Mixture of Gases Questions in Gujarati

(D) મિશ્રણ માટે અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર: $C_{V_{mix}} = \frac{n_1 C_{V_1} + n_2 C_{V_2}}{n_1 + n_2}$ છે.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_{V_1} = \frac{3}{2} R$ અને $n_1 = 1$ છે.
કંપન ગતિ વગરના દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_{V_2} = \frac{5}{2} R$ અને $n_2 = 3$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$C_{V_{mix}} = \frac{1 \cdot (\frac{3}{2} R) + 3 \cdot (\frac{5}{2} R)}{1 + 3} = \frac{\frac{3}{2} R + \frac{15}{2} R}{4} = \frac{\frac{18}{2} R}{4} = \frac{9 R}{4}$.
આપેલ છે કે $C_{V_{mix}} = \frac{\alpha^2}{4} R$,તેથી બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{9 R}{4} = \frac{\alpha^2}{4} R$.
આથી $\alpha^2 = 9$,એટલે કે $\alpha = 3$ (ધન મૂલ્ય લેતા).

(B) વાયુઓના મિશ્રણ માટે,એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{\text{mix}}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}$
અહીં $n_1 = 1$ મોલ,$\gamma_1 = 5/3$ અને $n_2 = n$ મોલ,$\gamma_2 = 7/5$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ અને $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 \frac{\gamma_1 R}{\gamma_1 - 1} + n_2 \frac{\gamma_2 R}{\gamma_2 - 1}}{n_1 \frac{R}{\gamma_1 - 1} + n_2 \frac{R}{\gamma_2 - 1}} = \frac{n_1 \frac{\gamma_1}{\gamma_1 - 1} + n_2 \frac{\gamma_2}{\gamma_2 - 1}}{n_1 \frac{1}{\gamma_1 - 1} + n_2 \frac{1}{\gamma_2 - 1}}$
વાયુ $A$ માટે: $\frac{\gamma_1}{\gamma_1 - 1} = \frac{5/3}{2/3} = 2.5$ અને $\frac{1}{\gamma_1 - 1} = \frac{1}{2/3} = 1.5$.
વાયુ $B$ માટે: $\frac{\gamma_2}{\gamma_2 - 1} = \frac{7/5}{2/5} = 3.5$ અને $\frac{1}{\gamma_2 - 1} = \frac{1}{2/5} = 2.5$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{19}{13} = \frac{1(2.5) + n(3.5)}{1(1.5) + n(2.5)}$.
$19(1.5 + 2.5n) = 13(2.5 + 3.5n)$.
$28.5 + 47.5n = 32.5 + 45.5n$.
$2n = 4 \Rightarrow n = 2$.

(B) થર્મલી અલગ કરેલી સિસ્ટમ માટે,કુલ આંતરિક ઉર્જા અચળ રહે છે કારણ કે $\Delta Q = 0$ અને $\Delta W = 0$ છે.
બંને બોક્સનું પ્રારંભિક તાપમાન સમાન $(T)$ હોવાથી,અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T_f$ પણ $T$ જ રહેશે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે દરેક બોક્સમાં મોલની સંખ્યા શોધી શકીએ છીએ:
$n_1 = \frac{P_1 V_1}{RT} = \frac{1 \times V}{RT} = \frac{V}{RT}$
$n_2 = \frac{P_2 V_2}{RT} = \frac{0.5 \times 4V}{RT} = \frac{2V}{RT}$
જ્યારે વાલ્વ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ મોલની સંખ્યા $n_{total} = n_1 + n_2$ એ કુલ કદ $V_{total} = V_1 + V_2 = V + 4V = 5V$ માં તાપમાન $T$ પર વ્યાપ્ત થાય છે.
$n_{total} = \frac{V}{RT} + \frac{2V}{RT} = \frac{3V}{RT}$
અંતિમ સ્થિતિ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$P_f V_{total} = n_{total} R T$
$P_f (5V) = \left(\frac{3V}{RT}\right) RT$
$P_f (5V) = 3V$
$P_f = \frac{3}{5} \, atm = 0.6 \, atm$.

(C) વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{f}{2} nRT$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom),$n$ એ મોલની સંખ્યા,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$He$ (એકપરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_{He} = 3$ છે.
$O_2$ (દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_{O_2} = 5$ છે.
$O_3$ (અરેખીય બહુપરમાણ્વિક વાયુ) માટે,મુક્તિના અંશો $f_{O_3} = 6$ છે.
આપેલ છે:
$n_{He} = 2$
$n_{O_2} = 4$
$n_{O_3} = 1$
મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઉર્જા એ વ્યક્તિગત ઘટકોની આંતરિક ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$U_{total} = U_{He} + U_{O_2} + U_{O_3}$
$U_{total} = \left( n_{He} \cdot \frac{f_{He}}{2} + n_{O_2} \cdot \frac{f_{O_2}}{2} + n_{O_3} \cdot \frac{f_{O_3}}{2} \right) RT$
$U_{total} = \left( 2 \cdot \frac{3}{2} + 4 \cdot \frac{5}{2} + 1 \cdot \frac{6}{2} \right) RT$
$U_{total} = (3 + 10 + 3) RT$
$U_{total} = 16 RT$.
આમ,આંતરિક ઉર્જા $16 RT$ છે.

(C) $CO$ નું આણ્વીય દળ $28 \, g/mol$ છે. $CO$ ના મોલની સંખ્યા $(n_1)$ $= 14/28 = 0.5 \, mol$.
$O_2$ નું આણ્વીય દળ $32 \, g/mol$ છે. $O_2$ ના મોલની સંખ્યા $(n_2)$ $= 16/32 = 0.5 \, mol$.
$CO$ અને $O_2$ બંને દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુઓ છે. દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુઓ માટે મુક્તિના અંશ $(f)$ $5$ છે (કંપન મોડ અવગણતા).
અંતિમ તાપમાન $T_f$ આંતરિક ઉર્જાના સંરક્ષણ દ્વારા મળે છે: $n_1 C_{v1} T_1 + n_2 C_{v2} T_2 = (n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}) T_f$.
$C_v = \frac{f}{2}R$ હોવાથી અને બંને માટે $f$ સમાન હોવાથી,સમીકરણ આ રીતે સરળ બને છે: $n_1 T_1 + n_2 T_2 = (n_1 + n_2) T_f$.
તાપમાનને કેલ્વિનમાં ફેરવતા: $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$ અને $T_2 = 47 + 273 = 320 \, K$.
કિંમતો મૂકતા: $(0.5 \times 300) + (0.5 \times 320) = (0.5 + 0.5) T_f$.
$150 + 160 = 1 \times T_f$.
$T_f = 310 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_f = 310 - 273 = 37^{\circ} C$.

(C) એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_1 = 5/3$ છે. મોલની સંખ્યા $n_1 = 1$ છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે (કંપનને અવગણતા),એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_2 = 7/5$ છે. મોલની સંખ્યા $n_2 = 1$ છે.
મિશ્રણ માટે સમતુલ્ય એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{n_{mix}}{\gamma - 1} = \frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}$
અહીં,$n_{mix} = n_1 + n_2 = 1 + 1 = 2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{\gamma - 1} = \frac{1}{5/3 - 1} + \frac{1}{7/5 - 1}$
$\frac{2}{\gamma - 1} = \frac{1}{2/3} + \frac{1}{2/5} = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$\frac{2}{\gamma - 1} = 4 \implies \gamma - 1 = 0.5 \implies \gamma = 1.5$.

(A) એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 3$ છે. અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v_1} = \frac{f_1}{2} R = \frac{3}{2} R$ છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 5$ છે. અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v_2} = \frac{f_2}{2} R = \frac{5}{2} R$ છે.
આપેલ છે કે $n_1 = 1$ મોલ અને $n_2 = 3$ મોલ.
મિશ્રણની અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v_{mix}}$ ભારિત સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$C_{v_{mix}} = \frac{n_1 C_{v_1} + n_2 C_{v_2}}{n_1 + n_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$C_{v_{mix}} = \frac{1 \times (\frac{3}{2} R) + 3 \times (\frac{5}{2} R)}{1 + 3}$
$C_{v_{mix}} = \frac{\frac{3}{2} R + \frac{15}{2} R}{4} = \frac{\frac{18}{2} R}{4} = \frac{9R}{4}$
$R = 8 \, J K^{-1} mol^{-1}$ આપેલ હોવાથી:
$C_{v_{mix}} = \frac{9 \times 8}{4} = 9 \times 2 = 18 \, J K^{-1} mol^{-1}$.

(A) એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 3$ છે.
બહુ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,કંપનશીલ મુક્તિના અંશોને અવગણતા,મુક્તિના અંશો $f_2 = 6$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $3$ ભ્રમણીય) છે.
મિશ્રણ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ જેવું વર્તે છે,તેથી મિશ્રણના મુક્તિના અંશો $f_{\text{mix}} = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે.
મિશ્રણના મુક્તિના અંશો માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f_{\text{mix}} = \frac{f_1 n_1 + f_2 n_2}{n_1 + n_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$5 = \frac{3 \alpha + 6 \beta}{\alpha + \beta}$
$5(\alpha + \beta) = 3 \alpha + 6 \beta$
$5 \alpha + 5 \beta = 3 \alpha + 6 \beta$
$2 \alpha = \beta$

(D) ધારો કે હાઇડ્રોજન $(H_2)$ ના મોલ $n_1$ છે અને હિલિયમ $(He)$ ના મોલ $n_2$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = n_1 + n_2$ એ કુલ મોલ છે.
આપેલ છે: $P = 2 \ atm = 2 \times 1.013 \times 10^5 \ Pa$,$V = 20 \ L = 20 \times 10^{-3} \ m^3$,$T = 27^{\circ} C = 300 \ K$,$R = 8.314 \ J/mol \cdot K$.
કુલ મોલ $n = n_1 + n_2 = \frac{PV}{RT} = \frac{2 \times 1.013 \times 10^5 \times 20 \times 10^{-3}}{8.314 \times 300} \approx 1.62 \ mol$.
મિશ્રણનું દળ: $m_{H_2} + m_{He} = 5 \ g$.
દળ $m = n \times M$ હોવાથી,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે: $n_1(2) + n_2(4) = 5 \implies n_1 + 2n_2 = 2.5$.
પ્રથમ સમીકરણ $(n_1 + n_2 = 1.62)$ ને બીજા સમીકરણ $(n_1 + 2n_2 = 2.5)$ માંથી બાદ કરતા: $n_2 = 0.88 \ mol$.
તેથી $n_1 = 1.62 - 0.88 = 0.74 \ mol$.
દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_{H_2}}{m_{He}} = \frac{n_1 \times 2}{n_2 \times 4} = \frac{0.74 \times 2}{0.88 \times 4} = \frac{1.48}{3.52} = \frac{2}{5}$.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$. તાપમાન $T$ અચળ હોવાથી,મોલની કુલ સંખ્યા $n_{total} = n_A + n_B$ અચળ રહે છે.
પાત્ર $A$ માટે: $n_A = \frac{P_A V_A}{RT}$
પાત્ર $B$ માટે: $n_B = \frac{P_B V_B}{RT}$
જ્યારે પાત્રોને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અંતિમ દબાણ $P_f$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P_f(V_A + V_B) = (n_A + n_B)RT$
$P_f(V_A + V_B) = P_A V_A + P_B V_B$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P_f = \frac{P_A V_A + P_B V_B}{V_A + V_B}$
$P_f = \frac{(1.40 \, MPa \times 0.10 \, m^3) + (0.7 \, MPa \times 0.15 \, m^3)}{0.10 \, m^3 + 0.15 \, m^3}$
$P_f = \frac{0.14 + 0.105}{0.25} \, MPa$
$P_f = \frac{0.245}{0.25} \, MPa = 0.98 \, MPa$.

(B) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = n \left( \frac{f}{2} RT \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ધારો કે બંને વાયુઓ એકપરમાણ્વિક $(f=3)$ છે, કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
$T_1 = 27^{\circ}\, \text{C} = 300\, \text{K}$ પર પ્રથમ વાયુની ઉર્જા $E_1 = 3 \left( \frac{3}{2} R \times 300 \right) = 1350\, R$ છે.
$T_2 = 227^{\circ}\, \text{C} = 500\, \text{K}$ પર બીજા વાયુની ઉર્જા $E_2 = 2 \left( \frac{3}{2} R \times 500 \right) = 1500\, R$ છે.
ધારો કે $T$ એ કેલ્વિનમાં સંતુલન તાપમાન છે. મિશ્રણની કુલ ઉર્જા $E_m = (3+2) \left( \frac{3}{2} RT \right) = 7.5\, RT$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $E_m = E_1 + E_2$.
$7.5\, RT = 1350\, R + 1500\, R$.
$7.5\, T = 2850$.
$T = \frac{2850}{7.5} = 380\, \text{K}$.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર: $T(^{\circ}\, \text{C}) = 380 - 273 = 107^{\circ}\, \text{C}$.

(D) દરેક વાયુ માટે મોલની સંખ્યા: $n_1 = 4$ (હાઇડ્રોજન,દ્વિ-પરમાણ્વીય),$n_2 = 2$ (હિલિયમ,એક-પરમાણ્વીય),$n_3 = 1$ (પાણીની વરાળ,બહુ-પરમાણ્વીય).
દરેક વાયુ માટે અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_v)$:
હાઇડ્રોજન માટે: $(C_v)_1 = \frac{5}{2} R$
હિલિયમ માટે: $(C_v)_2 = \frac{3}{2} R$
પાણીની વરાળ માટે: $(C_v)_3 = 3 R$
મિશ્રણ માટે અચળ કદે સમતુલ્ય મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા:
$(C_v)_{\text{mix}} = \frac{n_1(C_v)_1 + n_2(C_v)_2 + n_3(C_v)_3}{n_1 + n_2 + n_3}$
$(C_v)_{\text{mix}} = \frac{4 \times \frac{5}{2} R + 2 \times \frac{3}{2} R + 1 \times 3 R}{4 + 2 + 1} = \frac{10 R + 3 R + 3 R}{7} = \frac{16}{7} R$
મિશ્રણ માટે $C_p = C_v + R$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$(C_p)_{\text{mix}} = (C_v)_{\text{mix}} + R = \frac{16}{7} R + R = \frac{23}{7} R$.

(C) મિશ્રણ માટે અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર $C_{V, \text{mix}} = \frac{n_1 C_{V_1} + n_2 C_{V_2}}{n_1 + n_2} = \frac{13R}{6}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $n_1 : n_2 = 1 : 2$ મુજબ,ધારો કે $n_1 = n$ અને $n_2 = 2n$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{n C_{V_1} + 2n C_{V_2}}{n + 2n} = \frac{13R}{6}$.
$\frac{C_{V_1} + 2C_{V_2}}{3} = \frac{13R}{6} \implies C_{V_1} + 2C_{V_2} = \frac{13R}{2}$.
એકપરમાણ્વીય વાયુઓ માટે $C_V = 3R/2$ અને દ્વિપરમાણ્વીય વાયુઓ માટે $C_V = 5R/2$ હોય છે.
જો પ્રથમ વાયુ એકપરમાણ્વીય $(C_{V_1} = 3R/2)$ અને બીજો વાયુ દ્વિપરમાણ્વીય $(C_{V_2} = 5R/2)$ હોય,તો:
$3R/2 + 2(5R/2) = 3R/2 + 5R = 13R/2$.
આ શરતનું પાલન થાય છે. તેથી,પ્રથમ વાયુ એકપરમાણ્વીય $(He)$ અને બીજો વાયુ દ્વિપરમાણ્વીય $(N_2)$ છે.

(D) સિસ્ટમની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U$ એ તેના ઘટકોની આંતરિક ઉર્જાનો સરવાળો છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,જે દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f_1 = 5$ છે (વાઇબ્રેશનલ મોડ્સને અવગણતા).
નિયોન $(Ne)$ માટે,જે એક-પરમાણ્વીય વાયુ છે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$ છે.
$n_1$ મોલ વાયુ $1$ ની આંતરિક ઉર્જા $U_1 = n_1 \frac{f_1}{2} RT$ છે.
$n_2$ મોલ વાયુ $2$ ની આંતરિક ઉર્જા $U_2 = n_2 \frac{f_2}{2} RT$ છે.
કુલ આંતરિક ઉર્જા $U = U_1 + U_2 = (n_1 \frac{f_1}{2} + n_2 \frac{f_2}{2}) RT$.
અહીં $n_1 = 2$ (ઓક્સિજન) અને $n_2 = 4$ (નિયોન) આપેલ છે.
$U = (2 \times \frac{5}{2} + 4 \times \frac{3}{2}) RT$.
$U = (5 + 6) RT = 11 RT$.
આમ,કુલ આંતરિક ઉર્જા $11 RT$ છે.

(C) વાયુઓના મિશ્રણ માટે સંતુલિત મુક્તિના અંશ (degree of freedom) $f_{eq}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f_{eq} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2}$
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે મુક્તિના અંશ $f_{eq} = 5$ છે.
આપેલ છે:
$n_1 = N$,$f_1 = 6$ (બહુપરમાણ્વીય વાયુ)
$n_2 = 2$,$f_2 = 3$ (એકપરમાણ્વીય વાયુ)
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$5 = \frac{(N)(6) + (2)(3)}{N + 2}$
બંને બાજુ $(N + 2)$ વડે ગુણતા:
$5(N + 2) = 6N + 6$
$5N + 10 = 6N + 6$
$N$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$10 - 6 = 6N - 5N$
$N = 4$

(C) એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $f_1 = 3$ છે. દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા $f_2 = 5$ છે.
આપેલ છે કે $n_1 = 3$ મોલ અને $n_2 = 2$ મોલ.
મિશ્રણ માટે મુક્તિની માત્રાનું સૂત્ર $f_{\text{mix}} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $f_{\text{mix}} = \frac{3(3) + 2(5)}{3 + 2} = \frac{9 + 10}{5} = \frac{19}{5} = 3.8$.
એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma$ અને મુક્તિની માત્રા $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ છે.
તેથી,$\gamma_{\text{mix}} = 1 + \frac{2}{f_{\text{mix}}} = 1 + \frac{2}{3.8} = 1 + \frac{20}{38} = 1 + \frac{10}{19} = \frac{29}{19} \approx 1.526$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\gamma_{\text{mix}} = 1.52$ મળે છે.

(C) વાયુ મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U$ એ તેના વ્યક્તિગત ઘટકોની આંતરિક ઉર્જાનો સરવાળો છે.
$n$ મોલ ધરાવતા વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = n C_V T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C_V$ એ અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે.
આર્ગોન એક પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી તેની મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $f_1 = 3$ છે,અને $C_{V1} = \frac{3}{2} R$ છે.
ઓક્સિજન દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી તેની મુક્તિની માત્રા $f_2 = 5$ છે (વાઇબ્રેશનલ મોડ્સને અવગણતા),અને $C_{V2} = \frac{5}{2} R$ છે.
કુલ આંતરિક ઉર્જા $U = n_1 C_{V1} T + n_2 C_{V2} T$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $U = (8 \times \frac{3}{2} R \times T) + (6 \times \frac{5}{2} R \times T)$.
$U = (12 RT) + (15 RT) = 27 RT$.

(A) મિશ્રણ માટે અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર: $C_{V,mix} = \frac{n_1 C_{V,1} + n_2 C_{V,2}}{n_1 + n_2}$ છે.
એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_{V,1} = \frac{3}{2} R$ અને $n_1 = 2$ છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$C_{V,2} = \frac{5}{2} R$ અને $n_2 = 6$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$C_{V,mix} = \frac{2 \times (\frac{3}{2} R) + 6 \times (\frac{5}{2} R)}{2 + 6}$
$C_{V,mix} = \frac{3R + 15R}{8}$
$C_{V,mix} = \frac{18R}{8} = \frac{9}{4} R$.

(D) અચળ દબાણે વાયુના મિશ્રણ માટે,થયેલ કાર્ય $W = n_{mix} R \Delta T = 66 \ J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મિશ્રણ માટે અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)_{mix} = \frac{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}{n_1 + n_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકપરમાણ્વિય વાયુ માટે,$C_{V1} = \frac{3}{2} R$. દ્વિપરમાણ્વિય વાયુ માટે,$C_{V2} = \frac{5}{2} R$.
કિંમતો મૂકતા: $(C_V)_{mix} = \frac{2 \times (3/2)R + 1 \times (5/2)R}{2 + 1} = \frac{3R + 2.5R}{3} = \frac{5.5R}{3} = \frac{11}{6} R$.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n_{total} (C_V)_{mix} \Delta T$ છે.
અહીં $n_{total} = n_1 + n_2 = 3$ હોવાથી,$\Delta U = 3 \times (\frac{11}{6} R) \Delta T = \frac{11}{2} R \Delta T$.
કાર્યના સમીકરણ પરથી,$n_{total} R \Delta T = 66$,તેથી $3 R \Delta T = 66$,જેનો અર્થ છે કે $R \Delta T = 22$.
આ કિંમત આંતરિક ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta U = \frac{11}{2} \times 22 = 11 \times 11 = 121 \ J$.

(D) મિશ્રણ માટે: $n_1 = 5$ (એકપરમાણ્વિક),$C_{v1} = 3R/2$; $n_2 = 1$ (દ્વિપરમાણ્વિક),$C_{v2} = 5R/2$.
કુલ મોલ $n = 5 + 1 = 6$.
$(C_v)_m = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2} = \frac{5(3R/2) + 1(5R/2)}{6} = \frac{10R}{6} = \frac{5R}{3}$.
$(C_p)_m = (C_v)_m + R = \frac{5R}{3} + R = \frac{8R}{3}$.
એડિબેટિક અચળાંક $\gamma_m = \frac{(C_p)_m}{(C_v)_m} = \frac{8/3}{5/3} = 1.6$. તેથી,$(4)$ સાચું છે.
એડિબેટિક સંકોચન માટે: $P_0 V_0^{\gamma} = P_f (V_0/4)^{\gamma}$.
$P_f = P_0 (4)^{1.6} = P_0 (2^2)^{1.6} = P_0 (2^{3.2}) = 9.2 P_0$. તેથી,$(1)$ સાચું છે.
$T_f V_f^{\gamma-1} = T_0 V_0^{\gamma-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$T_f = T_0 (V_0 / (V_0/4))^{0.6} = T_0 (4)^{0.6} = T_0 (2^{1.2}) = 2.3 T_0$.
કુલ આંતરિક ઊર્જા $U = n_1 (3/2 RT) + n_2 (5/2 RT) = 5(1.5 RT) + 1(2.5 RT) = 10 RT$.
$U_f = 10 R (2.3 T_0) = 23 RT_0$. તેથી,$(2)$ ખોટું છે.
થયેલ કાર્ય $|W| = |\Delta U| = |n_f C_{vm} T_f - n_i C_{vm} T_i| = |6 \times (5R/6) \times (2.3 T_0 - T_0)| = |5R \times 1.3 T_0| = 6.5 RT_0$. તેથી,$(3)$ ખોટું છે.
સાચા વિધાનો $(1)$ અને $(4)$ છે.

(D) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ છે.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $PV = \frac{m}{M}RT$ મળે છે,જેને $P = \frac{m}{V} \cdot \frac{RT}{M} = \frac{\rho RT}{M}$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે.
આમ,ઘનતા $\rho = \frac{PM}{RT}$ થાય.
સમાન તાપમાન $T$ પર બે વાયુઓ માટે,તેમની ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{P_1 M_1}{P_2 M_2}$ છે.
પરમાણ્વીય દળનો ગુણોત્તર $\frac{M_1}{M_2} = \frac{2}{3}$ અને આંશિક દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{4}{3}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \left(\frac{4}{3}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{9}$ મળે છે.

(C) $1$ મોલ $H_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વિક,$C_v = 5R/2$) અને $1$ મોલ $He$ (એક-પરમાણ્વિક,$C_v = 3R/2$) ના મિશ્રણ માટે:
કુલ આંતરિક ઉર્જા $U = n_1 C_{v1} T + n_2 C_{v2} T = 1(5R/2)T + 1(3R/2)T = 4RT$.
પ્રતિ મોલ સરેરાશ ઉર્જા $= U / (n_1 + n_2) = 4RT / 2 = 2RT$. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
મિશ્રણ માટે,$C_{v,mix} = (n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}) / (n_1 + n_2) = (5R/2 + 3R/2) / 2 = 2R$.
$C_{p,mix} = C_{v,mix} + R = 3R$. $\gamma_{mix} = C_{p,mix} / C_{v,mix} = 3R / 2R = 1.5 = 3/2$.
ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\gamma RT / M}$. $He$ માટે,$\gamma = 5/3$ અને $M = 4$. મિશ્રણ માટે,$M_{mix} = (2+4)/2 = 3$.
ગુણોત્તર $v_{mix} / v_{He} = \sqrt{(\gamma_{mix} / M_{mix}) / (\gamma_{He} / M_{He})} = \sqrt{(1.5 / 3) / ((5/3) / 4)} = \sqrt{0.5 / (5/12)} = \sqrt{6/5}$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$RMS$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{3RT/M}$. ગુણોત્તર $v_{rms,He} / v_{rms,H2} = \sqrt{M_{H2} / M_{He}} = \sqrt{2/4} = 1/\sqrt{2}$. તેથી,$(D)$ સાચું છે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} nRT = \frac{f}{2} PV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પાર્ટીશન ઉષ્મા અવાહક હોવાથી,જ્યારે પાર્ટીશન દૂર કરવામાં આવે ત્યારે સિસ્ટમની કુલ આંતરિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
$U_{\text{initial}} = U_{\text{final}}$
$\frac{f_1}{2} P_1 V_1 + \frac{f_2}{2} P_2 V_2 = \frac{f_{\text{mix}}}{2} P_{\text{mix}} (V_1 + V_2)$
ધારો કે બંને ખાનામાં વાયુ સમાન છે,તેથી $f_1 = f_2 = f_{\text{mix}} = f$.
$P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_{\text{mix}} (V_1 + V_2)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(1 \ atm \times 2 \ L) + (2 \ atm \times 3 \ L) = P_{\text{mix}} (2 \ L + 3 \ L)$
$2 + 6 = P_{\text{mix}} (5)$
$8 = 5 P_{\text{mix}}$
$P_{\text{mix}} = \frac{8}{5} \ atm = 1.6 \ atm$.

(B) $C_p = C_v + R$
$\therefore$ હાઇડ્રોજન માટે $C_p, C_{p_1} = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R$
હિલિયમ માટે $C_p, C_{p_2} = \frac{3}{2} R + R = \frac{5}{2} R$
પાણીની વરાળ માટે $C_p, C_{p_3} = 3 R + R = 4 R$
આપેલ છે: $n_1 = 4, n_2 = 2, n_3 = 1$
મિશ્રણની $C_p = \frac{n_1 C_{p_1} + n_2 C_{p_2} + n_3 C_{p_3}}{n_1 + n_2 + n_3}$
$= \frac{4 \times \frac{7}{2} R + 2 \times \frac{5}{2} R + 1 \times 4 R}{4 + 2 + 1}$
$= \frac{14 R + 5 R + 4 R}{7} = \frac{23 R}{7}$

(A) એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v1} = \frac{3}{2}R$ છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{v2} = \frac{5}{2}R$ છે.
$n_1$ મોલ વાયુ $1$ અને $n_2$ મોલ વાયુ $2$ ના મિશ્રણ માટે,સમતુલ્ય $C_v$ એ $C_{v,mix} = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $C_{v,mix} = \frac{1 \cdot \frac{3}{2}R + 1 \cdot \frac{5}{2}R}{1 + 1} = \frac{4R}{2} = 2R$.
તે જ રીતે,સમતુલ્ય $C_p$ એ $C_{p,mix} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 + n_2}$ છે. $C_p = C_v + R$ હોવાથી,$C_{p1} = \frac{5}{2}R$ અને $C_{p2} = \frac{7}{2}R$ મળે.
$C_{p,mix} = \frac{1 \cdot \frac{5}{2}R + 1 \cdot \frac{7}{2}R}{2} = \frac{6R}{2} = 3R$.
મિશ્રણ માટે એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{mix} = \frac{C_{p,mix}}{C_{v,mix}} = \frac{3R}{2R} = 1.5$ થાય.

(C) શરૂઆતમાં,દરેક વાયુનું દબાણ $P$ અને કદ $V$ છે. જ્યારે તેમને મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે મિશ્રણનું કુલ કદ $V_{1} = V + V = 2V$ થાય છે.
તાપમાન અચળ હોવાથી,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2}$.
મિશ્રણનું પ્રારંભિક દબાણ $P_{1}$ એ $P$ છે (કારણ કે દરેક વાયુનું દબાણ $P$ છે અને તેઓ સમાન તાપમાન અને કદ પર છે).
અંતિમ કદ $V_{2} = \frac{V}{2}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P \times (2V) = P_{2} \times (\frac{V}{2})$.
$P_{2}$ માટે ઉકેલતા: $P_{2} = \frac{P \times 2V}{V/2} = 4P$.

(C) ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T^{\circ} C$ છે.
બંધ અને અલગ કરેલા પાત્રમાં,ગરમ વાયુ $(O_2)$ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા વાયુ $(CO_2)$ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
$CO_2$ (અરેખીય ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુ) માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{V, CO_2} = 3R$ છે.
$O_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ) માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{V, O_2} = \frac{5}{2}R$ છે.
મોલની સંખ્યા: $\mu_{CO_2} = \frac{22}{44} = 0.5 \ mol$ અને $\mu_{O_2} = \frac{16}{32} = 0.5 \ mol$.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ: $\mu_{CO_2} C_{V, CO_2} (T - 27) = \mu_{O_2} C_{V, O_2} (37 - T)$.
$0.5 \times 3R \times (T - 27) = 0.5 \times \frac{5}{2}R \times (37 - T)$.
$3(T - 27) = 2.5(37 - T)$.
$3T - 81 = 92.5 - 2.5T$.
$5.5T = 173.5$.
$T = \frac{173.5}{5.5} \approx 31.5^{\circ} C$.

(C) વાયુની કુલ આંતરિક ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{n f R T}{2}$
જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે અને $f$ એ મુક્તિના અંશો (degree of freedom) છે.
આપેલ છે કે,$n_{\text{diatomic}} = n_{\text{monoatomic}} = 2$.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_{\text{monoatomic}} = 3$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_{\text{diatomic}} = 5$.
દરેક માટે આંતરિક ઉર્જાની ગણતરી:
$U_{\text{monoatomic}} = \frac{2 \times 3 \times R T}{2} = 3 R T$
$U_{\text{diatomic}} = \frac{2 \times 5 \times R T}{2} = 5 R T$
તેથી,વાયુઓના મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઉર્જા:
$U_{\text{total}} = U_{\text{monoatomic}} + U_{\text{diatomic}} = 3 R T + 5 R T = 8 R T$.

(C) આપેલ છે: $n_1 = 1 \text{ mole}$,$n_2 = 1 \text{ mole}$,$\gamma_1 = \frac{7}{5}$,$\gamma_2 = \frac{4}{3}$.
વાયુઓના મિશ્રણ માટે,સમતુલ્ય એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{\text{mix}}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{n_1 + n_2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1 + 1}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{1}{\frac{7}{5} - 1} + \frac{1}{\frac{4}{3} - 1}$
$\frac{2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{1}{\frac{2}{5}} + \frac{1}{\frac{1}{3}}$
$\frac{2}{\gamma_{\text{mix}} - 1} = \frac{5}{2} + 3 = \frac{5 + 6}{2} = \frac{11}{2}$
$\gamma_{\text{mix}} - 1 = \frac{4}{11}$
$\gamma_{\text{mix}} = 1 + \frac{4}{11} = \frac{15}{11}$.

(D) હિલિયમનું દળ,$m_H = 16 \ g$. હિલિયમનું મોલર દળ,$M_H = 4 \ g/mol$. હિલિયમના મોલની સંખ્યા,$n_H = 16/4 = 4 \ mol$. હિલિયમ એક પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી અચળ કદ પર તેની મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_{v,H} = \frac{3}{2}R$ છે.
ઓક્સિજનનું દળ,$m_O = 16 \ g$. ઓક્સિજનનું મોલર દળ,$M_O = 32 \ g/mol$. ઓક્સિજનના મોલની સંખ્યા,$n_O = 16/32 = 0.5 \ mol$. ઓક્સિજન દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી અચળ કદ પર તેની મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_{v,O} = \frac{5}{2}R$ છે.
મિશ્રણની અચળ કદ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_{v,mix} = \frac{n_H C_{v,H} + n_O C_{v,O}}{n_H + n_O} = \frac{4(\frac{3}{2}R) + 0.5(\frac{5}{2}R)}{4 + 0.5} = \frac{6R + 1.25R}{4.5} = \frac{7.25R}{4.5} = \frac{29R}{18}$ છે.
મિશ્રણની અચળ દબાણ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_{p,mix} = C_{v,mix} + R = \frac{29R}{18} + R = \frac{47R}{18}$ છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_{p,mix}}{C_{v,mix}} = \frac{47R/18}{29R/18} = \frac{47}{29} \approx 1.62$ થાય.

(A) આપેલ છે: $n_{He} = 2$ મોલ, $n_{H_2} = 2$ મોલ, $T = \frac{972}{5} \,K$, $R = \frac{25}{3} \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$.
$1$. મિશ્રણનું મોલર દળ $(M_{mix})$ ગણો:
$M_{mix} = \frac{n_1 M_1 + n_2 M_2}{n_1 + n_2} = \frac{2 \times 4 + 2 \times 2}{2 + 2} = \frac{8 + 4}{4} = 3 \,g/mol = 3 \times 10^{-3} \,kg/mol$.
$2$. મિશ્રણનો એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $(\gamma_{mix})$ ગણો:
હિલિયમ (એકપરમાણ્વીય) માટે, $f_1 = 3$. હાઇડ્રોજન (દ્વિપરમાણ્વીય) માટે, $f_2 = 5$.
$f_{mix} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2} = \frac{2 \times 3 + 2 \times 5}{2 + 2} = \frac{16}{4} = 4$.
$\gamma_{mix} = 1 + \frac{2}{f_{mix}} = 1 + \frac{2}{4} = 1.5$.
$3$. ધ્વનિની ઝડપ $(v)$ ગણો:
$v = \sqrt{\frac{\gamma_{mix} R T}{M_{mix}}} = \sqrt{\frac{1.5 \times \frac{25}{3} \times \frac{972}{5}}{3 \times 10^{-3}}} = 900 \,m/s$.
આપેલ છે કે $v = n \times 100 \,m/s$, તેથી $n = 9$.

(D) એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $f_1 = 3$ છે. દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા $f_2 = 5$ છે.
મિશ્રણ માટે એડિબેટિક અચળાંક $\gamma$ નું સૂત્ર $\gamma_{mix} = \frac{C_{p,mix}}{C_{v,mix}} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}$ છે.
અહીં $n_1 = 1$ (એકપરમાણ્વીય) અને $n_2 = n$ (દ્વિપરમાણ્વીય) આપેલ છે.
$C_{v1} = \frac{3}{2}R$,$C_{p1} = \frac{5}{2}R$.
$C_{v2} = \frac{5}{2}R$,$C_{p2} = \frac{7}{2}R$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\gamma_{mix} = \frac{1(\frac{5}{2}R) + n(\frac{7}{2}R)}{1(\frac{3}{2}R) + n(\frac{5}{2}R)} = \frac{5 + 7n}{3 + 5n}$.
આપેલ છે કે $\gamma_{mix} = \frac{13}{9}$,તેથી $\frac{5 + 7n}{3 + 5n} = \frac{13}{9}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $9(5 + 7n) = 13(3 + 5n)$.
$45 + 63n = 39 + 65n$.
$45 - 39 = 65n - 63n$.
$6 = 2n$,જેનો અર્થ છે કે $n = 3$.

(D) વાયુમિશ્રણની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U$ એ તેના ઘટકોની વ્યક્તિગત આંતરિક ઉર્જાઓનો સરવાળો છે.
$n$ મોલ અને $f$ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) ધરાવતા વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = n \cdot \frac{f}{2} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ એ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે. કંપન મોડ્સને અવગણતા,તેના મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ છે.
ઓક્સિજનની આંતરિક ઉર્જા: $U_1 = n_1 \cdot \frac{f_1}{2} RT = 2 \cdot \frac{5}{2} RT = 5 RT$.
આર્ગોન $(Ar)$ એ એક-પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી તેના મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$ છે.
આર્ગોનની આંતરિક ઉર્જા: $U_2 = n_2 \cdot \frac{f_2}{2} RT = 4 \cdot \frac{3}{2} RT = 6 RT$.
કુલ આંતરિક ઉર્જા $U = U_1 + U_2 = 5 RT + 6 RT = 11 RT$.

(C) પાત્રમાં રહેલા કુલ મોલની સંખ્યા $n$ એ દરેક વાયુના મોલનો સરવાળો છે: $n = 2 + 5 + 3 = 10 \ mol$.
કેલ્વિનમાં તાપમાન $T = 0 \ ^{\circ}C + 273 = 273 \ K$ છે.
પાત્રનું કદ $V = 16.62 \ m^3$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,દબાણ $P$ માટે:
$P = \frac{nRT}{V}$
$P = \frac{10 \times 8.31 \times 273}{16.62}$
$P = \frac{83.1 \times 273}{16.62}$
$P = 5 \times 273 = 1365 \ Pa$.
આમ,પાત્રમાં દબાણ $1365 \ Pa$ છે.

(C) વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{f}{2}nRT$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,જે દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ છે (કંપન મોડ્સને અવગણતા).
આર્ગોન $(Ar)$ માટે,જે એક-પરમાણ્વીય વાયુ છે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$ છે.
કુલ આંતરિક ઉર્જા $U_{total} = U_{O_2} + U_{Ar}$.
$U_{total} = \frac{f_1}{2}n_1RT + \frac{f_2}{2}n_2RT$.
અહીં $n_1 = 3$ મોલ અને $n_2 = 4$ મોલ આપેલ છે.
$U_{total} = \frac{5}{2}(3)RT + \frac{3}{2}(4)RT$.
$U_{total} = 7.5RT + 6RT = 13.5RT$.

(C) વાયુ મિશ્રણ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{\text{mix}} = \frac{C_{p(\text{mix})}}{C_{V(\text{mix})}}$ છે.
મિશ્રણના ગુણધર્મો માટેનું સૂત્ર: $\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}$.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,જે દ્વિપરમાણ્વીય છે: $n_1 = \frac{4 \ g}{32 \ g/mol} = \frac{1}{8} \ mol$. $C_{p1} = \frac{7}{2}R$,$C_{V1} = \frac{5}{2}R$.
હિલિયમ (He) માટે,જે એકપરમાણ્વીય છે: $n_2 = \frac{4 \ g}{4 \ g/mol} = 1 \ mol$. $C_{p2} = \frac{5}{2}R$,$C_{V2} = \frac{3}{2}R$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{(\frac{1}{8} \times \frac{7}{2}R) + (1 \times \frac{5}{2}R)}{(\frac{1}{8} \times \frac{5}{2}R) + (1 \times \frac{3}{2}R)}$
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{\frac{7}{16} + \frac{5}{2}}{\frac{5}{16} + \frac{3}{2}} = \frac{\frac{7+40}{16}}{\frac{5+24}{16}} = \frac{47}{29}$.

(A) ડાલ્ટનના આંશિક દબાણના નિયમ મુજબ,પ્રક્રિયા ન કરતા વાયુઓના મિશ્રણ દ્વારા લાગતું કુલ દબાણ એ દરેક વાયુના વ્યક્તિગત આંશિક દબાણના સરવાળા જેટલું હોય છે.
વાયુ $A$ માટે,જ્યારે તે $T$ તાપમાને $V$ કદ રોકે છે ત્યારે દબાણ $P$ છે.
વાયુ $B$ માટે,જ્યારે તે $T$ તાપમાને $V$ કદ રોકે છે ત્યારે દબાણ $P$ છે.
જ્યારે બંને વાયુઓને સમાન તાપમાન $T$ પર સમાન કદ $V$ માં મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ દબાણ $P_{mix}$ એ વ્યક્તિગત દબાણોનો સરવાળો થાય છે.
$P_{mix} = P_A + P_B = P + P = 2 P$.

(B) આદર્શ એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = n C_v T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C_v = \frac{3}{2} R$ છે.
અલગ કરેલી સિસ્ટમમાં વાયુઓ મિશ્ર થતા હોવાથી,કુલ આંતરિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે: $U_{mix} = U_1 + U_2$.
$(n_1 + n_2) C_v T_{mix} = n_1 C_v T_1 + n_2 C_v T_2$.
બંને એકપરમાણ્વિક વાયુઓ માટે $C_v$ સમાન હોવાથી,તે ઉડી જશે:
$(n_1 + n_2) T_{mix} = n_1 T_1 + n_2 T_2$.
આપેલ છે: $n_1 = 2 \text{ mol}$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$,$n_2 = 4 \text{ mol}$,$T_2 = 327 + 273 = 600 \text{ K}$.
$(2 + 4) T_{mix} = (2 \times 300) + (4 \times 600)$.
$6 T_{mix} = 600 + 2400 = 3000$.
$T_{mix} = \frac{3000}{6} = 500 \text{ K}$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_{mix} = 500 - 273 = 227^{\circ} C$.

(B) $n$ મોલ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = n \frac{f}{2} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
એક-પરમાણ્વીય વાયુઓ $(He, Ar)$ માટે,$f = 3$.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુઓ $(N_2, H_2)$ માટે,$f = 5$ (કંપન ગતિના પ્રકારોને અવગણતા).
કુલ આંતરિક ઉર્જા $U_{total} = U_{He} + U_{Ar} + U_{N_2} + U_{H_2}$.
$U_{total} = (3 \times \frac{3}{2} RT) + (1 \times \frac{3}{2} RT) + (5 \times \frac{5}{2} RT) + (3 \times \frac{5}{2} RT)$.
$U_{total} = (4.5 + 1.5 + 12.5 + 7.5) RT = 26 RT$.

(D) વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{f}{2} nRT$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ તાપમાન છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,જે દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ છે (કંપન ગતિઓને અવગણતા). મોલની સંખ્યા $n_1 = 2$ છે.
ઓક્સિજનની આંતરિક ઉર્જા $U_1 = \frac{5}{2} \times 2 \times RT = 5 RT$.
આર્ગોન $(Ar)$ માટે,જે એક-પરમાણ્વીય વાયુ છે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 3$ છે. મોલની સંખ્યા $n_2 = 4$ છે.
આર્ગોનની આંતરિક ઉર્જા $U_2 = \frac{3}{2} \times 4 \times RT = 6 RT$.
તંત્રની કુલ આંતરિક ઉર્જા $U_{total} = U_1 + U_2 = 5 RT + 6 RT = 11 RT$ થાય.

(B) હિલિયમનું દળ, $m_{He} = 4 \,g$. હિલિયમનું મોલર દળ $= 4 \,g/mol$. મોલની સંખ્યા $n_1 = 4/4 = 1 \,mol$.
ઓક્સિજનનું દળ, $m_{O_2} = 32 \,g$. ઓક્સિજનનું મોલર દળ $= 32 \,g/mol$. મોલની સંખ્યા $n_2 = 32/32 = 1 \,mol$.
હિલિયમ એક પરમાણ્વીય વાયુ છે, તેથી મુક્તિના અંશો $f_1 = 3$.
ઓક્સિજન દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે, તેથી મુક્તિના અંશો $f_2 = 5$.
મિશ્રણનો વિશિષ્ટ ઉષ્મા ગુણોત્તર $\gamma_{mix} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 C_{V1} + n_2 C_{V2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C_V = \frac{f}{2}R$ અને $C_p = (1 + \frac{f}{2})R$ નો ઉપયોગ કરતા:
$C_{V,mix} = \frac{n_1(f_1/2)R + n_2(f_2/2)R}{n_1 + n_2} = \frac{1(3/2)R + 1(5/2)R}{1 + 1} = \frac{4R}{2} = 2R$.
$C_{p,mix} = C_{V,mix} + R = 2R + R = 3R$.
તેથી, $\gamma_{mix} = \frac{3R}{2R} = \frac{3}{2}$.

(A) વાયુ મિશ્રણ માટે,અચળ કદ અને અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા નીચે મુજબ છે:
$C_V = \frac{n_1 C_{V_1} + n_2 C_{V_2}}{n_1 + n_2}$ અને $C_p = \frac{n_1 C_{p_1} + n_2 C_{p_2}}{n_1 + n_2}$
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા $f_1 = 3$,તેથી $C_{V_1} = \frac{3}{2}R$ અને $C_{p_1} = \frac{5}{2}R$.
દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા $f_2 = 5$,તેથી $C_{V_2} = \frac{5}{2}R$ અને $C_{p_2} = \frac{7}{2}R$.
એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma = \frac{C_p}{C_V} = 1.5 = \frac{3}{2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{C_p}{C_V} = \frac{n_1(\frac{5}{2}R) + n_2(\frac{7}{2}R)}{n_1(\frac{3}{2}R) + n_2(\frac{5}{2}R)} = \frac{5n_1 + 7n_2}{3n_1 + 5n_2} = \frac{3}{2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2(5n_1 + 7n_2) = 3(3n_1 + 5n_2)$
$10n_1 + 14n_2 = 9n_1 + 15n_2$
$n_1 = n_2$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{n_1}{n_2} = 1$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$. પાત્રમાં બંને વાયુઓ માટે કદ $V$ અને તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,મોલની સંખ્યા $n$ એ વાયુના આંશિક દબાણ $p$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(n \propto p)$.
શરૂઆતમાં,નાઈટ્રોજનનું દબાણ $p_{N_2} = 100 \ kPa$ છે.
ઓક્સિજન ઉમેર્યા પછી,કુલ દબાણ $300 \ kPa$ થાય છે. તેથી,ઓક્સિજનનું આંશિક દબાણ $p_{O_2} = P_{total} - p_{N_2} = 300 \ kPa - 100 \ kPa = 200 \ kPa$ થશે.
$N_2$ અણુઓની સંખ્યા અને $O_2$ અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર તેમના મોલના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે,જે તેમના આંશિક દબાણના ગુણોત્તર બરાબર થાય છે:
$\frac{n_{N_2}}{n_{O_2}} = \frac{p_{N_2}}{p_{O_2}} = \frac{100 \ kPa}{200 \ kPa} = 0.5$.

(D) $1$. દરેક વાયુ માટે મોલની સંખ્યા $(n)$ ગણો:
$n_{O_2} = \frac{64 \ g}{32 \ g/mol} = 2 \ mol$
$n_{N_2} = \frac{28 \ g}{28 \ g/mol} = 1 \ mol$
$n_{CO_2} = \frac{132 \ g}{44 \ g/mol} = 3 \ mol$
$2$. શરૂઆતમાં કુલ મોલની સંખ્યા $n_{total} = 2 + 1 + 3 = 6 \ mol$ છે.
$3$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$. અહીં $V, R, T$ અચળ હોવાથી,$P \propto n$ થાય.
$4$. તેથી,$P = k \times 6$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
$5$. ઓક્સિજન દૂર કર્યા પછી,બાકી રહેલા મોલ $n_{remaining} = 1 (N_2) + 3 (CO_2) = 4 \ mol$ છે.
$6$. નવું દબાણ $P'$ એ $P' = k \times 4$ થશે.
$7$. ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P'}{P} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
$8$. આમ,$P' = \frac{2 P}{3}$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $\langle KE \rangle = \frac{f}{2} K_B T$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$K_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
બંને વાયુઓ એક જ પાત્રમાં હોવાથી,તેઓ તાપીય સંતુલનમાં છે અને તેમનું તાપમાન $T = 30^{\circ} C$ સમાન છે.
બંને દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુઓ (હાઇડ્રોજન અને નાઇટ્રોજન) માટે મુક્તિના અંશો $f = 5$ થાય છે.
તેથી,હાઇડ્રોજન માટે પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\langle KE \rangle_{H_2} = \frac{5}{2} K_B T$ છે.
તે જ રીતે,નાઇટ્રોજન માટે પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\langle KE \rangle_{N_2} = \frac{5}{2} K_B T$ છે.
આમ,પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{\langle KE \rangle_{H_2}}{\langle KE \rangle_{N_2}} = \frac{\frac{5}{2} K_B T}{\frac{5}{2} K_B T} = 1: 1$ થાય.
અહીં દળનો ગુણોત્તર ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર નથી કારણ કે પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે.

(A) ડાલ્ટનના આંશિક દબાણના નિયમ મુજબ,પ્રક્રિયા ન કરતા વાયુઓના મિશ્રણ દ્વારા લાગતું કુલ દબાણ એ દરેક વાયુના વ્યક્તિગત આંશિક દબાણના સરવાળા જેટલું હોય છે.
વાયુ $A$ માટે,$V$ કદ અને $T$ તાપમાને દબાણ $P$ છે.
વાયુ $B$ માટે,$V$ કદ અને $T$ તાપમાને દબાણ $P$ છે.
જ્યારે તેમને $V$ કદના પાત્રમાં $T$ તાપમાને મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ દબાણ $P_{mix}$ એ વ્યક્તિગત દબાણોના સરવાળા જેટલું થાય છે:
$P_{mix} = P_A + P_B = P + P = 2 P$.

(A) ડાલ્ટનના આંશિક દબાણના નિયમ મુજબ,ત્રણ વાયુઓના મિશ્રણનું કુલ દબાણ $p$ એ દરેક વાયુના આંશિક દબાણનો સરવાળો છે: $p = p_1 + p_2 + p_3$।
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,દરેક વાયુનું દબાણ $p_i = \frac{n_i RT}{V}$ દ્વારા મળે છે.
મિશ્રણમાં રહેલા તમામ વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ અને કદ $V$ સમાન હોવાથી,કુલ દબાણ:
$p = \frac{n_1 RT}{V} + \frac{n_2 RT}{V} + \frac{n_3 RT}{V}$
$p = \frac{(n_1 + n_2 + n_3) RT}{V}$ થાય છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓક્સિજન માટે: $p_1 = 1 \,atm$,$V_1 = 1 \,L$. મોલની સંખ્યા $n_{O_2} = \frac{p_1 V_1}{RT} = \frac{1 \times 1}{RT} = \frac{1}{RT}$ છે.
નાઈટ્રોજન માટે: $p_2 = 0.5 \,atm$,$V_2 = 2 \,L$. મોલની સંખ્યા $n_{N_2} = \frac{p_2 V_2}{RT} = \frac{0.5 \times 2}{RT} = \frac{1}{RT}$ છે.
જ્યારે આ વાયુઓને સમાન તાપમાન $T$ પર $V_{mix} = 1 \,L$ કદના પાત્રમાં દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ મોલની સંખ્યા $n_{mix} = n_{O_2} + n_{N_2} = \frac{1}{RT} + \frac{1}{RT} = \frac{2}{RT}$ થાય છે.
અંતિમ દબાણ $p_{mix}$ એ $p_{mix} = \frac{n_{mix} RT}{V_{mix}} = \frac{(2/RT) \times RT}{1} = 2 \,atm$ દ્વારા મળે છે.