Gas Laws (Charles, Boyle's, Avagadro's, Gay Lussacs and Dalton's law) and Ideal gas Equation Questions in Gujarati

(A) અચળ તાપમાને આદર્શ વાયુ માટે, અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = \text{અચળ}$ છે.
$P$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $P \frac{dV}{dP} + V = 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $P \frac{dV}{dP} = -V$, અથવા $\frac{dV}{dP} = -\frac{V}{P}$.
આ કિંમતને $\beta$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\beta = - \left( \frac{dV}{dP} \right) / V = - \left( -\frac{V}{P} \right) / V = \frac{1}{P}$.
આમ, $\beta \propto \frac{1}{P}$.
આ એક લંબચોરસ અતિવલય દર્શાવે છે, જ્યાં $P$ વધતા $\beta$ ઘટે છે. તેથી, સાચો આલેખ તે છે જે લંબચોરસ અતિવલય દર્શાવે છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા અને $t$ જાડાઈ ધરાવતા ગોળાકાર વેસલ માટે,ધાતુનું કદ $V_m = 4\pi r^2 t$ છે.
પાતળી દીવાલવાળા ગોળાકાર વેસલ માટે હૂપ સ્ટ્રેસ $\sigma = \frac{Pr}{2t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ આંતરિક દબાણ છે.
આદર્શ ગેસના નિયમ મુજબ,$PV = nRT$,જ્યાં $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
$P = \frac{2t\sigma}{r}$ ને આદર્શ ગેસના નિયમમાં મૂકતા: $n = \frac{PV}{RT} = \frac{(2t\sigma/r)(4/3 \pi r^3)}{RT} = \frac{8\pi r^2 t \sigma}{3RT}$.
કારણ કે $V_m = 4\pi r^2 t$,તેથી $r^2 t = \frac{V_m}{4\pi}$ મળે છે.
આ કિંમતને $n$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $n = \frac{8\pi (V_m / 4\pi) \sigma}{3RT} = \frac{2 V_m \sigma}{3RT}$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $PV = \frac{m}{M}RT$,જ્યાં $P$ એ દબાણ,$V$ એ કદ,$m$ એ દળ,$M$ એ મોલર દળ,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક અને $T$ એ તાપમાન છે.
બંને વાયુઓ માટે $P$,$V$,$m$ અને $R$ સમાન હોવાથી,આપણને મળે છે $T = \frac{PVM}{mR}$.
આ સૂચવે છે કે $T \propto M$.
હિલિયમનું મોલર દળ $(M_{He} = 4 \ g/mol)$ એ નાઈટ્રોજનના મોલર દળ $(M_{N_2} = 28 \ g/mol)$ કરતા ઓછું છે.
તેથી,$T_{helium} < T_{nitrogen}$.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$.
આપણે જાણીએ છીએ કે મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M}$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $PV = \frac{m}{M} RT$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$P = \left(\frac{m}{V}\right) \frac{RT}{M}$ મળે છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,સમીકરણ $P = \rho \frac{RT}{M}$ બને છે.
અચળ તાપમાને $(T)$,વાયુ અચળાંક $(R)$ અને મોલર દળ $(M)$ પણ અચળ રહે છે.
તેથી,$P \propto \rho$,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
આમ,સાચો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જે આલેખ $B$ ને અનુરૂપ છે.

(A) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = NkT$ છે,જ્યાં $P$ એ દબાણ,$V$ એ કદ,$N$ એ અણુઓની કુલ સંખ્યા,$k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપણે એકમ કદ દીઠ અણુઓની સંખ્યા શોધવાની છે,જેને $n = \frac{N}{V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ પરથી,આપણે લખી શકીએ $n = \frac{N}{V} = \frac{P}{kT}$.
આપેલ દબાણ $P = (6.02 \times 10^{23})kT$ છે.
$P$ ની આ કિંમતને $n$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$n = \frac{(6.02 \times 10^{23})kT}{kT} = 6.02 \times 10^{23}$.
આમ,એકમ કદ દીઠ અણુઓની સંખ્યા $6.02 \times 10^{23}$ છે.

(D) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n = \frac{m}{M_w}$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M_w$ એ મોલર દળ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $PV = \frac{m}{M_w} RT$ મળે છે.
દબાણ $P$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા,$P = \left(\frac{m}{V}\right) \frac{RT}{M_w}$ મળે છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,સમીકરણ $P = \frac{\rho RT}{M_w}$ બને છે.
અચળ તાપમાન $T$ અને ચોક્કસ વાયુ (અચળ $M_w$) માટે,દબાણ $P$ એ ઘનતા $\rho$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $P \propto \rho$.

(B) ફ્લાસ્કમાં રહેલા વાયુ માટે, જ્યારે હવા બહાર નીકળે છે ત્યારે દબાણ $P$ અને કદ $V$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ, $PV = \mu RT$, જ્યાં $\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે (જે દળના સમપ્રમાણમાં હોય છે) અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$P$ અને $V$ અચળ હોવાથી, $\mu T = \text{અચળ}$ મળે.
ધારો કે શરૂઆતનું દળ $m$ (મોલ $\mu_1 = \mu$) છે અને તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$ છે.
ગરમ કર્યા પછી, અડધું દળ બહાર નીકળી જાય છે, તેથી બાકી રહેલું દળ $m/2$ (મોલ $\mu_2 = \mu/2$) તાપમાન $T_2$ પર હશે.
સંબંધ $\mu_1 T_1 = \mu_2 T_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu \times 300 = (\mu/2) \times T_2$
$300 = T_2 / 2$
$T_2 = 600 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 600 - 273 = 327 \, ^{\circ}C$.

(B) આદર્શ વાયુ પ્રક્રિયા માટે આપેલ નિયમ: $VP^2 = K$ (જ્યાં $K$ અચળાંક છે).
આદર્શ વાયુ સમીકરણ પરથી, આપણી પાસે $PV = nRT$ છે, જેનો અર્થ થાય છે $P = \frac{nRT}{V}$.
આ કિંમતને આપેલ નિયમમાં મૂકતા:
$V \left( \frac{nRT}{V} \right)^2 = K$
$V \left( \frac{n^2 R^2 T^2}{V^2} \right) = K$
$\frac{n^2 R^2 T^2}{V} = K$
કારણ કે $n$ અને $R$ અચળાંક છે, આપણે લખી શકીએ કે $T^2 \propto V$, અથવા $T \propto \sqrt{V}$.
તેથી, $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
અહીં $V_1 = V$, $T_1 = T$, અને $V_2 = 2V$ આપેલ છે, તેથી:
$\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{2V}{V}} = \sqrt{2}$.
આમ, $T' = \sqrt{2} T$.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
કદ $V$ ને તાપમાન $T$ ના વિધેય તરીકે દર્શાવતા,આપણને $V = (nR/P)T$ મળે છે.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે જેનો ઢાળ $m = nR/P$ છે.
વાયુનું દળ સમાન હોવાથી,$n$ અચળ છે. તેથી,ઢાળ $m$ એ દબાણ $P$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $m \propto 1/P$.
આપેલ આલેખ પરથી,$P_2$ ને અનુરૂપ રેખાનો ઢાળ $P_1$ ને અનુરૂપ રેખાના ઢાળ કરતા વધારે છે (એટલે કે $m_2 > m_1$).
કારણ કે $m \propto 1/P$,તેથી મોટો ઢાળ ઓછું દબાણ સૂચવે છે.
તેથી,$P_2 < P_1$,અથવા $P_1 > P_2$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT = \frac{M}{M_{mol}} RT$ છે,જ્યાં $M$ એ વાયુનું દળ છે.
દબાણ $P$ અચળ હોવાથી,$V \propto MT$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{V_1}{V_2} = \frac{M_1 T_1}{M_2 T_2}$.
ધારો કે પ્રારંભિક કદ $V_1 = 100V$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 100T$ અને પ્રારંભિક દળ $M_1 = 100M$ છે.
ફેરફારો પછી,કદ $10\%$ ઘટે છે,તેથી $V_2 = 90V$.
તાપમાન $20\%$ વધે છે,તેથી $T_2 = 120T$.
આ કિંમતોને પ્રમાણસરતાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{100V}{90V} = \frac{100M \times 100T}{M_2 \times 120T}$
$\frac{10}{9} = \frac{10000M}{120M_2}$
$1200M_2 = 90000M$
$M_2 = \frac{90000}{1200}M = 75M$.
બહાર નીકળી ગયેલા વાયુની ટકાવારી $\frac{M_1 - M_2}{M_1} \times 100\% = \frac{100M - 75M}{100M} \times 100\% = 25\%$ છે.

(A) આપેલ $P-T$ આલેખ પરથી,પ્રક્રિયા $1 \rightarrow 2$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
આદર્શ વાયુ માટે,$PV = nRT$,જેનો અર્થ છે કે $V = \frac{nRT}{P}$.
આલેખ મુજબ,પ્રક્રિયા $1 \rightarrow 2$ માટે $P/T$ નો ગુણોત્તર અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે કદ $V$ અચળ રહે છે.
પરંતુ,પ્રશ્નમાં $\frac{V_2}{V_1} = 2$ આપેલ છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ,જો આપણે આપેલ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીએ,તો $T_2 = T_1 \times \frac{V_2}{V_1} = (27 + 273) \times 2 = 300 \times 2 = 600 \, K$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n = \frac{m}{M_w}$ ($m$ એ દળ છે,$M_w$ એ મોલર દળ છે).
$V = \frac{m}{\rho}$ મૂકતા,આપણને $P \left( \frac{m}{\rho} \right) = \frac{m}{M_w} RT$ મળે છે.
ઘનતા અને દબાણના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા,$\frac{\rho}{P} = \frac{M_w}{RT}$ મળે છે.
ધારો કે $y = \frac{\rho}{P} = \frac{M_w}{RT}$.
$T_1 = 273\, \text{K}$ $(0\,^{\circ}\text{C})$ તાપમાને,$y_1 = x = \frac{M_w}{R(273)}$.
$T_2 = 373\, \text{K}$ $(100\,^{\circ}\text{C})$ તાપમાને,$y_2 = \frac{M_w}{R(373)}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{y_2}{x} = \frac{273}{373}$.
તેથી,$y_2 = \frac{273}{373}x$.

(C) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ પરથી,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$M$ એ મોલર દળ છે,અને $\rho = \frac{m}{V}$ એ ઘનતા છે.
તેથી,$P = \frac{\rho RT}{M}$,જેનો અર્થ છે કે $\rho = \frac{PM}{RT}$.
બિંદુ $A$ પર: $P_A = 3P_0$,$T_A = 2T_0$,અને $\rho_A = \rho_0 = \frac{(3P_0)M}{R(2T_0)} = \frac{3P_0 M}{2RT_0}$.
બિંદુ $B$ પર: $P_B = 5P_0$,$T_B = 4T_0$,અને $\rho_B = \frac{(5P_0)M}{R(4T_0)} = \frac{5P_0 M}{4RT_0}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\rho_B}{\rho_0} = \frac{5P_0 M / 4RT_0}{3P_0 M / 2RT_0} = \frac{5}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
તેથી,$\rho_B = \frac{5}{6}\rho_0$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
જ્યાં $n = m/M$ અને ઘનતા $\rho = m/V$ હોવાથી,આપણે $V = m/\rho$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા: $P(m/\rho) = (m/M)RT$.
આ સાદું રૂપ આપતા $P = (\rho RT)/M$ મળે છે.
અચળ તાપમાન $T$ પર,વાયુ અચળાંક $R$ અને મોલર દળ $M$ પણ અચળ રહે છે.
તેથી,$P = k\rho$,જ્યાં $k = (RT)/M$ એક અચળાંક છે.
આ સમીકરણ દબાણ $P$ અને ઘનતા $\rho$ વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
આમ,સાચો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.

(C) આપેલ છે:
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 8.0 \times 10^{-3} \, m^2$
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 300 \, K$
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 2.4 \times 10^{-3} \, m^3$
પિસ્ટનનું સ્થાનાંતર $\Delta x = 0.1 \, m$
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 8000 \, N/m$
વાતાવરણીય દબાણ $P_0 = 1.0 \times 10^5 \, N/m^2$
$1$. અંતિમ કદ $V_2$ ની ગણતરી:
$V_2 = V_1 + A \Delta x = 2.4 \times 10^{-3} + (8.0 \times 10^{-3} \times 0.1) = 2.4 \times 10^{-3} + 0.8 \times 10^{-3} = 3.2 \times 10^{-3} \, m^3$
$2$. અંતિમ દબાણ $P_2$ ની ગણતરી:
અંતિમ દબાણ એ વાતાવરણીય દબાણ અને સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા લાગતા દબાણનો સરવાળો છે:
$P_2 = P_0 + \frac{k \Delta x}{A} = 1.0 \times 10^5 + \frac{8000 \times 0.1}{8.0 \times 10^{-3}} = 1.0 \times 10^5 + \frac{800}{8.0 \times 10^{-3}} = 1.0 \times 10^5 + 1.0 \times 10^5 = 2.0 \times 10^5 \, N/m^2$
$3$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P_0 = 1.0 \times 10^5 \, N/m^2$ (કારણ કે સ્પ્રિંગ શરૂઆતમાં મુક્ત સ્થિતિમાં છે).
$\frac{1.0 \times 10^5 \times 2.4 \times 10^{-3}}{300} = \frac{2.0 \times 10^5 \times 3.2 \times 10^{-3}}{T_2}$
$T_2 = \frac{2.0 \times 10^5 \times 3.2 \times 10^{-3} \times 300}{1.0 \times 10^5 \times 2.4 \times 10^{-3}} = \frac{2.0 \times 3.2 \times 300}{2.4} = \frac{6.4 \times 300}{2.4} = \frac{1920}{2.4} = 800 \, K$

(B) ધારો કે બંને છેડે હવાની સ્તંભની પ્રારંભિક લંબાઈ $l_0 = (100 - 20) / 2 = 40 \ cm$ છે. જ્યારે નળીને ઊભી રાખવામાં આવે ત્યારે પારો $y$ જેટલો સ્થાનાંતરિત થાય છે.
હવાના દબાણમાં ફેરફાર બોઈલના નિયમ $(PV = \text{અચળ})$ મુજબ થાય છે:
નીચેના ભાગ માટે: $P_0 (40 A) = P_1 (40 - y) A \Rightarrow P_1 = \frac{40 P_0}{40 - y}$
ઉપરના ભાગ માટે: $P_0 (40 A) = P_2 (40 + y) A \Rightarrow P_2 = \frac{40 P_0}{40 + y}$
ઊભી સ્થિતિમાં, નીચેના ભાગનું દબાણ એ ઉપરના ભાગનું દબાણ + $20 \ cm$ પારાના સ્તંભનું દબાણ છે:
$P_1 = P_2 + h \rho g$
$P_0 = 76 \ cm$ ઓફ $Hg$ લેતા:
$\frac{40 \times 76 \rho g}{40 - y} = \frac{40 \times 76 \rho g}{40 + y} + 20 \rho g$
$\rho g$ વડે ભાગતા:
$\frac{3040}{40 - y} - \frac{3040}{40 + y} = 20$
$3040 \left( \frac{2y}{1600 - y^2} \right) = 20$
$304 y = 1600 - y^2$
$y^2 + 304 y - 1600 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $y \approx 5.18 \ cm$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,પ્રારંભિક કદ $V_{1} = V$ અને અંતિમ કદ $V_{2} = 2V$ છે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_{1} = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$ છે.
ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે વાયુનું કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V}{300} = \frac{2V}{T_{2}}$.
$T_{2}$ માટે ઉકેલતા: $T_{2} = 2 \times 300 = 600 \text{ K}$.
અંતિમ તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_{2} = 600 - 273 = 327^{\circ}C$.

(D) ધારો કે નળાકારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. પિસ્ટન પર લાગતા બળો ઉપરના વાયુનું દબાણ ($P_1 A$ નીચેની તરફ),નીચેના વાયુનું દબાણ ($P_2 A$ ઉપરની તરફ) અને પિસ્ટનનું વજન ($mg$ નીચેની તરફ) છે.
પિસ્ટન સંતુલનમાં હોવાથી,કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$P_2 A = P_1 A + mg$
$mg = (P_2 - P_1) A$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $V = Al$,આપણને $P = \frac{nRT}{Al}$ મળે છે.
તેથી,$P_1 = \frac{nRT}{Al_1}$ અને $P_2 = \frac{nRT}{Al_2}$.
આ કિંમતોને સંતુલન સમીકરણમાં મૂકતા:
$mg = \left( \frac{nRT}{Al_2} - \frac{nRT}{Al_1} \right) A$
$mg = nRT \left( \frac{1}{l_2} - \frac{1}{l_1} \right)$
$m = \frac{nRT}{g} \left( \frac{l_1 - l_2}{l_1 l_2} \right)$

(C) આપેલ છે $n = 1$ મોલ.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT = RT$,તેથી $P = \frac{RT}{V}$.
આ કિંમતને આપેલ સંબંધ $P = P_0 \left[ 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{V_0}{V} \right)^2 \right]$ માં મૂકતા:
$\frac{RT}{V} = P_0 \left[ 1 - \frac{V_0^2}{2V^2} \right]$
$T = \frac{P_0}{R} \left[ V - \frac{V_0^2}{2V} \right]$
હવે,$V = V_0$ અને $V = 2V_0$ માટે તાપમાનની ગણતરી કરતા:
$T_1 = T(V_0) = \frac{P_0}{R} \left[ V_0 - \frac{V_0^2}{2V_0} \right] = \frac{P_0}{R} \left[ V_0 - \frac{V_0}{2} \right] = \frac{P_0 V_0}{2R}$
$T_2 = T(2V_0) = \frac{P_0}{R} \left[ 2V_0 - \frac{V_0^2}{2(2V_0)} \right] = \frac{P_0}{R} \left[ 2V_0 - \frac{V_0}{4} \right] = \frac{P_0}{R} \left[ \frac{7V_0}{4} \right] = \frac{7 P_0 V_0}{4R}$
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = \frac{7 P_0 V_0}{4R} - \frac{P_0 V_0}{2R} = \frac{7 P_0 V_0 - 2 P_0 V_0}{4R} = \frac{5 P_0 V_0}{4R}$.

(B) આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT = \frac{m}{M}RT$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}$.
અહીં $M$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$\rho \propto \frac{P}{T}$ થાય.
બિંદુ $A$ પર,યામ $(T_0, P_0)$ છે,તેથી $\left(\frac{P}{T}\right)_A = \frac{P_0}{T_0}$.
બિંદુ $B$ પર,યામ $(2T_0, 3P_0)$ છે,તેથી $\left(\frac{P}{T}\right)_B = \frac{3P_0}{2T_0} = \frac{3}{2} \left(\frac{P_0}{T_0}\right)$.
કેમ કે $\rho \propto \frac{P}{T}$,તેથી $\frac{\rho_B}{\rho_A} = \frac{(P/T)_B}{(P/T)_A} = \frac{3}{2}$ મળે.
આથી,$\rho_B = \frac{3}{2} \rho_A = \frac{3}{2} \rho_0$ થાય.

(C) બંધ પાત્રમાં વાયુ માટે,કદ $V$ અચળ રહે છે.
ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ માટે $P \propto T$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{P}{T} = \text{અચળ}$.
આનું વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dP}{P} = \frac{dT}{T}$ મળે છે.
આપેલ છે કે દબાણમાં $0.5\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{dP}{P} = 0.005$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $dT = 1\, K$ આપેલ છે (કારણ કે $1\,^{\circ}C$ નો ફેરફાર એ $1\, K$ ના ફેરફાર જેટલો જ છે).
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $0.005 = \frac{1}{T}$.
$T$ માટે ઉકેલતા,આપણને $T = \frac{1}{0.005} = 200\, K$ મળે છે.
તાપમાનને કેલ્વિનમાંથી સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે,આપણે $t(^{\circ}C) = T(K) - 273.15$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આમ,$t = 200 - 273 = -73\, ^{\circ}C$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે, અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT = (m/M)RT$ છે, જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે। ઘનતા $\rho = m/V$ હોવાથી, આપણે $P = (\rho/M)RT$ લખી શકીએ, જેનો અર્થ છે કે $\rho = (PM)/(RT)$.
આલેખ $(i)$ માં, $T$ અચળ છે અને $P$ વધે છે। $\rho \propto P/T$ હોવાથી, જો $T$ અચળ હોય અને $P$ વધે, તો ઘનતા $\rho$ વધે છે। તેથી, વિધાન $(A)$ સાચું છે.
આલેખ $(ii)$ માં, $P$ અચળ છે અને $T$ વધે છે। $\rho \propto P/T$ હોવાથી, જો $P$ અચળ હોય અને $T$ વધે, તો ઘનતા $\rho$ ઘટે છે। તેથી, વિધાન $(B)$ સાચું છે.
આલેખ $(iii)$ માં, આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે, તેથી $P/T = \text{constant}$. $\rho = (PM)/(RT)$ હોવાથી, જો $P/T$ અચળ હોય, તો ઘનતા $\rho$ અચળ રહે છે। તેથી, વિધાન $(C)$ સાચું છે.
આમ, બધા વિધાનો $(A), (B)$ અને $(C)$ સાચા હોવાથી, ખોટું વિધાન ઉપરનામાંથી કોઈ પણ નથી.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
અચળ તાપમાન (સમતાપી) પ્રક્રિયા માટે,$T$ અચળ છે. $n$ અને $R$ પણ અચળાંક હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $nRT$ પણ અચળ રહેશે,ધારો કે તે $k$ છે.
તેથી,સમીકરણ $PV = k$ બને છે,જેને $P = k \left( \frac{1}{V} \right)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આ સમીકરણ $y = mx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = P$,$x = \frac{1}{V}$,અને ઢાળ $m = nRT$ એ ધન અચળાંક છે.
તેથી,$P$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{V}$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા મળે છે.

(C) ખુલ્લા પાત્ર માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = \mu RT$,જ્યાં $\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે અને $R$ એ વાયુ અચળાંક છે.
$P$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$\mu T = \text{અચળ}$.
તેથી,$\mu_1 T_1 = \mu_2 T_2$.
અહીં $\mu_1 = x$,$T_1 = T$,અને $T_2 = 3T$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $x \times T = \mu_2 \times (3T)$.
$\mu_2$ માટે ઉકેલતા: $\mu_2 = \frac{x}{3}$,જે પાત્રમાં બાકી રહેલો વાયુ છે.
પાત્રમાંથી બહાર નીકળતા વાયુનો જથ્થો એ શરૂઆતનો જથ્થો અને બાકી રહેલા જથ્થાનો તફાવત છે: $\Delta \mu = x - \frac{x}{3} = \frac{2x}{3}$.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = \frac{m}{M}RT$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$M$ એ મોલર દળ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
તાપમાન $T$ અચળ હોવાથી,$PV = \text{અચળ} \times m$ થાય.
નિશ્ચિત દબાણ $P$ માટે,આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે દળ $m_2$ ને અનુરૂપ કદ $V_2$ એ દળ $m_1$ ને અનુરૂપ કદ $V_1$ કરતા વધારે છે (એટલે કે $V_2 > V_1$).
આદર્શ વાયુના સમીકરણ પરથી,$m = \frac{PVM}{RT}$.
અહીં $P, M, R,$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$m \propto V$ થાય.
તેથી,$V_2 > V_1$ હોવાથી,$m_2 > m_1$ સાબિત થાય છે.

(C) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT = \frac{m}{M_w}RT$ પરથી,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M_w$ એ મોલર દળ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ માટે ગોઠવતા,આપણને $P = \frac{\rho RT}{M_w}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\rho}{P} = \frac{M_w}{RT}$.
આપેલ છે કે $T_1 = 273\,K$ $(0\,^{\circ}\text{C})$ તાપમાને,$\frac{\rho_1}{P_1} = x = \frac{M_w}{R(273)}$.
$T_2 = 373\,K$ $(100\,^{\circ}\text{C})$ તાપમાને,નવો ગુણોત્તર $x' = \frac{M_w}{R(373)}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{x'}{x} = \frac{M_w / (R \cdot 373)}{M_w / (R \cdot 273)} = \frac{273}{373}$.
તેથી,$x' = \frac{273}{373}x$.

(B) આપેલ પ્રક્રિયા સમીકરણ $P = \frac{2V^2}{1+V^2}$ છે.
$V_i = 1 \, m^3$ માટે,પ્રારંભિક દબાણ $P_i = \frac{2(1)^2}{1+(1)^2} = \frac{2}{2} = 1 \, Pa$ થાય.
$V_f = 2 \, m^3$ માટે,અંતિમ દબાણ $P_f = \frac{2(2)^2}{1+(2)^2} = \frac{8}{5} \, Pa$ થાય.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = 1$ મોલ માટે,$T = \frac{PV}{R}$ મળે.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_f - T_i = \frac{P_f V_f - P_i V_i}{nR}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta T = \frac{(\frac{8}{5} \times 2) - (1 \times 1)}{1 \times R} = \frac{\frac{16}{5} - 1}{R} = \frac{16-5}{5R} = \frac{11}{5R} \, K$.

(A) બંધ પાત્રમાં રહેલા વાયુ માટે કદ $V$ અચળ રહે છે. ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ પર વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,દબાણ $P$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto T)$.
આથી $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ અથવા $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta T}{T}$ મળે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T = 250\,K$,તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 1\,K$.
દબાણમાં થતો પ્રતિશત વધારો $\frac{\Delta P}{P} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \frac{\Delta T}{T} \times 100 = \frac{1}{250} \times 100 = 0.4\%$.

(C) સંતુલન સ્થિતિમાં,બંને ફ્લાસ્કમાં દબાણ $P$ સમાન હોવું જોઈએ.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ ($M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે):
$P = \frac{mRT}{MV}$
કારણ કે $P$,$R$,અને $M$ બંને ફ્લાસ્ક માટે અચળ છે,તેથી:
$\frac{m_1 T_1}{V_1} = \frac{m_2 T_2}{V_2}$
આપેલ છે કે $V_1 = 2V_2$,$T_1 = 100\,K$,$T_2 = 200\,K$,અને $m_1 = m$:
$\frac{m \times 100}{2V_2} = \frac{m_2 \times 200}{V_2}$
$\frac{100m}{2} = 200m_2$
$50m = 200m_2$
$m_2 = \frac{50m}{200} = \frac{m}{4}$

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ મળે છે.
આપેલ પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ છે.
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે.
અંતિમ દબાણ $P_2 = 2P$ અને અંતિમ કદ $V_2 = 3V$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{P \cdot V}{300} = \frac{(2P) \cdot (3V)}{T_2}$.
$\frac{1}{300} = \frac{6}{T_2}$.
$T_2 = 6 \times 300 = 1800 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2(^{\circ}C) = 1800 - 273 = 1527^{\circ}C$.

(B) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે દબાણ અને કદ એકબીજાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $P \propto \frac{1}{V}$.
તેથી,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
તળાવના તળિયે,દબાણ $P_1$ એ વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ અને $h$ ઊંચાઈના પાણીના સ્તંભને કારણે લાગતા દબાણનો સરવાળો છે: $P_1 = P_0 + h \rho_w g$.
સપાટી પર,દબાણ $P_2$ એ વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ જેટલું હોય છે.
આપેલ છે: $h = 47.6 \ m = 4760 \ cm$,$V_1 = 50 \ cm^3$,$P_0 = 70 \ cm$ $Hg = 70 \times 13.6 \times g \ \text{dynes/cm}^2$,$\rho_w = 1 \ g/cm^3$.
સમીકરણ $P_0 V_1 + h \rho_w g V_1 = P_0 V_2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$V_2 = V_1 \left( 1 + \frac{h \rho_w g}{P_0} \right) = V_1 \left( 1 + \frac{h \rho_w g}{h_{Hg} \rho_{Hg} g} \right) = V_1 \left( 1 + \frac{h \rho_w}{h_{Hg} \rho_{Hg}} \right)$.
$V_2 = 50 \left( 1 + \frac{4760 \times 1}{70 \times 13.6} \right) = 50 \left( 1 + \frac{4760}{952} \right) = 50 (1 + 5) = 50 \times 6 = 300 \ cm^3$.

(C) ઓક્સિજનના મોલની સંખ્યા $(n_{O_2})$ $8/32 = 0.25\,mol$ છે.
નાઈટ્રોજનના મોલની સંખ્યા $(n_{N_2})$ $7/28 = 0.25\,mol$ છે.
ડાલ્ટનના આંશિક દબાણના નિયમ મુજબ,કુલ દબાણ $P_{total} = (n_{O_2} + n_{N_2}) \frac{RT}{V} = 10\,atm$ છે.
અહીં $n_{O_2} = n_{N_2} = 0.25\,mol$ હોવાથી,દરેક વાયુનું આંશિક દબાણ સમાન હશે.
$P_{O_2} = P_{N_2} = \frac{10}{2} = 5\,atm$.
જ્યારે ઓક્સિજન દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પાત્રમાં માત્ર નાઈટ્રોજન બાકી રહે છે.
તેથી,સિસ્ટમમાં નવું દબાણ નાઈટ્રોજનના આંશિક દબાણ જેટલું એટલે કે $5\,atm$ થશે.

(B) ફ્લાસ્કનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે ગે-લ્યુસેકના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
અહીં પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 1\,atm$ અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300\,K$ છે.
બૂચને બહાર કાઢવા માટે જરૂરી અંતિમ દબાણ $P_2 = 2.5\,atm$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{300} = \frac{2.5}{T_2}$.
$T_2$ માટે ઉકેલતા: $T_2 = 2.5 \times 300 = 750\,K$.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા: $750 - 273 = 477\,^{\circ}C$.

(B) આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ,$P = n k T$,જ્યાં $n$ એ સંખ્યા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ અણુઓ) છે.
$n = P / (k T)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$n = (4 \times 10^{-10}) / (1.38 \times 10^{-23} \times 300)$
$n \approx (4 \times 10^{-10}) / (4.14 \times 10^{-21})$
$n \approx 0.966 \times 10^{11} \approx 10^{11} \text{ અણુઓ/m}^3$
કારણ કે $1\,m^3 = 10^6\,cm^3$,તેથી પ્રતિ $cm^3$ દીઠ અણુઓની સંખ્યા:
$n_{cm^3} = 10^{11} / 10^6 = 10^5 \text{ અણુઓ/cm}^3$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
અચળ દબાણ $P$ માટે,કદ $V$ એ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(V \propto T)$.
આપેલ $P-V$ આલેખ પરથી,જો આપણે અચળ દબાણ $P$ પર એક શિરોલંબ રેખા દોરીએ,તો વક્ર $T_2$ ને અનુરૂપ કદ એ વક્ર $T_1$ ને અનુરૂપ કદ કરતાં વધારે છે $(V_2 > V_1)$.
જેમ કે $V \propto T$,સમાન દબાણે મોટું કદ ઊંચું તાપમાન સૂચવે છે.
તેથી,$T_2 > T_1$ અથવા $T_1 < T_2$.

(C) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ ($M$ એ મોલર દળ છે).
આમ,$V = \frac{mR}{MP} T$.
આપેલ આલેખમાં,$V-T$ આલેખ એ નિરપેક્ષ શૂન્ય $(-273.15\, ^\circ\text{C})$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જ્યાં ઢાળ $S = \frac{mR}{MP}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,ઢાળ $S_1 = \frac{mR}{MP}$ છે.
બીજા કિસ્સા માટે,દળ $2m$ અને દબાણ $2P$ છે,તેથી નવો ઢાળ $S_2 = \frac{(2m)R}{M(2P)} = \frac{mR}{MP}$ થાય.
$S_1 = S_2$ હોવાથી,ઢાળ બદલાતો નથી.
તેથી,વિસ્તરણ એ જ સીધી રેખા $B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) આપેલ છે: કદ $V = 8 \, L = 8 \times 10^{-3} \, m^3$,પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 2 \, atm \approx 2 \times 10^5 \, Pa$.
પ્રારંભિક મોલ $n_1 = \frac{P_1 V}{RT} = \frac{2 \times 10^5 \times 8 \times 10^{-3}}{8.314 \times 300} \approx 0.641 \, mol$.
અંતિમ દબાણ $P_2 = 125 \, kPa = 1.25 \times 10^5 \, Pa$.
તાપમાન $T$ અને કદ $V$ અચળ હોવાથી,$P \propto n$,તેથી $\frac{n_2}{n_1} = \frac{P_2}{P_1}$.
$n_2 = n_1 \times \frac{P_2}{P_1} = 0.641 \times \frac{1.25 \times 10^5}{2 \times 10^5} = 0.641 \times 0.625 \approx 0.40 \, mol$.
બહાર નીકળેલા મોલ $\Delta n = n_1 - n_2 = 0.64 - 0.40 = 0.24 \, mol$.

(D) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = \mu RT$ છે,જ્યાં $\mu$ એ વાયુના મોલની સંખ્યા છે.
ઓક્સિજન વાયુ $(O_2)$ માટે,મોલર દળ $M = 32\,g/mol$ છે.
આપેલ દળ $m = 5\,g$ છે.
મોલની સંખ્યા $\mu = \frac{m}{M} = \frac{5}{32}\,mol$ થાય.
આ કિંમતને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $PV = \frac{5}{32}\,RT$ મળે છે.

(C) $6.02 \times 10^{23}$ સંખ્યાને એવોગેડ્રો આંક $(N_A)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈપણ પદાર્થનો એક મોલ હંમેશા $6.02 \times 10^{23}$ મૂળભૂત એકમો (પરમાણુઓ,અણુઓ અથવા આયનો) ધરાવે છે,પછી ભલે પદાર્થનું તાપમાન,દબાણ કે કદ ગમે તે હોય.
તેથી,વિધાન સાચું છે.
જોકે,મોલની વ્યાખ્યા $S.T.P.$ (પ્રમાણિત તાપમાન અને દબાણ) પરિસ્થિતિઓ પર આધારિત નથી.
$S.T.P.$ પરિસ્થિતિઓ ફક્ત ત્યારે જ સંબંધિત છે જ્યારે આદર્શ વાયુના એક મોલ દ્વારા રોકાયેલ કદની ગણતરી કરવામાં આવે ($S.T.P.$ પર તે $22.4 \ L$ હોય છે).
આમ,કારણ ખોટું છે.

(N/A) બોઈલનો નિયમ: અચળ તાપમાને નિશ્ચિત જથ્થાના આદર્શ વાયુ માટે, દબાણ $P$ એ તેના કદ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે। ગાણિતિક રીતે, $P \propto 1/V$ અથવા $PV = \text{અચળ}$.
ચાર્લ્સનો નિયમ: અચળ દબાણે નિશ્ચિત જથ્થાના આદર્શ વાયુ માટે, કદ $V$ એ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે। ગાણિતિક રીતે, $V \propto T$ અથવા $V/T = \text{અચળ}$.

(N/A) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે,$V$ એ કદ છે,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
નિરપેક્ષ તાપમાનના માપક્રમ (જેને કેલ્વિન માપક્રમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) નો આધાર નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાન છે,જે $-273.15 \ ^{\circ}C$ છે. આ તાપમાને આદર્શ વાયુનું દબાણ શૂન્ય થઈ જાય છે,જે આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ દબાણ-તાપમાનની રેખા $-273.15 \ ^{\circ}C$ પર શૂન્ય દબાણ તરફ જાય છે.

(N/A) દબાણ $(P)$,કદ $(V)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ને સાંકળતું આદર્શ વાયુ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$PV = nRT$
જ્યાં:
$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે $= 8.314 \; J \; mol^{-1} \; K^{-1}$
$n = 1 \; mol$
$T = 273.15 \; K$ (પ્રમાણભૂત તાપમાન)
$P = 1.01325 \times 10^{5} \; Pa$ ($1 \; atm$ નું પ્રમાણભૂત દબાણ)
કદ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$V = \frac{nRT}{P}$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1 \times 8.314 \times 273.15}{1.01325 \times 10^{5}}$
$V \approx 0.02241 \; m^{3}$
કારણ કે $1 \; m^{3} = 1000 \; L$:
$V \approx 22.41 \; L$
આમ,$STP$ પર આદર્શ વાયુનું મોલર કદ આશરે $22.4 \; L$ છે.

(A) નિર્પેક્ષ દબાણ $P$ એ $P = P_{gauge} + P_{atm}$ દ્વારા મળે છે. ધારો કે $P_{atm} = 1 \; atm = 1.013 \times 10^{5} \; Pa$.
શરૂઆતનું નિર્પેક્ષ દબાણ $P_{1} = 15 + 1 = 16 \; atm = 1.6208 \times 10^{6} \; Pa$.
શરૂઆતનું તાપમાન $T_{1} = 27 + 273 = 300 \; K$.
કદ $V = 30 \; L = 30 \times 10^{-3} \; m^{3}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = (m/M)RT$ નો ઉપયોગ કરતા,શરૂઆતનું દળ $m_{1} = (P_{1} V M) / (R T_{1})$.
$m_{1} = (1.6208 \times 10^{6} \times 30 \times 10^{-3} \times 32 \times 10^{-3}) / (8.31 \times 300) \approx 0.624 \; kg$.
અંતિમ નિર્પેક્ષ દબાણ $P_{2} = 11 + 1 = 12 \; atm = 1.2156 \times 10^{6} \; Pa$.
અંતિમ તાપમાન $T_{2} = 17 + 273 = 290 \; K$.
અંતિમ દળ $m_{2} = (P_{2} V M) / (R T_{2})$.
$m_{2} = (1.2156 \times 10^{6} \times 30 \times 10^{-3} \times 32 \times 10^{-3}) / (8.31 \times 290) \approx 0.485 \; kg$.
બહાર કાઢેલ ઓક્સિજનનું દળ $\Delta m = m_{1} - m_{2} = 0.624 - 0.485 = 0.139 \; kg \approx 0.13 \; kg$.

(B) હવાના પરપોટાનું પ્રારંભિક કદ,$V_{1} = 1.0 \; cm^{3} = 1.0 \times 10^{-6} \; m^{3}$.
તળાવની ઊંડાઈ,$d = 40 \; m$.
તળિયે પ્રારંભિક તાપમાન,$T_{1} = 12 \; ^{\circ}C = 285 \; K$.
સપાટી પર અંતિમ તાપમાન,$T_{2} = 35 \; ^{\circ}C = 308 \; K$.
સપાટી પરનું દબાણ,$P_{2} = 1 \; atm = 1.013 \times 10^{5} \; Pa$.
તળિયે દબાણ,$P_{1} = P_{2} + d \rho g$,જ્યાં $\rho = 10^{3} \; kg/m^{3}$ અને $g = 9.8 \; m/s^{2}$.
$P_{1} = 1.013 \times 10^{5} + (40 \times 10^{3} \times 9.8) = 1.013 \times 10^{5} + 3.92 \times 10^{5} = 4.933 \times 10^{5} \; Pa$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{P_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2} V_{2}}{T_{2}}$.
$V_{2} = \frac{P_{1} V_{1} T_{2}}{T_{1} P_{2}} = \frac{(4.933 \times 10^{5}) \times (1.0 \times 10^{-6}) \times 308}{285 \times (1.013 \times 10^{5})}$.
$V_{2} \approx 5.26 \times 10^{-6} \; m^{3} = 5.26 \; cm^{3}$.

(C) રૂમનું કદ,$V = 25.0 \; m^{3}$.
રૂમનું તાપમાન,$T = 27^{\circ} C = 300 \; K$.
રૂમમાં દબાણ,$P = 1 \; atm = 1.013 \times 10^{5} \; Pa$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = N k_{B} T$ છે,જ્યાં $k_{B}$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક,$k_{B} = 1.38 \times 10^{-23} \; J/K$.
હવાના અણુઓની સંખ્યા $N = \frac{PV}{k_{B} T}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $N = \frac{1.013 \times 10^{5} \times 25.0}{1.38 \times 10^{-23} \times 300}$.
$N = \frac{25.325 \times 10^{5}}{414 \times 10^{-23}} \approx 6.11 \times 10^{26}$ અણુઓ.
આમ,રૂમમાં રહેલા હવામાં અણુઓની કુલ સંખ્યા $6.11 \times 10^{26}$ છે.

(D) સાંકડી નળીની લંબાઈ,$L = 100 \; cm$.
પારાના થ્રેડની લંબાઈ,$l = 76 \; cm$.
પારા અને બંધ છેડા વચ્ચેના હવાના સ્તંભની લંબાઈ,$l_a = 15 \; cm$.
જ્યારે નળીને ઊભી રાખવામાં આવે અને ખુલ્લો છેડો નીચે હોય,ત્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ વધે છે કારણ કે થોડો પારો બહાર નીકળી જાય છે. ધારો કે $h \; cm$ પારો બહાર નીકળે છે.
હવાના સ્તંભની અંતિમ લંબાઈ $l_2 = 15 + (100 - 76 - 15) + h = 24 + h \; cm$ થાય છે.
પારાના સ્તંભની અંતિમ લંબાઈ $76 - h \; cm$ થાય છે.
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 76 \; cm$ Hg,પ્રારંભિક કદ $V_1 = 15 \; cm$ (લંબાઈના પ્રમાણમાં).
અંતિમ દબાણ $P_2 = 76 - (76 - h) = h \; cm$ Hg.
બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P_1 V_1 = P_2 V_2$:
$76 \times 15 = h(24 + h)$
$h^2 + 24h - 1140 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $h$ માટે ઉકેલતા: $h = \frac{-24 + \sqrt{576 + 4560}}{2} = \frac{-24 + 73.05}{2} \approx 24.5 \; cm$.
આમ,$24.5 \; cm$ પારો બહાર નીકળી જશે અને હવાના સ્તંભની અંતિમ લંબાઈ $24 + 24.5 = 48.5 \; cm$ થશે.

(N/A) જ્યારે કાર ગતિમાં હોય છે,ત્યારે ટાયર અને રસ્તાની સપાટી વચ્ચેના ઘર્ષણને કારણે ઉષ્મા ઉત્પન્ન થાય છે.
આ ઉષ્મા ટાયરની અંદરની હવાને મળે છે,જેના કારણે હવાનું તાપમાન $(T)$ વધે છે.
વાયુના ગતિવાદ (Kinetic Theory of Gases) મુજબ,નિશ્ચિત કદ $(V)$ માટે (ટાયરનું કદ લગભગ અચળ રહે છે),ગે-લ્યુસેકના નિયમ $(P \propto T)$ અનુસાર દબાણ $(P)$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ઘર્ષણને કારણે ટાયરની અંદરની હવાનું તાપમાન વધતા,વાયુના અણુઓની ગતિઊર્જા વધે છે,જેના પરિણામે તેઓ ટાયરની અંદરની દીવાલો સાથે વધુ વારંવાર અને જોરથી અથડાય છે.
આથી,ટાયરની અંદરનું હવાનું દબાણ વધે છે.

(N/A) ગે-લ્યુસેકનો વાયુમય કદનો નિયમ જણાવે છે કે જ્યારે વાયુઓ એકબીજા સાથે રાસાયણિક પ્રક્રિયા કરે છે,ત્યારે તેમના કદ એકબીજા સાથે અને જો નીપજો વાયુ સ્વરૂપમાં હોય તો તેમના કદ સાથે સાદા પૂર્ણાંક ગુણોત્તરમાં હોય છે,જો તાપમાન અને દબાણ અચળ રાખવામાં આવે.

(N/A) એવોગેડ્રોનો નિયમ જણાવે છે કે સમાન તાપમાન અને દબાણની સ્થિતિમાં તમામ વાયુઓના સમાન કદમાં અણુઓની સંખ્યા સમાન હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને અચળ તાપમાન $(T)$ અને દબાણ $(P)$ પર $V \propto n$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $V$ એ કદ છે અને $n$ એ મોલ (અથવા અણુઓ) ની સંખ્યા છે.
આનો અર્થ એ છે કે જો વિવિધ વાયુઓને સમાન તાપમાન અને દબાણ પર સમાન કદના પાત્રોમાં રાખવામાં આવે,તો તેમાં અણુઓની સંખ્યા સમાન હશે.
આ નિયમ એવોગેડ્રોની ધારણા તરીકે પણ ઓળખાય છે અને તે વાયુઓના ગતિવાદને સમજવા માટે પાયારૂપ છે.

$1\,atm$ દબાણે $1\,g$ પાણીની વરાળનું કદ શોધવા માટે,આપણે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$P = 1\,atm = 1.013 \times 10^5\,Pa$ છે.
પાણીનું દળ $m = 1\,g = 10^{-3}\,kg$ છે.
પાણી $(H_2O)$ નું મોલર દળ $M = 18\,g/mol = 18 \times 10^{-3}\,kg/mol$ છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M} = \frac{1}{18}\,mol$ છે.
સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R = 8.314\,J/(mol \cdot K)$ છે.
તાપમાન $T = 373.15\,K$ ($1\,atm$ પર પાણીનું ઉત્કલનબિંદુ) લેતા:
$V = \frac{nRT}{P} = \frac{(1/18) \times 8.314 \times 373.15}{1.013 \times 10^5}$.
$V \approx 1.70 \times 10^{-3}\,m^3 = 1.70\,litres$.