Mixture of Gases Questions in Gujarati

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓક્સિજન માટે: $p_1 = 1 \,atm$,$V_1 = 1 \,L$. મોલની સંખ્યા $n_{O_2} = \frac{p_1 V_1}{RT} = \frac{1 \times 1}{RT} = \frac{1}{RT}$ છે.
નાઈટ્રોજન માટે: $p_2 = 0.5 \,atm$,$V_2 = 2 \,L$. મોલની સંખ્યા $n_{N_2} = \frac{p_2 V_2}{RT} = \frac{0.5 \times 2}{RT} = \frac{1}{RT}$ છે.
જ્યારે આ વાયુઓને સમાન તાપમાન $T$ પર $V_{mix} = 1 \,L$ કદના પાત્રમાં દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ મોલની સંખ્યા $n_{mix} = n_{O_2} + n_{N_2} = \frac{1}{RT} + \frac{1}{RT} = \frac{2}{RT}$ થાય છે.
અંતિમ દબાણ $p_{mix}$ એ $p_{mix} = \frac{n_{mix} RT}{V_{mix}} = \frac{(2/RT) \times RT}{1} = 2 \,atm$ દ્વારા મળે છે.

(D) આદર્શ વાયુના મિશ્રણ માટે, અંતિમ તાપમાન $T$ એ આંતરિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ પરથી મળે છે. બંને વાયુઓ એકપરમાણ્વિય હોવાથી, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V$ બંને માટે સમાન રહેશે.
અંતિમ તાપમાન માટેનું સૂત્ર:
$T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$
આપેલ છે:
$n_1 = 4 \,mol$, $T_1 = 400 \,K$
$n_2 = 2 \,mol$, $T_2 = 700 \,K$
કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{4(400) + 2(700)}{4 + 2}$
$T = \frac{1600 + 1400}{6}$
$T = \frac{3000}{6}$
$T = 500 \,K$

(B) એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા (degree of freedom) $f_1 = 3$ છે. દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા $f_2 = 5$ છે.
મોલની સંખ્યા $n_1 = 3$ અને $n_2 = 1$ છે.
મિશ્રણ માટે મુક્તિની માત્રા નીચે મુજબ મળે છે:
$f_{\text{mix}} = \frac{n_1 f_1 + n_2 f_2}{n_1 + n_2} = \frac{3 \times 3 + 1 \times 5}{3 + 1} = \frac{9 + 5}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$.
મિશ્રણ માટે એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\gamma_{\text{mix}} = 1 + \frac{2}{f_{\text{mix}}} = 1 + \frac{2}{3.5} = 1 + \frac{2}{7/2} = 1 + \frac{4}{7} = \frac{11}{7}$.

(C) ધારો કે $CO_2$ ના મોલની સંખ્યા $n_1$ છે અને $O_2$ ના મોલની સંખ્યા $n_2$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,જ્યાં $n = n_1 + n_2$.
આપેલ છે: $P = 100 \text{ kPa} = 10^5 \text{ Pa}$,$V = 8310 \text{ cm}^3 = 8.31 \times 10^{-3} \text{ m}^3$,$T = 300 \text{ K}$,$R = 8.31 \text{ J/mol.K}$.
કુલ મોલની ગણતરી $n = n_1 + n_2 = \frac{PV}{RT} = \frac{10^5 \times 8.31 \times 10^{-3}}{8.31 \times 300} = \frac{100}{300} = \frac{1}{3} \approx 0.333 \text{ mol}$.
કુલ દળ $m = M_1 n_1 + M_2 n_2 = 44 n_1 + 32 n_2 = 13.2 \text{ g}$ છે.
આપણી પાસે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$1) n_1 + n_2 = 0.333$
$2) 44 n_1 + 32 n_2 = 13.2$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$n_2 = 0.333 - n_1$. તેને $(2)$ માં મૂકતા:
$44 n_1 + 32(0.333 - n_1) = 13.2$
$44 n_1 + 10.656 - 32 n_1 = 13.2$
$12 n_1 = 2.544$
$n_1 = 0.212 \approx 0.21 \text{ mol}$.
$n_2 = 0.333 - 0.212 = 0.121 \approx 0.12 \text{ mol}$.
આમ,$CO_2$ અને $O_2$ ના મોલની સંખ્યા અનુક્રમે $0.21$ અને $0.12$ છે. સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) મિશ્રણનું તાપમાન $T_{mix}$ શોધવાનું સૂત્ર $T_{mix} = \frac{n_1 C_{v1} T_1 + n_2 C_{v2} T_2}{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}$ છે.
બંને વાયુઓ એકપરમાણ્વીય હોવાથી,તેમની અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2}R$ થાય છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $T_{mix} = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$.
અહીં $n_1 = 2, T_1 = T$ અને $n_2 = 6, T_2 = 2T$ આપેલ છે.
$T_{mix} = \frac{2 \cdot T + 6 \cdot 2T}{2 + 6}$.
$T_{mix} = \frac{2T + 12T}{8} = \frac{14T}{8}$.
$T_{mix} = \frac{7}{4}T$.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,મોલની સંખ્યા $n_1 = \frac{P_1 V_1}{R T_1}$ અને $n_2 = \frac{P_2 V_2}{R T_2}$ છે.
મિશ્રણ માટે,કુલ મોલની સંખ્યા $n_{mix} = n_1 + n_2 = \frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2} = \frac{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}{R T_1 T_2}$ થાય.
મિશ્રણ માટે આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$P V = n_{mix} R T_{mix}$,તેથી $T_{mix} = \frac{P V}{n_{mix} R}$.
$n_{mix}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T_{mix} = \frac{P V R T_1 T_2}{R (P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1)} = \frac{P V T_1 T_2}{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}$ મળે છે.