Pressure and Energy Questions in Gujarati

(A) વાયુના ગતિવાદ (Kinetic theory of gases) મુજબ,વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગ વેગ $\overline{v^2}$ એ વાયુના નિપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\frac{1}{2} m \overline{v^2} = \frac{3}{2} k_B T$,જે દર્શાવે છે કે $\overline{v^2} \propto T$.
સરેરાશ વર્ગ વેગ એ અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સીધું માપ છે,જે નિપેક્ષ તાપમાન પર આધાર રાખે છે,તેથી વિકલ્પ $(a)$ તાપમાનને સંબંધિત અથવા ગણતરી કરવા માટેની સાચી રીત છે.

(C) પરમ શૂન્યને $0 \,K$ અથવા $-273.15 \,^\circ C$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વાયુઓના ગતિવાદ અનુસાર, વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ $(v_{rms})$ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T = 0 \,K$ તાપમાને, વેગ $v_{rms}$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે પરમ શૂન્ય તાપમાને અણુઓની અસ્તવ્યસ્ત ઉષ્મીય ગતિ અટકી જાય છે.
તેથી, વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(A) આણ્વિક ગતિ સીધી રીતે સિસ્ટમના અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઉર્જા સાથે સંબંધિત છે.
વાયુઓના ગતિવાદ (Kinetic Theory of Gases) મુજબ,વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ એ તેના અણુઓની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જાના પ્રમાણમાં હોય છે,જે $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
તેથી,આણ્વિક ગતિ તાપમાન તરીકે પોતાને દર્શાવે છે.
આંતરિક ઉર્જા એ અણુઓની ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જા બંનેનો સરવાળો છે,તેથી તે માત્ર આણ્વિક ગતિનું માપ નથી.

(B) વાયુના ગતિવાદ (Kinetic Theory of Gases) મુજબ,વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(KE_{avg} \propto T)$.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વેગ $(v_{rms} \propto \sqrt{T})$ વધે છે.
અણુઓ ઝડપથી ગતિ કરતા હોવાથી,તેઓ એકમ સમયમાં પાત્રની દીવાલો સાથે વધુ વાર અથડાય છે.
તેથી,એકમ સમય દીઠ અથડામણોની સંખ્યામાં વધારો થાય છે.

(A) નિશ્ચિત તાપમાન $T$ પર આદર્શ વાયુના અણુઓની સ્થાનાંતરિત ગતિને કારણે સરેરાશ ગતિઊર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K.E. = \frac{3}{2} k_B T$
જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
અહીં $\frac{3}{2}$ અને $k_B$ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$K.E. \propto T$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$kT$ એ તાપમાન $T$ પરની નિર્ભરતા દર્શાવે છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.

(C) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુઓ સતત અસ્તવ્યસ્ત ગતિમાં હોય છે.
જ્યારે આ અણુઓ પાત્રની દીવાલો સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેમના વેગમાં ફેરફાર થાય છે,જેના પરિણામે વેગમાનમાં ફેરફાર થાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર એ લાગતા બળ જેટલો હોય છે.
આ બળ દીવાલના ચોક્કસ ક્ષેત્રફળ પર લાગતું હોવાથી,તેના કારણે વાયુનું દબાણ ઉદભવે છે.
તેથી,સાચો જવાબ $C$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho = \frac{M}{V}$ એ ઘનતા છે અને $v_{rms}$ એ સરેરાશ વર્ગિત ઝડપ છે.
કારણ કે $\rho = \frac{N \cdot m}{V}$ (જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $m$ એ એક અણુનું દળ છે),તેથી $P = \frac{1}{3} \frac{N \cdot m}{V} v_{rms}^2$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $P \propto m \cdot v_{rms}^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક દળ $m_1 = m$ અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_1 = v$ છે. પ્રારંભિક દબાણ $P_0 \propto m \cdot v^2$ છે.
ફેરફારો પછી,નવું દળ $m_2 = \frac{m}{2}$ અને નવી ઝડપ $v_2 = 2v$ છે.
નવું દબાણ $P$ એ $m_2 \cdot v_2^2 = (\frac{m}{2}) \cdot (2v)^2 = (\frac{m}{2}) \cdot (4v^2) = 2mv^2$ ના પ્રમાણમાં છે.
નવા દબાણ $P$ ની પ્રારંભિક દબાણ $P_0$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $P = 2P_0$ મળે છે.

(D) વાયુના ગતિવાદ મુજબ આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ છે,જ્યાં $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે અને $v_{rms}$ એ સરેરાશ વર્ગિત વેગ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે એકમ કદ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} \rho v_{rms}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $\rho v_{rms}^2 = 2E$.
આ કિંમતને દબાણના સમીકરણમાં મૂકતા: $P = \frac{1}{3} (2E) = \frac{2}{3}E$.
તેથી,સાચો સંબંધ $P = \frac{2}{3}E$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે સ્થાનાંતરિત ગતિની કુલ સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2}PV$ છે,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે અને $V$ એ કદ છે.
આપેલ છે: $E = 1.5 \times 10^5 \text{ J}$ અને $V = 20 \text{ litres} = 20 \times 10^{-3} \text{ m}^3$.
દબાણ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $P = \frac{2E}{3V}$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{2 \times (1.5 \times 10^5)}{3 \times (20 \times 10^{-3})}$.
$P = \frac{3 \times 10^5}{60 \times 10^{-3}} = \frac{3 \times 10^5}{6 \times 10^{-2}} = 0.5 \times 10^7 = 5 \times 10^6 \text{ N/m}^2$.

(A) વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ એ અદિશ રાશિ છે જે વાયુના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં અણુઓની અસ્તવ્યસ્ત ગતિ પર આધાર રાખે છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $\bar{c}$ એ વાયુના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
જ્યારે આખું તંત્ર $v$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે અણુઓની અસ્તવ્યસ્ત ગતિ (જે દબાણ ઉત્પન્ન કરે છે) બદલાતી નથી કારણ કે પાત્રની સાપેક્ષમાં અણુઓના સાપેક્ષ વેગ સમાન રહે છે.
દબાણ $P$ એ ગતિવાદના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{1}{3}\rho\bar{c}^2$.
દબાણ એ વાયુની સામૂહિક ગતિથી સ્વતંત્ર હોવાથી,દબાણ $\frac{1}{3}\rho\bar{c}^2$ જ રહેશે.

(A) જ્યારે $m$ દળનો અણુ $V$ વેગ સાથે પાત્રની દીવાલ સાથે સ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાય છે,ત્યારે તે વિરુદ્ધ દિશામાં તેટલી જ ઝડપ સાથે પાછો ફરે છે.
અણુનું પ્રારંભિક વેગમાન,$p_i = mV$.
અણુનું અંતિમ વેગમાન,$p_f = -mV$.
રેખીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર,$\Delta p = p_f - p_i = -mV - (mV) = -2mV$.
પ્રશ્નમાં રેખીય વેગમાનના ફેરફારનું મૂલ્ય પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી,ફેરફાર $2mV$ છે.

(D) વાયુના ગતિવાદ (Kinetic Theory of Gases) મુજબ,આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \frac{2}{3} \times \frac{E}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ કુલ આંતરિક ગતિ ઉર્જા છે અને $V$ એ વાયુનું કદ છે.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $PV = \frac{2}{3} E$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $PV = \frac{2}{3} E$ છે.

(C) ઓક્સિજન $(O_2)$ નું મોલર દળ $32\, g/mol$ છે. તેથી,$32\, g$ ઓક્સિજન એટલે $n = 1\, mole$.
કેલ્વિનમાં તાપમાન $T = -73 + 273 = 200\, K$ થાય.
આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{3}{2}nRT$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{3}{2} \times 1 \times 8.3 \times 200$.
$E = 3 \times 8.3 \times 100 = 2490\, J$.

(C) વાયુના એક અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$N$ અણુઓની કુલ ગતિઊર્જા $K.E. = N \times \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ માટે: $E_{H_2} = N_{H_2} \times \frac{3}{2} k_B T$.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે: $E_{O_2} = N_{O_2} \times \frac{3}{2} k_B T$.
આપેલ છે કે $H_2$ ના અણુઓની સંખ્યા $O_2$ કરતા બમણી છે,તેથી $N_{H_2} = 2 N_{O_2}$.
તેથી,કુલ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_{H_2}}{E_{O_2}} = \frac{N_{H_2} \times \frac{3}{2} k_B T}{N_{O_2} \times \frac{3}{2} k_B T} = \frac{N_{H_2}}{N_{O_2}} = \frac{2 N_{O_2}}{N_{O_2}} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(D) આદર્શ વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ નું સૂત્ર: $E = \frac{3}{2}kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન (કેલ્વિનમાં) છે.
અહીં નોંધવું જરૂરી છે કે સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને તે દબાણ કે વાયુના પ્રકાર પર આધાર રાખતી નથી.
આપેલ છે:
$T_1 = -23^{\circ}C = 273 - 23 = 250 \, K$
$E_1 = 5 \times 10^{-14} \, erg$
$T_2 = 227^{\circ}C = 273 + 227 = 500 \, K$
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$
$\frac{5 \times 10^{-14}}{E_2} = \frac{250}{500}$
$\frac{5 \times 10^{-14}}{E_2} = \frac{1}{2}$
$E_2 = 2 \times 5 \times 10^{-14} = 10 \times 10^{-14} \, erg$.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન $(T)$ પર આધાર રાખે છે,વાયુના અણુઓના પ્રકાર કે દળ પર નહીં. તેથી,સમાન તાપમાને રહેલા કોઈપણ બે વાયુઓ માટે તેમની સરેરાશ ગતિઊર્જા સમાન હોય છે.
આથી,હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજનની સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1:1$ થાય છે.

(B) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$k_B$ અચળ હોવાથી,સરેરાશ ગતિઊર્જા એ નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(E \propto T)$.
અહીં આપેલ તાપમાન $T_1 = 300 \, K$ અને $T_2 = 450 \, K$ છે.
સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{300}{450} = \frac{2}{3}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(B) વાયુઓના ગતિવાદ અનુસાર,આદર્શ વાયુ એવા અણુઓનો બનેલો છે જે બિંદુવત દળ ધરાવે છે અને એકબીજા પર કોઈ આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળ લગાડતા નથી.
કોઈ આંતરઆણ્વિય બળ ન હોવાથી,વાયુની સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,આદર્શ વાયુની કુલ આંતરિક ઉર્જા સંપૂર્ણપણે તેના અણુઓની ગતિ ઉર્જા $(KE)$ ને કારણે હોય છે.
આમ,કુલ ઉર્જા એ ગતિ ઉર્જા બરાબર હોય છે.

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(K_{avg})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$k_B$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક હોવાથી,સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર વાયુના તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,વાયુનું તાપમાન જાણવું એ તેના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા નક્કી કરવા માટે પૂરતું છે.

(A) એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $(f)$ $3$ છે.
ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,પ્રતિ અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{f}{2}kT = \frac{3}{2}kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
એક ગ્રામ મોલ વાયુ માટે,અણુઓની સંખ્યા એવોગેડ્રો આંક $(N_A)$ જેટલી હોય છે.
તેથી,પ્રતિ મોલ સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = N_A \times \frac{3}{2}kT = \frac{3}{2}(N_A k)T$ થાય.
ચૂકવણી $R = N_A k$ હોવાથી,આ સમીકરણ $E = \frac{3}{2}RT$ બને છે.

(C) આદર્શ વાયુના પરમાણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $K.E. \propto T$.
અહીં પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 300\, K$ અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = 600\, K$ આપેલ છે.
તાપમાન બમણું થતું હોવાથી $(T_2 = 2 T_1)$,સરેરાશ ગતિઊર્જા પણ બમણી થશે.

(B) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{3}{2}kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સરેરાશ ગતિઊર્જા એ વાયુના નિરપેક્ષ તાપમાનના સીધા સમપ્રમાણમાં છે $(E \propto T)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ (કેલ્વિનમાં) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T$.
આપેલ પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 20^{\circ}C = 20 + 273 = 293 \, K$.
આપણે અંતિમ ગતિઊર્જા $E_2$ એ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_1$ કરતા બમણી જોઈએ છે,તેથી $E_2 = 2E_1$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_1}{2E_1} = \frac{293}{T_2}$.
$T_2 = 2 \times 293 = 586 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2(^{\circ}C) = 586 - 273 = 313^{\circ}C$.

(A) આપેલ માહિતી:
ઓક્સિજનનું દળ,$m = 20 \, g$
ઓક્સિજનનું આણ્વીય દળ,$M = 32 \, g/mol$
મોલની સંખ્યા,$n = \frac{m}{M} = \frac{20}{32} = 0.625 \, mol$
તાપમાન,$T = 47^{\circ}C = 47 + 273 = 320 \, K$
વાયુ અચળાંક,$R = 8.3 \, J/mol \cdot K$
આદર્શ વાયુ માટે સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2} nRT$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{3}{2} \times 0.625 \times 8.3 \times 320$
$E = 1.5 \times 0.625 \times 8.3 \times 320$
$E = 2490 \, J$
આમ,સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $2490 \, J$ છે.

(B) આદર્શ વાયુના $n$ મોલની સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2}nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1 \ gm$ વાયુ માટે,મોલની સંખ્યા $n = \frac{1}{M}$ થાય,જ્યાં $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આ કિંમતને ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને પ્રતિ ગ્રામ ગતિઊર્જા $E_{gm} = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{M} \right) RT = \frac{3}{2} \frac{RT}{M}$ મળે છે.

(D) એક મોલ (એક ગ્રામ અણુ) આદર્શ વાયુની ગતિઊર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$K = \frac{3}{2} RT$
આપેલ કિંમતો:
$R = 8.31\,J/mol\cdot K$
$T = 273\,K$ ($STP$ પર સામાન્ય તાપમાન)
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{3}{2} \times 8.31 \times 273$
$K = 1.5 \times 8.31 \times 273$
$K = 12.465 \times 273$
$K \approx 3402.945\,J$
યોગ્ય સાર્થક અંકોમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા:
$K \approx 3.4 \times 10^3\,J$

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $E = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,બે અલગ-અલગ તાપમાને ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે:
$T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
$E_2 = 2E_1$.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{E_1}{2E_1} = \frac{300 \ K}{T_2}$
$\frac{1}{2} = \frac{300 \ K}{T_2}$
$T_2 = 600 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા:
$T_2 = 600 - 273 = 327^{\circ}C$.

(A) આદર્શ વાયુના એક અણુ દીઠ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K.E._{molecule} = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
વાયુના એક મોલ માટે,અણુઓની સંખ્યા એવોગેડ્રો આંક $N_A$ જેટલી હોય છે.
તેથી,એક મોલ માટે કુલ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K.E._{molar} = N_A \times (\frac{3}{2} k_B T)$ થાય.
સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R = N_A k_B$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ.
આમ,$K.E._{molar} = \frac{3}{2} RT$ મળે છે.

(A) આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(KE)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $KE \propto T$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 327^{\circ}C = 327 + 273 = 600 \ K$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા = $E_1$.
સમપ્રમાણતાના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{300 \ K}{600 \ K} = \frac{1}{2}$
તેથી,$E_2 = 2E_1$.

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T$.
તેથી,ગુણોત્તર આ મુજબ મળે: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
આપેલ છે:
$E_1 = 6.21 \times 10^{-21} \, J$
$T_1 = 27^oC = 27 + 273 = 300 \, K$
$T_2 = 227^oC = 227 + 273 = 500 \, K$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{6.21 \times 10^{-21}}{E_2} = \frac{300}{500} = \frac{3}{5}$.
$E_2$ માટે ગણતરી કરતા:
$E_2 = \frac{6.21 \times 10^{-21} \times 5}{3} = 2.07 \times 5 \times 10^{-21} \, J = 10.35 \times 10^{-21} \, J$.

(C) આદર્શ વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{3}{2} k_B T$
જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા માત્ર વાયુના તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે.
તે વાયુના પ્રકાર (એટલે કે મોલર દળ) પર આધારિત નથી.
અહીં ${O_2}$ અને ${N_2}$ બંને માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,તેમની સરેરાશ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા સમાન રહેશે.
તેથી,$E_{N_2} = E_{O_2} = 0.048 \; eV$.

(A) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$T = 0 \; K$ તાપમાને,ગતિ ઉર્જા $K.E. = \frac{3}{2} k_B (0) = 0$ થાય છે.
વર્ગ સરેરાશ વર્ગ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ હોવાથી,$T = 0 \; K$ તાપમાને $v_{rms} = 0$ થાય છે.
તેથી,નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાને વાયુના અણુઓની ગતિ ઉર્જા શૂન્ય થઈ જાય છે.

(D) આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(K.E.)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$K.E. \propto T$
તેથી,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$
તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવતા:
$T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_2 = 927^{\circ}C = 927 + 273 = 1200 \ K$
કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{300}{1200} = \frac{1}{4}$
આનો અર્થ એ છે કે:
$E_2 = 4E_1$
આમ,ગતિઊર્જા તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા ચાર ગણી થશે.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને તે $KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
બંને વાયુઓ સમાન તાપમાન $T$ પર હોવાથી,હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજન બંને માટે અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા સમાન રહેશે.
તેથી,સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{KE_{H_2}}{KE_{O_2}} = \frac{\frac{3}{2} k_B T}{\frac{3}{2} k_B T} = 1:1$ થાય.
વાયુનું કદ અને દળ અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જાને અસર કરતા નથી.

(B) કોઈપણ વાયુના અણુ (એક-પરમાણ્વિક,દ્વિ-પરમાણ્વિક કે બહુ-પરમાણ્વિક) માટે સ્થાનાંતરીય મુક્તિના અંશોની સંખ્યા હંમેશા $3$ હોય છે.
વાયુની સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $(KE_{trans})$ નું સૂત્ર $KE_{trans} = \frac{3}{2}nRT$ છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT$.
આ કિંમતને ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $KE_{trans} = \frac{3}{2}PV$ મળે છે.
અહીં એક-પરમાણ્વિક અને દ્વિ-પરમાણ્વિક બંને વાયુઓ માટે કદ $V$ અને દબાણ $P$ સમાન હોવાથી,દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે પણ કુલ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $\frac{3}{2}PV$ જ રહેશે.

(A) વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(KE)$ એ વાયુના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $KE = \frac{3}{2} k_B T$,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
પરમ શૂન્ય તાપમાને,$T = 0 \ K$ હોય છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $KE = \frac{3}{2} k_B (0) = 0$ મળે છે.
તેથી,પરમ શૂન્ય તાપમાને,અણુઓની ગતિઊર્જા શૂન્ય થઈ જાય છે.

(A) વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T$.
આપેલ પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = -68^\circ C$ છે. તેને કેલ્વિનમાં ફેરવતા: $T_1 = 273 + (-68) = 205 \ K$.
આપણે નવી ગતિઊર્જા $E_2$ ને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_1$ કરતા બમણી કરવા માંગીએ છીએ,તેથી $E_2 = 2E_1$.
સંબંધ $\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = \frac{T_2}{205 \ K}$.
$T_2$ માટે ઉકેલતા: $T_2 = 2 \times 205 = 410 \ K$.
અંતિમ તાપમાનને ફરીથી સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2(^\circ C) = 410 - 273 = 137^\circ C$.

(A) એકપરમાણ્વિક વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{3}{2}kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ તાપમાન $T = 30^oC = 30 + 273 = 303\,K$.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k = 1.38 \times 10^{-23}\,J/K$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 303 = 6.27 \times 10^{-21}\,J$.
આ ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે,$1.6 \times 10^{-19}\,J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{6.27 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 0.039\,eV$.
આમ,$0.039\,eV < 1\,eV$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $E = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
આમ,$E \propto T$ હોવાથી,$T_1$ અને $T_2$ તાપમાને રહેલા બે વાયુઓના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$ થાય.
અહીં $T_1 = 300 \ K$ અને $T_2 = 350 \ K$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{300}{350} = \frac{6}{7}$.

(A) વાયુના ગતિવાદ (Kinetic Theory of Gases) મુજબ,વાયુના અણુઓ સતત અસ્તવ્યસ્ત ગતિમાં હોય છે.
જ્યારે આ અણુઓ બંધ પાત્રની દીવાલો સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેમના વેગમાં ફેરફાર થાય છે (ખાસ કરીને,દીવાલને લંબ વેગના ઘટકમાં ફેરફાર થાય છે).
વેગમાનની વ્યાખ્યા $p = mv$ હોવાથી,વેગમાં ફેરફારનો અર્થ વેગમાનમાં ફેરફાર થાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વેગમાનમાં ફેરફારનો દર એ લાગુ પડતા બળ જેટલો હોય છે.
તેથી,અણુઓ દીવાલો પર વેગમાન સ્થાનાંતરિત કરીને બળ લગાડે છે,જે વાયુના દબાણ તરીકે અનુભવાય છે.

(D) આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $E \propto T$ અથવા $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$T_1 = 300\, K$
$E_1 = 100\, J$
$T_2 = 450\, K$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{100}{E_2} = \frac{300}{450}$
$E_2 = 100 \times \frac{450}{300}$
$E_2 = 100 \times 1.5 = 150\, J$.
તેથી,$450\, K$ તાપમાને સરેરાશ ઊર્જા $150\, J$ થશે.

(D) વાયુના અણુઓનું કુલ વેગમાન એ તમામ અણુઓના વ્યક્તિગત વેગમાનનો સદિશ સરવાળો છે.
$\vec{P}_{total} = \sum m_i \vec{v}_i = N \cdot m \cdot \vec{v}_{avg}$
સ્થિર પાત્રમાં,વાયુના અણુઓ યાદચ્છિક દિશાઓમાં ગતિ કરે છે.
કોઈપણ તાપમાને વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વેગ $\vec{v}_{avg}$ હંમેશા શૂન્ય હોય છે,કારણ કે દરેક અણુ માટે જે $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરે છે,તેની સામે બીજો અણુ $-\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતો હોવાની સંભાવના સમાન હોય છે.
તેથી,કુલ વેગમાન $\vec{P}_{total} = M \vec{v}_{avg} = 0$ થાય.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2}kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(1.38 \times 10^{-23}\, J/K)$ છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$1\, V$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ઊર્જા $E = eV$ છે,જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19}\, C$ છે.
બંને ઊર્જાઓને સરખાવતા:
$\frac{3}{2}kT = eV$
$T$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$T = \frac{2eV}{3k}$
કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19}}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{4.14 \times 10^{-23}}$
$T \approx 0.7729 \times 10^4\, K = 7.7 \times 10^3\, K$.

(D) એક મોલ આદર્શ વાયુની ગતિઊર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{3}{2}RT$ છે.
સામાન્ય તાપમાન અને દબાણ $(NTP)$ પર,પ્રમાણિત તાપમાન $T = 273 \text{ K}$ છે.
વાયુ અચળાંક $R = 8.31 \text{ J/mol-K}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{3}{2} \times 8.31 \times 273$
$E = 1.5 \times 8.31 \times 273$
$E = 12.465 \times 273$
$E \approx 3402.945 \text{ J}$
યોગ્ય સાર્થક અંકોમાં ગણતરી કરતા,$E \approx 3.4 \times 10^3 \text{ J}$ મળે છે.

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $E_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ છે.
$NTP$ પર તાપમાન $T = 273 \text{ K}$ હોય છે.
આપેલ છે કે $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K}$.
કિંમતો મૂકતા: $E_{avg} = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 273$.
$E_{avg} = 1.5 \times 1.38 \times 273 \times 10^{-23} \text{ J}$.
$E_{avg} = 565.11 \times 10^{-23} \text{ J} = 0.565 \times 10^{-20} \text{ J}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $0.56 \times 10^{-20} \text{ J}$ મળે છે.

(C) $r.m.s.$ વેગનું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ છે.
દબાણ $P$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,$P = \frac{\rho V_{rms}^2}{3}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\rho = 8.99 \times 10^{-2} \ kg/m^3$ અને $V_{rms} = 1840 \ m/s$.
$P = \frac{8.99 \times 10^{-2} \times (1840)^2}{3}$.
$P = \frac{8.99 \times 10^{-2} \times 3385600}{3}$.
$P = \frac{304365.44}{3} \approx 101455.14 \ N/m^2$.
યોગ્ય સાર્થક અંકોમાં ગણતરી કરતા,$P \approx 1.01 \times 10^5 \ N/m^2$ મળે છે.

(A) એક મોલ આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2}RT$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$R$ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા $E$ એ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(E \propto T)$.
તેથી,બે અલગ-અલગ તાપમાન $T$ અને $T'$ પર ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E'}{E} = \frac{T'}{T}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $T = 300 \ K$ અને $T' = 400 \ K$ આપેલ છે,
તેથી $\frac{E'}{E} = \frac{400}{300} = \frac{4}{3} = 1.33$ થાય.

(A) થર્મલ ન્યુટ્રોન એવા ન્યુટ્રોન છે જે તેમના વાતાવરણ સાથે તાપીય સંતુલનમાં હોય છે,સામાન્ય રીતે ઓરડાના તાપમાને $(T \approx 300 \text{ K})$.
તાપીય સંતુલનમાં રહેલા કણની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(E_{avg})$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E_{avg} = \frac{3}{2} K_B T$
આપેલ છે:
$K_B = 8 \times 10^{-5} \text{ eV/K}$
$T = 300 \text{ K}$
કિંમતો મૂકતા:
$E_{avg} = \frac{3}{2} \times (8 \times 10^{-5} \text{ eV/K}) \times 300 \text{ K}$
$E_{avg} = 1.5 \times 2400 \times 10^{-5} \text{ eV}$
$E_{avg} = 3600 \times 10^{-5} \text{ eV}$
$E_{avg} = 0.036 \text{ eV}$
આ મૂલ્ય $0.03 \text{ eV}$ ના ક્રમનું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુઓ સતત અસ્તવ્યસ્ત ગતિમાં હોય છે. જ્યારે આ અણુઓ પાત્રની દિવાલો સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેમના વેગમાનમાં ફેરફાર થાય છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વેગમાનના ફેરફારનો દર એ લાગતા બળ જેટલો હોય છે. અણુઓ દિવાલ પર એક ચોક્કસ ક્ષેત્રફળ પર બળ લગાડે છે,જેના પરિણામે વાયુ દ્વારા દબાણ ઉદ્ભવે છે. તેથી,આ દબાણ અણુઓ દ્વારા પાત્રની દિવાલોને આપવામાં આવતા વેગમાનના સ્થાનાંતરણને કારણે હોય છે.

(D) વાયુના ગતિવાદ (Kinetic Theory of Gases) મુજબ,આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા $(K_{avg})$ નું સૂત્ર $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાન $(T = 0 \ K)$ પર,અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B (0) = 0$ થાય છે.
તેથી,નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાને પરમાણુઓ કે અણુઓની ગતિ અટકી જાય છે અને તેમની ગતિ ઊર્જા શૂન્ય થઈ જાય છે.