द्वि-परमाणुक गैस की स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) की गणना कीजिए।

(N/A) $O_{2}$,$N_{2}$,$H_{2}$,या $CO$ जैसे द्वि-परमाणुक गैस के अणुओं में $x$,$y$,और $z$ अक्षों के अनुदिश गति के अनुरूप तीन स्थानांतरीय स्वतंत्रता की कोटि होती हैं।
$E_{t} = \langle \frac{1}{2} m v_{x}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} m v_{y}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} m v_{z}^{2} \rangle$
इसके अतिरिक्त,इसमें दो $(2)$ घूर्णी स्वतंत्रता की कोटि होती हैं,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। एक द्वि-परमाणुक अणु के लिए,अंतर-परमाणुक अक्ष के लंबवत अक्षों के परितः दो स्वतंत्र घूर्णी गतियां होती हैं।
मान लीजिए $\omega_{1}$ और $\omega_{2}$ अक्ष $1$ और $2$ के परितः कोणीय गति हैं,और $I_{1}$ और $I_{2}$ इन अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण हैं।
अणु की कुल ऊर्जा स्थानांतरीय और घूर्णी गतिज ऊर्जा $(KE)$ का योग है:
$E = E_{t} + E_{r}$
$E = \langle \frac{1}{2} m v_{x}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} m v_{y}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} m v_{z}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2} \rangle$
यहाँ,स्थानांतरीय $KE$ के लिए $3$ पद और घूर्णी $KE$ के लिए $2$ पद हैं,जिसके परिणामस्वरूप कमरे के तापमान पर कुल $5$ स्वतंत्रता की कोटि प्राप्त होती हैं।
उच्च तापमान पर,ये अणु एक कंपन मोड भी प्रदर्शित करते हैं। परमाणु अंतर-परमाणुक अक्ष के साथ एक-आयामी हार्मोनिक ऑसिलेटर की तरह दोलन करते हैं,जो दो अतिरिक्त स्वतंत्रता की कोटि (एक गतिज ऊर्जा के लिए और एक स्थितिज ऊर्जा के लिए) जोड़ते हैं,जिससे कुल $7$ स्वतंत्रता की कोटि हो जाती हैं।