गैस की आंतरिक ऊर्जा का समीकरण उसकी स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) के पदों में व्युत्पन्न कीजिए।

मान लीजिए कि दी गई गैस के अणुओं की संख्या $N$ है। यदि प्रत्येक अणु की स्वतंत्रता की कोटि $f$ है,तो ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि से जुड़ी आंतरिक ऊर्जा $\frac{1}{2} k_{B} T$ होती है।
गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा $U$ इस प्रकार दी जाती है:
$U = [\text{अणुओं की कुल संख्या}] \times [\text{प्रति अणु स्वतंत्रता की कोटि}] \times [\text{प्रति स्वतंत्रता की कोटि आंतरिक ऊर्जा}]$
$\therefore U = N \times f \times \frac{1}{2} k_{B} T$
चूंकि $N = \mu N_{A}$,जहां $\mu$ मोलों की संख्या है और $N_{A}$ आवोगाद्रो संख्या है:
$U = \mu N_{A} \times f \times \frac{1}{2} k_{B} T$
संबंध $R = N_{A} k_{B}$ का उपयोग करने पर:
$U = \mu f \left( N_{A} k_{B} \right) \frac{1}{2} T$
$\therefore U = \frac{1}{2} \mu f RT$