Motion of Satellites in Circular Orbits and Planets in Elliptical Orbits Questions in Hindi

(A) प्रारंभ में,$m$ द्रव्यमान का पिंड $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में गति कर रहा है। अतः इसे कक्षीय गति $v_{0} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ के साथ गति करनी चाहिए।
टक्कर के बाद,मान लीजिए कि संयुक्त द्रव्यमान $v_{1}$ गति से चलता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$m v_{0} + \frac{m}{2} \left(\frac{v_{0}}{2}\right) = \left(m + \frac{m}{2}\right) v_{1}$
$m v_{0} + \frac{m v_{0}}{4} = \frac{3m}{2} v_{1}$
$\frac{5m v_{0}}{4} = \frac{3m}{2} v_{1}$
$v_{1} = \frac{5}{4} \times \frac{2}{3} v_{0} = \frac{5}{6} v_{0}$.
चूंकि टक्कर के बाद की गति $(v_{1} = \frac{5}{6} v_{0})$ कक्षीय गति $(v_{0})$ के बराबर नहीं है,इसलिए गति वृत्ताकार नहीं हो सकती है।
चूंकि वेग स्पर्शरेखीय बना रहता है,इसलिए यह ग्रह की ओर लंबवत नहीं गिर सकता है।
साथ ही,टक्कर के बाद की गति पलायन वेग $(v_{e} = \sqrt{2} v_{0})$ से कम है,इसलिए पिंड गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर नहीं निकल सकता है।
अतः,संयुक्त पिंड ग्रह के चारों ओर एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा में गति करेगा।

(C) दिया गया है $k = 10^{-13} \; s^{2} \; m^{-3}$।
$k$ को $d^{2} \; km^{-3}$ में बदलने के लिए:
$1 \; s = \frac{1}{24 \times 60 \times 60} \; d = \frac{1}{86400} \; d$
$1 \; m = 10^{-3} \; km$
इन मानों को $k$ में रखने पर:
$k = 10^{-13} \times (\frac{1}{86400})^{2} \; d^{2} \times (10^{-3})^{-3} \; km^{-3}$
$k = 10^{-13} \times \frac{1}{7.465 \times 10^{9}} \times 10^{9} \; d^{2} \; km^{-3}$
$k \approx 1.33 \times 10^{-14} \; d^{2} \; km^{-3}$
अब,$T^{2} = k(R_{E}+h)^{3}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $R_{E}+h = 3.84 \times 10^{5} \; km$:
$T^{2} = (1.33 \times 10^{-14}) \times (3.84 \times 10^{5})^{3}$
$T^{2} = (1.33 \times 10^{-14}) \times (56.623 \times 10^{15})$
$T^{2} \approx 753.08$
$T = \sqrt{753.08} \approx 27.4 \; d$.
सबसे निकटतम विकल्प $27.3 \; d$ है।

(N/A) हमारी आकाशगंगा का द्रव्यमान, $M = 2.5 \times 10^{11} \times (2.0 \times 10^{30} \; kg) = 5 \times 10^{41} \; kg$.
कक्षा की त्रिज्या, $r = 50,000 \; ly = 5 \times 10^{4} \times 9.46 \times 10^{15} \; m = 4.73 \times 10^{20} \; m$.
आकाशगंगा के केंद्र के चारों ओर घूमने वाले तारे के आवर्तकाल $T$ के लिए केप्लर के तीसरे नियम का उपयोग करते हुए:
$T = \sqrt{\frac{4 \pi^{2} r^{3}}{G M}}$.
मान रखने पर:
$T = \sqrt{\frac{4 \times (3.14)^{2} \times (4.73 \times 10^{20})^{3}}{6.67 \times 10^{-11} \times 5 \times 10^{41}}}$.
$T = \sqrt{\frac{39.48 \times 105.82 \times 10^{60}}{33.35 \times 10^{30}}} = \sqrt{125.27 \times 10^{30}} \approx 1.12 \times 10^{16} \; s$.
सेकंड को वर्षों में बदलने पर:
$T = \frac{1.12 \times 10^{16}}{365.25 \times 24 \times 3600} \approx 3.55 \times 10^{8} \; \text{वर्ष}$.

(C, F) नहीं। जैसे-जैसे सूर्य से दूरी बदलती है,रैखिक गति बदलती है।
$(b)$ नहीं। केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार कोणीय गति बदलती है।
$(c)$ हाँ। चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है,इसलिए धूमकेतु पर कार्य करने वाला टॉर्क शून्य होता है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
$(d)$ नहीं। जैसे-जैसे रैखिक गति बदलती है,गतिज ऊर्जा भी बदलती है।
$(e)$ नहीं। स्थितिज ऊर्जा सूर्य से दूरी पर निर्भर करती है,जो दीर्घवृत्ताकार कक्षा में बदलती रहती है।
$(f)$ हाँ। सूर्य के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में धूमकेतु की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।

(N/A) $1$. दो बिंदु $F_{1}$ और $F_{2}$ चुनें।
$2$. एक धागे के सिरों को $F_{1}$ और $F_{2}$ पर स्थिर करें।
$3$. पेंसिल की नोक का उपयोग करके धागे को तानें और पेंसिल को इस प्रकार घुमाएं कि पूरी गति के दौरान धागा तना रहे।
$4$. प्राप्त बंद वक्र को दीर्घवृत्त (ellipse) कहा जाता है।
$5$. दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु $T$ के लिए,$F_{1}$ और $F_{2}$ से दूरियों का योग स्थिर रहता है। $F_{1}$ और $F_{2}$ को नाभियाँ (foci) कहा जाता है।
$6$. $F_{1}$ और $F_{2}$ बिंदुओं को जोड़ें और रेखा को दीर्घवृत्त पर बिंदुओं $P$ और $A$ तक बढ़ाएं। रेखाखंड $PA$ का मध्यबिंदु दीर्घवृत्त का केंद्र $O$ है।
$7$. लंबाई $PO = AO$ को दीर्घवृत्त का अर्ध-दीर्घ अक्ष (semi-major axis) कहा जाता है।

(A) बोहर के अभिगृहीत के अनुसार, कोणीय संवेग $L = m v_n r_n = n h / 2 \pi$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10\; kg$, त्रिज्या $r_n = 8000\; km = 8 \times 10^6\; m$, और आवर्तकाल $T = 2\; \text{घंटे }= 7200\; s$.
कक्षीय वेग $v_n = 2 \pi r_n / T$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय संवेग समीकरण में $v_n$ का मान रखने पर: $m (2 \pi r_n / T) r_n = n h / 2 \pi$.
क्वांटम संख्या $n$ के लिए सूत्र: $n = (2 \pi r_n)^2 \times m / (T \times h)$.
मान रखने पर: $n = (2 \pi \times 8 \times 10^6)^2 \times 10 / (7200 \times 6.63 \times 10^{-34})$.
$n = (25.13 \times 10^6)^2 \times 10 / (4.77 \times 10^{-30})$.
$n = 6.315 \times 10^{14} \times 10 / 4.77 \times 10^{-30} \approx 5.3 \times 10^{45}$.

(C) चंद्रमा पृथ्वी के चारों ओर लगभग वृत्ताकार कक्षा में घूमता है।
वृत्तीय गति में,पृथ्वी द्वारा चंद्रमा पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है,जो कक्षा के केंद्र की ओर (त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर) निर्देशित होता है।
किसी भी क्षण चंद्रमा का विस्थापन वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा की दिशा में होता है।
बल (अभिकेंद्र बल) और विस्थापन के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
किया गया कार्य $W$ सूत्र $W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
चूंकि $\theta = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\cos(90^{\circ}) = 0$ होता है।
अतः,$W = F \cdot s \cdot 0 = 0$।
इस प्रकार,चंद्रमा पर पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य शून्य है।

(N/A) किसी ग्रह के चारों ओर उसकी परिक्रमण दिशा में घूमने वाले पिंड को उपग्रह कहा जाता है।
उपग्रह की गति सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति के समान होती है,इसलिए $Kepler$ के ग्रहों की गति के नियम उन पर भी समान रूप से लागू होते हैं।
पृथ्वी के चारों ओर उनकी कक्षाएं वृत्ताकार या दीर्घवृत्ताकार होती हैं।
उपग्रह दो प्रकार के होते हैं:
$(i)$ प्राकृतिक उपग्रह: चंद्रमा पृथ्वी का प्राकृतिक उपग्रह है जिसका आवर्तकाल लगभग $27.3$ दिन है। यह चंद्रमा के अपनी धुरी पर घूमने की अवधि के बराबर है। बृहस्पति ग्रह के कई उपग्रह हैं।
$(ii)$ कृत्रिम उपग्रह: मानव निर्मित पहला कृत्रिम उपग्रह $Sputnik$ था,जिसे $1957$ में रूसी वैज्ञानिकों द्वारा पृथ्वी की कक्षा में स्थापित किया गया था। भारत ने भी ($19$ अप्रैल $1975$) सफलतापूर्वक '$Aryabhatta$' और '$INSAT$' श्रृंखला के उपग्रह लॉन्च किए हैं।
उपग्रहों का उपयोग वैज्ञानिक अनुसंधान,इंजीनियरिंग,संचार,मौसम पूर्वानुमान,जासूसी,सैन्य संचालन,भू-भौतिकी और मौसम विज्ञान के लिए किया जाता है।

(N/A) किसी उपग्रह को एक निश्चित कक्षा में पृथ्वी के चारों ओर घूमने के लिए आवश्यक वेग को उपग्रह का कक्षीय वेग कहा जाता है।
मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान का एक उपग्रह पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर है और चित्र में दिखाए अनुसार पृथ्वी के चारों ओर घूम रहा है। पृथ्वी के केंद्र से इसकी दूरी $r = R_E + h$ है। मान लीजिए उपग्रह का कक्षीय वेग $v_0$ है।
पृथ्वी द्वारा उपग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल:
$F = \frac{G M_E m}{r^2}$
उपग्रह की वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
$F_c = \frac{m v_0^2}{r}$
अभिकेंद्र बल को गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर रखने पर:
$\frac{m v_0^2}{r} = \frac{G M_E m}{r^2}$
समीकरण को सरल करने पर:
$v_0^2 = \frac{G M_E}{r}$
$r = R_E + h$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v_0 = \sqrt{\frac{G M_E}{R_E + h}}$
यह समीकरण दर्शाता है कि जैसे-जैसे ऊँचाई $h$ बढ़ती है,कक्षीय वेग $v_0$ घटता जाता है।

(N/A) उपग्रह का आवर्तकाल $(T)$ वह समय है जो उपग्रह को पृथ्वी के चारों ओर एक पूर्ण कक्षा पूरी करने में लगता है।
पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर उपग्रह का कक्षीय वेग:
$v_{0} = \sqrt{\frac{GM_{E}}{R_{E}+h}}$ ... $(1)$
कक्षीय वेग को कक्षा की परिधि और आवर्तकाल के अनुपात के रूप में भी परिभाषित किया जाता है:
$v_{0} = \frac{2\pi(R_{E}+h)}{T}$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\sqrt{\frac{GM_{E}}{R_{E}+h}} = \frac{2\pi(R_{E}+h)}{T}$
$T$ के लिए हल करने पर:
$T = \frac{2\pi(R_{E}+h)}{\sqrt{\frac{GM_{E}}{R_{E}+h}}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(R_{E}+h)^{3}}{GM_{E}}}$ ... $(3)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$T^{2} = \frac{4\pi^{2}}{GM_{E}}(R_{E}+h)^{3}$ ... $(4)$
संबंध $g = \frac{GM_{E}}{(R_{E}+h)^{2}}$ का उपयोग करते हुए,आवर्तकाल को $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ के पदों में व्यक्त किया जा सकता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{R_{E}+h}{g}}$ ... $(5)$
समीकरण $(4)$ से,यदि हम $r = R_{E}+h$ लें,तो $T^{2} = Kr^{3}$ प्राप्त होता है,जहाँ $K = \frac{4\pi^{2}}{GM_{E}}$ है। यह केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम की पुष्टि करता है,$T^{2} \propto r^{3}$।

(A) पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा करने वाला उपग्रह लगभग वृत्ताकार कक्षा में गति करता है।
किसी भी वस्तु को वृत्ताकार पथ पर गति करने के लिए अभिकेंद्र बल की आवश्यकता होती है।
उपग्रह के मामले में,यह अभिकेंद्र बल पृथ्वी और उपग्रह के बीच लगने वाले गुरुत्वाकर्षण आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
गणितीय रूप से,$F_c = F_g$,जहाँ $F_c = \frac{mv^2}{r}$ और $F_g = \frac{GMm}{r^2}$ है।
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल के लिए जिम्मेदार है।

(N/A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह का कक्षीय वेग $v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह के बहुत करीब परिक्रमा कर रहे उपग्रह के लिए,दूरी $r$ को पृथ्वी की त्रिज्या $R_e$ के बराबर माना जा सकता है (अर्थात $r \approx R_e$)।
सूत्र में $r = R_e$ रखने पर,हमें $v_o = \sqrt{\frac{GM}{R_e}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R_e^2}$ होता है,इसलिए हम $GM = gR_e^2$ लिख सकते हैं।
इस मान को कक्षीय वेग के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v_o = \sqrt{\frac{gR_e^2}{R_e}} = \sqrt{gR_e}$ प्राप्त होता है।

(N/A) उपग्रह का आवर्तकाल $(T)$ वह कुल समय है जो उपग्रह को अपनी कक्षा में केंद्रीय पिंड (जैसे कि ग्रह या तारा) के चारों ओर एक पूर्ण चक्कर लगाने में लगता है।
गणितीय रूप से,$M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह के लिए,कक्षीय आवर्तकाल इस प्रकार है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
जहाँ:
$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,
$M$ केंद्रीय पिंड का द्रव्यमान है,
$r$ कक्षीय त्रिज्या है (ग्रह के केंद्र से उपग्रह तक की दूरी)।

पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे उपग्रह का कक्षीय आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह के बहुत करीब परिक्रमा करने वाले उपग्रह के लिए,$r \approx R_e$ (पृथ्वी की त्रिज्या)।
$GM = gR_e^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = 2\pi \sqrt{\frac{R_e^3}{gR_e^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{R_e}{g}}$ प्राप्त होता है।
$R_e \approx 6.4 \times 10^6 \ m$ और $g \approx 9.8 \ m/s^2$ का उपयोग करते हुए:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{6.4 \times 10^6}{9.8}} \approx 6.28 \times 808 \approx 5074 \ s$।
मिनटों में बदलने पर,$T \approx 84.6 \ \text{minutes}$ होता है।

(N/A) भूस्थिर उपग्रह पृथ्वी का वह उपग्रह है जिसका कक्षीय आवर्तकाल $24$ घंटे होता है,जो पृथ्वी के अपनी धुरी पर घूर्णन के समय के बराबर है। पृथ्वी से देखने पर यह स्थिर दिखाई देता है और यह पृथ्वी के चारों ओर भूमध्यरेखीय तल में पश्चिम से पूर्व दिशा में परिक्रमा करता है।
इसके लिए,उपग्रह को पृथ्वी की सतह से एक उपयुक्त ऊंचाई $(h)$ पर स्थापित किया जाता है।
यदि $m$ द्रव्यमान का उपग्रह पृथ्वी के केंद्र से $r = R_{E} + h$ की दूरी पर परिक्रमा करता है,तो पृथ्वी की सतह से ऊंचाई $h$ का सूत्र इस प्रकार है:
$h = \left( \frac{GM_{E} T^{2}}{4 \pi^{2}} \right)^{\frac{1}{3}} - R_{E}$
भूस्थिर उपग्रह के लिए,आवर्तकाल $T = 24$ घंटे है। इस मान को रखने पर:
$h \approx 35,800 \text{ km}$
इस प्रकार के उपग्रह का उपयोग दूरसंचार (telecommunication) के लिए व्यापक रूप से किया जाता है।

(N/A) उपग्रह को स्थिर दिखाई देने के लिए आवश्यक शर्तें निम्नलिखित हैं:
$1)$ उपग्रह पृथ्वी के भूमध्यरेखीय तल में एक वृत्ताकार कक्षा में होना चाहिए।
$2)$ इसका कक्षीय परिक्रमण काल $24$ घंटे होना चाहिए।
$3)$ उपग्रह को पृथ्वी की घूर्णन दिशा में ही,यानी पश्चिम से पूर्व की ओर घूमना चाहिए।
$4)$ इसे पृथ्वी की भूमध्य रेखा से लगभग $36,000 \ km$ की ऊंचाई पर होना चाहिए।
भूस्थिर उपग्रह के घूर्णन की दिशा पश्चिम से पूर्व की ओर होती है,जो कि पृथ्वी के अपने अक्ष पर घूर्णन की दिशा के समान है।

(N/A) ध्रुवीय उपग्रह एक प्रकार का उपग्रह है जो पृथ्वी के चारों ओर उत्तर-दक्षिण दिशा में परिक्रमा करता है और ध्रुवों के ऊपर से गुजरता है,जबकि पृथ्वी अपनी धुरी पर पूर्व-पश्चिम दिशा में घूमती है।
ये कम ऊंचाई वाले उपग्रह होते हैं,जो आमतौर पर पृथ्वी की सतह से $h \approx 500$ से $800 \ km$ की ऊंचाई पर परिक्रमा करते हैं।
ध्रुवीय उपग्रह का कक्षीय आवर्तकाल लगभग $100$ मिनट होता है,जिससे यह दिन में कई बार किसी भी अक्षांश को पार कर सकता है।
उपग्रह पर लगा कैमरा एक कक्षा में पृथ्वी की केवल छोटी पट्टियों को ही देख सकता है। अगली कक्षाओं में आस-पास की पट्टियों को देखा जाता है,जिससे प्रभावी रूप से पूरे दिन में पूरी पृथ्वी को पट्टी-दर-पट्टी स्कैन किया जा सकता है।
ये उपग्रह ध्रुवीय और भूमध्यरेखीय क्षेत्रों को कम दूरी से उच्च रिज़ॉल्यूशन के साथ देख सकते हैं।
ऐसे उपग्रहों से प्राप्त जानकारी रिमोट सेंसिंग,मौसम विज्ञान और पृथ्वी के पर्यावरणीय अध्ययन के लिए अत्यंत उपयोगी है।

(N/A) एक भूस्थिर उपग्रह का कक्षीय आवर्तकाल $T$ पृथ्वी के घूर्णन काल के बराबर होना चाहिए,जो $T = 24 \text{ घंटे} = 86400 \text{ सेकंड}$ है।
केप्लर के तीसरे नियम से,कक्षीय आवर्तकाल का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है: $T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM}$।
यहाँ,$r = R_e + h$,जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $h$ सतह से ऊँचाई है।
$r$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $r = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{1/3}$।
$GM = gR_e^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $r = \left( \frac{gR_e^2 T^2}{4\pi^2} \right)^{1/3}$।
ऊँचाई $h$ इस प्रकार दी जाती है: $h = r - R_e = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{1/3} - R_e$।
मानक मानों ($M \approx 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}$,$G \approx 6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2/\text{kg}^2$) को प्रतिस्थापित करने पर,गणना की गई ऊँचाई $h$ पृथ्वी की सतह से लगभग $35,800 \text{ km}$ है।

(N/A) भूस्थिर उपग्रहों के उपयोग:
$1$. दूरसंचार: ये टेलीविजन,रेडियो और टेलीफोन संकेतों के लिए रिले स्टेशनों के रूप में कार्य करते हैं।
$2$. मौसम पूर्वानुमान: ये किसी विशिष्ट क्षेत्र पर मौसम के पैटर्न की निरंतर निगरानी प्रदान करते हैं।
ध्रुवीय उपग्रहों के उपयोग:
$1$. रिमोट सेंसिंग: इनका उपयोग मैपिंग,संसाधन अन्वेषण और पर्यावरणीय परिवर्तनों की निगरानी के लिए किया जाता है।
$2$. निगरानी: इनका उपयोग सैन्य टोही और सीमाओं की निगरानी के लिए किया जाता है।
$3$. वैज्ञानिक अनुसंधान: ये वायुमंडल और पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का अध्ययन करने में मदद करते हैं।

$(A)$ ध्रुवीय उपग्रह कम ऊँचाई वाले उपग्रह होते हैं जो पृथ्वी के चारों ओर ध्रुव से ध्रुव तक परिक्रमा करते हैं।
ये उपग्रह आमतौर पर पृथ्वी की सतह से लगभग $500 \text{ km}$ से $800 \text{ km}$ की ऊँचाई पर पृथ्वी के चारों ओर घूमते हैं।
यह कम ऊँचाई उन्हें मौसम की निगरानी और निगरानी के लिए पृथ्वी की सतह की उच्च-रिज़ॉल्यूशन छवियां लेने की अनुमति देती है।
इसलिए, सही विकल्प $A$ है।

(D) पृथ्वी की परिक्रमा कर रहे एक कृत्रिम उपग्रह में,उपग्रह और उसके अंदर की हर वस्तु मुक्त पतन (free fall) की स्थिति में होती है। चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल कक्षा के लिए आवश्यक अभिकेंद्री त्वरण प्रदान करता है,इसलिए उपग्रह के अंदर की वस्तुओं पर 'भार' या 'ऊपर' की दिशा को परिभाषित करने के लिए कोई अभिलंब बल (normal force) कार्य नहीं करता है। परिणामस्वरूप,वहां गुरुत्वाकर्षण का कोई अनुभव नहीं होता है और उपग्रह के संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष कोई भौतिक 'ऊपर' या 'नीचे' मौजूद नहीं होता है। इसलिए,ऊपर की कोई निश्चित दिशा नहीं होती है।

(A) जब कोई अंतरिक्ष यात्री परिक्रमा कर रहे उपग्रह के अंदर होता है,तो अंतरिक्ष यात्री और उपग्रह दोनों गुरुत्वाकर्षण के कारण पृथ्वी की ओर मुक्त पतन (free fall) की स्थिति में होते हैं।
चूंकि दोनों का त्वरण समान होता है (उस ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण),इसलिए उनके बीच सापेक्ष त्वरण शून्य होता है।
इस स्थिति को भारहीनता (weightlessness) कहा जाता है।
इसलिए,अंतरिक्ष यात्री उपग्रह के अंदर तैरता हुआ दिखाई देता है।

(B) पृथ्वी द्वारा चंद्रमा पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल चंद्रमा को पृथ्वी के चारों ओर अपनी वृत्ताकार कक्षा बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
चूँकि यह गुरुत्वाकर्षण बल चंद्रमा के रैखिक वेग के लंबवत कार्य करता है,इसलिए यह केवल चंद्रमा की गति की दिशा को बदलता है,उसकी गति (चाल) को नहीं।
इसलिए,चंद्रमा पृथ्वी पर गिरने के बजाय अपनी कक्षा में घूमता रहता है।

(B) नहीं,उपग्रह को पृथ्वी के चारों ओर घूमने के लिए ईंधन की आवश्यकता नहीं होती है। पृथ्वी द्वारा उपग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल उसे वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है। चूंकि यह बल हमेशा उपग्रह के वेग के लंबवत होता है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता है और उपग्रह बिना किसी अतिरिक्त ईंधन के अपनी कक्षा में घूमता रहता है।

(B) नहीं,किसी ग्रह का कक्षीय वेग उसके द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
कक्षीय वेग के सूत्र $v_{0} = \sqrt{\frac{GM_{e}}{r}}$ के अनुसार,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M_{e}$ केंद्रीय पिंड (जैसे सूर्य) का द्रव्यमान है और $r$ कक्षीय त्रिज्या है।
चूंकि इस व्यंजक में परिक्रमा करने वाले ग्रह का द्रव्यमान नहीं आता है,इसलिए कक्षीय वेग ग्रह के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।

(B) उपग्रह का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R_e + h)^3}{GM_e}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है,$h$ पृथ्वी की सतह से उपग्रह की ऊँचाई है,$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि $T \propto (R_e + h)^{3/2}$ है।
जैसे-जैसे ऊँचाई $h$ घटती है,पद $(R_e + h)$ का मान कम हो जाता है।
अतः,उपग्रह का आवर्तकाल $T$ घट जाता है।

(B) नहीं,चम्मच पृथ्वी पर नहीं गिरेगा।
चूंकि चम्मच अंतरिक्ष यान के अंदर था,इसलिए इसमें अंतरिक्ष यान के समान ही कक्षीय वेग होता है।
जब इसे बाहर फेंका जाता है,तो यह अंतरिक्ष यान की तरह ही उसी कक्षा में और उसी वेग से गति करना जारी रखता है।
इसलिए,यह अंतरिक्ष यान के साथ पृथ्वी की कक्षा में ही बना रहेगा और सतह पर नहीं गिरेगा।

(A) उपग्रह को एक ऐसी वस्तु के रूप में परिभाषित किया गया है जो गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में किसी ग्रह के चारों ओर एक स्थिर,बंद कक्षा में घूमती है।
यदि कोई उपग्रह पलायन वेग प्राप्त कर ले,तो वह अपनी कक्षा छोड़ देगा और अनंत पर चला जाएगा,जिससे वह उस ग्रह का उपग्रह नहीं रहेगा।
इसलिए,परिभाषा के अनुसार,एक स्थिर कक्षा में स्थित उपग्रह के पास केंद्रीय पिंड के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बाहर निकलने के लिए आवश्यक पलायन वेग नहीं होता है।

(A) एक ध्रुवीय उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर उत्तर-दक्षिण दिशा में परिक्रमा करता है,जो ध्रुवों के ऊपर से गुजरता है जबकि पृथ्वी उसके नीचे घूमती है।
पृथ्वी अपनी धुरी पर पश्चिम से पूर्व की ओर घूमती है।

(B) एक ध्रुवीय उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर उत्तर-दक्षिण दिशा में (ध्रुवों के ऊपर से गुजरते हुए) परिक्रमा करता है।
चूंकि पृथ्वी अपनी धुरी पर पश्चिम से पूर्व की ओर घूमती है,इसलिए उपग्रह प्रत्येक कक्षा के साथ पृथ्वी की सतह की एक अलग पट्टी को कवर करता है।
समय के साथ,उपग्रह द्वारा पृथ्वी की पूरी सतह को स्कैन कर लिया जाता है।

(N/A) पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा का परिक्रमण काल लगभग $27.3$ दिन है।
इसी प्रकार,अपनी धुरी पर चंद्रमा का घूर्णन काल भी लगभग $27.3$ दिन है।
चूंकि ये दोनों काल समान हैं,इसलिए चंद्रमा का एक ही भाग हमेशा पृथ्वी की ओर रहता है।

(N/A) विषुवतीय तल वह तल है जो पृथ्वी की विषुवत रेखा से होकर गुजरता है।
$(a)$ एक ध्रुवीय उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर एक ऐसे तल में परिक्रमा करता है जो उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों से होकर गुजरता है। चूंकि यह तल विषुवतीय तल के लंबवत होता है,इसलिए उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
$(b)$ एक भूस्थिर उपग्रह पृथ्वी की सतह पर किसी बिंदु के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए पृथ्वी के विषुवतीय तल के समान तल में ही पृथ्वी की परिक्रमा करता है। इसलिए,भूस्थिर उपग्रह के कक्षीय तल और विषुवतीय तल के बीच का कोण $0^{\circ}$ है।

(C) केप्लर के ग्रहों की गति के नियमों और न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी जैसे केंद्रीय गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में गति करने वाले कण का प्रक्षेपपथ एक शांकव परिच्छेद (कोनिक सेक्शन - दीर्घवृत्त,परवलय या अतिपरवलय) होना चाहिए,जिसमें पृथ्वी का केंद्र उसकी एक नाभि (focus) पर स्थित हो।
$1$. चित्र $(a)$ एक शांकव परिच्छेद नहीं है।
$2$. चित्र $(b)$ में पृथ्वी नाभि पर स्थित नहीं है।
$3$. चित्र $(c)$ एक दीर्घवृत्ताकार पथ दिखाता है जिसमें पृथ्वी उसकी एक नाभि पर है,जो एक वैध प्रक्षेपपथ है।
$4$. चित्र $(d)$ एक सर्पिल (spiral) है,जो शांकव परिच्छेद नहीं है।
$5$. चित्र $(e)$ में पृथ्वी नाभि पर स्थित नहीं है।
$6$. चित्र $(f)$ एक जटिल पथ है जो मानक शांकव परिच्छेद का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।
अतः,केवल चित्र $(c)$ ही एक प्रक्षेप्य के लिए संभावित प्रक्षेपपथ का प्रतिनिधित्व करता है।

(N/A) दिया गया है:
पृथ्वी का द्रव्यमान,$M = 6 \times 10^{24} \ kg$
पृथ्वी की त्रिज्या,$R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$
समय अवधि,$T = 24 \ h = 24 \times 3600 \ s = 86400 \ s$
गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक,$G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$
$(a)$ एक भूस्थिर उपग्रह के लिए,कक्षीय अवधि $T$ और कक्षीय त्रिज्या $r = R + h$ के बीच का संबंध केप्लर के तीसरे नियम द्वारा दिया जाता है:
$T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{GM}$
$r^3 = \frac{T^2 GM}{4 \pi^2}$
$r = \left( \frac{T^2 GM}{4 \pi^2} \right)^{1/3}$
मान रखने पर:
$r = \left( \frac{(86400)^2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{4 \times (3.14)^2} \right)^{1/3} \approx 4.22 \times 10^7 \ m$
ऊँचाई $h = r - R = 4.22 \times 10^7 \ m - 0.64 \times 10^7 \ m = 3.58 \times 10^7 \ m = 35800 \ km$.
$(b)$ पूरी विषुवत रेखा को कवर करने के लिए,प्रत्येक उपग्रह को $120^\circ$ (या $2\pi/3$ रेडियन) की कोणीय चौड़ाई को कवर करना होगा ताकि तीन उपग्रहों के साथ वैश्विक कवरेज सुनिश्चित हो सके। अतः,आवश्यक उपग्रहों की न्यूनतम संख्या $3$ है।

(A) दिया गया है: $r_p = 2R$ और $r_a = 6R$.
दीर्घवृत्त के गुणों का उपयोग करते हुए: $r_a = a(1+e) = 6R$ और $r_p = a(1-e) = 2R$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{1+e}{1-e} = \frac{6R}{2R} = 3 \implies 1+e = 3 - 3e \implies 4e = 2 \implies e = 0.5$.
कोणीय संवेग संरक्षण का उपयोग करते हुए: $m v_p r_p = m v_a r_a \implies v_a = v_p \frac{r_p}{r_a} = v_p \frac{2R}{6R} = \frac{v_p}{3}$.
ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{2} m v_p^2 - \frac{GMm}{r_p} = \frac{1}{2} m v_a^2 - \frac{GMm}{r_a}$.
$v_a = v_p/3$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} v_p^2 (1 - 1/9) = GM (\frac{1}{2R} - \frac{1}{6R}) = GM (\frac{2}{6R}) = \frac{GM}{3R}$.
$\frac{4}{9} v_p^2 = \frac{GM}{3R} \implies v_p^2 = \frac{3GM}{4R} \implies v_p = \sqrt{\frac{3 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{4 \times 6400 \times 10^3}} \approx 5.59 \, km/s$.
अतः $v_a = v_p/3 \approx 1.86 \, km/s$.
$6R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में स्थानांतरित करने के लिए,उपग्रह को अपोजी पर होना चाहिए और उसके वेग को बढ़ाकर कक्षीय वेग $v_c = \sqrt{\frac{GM}{6R}} \approx 2.64 \, km/s$ करना होगा।

(A) ध्रुवीय उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर ध्रुव से ध्रुव तक परिक्रमा करते हैं,जो पृथ्वी की सतह का वैश्विक दृश्य प्रदान करते हैं,जिससे वे जासूसी और मौसम पूर्वानुमान के लिए आदर्श बन जाते हैं $(1-b, c)$।
भू-स्थिर उपग्रह पृथ्वी की सतह पर एक बिंदु के सापेक्ष स्थिर रहते हैं,जो उन्हें निरंतर दूरसंचार और प्रसारण सेवाओं के लिए आदर्श बनाते हैं $(2-a)$।
अतः,सही मिलान $(1-b, c)$ और $(2-a)$ है।

(C) $R$ त्रिज्या के भीतर आकाशगंगा का द्रव्यमान घनत्व $\rho(r) = \frac{K}{r}$ को आयतन पर समाकलित करके प्राप्त किया जाता है।
$dm = \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr = \left(\frac{K}{r}\right) \cdot 4\pi r^2 dr = 4\pi K r dr$
$M(R) = \int_{0}^{R} 4\pi K r dr = 4\pi K \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R} = 2\pi K R^2$
$R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $m$ द्रव्यमान वाले तारे के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{G M(R) m}{R^2} = \frac{m v^2}{R}$
$M(R) = 2\pi K R^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{G (2\pi K R^2) m}{R^2} = \frac{m v^2}{R} \Rightarrow 2\pi G K m = \frac{m v^2}{R} \Rightarrow v^2 = 2\pi G K R$
$v = \sqrt{2\pi G K R}$
परिक्रमण काल $T = \frac{2\pi R}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
$T = \frac{2\pi R}{\sqrt{2\pi G K R}} = \sqrt{\frac{4\pi^2 R^2}{2\pi G K R}} = \sqrt{\frac{2\pi R}{G K}} \propto \sqrt{R}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $T^2 \propto R$ प्राप्त होता है।

(B) उपग्रह की प्रारंभिक कक्षीय गति $V_0 = \sqrt{\frac{GM}{R_e}}$ है।
रॉकेट दागने के बाद,नई गति $V = \sqrt{\frac{3}{2}} V_0 = \sqrt{\frac{3GM}{2R_e}}$ हो जाती है।
पेरिगी $(R_e)$ और एपोगी $(R_{max} = R)$ पर कोणीय संवेग के संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$L_{initial} = L_{final} \implies m V R_e = m V' R$
$V' = \frac{V R_e}{R} = \frac{R_e}{R} \sqrt{\frac{3GM}{2R_e}}$
यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$-\frac{GMm}{R_e} + \frac{1}{2} m V^2 = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2} m V'^2$
$-\frac{GM}{R_e} + \frac{1}{2} \left(\frac{3GM}{2R_e}\right) = -\frac{GM}{R} + \frac{1}{2} \left(\frac{R_e^2}{R^2} \cdot \frac{3GM}{2R_e}\right)$
$-\frac{1}{R_e} + \frac{3}{4R_e} = -\frac{1}{R} + \frac{3R_e}{4R^2}$
$-\frac{1}{4R_e} = \frac{-4R + 3R_e}{4R^2}$
$-R^2 = -4R R_e + 3R_e^2 \implies R^2 - 4R R_e + 3R_e^2 = 0$
$(R - 3R_e)(R - R_e) = 0$
चूंकि $R > R_e$,हमें $R = 3R_e$ प्राप्त होता है।

(C) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के केंद्र से $R$ दूरी पर एक वृत्ताकार कक्षा में गति कर रहे पिंड की कक्षीय चाल $V_{\text{orbit}} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ द्वारा दी जाती है।
ग्रह की सतह से पलायन वेग $V_{\text{escape}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
कक्षीय चाल और पलायन वेग का अनुपात लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{V_{\text{orbit}}}{V_{\text{escape}}} = \frac{\sqrt{\frac{GM}{R}}}{\sqrt{\frac{2GM}{R}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,उपग्रह का कोणीय संवेग उसकी पूरी कक्षा में स्थिर रहता है।
सबसे निकटतम बिंदु (पेरिअप्सिस) और सबसे दूरस्थ बिंदु (अपोअप्सिस) पर,वेग सदिश स्थिति सदिश के लंबवत होता है।
इसलिए,$L = m r_{\min} V_{\max} = m r_{\max} V_{\min}$।
यह समीकरण $r_{\min} V_{\max} = r_{\max} V_{\min} \quad \dots(i)$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है कि सबसे दूरस्थ बिंदु पर वेग,सबसे निकटतम बिंदु पर वेग से $6$ गुना कम है,इसलिए $V_{\min} = \frac{V_{\max}}{6}$,या $\frac{V_{\min}}{V_{\max}} = \frac{1}{6}$।
इस मान को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{r_{\min}}{r_{\max}} = \frac{V_{\min}}{V_{\max}} = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,दूरियों का अनुपात $1:6$ है।

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर परिक्रमा कर रहे उपग्रह का कक्षीय वेग $(v_o)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $v_o$ दूरी $r$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है:
$v_o \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$
अतः, सही संबंध $v_o \propto 1/\sqrt{r}$ है।

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग कक्षा की त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है: $\frac{T_{A}^{2}}{T_{B}^{2}} = \frac{r_{A}^{3}}{r_{B}^{3}}$.
यहाँ $T_{A} = 1\, h$,$T_{B} = 8\, h$,और $r_{A} = 10^{4}\, km$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{1^{2}}{8^{2}} = \frac{(10^{4})^{3}}{r_{B}^{3}} \Rightarrow \frac{1}{64} = \frac{(10^{4})^{3}}{r_{B}^{3}}$.
अतः,$r_{B}^{3} = 64 \times (10^{4})^{3}$,जिससे $r_{B} = 4 \times 10^{4}\, km$ प्राप्त होता है।
उपग्रह की कक्षीय चाल का सूत्र $v = \frac{2 \pi r}{T}$ है।
उपग्रह $A$ के लिए: $v_{A} = \frac{2 \pi \times 10^{4}}{1} = 2 \pi \times 10^{4}\, km/h$.
उपग्रह $B$ के लिए: $v_{B} = \frac{2 \pi \times 4 \times 10^{4}}{8} = \pi \times 10^{4}\, km/h$.
चूंकि दोनों उपग्रह एक ही तल में एक ही दिशा में घूम रहे हैं,इसलिए जब वे सबसे निकट होते हैं,तो उनकी सापेक्ष चाल उनकी चालों का अंतर होगी: $v_{rel} = v_{A} - v_{B} = 2 \pi \times 10^{4} - \pi \times 10^{4} = \pi \times 10^{4}\, km/h$.

(D) गुरुत्वाकर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
दिया गया है,$F \propto r^{-3/2}$,इसलिए $F = \frac{k}{r^{3/2}}$ जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
अभिकेंद्र बल का सूत्र $F = m \omega^2 r = m \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r = \frac{4\pi^2 m r}{T^2}$ है।
बल के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{k}{r^{3/2}} = \frac{4\pi^2 m r}{T^2}$.
$T^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$T^2 = \frac{4\pi^2 m}{k} \cdot r \cdot r^{3/2} = \frac{4\pi^2 m}{k} \cdot r^{5/2}$.
चूंकि $\frac{4\pi^2 m}{k}$ एक स्थिरांक है,इसलिए $T^2 \propto r^{5/2}$ प्राप्त होता है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,धूमकेतु का कोणीय संवेग उसकी कक्षा के सभी बिंदुओं पर स्थिर रहता है।
मान लीजिए $r_1$ और $v_1$ निकटतम बिंदु (पेरीहेलियन) पर दूरी और गति हैं,और $r_2$ और $v_2$ सबसे दूर के बिंदु (एफेलियन) पर दूरी और गति हैं।
दिया गया है:
$r_1 = 8.0 \times 10^{10} \ m$
$v_1 = 6 \times 10^{4} \ m/s$
$r_2 = 1.6 \times 10^{12} \ m$
कोणीय संवेग संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$m v_1 r_1 = m v_2 r_2$
$v_2 = \frac{v_1 r_1}{r_2}$
मान रखने पर:
$v_2 = \frac{(6 \times 10^{4}) \times (8.0 \times 10^{10})}{1.6 \times 10^{12}}$
$v_2 = \frac{48 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^{12}}$
$v_2 = 30 \times 10^{2} \ m/s = 3 \times 10^{3} \ m/s$
अतः,सबसे दूर के बिंदु पर गति $3 \times 10^{3} \ m/s$ है।

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल $T$ का वर्ग कक्षीय त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है $(T^2 \propto r^3)$,जिसका अर्थ है कि $T \propto r^{3/2}$।
कक्षीय त्रिज्या $r$,ग्रह की त्रिज्या $R$ और सतह से ऊँचाई $h$ का योग है $(r = R + h)$।
पहले उपग्रह के लिए: $r_1 = R + 11R = 12R$ और $T_1 = 24\, \text{hours}$।
दूसरे उपग्रह के लिए: $r_2 = R + 2R = 3R$।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3/2}$।
मान रखने पर: $\frac{24}{T_2} = \left(\frac{12R}{3R}\right)^{3/2} = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$।
अतः,$T_2 = \frac{24}{8} = 3\, \text{hours}$।

(D) मान लीजिए कि ग्रह अपनी दीर्घवृत्ताकार कक्षा में सूक्ष्म समय अंतराल $dt$ में $ds$ का सूक्ष्म विस्थापन करता है।
इस समय में स्थिति सदिश $\vec{r}$ द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल $dA$,$r$ और $ds$ भुजाओं वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है:
$dA = \frac{1}{2} |\vec{r} \times d\vec{s}| = \frac{1}{2} r ds \sin \theta$
जहाँ $\theta$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ और विस्थापन सदिश $d\vec{s}$ के बीच का कोण है।
क्षेत्रीय वेग समय के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है:
$\text{क्षेत्रीय वेग} = \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r \sin \theta \frac{ds}{dt}$
चूंकि ग्रह का वेग $v = \frac{ds}{dt}$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r v \sin \theta$
ग्रह के द्रव्यमान $M$ से गुणा और भाग करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2M} (M v r \sin \theta)$
चूंकि कोणीय संवेग का परिमाण $L = Mvr \sin \theta$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2M}$

(B) दो तारों के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल उनके सामान्य द्रव्यमान केंद्र (c.o.m.) के चारों ओर उनकी वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$m$ द्रव्यमान वाले तारे की c.o.m. से दूरी $r_1 = \frac{2m}{m+2m} d = \frac{2d}{3}$ है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G(m)(2m)}{d^2} = \frac{2Gm^2}{d^2}$ है।
$m$ द्रव्यमान वाले तारे के लिए,अभिकेंद्री बल $F = m \omega^2 r_1 = m \omega^2 (\frac{2d}{3})$ है।
बलों की तुलना करने पर: $\frac{2Gm^2}{d^2} = m \omega^2 (\frac{2d}{3})$.
सरल करने पर: $\frac{Gm}{d^2} = \omega^2 \frac{d}{3} \implies \omega^2 = \frac{3Gm}{d^3}$.
अतः,$\omega = \sqrt{\frac{3Gm}{d^3}}$.
परिक्रमण काल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{d^3}{3Gm}}$ प्राप्त होता है।

(C) परिक्रमण काल $T$,कोणीय वेग $\omega$ से $T = \frac{2\pi}{\omega}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
दिए गए काल $T_{1} = 1\, hr$ और $T_{2} = 8\, hr$ हैं।
कालों का अनुपात $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{1}{8}$ है।
$T$ के सूत्र को $\omega$ के पदों में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2\pi / \omega_{1}}{2\pi / \omega_{2}} = \frac{1}{8}$.
इसे सरल करने पर $\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}} = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S_{1}$ और $S_{2}$ के कोणीय वेग का अनुपात $\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}} = \frac{8}{1}$ अर्थात $8:1$ है।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर एक उपग्रह का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R+h)^{3}}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है।
उपग्रह $A$ के लिए: $h_{A} = 600 \, km = 0.6 \times 10^{6} \, m$,$R = 6.4 \times 10^{6} \, m$. कक्षीय त्रिज्या $r_{A} = R + h_{A} = 7.0 \times 10^{6} \, m$.
$T_{A} = 2 \pi \sqrt{\frac{(7.0 \times 10^{6})^{3}}{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}} \approx 5800 \, s$.
उपग्रह $B$ के लिए: $h_{B} = 1600 \, km = 1.6 \times 10^{6} \, m$. कक्षीय त्रिज्या $r_{B} = R + h_{B} = 8.0 \times 10^{6} \, m$.
$T_{B} = 2 \pi \sqrt{\frac{(8.0 \times 10^{6})^{3}}{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}} \approx 7133 \, s$.
$T_{B} - T_{A} = 7133 - 5800 = 1333 \, s = 1.33 \times 10^{3} \, s$.

(A) दिया गया है:
$T_1 = 1\, h$,$T_2 = 8\, h$
$R_1 = 2 \times 10^3\, km$
कोणीय वेग $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = 2\pi\, rad/h$ और $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \frac{\pi}{4}\, rad/h$ हैं।
केप्लर के तीसरे नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{R_2^3}{R_1^3} = \frac{T_2^2}{T_1^2} \Rightarrow \frac{R_2}{R_1} = (\frac{8}{1})^{2/3} = 4$.
अतः,$R_2 = 4 \times R_1 = 8 \times 10^3\, km$.
रैखिक वेग $v_1 = \omega_1 R_1 = 2\pi \times 2 \times 10^3 = 4\pi \times 10^3\, km/h$ और $v_2 = \omega_2 R_2 = \frac{\pi}{4} \times 8 \times 10^3 = 2\pi \times 10^3\, km/h$ हैं।
जब उपग्रह सबसे निकट होते हैं,तो निकटतम उपग्रह से देखे जाने पर सापेक्ष कोणीय वेग $\omega_{rel} = \frac{v_1 - v_2}{R_2 - R_1}$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega_{rel} = \frac{4\pi \times 10^3 - 2\pi \times 10^3}{8 \times 10^3 - 2 \times 10^3} = \frac{2\pi \times 10^3}{6 \times 10^3} = \frac{\pi}{3}\, rad/h$.
इसकी तुलना $\frac{\pi}{x}$ से करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।