Gas Laws (Charles, Boyle's, Avagadro's, Gay Lussacs and Dalton's law) and Ideal gas Equation Questions in Gujarati

(A) આપેલ દબાણ-કદનો સંબંધ: $P = \frac{a}{1 + (V/b)^2}$.
જ્યારે $V = b$ હોય,ત્યારે દબાણ $P$ થશે: $P = \frac{a}{1 + (b/b)^2} = \frac{a}{1 + 1} = \frac{a}{2}$.
$n = 1$ મોલ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = nRT$.
$P = \frac{a}{2}$,$V = b$,અને $n = 1$ કિંમતો મૂકતા:
$(\frac{a}{2}) \times b = 1 \times R \times T$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T = \frac{ab}{2R}$.

(A) પ્રારંભિક સ્થિતિ: $PV = n_1RT$. આપેલ છે $P_1 = 2\, atm = 2 \times 10^5\, Pa$,$V = 8 \times 10^{-3}\, m^3$,$T = 300\, K$,$R = 8.31\, J/(mol\cdot K)$.
$n_1 = \frac{2 \times 10^5 \times 8 \times 10^{-3}}{8.31 \times 300} = 0.64\, mol$.
તાપમાન $T$ અને કદ $V$ અચળ હોવાથી,$P \propto n$,તેથી $\frac{P_2}{P_1} = \frac{n_2}{n_1}$.
$P_2 = 125\, kPa = 1.25 \times 10^5\, Pa$.
$n_2 = n_1 \times \frac{P_2}{P_1} = 0.64 \times \frac{1.25 \times 10^5}{2 \times 10^5} = 0.40\, mol$.
બહાર નીકળેલા મોલ $= n_1 - n_2 = 0.64 - 0.40 = 0.24\, mol$.

(C) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n = \frac{N}{N_A}$ છે. તેથી,$PV = \frac{N}{N_A}RT$,જેનો અર્થ થાય છે $N = \frac{PVN_A}{RT}$.
જમણા ભાગ માટે $(N_R)$: $P_R = 2P$,$V_R = 2V$,$T_R = T$.
$N_R = \frac{(2P)(2V)N_A}{RT} = \frac{4PVN_A}{RT}$.
ડાબા ભાગ માટે $(N_L)$: $P_L = P$,$V_L = V$,$T_L = T$.
$N_L = \frac{(P)(V)N_A}{RT} = \frac{PVN_A}{RT}$.
જમણા ભાગ અને ડાબા ભાગમાં રહેલા અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{N_R}{N_L} = \frac{4PVN_A / RT}{PVN_A / RT} = \frac{4}{1}$.
તેથી,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $\mu = \frac{m}{M_w}$ અને $\rho = \frac{m}{V}$, તેથી $m = \rho V$ મળે છે। $\mu = \frac{\rho V}{M_w}$ ને આદર્શ વાયુ સમીકરણમાં મૂકતા:
$PV = \left( \frac{\rho V}{M_w} \right) RT \Rightarrow T = \frac{P M_w}{\rho R}$
આપેલ છે:
$P = 1.4 \times 10^9 \, \text{atm} = 1.4 \times 10^9 \times 1.013 \times 10^5 \, N \, m^{-2} \approx 1.418 \times 10^{14} \, Pa$
$\rho = 1.4 \, g \, cm^{-3} = 1400 \, kg \, m^{-3}$
$M_w = 2 \, g \, mol^{-1} = 2 \times 10^{-3} \, kg \, mol^{-1}$
$R = 8.4 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{(1.4 \times 10^9 \times 1.013 \times 10^5) \times (2 \times 10^{-3})}{1400 \times 8.4}$
$T = \frac{2.836 \times 10^{11}}{11760} \approx 2.41 \times 10^7 \, K$
આમ, સૂર્યનું તાપમાન આશરે $2.4 \times 10^7 \, K$ થશે.

(C) પાત્રો એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોવાથી,બંને પાત્રોમાં દબાણ $P$ સમાન હશે,એટલે કે $P_X = P_Y$.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $P = \frac{mRT}{MV}$ મળે છે.
બંને પાત્રો માટે,$P = \frac{mRT}{MV}$ અચળ હોવાથી,$\frac{m_X T_X}{V_X} = \frac{m_Y T_Y}{V_Y}$ થાય.
અહીં $V_X = 2V_Y$,$T_X = 200 \, K$,$T_Y = 400 \, K$ અને $m_X = m$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{m \times 200}{2V_Y} = \frac{m_Y \times 400}{V_Y}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{100m}{V_Y} = \frac{400m_Y}{V_Y}$.
$100m = 400m_Y \Rightarrow m_Y = \frac{100m}{400} = \frac{m}{4}$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \frac{m}{M_0}RT$ પરથી,જ્યાં $m$ દળ છે,$M_0$ મોલર દળ છે,$R$ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ તાપમાન છે.
અહીં $m$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$P \propto \frac{1}{M_0 V}$ મળે.
તેથી,દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P_A}{P_B} = \frac{M_{0,B}}{M_{0,A}} \times \frac{V_B}{V_A}$ થાય.
આપેલ છે: $M_{0,A} (N_2) = 28 \, g/mol$,$M_{0,B} (O_2) = 32 \, g/mol$,અને $V_B = 2V_A$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_A}{P_B} = \frac{32}{28} \times \frac{2V_A}{V_A} = \frac{32}{28} \times 2 = \frac{64}{28} = \frac{16}{7}$.

(A) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે.
અહીં $n = N/N_A$ (જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે),તેથી સમીકરણ $PV = (N/N_A)RT$ બને છે.
પાત્ર $A$ માટે: $P_A V_A = (N_A / N_{Avogadro}) R T_A \Rightarrow PV = (N_A / N_{Avogadro}) R T$.
પાત્ર $B$ માટે: $P_B V_B = (N_B / N_{Avogadro}) R T_B \Rightarrow (2P)(V/4) = (N_B / N_{Avogadro}) R (2T) \Rightarrow PV/2 = (N_B / N_{Avogadro}) R (2T)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{PV}{PV/2} = \frac{N_A}{N_B} \times \frac{T}{2T} \Rightarrow 2 = \frac{N_A}{N_B} \times \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{N_A}{N_B} = 4$,એટલે કે $4:1$.

(B) સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{PV}{nT}$ છે.
$STP$ (પ્રમાણિત તાપમાન અને દબાણ) પર,આદર્શ વાયુના $n = 1 \ mol$ માટે:
$P = 1.013 \times 10^5 \ Pa$ (અથવા $1 \ atm$),
$V = 22.4 \times 10^{-3} \ m^3$,
$T = 273.15 \ K$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{(1.013 \times 10^5 \ Pa) \times (22.4 \times 10^{-3} \ m^3)}{1 \ mol \times 273.15 \ K} \approx 8.314 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
આમ,તેનું મૂલ્ય આશરે $8.31 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$ છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે સંબંધ $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ છે.
આપેલ છે: $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$,$P_2 = 2P_1$,અને $V_2 = 3V_1$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{(2P_1)(3V_1)}{T_2}$
$\frac{1}{T_1} = \frac{6}{T_2}$
$T_2 = 6T_1 = 6 \times 300 = 1800 \ K$.
તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^{\circ}C) = 1800 - 273 = 1527^{\circ}C$.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT = \frac{m}{M}RT$.
અહીં દબાણ $P$,કદ $V$ અને મોલર દળ $M$ અચળ હોવાથી,$m_1 T_1 = m_2 T_2$ મળે.
આપેલ છે: $m_1 = 13 \, g$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$,$T_2 = 52 + 273 = 325 \, K$.
કિંમતો મૂકતા: $13 \times 300 = m_2 \times 325$.
$m_2 = \frac{13 \times 300}{325} = \frac{3900}{325} = 12 \, g$.
મુક્ત કરેલ વાયુનો જથ્થો $\Delta m = m_1 - m_2 = 13 \, g - 12 \, g = 1 \, g$ થાય.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \frac{m}{M}RT$ પરથી,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે.
અચળ દબાણ $P$ માટે,કદ $V$ એ $V = (\frac{mR}{MP})T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V-T$ આલેખનો ઢાળ $S = \frac{mR}{MP}$ છે.
પ્રારંભિક કિસ્સા માટે,ઢાળ $S_1 = \frac{mR}{MP}$ છે,જે આલેખ $D$ ને અનુરૂપ છે.
બીજા કિસ્સા માટે,દળ $2m$ છે અને દબાણ $P/2$ છે.
નવો ઢાળ $S_2 = \frac{(2m)R}{M(P/2)} = 4 \times \frac{mR}{MP} = 4S_1$ થશે.
આલેખ $D$ નો ઢાળ $1$ ના પ્રમાણમાં હોવાથી,નવા આલેખનો ઢાળ $4$ ના પ્રમાણમાં હશે.
આપેલ આલેખમાં,ઢાળ $E$ થી $A$ તરફ વધે છે. આલેખ $D$ નો ઢાળ $1$ ના પ્રમાણમાં છે અને આલેખ $A$ નો ઢાળ $4$ ના પ્રમાણમાં છે (કારણ કે $4 \times 1 = 4$).
તેથી,સાચો આલેખ $A$ છે.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ પરથી,આપણને મળે છે $P = \frac{\rho RT}{M}$,જ્યાં $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે.
આમ,$\frac{P}{\rho T} = \frac{R}{M} = \text{અચળ}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{P_1}{P_2} \times \frac{T_2}{T_1}$.
ટોચ પર આપેલ છે: $P_{\text{top}} = 70 \text{ cm of Hg}$,$T_{\text{top}} = 7^{\circ}\text{C} = 280 \text{ K}$.
તળિયે આપેલ છે: $P_{\text{bottom}} = 76 \text{ cm of Hg}$,$T_{\text{bottom}} = 27^{\circ}\text{C} = 300 \text{ K}$.
તેથી,ટોચ પરની ઘનતા અને તળિયેની ઘનતાનો ગુણોત્તર:
$\frac{\rho_{\text{top}}}{\rho_{\text{bottom}}} = \frac{P_{\text{top}}}{P_{\text{bottom}}} \times \frac{T_{\text{bottom}}}{T_{\text{top}}} = \frac{70}{76} \times \frac{300}{280} = \frac{70}{76} \times \frac{30}{28} = \frac{70}{76} \times \frac{15}{14} = \frac{5 \times 15}{76} = \frac{75}{76}$.

(B) અચળ તાપમાને આદર્શ વાયુ માટે,દબાણ $P$ એ પાત્રમાં રહેલા વાયુના દળ $m$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto m)$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 10^7 \ N/m^2$
પ્રારંભિક દળ $m_1 = 10 \ kg$
અંતિમ દબાણ $P_2 = 2.5 \times 10^6 \ N/m^2$
સંબંધ $\frac{P_1}{P_2} = \frac{m_1}{m_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{10^7}{2.5 \times 10^6} = \frac{10}{m_2}$
$m_2$ માટે ઉકેલતા:
$m_2 = \frac{2.5 \times 10^6 \times 10}{10^7} = 2.5 \ kg$
બહાર કાઢેલ વાયુનું દળ $\Delta m = m_1 - m_2 = 10 \ kg - 2.5 \ kg = 7.5 \ kg$ થાય.

(C) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,વાયુનું કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $V \propto T$.
આને $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ છે: $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$ અને $T_2 = 327^{\circ}C = 327 + 273 = 600 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V}{300} = \frac{V_2}{600}$.
$V_2$ માટે ઉકેલતા: $V_2 = V \times \frac{600}{300} = 2V$.
તેથી,વાયુનું નવું કદ $2V$ થશે.

(A) ધારો કે શરૂઆતનું દબાણ $P_1 = P$ અને શરૂઆતનું તાપમાન $T_1 = T$ (કેલ્વિનમાં) છે.
આપેલ છે કે દબાણમાં $0.4\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવું દબાણ $P_2 = P + 0.004P = 1.004P$ થશે.
આપેલ છે કે તાપમાનમાં $1\,^{\circ}\text{C}$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવું તાપમાન $T_2 = T + 1$ થશે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,$\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P}{T} = \frac{1.004P}{T + 1}$.
$T + 1 = 1.004T$.
$1 = 0.004T$.
$T = \frac{1}{0.004} = \frac{1000}{4} = 250\, \text{K}$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT$ પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$P = \left( \frac{\mu R}{V} \right) T$
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = P$ અને $x = T$,ઢાળ $m$ નીચે મુજબ મળે છે:
$m = \tan \theta = \frac{\mu R}{V}$
મોલની સંખ્યા $\mu$ અને વાયુ અચળાંક $R$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$V \propto \frac{1}{\tan \theta}$
જેમ ખૂણો $\theta$ વધે છે,તેમ $\tan \theta$ વધે છે અને તેથી કદ $V$ ઘટે છે.
આલેખ પરથી,રેખા $1$ નો ઢાળ રેખા $2$ ના ઢાળ જેટલો છે (કારણ કે તે સમાંતર છે),તેથી $V_1 = V_2$.
તે જ રીતે,રેખા $3$ નો ઢાળ રેખા $4$ ના ઢાળ જેટલો છે,તેથી $V_3 = V_4$.
રેખા $3$ (અને $4$) નો ઢાળ રેખા $1$ (અને $2$) ના ઢાળ કરતા વધારે હોવાથી,$\tan \theta_3 > \tan \theta_1$ મળે છે.
તેથી,$V_3 < V_1$ અથવા $V_2 > V_3$.
આમ,સાચો સંબંધ $V_1 = V_2, V_3 = V_4$ અને $V_2 > V_3$ છે.

(A) $S.T.P.$ (પ્રમાણિત તાપમાન અને દબાણ) પર,આદર્શ વાયુનું મોલર કદ $22.4 \, litres$ હોય છે.
એવોગેડ્રોના ઉત્કલ્પના મુજબ,કોઈપણ વાયુના $1 \, mole$ માં $6.023 \times 10^{23}$ અણુઓ હોય છે.
તેથી,$22.4 \, litres$ વાયુમાં $6.023 \times 10^{23}$ અણુઓ સમાયેલા છે.
$1 \, litre$ માં અણુઓની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ અણુઓની સંખ્યાને મોલર કદ વડે ભાગીશું:
અણુઓની સંખ્યા $= \frac{6.023 \times 10^{23}}{22.4} \approx 2.68 \times 10^{22}$ અણુઓ.

(A) $N.T.P.$ પર,આદર્શ વાયુનું મોલર કદ $22.4 \, L$ હોય છે.
કારણ કે $1 \, L = 1000 \, cm^{3}$,તેથી $1 \, mole$ વાયુનું કદ $22.4 \times 10^{3} \, cm^{3} = 22400 \, cm^{3}$ થાય.
એવોગેડ્રોના ઉત્કલ્પના મુજબ,કોઈપણ વાયુના $1 \, mole$ માં $6.023 \times 10^{23}$ અણુઓ હોય છે.
તેથી,$22400 \, cm^{3}$ માં અણુઓની સંખ્યા $6.023 \times 10^{23}$ છે.
આમ,$1 \, cm^{3}$ માં અણુઓની સંખ્યા $\frac{6.023 \times 10^{23}}{22400}$ થાય.

(B) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ પરથી,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}$.
ઘનતા અને દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{\rho}{P} = \frac{M}{RT}$ થાય.
અહીં $M$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$\frac{\rho}{P} \propto \frac{1}{T}$ મળે.
ધારો કે $T_1 = 10^{\circ} C = 283 \ K$ તાપમાને ગુણોત્તર $x_1 = x$ છે.
ધારો કે $T_2 = 110^{\circ} C = 383 \ K$ તાપમાને ગુણોત્તર $x_2$ છે.
$x \cdot T = \text{અચળ}$ હોવાથી,$x_1 T_1 = x_2 T_2$ થાય.
$x \cdot 283 = x_2 \cdot 383$.
તેથી,$x_2 = \left( \frac{283}{383} \right)x$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,
$PV = nRT$
$V$ ને $T$ ના સંદર્ભમાં ગોઠવતા:
$V = \left( \frac{nR}{P} \right) T$
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા દર્શાવે છે,જ્યાં ઢાળ $m$ નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{V}{T} = \frac{nR}{P}$
અહીં $n$ અને $R$ અચળ હોવાથી,ઢાળ એ દબાણ $P$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(m \propto \frac{1}{P})$.
આપેલ આકૃતિ પરથી,ખૂણો $\theta_2 > \theta_1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $P_2$ માટેની રેખાનો ઢાળ $P_1$ માટેની રેખાના ઢાળ કરતા વધારે છે:
$(\text{Slope})_2 > (\text{Slope})_1$
ઢાળ એ દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,વધારે ઢાળ એ ઓછા દબાણને અનુરૂપ છે:
$P_2 < P_1$

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,આદર્શ વાયુનું આણ્વીય દળ $M$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$M = \frac{\rho R T}{P}$
જ્યાં $P$ દબાણ છે,$T$ તાપમાન છે,$\rho$ ઘનતા છે અને $R$ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે.
વાયુઓ $A$ અને $B$ માટે:
$M_A = \frac{\rho_A R T_A}{P_A}$ અને $M_B = \frac{\rho_B R T_B}{P_B}$
તેમના આણ્વીય દળનો ગુણોત્તર:
$\frac{M_A}{M_B} = \left( \frac{\rho_A}{\rho_B} \right) \left( \frac{T_A}{T_B} \right) \left( \frac{P_B}{P_A} \right)$
આપેલ છે:
$\frac{\rho_A}{\rho_B} = 1.5 = \frac{3}{2}$
$T_A = T_B \implies \frac{T_A}{T_B} = 1$
$P_A = 2 P_B \implies \frac{P_B}{P_A} = \frac{1}{2}$
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{M_A}{M_B} = \left( \frac{3}{2} \right) \times (1) \times \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{4} = 0.75$

(D) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n = \frac{\text{વાયુનું દળ}}{M}$,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે.
વળી,મોલર દળ $M = m N_A$,જ્યાં $m$ એ એક અણુનું દળ છે અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
આ કિંમતોને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા: $PV = \left(\frac{\text{દળ}}{m N_A}\right) RT$.
ઘનતા $\rho = \frac{\text{દળ}}{V}$ માટે ગોઠવતા,આપણને મળે છે $\rho = \frac{P m N_A}{RT}$.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k = \frac{R}{N_A}$ હોવાથી,$R = N_A k$ થાય.
ઘનતાના સમીકરણમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા: $\rho = \frac{P m N_A}{(N_A k) T} = \frac{Pm}{kT}$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ પરથી,$PV = nRT$.
સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક માટે સૂત્ર બનાવતા,$R = \frac{PV}{nT}$.
દબાણ $P$ નો એકમ $Pascal$ $(Pa)$ અથવા $Joule/m^3$ છે અને કદ $V$ નો એકમ $m^3$ છે. તેથી,$PV$ નો ગુણાકાર ઉર્જાનો એકમ આપે છે,જે $Joule$ $(J)$ છે.
પદાર્થનો જથ્થો $n$ નો એકમ $mole$ $(mol)$ છે અને તાપમાન $T$ નો એકમ $Kelvin$ $(K)$ છે.
આ એકમોને મૂકતા,આપણને $R$ નો એકમ $R = \frac{J}{mol \cdot K} = J\,K^{-1}mol^{-1}$ મળે છે.

(C) આદર્શ વાયુ માટે, અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
આઈસોથર્મ એ એવી પ્રક્રિયા છે જેમાં તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
$n$ અને $R$ અચળ હોવાથી, આઈસોથર્મ માટે $PV = \text{અચળ}$ થાય.
આપેલ પ્રારંભિક શરતો: $P_i = 3$ અને $V_i = 4$.
તેથી, ગુણાકાર $P_i V_i = 3 \times 4 = 12$.
દરેક પ્રક્રિયા માટે $PV$ નો ગુણાકાર તપાસીએ:
પ્રક્રિયા $A$: $P \times V = 5 \times 7 = 35 \neq 12$.
પ્રક્રિયા $B$: $P \times V = 4 \times 6 = 24 \neq 12$.
પ્રક્રિયા $C$: $P \times V = 12 \times 1 = 12$.
પ્રક્રિયા $D$: $P \times V = 6 \times 3 = 18 \neq 12$.
આમ, માત્ર પ્રક્રિયા $C$ એ $P_f V_f = P_i V_i$ ની શરત સંતોષે છે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P = 1 \text{ atm}$ અને પ્રારંભિક તાપમાન $T = 300 \text{ K}$ છે.
સિસ્ટમમાં વાયુના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે.
પ્રારંભિક મોલ: $\mu = \frac{PV}{RT} + \frac{PV}{RT} = \frac{2PV}{RT}$.
ધારો કે અંતિમ સામાન્ય દબાણ $P'$ છે.
અંતિમ મોલ: $\mu' = \frac{P'V}{RT_1} + \frac{P'V}{RT_2}$,જ્યાં $T_1 = 600 \text{ K}$ અને $T_2 = 300 \text{ K}$ છે.
$\mu = \mu'$ હોવાથી: $\frac{2PV}{RT} = \frac{P'V}{RT_1} + \frac{P'V}{RT_2}$.
બંને બાજુથી $V/R$ દૂર કરતા: $\frac{2P}{T} = P' \left( \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} \right) = P' \left( \frac{T_1 + T_2}{T_1 T_2} \right)$.
$P'$ માટે ઉકેલતા: $P' = \frac{2P T_1 T_2}{T(T_1 + T_2)}$.
કિંમતો મૂકતા: $P' = \frac{2 \times 1 \times 600 \times 300}{300 \times (600 + 300)} = \frac{2 \times 600}{900} = \frac{1200}{900} = \frac{4}{3} \approx 1.33 \text{ atm}$.

(C) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = \mu RT$ છે,જ્યાં $\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે.
આપેલ છે:
દબાણ $P = 21 \times 10^4 \ N/m^2$
કદ $V = 83 \ L = 83 \times 10^{-3} \ m^3$
તાપમાન $T = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \ K$
વાયુ અચળાંક $R = 8.3 \ J/mol/K$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{PV}{RT} = \frac{21 \times 10^4 \times 83 \times 10^{-3}}{8.3 \times 300}$
$\mu = \frac{21 \times 10^4 \times 83 \times 10^{-3}}{8.3 \times 300} = \frac{21 \times 830}{2490} = \frac{17430}{2490} = 7 \ gm-mole$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 720 \, kPa$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 40^\circ C = 273 + 40 = 313 \, K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 353^\circ C = 273 + 353 = 626 \, K$.
વાયુનો $\frac{1}{4}$ ભાગ બહાર કાઢવામાં આવતા,બાકી રહેલ દળ $m_2 = \frac{3}{4} m_1$ થાય.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = \frac{m}{M} RT$ મુજબ,$P \propto mT$ (જ્યાં $V$ અને $M$ અચળ છે).
તેથી,$\frac{P_2}{P_1} = \frac{m_2}{m_1} \times \frac{T_2}{T_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_2}{720} = \frac{3}{4} \times \frac{626}{313} = \frac{3}{4} \times 2 = 1.5$.
$P_2 = 1.5 \times 720 = 1080 \, kPa$.

(B) પ્રેશર કુકરનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે ગે-લ્યુસેકના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
આપેલ છે: $P_1 = 1$ atm,$T_1 = 30^\circ C = 30 + 273 = 303$ $K$,અને $P_2 = 3$ atm.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{303} = \frac{3}{T_2}$.
$T_2$ માટે ઉકેલતા: $T_2 = 3 \times 303 = 909$ $K$.
તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે: $T_2(^\circ C) = 909 - 273 = 636^\circ C$.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT = (m/M)RT$.
અહીં તાપમાન $T$,કદ $V$ અને મોલર દળ $M$ અચળ હોવાથી,$P \propto m$ થાય.
તેથી,$\frac{P_1}{P_2} = \frac{m_1}{m_2}$.
આપેલ છે કે $P_1 = 10^7\, N/m^2$,$m_1 = 10\, kg$,અને $P_2 = 2.5 \times 10^6\, N/m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10^7}{2.5 \times 10^6} = \frac{10}{m_2}$.
$4 = \frac{10}{m_2} \implies m_2 = \frac{10}{4} = 2.5\, kg$.
સિલિન્ડરમાંથી બહાર કાઢવામાં આવેલા વાયુનું દળ $\Delta m = m_1 - m_2 = 10 - 2.5 = 7.5\, kg$ થાય.

(D) ખુલ્લા મુખવાળા પાત્ર માટે,દબાણ $P$ અચળ રહે છે કારણ કે તે વાતાવરણીય દબાણ જેટલું હોય છે.
પાત્રનું કદ $V$ પણ અચળ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT = \left( \frac{m}{M} \right) RT$ પરથી,જ્યાં $m$ એ વાયુનું દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે,અચળ $P$ અને $V$ માટે $m \propto \frac{1}{T}$ મળે છે.
તેથી,$m_1 T_1 = m_2 T_2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = \frac{m_1}{m_2}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 60 + 273 = 333 \ K$.
$1/4$ ભાગની હવા બહાર નીકળી જતી હોવાથી,બાકી રહેતું દળ $m_2 = m_1 - \frac{1}{4}m_1 = \frac{3}{4}m_1$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{333} = \frac{m_1}{(3/4)m_1} = \frac{4}{3}$.
$T_2 = 333 \times \frac{4}{3} = 444 \ K$.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા: $T = 444 - 273 = 171^oC$.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ પરથી,અણુઓની સંખ્યા $N$ એ $N = \frac{PV}{kT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભાગ $I$ માટે,પરિમાણો $P, V, T$ છે. તેથી,અણુઓની સંખ્યા $N_I = \frac{PV}{kT}$ છે.
ભાગ $II$ માટે,પરિમાણો $2P, 2V, T$ છે. તેથી,અણુઓની સંખ્યા $N_{II} = \frac{(2P)(2V)}{kT} = 4 \frac{PV}{kT} = 4N_I$ છે.
ભાગ $I$ અને $II$ માં રહેલા અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_I}{N_{II}} = \frac{N_I}{4N_I} = \frac{1}{4}$ છે.

(A) આપેલ છે:
કદ $V = 7 \text{ L} = 7 \times 10^{-3} \text{ m}^{3}$
તાપમાન $T = 0^{\circ}C = 273 \text{ K}$
દબાણ $P = 1.3 \times 10^{5} \text{ Pa}$
સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R = 8.314 \text{ J/(mol K)}$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,મોલની સંખ્યા $n$ શોધીએ:
$n = \frac{PV}{RT} = \frac{1.3 \times 10^{5} \times 7 \times 10^{-3}}{8.314 \times 273} \approx 0.4 \text{ moles}$
અણુઓની સંખ્યા $N = n \times N_{A}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \text{ molecules/mol}$.
$N = 0.4 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 2.4 \times 10^{23} \text{ molecules}$.

(C) પિસ્ટનો તાર વડે જોડાયેલા હોવાથી,વાયુનું કદ $V$ અચળ રહે છે.
અચળ કદ માટે આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
અહીં $P_1 = P_0$,$T_1 = T_0$,અને $T_2 = 2T_0$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{P_0}{T_0} = \frac{P'}{2T_0} \Rightarrow P' = 2P_0$.
હવે ટ્યુબની અંદરનું દબાણ $2P_0$ છે,જ્યારે બહારનું વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ છે.
દરેક પિસ્ટન પર બહારની તરફ લાગતું ચોખ્ખું બળ $F_{net} = (P' - P_0)A = (2P_0 - P_0)A = P_0 A$ થાય.
તાર બંને પિસ્ટનને જોડે છે,તેથી તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ આ ચોખ્ખા બહારના બળને સંતુલિત કરશે.
તેથી,તારમાં તણાવબળ $T = P_0 A$ થશે.

(D) આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ:
$P V = n R T$
દરેક પાત્ર માટે કદ $V$ અચળ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$P = \left( \frac{n R}{V} \right) T$
આ સમીકરણ $y = m x$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = P$,$x = T$,અને ઢાળ $m = \frac{n R}{V}$ છે.
દળ આપેલું હોવાથી,$n$ અચળ છે. જોકે,નાના અને મોટા પાત્રના કદ $V$ અલગ-અલગ છે.
તેથી,બંને પાત્રો માટે ઢાળ $m = \frac{n R}{V}$ અલગ-અલગ હશે.
આમ,$P-T$ વક્રો રેખીય છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,પરંતુ તેમના ઢાળ અલગ-અલગ છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ આર્ગોનનું મોલર દળ છે.
પ્રથમ સ્થિતિ માટે: $PV = \frac{4}{M}RT$ ... $(i)$
બીજી સ્થિતિ માટે,તાપમાન $(T + 50) \ K$ છે,દળ $(4.0 - 0.8) = 3.2 \ g$ છે,અને દબાણ $p$ અચળ રહે છે: $PV = \frac{3.2}{M}R(T + 50)$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા કારણ કે $PV$ અચળ છે:
$\frac{4}{M}RT = \frac{3.2}{M}R(T + 50)$
$4T = 3.2(T + 50)$
$4T = 3.2T + 160$
$0.8T = 160$
$T = \frac{160}{0.8} = 200 \ K$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,કદ $V$ અને તાપમાન $T$ અચળ હોવાથી,દબાણ $P$ એ મોલની સંખ્યા $n$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto n)$.
ધારો કે બે વાયુઓના આણ્વીય દળ $M_A$ અને $M_B$ છે.
પ્રથમ વાયુ $A$ માટે,મોલની સંખ્યા $n_A = \frac{2}{M_A}$ છે. આપેલ છે કે $P_A = 1 \, atm$,તેથી $\frac{2}{M_A} \propto 1 \dots (i)$.
જ્યારે બીજો વાયુ $B$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ દબાણ $1.5 \, atm$ થાય છે. વાયુ $B$ નું આંશિક દબાણ $P_B = P_{total} - P_A = 1.5 - 1 = 0.5 \, atm$ છે.
બીજા વાયુ $B$ માટે,મોલની સંખ્યા $n_B = \frac{3}{M_B}$ છે. તેથી,$\frac{3}{M_B} \propto 0.5 \dots (ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{3/M_B}{2/M_A} = \frac{0.5}{1}$
$\frac{3}{M_B} \times \frac{M_A}{2} = 0.5$
$\frac{M_A}{M_B} = 0.5 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
આમ,આણ્વીય દળનો ગુણોત્તર $M_A : M_B = 1 : 3$ છે.

(C) શરૂઆતમાં,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L_i = 0.05 \, m = 5 \, cm$ છે. હવાનું દબાણ $P_i = P_{atm} = 76 \, cm$ $Hg$ છે.
જ્યારે નળીને $0.43 \, m = 43 \, cm$ ઉપર ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે ધારો કે હવાના સ્તંભની નવી લંબાઈ $x \, cm$ છે. નળીની અંદર પારાનું સ્તર પ્રારંભિક સ્થિતિની સાપેક્ષમાં $(48 - x) \, cm$ જેટલું વધે છે,જ્યાં $48 \, cm$ એ પારાની સપાટીની સાપેક્ષમાં નળીનું કુલ સ્થાનાંતર છે.
નળીની અંદર હવાનું અંતિમ દબાણ $P_f = P_{atm} - (48 - x) = 76 - 48 + x = (28 + x) \, cm$ $Hg$ છે.
તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે બોઈલનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ: $P_i V_i = P_f V_f$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ ધારીએ તો:
$76 \times 5 \times A = (28 + x) \times x \times A$
$380 = 28x + x^2$
$x^2 + 28x - 380 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$x = \frac{-28 \pm \sqrt{28^2 - 4(1)(-380)}}{2} = \frac{-28 \pm \sqrt{784 + 1520}}{2} = \frac{-28 \pm \sqrt{2304}}{2} = \frac{-28 \pm 48}{2}$
ધન ઉકેલ લેતા: $x = \frac{20}{2} = 10 \, cm = 0.1 \, m$.

(B) હવાનું પ્રારંભિક દળ $M_1 = M$ અને તાપમાન $T_1 = 60 + 273 = 333 \ K$ છે.
પાત્ર ખુલ્લું હોવાથી,દબાણ અચળ (વાતાવરણીય દબાણ) રહે છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,$PV = nRT = \frac{M}{m}RT$,જ્યાં $m$ એ હવાનું મોલર દળ છે.
અહીં $P$,$V$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$M_1 T_1 = M_2 T_2$ થાય.
ગરમ કર્યા પછી,હવાનો ચોથો ભાગ બહાર નીકળી જાય છે,તેથી બાકી રહેલું દળ $M_2 = M - \frac{M}{4} = \frac{3M}{4}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $M \times 333 = \frac{3M}{4} \times T_2$.
$T_2 = 333 \times \frac{4}{3} = 444 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T = 444 - 273 = 171^{\circ}C$.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ વાયુના લીકેજ પહેલા અને પછી બંને સ્થિતિમાં સમાન રહે છે.
ફ્લાસ્કનું કદ $V$ અચળ હોવાથી,$\frac{P_i}{n_i T_i} = \frac{P_f}{n_f T_f}$ થાય.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_i = 10\, atm$,$T_i = 57 + 273 = 330\, K$,$m_i = 28\, g$,$n_i = \frac{28}{28} = 1\, mol$.
અંતિમ સ્થિતિ: $P_f = \frac{10}{2} = 5\, atm$,$T_f = 27 + 273 = 300\, K$.
સંબંધ $n_f = \frac{P_f}{P_i} \cdot \frac{T_i}{T_f} \cdot n_i$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n_f = \frac{5}{10} \cdot \frac{330}{300} \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{10} = \frac{11}{20}\, mol$.
અંતિમ દળ $m_f = n_f \times M = \frac{11}{20} \times 28 = 15.4\, g$.
બહાર નીકળી ગયેલા $N_2$ વાયુનું દળ $\Delta m = m_i - m_f = 28 - 15.4 = 12.6\, g$.
$12.6\, g$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $12.6 = \frac{126}{10} = \frac{63}{5}\, g$.

(A) પ્રારંભિક સ્થિતિ: $T_1 = 27 + 273 = 300\,K$,$V_1 = V_2 = 100\,cm^3$,$P_1 = P_2 = P$.
અંતિમ સ્થિતિ: એક ભાગ $T_1' = 300\,K$ પર અને બીજો $T_2' = 100 + 273 = 373\,K$ પર છે.
ધારો કે પિસ્ટન $x$ અંતર ખસે છે. નવા કદ $V_1' = 100 - 10.85x$ અને $V_2' = 100 + 10.85x$ થશે.
પિસ્ટન સંતુલનમાં હોવાથી,અંતિમ દબાણ સમાન હશે: $P_1' = P_2' = P'$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,અને મોલની સંખ્યા $n$ અચળ રહે છે:
$P_1 V_1 / T_1 = P_1' V_1' / T_1' \implies P(100) / 300 = P'(100 - 10.85x) / 300 \implies P' = P \cdot 100 / (100 - 10.85x)$.
$P_2 V_2 / T_2 = P_2' V_2' / T_2' \implies P(100) / 300 = P'(100 + 10.85x) / 373$.
બંનેમાંથી $P'$ ને સરખાવતા: $P \cdot 100 / (100 - 10.85x) = P \cdot 100 \cdot 373 / (300(100 + 10.85x))$.
$300(100 + 10.85x) = 373(100 - 10.85x)$.
$30000 + 3255x = 37300 - 4047.05x$.
$7302.05x = 7300 \implies x \approx 1\,cm$.

(B) આપેલ છે: દળ $w = 12\,g$,પ્રારંભિક કદ $V_1 = 4\times 10^{-3}\,m^3$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 7 + 273 = 280\,K$.
ઘનતા $\rho = \frac{w}{V}$. દબાણ $P$ અચળ હોવાથી,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = \frac{w}{M}RT$ પરથી,આપણને મળે $P = \frac{\rho RT}{M}$.
$P$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$\rho_1 T_1 = \rho_2 T_2$ થાય.
પ્રારંભિક ઘનતા $\rho_1 = \frac{w}{V_1} = \frac{12}{4 \times 10^{-3}} = 3000\,g/m^3 = 3 \times 10^{-3}\,g/cc$.
અંતિમ ઘનતા $\rho_2 = 6 \times 10^{-4}\,g/cc = 0.6 \times 10^{-3}\,g/cc$.
$\rho_1 T_1 = \rho_2 T_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_2 = \frac{\rho_1 T_1}{\rho_2} = \frac{3 \times 10^{-3} \times 280}{0.6 \times 10^{-3}} = \frac{3 \times 280}{0.6} = 5 \times 280 = 1400\,K$.

(C) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ ($M$ એ મોલર દળ છે).
અચળ દબાણ $P$ પર,સમીકરણ $V = \left(\frac{mR}{MP}\right)T$ બને છે.
$V-T$ આલેખનો ઢાળ $S = \frac{mR}{MP}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,ઢાળ $S_1 = \frac{mR}{MP}$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,દળ $2m$ છે અને દબાણ $2P$ છે. નવો ઢાળ $S_2$ નીચે મુજબ છે:
$S_2 = \frac{(2m)R}{M(2P)} = \frac{mR}{MP} = S_1$.
ઢાળ સમાન રહેતો હોવાથી,વાયુનું વિસ્તરણ તે જ સીધી રેખા $B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ ($M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે).
પાત્રો એક પાતળી નળી દ્વારા જોડાયેલા હોવાથી,સંતુલન સ્થિતિમાં બંને પાત્રોમાં દબાણ $P$ સમાન હશે.
પાત્ર $X$ માટે: $V_X = 2V$,$T_X = 200\,K$,અને દળ $m_X = m$.
તેથી,$P(2V) = \left(\frac{m}{M}\right) R(200) \implies P = \frac{mR(200)}{2VM} = \frac{100mR}{VM}$.
પાત્ર $Y$ માટે: $V_Y = V$,$T_Y = 400\,K$,અને દળ $m_Y = m_Y$.
તેથી,$P(V) = \left(\frac{m_Y}{M}\right) R(400) \implies P = \frac{400m_Y R}{VM}$.
$P$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{100mR}{VM} = \frac{400m_Y R}{VM}$.
$m_Y$ માટે ઉકેલતા: $100m = 400m_Y \implies m_Y = \frac{100m}{400} = \frac{m}{4}$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
અચળ તાપમાન $T$ પર,મોલની સંખ્યા $n$ માટે ગુણાકાર $PV = nRT$ અચળ રહે છે.
આલેખ પરથી,નિશ્ચિત કદ $V$ માટે,દબાણ $P_B > P_A$ છે.
કારણ કે $P_B V = n_B RT$ અને $P_A V = n_A RT$,આપણી પાસે $P_B V > P_A V$ છે,જેનો અર્થ છે કે $n_B RT > n_A RT$.
તેથી,$n_B > n_A$.
આમ,$n_B > n_A$ હોવાથી,વિધાન $n_A > n_B$ (વિકલ્પ $C$) ખોટું છે.
દળ $M_A$ અને $M_B$ ના સંદર્ભમાં,સંબંધ વાયુના મોલર દળ પર આધાર રાખે છે,જે આપેલ નથી. તેથી,વાયુના પ્રકારના આધારે $M_A > M_B$ અથવા $M_A < M_B$ બંને સાચા હોઈ શકે છે. પરંતુ,આલેખના આધારે $n_A > n_B$ ચોક્કસપણે ખોટું છે.

(A) એવોગેડ્રોના નિયમ મુજબ,સમાન તાપમાન અને દબાણે તમામ વાયુઓના સમાન કદમાં અણુઓની સંખ્યા સમાન હોય છે. $N.T.P$ પર બંને વાયુઓનું કદ $(1 \, cm^3)$ સમાન હોવાથી,બંનેમાં અણુઓની સંખ્યા સમાન છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તેના તાપમાન પર આધાર રાખે છે $(U = \frac{f}{2} nRT)$. બંને વાયુઓ સમાન તાપમાને છે અને સમાન કદ ધરાવતા હોવાથી તેમના મોલની સંખ્યા પણ સમાન છે,તેથી તેમની આંતરિક ઉર્જા સમાન છે.
વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વેગ (વર્ગ સરેરાશ વર્ગ વેગ) $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. હાઇડ્રોજન $(H_2)$ અને ઓક્સિજન $(O_2)$ ના મોલર દળ $(M)$ અલગ-અલગ હોવાથી,તેમના સરેરાશ વેગ અલગ-અલગ હશે. તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે.
વિધાન $B$ ખોટું હોવાથી,વિધાન $D$ પણ ખોટું છે. આમ,$A$ અને $C$ બંને સાચા છે,પરંતુ સામાન્ય રીતે $N.T.P$ શરતો પરથી તારવેલ સૌથી પાયાનો ગુણધર્મ અણુઓની સંખ્યા છે.

(C) પાત્રનું તાપમાન $T$ અને કદ $V$ અચળ હોવાથી,આપણે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આના પરથી,$n = \frac{PV}{RT}$. અહીં $V, R,$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$n \propto P$ થાય.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_1 = 5 \text{ atm}$,$n_1 = n$.
અંતિમ સ્થિતિ: $P_2 = 4 \text{ atm}$,$n_2 = n'$.
તેથી,$\frac{n'}{n} = \frac{P_2}{P_1} = \frac{4}{5} = 0.8$.
આનો અર્થ એ છે કે $n' = 0.8n$.
બહાર નીકળી ગયેલા વાયુનો જથ્થો $\Delta n = n - n' = n - 0.8n = 0.2n$ છે.
બહાર નીકળી ગયેલા વાયુની ટકાવારી = $\frac{0.2n}{n} \times 100\% = 20\%$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 17 + 273 = 290 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_f = 27 + 273 = 300 \ K$.
વાતાવરણીય દબાણ $P = 1 \times 10^5 \ Pa$.
રૂમનું કદ $V = 30 \ m^3$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = N k_B T$ મુજબ અણુઓની સંખ્યા $N = \frac{PV}{k_B T}$ થાય,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k_B = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K)$ છે.
પ્રારંભિક અણુઓની સંખ્યા $N_i = \frac{PV}{k_B T_i}$.
અંતિમ અણુઓની સંખ્યા $N_f = \frac{PV}{k_B T_f}$.
અણુઓની સંખ્યામાં ફેરફાર $N_f - N_i = \frac{PV}{k_B} \left( \frac{1}{T_f} - \frac{1}{T_i} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $N_f - N_i = \frac{1 \times 10^5 \times 30}{1.38 \times 10^{-23}} \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{290} \right)$.
$N_f - N_i = \frac{30 \times 10^5}{1.38 \times 10^{-23}} \left( \frac{290 - 300}{300 \times 290} \right)$.
$N_f - N_i = \frac{30 \times 10^5}{1.38 \times 10^{-23}} \left( \frac{-10}{87000} \right) \approx -2.5 \times 10^{25}$.

(D) પ્રારંભિક સ્થિતિ: હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L_1 = 8 \ cm$ છે અને દબાણ વાતાવરણીય દબાણ જેટલું છે,$P_1 = 76 \ cm$ of $Hg$.
અંતિમ સ્થિતિ: નળીને $46 \ cm$ ઊંચી કરવામાં આવે છે. ધારો કે હવાના સ્તંભની નવી લંબાઈ $L_2$ છે. ધારો કે નળીની અંદર પારાના સ્તંભની ઊંચાઈ બહારના પારાના સ્તરથી $x$ છે. બહારના પારાના સ્તરથી નળીની કુલ લંબાઈ $8 + 46 = 54 \ cm$ છે. તેથી,$L_2 = 54 - x$.
અંતિમ સ્થિતિમાં ફસાયેલી હવાનું દબાણ $P_2 = P_0 - x = 76 - x$ છે.
બોઈલના નિયમ $(P_1 V_1 = P_2 V_2)$ નો ઉપયોગ કરતા અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ ધારતા:
$76 \times A \times 8 = (76 - x) \times A \times (54 - x)$
$608 = 4104 - 76x - 54x + x^2$
$x^2 - 130x + 3496 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$x = \frac{130 \pm \sqrt{16900 - 13984}}{2} = \frac{130 \pm \sqrt{2916}}{2} = \frac{130 \pm 54}{2}$
$x_1 = 92$ (અશક્ય કારણ કે $x < 54$) અથવા $x_2 = 38 \ cm$.
તેથી,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L_2 = 54 - 38 = 16 \ cm$ થશે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P_0$ છે અને દરેક બલ્બનું કદ $V$ છે. બંને બલ્બનું પ્રારંભિક તાપમાન $T_0 = 273 \ K$ છે.
વાયુના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે:
$n_{total} = n_1 + n_2 = \frac{P_0 V}{R T_0} + \frac{P_0 V}{R T_0} = \frac{2 P_0 V}{R T_0}$
જ્યારે એક બલ્બ બરફમાં $(T_1 = 273 \ K)$ અને બીજો ગરમ પાણીમાં $(T_2 = T)$ હોય,ત્યારે નવું દબાણ $P = 1.5 P_0$ થાય છે.
મોલની નવી સંખ્યા:
$n'_{total} = \frac{P V}{R T_1} + \frac{P V}{R T_2} = \frac{1.5 P_0 V}{R (273)} + \frac{1.5 P_0 V}{R T}$
$n_{total} = n'_{total}$ હોવાથી:
$\frac{2 P_0 V}{R (273)} = \frac{1.5 P_0 V}{R (273)} + \frac{1.5 P_0 V}{R T}$
બંને બાજુ $\frac{P_0 V}{R}$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{273} = \frac{1.5}{273} + \frac{1.5}{T}$
$\frac{0.5}{273} = \frac{1.5}{T}$
$T = \frac{1.5 \times 273}{0.5} = 3 \times 273 = 819 \ K$
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા:
$T(^{\circ}C) = 819 - 273 = 546^{\circ}C$.