Gas Laws (Charles, Boyle's, Avagadro's, Gay Lussacs and Dalton's law) and Ideal gas Equation Questions in Gujarati

(C) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{PV}{T} = nR$ મળે છે.
કારણ કે $n$ (મોલની સંખ્યા) અને $R$ (સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક) આપેલ વાયુના જથ્થા માટે અચળ હોય છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{PV}{T}$ અચળ રહે છે.
આ સંબંધ આદર્શ વાયુના નિયમ પરથી તારવવામાં આવ્યો છે અને તે આદર્શ વાયુ સાથે સંકળાયેલી કોઈપણ પ્રક્રિયા માટે માન્ય છે,જેમાં સમતાપી અને એડિબેટિક પ્રક્રિયાઓનો પણ સમાવેશ થાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) સમદાબી પ્રક્રિયા (અચળ દબાણ) માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી કહી શકાય કે $V \propto T$ (ચાર્લ્સનો નિયમ).
અહીં $n = 1$ મોલ છે,શરૂઆતનું કદ $T$ તાપમાને $V$ છે.
જ્યારે તાપમાનમાં $1 \, K$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવું તાપમાન $T' = T + 1$ થાય.
નવું કદ $V'$ માટે $\frac{V'}{T+1} = \frac{V}{T}$ થાય.
$V' = V \left(1 + \frac{1}{T}\right) = V + \frac{V}{T}$.
આદર્શ વાયુ માટે કદ પ્રસરણાંક $\gamma = \frac{1}{T}$ છે. $0 \, ^\circ C$ $(273 \, K)$ તાપમાને $\gamma = \frac{1}{273} \, K^{-1}$ થાય.
તેથી,કદમાં થતો વધારો $\Delta V = V' - V = \frac{V}{T}$.
જો $T = 273 \, K$ લેવામાં આવે,તો કદમાં થતો વધારો $\frac{V}{273}$ મળે.

(C) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,કદ નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: ${V \propto T}$ અથવા $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
આપેલ છે: પ્રારંભિક કદ ${V_1 = V_0}$,પ્રારંભિક તાપમાન ${T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 K}$.
અંતિમ કદ ${V_2 = 2V_0}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_0}{300} = \frac{2V_0}{T_2}$.
${T_2}$ માટે ઉકેલતા: ${T_2 = 2 \times 300 = 600 K}$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: ${T_2 = 600 - 273 = 327^{\circ}C}$.

(C) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે વાયુના નિશ્ચિત જથ્થાનું કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $V \propto T$.
આથી $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ થાય.
આપેલ છે:
$V_1 = 300 \ ml$
$T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_2 = 7^{\circ}C = 7 + 273 = 280 \ K$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V_2 = \frac{V_1 \times T_2}{T_1} = \frac{300 \times 280}{300} = 280 \ ml$.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, $PV = \text{અચળ}$.
બંને બાજુ $P$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને મળે છે:
$P(dV/dP) + V = 0$
$P(dV/dP) = -V$
$-(dV/dP)/V = 1/P$
આપેલ છે કે $\beta = -(dV/dP)/V$, તેથી $\beta = 1/P$.
આ સમીકરણ લંબચોરસ હાયપરબોલા (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે, જ્યાં $P$ વધતા $\beta$ ઘટે છે. આ સંબંધ આલેખ $A$ માં યોગ્ય રીતે દર્શાવેલ છે.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,બોઈલના નિયમ મુજબ $P_1 V_1 = P_2 V_2$ થાય.
આપેલ છે: $V_1 = 1 \, L = 1000 \, cm^3$,$P_1 = 72 \, cm$ $Hg$,$V_2 = 900 \, cm^3$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $P_2 = \frac{P_1 V_1}{V_2} = \frac{72 \times 1000}{900} = 80 \, cm$ $Hg$.
દબાણમાં થતો ફેરફાર (પ્રતિબળ) $\Delta P = P_2 - P_1$ છે.
$\Delta P = 80 \, cm - 72 \, cm = 8 \, cm$ $Hg$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT$ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $V = \frac{\mu RT}{P}$,જે સૂચવે છે કે $V \propto \frac{T}{P}$.
આપેલ $P-T$ આલેખમાં,બિંદુ $1$ થી $2$ સુધીની પ્રક્રિયા દર્શાવતી રેખાને પાછળ લંબાવતા તે $T$-અક્ષને ધન મૂલ્ય પર છેદે છે. આનો અર્થ એ છે કે જેમ $T$ વધે છે,તેમ ઢાળ $\frac{P}{T}$ ઘટે છે.
કારણ કે $V \propto \frac{T}{P}$,જો ગુણોત્તર $\frac{P}{T}$ ઘટે,તો ગુણોત્તર $\frac{T}{P}$ વધવો જ જોઈએ.
તેથી,પ્રક્રિયા $1$ થી $2$ દરમિયાન વાયુનું કદ $V$ વધે છે.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $P = \frac{nRT}{V}$.
અચળ કદ $V$ માટે,દબાણ $P$ એ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto T)$.
આપેલ $P-V$ ડાયાગ્રામમાં,જો આપણે અચળ કદ $V$ પર એક શિરોલંબ રેખા દોરીએ,તો વક્ર $T_2$ ને અનુરૂપ દબાણ એ વક્ર $T_1$ ને અનુરૂપ દબાણ કરતા વધારે છે.
સમાન કદ પર $P_2 > P_1$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $T_2 > T_1$,અથવા $T_1 < T_2$.

(C) આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$.
અચળ દબાણ $P$ અને વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા $n$ માટે,સમીકરણ $V = (\frac{nR}{P})T$ બને છે.
આ $V = kT$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $k = \frac{nR}{P}$ એ અચળાંક છે.
આ $V-T$ સમતલમાં ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.

(B) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે.
$n = \frac{N}{N_A}$,જ્યાં $N$ એ અણુઓની કુલ સંખ્યા છે અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
વળી,વાયુનું કુલ દળ $M_{total} = N \times m$ છે,જ્યાં $m$ એ એક અણુનું દળ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{M_{total}}{V} = \frac{Nm}{V}$.
આદર્શ વાયુના નિયમ પરથી: $PV = \frac{N}{N_A} RT$.
કારણ કે $R = k N_A$,તેથી $PV = \frac{N}{N_A} (k N_A) T = NkT$.
$N/V$ માટે ગોઠવતા: $\frac{N}{V} = \frac{P}{kT}$.
આ કિંમતને ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\rho = \left(\frac{N}{V}\right) m = \left(\frac{P}{kT}\right) m = \frac{Pm}{kT}$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = NkT$,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે,$V$ એ કદ છે,$N$ એ પરમાણુઓની સંખ્યા છે,$k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ તાપમાન છે.
પરમાણુઓની સંખ્યા માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $N = \frac{PV}{kT}$ મળે છે.
અહીં $P$,$V$,$k$ અને $T$ બંને વાયુઓ માટે સમાન હોવાથી,પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ પણ બંને વાયુઓ માટે સમાન જ રહેશે.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે ત્રણેય વાયુઓ માટે $P, V, R$ અને $T$ સમાન છે,તેથી મોલની સંખ્યા $n = \frac{PV}{RT}$ બધા માટે સમાન છે.
અણુઓની સંખ્યા $N = n \times N_A$,જ્યાં $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે. આમ,અણુઓની સંખ્યા બધા માટે સમાન છે.
હવે,આપણે પરમાણુઓની સંખ્યા ગણીએ:
$H_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વીય) માટે: પરમાણુઓની સંખ્યા $= 2 \times n \times N_A = 2nN_A$.
$O_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વીય) માટે: પરમાણુઓની સંખ્યા $= 2 \times n \times N_A = 2nN_A$.
$He$ (એક-પરમાણ્વીય) માટે: પરમાણુઓની સંખ્યા $= 1 \times n \times N_A = nN_A$.
આમ,$H_2$ અને $O_2$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા સમાન છે,જે $He$ કરતા વધારે છે.

(C) આદર્શ વાયુના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
આપેલ છે: $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$,$P_1 = P$,$V_1 = V$.
અંતિમ સ્થિતિ: $P_2 = 2P$,$V_2 = 3V$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{P \times V}{300} = \frac{(2P) \times (3V)}{T_2}$.
$T_2 = \frac{6PV}{PV} \times 300 = 6 \times 300 = 1800 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે: $T(^{\circ}C) = 1800 - 273 = 1527^{\circ}C$.

(D) અચળ તાપમાને વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે બોઈલના નિયમ મુજબ,દબાણ અને કદનો ગુણાકાર અચળ રહે છે: $P_1V_1 = P_2V_2$।
અહીં આપેલ કિંમતો $P_1 = 3 \, atm$,$V_1 = 12 \, L$ અને $V_2 = 9 \, L$ છે।
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $3 \times 12 = P_2 \times 9$।
$P_2$ માટે ગણતરી કરતા: $P_2 = \frac{3 \times 12}{9} = \frac{36}{9} = 4 \, atm$।
તેથી,જરૂરી દબાણ $4 \, atm$ છે।

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = Nk_BT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
પાત્ર $A$ માટે: $N_A = \frac{PV}{k_BT}$.
પાત્ર $B$ માટે: $N_B = \frac{(2P)(V/4)}{k_B(2T)} = \frac{PV/2}{2k_BT} = \frac{PV}{4k_BT}$.
અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_A}{N_B} = \frac{PV/k_BT}{PV/4k_BT} = \frac{1}{1/4} = \frac{4}{1}$ થાય.

(D) આદર્શ વાયુની ઘનતા $\rho$ માટેનું સૂત્ર $\rho = \frac{M_w P}{RT}$ છે,જ્યાં $M_w$ એ મોલર દળ,$P$ એ દબાણ,$R$ એ વાયુ અચળાંક અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
અહીં આપેલ છે કે નવું દબાણ $P' = 2P$ અને નવું તાપમાન $T' = 4T$ છે.
તેથી નવી ઘનતા $\rho' = \frac{M_w P'}{R T'}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,$\rho' = \frac{M_w (2P)}{R (4T)} = \frac{1}{2} \left( \frac{M_w P}{RT} \right)$.
આમ,$\rho' = 0.5 \rho$.
તેથી ઘનતા મૂળ ઘનતા કરતાં $0.5$ ગણી થશે.

(C) બંને ગોળા એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોવાથી,બંનેમાં દબાણ $P$ સમાન રહેશે.
આપેલ છે: કદ $V_1 = 2V_2$,તાપમાન $T_1 = 100 K$,$T_2 = 200 K$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = (m/M)RT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
ગોળા $I$ માટે: $PV_1 = (m/M)RT_1$ --- $(1)$
ગોળા $II$ માટે: $PV_2 = (m'/M)RT_2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{PV_2}{PV_1} = \frac{(m'/M)RT_2}{(m/M)RT_1}$
$\frac{V_2}{2V_2} = \frac{m'}{m} \times \frac{200}{100}$
$\frac{1}{2} = \frac{m'}{m} \times 2$
$\frac{m'}{m} = \frac{1}{4}$
$m' = m/4$

(B) તાપમાન અચળ હોવાથી,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
આપેલ છે: $P_1 = 2 \, atm$,$V_1 = 500 \, cc$,$V_2 = 400 \, cc$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$P_2 = P_1 \times \frac{V_1}{V_2}$
$P_2 = 2 \times \frac{500}{400}$
$P_2 = 2 \times 1.25 = 2.5 \, atm$.

(B) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને $P_1V_1 = P_2V_2$ થાય.
અહીં,પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 0.8 \, m$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1 = 5 \, L$ છે.
અંતિમ કદ $V_2$ એ બંને પાત્રોના કદનો સરવાળો થશે કારણ કે વાયુ બંને પાત્રમાં ફેલાય છે: $V_2 = 5 \, L + 3 \, L = 8 \, L$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.8 \times 5 = P_2 \times 8$
$4.0 = P_2 \times 8$
$P_2 = 4.0 / 8 = 0.5 \, m$.
આમ,પરિણામી દબાણ $0.5 \, m$ થશે.

(D) ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદે આપેલા જથ્થાના વાયુ માટે દબાણ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $P \propto T$.
તેથી,$\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}$.
આપેલ છે: $P_1 = P$,$P_2 = 2P$,અને $T_1 = 20^{\circ}C = 20 + 273 = 293 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2P}{P} = \frac{T_2}{293}$.
$T_2 = 2 \times 293 = 586 \ K$.
તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^{\circ}C) = 586 - 273 = 313^{\circ}C$.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = NkT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
પાત્ર $A$ માટે: $P_A = P$,$V_A = V$,$T_A = T$. તેથી,$N_A = \frac{PV}{kT}$.
પાત્ર $B$ માટે: $P_B = 2P$,$V_B = V/4$,$T_B = 2T$. તેથી,$N_B = \frac{(2P)(V/4)}{k(2T)} = \frac{PV/2}{2kT} = \frac{PV}{4kT}$.
અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_A}{N_B} = \frac{PV/kT}{PV/4kT} = \frac{4}{1}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $4 : 1$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \frac{m}{M}RT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $m$ એ વાયુનું દળ છે,$M$ એ મોલર દળ છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ તાપમાન છે.
અહીં કદ $V$ અને મોલર દળ $M$ અચળ હોવાથી,$P \propto \frac{mT}{V} \implies P \propto mT$ મળે છે.
ધારો કે $m_1 = 6 \ g$,$P_1 = P$,$T_1 = 400 \ K$ અને અંતિમ દળ $m_2$,$P_2 = P/2$,$T_2 = 300 \ K$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{m_1 T_1}{m_2 T_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{P}{P/2} = \frac{6 \times 400}{m_2 \times 300}$ મળે છે.
$2 = \frac{2400}{300 m_2} \implies 2 = \frac{8}{m_2}$.
$m_2 = 4 \ g$.
બહાર નીકળેલા ઓક્સિજનનું દળ $\Delta m = m_1 - m_2 = 6 \ g - 4 \ g = 2 \ g$ થાય.

(D) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને આપેલા દળના વાયુ માટે,$P_1V_1 = P_2V_2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે.
અંતિમ કદ $V_2 = V - 0.1V = 0.9V$ છે.
$P_1V_1 = P_2V_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $P \times V = P_2 \times 0.9V$.
તેથી,$P_2 = \frac{P}{0.9} = \frac{10}{9}P$.
દબાણમાં થતો ફેરફાર $\Delta P = P_2 - P = \frac{10}{9}P - P = \frac{1}{9}P$ છે.
દબાણમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \frac{1/9P}{P} \times 100 = \frac{100}{9} \approx 11.11\%$ થાય.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $P = (n/V)RT$ લખી શકીએ,જ્યાં $n/V$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતા છે.
આપેલ છે $P = nkT$,જ્યાં $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે અને $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે $(k = 1.38 \times 10^{-23} \; J/K)$.
પ્રથમ,દબાણને $SI$ એકમો $(Pa)$ માં ફેરવો:
$1 \; atm = 760 \; mm \; Hg = 1.013 \times 10^{5} \; Pa$.
$P = 10^{-11} \; mm \; Hg = (10^{-11} / 760) \times 1.013 \times 10^{5} \; Pa \approx 1.33 \times 10^{-9} \; Pa$.
તાપમાન $T = 27 + 273 = 300 \; K$.
$n = P / (kT)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n = (1.33 \times 10^{-9}) / (1.38 \times 10^{-23} \times 300) \approx 3.21 \times 10^{11} \; \text{અણુઓ}/m^{3}$.
કારણ કે $1 \; m^{3} = 10^{6} \; cm^{3}$,તેથી પ્રતિ $cm^{3}$ સંખ્યા ઘનતા $3.21 \times 10^{11} / 10^{6} = 3.21 \times 10^{5} \; \text{અણુઓ}/cm^{3}$ થાય.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $3.22 \times 10^{5} \; \text{અણુઓ}/cm^{3}$ છે.

(C) બંધ પાત્રમાં વાયુ માટે કદ $V$ અચળ રહે છે. ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,$\frac{P}{T} = \text{અચળ}$,એટલે કે $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$ અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ (કેલ્વિનમાં) છે.
અંતિમ દબાણ $P_2 = P + 0.4\% \text{ of } P = P + 0.004P = 1.004P$ થાય છે.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = T + 1$ થાય છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{P}{T} = \frac{1.004P}{T+1}$.
બંને બાજુ $P$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{T} = \frac{1.004}{T+1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $T + 1 = 1.004T$.
$1 = 0.004T$.
$T = \frac{1}{0.004} = 250 \ K$.

(A) આલેખ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ખૂણો $\theta_1 < \theta_2$ છે.
$V-T$ આલેખનો ઢાળ $\tan \theta = \frac{V}{T}$ હોવાથી,$\tan \theta_1 < \tan \theta_2$ થાય.
તેથી,$\left( \frac{V}{T} \right)_1 < \left( \frac{V}{T} \right)_2$ મળે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT$ પરથી,$\frac{V}{T} = \frac{\mu R}{P}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{V}{T} \propto \frac{1}{P}$.
આમ,$\frac{1}{P_1} < \frac{1}{P_2}$,જે દર્શાવે છે કે $P_1 > P_2$.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $(P, V, T)$ છે અને અંતિમ સ્થિતિ $(P, V', T')$ છે.
દબાણ અચળ રહેતું હોવાનું ધારતા, આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $PV = n_1 RT$.
અંતિમ સ્થિતિ: $PV' = n_2 R T'$.
આપેલ છે: $T' = T + 0.20T = 1.2T$ અને $V' = V - 0.10V = 0.9V$.
આ કિંમતોને અંતિમ સમીકરણમાં મૂકતા: $P(0.9V) = n_2 R (1.2T)$.
$0.9 PV = n_2 R (1.2T) \Rightarrow n_2 = \frac{0.9}{1.2} n_1 = 0.75 n_1$.
બહાર નીકળી ગયેલ વાયુનો જથ્થો $\Delta n = n_1 - n_2 = n_1 - 0.75 n_1 = 0.25 n_1$.
બહાર નીકળી ગયેલ વાયુની ટકાવારી = $\frac{\Delta n}{n_1} \times 100 = 0.25 \times 100 = 25\%$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 23^{\circ}C = 23 + 273 = 296 \, K$.
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 1500 \, ml$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 37^{\circ}C = 37 + 273 = 310 \, K$.
દબાણ અને વાયુનો જથ્થો અચળ હોવાથી,આપણે ચાર્લ્સના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
$V_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $V_2 = V_1 \times \frac{T_2}{T_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $V_2 = 1500 \times \frac{310}{296}$.
ગણતરી કરતા: $V_2 \approx 1570.9 \, ml$.

(B) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = \mu RT$ છે,જ્યાં $\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે.
$O_2$ માટે,મોલર દળ $M = 32 \, g/mol$ છે.
મોલની સંખ્યા $\mu = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{8 \, g}{32 \, g/mol} = \frac{1}{4} \, mol$ થાય.
આ કિંમતને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા:
$PV = \left( \frac{1}{4} \right) RT = \frac{RT}{4}$.

(C) અચળ કદ માટે,ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,$P \propto T$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta T}{T}$.
અહીં આપેલ છે કે દબાણમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 0.5\%$ છે અને તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 5 \ K$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{0.5}{100} = \frac{5}{T}$
$T = \frac{5 \times 100}{0.5}$
$T = 1000 \ K$.
તેથી,વાયુનું પ્રારંભિક તાપમાન $1000 \ K$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = \mu RT$,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે,$V$ એ કદ છે,$\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ તાપમાન છે.
અહીં બંને વાયુઓ માટે મોલની સંખ્યા $\mu$,કદ $V$ અને તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,દબાણ $P$ પણ સમાન જ રહેશે.
આપેલ છે કે $H_2$ નું દબાણ $4 \ atm$ છે,તેથી $He$ વાયુનું દબાણ પણ $4 \ atm$ થશે.

(C) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = NkT$ છે,જ્યાં $P$ દબાણ છે,$V$ કદ છે,$N$ અણુઓની સંખ્યા છે,$k$ બોલ્ટઝમેન અચળાંક છે અને $T$ તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
આપેલ છે: $P = 13.8 \ Pa$,$V = 1 \ m^3$,$k = 1.38 \times 10^{-23} \ JK^{-1}$,અને $T = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
$N$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $N = \frac{PV}{kT}$.
કિંમતો મૂકતા: $N = \frac{13.8 \times 1}{1.38 \times 10^{-23} \times 300}$.
$N = \frac{13.8}{414 \times 10^{-23}} = \frac{13.8}{4.14 \times 10^{-21}} = \frac{13.8}{414} \times 10^{23} = 0.0333 \times 10^{23} = 3.33 \times 10^{21}$.
આમ,અણુઓની સંખ્યા આશરે $3.3 \times 10^{21}$ છે.

(A) આપેલ પાણીનું દળ $m = 4.5 \, kg = 4500 \, g$ છે.
પાણી $(H_2O)$ નું મોલર દળ $M = 18 \, g/mol$ છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M} = \frac{4500}{18} = 250 \, mol$ થાય.
$STP$ પર,$1 \, mol$ આદર્શ વાયુ દ્વારા રોકાયેલું કદ $22.4 \, L$ હોય છે.
તેથી,$250 \, mol$ દ્વારા રોકાયેલું કદ $V = n \times 22.4 \, L = 250 \times 22.4 = 5600 \, L$ થાય.
કારણ કે $1000 \, L = 1 \, m^3$,તેથી કદ $V = 5.6 \, m^3$ મળે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 1 \ atm$,પ્રારંભિક કદ $V_1 = 100 \ ml$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ દબાણ $P_2 = 2 \ atm$,અંતિમ કદ $V_2 = 100 \ ml$.
અહીં કદ અચળ રહેતું હોવાથી $(V_1 = V_2)$,આપણે ગે-લ્યુસેકના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{300} = \frac{2}{T_2}$.
$T_2$ માટે ઉકેલતા: $T_2 = 300 \times 2 = 600 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2(^{\circ}C) = 600 - 273 = 327^{\circ}C$.

(D) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે આદર્શ વાયુનું કદ $V$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $V = kT$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
તાપમાન $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dT} = k$ મળે છે.
તાપમાનમાં એકમ વધારા દીઠ કદમાં થતો વધારો અને મૂળ કદનો ગુણોત્તર $\frac{\frac{dV}{dT}}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{k}{kT} = \frac{1}{T}$ મળે છે.

(C) બંધ પાત્રમાં વાયુ માટે કદ $V$ અચળ રહે છે. ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,$P \propto T$,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
વિકલન સ્વરૂપ લેતા,આપણને મળે છે $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta T}{T}$.
આપેલ છે કે,$\frac{\Delta P}{P} = 0.4 \% = \frac{0.4}{100}$ અને $\Delta T = 1 \ K$ (કારણ કે $1 ^\circ C$ નો ફેરફાર એ $1 \ K$ ના ફેરફારને સમાન છે).
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{0.4}{100} = \frac{1}{T}$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T = \frac{100}{0.4} = 250 \ K$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ દબાણ છે,$V$ કદ છે,$n$ મોલની સંખ્યા છે,$R$ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
પ્રથમ પાત્ર માટે: $P_1 V_1 = n_1 R T_1$. આપેલ છે કે $n_1 = 1$,$T_1 = T$,અને $P_1 = P$,તેથી $PV = RT$ (સમીકરણ $1$).
બીજા પાત્ર માટે: $P_2 V_2 = n_2 R T_2$. આપેલ છે કે $n_2 = 1$,$T_2 = 2T$,અને પાત્રો સમાન હોવાથી $V_2 = V_1 = V$.
આ કિંમતો મૂકતા: $P_2 V = (1) R (2T) = 2RT$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ વડે ભાગતા: $\frac{P_2 V}{PV} = \frac{2RT}{RT}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{P_2}{P} = 2$,જે દર્શાવે છે કે $P_2 = 2P$.

(B) ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ માટે $P \propto T$,તેથી $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta T}{T}$ થાય.
અહીં આપેલ છે કે $\frac{\Delta P}{P} = 0.4 \ \% = 0.004$ અને $\Delta T = 1 \ K$ (તાપમાનમાં $1 \ ^\circ C$ નો ફેરફાર એ નિરપેક્ષ તાપમાનમાં $1 \ K$ ના ફેરફાર સમાન છે).
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $0.004 = \frac{1}{T}$.
તેથી,$T = \frac{1}{0.004} = 250 \ K$.
આમ,વાયુનું પ્રારંભિક તાપમાન $250 \ K$ છે.

(C) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે આદર્શ વાયુ માટે કદ $V$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(V \propto T)$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 327^{\circ}C = 327 + 273 = 600 \ K$.
પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$.
સંબંધ $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{V}{300} = \frac{V_2}{600}$.
$V_2 = V \times \frac{600}{300} = 2V$.
તેથી,અંતિમ કદ $2V$ થશે.

(C) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = \mu RT$ છે,જ્યાં $\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે.
મોલની સંખ્યા $\mu = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{m}{M_0}$ થાય.
ઑક્સિજન વાયુ $(O_2)$ માટે,મોલર દળ $M_0 = 32 \ g/mol$ છે.
આપેલ દળ $m = 5 \ g$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\mu = \frac{5}{32}$.
તેથી,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = \frac{5}{32} RT$ થશે.

(A) આપેલ છે: દબાણ $P = 1 \, atm = 1.01 \times 10^5 \, N \, m^{-2}$.
કદ $V = \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઊંચાઈ} = 20 \, m^2 \times 3 \, m = 60 \, m^3$.
તાપમાન $T = 27 \, ^\circ C = 27 + 273 = 300 \, K$.
સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R = 8.31 \, J \, mol^{-1} K^{-1}$.
હવાનું આણ્વીય દળ $M = 29 \, g/mol = 0.029 \, kg/mol$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે:
$n = \frac{PV}{RT} = \frac{1.01 \times 10^5 \times 60}{8.31 \times 300} \approx 2430.8 \, mol$.
હવાનું દળ $m = n \times M = 2430.8 \times 0.029 \approx 70.49 \, kg \approx 70.5 \, kg$.

(C) મિશ્રણમાં વાયુનું આંશિક દબાણ $P_i = x_i P_{total}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x_i$ એ વાયુનો મોલ અંશ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે તેના દળ ટકાવારી પરથી $N_2$ નો મોલ અંશ શોધીએ.
ધારો કે હવાનું કુલ દળ $100 \,g$ છે. $N_2$ નું દળ $75.5 \,g$ છે અને બાકીની હવાનું દળ $24.5 \,g$ છે.
હવાનું સરેરાશ આણ્વીય દળ આશરે $29 \,g/mol$ છે.
$N_2$ ના મોલની સંખ્યા $n_{N_2} = \frac{75.5}{28} \approx 2.696 \,mol$ છે.
$100 \,g$ હવામાં કુલ મોલની સંખ્યા $n_{total} = \frac{100}{29} \approx 3.448 \,mol$ છે.
$N_2$ નો મોલ અંશ $x_{N_2} = \frac{n_{N_2}}{n_{total}} = \frac{2.696}{3.448} \approx 0.782$ છે.
આમ,$N_2$ નું આંશિક દબાણ $P_{N_2} = x_{N_2} \times P_{total} = 0.782 \times 1 \,atm \approx 0.78 \,atm$ થાય.

(B) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$.
તેથી,$PV = \frac{m}{M} RT$,જે આપે છે $P = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} = \rho \frac{RT}{M}$.
આનો અર્થ એ છે કે $P \propto \rho T$,અથવા $\frac{P_1}{P_2} = \frac{\rho_1 T_1}{\rho_2 T_2}$.
બિંદુ $A$ માટે આપેલ છે: $P_A = P_0$,$T_A = T_0$,$\rho_A = \rho_0$.
બિંદુ $B$ માટે આપેલ છે: $P_B = 3P_0$,$T_B = 2T_0$,$\rho_B = ?$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_0}{3P_0} = \frac{\rho_0 T_0}{\rho_B (2T_0)}$.
$\frac{1}{3} = \frac{\rho_0}{2 \rho_B} \Rightarrow \rho_B = \frac{3}{2} \rho_0$.

(D) ધારો કે દરેક બલ્બનું કદ $V$ છે. શરૂઆતમાં,બંને બલ્બ $T_1 = 273 \ K$ તાપમાને અને $P$ દબાણે છે. વાયુના મોલની કુલ સંખ્યા $n$ નીચે મુજબ છે:
$n = \frac{PV}{RT_1} + \frac{PV}{RT_1} = \frac{2PV}{RT_1}$
જ્યારે એક બલ્બ $T_1 = 273 \ K$ તાપમાને અને બીજો $T_2$ તાપમાને હોય,ત્યારે નવું દબાણ $P' = 1.5P$ થાય છે. વાયુના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે:
$n = \frac{P'V}{RT_1} + \frac{P'V}{RT_2} = \frac{1.5PV}{RT_1} + \frac{1.5PV}{RT_2}$
$n$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{2PV}{RT_1} = \frac{1.5PV}{RT_1} + \frac{1.5PV}{RT_2}$
$\frac{2}{273} = \frac{1.5}{273} + \frac{1.5}{T_2}$
$\frac{0.5}{273} = \frac{1.5}{T_2}$
$T_2 = 273 \times \frac{1.5}{0.5} = 273 \times 3 = 819 \ K$
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2(^{\circ}C) = 819 - 273 = 546^{\circ}C$.

(D) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં $M$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$ થાય.
આપેલ છે કે નવી ઝડપ $v'_{rms} = 2v_{rms}$ છે,તેથી:
$\frac{v'_{rms}}{v_{rms}} = \sqrt{\frac{T'}{T}} \implies 2 = \sqrt{\frac{T'}{T}} \implies \frac{T'}{T} = 4 \implies T' = 4T$.
ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે નિશ્ચિત જથ્થાના વાયુ માટે $V \propto T$ થાય.
તેથી,$\frac{V'}{V} = \frac{T'}{T} = 4$.
આમ,નવું કદ $V' = 4V$ થશે.

(B) આપેલ છે:
દબાણ $P = 2.5 \times 10^5 \, N \, m^{-2}$
કદ $V = 20 \, L = 20 \times 10^{-3} \, m^3$
તાપમાન $T = 27 \, ^\circ C = 27 + 273 = 300 \, K$
અણુભાર $M = 32 \, g \, mol^{-1} = 32 \times 10^{-3} \, kg \, mol^{-1}$
વાયુ અચળાંક $R = 8.31 \, J \, mol^{-1} K^{-1}$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\mu = \frac{m}{M}$:
$PV = \frac{m}{M} RT$
$m = \frac{PVM}{RT}$
કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{(2.5 \times 10^5) \times (20 \times 10^{-3}) \times (32 \times 10^{-3})}{8.31 \times 300}$
$m = \frac{1600 \times 10^{-1}}{2493} \approx 0.06418 \, kg$
આમ,$m = 0.064 \, kg = 64 \, g$.

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 1 \,atm = 1.01 \times 10^5 \,N/m^2$.
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 1 \,m^3$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 300 \,K$.
અંતિમ કદ $V_2 = 2V_1 = 2 \,m^3$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 2T_1 = 600 \,K$.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P_2 = P_1 \times \frac{V_1}{V_2} \times \frac{T_2}{T_1}$
$P_2 = (1.01 \times 10^5) \times \frac{1}{2} \times \frac{600}{300}$
$P_2 = (1.01 \times 10^5) \times \frac{1}{2} \times 2$
$P_2 = 1.01 \times 10^5 \,N/m^2 \approx 10^5 \,N/m^2$.

(A) પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 15 \, atm = 15 \times 1.013 \times 10^5 \, Pa \approx 15.2 \times 10^5 \, Pa$. પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$. કદ $V = 30 \, L = 30 \times 10^{-3} \, m^3$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = \frac{m}{M_w} RT$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રારંભિક દળ $m_1 = \frac{P_1 V M_w}{R T_1}$.
$m_1 = \frac{(15.2 \times 10^5) \times (30 \times 10^{-3}) \times (32 \times 10^{-3})}{8.31 \times 300} \approx 0.586 \, kg$.
વાયુ બહાર કાઢ્યા પછી,$P_2 = 11 \, atm = 11.14 \times 10^5 \, Pa$,$T_2 = 17 + 273 = 290 \, K$.
અંતિમ દળ $m_2 = \frac{P_2 V M_w}{R T_2} = \frac{(11.14 \times 10^5) \times (30 \times 10^{-3}) \times (32 \times 10^{-3})}{8.31 \times 290} \approx 0.447 \, kg$.
બહાર કાઢેલા ઓક્સિજનનું દળ $\Delta m = m_1 - m_2 = 0.586 - 0.447 = 0.139 \, kg \approx 0.14 \, kg$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક દળ $M_1 = 10 \, kg$,પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 10^7 \, N/m^2$,અંતિમ દબાણ $P_2 = 2.5 \times 10^6 \, N/m^2$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = \frac{M}{M_w} RT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $M$ એ વાયુનું દળ છે.
અહીં $V$,$R$,$T$ અને $M_w$ અચળ હોવાથી,$P \propto M$ મળે.
તેથી,$\frac{P_2}{P_1} = \frac{M_2}{M_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2.5 \times 10^6}{10^7} = \frac{M_2}{10}$.
$0.25 = \frac{M_2}{10} \Rightarrow M_2 = 2.5 \, kg$.
બહાર કાઢેલ વાયુનું દળ $\Delta M = M_1 - M_2 = 10 - 2.5 = 7.5 \, kg$ થાય.

(D) ખુલ્લા પાત્ર માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે,આપણને મળે છે $n \propto 1/T$.
તેથી,$n_1 T_1 = n_2 T_2$.
શરૂઆતનું તાપમાન $T_1 = 60 + 273 = 333 \ K$.
ધારો કે શરૂઆતના મોલની સંખ્યા $n_1 = n$ છે.
હવાનો $1/4$ ભાગ બહાર નીકળી જતો હોવાથી,બાકી રહેલા મોલ $n_2 = n - (1/4)n = (3/4)n$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $n \times 333 = (3/4)n \times T_2$.
$T_2 = 333 \times (4/3) = 444 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T = 444 - 273 = 171^{\circ}C$.