Gas Laws (Charles, Boyle's, Avagadro's, Gay Lussacs and Dalton's law) and Ideal gas Equation Questions in Gujarati

(D) આદર્શ વાયુ માટે,સમતાપી સ્થિતિસ્થાપકતા દબાણ $P$ જેટલી હોય છે. તેથી,આપણે અંતિમ દબાણ $P_2$ અને પ્રારંભિક દબાણ $P_1$ નો ગુણોત્તર શોધવો પડશે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
આપેલ છે: $V_2 = 4V_1$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$,અને $T_2 = 127 + 273 = 400 \ K$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{V_1}{V_2} \times \frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{1}{4} \right) \times \left( \frac{400}{300} \right) = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$.
તેથી,સ્થિતિસ્થાપકતા $E_2 = \frac{1}{3} E_1$ થશે,જેનો અર્થ છે કે સ્થિતિસ્થાપકતા મૂળ મૂલ્યના $1/3$ ગણી થઈ જશે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુનું દબાણ $P$ અને કદ $V$ એ સંબંધો $P = P_0(1 + \gamma t)$ અને $V = V_0(1 + \gamma t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma = 1/273.15\, ^\circ C^{-1}$ છે.
$t = -273.15\, ^\circ C$ માટે,આપણને $P = P_0(1 + (1/273.15) \times (-273.15)) = P_0(1 - 1) = 0$ મળે છે.
તે જ રીતે,$V = V_0(1 + (1/273.15) \times (-273.15)) = V_0(1 - 1) = 0$ મળે છે.
તેથી,પરમ શૂન્ય $(0\, K)$ તાપમાને,આદર્શ વાયુનું કદ અને દબાણ સૈદ્ધાંતિક રીતે શૂન્ય થઈ જાય છે.

(C) ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ માટે વાયુનું દબાણ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $P \propto T$ અથવા $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 927^{\circ}C = 927 + 273 = 1200 \ K$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$P_2 = P_1 \times \frac{T_2}{T_1}$
$P_2 = P \times \frac{1200}{300}$
$P_2 = 4P$
તેથી,નવું દબાણ $4P$ થશે.

(B) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે નિશ્ચિત જથ્થાના વાયુ માટે,કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $V \propto T$ અથવા $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 0^\circ C = 273 \ K$. પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$. અંતિમ કદ $V_2 = 2V$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{V}{273} = \frac{2V}{T_2}$.
$T_2$ માટે ઉકેલતા: $T_2 = 2 \times 273 = 546 \ K$.
અંતિમ તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે: $T_2(^\circ C) = 546 - 273 = 273^\circ C$.

(B) બોઈલનો નિયમ જણાવે છે કે અચળ તાપમાને, વાયુના નિશ્ચિત દળ માટે, દબાણ અને કદનો ગુણાકાર અચળ રહે છે, એટલે કે $PV = \text{constant}$.
આ પ્રક્રિયા દરમિયાન તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી, તેને સમતાપી (isothermal) ફેરફાર કહેવામાં આવે છે.
તેથી, વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે,$V$ એ કદ છે,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$R$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $R = \frac{PV}{nT}$ મળે છે.
દબાણ $P$ નો $S.I.$ એકમ પાસ્કલ ($Pa$ અથવા $N/m^2$) છે,કદ $V$ નો એકમ $m^3$ છે,$n$ નો એકમ $mol$ છે અને તાપમાન $T$ નો એકમ $K$ છે.
આ એકમોને મૂકતા: $R = \frac{(N/m^2) \cdot m^3}{mol \cdot K} = \frac{N \cdot m}{mol \cdot K} = \frac{J}{mol \cdot K}$.
તેથી,સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંકનો $S.I.$ એકમ $J\,mol^{-1}\,K^{-1}$ છે.

(C) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે વાયુનું કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $V \propto T$.
તેથી,$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$.
અંતિમ કદ $V_2 = 3V$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V}{300} = \frac{3V}{T_2}$.
$T_2 = 300 \times 3 = 900 \ K$.
તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે: $t(^{\circ}C) = T(K) - 273$.
$t = 900 - 273 = 627^{\circ}C$.

(C) આપેલ છે કે $27^{\circ}C = 300 \ K$ તાપમાને વાયુની ઘનતા $(d_1)$ $24$ છે.
આપણે $127^{\circ}C = 400 \ K$ તાપમાને ઘનતા $(d_2)$ શોધવાની છે,જ્યારે દબાણ $(P)$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = (m/M)RT$ પરથી,$P = (m/V)(RT/M) = d(RT/M)$ લખી શકાય.
તેથી,$d = \frac{PM}{RT}$.
અહીં દબાણ $(P)$ અને મોલર દળ $(M)$ અચળ હોવાથી,$d \propto \frac{1}{T}$ મળે.
તેથી,$\frac{d_1}{d_2} = \frac{T_2}{T_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{24}{d_2} = \frac{400}{300}$.
$d_2 = \frac{24 \times 300}{400} = 18$.
આમ,$127^{\circ}C$ તાપમાને ઘનતા $18$ થશે. સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(A) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,વાયુનું કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $V \propto T$.
આથી: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
આપેલ છે:
$V_1 = 200\, ml$
$T_1 = 20^{\circ}C = 20 + 273 = 293\, K$
$T_2 = -20^{\circ}C = -20 + 273 = 253\, K$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{200}{293} = \frac{V_2}{253}$
$V_2 = \frac{200 \times 253}{293}$
$V_2 = \frac{50600}{293} \approx 172.69\, ml$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,વાયુનું કદ $172.6\, ml$ થશે.

(A) આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ,$PV = \mu RT$.
પરમ શૂન્ય તાપમાને,$T = 0 \ K$.
સમીકરણમાં $T = 0$ મૂકતા,આપણને $PV = \mu R(0) = 0$ મળે છે.
વાયુનું કદ $V$ શૂન્ય હોઈ શકતું નથી,તેથી દબાણ $P$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.

(D) જે તાપમાને વાસ્તવિક વાયુ દબાણની નોંધપાત્ર રેન્જ પર આદર્શ વાયુના નિયમનું પાલન કરે છે તેને બોઈલ તાપમાન કહેવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,$PV = nRT$ છે.
વાસ્તવિક વાયુઓ તેમના ક્રાંતિક તાપમાન કરતા ઘણા ઊંચા તાપમાને આદર્શ વાયુ જેવું વર્તન કરે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,હિલિયમ $(He)$ એક નિષ્ક્રિય વાયુ છે જેનું ક્રાંતિક તાપમાન ખૂબ નીચું છે અને આંતરઆણ્વિય બળો ખૂબ નબળા છે,જેના કારણે તે $CO_2$ અથવા $O_3$ જેવા જટિલ અણુઓની સરખામણીમાં તાપમાનની ઘણી વિશાળ રેન્જમાં આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે.
તેથી,$He$ તાપમાનની મહત્તમ રેન્જ માટે બોઈલના નિયમનું પાલન કરે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(B) બોઈલનો નિયમ જણાવે છે કે અચળ તાપમાને આદર્શ વાયુના નિશ્ચિત દળ માટે, દબાણ અને કદનો ગુણાકાર અચળ રહે છે $(PV = \text{constant})$.
જ્યારે તમે ફુગ્ગામાં હવા ફૂંકો છો, ત્યારે તમે ફુગ્ગામાં વધુ હવાના અણુઓ ઉમેરો છો। તેથી, વાયુના મોલની સંખ્યા $(n)$ અચળ રહેતી નથી.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ, $PV = nRT$.
જેમ કે તાપમાન $(T)$ અચળ છે અને જ્યારે તમે ફુગ્ગામાં હવા ભરો છો ત્યારે મોલની સંખ્યા $(n)$ વધે છે, તેથી $PV$ નો ગુણાકાર વધવો જોઈએ $(PV \propto n)$.
કારણ કે ફુગ્ગાની અંદરની હવાનું દળ (અને તેથી મોલની સંખ્યા) અચળ રહેતું નથી, તેથી બોઈલનો નિયમ લાગુ પડતો નથી.

(A) બોઈલનો નિયમ જણાવે છે કે અચળ તાપમાને આદર્શ વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા (દળ) માટે, દબાણ એ કદના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે ($P \propto 1/V$ અથવા $PV = \text{અચળ}$).
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,
જો $PV$ અચળ રહેવું હોય, તો મોલની સંખ્યા $(n)$ અચળ રહેવી જોઈએ (નિશ્ચિત દળ) અને તાપમાન $(T)$ પણ અચળ રહેવું જોઈએ.
વધુમાં, બોઈલનો નિયમ આદર્શ વાયુઓ માટે જ લાગુ પડે છે.
તેથી, સાચી શરત એ છે કે વાયુ આદર્શ હોવો જોઈએ અને તેનું દળ તથા તાપમાન અચળ હોવા જોઈએ.
આમ, વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(A) બંધ પાત્રમાં રહેલા વાયુ માટે કદ $V$ અચળ રહે છે. ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,$\frac{P}{T} = \text{અચળ}$.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1$ અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_1$ (કેલ્વિનમાં) છે.
જ્યારે તાપમાન $1\,^{\circ}C$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે નવું તાપમાન $T_2 = T_1 + 1$ થાય છે.
દબાણમાં $0.4\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવું દબાણ $P_2 = P_1 + 0.004 P_1 = 1.004 P_1$ થાય છે.
સંબંધ $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{P_1}{T_1} = \frac{1.004 P_1}{T_1 + 1}$
$T_1 + 1 = 1.004 T_1$
$1 = 1.004 T_1 - T_1$
$1 = 0.004 T_1$
$T_1 = \frac{1}{0.004} = 250\, K$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા ($n$ અચળ છે) અને નિશ્ચિત કદ ($V = 1 \, cm^3$ બંને કિસ્સામાં) માટે,દબાણ અને તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ $P \propto T$ છે.
ધારો કે સમુદ્ર સપાટી પરનું પ્રારંભિક દબાણ $P_0$ છે અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_0$ છે.
આપેલ ઊંચાઈ પર,દબાણ $P = P_0/3$ છે.
સંબંધ $\frac{P_0}{T_0} = \frac{P}{T}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $P = P_0/3$ મૂકીએ છીએ:
$\frac{P_0}{T_0} = \frac{P_0/3}{T}$.
$T$ માટે ઉકેલતા,આપણને $T = T_0/3$ મળે છે.

(C) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે આદર્શ વાયુના નિશ્ચિત દળ માટે,કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $V \propto T$.
આથી: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
આપેલ છે: $V_1 = V$,$V_2 = 2V$,અને $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V}{2V} = \frac{300}{T_2}$.
$T_2$ માટે ઉકેલતા: $T_2 = 300 \times 2 = 600 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2(^{\circ}C) = 600 - 273 = 327^{\circ}C$.

(A) એવોગેડ્રોના નિયમ મુજબ,સમાન તાપમાન અને દબાણે તમામ વાયુઓના સમાન કદમાં અણુઓની સંખ્યા સમાન હોય છે.
ક્લોરિન $(Cl_2)$ અને ઓક્સિજન $(O_2)$ બંને $NTP$ (સામાન્ય તાપમાન અને દબાણ) પર લેવામાં આવ્યા છે અને તેમના કદ સમાન છે,તેથી તેમાં અણુઓની સંખ્યા પણ સમાન હશે.
તેથી,અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(C) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને $P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2}$ થાય છે.
આપેલ છે:
$N.T.P.$ પર પ્રારંભિક દબાણ,$P_{1} = 76 \ cm$ $Hg$.
પ્રારંભિક કદ,$V_{1} = 5 \ L$.
અંતિમ કદ,$V_{2} = 5 \ L + 30 \ L = 35 \ L$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$76 \times 5 = P_{2} \times 35$
$P_{2} = \frac{76 \times 5}{35}$
$P_{2} = \frac{76}{7} \approx 10.857 \ cm$ $Hg$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,પરિણામી દબાણ $10.86 \ cm$ $Hg$ મળે છે. સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $10.85 \ cm$ $Hg$ છે.

(A) આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$PV = nRT$.
અચળ દબાણે ($P$ અચળ) અને વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે ($n$ અચળ),કદ $(V)$ અને તાપમાન $(T)$ વચ્ચેનો સંબંધ ચાર્લ્સના નિયમ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $V \propto T$.
જો કદ $V$ વધીને $4V$ થાય,તો સમાનતા જાળવી રાખવા માટે તાપમાન $T$ પણ વધીને $4T$ થવું જોઈએ.
તેથી,અચળ દબાણે તાપમાન $4$ ગણું વધવું જોઈએ.
આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(C) આ સંબંધ $P = K\rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $PV = nRT = \frac{m}{M_0} RT$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M_0$ એ મોલર દળ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ માટે ગોઠવતા,આપણને $P = \frac{\rho RT}{M_0}$ મળે છે.
આને $P = K\rho$ સાથે સરખાવતા,આપણે $K = \frac{RT}{M_0}$ મેળવીએ છીએ.
જેમ કે $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $M_0$ એ વાયુનું મોલર દળ છે,$K$ ત્યારે જ અચળ રહે છે જો તાપમાન $T$ અચળ રાખવામાં આવે.
તેથી,બોઈલનો નિયમ ત્યારે જ સાચો ઠરે છે જો તાપમાન અચળ હોય.

(C) વાયુઓનો ગતિવાદ જણાવે છે કે વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(KE)$ એ નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગતિવાદ મુજબ,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $PV = \frac{1}{3} m n v_{\text{rms}}^2 = \frac{2}{3} \times (\frac{1}{2} m n v_{\text{rms}}^2) = \frac{2}{3} E_k$,જ્યાં $E_k$ એ કુલ ગતિઊર્જા છે.
બોઈલનો નિયમ જણાવે છે કે અચળ તાપમાને સરેરાશ $KE$ અચળ રહે છે. તેથી,$v_{\text{rms}}$ બદલાતું નથી. જો કદ વધે,તો વાયુનું દબાણ એવી રીતે ઘટે છે કે જેથી $PV = \text{અચળ}$ રહે.
ચાર્લ્સનો નિયમ જણાવે છે કે જો આપણે અચળ દબાણ જાળવી રાખવા માટે કદમાં ફેરફાર થવા દઈએ,તો તાપમાન વધવાની સાથે કદ વધશે,એટલે કે $V = KT$.
આમ,વાયુઓનો ગતિવાદ બંને નિયમોને તારવે છે,તેથી વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(D) અચળ કદ માટે વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,દબાણ $P$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto T)$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 760 \, mm$,તાપમાન $T_1 = 0^{\circ}C = 273 \, K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 100^{\circ}C = 373 \, K$.
સંબંધ $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P_2 = P_1 \times \frac{T_2}{T_1}$
$P_2 = 760 \times \frac{373}{273}$
$P_2 \approx 1038 \, mm$.
આથી,$1038 \, mm$ વિકલ્પોમાં આપેલ ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,વાયુનું કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $V \propto T$.
આથી: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 327^\circ C = 327 + 273 = 600 \ K$.
પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{V}{V_2} = \frac{300}{600} = \frac{1}{2}$.
તેથી,અંતિમ કદ $V_2 = 2V$ થશે.

(A) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે વાયુનું કદ $V$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(V \propto T)$.
ધારો કે $T_1 = 20^\circ C = 293 \ K$ તાપમાને મોલની સંખ્યા $n_1$ છે અને $T_2 = 40^\circ C = 313 \ K$ તાપમાને મોલની સંખ્યા $n_2$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જ્યારે કદ અને દબાણ સમાન રહે ત્યારે $n \propto 1/T$ સંબંધ મળે છે.
$\frac{n_2}{n_1} = \frac{T_1}{T_2} = \frac{293}{313}$.
બહાર નીકળી ગયેલા વાયુનો અંશ $\frac{n_1 - n_2}{n_1} = 1 - \frac{n_2}{n_1} = 1 - \frac{293}{313}$ છે.
$\frac{\Delta n}{n_1} = \frac{313 - 293}{313} = \frac{20}{313} \approx 0.0639$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,આ અંશ આશરે $0.07$ થાય છે.

(D) આપેલ છે: તાપમાન $T$ અચળ છે. દબાણ $5\%$ વધે છે,તેથી $P_2 = 1.05 P_1$.
બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
કિંમતો મૂકતા: $P_1 V_1 = (1.05 P_1) V_2$.
$V_2$ માટે ઉકેલતા: $V_2 = \frac{V_1}{1.05} \approx 0.95238 V_1$.
કદમાં થતો ઘટાડો $\Delta V = V_1 - V_2 = V_1 - 0.95238 V_1 = 0.04762 V_1$.
કદમાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $\frac{\Delta V}{V_1} \times 100 = 0.04762 \times 100 = 4.76 \%$.

(A) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને નિશ્ચિત જથ્થાના આદર્શ વાયુ માટે દબાણ અને કદનો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$P_1 V_1 = P_2 V_2$
આપેલ છે:
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 70 \ cm$ $Hg$
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 1200 \ ml$
અંતિમ દબાણ $P_2 = 120 \ cm$ $Hg$
અંતિમ કદ $V_2 = ?$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$70 \times 1200 = 120 \times V_2$
$V_2 = \frac{70 \times 1200}{120}$
$V_2 = 70 \times 10 = 700 \ ml$
તેથી,વાયુનું નવું કદ $700 \ ml$ થશે.

(C) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n$ એ વાયુના મોલની સંખ્યા છે.
આપેલ સમીકરણ $PV = RT$ માં,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $n = 1$ છે.
તેથી,કદ $V$ એ $1$ ગ્રામ મોલ આદર્શ વાયુનું કદ દર્શાવે છે.
સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે: $O_2$ નું દળ $(m_1)$ = $1 \, g$,$O_2$ નું આણ્વીય દળ $(M_1)$ = $32 \, g/mol$,$O_2$ નું તાપમાન $(T_1)$ = $15 + 273 = 288 \, K$.
$N_2$ નું દળ $(m_2)$ = $1 \, g$,$N_2$ નું આણ્વીય દળ $(M_2)$ = $28 \, g/mol$,$N_2$ નું તાપમાન $(T_2)$ = $x \, K$.
વાયુઓ સમાન બોટલમાં હોવાથી,કદ $(V)$ અચળ છે. સમાન દબાણ $(P)$ માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી $n_1 T_1 = n_2 T_2$ મળે.
અહીં,$n = \frac{m}{M}$ હોવાથી,$\frac{m_1}{M_1} T_1 = \frac{m_2}{M_2} T_2$.
કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{1}{32}\right) \times 288 = \left(\frac{1}{28}\right) \times T_2$.
$T_2 = \frac{28}{32} \times 288 = 252 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^{\circ}C) = 252 - 273 = -21^{\circ}C$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = nRT$.
વાયુનો જથ્થો $(n)$ અને વાયુ અચળાંક $(R)$ અચળ હોવાથી, આપણી પાસે સંબંધ $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ છે.
આપેલ છે: $P_1 = 0.1 \, \text{atm}$, $V_1 = 10 \, \text{litres}$, $T_1 = 100 \, K$.
નવી સ્થિતિઓ: $P_2 = 2P_1$ અને $V_2 = 2V_1$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{(2P_1)(2V_1)}{T_2}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{T_1} = \frac{4}{T_2}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $T_2 = 4T_1$.
તેથી, $T_2 = 4 \times 100 \, K = 400 \, K$.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{PV}{T} = nR$ મળે છે.
અહીં,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,અને $n$ એ મોલની સંખ્યા છે.
જો વાયુનું દળ અચળ હોય,તો મોલની સંખ્યા $n$ અચળ રહે છે.
જેમ કે $n$ અને $R$ બંને અચળ છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર $(nR)$ પણ અચળ રહેશે.
તેથી,સમીકરણ $\frac{PV}{T} = \text{અચળ}$ એ આદર્શ વાયુના અચળ દળ માટે કોઈપણ પ્રકારની થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા દરમિયાન સાચું છે.
સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $NTP$ (સામાન્ય તાપમાન અને દબાણ) પર,પ્રમાણિત સ્થિતિઓ નીચે મુજબ છે:
દબાણ $P = 1.013 \times 10^5 \; Pa$
તાપમાન $T = 273.15 \; K$
કદ $V = 1 \; L = 10^{-3} \; m^3$
દળ $m = 1.293 \; g = 1.293 \times 10^{-3} \; kg$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = m R_{specific} T$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $R_{specific}$ એ વિશિષ્ટ વાયુ અચળાંક છે:
$R_{specific} = \frac{PV}{mT}$
$R_{specific} = \frac{(1.013 \times 10^5 \; Pa) \times (10^{-3} \; m^3)}{(1.293 \times 10^{-3} \; kg) \times (273.15 \; K)}$
$R_{specific} \approx \frac{101.3}{0.3531} \approx 287 \; J/(kg \cdot K)$
પ્રશ્નમાં $J/(K \cdot g)$ એકમ માંગેલ હોવાથી,આપણે $kg$ ને $g$ માં ફેરવીએ:
$R_{specific} = \frac{287 \; J}{1000 \; g \cdot K} = 0.287 \; J/(K \cdot g) \approx 0.29 \; J/(K \cdot g)$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
$V = \frac{m}{\rho}$ હોવાથી,આપણને $P = \frac{\rho RT}{M}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{P}{\rho T} = \frac{R}{M} = \text{અચળ}$.
તેથી,$\frac{P_1}{\rho_1 T_1} = \frac{P_2}{\rho_2 T_2}$.
આપેલ છે:
સ્થિતિ $1$ પર: $T_1 = 21^{\circ}C = 294.15 \,K$,$P_1 = 768 \,mm \,Hg$,$V_1 = 1 \,L$.
સ્થિતિ $2$ $(NTP)$ પર: $T_2 = 273.15 \,K$,$P_2 = 760 \,mm \,Hg$,$\rho_2 = 1.2 \,g/L$.
સંબંધ $\rho_1 = \rho_2 \times \frac{P_1}{P_2} \times \frac{T_2}{T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\rho_1 = 1.2 \times \frac{768}{760} \times \frac{273.15}{294.15} \approx 1.13 \,g/L$.
$V_1 = 1 \,L$ હોવાથી,દળ $m = \rho_1 \times V_1 = 1.13 \,g/L \times 1 \,L = 1.13 \,g$.

(A) $1$ ગ્રામ મોલ વાયુ માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ છે.
સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R$ નું મૂલ્ય આશરે $8.314 \; J/(mol \cdot K)$ છે.
આ મૂલ્યને કેલરીમાં ફેરવવા માટે,આપણે રૂપાંતરણ અવયવ $1 \; cal \approx 4.184 \; J$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ (ભૌતિકશાસ્ત્રના દાખલાઓમાં ઘણીવાર $4.2 \; J$ અથવા $4.18 \; J$ તરીકે લેવામાં આવે છે).
$R = \frac{8.314 \; J/K}{4.184 \; J/cal} \approx 1.987 \; cal/(mol \cdot K)$.
આ મૂલ્યને નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં ફેરવતા,આપણને $R \approx 2 \; cal/(mol \cdot K)$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(A) બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંકના સંદર્ભમાં આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = NkT$,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે.
$N = \frac{PV}{kT}$
આપેલ છે:
$P = 1.64 \times 10^{-3} \text{ atm} = 1.64 \times 10^{-3} \times 1.013 \times 10^5 \text{ Pa} \approx 1.66 \times 10^2 \text{ Pa}$
$V = 1 \text{ cc} = 1 \times 10^{-6} \text{ m}^3$
$T = 200 \text{ K}$
$k = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K}$
કિંમતો મૂકતા:
$N = \frac{(1.64 \times 10^{-3} \times 1.013 \times 10^5) \times (10^{-6})}{1.38 \times 10^{-23} \times 200}$
$N = \frac{166.132 \times 10^{-3} \times 10^{-6}}{276 \times 10^{-21}}$
$N = \frac{0.166132}{276 \times 10^{-21}} \approx 6.02 \times 10^{16}$

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = NkT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
પાત્ર $A$ માટે: $P_A = P$,$V_A = V$,$T_A = T$. તેથી,$N_A = \frac{PV}{kT}$.
પાત્ર $B$ માટે: $P_B = 2P$,$V_B = V/4$,$T_B = 2T$. તેથી,$N_B = \frac{(2P)(V/4)}{k(2T)} = \frac{PV/2}{2kT} = \frac{PV}{4kT}$.
અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_A}{N_B} = \frac{PV/kT}{PV/4kT} = \frac{4}{1}$ થાય છે.
તેથી,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$.
જ્યારે તાપમાન $T$ અચળ રાખવામાં આવે છે,ત્યારે $PV$ નો ગુણાકાર $nRT$ જેટલો થાય છે.
$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ અચળ હોવાથી,$nRT$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે,જેને $C$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,$C = nRT$.
અહીં,$n$ એ વાયુના મોલની સંખ્યા દર્શાવે છે,જે બંધ પાત્રમાં રહેલા વાયુનો જથ્થો છે.
આમ,$C$ નું મૂલ્ય બંધ પાત્રમાં રહેલા વાયુના જથ્થા પર આધાર રાખે છે.

(C) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને વાયુના નિશ્ચિત દળ માટે દબાણ અને કદનો ગુણાકાર અચળ રહે છે: $P_1V_1 = P_2V_2$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 1\, atm$
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 10\, cc$
અંતિમ દબાણ $P_2 = 4\, atm$
અંતિમ કદ $V_2 = ?$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$1\, atm \times 10\, cc = 4\, atm \times V_2$
$V_2 = \frac{10}{4}\, cc$
$V_2 = 2.5\, cc$.

(D) બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંકના સંદર્ભમાં આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = NkT$ છે,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અણુઓની કુલ સંખ્યા $N = \frac{\text{કુલ દળ}}{\text{એક અણુનું દળ}} = \frac{M}{m}$ થાય.
આ કિંમતને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા: $PV = \left( \frac{M}{m} \right) kT.$
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$P = \left( \frac{M}{V} \right) \frac{kT}{m} = \rho \frac{kT}{m}.$
તેથી,ઘનતા માટેનું સૂત્ર $\rho = \frac{Pm}{kT}$ છે.

(C) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = \mu RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે,$V$ એ કદ છે,$\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ વાયુના જથ્થા માટે $\mu$ અને $R$ અચળ હોવાથી,આપણને $PV \propto T$ મળે છે.
તેથી,દબાણ અને કદનો ગુણાકાર એ વાયુના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(C) સંયુક્ત વાયુના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
આપેલ કિંમતો: $P_1 = 1 \ atm$,$V_1 = 500 \ m^3$,અને $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ સ્થિતિની કિંમતો: $P_2 = 0.5 \ atm$,$T_2 = -3 + 273 = 270 \ K$,અને આપણે $V_2$ શોધવાનું છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{1 \times 500}{300} = \frac{0.5 \times V_2}{270}$.
$V_2$ માટે ઉકેલતા: $V_2 = \frac{500 \times 270}{300 \times 0.5} = \frac{500 \times 270}{150} = 500 \times 1.8 = 900 \ m^3$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ દબાણ છે,$V$ કદ છે,$\mu$ મોલની સંખ્યા છે,$R$ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ તાપમાન છે.
પાત્રો સમાન હોવાથી,કદ $V$ અચળ છે. $R$ પણ અચળ છે.
તેથી,$P \propto \mu T$.
પ્રથમ પાત્ર માટે ($O_2$ ધરાવતું): $P_1 = P$,$\mu_1 = 1$,$T_1 = T$.
બીજા પાત્ર માટે ($He$ ધરાવતું): $P_2 = ?$,$\mu_2 = 1$,$T_2 = 2T$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{\mu_2 T_2}{\mu_1 T_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_2}{P} = \frac{1 \times 2T}{1 \times T} = 2$.
આમ,$P_2 = 2P$.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = \mu RT$.
તાપમાન $T$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે $PV \propto \mu$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{P_1 V_1}{\mu_1} = \frac{P_2 V_2}{\mu_2}$.
આપેલ છે:
$P_1 = 50\, mm$,$V_1 = 100\, ml$,$\mu_1 = 1\, mole$.
$P_2 = 100\, mm$,$\mu_2 = 2\, moles$,$V_2 = ?$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{50 \times 100}{1} = \frac{100 \times V_2}{2}$.
$5000 = 50 \times V_2$.
$V_2 = \frac{5000}{50} = 100\, ml$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$
આપેલ છે:
$P_1 = 76 \ cm \ of \ Hg$,$V_1 = 1 \ L$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$
$P_2 = 2 P_1 = 152 \ cm \ of \ Hg$,$V_2 = 2 V_1 = 2 \ L$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{76 \times 1}{300} = \frac{152 \times 2}{T_2}$
$T_2$ માટે ઉકેલતા:
$T_2 = \frac{152 \times 2 \times 300}{76} = 2 \times 2 \times 300 = 1200 \ K$
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા:
$T_2(^\circ C) = 1200 - 273 = 927^\circ C$

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = nRT$,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$.
આપેલ છે: $m = 2.2 \, g$,$M = 44 \, g/mol$,$T = 0^\circ C = 273 \, K$,$P = 2 \, atm$.
વાયુ અચળાંક $R = 0.0821 \, L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$ લેતા:
$V = \frac{nRT}{P} = \left( \frac{2.2}{44} \right) \times \frac{0.0821 \times 273}{2}$.
$V = 0.05 \times \frac{22.4133}{2}$.
$V = 0.05 \times 11.2066 = 0.56033 \, L$.
આમ,કદ આશરે $0.56 \, L$ છે.

(D) આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \ K$.
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 30 \ atm$.
અંતિમ દબાણ $P_2 = 1 \ atm$.
પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$.
અંતિમ કદ $V_2 = 10V$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_2 = \frac{P_2 V_2}{P_1 V_1} \times T_1$
$T_2 = \frac{1 \ atm \times 10V}{30 \ atm \times V} \times 300 \ K$
$T_2 = \frac{1}{3} \times 300 \ K = 100 \ K$.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા: $T_2(^\circ C) = 100 - 273 = -173^\circ C$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક કદ $V_{i}$ અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_{i}$ છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક દબાણ $P_{i} = \frac{n R T_{i}}{V_{i}}$ છે.
આપેલ છે કે અંતિમ કદ $V_{f} = 2 V_{i}$ અને અંતિમ તાપમાન $T_{f} = \frac{T_{i}}{2}$ છે.
અંતિમ દબાણ $P_{f} = \frac{n R T_{f}}{V_{f}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $P_{f} = \frac{n R (T_{i} / 2)}{2 V_{i}} = \frac{1}{4} \left( \frac{n R T_{i}}{V_{i}} \right)$.
તેથી,$P_{f} = \frac{1}{4} P_{i} = 0.25 P_{i}$.
આમ,દબાણ પ્રારંભિક દબાણના $0.25$ ગણું થાય છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણના સંયુક્ત સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
આપેલ કિંમતો:
$P_1 = 4 \, atm$,$V_1 = 1500 \, m^3$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$.
$P_2 = 2 \, atm$,$T_2 = -3 + 273 = 270 \, K$.
$V_2$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$V_2 = \frac{P_1 V_1 T_2}{T_1 P_2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$V_2 = \frac{4 \times 1500 \times 270}{300 \times 2}$.
$V_2 = \frac{6000 \times 270}{600} = 10 \times 270 = 2700 \, m^3$.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણને $n$ માટે ગોઠવતા,આપણને $n = \frac{PV}{RT}$ મળે છે.
અહીં,$P$ એ દબાણ છે,$V$ એ કદ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
દરેક પદના $SI$ એકમો મૂકતા:
$n = \frac{(\text{Pa}) \cdot (\text{m}^3)}{(\text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}) \cdot (\text{K})}$
કારણ કે $1 \text{ Pa} = 1 \text{ N/m}^2$ અને $1 \text{ J} = 1 \text{ N} \cdot \text{m}$,એકમો નીચે મુજબ સાદું રૂપ પામે છે:
$n = \frac{(\text{N/m}^2) \cdot (\text{m}^3)}{\text{J/mol}} = \frac{\text{N} \cdot \text{m}}{\text{J/mol}} = \frac{\text{J}}{\text{J/mol}} = \text{mol}$.
તેથી,$n$ એ વાયુના મોલની સંખ્યા દર્શાવે છે.
સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_1 = P$,$V_1 = V$,$T_1 = 27^oC = 27 + 273 = 300 K$.
અંતિમ સ્થિતિ: $P_2 = 2P$,$V_2 = 3V$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P \times V}{300} = \frac{(2P) \times (3V)}{T_2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{300} = \frac{6}{T_2}$.
$T_2 = 6 \times 300 = 1800 K$.
તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^oC) = T(K) - 273 = 1800 - 273 = 1527^oC$.

(B) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે.
મોલની સંખ્યા $n$ ની ગણતરી $n = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}}$ સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે.
અહીં $O_2$ નું દળ $8 \, g$ છે અને $O_2$ નું મોલર દળ $32 \, g/mol$ છે.
તેથી,$n = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \, mol$.
આ કિંમતને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા:
$PV = \left( \frac{1}{4} \right) RT$
$PV = \frac{RT}{4}$