Degree of Freedom Questions in Hindi

(D) स्वतंत्रता की कोटियों की कुल संख्या $(f)$ स्थानांतरण और घूर्णन स्वतंत्रता की कोटियों का योग है: $f = 3 + 2 = 5$.
आदर्श गैस के एक मोल के लिए कुल आंतरिक ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{f}{2} RT$ है। $f = 5$ रखने पर,हमें $U = \frac{5}{2} RT$ प्राप्त होता है।
एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma$ को मोलर विशिष्ट ऊष्मा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,$\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f}$।
$\gamma$ के सूत्र में $f = 5$ रखने पर,हमें $\gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।

(C) ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,स्वतंत्रता की प्रत्येक कोटि (degree of freedom) से जुड़ी औसत ऊर्जा $\frac{1}{2} k_{B} T$ होती है।
एक-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि की संख्या $(f)$ $3$ होती है (सभी स्थानांतरणीय)।
अतः,औसत तापीय ऊर्जा $E = f \times \frac{1}{2} k_{B} T = 3 \times \frac{1}{2} k_{B} T = \frac{3}{2} k_{B} T$ होगी।

(A) एक बहुपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कुल कोटि (degrees of freedom) $f$ स्थानांतरीय,घूर्णी और कंपन स्वतंत्रता की कोटि के योग द्वारा दी जाती है।
स्थानांतरीय स्वतंत्रता की कोटि $= 3$.
अरेखीय बहुपरमाणुक अणु के लिए घूर्णी स्वतंत्रता की कोटि $= 3$.
प्रत्येक कंपन मोड $2$ स्वतंत्रता की कोटि का योगदान देता है (एक गतिज ऊर्जा के लिए और एक स्थितिज ऊर्जा के लिए)।
$24$ कंपन मोड दिए गए हैं,इसलिए कंपन स्वतंत्रता की कोटि $= 24 \times 2 = 48$.
स्वतंत्रता की कुल कोटि $f = 3 + 3 + 48 = 54$.
रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma$ को $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
$f$ का मान रखने पर: $\gamma = 1 + \frac{2}{54} = 1 + \frac{1}{27} = \frac{28}{27} \approx 1.037$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\gamma = 1.03$ प्राप्त होता है।

(A) ऊर्जा के समविभाजन के नियम (Law of Equipartition of Energy) के अनुसार,$T$ तापमान पर तापीय साम्यावस्था में किसी निकाय के लिए,प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) से जुड़ी ऊर्जा $\frac{1}{2} k_{B} T$ होती है।
अतः,एक आदर्श गैस के लिए प्रति स्वतंत्रता की कोटि औसत ऊर्जा $\frac{1}{2} k_{B} T$ होती है।

(B) एक गैर-रेखीय बहुपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
स्थानांतरणीय स्वतंत्रता की कोटि = $3$
घूर्णी स्वतंत्रता की कोटि = $3$
कंपन स्वतंत्रता की कोटि = $2 \times 2 = 4$ (क्योंकि प्रत्येक कंपन मोड $2$ स्वतंत्रता की कोटि का योगदान देता है)।
कुल स्वतंत्रता की कोटि $f = 3 + 3 + 4 = 10$ है।
मोलर विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\beta$ (जिसे अक्सर $\gamma$ के रूप में दर्शाया जाता है) सूत्र $\beta = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
$f$ का मान रखने पर:
$\beta = 1 + \frac{2}{10} = 1 + 0.2 = 1.2$.

(B) समविभाजन के प्रमेय के अनुसार,स्वतंत्रता की प्रत्येक कोटि से जुड़ी औसत ऊर्जा $\frac{1}{2} k_B T$ होती है।
एक द्विपरमाणुक अणु के लिए,स्थानांतरण स्वतंत्रता की कोटि $3$ है,इसलिए औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E_{trans} = 3 \times (\frac{1}{2} k_B T) = \frac{3}{2} k_B T$ है।
एक कठोर द्विपरमाणुक अणु के लिए घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि $2$ है,इसलिए औसत घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_{rot} = 2 \times (\frac{1}{2} k_B T) = k_B T$ है।
कथन $I$ गलत है क्योंकि घूर्णन ऊर्जा स्तर क्वांटाइज्ड होते हैं और स्थानांतरण ऊर्जा की तरह मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण का पालन नहीं करते हैं।
कथन $II$ गलत है क्योंकि $E_{rot} = k_B T$ और $E_{trans} = \frac{3}{2} k_B T$ है,इसलिए वे बराबर नहीं हैं।

(B) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} PV$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
दिए गए संबंध $U = 3PV + 4$ की तुलना करने पर:
$\frac{f}{2} PV = 3PV + 4$
दोनों पक्षों को $PV$ से विभाजित करने पर:
$\frac{f}{2} = 3 + \frac{4}{PV}$
$f = 6 + \frac{8}{PV}$
चूँकि $\frac{8}{PV}$ पद धनात्मक है,इसलिए $f > 6$ प्राप्त होता है।
जिस गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि $f > 6$ होती है,वह बहु-परमाणुक गैस होती है।

(B) ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,तापीय साम्यावस्था में एक निकाय की औसत ऊर्जा में प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) का योगदान $\frac{1}{2} k_{B} T$ होता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $(D.O.F.)$ की संख्या $3$ होती है ($x, y,$ और $z$ अक्षों के अनुदिश स्थानांतरण गति के अनुरूप)।
अतः,प्रति अणु औसत ऊर्जा की गणना इस प्रकार की जाती है:
औसत ऊर्जा $= D.O.F. \times \frac{1}{2} k_{B} T = 3 \times \frac{1}{2} k_{B} T = \frac{3}{2} k_{B} T$.

(B) कथन $A$ गलत है क्योंकि ऊर्जा प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि में स्वतंत्र रूप से संग्रहीत होती है,न कि $n^2$ के रूप में।
कथन $B$ सही है,जो ऊर्जा के समविभाजन के नियम (Law of Equipartition of Energy) के अनुसार है,जो बताता है कि प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि आंतरिक ऊर्जा में प्रति मोल $\frac{1}{2} RT$ का योगदान देती है।
कथन $C$ गलत है क्योंकि एक परमाण्विक गैस अणु में $0$ घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि होती है,जबकि द्वि-परमाण्विक अणु में $2$ घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि होती है।
कथन $D$ सही है। $CH_{4}$ एक गैर-रेखीय बहु-परमाण्विक अणु है। $N$ परमाणुओं वाले एक गैर-रेखीय अणु के लिए कुल स्वतंत्रता की कोटि $f = 3N$ होती है। $CH_{4}$ के लिए,$N=5$,इसलिए $f = 3 \times 5 = 15$। हालाँकि,यदि हम मध्यम तापमान पर कठोर अणुओं पर विचार करें,तो स्वतंत्रता की कोटि $3$ (स्थानांतरणीय) $+ 3$ (घूर्णन) $= 6$ होती है। इस प्रकार,कठोर पिंड गतिशीलता के संदर्भ में $D$ सही माना जाता है।
अतः,$B$ और $D$ सही कथन हैं।

(A) दिया गया है,स्वतंत्रता की कोटि $f = 8$ है।
स्थिर दबाव पर किया गया कार्य $W = n R \Delta T = 150 \; J$ है।
स्थिर दबाव पर अवशोषित ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि $C_p = \left( \frac{f}{2} + 1 \right) R$ होता है।
इस मान को ऊष्मा के समीकरण में रखने पर: $Q = n \left( \frac{f}{2} + 1 \right) R \Delta T$ प्राप्त होता है।
चूंकि $W = n R \Delta T = 150 \; J$,इसलिए $Q = \left( \frac{f}{2} + 1 \right) W$ होगा।
$f = 8$ और $W = 150 \; J$ रखने पर:
$Q = \left( \frac{8}{2} + 1 \right) \times 150 = (4 + 1) \times 150 = 5 \times 150 = 750 \; J$।

(B) हाइड्रोजन $(H_2)$ एक द्वि-परमाणुक अणु है।
बहुत उच्च तापमान पर,कंपन की स्वतंत्रता की कोटि (vibrational degrees of freedom) सक्रिय हो जाती है।
उच्च तापमान पर एक द्वि-परमाणुक अणु के लिए स्वतंत्रता की कुल कोटि $(f)$ में शामिल हैं:
$3$ स्थानांतरण स्वतंत्रता की कोटि,
$2$ घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि,और
$2$ कंपन स्वतंत्रता की कोटि।
स्वतंत्रता की कुल कोटि $f = 3 + 2 + 2 = 7$ है।
घूर्णन गति से जुड़ी ऊर्जा का अंश,घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि और स्वतंत्रता की कुल कोटि का अनुपात होता है।
अंश $= \frac{f_{rot}}{f_{total}} = \frac{2}{7}$।

(C) विभिन्न प्रकार की गैसों के लिए स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ इस प्रकार है:
$1$. एकपरमाणुक गैसें: इनमें केवल $3$ स्थानांतरणीय स्वतंत्रता की कोटि होती है। अतः,$(A) - (I)$।
$2$. दृढ़ द्विपरमाणुक गैसें: इनमें $3$ स्थानांतरणीय और $2$ घूर्णी स्वतंत्रता की कोटि होती है। अतः,$(B) - (III)$।
$3$. अदृढ़ द्विपरमाणुक गैसें: इनमें $3$ स्थानांतरणीय,$2$ घूर्णी और $1$ कंपन स्वतंत्रता की कोटि होती है। अतः,$(C) - (IV)$।
$4$. बहुपरमाणुक गैसें: इनमें $3$ स्थानांतरणीय,$3$ घूर्णी और एक से अधिक कंपन स्वतंत्रता की कोटि होती है। अतः,$(D) - (II)$।
अतः,सही मिलान $(A) - (I), (B) - (III), (C) - (IV), (D) - (II)$ है।

(C) एक आदर्श गैस की कुल गतिज ऊर्जा का सूत्र है: $K.E. = \frac{f}{2} nRT$।
ऑक्सीजन $(O_2)$ जैसी द्वि-परमाणुक गैस के लिए,कमरे के तापमान पर स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $5$ होती है।
दिया गया है:
मोल की संख्या $(n)$ = $1 \ mol$
तापमान $(T)$ = $27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$
सार्वत्रिक गैस नियतांक $(R)$ = $8.31 \ J/mol \cdot K$
सूत्र में मान रखने पर:
$K.E. = \frac{5}{2} \times 1 \times 8.31 \times 300$
$K.E. = 5 \times 8.31 \times 150$
$K.E. = 6232.5 \ J$

(B) $CH_4$ अणु एक बहुपरमाणुक अरेखीय (non-linear) अणु है।
त्रिविमीय अंतरिक्ष में किसी भी अणु के लिए,स्थानांतरीय स्वतंत्रता की कोटि $(f_t)$ हमेशा $3$ होती है,जो $x, y,$ और $z$ अक्षों के अनुदिश गति के अनुरूप होती है।
एक अरेखीय बहुपरमाणुक अणु के लिए,घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि $(f_r)$ भी $3$ होती है,जो जड़त्व के तीन मुख्य अक्षों के परितः घूर्णन के अनुरूप होती है।
अतः,$CH_4$ के लिए,$f_t = 3$ और $f_r = 3$ है।

(D) एक गैर-दृढ़ द्विपरमाणुक अणु के लिए, स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ में $3$ स्थानांतरण, $2$ घूर्णन और $2$ कंपन विधाएं शामिल होती हैं।
अतः, $f = 3 + 2 + 2 = 7$ है।
एक अणु की ऊर्जा $U = \frac{f}{2} K_B T$ द्वारा दी जाती है।
$f = 7$ प्रतिस्थापित करने पर, एक अणु की ऊर्जा $U = \frac{7}{2} K_B T$ प्राप्त होती है।
ऐसे $10$ अणुओं के लिए, कुल ऊर्जा $E = 10 \times \frac{7}{2} K_B T = 35 K_B T$ होगी।

(D) रुद्धोष्म सूचकांक $(\gamma)$ का सूत्र $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
एक कठोर द्विपरमाणुक अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन) है।
अतः,$\gamma_1 = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.4$.
कंपन मोड वाले द्विपरमाणुक अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 7$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन + $2$ कंपन) है।
अतः,$\gamma_2 = 1 + \frac{2}{7} \approx 1 + 0.286 = 1.286$.
दोनों मानों की तुलना करने पर,$\gamma_2 < \gamma_1$ प्राप्त होता है।

(D) $f$ स्वतंत्रता की कोटि वाली गैस के लिए,विशिष्ट ऊष्मा अनुपात $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = \frac{f+2}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
एकपरमाणुक गैस $A$ के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_{A} = 3$ है। अतः,$\gamma_{A} = \frac{3+2}{3} = \frac{5}{3}$.
बहुपरमाणुक गैस $B$ के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_{B} = 3 \text{ (स्थानांतरण)} + 3 \text{ (घूर्णन)} + 2 \times 1 \text{ (कंपन)} = 8$ है। अतः,$\gamma_{B} = \frac{8+2}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
अब,अनुपात की गणना करने पर: $\frac{\gamma_{A}}{\gamma_{B}} = \frac{5/3}{5/4} = \frac{5}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{3}$.
दिया गया है कि $\frac{\gamma_{A}}{\gamma_{B}} = 1 + \frac{1}{n}$,इसलिए $1 + \frac{1}{n} = \frac{4}{3}$.
$\frac{1}{n} = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
अतः,$n = 3$.

(C) विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma$ और स्वतंत्रता की कोटि $f$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$।
यहाँ दिया गया है कि स्वतंत्रता की कोटि $f = X$ है।
सूत्र में $f$ के स्थान पर $X$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\gamma = 1 + \frac{2}{X}$।

(D) $f$ स्वतंत्रता की कोटि वाली गैस के लिए स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{V} = \frac{f}{2}R$ द्वारा दी जाती है।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_{P} = C_{V} + R = (\frac{f}{2} + 1)R = \frac{f+2}{2}R$ द्वारा दी जाती है।
मोलर विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}} = \frac{f+2}{f}$ होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर विकल्प $D$ है।

(C) एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{f}{2} R$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $R = \frac{2}{f} C_v$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण $R = \frac{2}{3} C_v$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $f = 3$ है।
$3$ स्वतंत्रता की कोटि वाली गैस एकपरमाणुक होती है (उदाहरण के लिए,हीलियम या नियॉन जैसी अक्रिय गैसें)।

(C) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_m = 3$ है। अतः,$\gamma_m = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ है।
दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_d = 5$ है। अतः,$\gamma_d = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ है।
$\gamma_d$ और $\gamma_m$ का अनुपात $\frac{\gamma_d}{\gamma_m} = \frac{7/5}{5/3} = \frac{7}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{21}{25}$ होगा।

(B) $1$. दिया गया है: दबाव $P = 10^5 \text{ N m}^{-2}$,घनत्व $\rho = 5 \text{ kg m}^{-3}$,कुल द्रव्यमान $M_{total} = 500 \text{ g} = 0.5 \text{ kg}$.
$2$. गैस द्वारा घेरा गया आयतन $V = \frac{M_{total}}{\rho} = \frac{0.5}{5} = 0.1 \text{ m}^3$.
$3$. आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$nRT = PV = 10^5 \times 0.1 = 10^4 \text{ J}$.
$4$. एक दृढ़ रोटेटर के रूप में कार्य करने वाली द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन) होती है।
$5$. एक मोल गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} RT$ द्वारा दी जाती है।
$6$. $f = 5$ होने पर,$U = \frac{5}{2} RT$.
$7$. $PV = nRT$ से,$RT = \frac{PV}{n}$.
$8$. यहाँ कुल ऊर्जा $\frac{5}{2} PV = 2.5 \times 10^4 \text{ J}$ प्राप्त होती है,जो दिए गए विकल्पों के अनुरूप है।

(B) आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = n \frac{f}{2} RT$ है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है,$f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
$f_1 = 5$ के साथ $T$ तापमान पर $n_1$ मोल हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए:
$U_1 = n_1 \times \frac{5}{2} \times R \times T$
$f_2 = 3$ के साथ $2T$ तापमान पर $n_2$ मोल हीलियम $(He)$ के लिए:
$U_2 = n_2 \times \frac{3}{2} \times R \times (2T)$
दिया गया है कि $U_1 = U_2$:
$n_1 \times \frac{5}{2} \times RT = n_2 \times \frac{3}{2} \times R \times 2T$
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2}$,$R$ और $T$ को हटाने पर:
$5n_1 = 6n_2$
अतः,अनुपात $\frac{n_1}{n_2} = \frac{6}{5}$ है।

(A) गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा केवल उसके परम तापमान $T$ पर निर्भर करती है और इसे सूत्र $K.E. = \frac{f}{2} k T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) की संख्या है और $k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।
कार्बन मोनोऑक्साइड $(CO)$ और नाइट्रोजन $(N_{2})$ दोनों द्विपरमाणुक गैसें हैं।
द्विपरमाणुक गैसों के लिए,मध्यम तापमान पर स्वतंत्रता की कोटि की संख्या $f = 5$ होती है।
चूंकि दोनों गैसें समान तापमान $T$ पर हैं,इसलिए प्रति अणु उनकी औसत गतिज ऊर्जा समान है।
अतः,$E_{1} = E_{2}$।

(B) विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma$ को $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
आदर्श गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{f}{2}R$ होती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = C_v + R = (\frac{f}{2} + 1)R$ होती है।
इसलिए,$\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{(\frac{f}{2} + 1)R}{\frac{f}{2}R} = \frac{\frac{f+2}{2}}{\frac{f}{2}} = \frac{f+2}{f} = 1 + \frac{2}{f}$।
$f$ के लिए इस समीकरण को हल करने पर:
$\gamma - 1 = \frac{2}{f}$।
$f = \frac{2}{\gamma - 1}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) $n$ मोल आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{f}{2} n R T$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि है,$n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
दिया गया है: $n = 3$,$T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$,और $U = 2250 R$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$2250 R = \frac{f}{2} \times 3 \times R \times 300$
$2250 = \frac{f}{2} \times 900$
$2250 = f \times 450$
$f = \frac{2250}{450} = 5$.
अतः,गैस की स्वतंत्रता की कोटि $5$ है।

(C) एक-परमाणुक अणु,जैसे हीलियम या नियॉन,एक ही परमाणु से बना होता है।
चूंकि यह एक बिंदु द्रव्यमान है,इसलिए इसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली किसी भी अक्ष के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण नगण्य $(I \approx 0)$ होता है।
इसलिए,यह घूर्णन गतिज ऊर्जा नहीं रख सकता है।
परिणामस्वरूप,एक-परमाणुक अणु के लिए घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि की संख्या $0$ होती है।

(B) त्रिविमीय आकाश में,एक अणु के पास कुल $3N$ स्वतंत्रता की कोटि होती है,जहाँ $N$ परमाणुओं की संख्या है। एक द्विपरमाणुक अणु के लिए,$N = 2$,इसलिए कुल स्वतंत्रता की कोटि $3 \times 2 = 6$ होती है।
इन $6$ स्वतंत्रता की कोटियों को इस प्रकार वर्गीकृत किया गया है:
$1$. स्थानांतरण स्वतंत्रता की कोटि: $3$ ($x, y,$ और $z$ अक्षों के अनुदिश)।
$2$. घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि: $2$ (एक रैखिक द्विपरमाणुक अणु के लिए)।
$3$. कंपन स्वतंत्रता की कोटि: शेष स्वतंत्रता की कोटि की गणना $6 - (3 + 2) = 1$ के रूप में की जाती है।
अतः,एक द्विपरमाणुक अणु में $1$ कंपन स्वतंत्रता की कोटि होती है।

(C) एक द्वि-परमाणुक अणु दो परमाणुओं से बना होता है जो एक कठोर बंधन द्वारा जुड़े होते हैं।
यह उन दो अक्षों के परितः घूम सकता है जो दोनों परमाणुओं को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत होते हैं।
दोनों परमाणुओं से गुजरने वाली अक्ष के परितः घूर्णन को शास्त्रीय गतिज सिद्धांत में उपेक्षित किया जाता है क्योंकि इस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) नगण्य होता है।
इसलिए,एक द्वि-परमाणुक अणु में $2$ घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि होती है।

(A) हम जानते हैं कि विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$ के रूप में परिभाषित होता है।
आदर्श गैस के लिए,नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{f}{2}R$ होती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि है।
मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए,नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = C_V + R = \frac{f}{2}R + R = \frac{f+2}{2}R$ होती है।
इन मानों को $\gamma$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{\frac{f+2}{2}R}{\frac{f}{2}R} = \frac{f+2}{f}$.
$f$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\gamma f = f + 2$
$\gamma f - f = 2$
$f(\gamma - 1) = 2$
$f = \frac{2}{\gamma - 1}$.

(C) दिया गया है: गैस का घनत्व,$\rho = \frac{1400}{1089} \ kg/m^3$,ध्वनि की गति,$v = 330 \ m/s$,और मानक स्थितियों में,गैस का दबाव,$P = 1 \times 10^5 \ N/m^2$.
गैस में ध्वनि की गति का सूत्र: $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $v^2 = \frac{\gamma P}{\rho} \implies \gamma = \frac{v^2 \rho}{P}$.
मान रखने पर: $\gamma = \frac{(330)^2 \times (1400/1089)}{10^5} = \frac{108900 \times 1400}{10^5 \times 1089} = 1.4$.
हम जानते हैं कि एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma$ और स्वतंत्रता की कोटि $f$ के बीच संबंध: $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$.
$\gamma = 1.4$ रखने पर: $1.4 = 1 + \frac{2}{f} \implies 0.4 = \frac{2}{f} \implies f = \frac{2}{0.4} = 5$.
अतः,स्वतंत्रता की कोटि $5$ है.

(B) $f$ स्वतंत्रता की कोटि वाले गैस अणु की आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $f = 6$,$T = 47^{\circ} C = 47 + 273 = 320 \ K$,और $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \ J \ K^{-1}$।
मान रखने पर: $U = \frac{6}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 320 = 3 \times 1.38 \times 320 \times 10^{-23} \ J$।
$U = 1324.8 \times 10^{-23} \ J$।
ऊर्जा को जूल से $eV$ में बदलने के लिए,इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \ C)$ से विभाजित करें:
$U_{eV} = \frac{1324.8 \times 10^{-23}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 828 \times 10^{-4} \ eV$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) एक कठोर द्विपरमाणुक गैस अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $5$ होती है ($3$ स्थानांतरण और $2$ घूर्णन)।
ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,एक आदर्श गैस के $n$ मोल की आंतरिक ऊर्जा $(U)$ $U = n \cdot \frac{f}{2} RT$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $n = 1$ मोल और $f = 5$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$U = 1 \cdot \frac{5}{2} RT = \frac{5}{2} RT$.
अतः,आंतरिक ऊर्जा $\frac{5}{2} RT$ है।

(C) ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,प्रति अणु प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि से जुड़ी औसत गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} K T$ होती है,जहाँ $K$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
यह दिया गया है कि गैस में $n$ स्वतंत्रता की कोटि हैं,इसलिए प्रति अणु कुल औसत गतिज ऊर्जा प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि से जुड़ी गतिज ऊर्जा का योग है।
अतः,प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $= n \times (\frac{1}{2} K T) = \frac{n K T}{2}$.

(D) गैस अणु की औसत गतिज ऊर्जा $K = \frac{f}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
$NTP$ (कम तापमान) पर द्वि-परमाणुक गैस अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन) होती है।
उच्च तापमान पर,कंपन मोड भी सक्रिय हो जाता है,इसलिए स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 7$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन + $2$ कंपन) हो जाती है।
ऊर्जा अवस्थाओं की तुलना के लिए तापमान $T$ को समान मानते हुए,उच्च तापमान पर गतिज ऊर्जा और $NTP$ पर गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{high}}{K_{NTP}} = \frac{f_2}{f_1} = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) ऊर्जा के समविभाजन प्रमेय के अनुसार,एक दृढ़ द्विपरमाणुक अणु की घूर्णन गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} I \omega^2 = k_B T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$\omega$ कोणीय चाल है और $k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है।
अतः,rms कोणीय चाल $\omega_{rms} = \sqrt{\frac{2 k_B T}{I}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $T = 87^{\circ} C = 87 + 273 = 360 \text{ K}$,$I = 2.76 \times 10^{-46} \text{ kg} \cdot m^2$,और $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J} \cdot K^{-1}$.
मान रखने पर:
$\omega_{rms} = \sqrt{\frac{2 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 360}{2.76 \times 10^{-46}}}$
$\omega_{rms} = \sqrt{\frac{2.76 \times 10^{-23} \times 360}{2.76 \times 10^{-46}}}$
$\omega_{rms} = \sqrt{360 \times 10^{23}} = \sqrt{36 \times 10^{24}} = 6 \times 10^{12} \text{ rad} \cdot s^{-1}$.

(A) एक दृढ़ द्विपरमाणुक अणु के लिए,घूर्णन गतिज ऊर्जा दो स्वतंत्रता की कोटियों से जुड़ी होती है। ऊर्जा के समविभाजन प्रमेय के अनुसार,औसत घूर्णन गतिज ऊर्जा $K.E. = 2 \times (\frac{1}{2} k_B T) = k_B T$ होती है।
दिया गया जड़त्व आघूर्ण $I = 2.76 \times 10^{-39} \text{ g cm}^2 = 2.76 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$ है।
तापमान $T = 87 + 273 = 360 \text{ K}$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा को $\frac{1}{2} I \omega_{rms}^2$ के बराबर रखने पर:
$k_B T = \frac{1}{2} I \omega_{rms}^2$
$\omega_{rms} = \sqrt{\frac{2 k_B T}{I}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 360}{2.76 \times 10^{-46}}} = \sqrt{36 \times 10^{24}} = 6 \times 10^{12} \text{ rad s}^{-1}$.

(D) किसी भी गैस अणु के लिए,स्थानांतरणीय स्वतंत्रता की कोटि हमेशा $3$ होती है ($x, y,$ और $z$ अक्ष के अनुदिश)।
एक रैखिक बहुपरमाणुक अणु के लिए,घूर्णी स्वतंत्रता की कोटि $2$ होती है (आणविक अक्ष के लंबवत दो अक्षों के परितः घूर्णन)।
अतः,स्थानांतरणीय स्वतंत्रता की कोटि और घूर्णी स्वतंत्रता की कोटि का अनुपात $3:2$ है।

(C) एक दृढ़ द्विपरमाणुक अणु दो परमाणुओं से बना होता है जो एक दृढ़ बंधन द्वारा जुड़े होते हैं,जिसे डंबल के रूप में माना जा सकता है।
ऐसा अणु अंतर-परमाणुक अक्ष (दो परमाणुओं से गुजरने वाली अक्ष) के लंबवत दो अक्षों के परितः घूम सकता है।
अंतर-परमाणुक अक्ष (आरेख में $X$-अक्ष) के परितः घूर्णन घूर्णी गतिज ऊर्जा में योगदान नहीं देता है क्योंकि इस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण नगण्य होता है।
इसलिए,अणु की केवल $2$ घूर्णी स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं।