અહીં $A_R > A_L$ હોવાથી,પરિણામી બળ $F_{net}$ ધન છે અને તે જમણી દિશામાં લાગે છે.
આમ,પિસ્ટન જમણી તરફ ખસશે.

(C) નળીની કુલ લંબાઈ $100 \, cm$ છે અને પારાના સ્તંભની લંબાઈ $10 \, cm$ છે। તેથી, દરેક બાજુએ હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L = (100 - 10) / 2 = 45 \, cm$ છે।
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 81^{\circ} C = 354 \, K$ અને દબાણ $P_1 = 76 \, cm$ $Hg$ છે।
ધારો કે પારાનો સ્તંભ $0^{\circ} C$ વાળા છેડા તરફ $x \, cm$ ખસે છે। હવાના સ્તંભની નવી લંબાઈ $(45 - x) \, cm$ અને $(45 + x) \, cm$ થશે।
ધારો કે અંતિમ દબાણ $P$ છે। આડી નળી હોવાથી, સંતુલન માટે બંને બાજુ દબાણ સમાન હોવું જોઈએ।
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $\frac{PV}{T} = \text{અચળ}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^{\circ} C$ $(273 \, K)$ વાળી બાજુ માટે: $\frac{76 \cdot 45}{354} = \frac{P \cdot (45 - x)}{273}$
$273^{\circ} C$ $(546 \, K)$ વાળી બાજુ માટે: $\frac{76 \cdot 45}{354} = \frac{P \cdot (45 + x)}{546}$
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા $x = 15 \, cm$ મળે છે।
કિંમત મૂકતા, $P = 102.4 \, cm$ $Hg$ મળે છે।

(A) $H_2$ ના પ્રારંભિક મોલ $(n_{H_2})$ $= 14 \, g / 2 \, g/mol = 7 \, mol$.
$O_2$ ના પ્રારંભિક મોલ $(n_{O_2})$ $= 96 \, g / 32 \, g/mol = 3 \, mol$.
રાસાયણિક પ્રક્રિયા છે: $2H_2 + O_2 \rightarrow 2H_2O$.
સ્ટોઇકિયોમેટ્રી મુજબ,$2 \, mol$ $H_2$ એ $1 \, mol$ $O_2$ સાથે પ્રક્રિયા કરે છે.
તેથી,$3 \, mol$ $O_2$ એ $6 \, mol$ $H_2$ સાથે પ્રક્રિયા કરશે.
આપણી પાસે $7 \, mol$ $H_2$ હોવાથી,$O_2$ એ સીમિત પ્રક્રિયક છે અને તે સંપૂર્ણપણે વપરાઈ જશે.
બાકી રહેલા $H_2$ ના મોલ $= 7 - 6 = 1 \, mol$.
બનેલ $H_2O$ એ $273 \, K$ પર પ્રવાહી અવસ્થામાં હોય છે,તેથી વાયુના દબાણમાં તેનો ફાળો નહિવત છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$V$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$P \propto n$.
પ્રારંભિક દબાણ $P_i = 1 \, atm$ ($STP$ પર $n_i = 7 + 3 = 10 \, mol$ સાથે).
અંતિમ દબાણ $P_f = (n_f / n_i) \times P_i = (1 / 10) \times 1 \, atm = 0.1 \, atm$.

(C) પાત્રમાં શરૂઆતનું કુલ દબાણ $P_{total, 1} = 830 \, mm$ $Hg$ છે.
$T \, K$ તાપમાને પાણીનું સંતૃપ્ત બાષ્પ દબાણ $P_{v, 1} = 30 \, mm$ $Hg$ છે.
કોરા વાયુનું દબાણ $P_{g, 1} = P_{total, 1} - P_{v, 1} = 830 - 30 = 800 \, mm$ $Hg$ છે.
જ્યારે તાપમાન $1\%$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવું તાપમાન $T_2 = 0.99 \, T_1$ થાય છે.
કદ અચળ હોવાથી,કોરા વાયુ માટે,ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,$\frac{P_{g, 1}}{T_1} = \frac{P_{g, 2}}{T_2}$.
$P_{g, 2} = P_{g, 1} \times \frac{T_2}{T_1} = 800 \times 0.99 = 792 \, mm$ $Hg$.
$T_2$ તાપમાને પાણીનું નવું સંતૃપ્ત બાષ્પ દબાણ $P_{v, 2} = 25 \, mm$ $Hg$ છે.
પાત્રમાં નવું કુલ દબાણ $P_{total, 2} = P_{g, 2} + P_{v, 2} = 792 + 25 = 817 \, mm$ $Hg$ થશે.

(A) સમતાપી સંકોચનક્ષમતા $\beta_T$ ને $\beta_T = -\frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_T$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,$PV = nRT$,જેનો અર્થ છે $V = \frac{nRT}{P}$.
અચળ તાપમાને $P$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન લેતા: $\left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_T = -\frac{nRT}{P^2}$.
આ કિંમતને વ્યાખ્યામાં મૂકતા: $\beta_T = -\frac{1}{V} \left( -\frac{nRT}{P^2} \right) = \frac{1}{V} \left( \frac{V}{P} \right) = \frac{1}{P}$.
કારણ કે વાયુને અચળ દબાણે $(P = \text{constant})$ ગરમ કરવામાં આવે છે,તેથી સમતાપી સંકોચનક્ષમતા $\beta_T = \frac{1}{P}$ અચળ રહે છે.

(D) વાયુની એડિઆબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતા $(E_{\phi})$ નું સૂત્ર $E_{\phi} = \gamma P$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિઆબેટિક ઇન્ડેક્સ છે અને $P$ એ વાયુનું દબાણ છે.
$NTP$ (સામાન્ય તાપમાન અને દબાણ) પર,દબાણ $P$ એ $1.013 \times 10^5 \; N/m^2$ જેટલું હોય છે,જેને આશરે $1 \times 10^5 \; N/m^2$ ગણી શકાય.
આપેલ છે કે $\gamma = 1.4$ અને $P = 1 \times 10^5 \; N/m^2$,તેથી:
$E_{\phi} = 1.4 \times (1 \times 10^5 \; N/m^2) = 1.4 \times 10^5 \; N/m^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) વાયુનું કદ અચળ રહે છે, તેથી $V = \text{અચળ}$.
ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ, અચળ કદ માટે $P \propto T$ થાય.
તાપમાન બમણું $(T_0 \to 2T_0)$ થતું હોવાથી, વાયુનું દબાણ પણ બમણું થશે.
આમ, નવું દબાણ $P = 2P_0$ થશે.
ધારો કે તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $F$ છે. કોઈપણ એક પિસ્ટનના સંતુલનનો વિચાર કરતા, તેના પર લાગતા બળોમાં વાયુના દબાણને કારણે લાગતું બળ $(PA)$ બહારની તરફ, વાતાવરણના દબાણને કારણે લાગતું બળ $(P_0A)$ અંદરની તરફ અને તણાવબળ $(F)$ અંદરની તરફ લાગે છે.
તેથી, $F + P_0A = PA$.
$F = (P - P_0)A = (2P_0 - P_0)A = P_0A$.

(B) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = \mu C_V T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે,$C_V$ એ અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
એકપરમાણ્વિક વાયુઓ (He,Ar) માટે,$C_V = \frac{3}{2}R$. દ્વિપરમાણ્વિક વાયુઓ $(N_2, O_2)$ માટે,$C_V = \frac{5}{2}R$.
$A$: $\mu = 2$,$C_V = 1.5R$,$T = 300 \, K$. $U_A = 2 \times 1.5R \times 300 = 900R$.
$B$: $m = 56 \, kg = 56000 \, g$. $N_2$ નું આણ્વીય દળ = $28 \, g/mol$. $\mu = \frac{56000}{28} = 2000 \, moles$. $C_V = 2.5R$,$T = 300 \, K$. $U_B = 2000 \times 2.5R \times 300 = 1,500,000R$.
$C$: $m = 8 \, g$. $O_2$ નું આણ્વીય દળ = $32 \, g/mol$. $\mu = \frac{8}{32} = 0.25 \, moles$. $C_V = 2.5R$,$T = 300 \, K$. $U_C = 0.25 \times 2.5R \times 300 = 187.5R$.
$D$: $N = 6 \times 10^{26}$ અણુઓ. $\mu = \frac{N}{N_A} = \frac{6 \times 10^{26}}{6 \times 10^{23}} = 1000 \, moles$. $C_V = 1.5R$,$T = 900 \, K$. $U_D = 1000 \times 1.5R \times 900 = 1,350,000R$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$U_B$ સૌથી વધુ છે.

(D) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે.
બંને વાયુઓ માટે ધ્વનિની ઝડપ સમાન હોવાથી,$v_{H_2} = v_{O_2}$ થાય.
જો બંને વાયુઓ માટે $\gamma$ અચળ હોય,તો $\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $T_{H_2} = T_{O_2} \times \frac{M_{H_2}}{M_{O_2}}$.
અહીં $T_{O_2} = 100 + 273 = 373 \, K$,$M_{H_2} = 2 \, g/mol$,અને $M_{O_2} = 32 \, g/mol$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T_{H_2} = 373 \times \frac{2}{32} = 373 \times \frac{1}{16} = 23.3125 \, K$.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા: $T(^{\circ}C) = 23.3125 - 273 = -249.6875 \, ^{\circ}C \approx -249.7 \, ^{\circ}C$.

(B) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\gamma$,$R$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$v \propto \sqrt{T}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T$ છે અને અંતિમ તાપમાન $T + 600$ છે.
આપેલ છે કે અંતિમ વેગ $v_2 = \sqrt{3} v_1$ છે,તેથી:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$\sqrt{3} = \sqrt{\frac{T + 600}{T}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$3 = \frac{T + 600}{T}$ મળે.
$3T = T + 600$
$2T = 600 \Rightarrow T = 300 \ K$.
તાપમાનને કેલ્વિનમાંથી સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે,$t(^oC) = T(K) - 273$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = 300 - 273 = 27^oC$.

(B) પાત્ર અવાહક હોવાથી અને પ્રક્રિયા અચળ તાપમાને થતી હોવાથી,આપેલી ઉષ્મા $Q$ એ તંત્રની આંતરિક ઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta U$ જેટલી હોય છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $4$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ. આંતરિક ઊર્જા $U_i = 4 \times (\frac{5}{2}RT) = 10RT$.
અંતિમ સ્થિતિ: વિભાજન પછી,$2$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ બાકી રહે છે અને $2$ મોલ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુનું $4$ મોલ એક-પરમાણ્વીય વાયુમાં વિભાજન થાય છે. એક-પરમાણ્વીય વાયુના કુલ મોલ = $4$. દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુના કુલ મોલ = $2$.
અંતિમ આંતરિક ઊર્જા $U_f = (2 \times \frac{5}{2}RT) + (4 \times \frac{3}{2}RT) = 5RT + 6RT = 11RT$.
આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર $Q = \Delta U = U_f - U_i = 11RT - 10RT = RT$.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, આદર્શ વાયુનું અવસ્થા સમીકરણ $PV =$ અચળ છે.
બંને બાજુ $P$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$P(dV/dP) + V = 0$
પદોને ગોઠવતા, આપણને મળે છે:
$-(dV/dP) = V/P$
અહીં $V = nRT/P$ હોવાથી, આ કિંમત $\beta$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\beta = -(dV/dP) = (nRT/P) / P = nRT / P^2$
આમ, $\beta \propto 1/P^2$. આ સંબંધ એક લંબચોરસ અતિવલય જેવો આલેખ દર્શાવે છે, જેમાં $P$ વધતા $\beta$ ઝડપથી ઘટે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી, આલેખ $A$ આ વ્યસ્ત સંબંધને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) તંત્ર અલગ હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો કુલ ફેરફાર શૂન્ય છે: $\Delta E_{\text{int}} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે: $(\Delta E_{\text{int}})_{N_2} + (\Delta E_{\text{int}})_{He} = 0$.
નાઇટ્રોજન ($N_2$,દ્વિપરમાણ્વીય) માટે,$C_V = \frac{5}{2}R$. હિલિયમ ($He$,એકપરમાણ્વીય) માટે,$C_V = \frac{3}{2}R$.
સૂત્ર $\Delta E_{\text{int}} = \mu C_V \Delta T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 \times (\frac{5}{2}R)(T_f - T_o) + 1 \times (\frac{3}{2}R)(T_f - \frac{7}{3}T_o) = 0$.
$R/2$ વડે ભાગતા:
$5(T_f - T_o) + 3(T_f - \frac{7}{3}T_o) = 0$.
$5T_f - 5T_o + 3T_f - 7T_o = 0$.
$8T_f = 12T_o$.
$T_f = \frac{12}{8}T_o = \frac{3}{2}T_o$.

(D) આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ, $PV = nRT$.
અચળ તાપમાને ($T$ અચળ છે) આદર્શ વાયુના નિશ્ચિત દળ માટે ($n$ અચળ છે), ગુણાકાર $nRT$ અચળ રહે છે।
તેથી, $PV = \text{constant}$.
આનો અર્થ એ છે કે કદ $V$ માં ફેરફાર સાથે $PV$ નું મૂલ્ય બદલાતું નથી।
આમ, $PV$ વિરુદ્ધ $V$ નો આલેખ $V$-અક્ષને સમાંતર એક આડી સીધી રેખા મળે છે।

(C) જ્યારે વાયુ ધરાવતું બંધ પાત્ર $v$ વેગથી ગતિ કરતું હોય,ત્યારે વાયુના તમામ અણુઓ તેમની યાદચ્છિક ઉષ્મીય ગતિની સાથે સામાન્ય સ્થાનાંતરિત વેગ $v$ ધરાવે છે.
જ્યારે પાત્રને અચાનક અટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે વાયુની સામૂહિક ગતિ સાથે સંકળાયેલી મેક્રોસ્કોપિક ગતિઊર્જા,પાત્રની દીવાલો સાથેની અથડામણો અને આંતરિક આંતરક્રિયાઓને કારણે વાયુના અણુઓની આંતરિક ઊર્જા (યાદચ્છિક ગતિઊર્જા) માં રૂપાંતરિત થાય છે.
જોકે,અણુઓની યાદચ્છિક ઉષ્મીય ગતિ એ પાત્રની સામૂહિક ગતિથી સ્વતંત્ર હોય છે.
તેથી,પાત્રને અચાનક અટકાવવાથી વાયુના અણુઓની યાદચ્છિક ગતિ પર કોઈ અસર થતી નથી.

(C) એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ નું સૂત્ર $C_V = \frac{f}{2}R$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 3$ છે.
તેથી,$C_V = \frac{3}{2}R$.
અહીં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ નિયતાંક હોવાથી,$C_V$ એ એક અચળ મૂલ્ય છે જે તાપમાન $T$ પર આધાર રાખતું નથી.
આમ,$C_V$ વિરુદ્ધ $T$ નો આલેખ $\frac{3}{2}R$ મૂલ્ય પર એક આડી સીધી રેખા મળે છે.

(C) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = \frac{mRT}{M}$ પરથી,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે.
કદ માટે ગોઠવતા,આપણને $V = (\frac{mR}{MP})T$ મળે છે.
કદ વિરુદ્ધ તાપમાનના આલેખનો ઢાળ $slope = \frac{mR}{MP}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે,$slope_1 = \frac{mR}{MP}$. આ રેખા $B$ ને અનુરૂપ છે.
નવી સ્થિતિ માટે,દળ $m' = 2m$ અને દબાણ $P' = 2P$ છે.
નવો ઢાળ $slope_2 = \frac{m'R}{MP'} = \frac{(2m)R}{M(2P)} = \frac{mR}{MP}$ છે.
જેથી $slope_1 = slope_2$ હોવાથી,નવી સ્થિતિ પણ સમાન સુરેખ રેખા $B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવશે.

(D) આદર્શ વાયુની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} k_B T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$E \propto T$.
અહીં $T_1 = 300 \ K$ અને $T_2 = 600 \ K$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{600}{300} = 2$ થાય.
તેથી,$E_2 = 2 \times E_1 = 2 \times 6.21 \times 10^{-21} \ J = 12.42 \times 10^{-21} \ J$.
$rms$ ઝડપ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. તેથી,$V_{rms} \propto \sqrt{T}$.
અહીં $V_1 = 484 \ m/s$ હોવાથી,નવી ઝડપ $V_2 = V_1 \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = 484 \times \sqrt{2} \approx 484 \times 1.414 = 684.37 \ m/s \approx 684 \ m/s$.
આમ,સાચો જવાબ $12.42 \times 10^{-21} \ J$ અને $684 \ m/s$ છે.

(D) ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે સરેરાશ ગતિ ઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{f}{2} nRT$ છે.
અહીં $1\,g$ વાયુ માટે મોલની સંખ્યા $n = \frac{1}{44}$ થાય.
જો આપણે $CO_2$ માટે મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 7$ લઈએ (જેમાં કંપન ગતિનો સમાવેશ થાય છે),તો ગતિ ઊર્જા $E = \frac{7}{2} \times \frac{1}{44} RT = \frac{7}{88} RT$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $R = N_A k$,તેથી $E = \frac{7}{88} NkT$ મળે.

(C) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઊર્જા $U$ માત્ર તેના તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને તે $U = n C_v T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાપમાનમાં $dT$ જેટલો ફેરફાર થતા,આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $dU = n C_v dT$ થાય છે.
આપેલ પ્રશ્નમાં,$U_1$ એ તાપમાનના ફેરફાર $dT$ માટે અચળ દબાણે આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર દર્શાવે છે,જે $dU = n C_v dT$ છે.
$U_2$ એ એકમ તાપમાનના ફેરફાર $(dT = 1)$ માટે આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર દર્શાવે છે,જે $dU = n C_v (1) = n C_v$ છે.
બંને પદો સમાન મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v$ પર આધારિત હોવાથી,ગુણોત્તર $U_1 : U_2$ નું મૂલ્ય $1 : 1$ મળે છે.

(B) આદર્શ વાયુની કુલ ગતિ ઊર્જા $(TKE)$ $TKE = N \times (\frac{3}{2} k T)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $NkT$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ છે કે કુલ ગતિ ઊર્જા અચળ રહે છે:
$N_1 T_1 = N_2 T_2$
અહીં $N_1 = N$ અને $N_2 = 2N$ હોવાથી:
$N T_1 = 2N T_2 \Rightarrow T_2 = T_1/2$.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $P = \frac{NkT}{V}$ નો ઉપયોગ કરતા,દબાણનો ગુણોત્તર:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{N_2 T_2}{N_1 T_1} = \frac{(2N)(T_1/2)}{N T_1} = \frac{N T_1}{N T_1} = 1$.
તેથી,$P_2 = P_1$ અને $T_2 = T_1/2$ થાય.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \frac{M}{M_w}RT$ પરથી,જ્યાં $M$ એ દળ,$M_w$ એ મોલર દળ અને $\rho = \frac{M}{V}$ છે.
તેથી,$P = \frac{\rho R T}{M_w}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{P}{\rho T} = \frac{R}{M_w}$.
અહીં $R$ અને $M_w$ અચળ હોવાથી,$\frac{P_T}{\rho_T T_T} = \frac{P_B}{\rho_B T_B}$ મળે.
ઘનતાના ગુણોત્તર માટે સૂત્ર: $\frac{\rho_T}{\rho_B} = \frac{P_T}{P_B} \times \frac{T_B}{T_T}$.
આપેલ છે: $P_T = 70 \ cm-Hg$,$T_T = 7 + 273 = 280 \ K$,$P_B = 76 \ cm-Hg$,$T_B = 27 + 273 = 300 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\rho_T}{\rho_B} = \frac{70}{76} \times \frac{300}{280} = \frac{70}{76} \times \frac{15}{14} = \frac{5 \times 15}{76} = \frac{75}{76} \approx 0.986$.

(C) પાત્રો ઉષ્મીય રીતે અવાહક હોવાથી,તંત્રની કુલ આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
$U_{total} = U_1 + U_2$
$n_{total} C_v T = n_1 C_v T_1 + n_2 C_v T_2$
$T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = \frac{PV}{RT}$ મળે.
$n_1 = \frac{P_1 V_1}{R T_1}$ અને $n_2 = \frac{P_2 V_2}{R T_2}$ કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{(\frac{P_1 V_1}{R T_1}) T_1 + (\frac{P_2 V_2}{R T_2}) T_2}{(\frac{P_1 V_1}{R T_1}) + (\frac{P_2 V_2}{R T_2})}$
$T = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{\frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2}} = \frac{(P_1 V_1 + P_2 V_2) R T_1 T_2}{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}$
આમ,સંતુલન તાપમાન $T = \frac{T_1 T_2 (P_1 V_1 + P_2 V_2)}{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}$ થશે.

(C) આપેલ છે: પરમાણુનું દળ $m = 3.32 \times 10^{-27} \, kg$,ઝડપ $v = 10^3 \, m/s$,પ્રતિ સેકન્ડ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 10^{23} \, s^{-1}$,ક્ષેત્રફળ $A = 2 \, cm^2 = 2 \times 10^{-4} \, m^2$,લંબ સાથેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,અથડામણ પહેલાં અને પછી વેગમાનનું મૂલ્ય $p = mv = (3.32 \times 10^{-27}) \times (10^3) = 3.32 \times 10^{-24} \, kg \cdot m/s$ થાય.
દિવાલના લંબની દિશામાં વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = |p_{final, normal} - p_{initial, normal}| = |(-mv \cos \theta) - (mv \cos \theta)| = 2mv \cos \theta = 2p \cos 45^{\circ} = 2p \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}p$.
દિવાલ પર લાગતું બળ $F = n \times \Delta p = n \times \sqrt{2}p$.
દબાણ $P = \frac{F}{A} = \frac{n \sqrt{2} p}{A} = \frac{10^{23} \times \sqrt{2} \times 3.32 \times 10^{-24}}{2 \times 10^{-4}}$.
$P = \frac{1.414 \times 3.32 \times 10^{-1}}{2 \times 10^{-4}} = \frac{4.69448 \times 10^{-1}}{2 \times 10^{-4}} = 2.347 \times 10^3 \, N/m^2$.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P$ છે અને દરેક ગોળાનું કદ $V$ છે. શરૂઆતમાં, બંને ગોળા $N.T.P.$ $(T_0 = 273 \, K)$ પર છે.
વાયુના મોલની કુલ સંખ્યા $n = n_1 + n_2 = \frac{PV}{RT_0} + \frac{PV}{RT_0} = \frac{2PV}{RT_0}$ છે.
એક ગોળાને બરફમાં $(T_1 = 273 \, K)$ અને બીજાને ગરમ પાણીમાં $(T_2 = T)$ રાખ્યા પછી, નવું દબાણ $P' = 1.5P$ થાય છે.
વાયુના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે: $n = n'_1 + n'_2$.
$\frac{2PV}{RT_0} = \frac{P'V}{RT_1} + \frac{P'V}{RT_2}$.
$P' = 1.5P$ અને $T_1 = 273 \, K$ મૂકતા:
$\frac{2PV}{R(273)} = \frac{1.5PV}{R(273)} + \frac{1.5PV}{RT}$.
$\frac{PV}{R}$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે: $\frac{2}{273} = \frac{1.5}{273} + \frac{1.5}{T}$.
$\frac{0.5}{273} = \frac{1.5}{T}$.
$T = 273 \times \frac{1.5}{0.5} = 273 \times 3 = 819 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^\circ C) = 819 - 273 = 546 \, ^\circ C$.